Modulis x 4 15 sakne no 227. Nevienlīdzību risināšana ar moduli

Modulis ir viena no tām lietām, par kuru, šķiet, visi ir dzirdējuši, bet patiesībā neviens to īsti nesaprot. Tāpēc šodien būs liela nodarbība, kas veltīta vienādojumu risināšanai ar moduļiem.

Man uzreiz jāsaka: nodarbība būs vienkārša. Parasti moduļi parasti ir samērā vienkārša tēma. “Jā, protams, vienkārši! Man smadzenes šķiras no viņas! ”Daudzi studenti teiks, bet visi šie smadzeņu plīsumi ir saistīti ar faktu, ka lielākajai daļai cilvēku galvā nav zināšanu, bet gan kaut kādi viltības. Un šīs nodarbības mērķis ir pārvērst krāpšanos zināšanās. :)

Mazliet teorijas

Tāpēc iesim. Sāksim ar vissvarīgāko: kas ir modulis? Atgādināšu, ka skaitļa modulis ir vienkārši vienāds skaitlis, bet ņemts bez mīnusa zīmes. Tas ir, piemēram, $ \\ left | -5 \\ pa labi | \u003d 5 USD. Vai arī \\ \\ pa kreisi | -129,5 \\ pa labi | \u003d 129,5 USD.

Vai tas ir tik vienkārši? Jā, vienkārši. Un kāds tad ir pozitīvā skaitļa modulis? Šeit tas ir vēl vienkāršāk: pozitīvā skaitļa modulis ir vienāds ar pašu skaitli: $ \\ left | 5 \\ pa labi | \u003d 5 $; $ \\ pa kreisi | 129,5 \\ pa labi | \u003d 129,5 USD utt.

Izrādās kurioza lieta: dažādiem skaitļiem var būt viens modulis. Piemēram: $ \\ palikusi | -5 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | 5 \\ pa labi | \u003d 5 $; $ \\ pa kreisi | -129,5 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | 129,5 \\ pa labi | \u003d 129,5 USD. Ir viegli pamanīt, kāda veida skaitļiem tie ir, kuriem moduļi ir vienādi: šie skaitļi ir pretēji. Tādējādi mēs sev atzīmējam, ka pretējo skaitļu moduļi ir vienādi:

\\ [\\ pa kreisi | -a \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | a \\ tiesības | \\]

Vēl viens svarīgs fakts: modulis nekad nav negatīvs. Neatkarīgi no tā, cik skaitli mēs ņemam - pat pozitīvu, pat negatīvu - tā modulis vienmēr izrādās pozitīvs (vai ārkārtējos gadījumos nulle). Tāpēc moduli bieži sauc par skaitļa absolūto vērtību.

Turklāt, ja mēs apvienojam moduļa definīciju pozitīvajiem un negatīvajiem skaitļiem, mēs iegūstam moduļa vispārēju definīciju visiem skaitļiem. Proti: skaitļa modulis ir vienāds ar šo pašu skaitli, ja skaitlis ir pozitīvs (vai nulle), vai vienāds ar pretējo skaitli, ja skaitlis ir negatīvs. To var uzrakstīt formulas veidā:

Ir arī nulles modulis, bet tas vienmēr ir nulle. Turklāt nulle ir vienīgais skaitlis, kuram nav pretēja.

Tādējādi, ja mēs uzskatām funkciju $ y \u003d \\ kreisā | x \\ labi | $ un mēģiniet uzzīmēt tā grafiku, tad jūs saņemat šādu “džeku”:

Moduļa grafiks un vienādojuma risināšanas piemērs

No šī attēla var redzēt, ka $ \\ palikusi | -m \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | m \\ pa labi | $, un moduļa grafiks nekad nenokrīt zem abscisa ass. Bet tas vēl nav viss: sarkanā līnija apzīmē līniju y y \u003d a $, kas pozitīvam $ a $ dod mums uzreiz divas saknes: $ ((x) _ (1)) $ un $ ((x) _ (2)) USD, bet par to mēs runāsim vēlāk. :)

Papildus tīri algebriskai definīcijai ir arī ģeometriska. Pieņemsim, ka ciparu rindā ir divi punkti: $ ((x) _ (1)) $ un $ ((x) _ (2)) $. Šajā gadījumā izteiksme $ \\ atstāja | ((x) _ (1)) - ((x) _ (2)) \\ right | $ ir tikai attālums starp norādītajiem punktiem. Vai arī, ja vēlaties, segmenta garums, kas savieno šos punktus:

Modulis ir attālums starp punktiem ciparu rindā

Arī no šīs definīcijas izriet, ka modulis vienmēr ir negatīvs. Bet pietiekami daudz definīciju un teorijas - pāriesim pie šiem vienādojumiem. :)

Pamata formula

Nu, ar sakārtotu definīciju. Bet tas neatviegloja. Kā atrisināt vienādojumus, kas satur tieši šo moduli?

Mierīgs, tikai mierīgs. Sāksim ar vienkāršākajām lietām. Apsveriet kaut ko līdzīgu šim:

\\ [\\ pa kreisi | x \\ pa labi | \u003d 3 \\]

Tātad modulis $ x $ ir vienāds ar 3. Kas var būt vienāds ar $ x $? Nu, spriežot pēc definīcijas, mēs esam diezgan apmierināti ar $ x \u003d 3 $. Patiešām:

\\ [\\ pa kreisi | 3 \\ labā | \u003d 3 \\]

Vai ir vēl kādi skaitļi? Cepure it kā māca, kas ir kas. Piemēram, $ x \u003d -3 $ - arī viņam $ \\ palika | -3 \\ pa labi | \u003d 3 $, t.i. nepieciešamā vienlīdzība pastāv.

Varbūt, ja jūs meklēsit, domājat, mēs atradīsim vairāk numuru? Bet pārtrauciet: skaitļu vairs nav. Vienādojums $ \\ palicis | x \\ pa labi | \u003d 3 $ ir tikai divas saknes: $ x \u003d 3 $ un $ x \u003d -3 $.

Tagad nedaudz sarežģīsim uzdevumu. Ļaujiet mainīgā $ x $ vietā funkcijai $ f \\ left (x \\ right) $ žaut zem moduļa zīmes, bet labajā pusē trīskāršā vietā ievietojiet patvaļīgu skaitli $ a $. Mēs iegūstam vienādojumu:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d a \\]

Nu kā to atrisināt? Ļaujiet man jums atgādināt: $ f \\ left (x \\ right) $ ir patvaļīga funkcija, $ a $ ir jebkurš skaitlis. T. i. vispār jebkurš! Piemēram:

\\ [\\ pa kreisi | 2x + 1 \\ pa labi | \u003d 5 \\]

\\ [\\ pa kreisi | 10x-5 \\ pa labi | \u003d -65 \\]

Pievērsīsim uzmanību otrajam vienādojumam. Par viņu uzreiz var pateikt: viņam nav sakņu. Kāpēc? Pareizi: jo tas prasa, lai modulis būtu vienāds ar negatīvu skaitli, kas nekad nenotiek, jo mēs jau zinām, ka modulis vienmēr ir pozitīvs skaitlis vai, ārkārtējos gadījumos, nulle.

Bet ar pirmo vienādojumu viss ir jautrāk. Ir divas iespējas: vai nu zem moduļa zīmes ir pozitīva izteiksme, un pēc tam $ \\ left | 2x + 1 \\ pa labi | \u003d 2x + 1 $, vai arī šī izteiksme joprojām ir negatīva, un pēc tam $ \\ pa kreisi | 2x + 1 \\ pa labi | \u003d - \\ pa kreisi (2x + 1 \\ pa labi) \u003d - 2x-1 $. Pirmajā gadījumā mūsu vienādojumu pārraksta šādi:

\\ [\\ pa kreisi | 2x + 1 \\ pa labi | \u003d 5 \\ Rightarrow 2x + 1 \u003d 5 \\]

Un pēkšņi izrādās, ka submodulārā izteiksme $ 2x + 1 $ ir patiešām pozitīva - tā ir vienāda ar skaitli 5. Tas ir, mēs mierīgi varam atrisināt šo vienādojumu - iegūtā sakne būs daļa no atbildes:

Īpaši neticami cilvēki var mēģināt aizstāt atrasto sakni sākotnējā vienādojumā un pārliecināties, ka zem moduļa būs pozitīvs skaitlis.

Tagad apskatīsim negatīva apakšmodula izteiksmes gadījumu:

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi | 2x + 1 \\ pa labi | \u003d 5 \\\\ un 2x + 1 \\ lt 0 \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\ Rightarrow -2x-1 \u003d 5 \\ Labā bultiņa 2x + 1 \u003d -5 \\]

Hmm! Viss atkal ir skaidrs: mēs pieņēmām, ka USD 2x + 1 \\ lt 0 $, un rezultātā mēs saņēmām, ka USD 2x + 1 \u003d -5 $ - patiešām šī izteiksme ir mazāka par nulli. Mēs atrisinām iegūto vienādojumu, vienlaikus jau droši zinot, ka atrastais sakne mums derēs:

Kopumā mēs atkal saņēmām divas atbildes: $ x \u003d 2 $ un $ x \u003d 3 $. Jā, aprēķinu summa izrādījās nedaudz lielāka nekā ļoti vienkāršajā vienādojumā $ \\ left | x \\ pa labi | \u003d 3 $, bet būtībā nekas nav mainījies. Tātad varbūt ir kāds universāls algoritms?

Jā, šāds algoritms pastāv. Un tagad mēs to atdalīsim.

Atbrīvošanās no moduļa zīmes

Ļaujiet mums dot vienādojumu $ \\ left | f \\ kreisā (x \\ labā) \\ labā | \u003d a, un $ a \\ ge 0 $ (pretējā gadījumā, kā mēs jau zinām, sakņu nav). Tad jūs varat atbrīvoties no moduļa zīmes, ievērojot šo noteikumu:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d a \\ Rightarrow f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d \\ pm a \\]

Tādējādi mūsu vienādojums ar moduli sadalās divās daļās, bet bez moduļa. Tā ir visa tehnoloģija! Mēģināsim atrisināt pāris vienādojumus. Sāksim ar šo

\\ [\\ pa kreisi | 5x + 4 \\ pa labi | \u003d 10 \\ Rightarrow 5x + 4 \u003d \\ pm 10 \\]

Atsevišķi tiks apskatīts, kad labajā pusē ir ducis ar plusu, un atsevišķi, kad ar mīnusu. Mums ir:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 5x + 4 \u003d 10 \\ Rightarrow 5x \u003d 6 \\ Rightarrow x \u003d \\ frac (6) (5) \u003d 1,2; \\\\ & 5x + 4 \u003d -10 \\ Rightarrow 5x \u003d -14 \\ Rightarrow x \u003d - \\ frac (14) (5) \u003d - 2,8. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Tas ir viss! Mums bija divas saknes: $ x \u003d 1,2 $ un $ x \u003d -2,8 $. Viss lēmums burtiski aizņēma divas līnijas.

Ok, nav jautājumu, apskatīsim kaut ko mazliet nopietnāku:

\\ [\\ pa kreisi | 7–5x \\ pa labi | \u003d 13 \\]

Atkal atveriet moduli ar plus un mīnusu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 7-5x \u003d 13 \\ labā bulta -5x \u003d 6 \\ labā bulta x \u003d - \\ frac (6) (5) \u003d - 1,2; \\\\ & 7-5x \u003d -13 \\ labā bulta -5x \u003d -20 \\ labā bulta x \u003d 4. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Atkal pāris rindiņas - un atbilde ir gatava! Kā jau teicu, moduļos nav nekā sarežģīta. Jums vienkārši jāatceras daži noteikumi. Tāpēc mēs ejam tālāk un turpinām patiešām sarežģītākus uzdevumus.

Gadījums ar mainīgu labo pusi

Tagad apsveriet šo vienādojumu:

\\ [\\ pa kreisi | 3x-2 \\ pa labi | \u003d 2x \\]

Šis vienādojums būtiski atšķiras no visiem iepriekšējiem. Ko? Un tas, ka pa labi no vienādības zīmes ir izteiciens $ 2x $ - un mēs jau iepriekš nevaram zināt, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs.

Ko šajā gadījumā darīt? Pirmkārt, mums tas vienreiz un uz visiem ir jāsaprot ja vienādojuma labā puse izrādās negatīva, tad vienādojumam nebūs sakņu - mēs jau zinām, ka modulis nevar būt vienāds ar negatīvu skaitli.

Un, otrkārt, ja labā daļa joprojām ir pozitīva (vai vienāda ar nulli), tad jūs varat rīkoties tieši tāpat kā iepriekš: vienkārši atveriet moduli atsevišķi ar plus zīmi un atsevišķi ar mīnusa zīmi.

Tādējādi mēs formulējam noteikumu patvaļīgām funkcijām $ f \\ left (x \\ right) $ and $ g \\ left (x \\ right) $:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ Labais bulttaustiņš \\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d \\ pm g \\ pa kreisi (x \\ pa labi ), \\\\ & g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ ge 0. \\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Saistībā ar mūsu vienādojumu iegūstam:

\\ [\\ pa kreisi | 3x-2 \\ pa labi | \u003d 2x \\ Rightarrow \\ left \\ (\\ sākt (izlīdzināt) un 3x-2 \u003d \\ pm 2x, \\\\ un 2x \\ ge 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Mēs kaut kā varam tikt galā ar prasību USD 2x \\ ge 0 $. Rezultātā jūs muļķīgi varat aizstāt saknes, kuras iegūstam no pirmā vienādojuma, un pārbaudīt, vai nevienlīdzība pastāv vai nē.

Tāpēc mēs atrisinām pašu vienādojumu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 3x-2 \u003d 2 \\ labā virziena bultiņa 3x \u003d 4 \\ labā virziena bultiņa x \u003d \\ frac (4) (3); \\\\ & 3x-2 \u003d -2 \\ labā bulta 3x \u003d 0 \\ labā bulta x \u003d 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Nu un kura no šīm divām saknēm atbilst prasībai USD 2x \\ ge 0 $? Jā gan! Tāpēc divi skaitļi atgriezīsies atpakaļ: $ x \u003d (4) / (3) \\; $ un $ x \u003d 0 $. Tas ir viss risinājums. :)

Man ir aizdomas, ka kādam no studentiem jau ir sākuši garlaikoties? Apsveriet vēl sarežģītāku vienādojumu:

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ pa labi | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Lai arī tas izskatās ļauni, patiesībā tas ir tas pats formas “modulis ir vienāds ar funkciju” vienādojums:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\]

Un tas tiek atrisināts tādā pašā veidā:

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \\ pa labi | \u003d x - ((x) ^ (3)) \\ labo bultiņu \\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & ( (x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d \\ pm \\ pa kreisi (x - ((x) ^ (3)) \\ pa labi), \\\\ & x - ((x ) ^ (3)) \\ ge 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināšana) \\ pa labi. \\]

Vēlāk tiksim galā ar nevienlīdzību - tā kaut kā ir pārāk ļauna (patiesībā vienkārša, bet mēs to neatrisināsim). Lai gan labāk ir aplūkot iegūtos vienādojumus. Apsveriet pirmo gadījumu - tas ir, kad modulis izplešas ar plus zīmi:

\\ [((((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)) \\]

Nu, šeit un ezis ir skaidrs, ka jums ir jāsavāc viss kreisajā pusē, jānes līdzīgi un jāredz, kas notiek. Un tas notiek tas, kas notiek:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d x - ((x) ^ (3)); \\\\ & 2 ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) \u003d 0; \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Mēs ņemam kopējo koeficientu $ ((x) ^ (2)) $ no iekavās un iegūstam ļoti vienkāršu vienādojumu:

\\ [((((x) ^ (2)) \\ pa kreisi (2x-3 \\ pa labi) \u003d 0 \\ Rightarrow \\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) \u003d 0 \\\\ un 2x-3 \u003d 0 \\\\\\ beigas (izlīdzināšana) \\ pa labi. \\]

\\ [(((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (3) (2) \u003d 1,5. \\]

Šeit mēs izmantojām svarīgo produkta īpašību, kuras dēļ mēs sākotnējo polinomu sadalījām faktoros: reizinājums ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli.

Tagad tāpat tiks galā ar otro vienādojumu, ko iegūst, paplašinot moduli ar mīnusa zīmi:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d - \\ pa kreisi (x - ((x) ^ (3)) \\ pa labi); \\\\ & ((x) ^ (3)) - 3 ((x) ^ (2)) + x \u003d -x + ((x) ^ (3)); \\\\ & -3 ((x) ^ (2)) + 2x \u003d 0; \\\\ & x \\ pa kreisi (-3x + 2 \\ pa labi) \u003d 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Atkal tas pats: produkts ir vienāds ar nulli, ja vismaz viens no faktoriem ir vienāds ar nulli. Mums ir:

\\ [\\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & x \u003d 0 \\\\ & -3x + 2 \u003d 0 \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Nu, mums ir trīs saknes: $ x \u003d 0 $, $ x \u003d 1,5 $ un $ x \u003d (2) / (3) \\; $. Tātad, kas no šī komplekta nonāks pie galīgās atbildes? Lai to izdarītu, atcerieties, ka mums ir papildu ierobežojums nevienlīdzības veidā:

Kā ņemt vērā šo prasību? Jā, mēs vienkārši aizstājam atrastās saknes un pārbaudām: nevienlīdzība pastāv šiem $ x $ vai nē. Mums ir:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & x \u003d 0 \\ labā bulta x - ((x) ^ (3)) \u003d 0-0 \u003d 0 \\ ge 0; \\\\ & x \u003d 1,5 \\ labā virziena bultiņa x - ((x) ^ (3)) \u003d 1,5 - ((1,5) ^ (3)) \\ lt 0; \\\\ & x \u003d \\ frac (2) (3) \\ Rightarrow x - ((x) ^ (3)) \u003d \\ frac (2) (3) - \\ frac (8) (27) \u003d \\ frac (10) (27) \\ ge 0; \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Tādējādi sakne $ x \u003d 1,5 $ mums nav piemērota. Un atbildot, tikai divas saknes:

\\ [((((x) _ (1)) \u003d 0; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d \\ frac (2) (3). \\]

Kā redzat, pat šajā gadījumā nebija nekas sarežģīts - vienādojumus ar moduļiem vienmēr risina algoritms. Ir tikai labi jāsaprot polinomi un nevienlīdzība. Tāpēc mēs pārietam pie sarežģītākiem uzdevumiem - jau būs nevis viens, bet divi moduļi.

Vienādojumi ar diviem moduļiem

Līdz šim mēs esam pētījuši tikai vienkāršākos vienādojumus - bija viens modulis un kaut kas cits. Mēs nosūtījām šo “kaut ko citu” uz citu nevienlīdzības daļu, prom no moduļa, lai beigās viss nonāktu vienādojumā no formas $ \\ left | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) $ vai vēl vienkāršāk $ \\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d $.

Bet bērnudārzs ir beidzies - ir pienācis laiks apsvērt kaut ko nopietnāku. Sāksim ar šāda veida vienādojumiem:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \\]

Šis vienādojums ir formā “modulis ir vienāds ar moduli”. Principiāli svarīgs punkts ir citu terminu un faktoru neesamība: tikai viens modulis kreisajā pusē, cits modulis labajā pusē - un nekas vairāk.

Kāds tagad domās, ka šādi vienādojumi tiek atrisināti sarežģītāk nekā tas, ko mēs līdz šim esam pētījuši. Un šeit tā nav: šie vienādojumi tiek atrisināti vēl vienkāršāk. Šeit ir formula:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \\ pa labi bulttaustiņš f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d \\ pm g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\]

Tas arī viss! Submodulāras izteiksmes mēs vienkārši pielīdzinām, novietojot plusa vai mīnusa zīmi priekšā vienai no tām. Un tad mēs atrisinām iegūtos divus vienādojumus - un saknes ir gatavas! Nav papildu ierobežojumu, nav nevienlīdzības utt. Viss ir ļoti vienkārši.

Mēģināsim atrisināt šo problēmu:

\\ [\\ pa kreisi | 2x + 3 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | 2x-7 \\ pa labi | \\]

Vienkārši, Vatson! Mēs atklājam moduļus:

\\ [\\ pa kreisi | 2x + 3 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | 2x-7 \\ pa labi | \\ Rightarrow 2x + 3 \u003d \\ pm \\ pa kreisi (2x-7 \\ pa labi) \\]

Katru gadījumu mēs aplūkojam atsevišķi:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 2x + 3 \u003d 2x-7 \\ Rightarrow 3 \u003d -7 \\ Rightarrow \\ emptyset; \\\\ & 2x + 3 \u003d - \\ pa kreisi (2x-7 \\ pa labi) \\ labā bultiņa 2x + 3 \u003d -2x + 7. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Pirmajā vienādojumā nav sakņu. Jo kad ir 3 USD \u003d -7 $? Kādas ir USD x $ vērtības? "Kas pie velna ir $ x $? Vai jūs esat smēķējis? Pavisam nav $ x $, ”jūs sakāt. Un jums būs taisnība. Esam ieguvuši vienādību, kas nav atkarīga no mainīgā $ x $, un pati vienlīdzība nav pareiza. Tāpēc sakņu nav. :)

Ar otro vienādojumu viss ir nedaudz interesantāk, bet arī ļoti, ļoti vienkārši:

Kā redzat, viss tika izlemts burtiski pāris rindās - mēs negaidījām citu no lineārā vienādojuma. :)

Galīgā atbilde ir: $ x \u003d 1 $.

Nu kā? Vai tas ir grūti? Protams, ka nē. Mēģināsim kaut ko citu:

\\ [\\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ pa labi | \\]

Atkal mums ir vienādojums no formas $ \\ pa kreisi | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | $. Tāpēc mēs to nekavējoties pārrakstām, atklājot moduļa zīmi:

\\ [((((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d \\ pm \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi) \\]

Varbūt kāds tagad jautās: “Ei, kādas muļķības? Kāpēc “plus vai mīnus” stāv pie labās izteiksmes, nevis pa kreisi? ”Mierīgi, tagad es visu paskaidrošu. Patiešām, labā veidā mums bija jāpārraksta vienādojums šādi:

Tad jums jāatver iekavas, jāpārvieto visi termini uz vienādības zīmes pusi (jo vienādojums acīmredzami būs kvadrāts abos gadījumos) un pēc tam atrodiet saknes tālāk. Bet jums ir jāatzīst: kad plus vai mīnus atrodas trīs terminu priekšā (īpaši, ja viens no šiem terminiem ir kvadrātveida izteiksme), tas kaut kā izskatās sarežģītāks nekā situācija, kad plus vai mīnus atrodas tikai divu terminu priekšā.

Bet nekas neliedz mums sākotnējo vienādojumu pārrakstīt šādi:

Kas noticis Nekas īpašs: viņi vienkārši nomainīja kreiso un labo pusi. Sīkums, kas galu galā nedaudz vienkāršos mūsu dzīvi. :)

Kopumā mēs atrisinām šo vienādojumu, apsverot iespējas ar plusu un mīnusu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d x-1 \\ Rightarrow ((x) ^ (2)) - 4x + 3 \u003d 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \u003d - \\ pa kreisi (x-1 \\ labajā pusē) \\ labā bultiņa ((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Pirmā vienādojuma saknes ir $ x \u003d 3 $ un $ x \u003d 1 $. Otrais parasti ir precīzs kvadrāts:

\\ [((((x) ^ (2)) - 2x + 1 \u003d ((\\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi)) ^ (2)) \\]

Tāpēc tai ir viena sakne: $ x \u003d 1 $. Bet šo sakni mēs jau saņēmām agrāk. Tādējādi uz galīgo atbildi atbildēs tikai divi cipari:

\\ [((((x) _ (1)) \u003d 3; \\ quad ((x) _ (2)) \u003d 1.]

Misija izpildīta! Jūs varat ņemt to no plaukta un ēst pīrāgu. Tavā vidējā ir 2 no tām :)

Svarīgs paziņojums. Tādu pašu sakņu klātbūtne dažādiem moduļa paplašināšanas variantiem nozīmē, ka sākotnējie polinomi tiek faktorizēti, un starp šiem faktoriem noteikti būs kopīgs. Patiešām:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ pa labi |; \\\\ & \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi) \\ pa kreisi (x-2 \\ pa labi) \\ pa labi |. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Viena no moduļa īpašībām: $ \\ left | a \\ cdot b \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | a \\ pa labi | \\ cdot \\ pa kreisi | b \\ taisnība | $ (tas ir, produkta modulis ir vienāds ar moduļu produktu), tāpēc sākotnējo vienādojumu var pārrakstīt šādi:

\\ [\\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \\ cdot \\ pa kreisi | x-2 \\ pa labi | \\]

Kā redzat, mums tiešām ir kopīgs faktors. Ja jūs apkopojat visus moduļus, no vienas puses, jūs varat izvietot šo koeficientu no iekavas:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \\ cdot \\ pa kreisi | x-2 \\ pa labi |; \\\\ & \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | - \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \\ cdot \\ pa kreisi | x-2 \\ pa labi | \u003d 0; \\\\ & \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \\ cdot \\ pa kreisi (1- \\ pa kreisi | x-2 \\ pa labi | \\ pa labi) \u003d 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Nu, atcerieties, ka produkts ir nulle, ja vismaz viens no faktoriem ir nulle:

\\ [\\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | \u003d 0, \\\\ & \\ pa kreisi | x-2 \\ pa labi | \u003d 1. \\\\\\ beigas (izlīdzināšana) \\ pa labi. \\]

Tādējādi sākotnējais vienādojums ar diviem moduļiem tika samazināts līdz diviem vienkāršiem vienādojumiem, par kuriem mēs runājām stundas pašā sākumā. Šādi vienādojumi tiek atrisināti burtiski pāris rindās. :)

Šī piezīme var šķist nevajadzīgi sarežģīta un praksē nepiemērojama. Tomēr patiesībā jūs varat saskarties ar daudz sarežģītākiem uzdevumiem nekā tie, kurus mēs šodien analizējam. Tajos moduļus var kombinēt ar polinomiem, aritmētiskām saknēm, logaritmiem utt. Un šādās situācijās ļoti, ļoti noderīga ir spēja pazemināt vienādojuma kopējo pakāpi, kaut ko izliekot no iekavas. :)

Tagad es vēlētos parsēt vēl vienu vienādojumu, kas no pirmā acu uzmetiena var šķist maldīgs. Daudzi studenti to pielīmē - pat tie, kuri uzskata, ka labi saprot moduļus.

Neskatoties uz to, šis vienādojums tiek atrisināts vēl vienkāršāk nekā tas, ko mēs uzskatījām iepriekš. Un, ja jūs saprotat, kāpēc, tad jūs iegūsit vēl vienu triku, lai ātri atrisinātu vienādojumus ar moduļiem.

Tātad vienādojums ir šāds:

\\ [\\ pa kreisi | x - ((x) ^ (3)) \\ pa labi | + \\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + x-2 \\ pa labi | \u003d 0 \\]

Nē, tā nav kļūda: starp moduļiem ir tieši pluss. Un mums jāatrod, par kuriem $ x $ divu moduļu summa ir nulle. :)

Kāda ir problēma? Un problēma ir tā, ka katrs modulis ir pozitīvs skaitlis vai, ārkārtējos gadījumos, nulle. Un kas notiek, ja pievienojat divus pozitīvos skaitļus? Acīmredzot atkal pozitīvs skaitlis:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & 5 + 7 \u003d 12 \\ gt 0; \\\\ & 0,004 + 0,0001 \u003d 0,0041 \\ gt 0; \\\\ & 5 + 0 \u003d 5 \\ gt 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Pēdējā rinda var izraisīt domu: vienīgais gadījums, kad moduļu summa ir vienāda ar nulli, ir tad, ja katrs modulis ir vienāds ar nulli:

Un kad modulis ir vienāds ar nulli? Tikai vienā gadījumā - ja apakšmoduļa izteiksme ir nulle:

\\ [((((x) ^ (2)) + x-2 \u003d 0 \\ labā bultiņa \\ pa kreisi (x + 2 \\ pa labi) \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi) \u003d 0 \\ labā kreisajā pusē \\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & x \u003d -2 \\\\ & x \u003d 1 \\\\\\ beigas (izlīdzināšana) \\ pa labi. \\]

Tādējādi mums ir trīs punkti, pie kuriem pirmais modulis ir nulle: 0, 1 un −1; kā arī divi punkti, kuros otrais modulis ir nulle: −2 un 1. Tomēr mums abi moduļi ir nepieciešami līdz nullei vienlaikus, tāpēc starp atrastajiem skaitļiem mums jāizvēlas tie, kas atrodas abās kopās. Acīmredzot šis skaitlis ir tikai viens: $ x \u003d 1 $ - tā būs pēdējā atbilde.

Sadalīšanas metode

Nu, mēs jau izpildījām ķekars uzdevumu un iemācījāmies daudz triku. Vai jūs domājat, ka tas viss ir? Un nē! Tagad mēs apsvērsim galīgo uzņemšanu - un tajā pašā laikā vissvarīgāko. Runa būs par vienādojumu sadalīšanu ar moduli. Par ko tas viss notiks? Atgriezīsimies mazliet atpakaļ un apskatīsim vienkāršu vienādojumu. Piemēram, tas:

\\ [\\ pa kreisi | 3x-5 \\ pa labi | \u003d 5-3x \\]

Principā mēs jau zinām, kā atrisināt šādu vienādojumu, jo šī ir standarta konstrukcija formā $ \\ left | f \\ pa kreisi (x \\ pa labi) \\ pa labi | \u003d g \\ pa kreisi (x \\ pa labi) $. Bet mēģināsim aplūkot šo vienādojumu no nedaudz cita leņķa. Precīzāk, apsveriet izteicienu zem moduļa zīmes. Atgādināšu, ka jebkura skaitļa modulis var būt vienāds ar pašu skaitli vai arī būt pretējs šim skaitlim:

\\ [\\ pa kreisi | a \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & a, \\ quad a \\ ge 0, \\\\ & -a, \\ quad a \\ lt 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Patiesībā šī neskaidrība ir visa problēma: tā kā mainās numurs zem moduļa (tas ir atkarīgs no mainīgā), mums nav skaidrs, vai tas ir pozitīvs vai negatīvs.

Bet ko tad, ja sākotnējā prasība bija, lai šis skaitlis būtu pozitīvs? Piemēram, mēs pieprasām, lai USD 3x-5 \\ gt 0 $ - šajā gadījumā mums tiek garantēts, ka mēs iegūsim pozitīvu skaitli zem moduļa zīmes, un mēs varam pilnībā atbrīvoties no paša moduļa:

Tādējādi mūsu vienādojums pārvērtīsies par lineāru, ko var viegli atrisināt:

Tiesa, visiem šiem apsvērumiem ir jēga tikai ar nosacījumu 3x-5 \\ gt 0 $ - mēs paši ieviesām šo prasību, lai nepārprotami atklātu moduli. Tāpēc aizstāsim atrasto $ x \u003d \\ frac (5) (3) $ ar šo nosacījumu un pārbaudīsim:

Izrādās, ka ar norādīto vērtību USD x $ mūsu prasība nav izpildīta, jo izteiksme izrādījās nulle, un mums tai ir jābūt stingri lielākai par nulli. Skumjas. :(

Bet nekā liela! Galu galā joprojām pastāv opcija USD 3x-5 \\ lt 0 $. Turklāt: ir arī gadījums, kad USD 3x-5 \u003d 0 $ - arī tas ir jāņem vērā, pretējā gadījumā risinājums būs nepilnīgs. Tātad, apsveriet gadījumu ar USD 3x-5 \\ lt 0 $:

Acīmredzot modulis tiks atvērts ar mīnusa zīmi. Bet tad rodas dīvaina situācija: sākotnējā vienādojumā gan kreisajā, gan labajā pusē izkļūst viens un tas pats izteiciens:

Nez, kāda veida $ x $ izteiksme $ 5-3x $ būs vienāda ar izteiksmi $ 5-3x $? No šādiem vienādojumiem pat kapteinis būtu aizrijies ar siekalām, bet mēs kaut ko zinām: šis vienādojums ir identitāte, t.i. tas attiecas uz jebkuru mainīgā lielumu!

Un tas nozīmē, ka jebkurš USD x $ būs piemērots mums. Tomēr mums ir ierobežojums:

Citiem vārdiem sakot, atbilde nav viens cipars, bet vesels intervāls:

Visbeidzot, atliek apsvērt citu lietu: USD 3x-5 \u003d 0 $. Viss ir vienkārši: zem moduļa būs nulle, un nulles modulim arī būs nulle (tas tieši izriet no definīcijas):

Bet tad sākotnējais vienādojums ir $ \\ left | 3x-5 \\ pa labi | \u003d 5-3x $ tiks pārrakstīti šādi:

Mēs jau ieguvām šo sakni iepriekš, apsverot gadījumu 3x-5 \\ gt 0 $. Turklāt šī sakne ir risinājums vienādojumam $ 3x-5 \u003d 0 $ - tas ir ierobežojums, kuru mēs paši ieviesām, lai atiestatītu moduli. :)

Tādējādi papildus intervālam mēs esam apmierināti arī ar skaitli, kas atrodas šī intervāla pašās beigās:

Sakņu apvienošana vienādojumos ar moduli

Kopējā galīgā atbilde: $ x \\ in \\ left (- \\ infty; \\ frac (5) (3) \\ right] $. Nav ļoti ierasts redzēt šādus sūdus atbildē uz diezgan vienkāršu (būtībā lineāru) vienādojumu ar moduli Nu, pierodiet: moduļa sarežģītība slēpjas faktā, ka atbildes šādos vienādojumos var izrādīties pilnīgi neparedzamas.

Daudz svarīgāks nekā otrs: mēs tikko izdomājām universālu algoritmu vienādojuma risināšanai ar modulātu! Un šis algoritms sastāv no šādām darbībām:

Katru moduļa vienādojumu pielīdziniet nullei. Mēs iegūstam dažus vienādojumus;
Atrisiniet visus šos vienādojumus un atzīmējiet saknes uz ciparu līnijas. Tā rezultātā līnija sadalīsies vairākos intervālos, katrā no kuriem visi moduļi tiek unikāli paplašināti;
Atrisiniet katra intervāla sākotnējo vienādojumu un apvienojiet iegūtās atbildes.

Tas ir viss! Atlicis tikai viens jautājums: kur iegūt pirmās saknes, kas iegūtas pirmajā solī? Pieņemsim, ka mums ir divas saknes: $ x \u003d 1 $ un $ x \u003d 5 $. Viņi sadalīs skaitļu līniju 3 gabalos:

Skaitliskās ass sadalīšana intervālos, izmantojot punktus

Nu, kādi šeit ir intervāli? Ir skaidrs, ka ir trīs no tiem:

Pa kreisi: $ x \\ lt 1 $ - pati ierīce nav iekļauta intervālā;
Centrālā: $ 1 \\ le x \\ lt 5 $ - šeit vienība ievada intervālu, bet pieci neievadās;
Pa labi: $ x \\ ge 5 $ - pieci ir iekļauti tikai šeit!

Es domāju, ka jūs jau sapratāt modeli. Katrā intervālā ir kreisais gals, bet ne labajā.

No pirmā acu uzmetiena šāds ieraksts var šķist neērti, neloģiski un kopumā kaut kā traki. Bet ticiet man: pēc īsa apmācības sesijas jūs atradīsit, ka tieši šī pieeja ir visuzticamākā un tajā pašā laikā netraucē viennozīmīgi atklāt moduļus. Labāk ir izmantot šādu shēmu, nevis katru reizi domāt: dot pašreizējam intervālam kreiso / labo galu vai “mest” to nākamajam.

Ar to nodarbība tiek noslēgta. Lejupielādējiet uzdevumus neatkarīgam risinājumam, apmāciet, salīdziniet ar atbildēm - un tiekamies nākamajā nodarbībā, kas tiks veltīta nevienlīdzībai ar moduļiem. :)

Viena no studentiem vissarežģītākajām tēmām ir vienādojumu risināšana, kas satur mainīgu lielumu zem moduļa zīmes. Vispirms apskatīsim, ar ko tas ir saistīts? Kāpēc, piemēram, lielākā daļa bērnu noklikšķina uz kvadrātvienādojumiem, piemēram, riekstiem, bet ar tik tālu sarežģītu jēdzienu kā modulis ir tik daudz problēmu?

Manuprāt, visas šīs grūtības ir saistītas ar skaidri formulētu noteikumu neesamību vienādojumu risināšanai ar moduli. Tātad, atrisinot kvadrātvienādojumu, students droši zina, ka viņam vispirms jāpielieto diskriminējošā formula un pēc tam kvadrātiskā vienādojuma sakņu formula. Bet ko darīt, ja vienādojumā parādās modulis? Mēs centīsimies skaidri aprakstīt nepieciešamo rīcības plānu gadījumā, ja vienādojumā zem moduļa zīmes ir nezināms. Katrā gadījumā mēs sniedzam dažus piemērus.

Bet vispirms atcerēsimies moduļa definīcija. Tātad, skaitļa modulis a pats šis numurs tiek saukts, ja a nenegatīvs un -aja numurs a mazāks par nulli. To var uzrakstīt šādi:

| a | \u003d a, ja a ≥ 0 un | a | \u003d -a, ja a< 0

Runājot par moduļa ģeometrisko nozīmi, jāatceras, ka katrs reālais skaitlis atbilst noteiktam skaitļa ass punktam - tā līdz koordinēt Tātad skaitļa absolūto vērtību sauc par attālumu no šī punkta līdz ciparu ass sākumam. Attālumu vienmēr norāda ar pozitīvu skaitli. Tādējādi jebkura negatīva skaitļa modulis ir pozitīvs skaitlis. Starp citu, pat šajā posmā daudzi studenti sāk sajaukt. Modulī var būt jebkurš skaitlis, bet moduļa lietošanas rezultāts vienmēr ir pozitīvs skaitlis.

Tagad mēs pārejam tieši pie vienādojumu risināšanas.

1. Apsveriet formu | x | vienādojumu \u003d c, kur c ir reāls skaitlis. Šo vienādojumu var atrisināt, izmantojot moduļa definīciju.

Visus reālos skaitļus mēs sadalām trīs grupās: tie, kas ir lielāki par nulli, tie, kas ir mazāki par nulli, un trešā grupa ir cipars 0. Risinājumu uzraksta shēmas veidā:

(± c, ja c\u003e 0

Ja | x | \u003d c, tad x \u003d (0, ja c \u003d 0

(bez saknēm, ja ar< 0

1) | x | \u003d 5, jo 5\u003e 0, tad x \u003d ± 5;

2) | x | \u003d -5, jo -5< 0, то уравнение не имеет корней;

3) | x | \u003d 0, tad x \u003d 0.

2. Formas vienādojums | f (x) | \u003d b, kur b\u003e 0. Lai atrisinātu šo vienādojumu, jums ir jāatsakās no moduļa. Mēs to darām šādi: f (x) \u003d b vai f (x) \u003d -b. Tagad ir nepieciešams atsevišķi atrisināt katru iegūto vienādojumu. Ja sākotnējā vienādojumā b< 0, решений не будет.

1) | x + 2 | \u003d 4, jo 4\u003e 0, tad

x + 2 \u003d 4 vai x + 2 \u003d -4

2) | x 2 - 5 | \u003d 11, jo 11\u003e 0, pēc tam

x 2 - 5 \u003d 11 vai x 2 - 5 \u003d -11

x 2 \u003d 16 x 2 \u003d -6

x \u003d ± 4 nav sakņu

3) | x 2 - 5x | \u003d -8, jo -8< 0, то уравнение не имеет корней.

3. Formas vienādojums | f (x) | \u003d g (x). Moduļa izpratnē šādam vienādojumam būs risinājumi, ja tā labā puse ir lielāka vai vienāda ar nulli, t.i. g (x) ≥ 0. Tad mums būs:

f (x) \u003d g (x)vai f (x) \u003d -g (x).

1) | 2x - 1 | \u003d 5x - 10. Šim vienādojumam būs saknes, ja 5x - 10 ≥ 0. Tieši no tā sākas šādu vienādojumu risināšana.

1. O.D.Z. 5x - 10 ≥ 0

2. Risinājums:

2x - 1 \u003d 5x - 10 vai 2x - 1 \u003d - (5x - 10)

3. Apvienot O.D.Z. un risinājumu, mēs iegūstam:

Sakne x \u003d 11/7 neatbilst O.D.Z., tā ir mazāka par 2, un x \u003d 3 atbilst šim nosacījumam.

Atbilde: x \u003d 3

2) | x - 1 | \u003d 1 - x 2.

1. O.D.Z. 1 - x 2 ≥ 0. Atrisināsim doto nevienādību ar intervālu metodi:

(1 - x) (1 + x) ≥ 0

2. Risinājums:

x - 1 \u003d 1 - x 2 vai x - 1 \u003d - (1 - x 2)

x 2 + x - 2 \u003d 0 x 2 - x \u003d 0

x \u003d -2 vai x \u003d 1 x \u003d 0 vai x \u003d 1

3. Apvieno lēmumu un O.D.Z .:

Piemērotas ir tikai saknes x \u003d 1 un x \u003d 0.

Atbilde: x \u003d 0, x \u003d 1.

4. Formas vienādojums | f (x) | \u003d | g (x) |. Šāds vienādojums ir ekvivalents šādiem diviem vienādojumiem: f (x) \u003d g (x) vai f (x) \u003d -g (x).

1) | x 2 - 5x + 7 | \u003d | 2x - 5 |. Šis vienādojums ir ekvivalents šādiem diviem:

x 2 - 5x + 7 \u003d 2x - 5 vai x 2 - 5x +7 \u003d -2x + 5

x 2 - 7x + 12 \u003d 0 x 2 - 3x + 2 \u003d 0

x \u003d 3 vai x \u003d 4 x \u003d 2 vai x \u003d 1

Atbilde: x \u003d 1, x \u003d 2, x \u003d 3, x \u003d 4.

5. Vienādojumi, kas atrisināti ar aizstāšanas metodi (mainīga aizstāšana). Šo risināšanas metodi ir visvieglāk izskaidrot ar konkrētu piemēru. Tātad, dod kvadrātvienādojumu ar moduli:

x 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Pēc moduļa rekvizīta x 2 \u003d | x | Tāpēc vienādojumu var pārrakstīt šādi:

| x | 2 - 6 | x | + 5 \u003d 0. Mēs veicam nomaiņu | x | \u003d t ≥ 0, tad mums būs:

t 2 - 6t + 5 \u003d 0. Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam, ka t \u003d 1 vai t \u003d 5. Atgriezīsimies pie aizstāšanas:

| x | \u003d 1 vai | x | \u003d 5

x \u003d ± 1 x \u003d ± 5

Atbilde: x \u003d -5, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 5.

Apsveriet citu piemēru:

x 2 + | x | - 2 \u003d 0. Pēc moduļa rekvizīta x 2 \u003d | x | 2

| x | 2 + | x | - 2 \u003d 0. Mēs izgatavojam nomaiņu | x | \u003d t ≥ 0, tad:

t 2 + t - 2 \u003d 0. Atrisinot šo vienādojumu, iegūstam t \u003d -2 vai t \u003d 1. Atgriezīsimies pie aizstāšanas:

| x | \u003d -2 vai | x | \u003d 1

Nav sakņu x \u003d ± 1

Atbilde: x \u003d -1, x \u003d 1.

6. Cits vienādojumu veids ir vienādojums ar “kompleksu” moduli. Pie šādiem vienādojumiem pieder vienādojumi, kuros ir “moduļi modulī”. Šāda veida vienādojumus var atrisināt, izmantojot moduļa īpašības.

1) | 3 - | x || \u003d 4. Mēs darbosimies tāpat kā otrā tipa vienādojumos. Jo 4\u003e 0, tad iegūstam divus vienādojumus:

3 - | x | \u003d 4 vai 3 - | x | \u003d -4.

Tagad mēs izsaka moduli x katrā vienādojumā, tad | x | \u003d -1 vai | x | \u003d 7.

Mēs atrisinām katru iegūto vienādojumu. Pirmajā vienādojumā nav saknes, jo -1< 0, а во втором x = ±7.

Atbilde ir x \u003d -7, x \u003d 7.

2) | 3 + | x + 1 || \u003d 5. Mēs atrisinām šo vienādojumu tādā pašā veidā:

3 + | x + 1 | \u003d 5 vai 3 + | x + 1 | \u003d -5

| x + 1 | \u003d 2 | x + 1 | \u003d -8

x + 1 \u003d 2 vai x + 1 \u003d -2. Nav sakņu.

Atbilde: x \u003d -3, x \u003d 1.

Ir arī universāla metode vienādojumu risināšanai ar moduli. Šī ir intervāla metode. Bet mēs to apsvērsim nākotnē.

vietne blog.site ar pilnīgu vai daļēju materiāla kopēšanu ir nepieciešama atsauce uz avotu.

Moduļa numurs a Vai ir attālums no sākuma līdz punktam A(a) .

Lai saprastu šo definīciju, aizvietojiet mainīgo a jebkuru numuru, piemēram, 3, un lasiet to vēlreiz:

3. modulis ir attālums no sākuma līdz punktam A(3 ).

Tas ir, modulis ir nekas cits kā parasts attālums. Mēģināsim redzēt attālumu no sākuma līdz punktam A(3)

Attālums no sākuma līdz punktam A(3) ir 3 (trīs vienības vai trīs soļi).

Cipara moduli norāda, piemēram, divas vertikālas līnijas:

Skaitļa 3 modulis tiek apzīmēts šādi: | 3 |

Skaitļa 4 modulis tiek apzīmēts šādi: | 4 |

Skaitļa 5 modulis tiek apzīmēts šādi: | 5 |

Mēs meklējām moduli 3 un secinājām, ka tas ir 3. Tātad mēs rakstām:

|3| = 3

Lasīt patīk "Trīs modulis ir vienāds ar trim"

Tagad mēģiniet atrast moduli −3. Atkal mēs atgriežamies pie definīcijas un tajā aizstājam skaitli −3. Tikai punkta vietā A izmanto jaunu punktu B . Punkts A mēs jau izmantojām pirmajā piemērā.

Skaitļa −3 modulis ir attālums no sākuma līdz punktam B(−3 ).

Attālums no viena punkta līdz otram nevar būt negatīvs. Modulis ir arī attālums, tāpēc arī nevar būt negatīvs.

Modulis −3 ir 3. Attālums no sākuma līdz punktam B(−3) ir vienāds ar trim vienībām:

|−3| = 3

Lasīt patīk “Skaitļa mīnus trīs modulis ir trīs”

Skaitļa 0 modulis ir 0, jo punkts ar koordinātu 0 sakrīt ar sākumu. Tas ir, attālums no sākuma līdz punktam O(0) ir nulle:

|0| = 0

“Nulles modulis ir nulle”

Mēs izdarām secinājumus:

Skaitļa modulis nedrīkst būt negatīvs;
Pozitīvam skaitlim un nullei modulis ir vienāds ar pašu skaitli, bet negatīvam - pretējs skaitlis;
Pretējiem skaitļiem ir vienādi moduļi.

Pretēji skaitļi

Tiek saukti cipari, kas atšķiras tikai ar zīmēm pretī.

Piemēram, cipari −2 un 2 ir pretēji. Viņi atšķiras tikai ar zīmēm. Skaitlim -2 ir mīnusa zīme, un ciparam 2 ir plus zīme, bet mēs to neredzam, jo \u200b\u200bplus, kā minēts iepriekš, nav pierakstīts.

Vairāk pretēju skaitļu piemēri:

−1 un 1

−3 un 3

−5 un 5

−9 un 9

Pretējiem skaitļiem ir vienādi moduļi. Piemēram, mēs atrodam skaitļu −3 un 3 moduļus

| −3 | un | 3 |

3 = 3

Attēlā redzams, ka attālums no sākuma līdz punktiem A(−3) un B(3) vienādi ar diviem soļiem.

Vai jums patīk nodarbība?
Pievienojieties mūsu jaunajai VKontakte grupai un sāciet saņemt paziņojumus par jaunām nodarbībām

Šodien, draugi, nebūs puņķu un sentimenta. Viņu vietā es bez papildu jautājumiem nosūtīšu jūs cīņā ar vienu no visspēcīgākajiem pretiniekiem 8. – 9. Klases algebra laikā.

Jā, jūs visu pareizi sapratāt: mēs runājam par moduļa nevienlīdzību. Mēs apsvērsim četras pamatmetodes, ar kuru palīdzību jūs iemācīsities atrisināt apmēram 90% no šādām problēmām. Kā būs ar atlikušajiem 10%? Nu, mēs par tiem runāsim atsevišķā nodarbībā. :)

Pirms izjaukt tur esošos trikus, es tomēr gribētu atgādināt divus faktus, kas jums jau jāzina. Pretējā gadījumā jūs riskējat vispār nesaprast šodienas nodarbības materiālu.

Kas jums jau jāzina

Kapteiņa pierādījumi it kā norāda, ka, lai atrisinātu nevienlīdzību modulī, ir jāzina divas lietas:

Kā tiek risināta nevienlīdzība;
Kas ir modulis.

Sāksim ar otro punktu.

Moduļa definīcija

Šeit viss ir vienkārši. Ir divas definīcijas: algebriskā un grafiskā. Iesācējiem - algebriski:

Definīcija Skaitļa $ x $ modulis ir vai nu pats šis skaitlis, ja tas nav negatīvs, vai skaitlis, kas ir pretējs tam, ja sākotnējais $ x $ joprojām ir negatīvs.

Tas ir rakstīts šādi:

\\ [\\ pa kreisi | x \\ pa labi | \u003d \\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & x, \\ x \\ ge 0, \\\\ & -x, \\ x \\ lt 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Vienkārši izsakoties, modulis ir "skaitlis bez mīnusa". Un tieši šajā divējādībā (kaut kur ar oriģinālo numuru jums nekas nav jādara, bet kaut kur jums ir jānoņem daži mīnusi) ir visas grūtības iesācējiem studentiem.

Ir arī ģeometriskā definīcija. Ir arī noderīgi to zināt, taču mēs to atsauksimies tikai sarežģītos un dažos īpašos gadījumos, kad ģeometriskā pieeja ir ērtāka nekā algebriskā (spoileris: ne šodien).

Definīcija Ļaujiet punktam $ a $ tikt atzīmētam uz ciparu līnijas. Tad modulis $ \\ pa kreisi | x-a \\ pa labi | $ ir attālums no punkta x x $ līdz punktam $ a $ šajā rindā.

Ja jūs zīmējat attēlu, jūs iegūstat kaut ko līdzīgu:

Moduļa grafiskā definīcija

Vienā vai otrā veidā atslēgas īpašība uzreiz izriet no moduļa definīcijas: cipara modulis vienmēr ir negatīva vērtība. Šis fakts būs sarkans pavediens, kas ļaus iziet visu mūsu šodienas stāstu.

Nevienlīdzību risinājums. Intervāla metode

Tagad mēs tiksim galā ar nevienlīdzību. To ir ļoti daudz, bet mūsu uzdevums tagad ir spēt atrisināt vismaz vienkāršāko no tiem. Tie, kas samazina līdz lineārajai nevienlīdzībai, kā arī ar intervāla metodi.

Man ir divas lieliskas nodarbības par šo tēmu (cita starpā ļoti, ĻOTI noderīgas - iesaku jums izpētīt):

Intervālu metode nevienādībām (īpaši skatīties video);
Frakcionētā racionālā nevienlīdzība ir ļoti apjomīga nodarbība, taču pēc tās jums vairs nebūs nekādu jautājumu.

Ja jūs to visu zināt, ja frāze “mēs pārejam no nevienlīdzības uz vienādojumu” neizraisa neskaidru vēlmi nogalināt sevi pret sienu, tad jūs esat gatavs: laipni lūdzam ellē nokļūt līdz stundas galvenajai tēmai. :)

1. Formas “Modulis ir mazāks par funkciju” nevienādības

Šis ir viens no visizplatītākajiem moduļu uzdevumiem. Ir jāatrisina formas nevienādība:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ lt g \\]

Funkcijas $ f $ un $ g $ var būt jebkas, bet parasti tās ir polinomi. Šādas nevienlīdzības piemēri:

Visi no tiem tiek atrisināti burtiski vienā rindā saskaņā ar shēmu:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ lt g \\ Rightarrow -g \\ lt f \\ lt g \\ quad \\ left (\\ Rightarrow \\ left \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & f \\ lt g, \\\\ & f \\ gt -g \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ labi. \\ labi) \\]

Ir viegli redzēt, ka mēs atbrīvojamies no moduļa, bet pretī mēs iegūstam divkāršu nevienlīdzību (vai, kas ir viena un tā pati, divu nevienādību sistēma). Bet šajā pārejā tiek ņemtas vērā absolūti visas iespējamās problēmas: ja skaitlis zem moduļa ir pozitīvs, metode darbojas; ja negatīvs, tas joprojām darbojas; un pat ar visneatbilstošāko funkciju $ f $ vai $ g $ vietā, metode joprojām darbosies.

Protams, rodas jautājums: vai nav vieglāk? Diemžēl jūs nevarat. Šī ir visa moduļa mikroshēma.

Tomēr pārtrauciet filozofēt. Atrisināsim pāris problēmas:

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\\ [\\ pa kreisi | 2x + 3 \\ pa labi | \\ lt x + 7 \\]

Risinājums. Tātad, pirms mums ir klasiska formas “modulis ir mazāks” nevienlīdzība - nekas nav pat pārveidojams. Mēs strādājam pēc algoritma:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ lt g \\ Rightarrow -g \\ lt f \\ lt g; \\\\ & \\ pa kreisi | 2x + 3 \\ pa labi | \\ lt x + 7 \\ labā bultiņa - \\ pa kreisi (x + 7 \\ pa labi) \\ lt 2x + 3 \\ lt x + 7 \\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Nesteidzieties atvērt kronšteinus, pirms kuriem ir “mīnus”: ir pilnīgi iespējams, ka steigas dēļ jūs pieļausit aizskarošu kļūdu.

\\ [- x-7 \\ lt 2x + 3 \\ lt x + 7 \\]

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & -x-7 \\ lt 2x + 3 \\\\ un 2x + 3 \\ lt x + 7 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & -3x \\ lt 10 \\\\ & x \\ lt 4 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & x \\ gt - \\ frac (10) (3) \\\\ & x \\ lt 4 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Problēma tika samazināta līdz divām elementārām nevienādībām. Atzīmējiet to risinājumus paralēlās skaitļu rindās:
Komplektu krustojums
Šo kopu krustojums būs atbilde.

Atbilde: $ x \\ in \\ left (- \\ frac (10) (3); 4 \\ right) $

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ pa labi | +3 \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \\ lt 0 \\]

Risinājums. Šis uzdevums jau ir nedaudz sarežģītāks. Pirmkārt, mēs izolēsim moduli, pārvietojot otro terminu pa labi:

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ pa labi | \\ lt -3 \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \\]

Acīmredzot mēs atkal saskaramies ar formas “modulis ir mazāks” nevienlīdzību, tāpēc mēs atbrīvojamies no moduļa saskaņā ar jau zināmo algoritmu:

\\ [- \\ pa kreisi (-3 \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \\ pa labi) \\ lt ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ lt -3 \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \\]

Tagad uzmanība: kāds teiks, ka esmu mazliet izvirtulis ar visām šīm iekavām. Bet ļaujiet man jums vēlreiz atgādināt, ka mūsu galvenais mērķis ir kompetenti risināt nevienlīdzību un saņemt atbildi. Vēlāk, kad lieliski apgūsi visu, kas aprakstīts šajā nodarbībā, tu vari sevi sagrozīt, kā vēlies: atvērt iekavas, pievienot mīnusus utt.

Un iesācējiem mēs vienkārši atbrīvojamies no dubultā mīnusa kreisajā pusē:

\\ [- \\ pa kreisi (-3 \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \\ pa labi) \u003d \\ pa kreisi (-1 \\ pa labi) \\ cdot \\ pa kreisi (-3 \\ pa labi) \\ cdot \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \u003d 3 \\ pa kreisi (x + 1 \\ pa labi) \\]

Tagad mēs atveram visas dubultās nevienlīdzības iekavās:

Mēs vēršamies pie dubultās nevienlīdzības. Šoreiz aprēķini būs nopietnāki:

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ lt -3x-3 \\\\ & 3x + 3 \\ lt ((x) ^ (2)) + 2x -3 \\\\ \\ beigas (izlīdzināšana) \\ pa labi. \\]

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) + 5x \\ lt 0 \\\\ & ((x) ^ (2)) - x-6 \\ gt 0 \\\\ \\ beigas ( izlīdzināt) \\ labi. \\]

Abas nevienādības ir kvadrātiskas un tiek atrisinātas ar intervāla metodi (tieši tāpēc es saku: ja jūs nezināt, kas tas ir, labāk pagaidām nemeklēt moduļus). Pirmajā nevienādībā mēs pārejam uz vienādojumu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) + 5x \u003d 0; \\\\ & x \\ pa kreisi (x + 5 \\ pa labi) \u003d 0; \\\\ & ((x) _ (1)) \u003d 0; ((x) _ (2)) \u003d - 5. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Kā redzat, izeja ir nepilnīgs kvadrātvienādojums, kas tiek atrisināts elementāri. Tagad mēs tiksim galā ar otro sistēmas nevienlīdzību. Tur jums jāpiemēro Vietas teorēma:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) - x-6 \u003d 0; \\\\ & \\ pa kreisi (x-3 \\ pa labi) \\ pa kreisi (x + 2 \\ pa labi) \u003d 0; \\\\ & ((x) _ (1)) \u003d 3; ((x) _ (2)) \u003d - 2. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Iegūtos skaitļus mēs atzīmējam divās paralēlās līnijās (atsevišķi pirmajai nevienādībai un otrajai atsevišķi):
Atkal, tā kā mēs risinām nevienādību sistēmu, mūs interesē iekrāsoto kopu krustojums: $ x \\ in \\ left (-5; -2 \\ right) $. Tā ir atbilde.
Atbilde: $ x \\ in \\ left (-5; -2 \\ right) $

Es domāju, ka pēc šiem piemēriem risinājumu shēma ir ļoti skaidra:

Atdaliet moduli, pārceļot visus pārējos terminus uz nevienādības pretējo pusi. Tādējādi iegūstam formas $ \\ left | nevienlīdzību f \\ pa labi | \\ lt g $.
Atrisiniet šo nevienlīdzību, atbrīvojoties no moduļa, kā aprakstīts iepriekš. Kādā brīdī būs jāpāriet no divkāršās nevienlīdzības uz divu neatkarīgu izteiksmju sistēmu, kuru katru var jau atrisināt atsevišķi.
Visbeidzot, atliek tikai šķērsot šo divu neatkarīgo izteicienu risinājumus - un tas ir, mēs iegūstam galīgo atbildi.

Līdzīgs algoritms pastāv šāda veida nevienādībām, ja modulis ir lielāks par funkciju. Tomēr ir pāris nopietni gadījumi. Par šiem “buts” mēs runāsim tagad.

2. Veidlapas “Modulis ir vairāk nekā funkcija” nevienādības

Viņi izskatās šādi:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ gt g]

Izklausās pēc iepriekšējās? Izskatās. Neskatoties uz to, šādas problēmas tiek risinātas pavisam savādāk. Formāli shēma ir šāda:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ gt g \\ Rightarrow \\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & f \\ gt g, \\\\ & f \\ lt -g \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Citiem vārdiem sakot, mēs uzskatām divus gadījumus:

Pirmkārt, mēs vienkārši ignorējam moduli - mēs atrisinām parasto nevienlīdzību;
Tad būtībā mēs atveram moduli ar mīnusa zīmi, un tad mēs reizinām abas nevienlīdzības puses ar −1, un man ir zīme.

Šajā gadījumā opcijas vieno kvadrātiekava, t.i. pirms mums ir divu prasību kombinācija.

Lūdzu, vēlreiz ņemiet vērā: tāpēc mēs nenodarbojamies ar sistēmu, bet gan ar kopumu atbildē komplekti ir apvienoti, nevis sakrustoti. Tā ir būtiska atšķirība no iepriekšējā punkta!

Kopumā ar daudzu studentu savienībām un krustojumiem ir daudz neskaidrību, tāpēc izdomāsim to reizi par visām reizēm:

“∪” ir asociācijas pazīme. Faktiski tas ir stilizēts burts “U”, kas nāca pie mums no angļu valodas un ir saīsinājums no “Union”, t.i. "Asociācija".
“∩” ir krustojuma zīme. Šis crap nenāca no jebkuras vietas, bet vienkārši radās kā pretstats "∪".

Lai padarītu to vēl vieglāk atcerēties, šīm zīmēm vienkārši pievienojiet kājas, lai izgatavotu brilles (jums vienkārši nevajag mani pārmest narkotiku atkarības un alkoholisma veicināšanā: ja jūs nopietni studējat šo nodarbību, jūs jau esat atkarīgais):

Atšķirība starp kopu krustošanos un savienību

Tulkojumā krievu valodā tas nozīmē sekojošo: savienībā (kopumā) ietilpst elementi no abām kopām, tātad ne mazāk kā katrs no tiem; bet krustojums (sistēma) ietver tikai tos elementus, kas vienlaikus ir gan pirmajā, gan otrajā. Tāpēc kopu krustošanās nekad nav nekas vairāk kā avotu kopas.

Tātad tas kļuva skaidrāks? Tas ir lieliski. Pāriesim pie prakses.

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\\ [\\ pa kreisi | 3x + 1 \\ pa labi | \\ gt 5-4x \\]

Risinājums. Mēs rīkojamies pēc shēmas:

\\ [\\ pa kreisi | 3x + 1 \\ pa labi | \\ gt 5-4x \\ labā bultiņa \\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) un 3x + 1 \\ gt 5-4x \\\\ un 3x + 1 \\ lt - \\ pa kreisi (5-4x \\ pa labi) \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ Mēs atrisinām katru nevienlīdzību kopumā:

\\ [\\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) un 3x + 4x \\ gt 5-1 \\\\ un 3x-4x \\ lt -5-1 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

\\ [\\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) un 7x \\ gt 4 \\\\ & -x \\ lt -6 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

\\ [\\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & x \\ gt 4/7 \\ \\\\ & x \\ gt 6 \\\\ \\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\]

Katru iegūto komplektu mēs atzīmējam ar ciparu līniju un pēc tam tos apvieno:

Komplektu savienība
Acīmredzot atbilde ir $ x \\ in \\ left (\\ frac (4) (7); + \\ infty \\ right) $
Atbilde: $ x \\ in \\ left (\\ frac (4) (7); + \\ infty \\ right) $

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ pa labi | \\ gt x \\]

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

Risinājums. Nu ko? Nekas - tas pats. Mēs pārejam no nevienlīdzības ar moduli uz divu nevienādību kombināciju:

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ pa labi | \\ gt x \\ labā bultiņa \\ pa kreisi [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ gt x \\\\ & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ lt -x \\\\\\ beigas (izlīdzināšana) \\ pa labi. \\]

Mēs risinām katru nevienlīdzību. Diemžēl saknes tur nebūs ļoti labas:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ gt x; \\\\ & ((x) ^ (2)) + x-3 \\ gt 0; \\\\ & D \u003d 1 + 12 \u003d 13; \\\\ & x \u003d \\ frac (-1 \\ pm \\ sqrt (13)) (2). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Otrajā nevienlīdzībā ir arī nedaudz spēles:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((x) ^ (2)) + 2x-3 \\ lt -x; \\\\ & ((x) ^ (2)) + 3x-3 \\ lt 0; \\\\ & D \u003d 9 + 12 \u003d 21; \\\\ & x \u003d \\ frac (-3 \\ pm \\ sqrt (21)) (2). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

{!LANG-a9f2bb3ac909cbd93857fabbf5751c37!}

Tagad jums ir jāiezīmē šie skaitļi uz divām asīm - pa vienai asij katrai nevienādībai. Tomēr punkti jāatzīmē pareizā secībā: jo lielāks skaitlis, jo tālāk punkts nobīdās pa labi.

Un šeit mēs gaidām iestatīšanu. Ja ar cipariem $ \\ frac (-3- \\ sqrt (21)) (2) \\ lt \\ frac (-1- \\ sqrt (13)) (2) $ viss ir skaidrs (pirmās frakcijas skaitītājā vārdi ir mazāki par otrā skaitītāja noteikumiem) , tātad arī summa ir mazāka), ar skaitļiem $ \\ frac (-3- \\ sqrt (13)) (2) \\ lt \\ frac (-1+ \\ sqrt (21)) (2) $ arī grūtības nebūs (pozitīvs skaitlis acīmredzami negatīvāks), bet ar pēdējo pāri viss nav tik viennozīmīgi. Vēl vairāk: $ \\ frac (-3+ \\ sqrt (21)) (2) $ vai $ \\ frac (-1+ \\ sqrt (13)) (2) $? Atbilde uz šo jautājumu būs atkarīga no punktu izvietojuma ciparu rindās un faktiski no atbildes.

Tāpēc salīdzināsim:

\\ [\\ sākums (matrica) \\ frac (-1+ \\ sqrt (13)) (2) \\ vee \\ frac (-3+ \\ sqrt (21)) (2) \\\\ -1+ \\ sqrt (13) \\ Mēs samierinājām sakni, ieguvām nenegatīvus skaitļus nevienlīdzības abās pusēs, tāpēc mums ir tiesības abas puses apzīmēt:

\\ [\\ sākt (matrica) ((\\ pa kreisi (2+ \\ sqrt (13) \\ pa labi)) ^ (2)) \\ vee ((\\ pa kreisi (\\ sqrt (21) \\ pa labi)) ^ (2)) \\ Es uzskatu, ka ezis ir saprotams, ka 4 USD / sqrt (13) \\ gt 3 $, tāpēc $ \\ frac (-1+ \\ sqrt (13)) (2) \\ gt \\ frac (-3+ \\ sqrt (21)) (2) USD, visbeidzot, punkti asīm tiks novietoti šādi:

Neglītu sakņu gadījums

Atgādināšu, ka mēs risinām kopumu, tāpēc atbilde būs savienība, nevis ēnoto kopu krustojums.
Atbilde: $ x \\ in \\ left (- \\ infty; \\ frac (-3+ \\ sqrt (21)) (2) \\ right) \\ bigcup \\ left (\\ frac (-1+ \\ sqrt (13)) (2 ); + \\ infty \\ right) $
Kā redzat, mūsu shēma lieliski darbojas gan vienkāršos, gan ļoti sarežģītos uzdevumos. Vienīgais "vājais punkts" šajā pieejā ir pareizi salīdzināt iracionālos skaitļus (un ticiet man: tie nav tikai saknes). Bet salīdzināšanas jautājumiem tiks veltīta atsevišķa (un ļoti nopietna nodarbība). Un mēs ejam tālāk.

3. Nevienlīdzība ar nenegatīvām “astēm”

Tā mēs nonācām pie visinteresantākā. Tās ir formas nevienādības:

\\ [\\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ gt \\ pa kreisi | g \\ pa labi | \\]

Vispārīgi runājot, algoritms, par kuru mēs runāsim, ir taisnība tikai modulim. Tas darbojas visās nevienādībās, kur negaidīti izteicieni tiek garantēti pa kreisi un pa labi:

Ko darīt ar šiem uzdevumiem? Tikai atceraties:

Nevienlīdzībā ar “negatīvām“ astēm ”abas daļas var tikt paaugstinātas līdz dabiskai pakāpei. Papildu ierobežojumi neradīsies.

{!LANG-736bdfa8157a4b2b7753dd4e75d92466!}

{!LANG-738a1abf50462f541322a0c1ea1b85b2!}

Pirmkārt, mēs būsim ieinteresēti kvadrātā - tas sadedzina moduļus un saknes:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi (\\ pa kreisi | f \\ pa labi | \\ pa labi)) ^ (2)) \u003d ((f) ^ (2)); \\\\ & ((\\ pa kreisi (\\ sqrt (f) \\ pa labi)) ^ (2)) \u003d f. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Nejauciet to ar saknes iegūšanu no laukuma:

\\ [\\ sqrt (((f) ^ (2))) \u003d \u003d pa kreisi | f \\ pa labi | \\ ne f \\]

Tajā laikā, kad students aizmirsa instalēt moduli, tika pieļautas neskaitāmas kļūdas! Bet tas ir pilnīgi atšķirīgs stāsts (tie it kā ir neracionāli vienādojumi), tāpēc mēs tajā neiedziļināsimies. Labāk atrisināsim pāris problēmas:

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\\ [\\ pa kreisi | x + 2 \\ pa labi | \\ ge \\ pa kreisi | 1-2x \\ pa labi | \\]

Risinājums. Vienkārši pamaniet divas lietas:

Tā ir neviennozīmīga nevienlīdzība. Punkti uz ciparu līnijas tiks pārdurti.

Abas nevienlīdzības puses acīmredzami nav negatīvas (šis moduļa īpašums: $ \\ left | f \\ left (x \\ right) \\ right | \\ ge 0 $).

Tāpēc, lai atbrīvotos no moduļa un atrisinātu problēmu ar parasto intervāla metodi, mēs varam kvadrātā abas nevienlīdzības puses:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi (\\ pa kreisi | x + 2 \\ pa labi | \\ pa labi)) ^ (2)) \\ ge ((pa kreisi (\\ pa kreisi | 1-2 | \\ pa labi | \\ pa labi) ) ^ (2)); \\\\ & ((\\ pa kreisi (x + 2 \\ pa labi)) ^ (2)) \\ ge ((\\ pa kreisi (2x-1 \\ pa labi)) ^ (2)). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Pēdējā posmā es nedaudz apkrāpjos: mainīju terminu secību, izmantojot moduļa paritāti (patiesībā es reizināju izteiksmi $ 1-2x $ ar −1).

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi (2x-1 \\ pa labi)) ^ (2)) - ((\\ pa kreisi (x + 2 \\ pa labi)) ^ (2)) \\ le 0; \\\\ & \\ pa kreisi (\\ pa kreisi (2x-1 \\ pa labi) - \\ pa kreisi (x + 2 \\ pa labi) \\ pa labi) \\ cdot \\ pa kreisi (\\ pa kreisi (2x-1 \\ pa labi) + \\ pa kreisi (x + 2 \\ \\\\ & \\ pa kreisi (2x-1-x-2 \\ pa labi) \\ cdot \\ pa kreisi (2x-1 + x + 2 \\ pa labi) \\ le 0; \\\\ & \\ pa kreisi (x-3 \\ pa labi) \\ cdot \\ pa kreisi (3x + 1 \\ pa labi) \\ le 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Mēs risinām pēc intervāla metodes. Mēs pārnesam no nevienādības uz vienādojumu:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi (x-3 \\ pa labi) \\ pa kreisi (3x + 1 \\ pa labi) \u003d 0; \\\\ & ((x) _ (1)) \u003d 3; ((x) _ (2)) \u003d - \\ frac (1) (3). \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Mēs atzīmējam atrastās saknes ciparu rindā. Vēlreiz: visi punkti ir aizpildīti, jo sākotnējā nevienlīdzība nav stingra!
Atbrīvošanās no moduļa zīmes
Ļaujiet man jums atgādināt tiem, kuri ir īpaši piesardzīgi: mēs ņemam zīmes no pēdējās nevienlīdzības, kas tika uzrakstīta pirms pāriešanas uz vienādojumu. Un krāsojiet laukumus, kas nepieciešami tajā pašā nevienlīdzībā. Mūsu gadījumā tas ir $ \\ left (x-3 \\ right) \\ left (3x + 1 \\ right) \\ le 0 $.

Nu, tas arī viss. Problēma ir atrisināta.

Atbilde: $ x \\ in \\ left [- \\ frac (1) (3); 3 \\ right] $.

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\\ [\\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + x + 1 \\ pa labi | \\ le \\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \\ pa labi | \\]

Risinājums. Mēs rīkojamies tāpat. Nekomentēšu - vienkārši apskatiet darbību secību.

Laukums:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi (\\ pa kreisi | ((x) ^ (2)) + x + 1 \\ pa labi | \\ pa labi)) ^ (2)) \\ le ((\\ pa kreisi (\\ pa kreisi) | ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \\ pa labi | \\ pa labi)) ^ (2)); \\\\ & ((\\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + x + 1 \\ pa labi)) ^ (2)) \\ le ((\\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + 3x + 4) \\ labā)) ^ (2)); \\\\ & ((\\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + x + 1 \\ pa labi)) ^ (2)) - ((\\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + 3x + 4 \\ \\\\ & \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + x + 1 - ((x) ^ (2)) - 3x-4 \\ pa labi) \\ reizes \\\\ & \\ reizes \\ pa kreisi (((x) ^ (2)) + x + 1 + ((x) ^ (2)) + 3x + 4 \\ pa labi) \\ le 0; \\\\ & \\ pa kreisi (-2x-3 \\ pa labi) \\ pa kreisi (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ pa labi) \\ le 0. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Intervāla metode:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & \\ pa kreisi (-2x-3 \\ pa labi) \\ pa kreisi (2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ pa labi) \u003d 0 \\\\ & -2x-3 \u003d 0 \\ \\\\ & 2 ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \u003d 0 \\ Rightarrow D \u003d 16-40 \\ lt 0 \\ Rightarrow \\ lanothing. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Tikai viena sakne ciparu rindā:
Atbilde ir vesels intervāls
Atbilde: $ x \\ in \\ left [-1,5; + \\ infty \\ right) $.

Neliela piezīme par pēdējo uzdevumu. Kā precīzi atzīmēja viens no maniem studentiem, abi submodulārie izteikumi šajā nevienlīdzībā noteikti ir pozitīvi, tāpēc moduļa zīmi var izlaist, nekaitējot veselībai.

Bet tas ir pilnīgi atšķirīgs pārdomu līmenis un atšķirīga pieeja - to nosacīti var saukt par seku metodi. Par viņu - atsevišķā nodarbībā. Tagad pāriesim pie šodienas stundas pēdējās daļas un apsvērsim universālu algoritmu, kas vienmēr darbojas. Pat tad, kad visas iepriekšējās pieejas bija bezspēcīgas. :)

4. Iespēju uzskaitīšanas metode

Bet ko darīt, ja visi šie triki nepalīdz? Ja nevienlīdzību nesamazina līdz negatīvām astēm, ja moduli nevar nodalīt, ja vispār sāpju-bēdu-melanholijas dēļ?

Tad skatuves vietā nonāk visas matemātikas “smagā artilērija” - brutālā spēka metode. Attiecībā uz moduļa nevienlīdzību tas izskatās šādi:

Izrakstiet visas submodulārās izteiksmes un pielīdziniet tām nullei;
Atrisiniet iegūtos vienādojumus un atzīmējiet atrastās saknes uz vienas ciparu līnijas;
Līnija sadalīsies vairākās sadaļās, kurās katram modulim ir fiksēta zīme un tāpēc unikāli atveras;
Atrisiniet nevienlīdzību katrā šādā sadaļā (uzticamībai atsevišķi varam apsvērt 2. punktā iegūtās robežas saknes). Apvieno rezultātus - tā būs atbilde. :)

Kā? Vāja? Vienkārši! Tikai uz ilgu laiku. Redzēsim praksē:

Izaicinājums. Atrisiniet nevienlīdzību:

\\ [\\ pa kreisi | x + 2 \\ pa labi | \\ lt \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | + x- \\ frac (3) (2) \\]

Risinājums. Šis crap nav samazināts līdz formas $ \\ left | nevienādībām f \\ pa labi | \\ lt g $, $ \\ palikuši | f \\ pa labi | \\ gt g $ vai $ \\ palikuši | f \\ pa labi | \\ lt \\ pa kreisi | g \\ taisnība | $, tāpēc mēs ejam uz priekšu.

Mēs izrakstam submodulāras izteiksmes, pielīdzinām tās nullei un atrodam saknes:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & x + 2 \u003d 0 \\ labā bulta x \u003d -2; \\\\ & x-1 \u003d 0 \\ labā bulta x \u003d 1. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Kopumā mums ir divas saknes, kas skaitļa līniju sadala trīs daļās, no kurām katra modulis ir nepārprotami atklāts:
Ciparu līnijas dalīšana pa submoduļu funkciju nullēm
Apsvērsim katru vietni atsevišķi.

1. Ļaujiet $ x \\ lt -2 $. Tad abi submodulārie izteicieni ir negatīvi, un sākotnējo nevienlīdzību pārraksta šādi:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & - \\ pa kreisi (x + 2 \\ pa labi) \\ lt - \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi) + x-1,5 \\\\ un -x-2 \\ lt -x + 1 + x-1,5 \\\\ & x \\ gt 1,5 \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Ieguva diezgan vienkāršu ierobežojumu. Mēs to šķērsojam ar sākotnējo pieņēmumu, ka $ x \\ lt -2 $:

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & x \\ lt -2 \\\\ & x \\ g 1,5, \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\ Rightarrow x \\ in \\ varnothing \\]

Acīmredzot mainīgais $ x $ vienlaikus nevar būt mazāks par −2, bet lielāks par 1,5. Šajā jomā nav risinājumu.

1.1. Robežgadījumu mēs aplūkojam atsevišķi: $ x \u003d -2 $. Vienkārši aizstājiet šo numuru ar sākotnējo nevienlīdzību un pārbaudiet: vai tas ir apmierināts?

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi. \\ pa kreisi | x + 2 \\ pa labi | \\ lt \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | + x-1,5 \\ pa labi |) _ (x \u003d -2) ) \\\\ & 0 \\ lt \\ pa kreisi | -3 \\ labā | -2-1,5; \\\\ & 0 \\ lt 3-3,5; \\\\ & 0 \\ lt -0.5 \\ labā bultiņa \\ neko. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Acīmredzot aprēķinu ķēde mūs ir novedusi pie kļūdainas nevienlīdzības. Tāpēc arī sākotnējā nevienlīdzība ir nepatiesa, un atbildē nav iekļauta $ x \u003d -2 $.

2. Tagad ļaujiet $ -2 \\ lt x \\ lt 1 $. Kreisais modulis jau tiks atvērts ar plusu, bet labais joprojām ir ar mīnusu. Mums ir:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & x + 2 \\ lt - \\ pa kreisi (x-1 \\ pa labi) + x-1,5 \\\\ un x + 2 \\ lt -x + 1 + x-1,5 \\\\ & x \\ lt -2,5 \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Atkal šķērsojiet sākotnējo prasību:

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & x \\ lt -2.5 \\\\ & -2 \\ lt x \\ lt 1 \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\ Rightarrow x \\ in \\ varnothing \\]

Un atkal - tukšs risinājumu kopums, jo nav neviena skaitļa, kas vienlaikus būtu mazāki par –2,5, bet lielāki par –2.

2.1. Un atkal īpašs gadījums: $ x \u003d 1 $. Sākotnējā nevienlīdzība tiek aizstāta ar:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & ((\\ pa kreisi. \\ pa kreisi | x + 2 \\ pa labi | \\ lt \\ pa kreisi | x-1 \\ pa labi | + x-1,5 \\ pa labi |) _ (x \u003d 1)) \\\\ & \\ pa kreisi | 3 \\ pa labi | \\ lt \\ pa kreisi | 0 \\ labā | + 1-1,5; \\\\ & 3 \\ lt -0,5; \\\\ & 3 \\ lt -0.5 \\ labā bultiņa \\ neko. \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\]

Līdzīgi kā iepriekšējais “īpašais gadījums”, skaitlis $ x \u003d 1 $ acīmredzami nav iekļauts atbildē.

3. Pēdējais līnijas gabals: $ x \\ gt 1 $. Šeit visi moduļi tiek atvērti ar plus zīmi:

\\ [\\ sākt (izlīdzināt) & x + 2 \\ lt x-1 + x-1,5 \\\\ & x + 2 \\ lt x-1 + x-1,5 \\\\ & x \\ gt 4,5 \\\\ Un atkal mēs šķērsojam atrasto komplektu ar sākotnējo ierobežojumu:

{!LANG-1b2875f98b76a7486bd8a6f9905e5750!}

\\ [\\ pa kreisi \\ (\\ sākt (izlīdzināt) & x \\ gt 4,5 \\\\ & x \\ gt 1 \\\\\\ beigas (izlīdzināt) \\ pa labi. \\ labo bulttaustiņu x \\ pa kreisi (4,5; + \\ infty \\ pa labi) \\]

Nu beidzot! Mēs atradām intervālu, kas būs atbilde.

Atbilde: $ x \\ in \\ left (4,5; + \\ infty \\ right) $

Noslēgumā - viena piezīme, kas var glābt jūs no muļķīgām kļūdām, risinot reālas problēmas:

Nevienlīdzību risinājumi ar moduļiem parasti ir nepārtrauktas kopas ciparu rindā - intervāli un segmenti. Izolēti punkti ir daudz retāk. Un vēl retāk gadās, ka risinājuma robežas (segmenta beigas) sakrīt ar aplūkojamā diapazona robežu.

Tāpēc, ja atbildē nav iekļautas robežas (ļoti “īpašie gadījumi”), tad atbildēs gandrīz noteikti netiks iekļauti reģioni pa kreisi un pa labi no šīm robežām. Un otrādi: robeža ir parādījusies kā atbilde - tas nozīmē, ka atbildes uz dažiem apgabaliem ap to arī atbildēs.

Paturiet to prātā, pārbaudot savus lēmumus.

Jūsu privātums mums ir svarīgs. Šī iemesla dēļ mēs esam izstrādājuši privātuma politiku, kurā aprakstīts, kā mēs izmantojam un glabājam jūsu informāciju. Lūdzu, izlasiet mūsu privātuma politiku un paziņojiet mums, ja jums ir kādi jautājumi.

Personiskās informācijas vākšana un izmantošana

Personiskā informācija attiecas uz datiem, kurus var izmantot, lai identificētu konkrētu personu vai sazinātos ar viņu.

Jums var lūgt sniegt savu personīgo informāciju jebkurā laikā, kad jūs sazināties ar mums.

Zemāk ir daži piemēri par to, kāda veida personisko informāciju mēs varam vākt un kā mēs varam izmantot šo informāciju.

Kādu personīgu informāciju mēs vācam:

Atstājot pieprasījumu vietnē, mēs varam apkopot dažādu informāciju, tostarp jūsu vārdu, tālruņa numuru, e-pasta adresi utt.

Kā mēs izmantojam jūsu personisko informāciju:

Mūsu apkopotā personiskā informācija ļauj mums sazināties ar jums un ziņot par unikāliem piedāvājumiem, akcijām un citiem notikumiem un gaidāmajiem notikumiem.
Laiku pa laikam mēs varam izmantot jūsu personisko informāciju, lai nosūtītu svarīgus paziņojumus un ziņojumus.
Personisko informāciju mēs varam izmantot arī iekšējiem mērķiem, piemēram, veikt auditu, datu analīzi un dažādus pētījumus, lai uzlabotu mūsu piedāvātos pakalpojumus un sniegtu jums ieteikumus par mūsu pakalpojumiem.
Ja jūs piedalāties balvu izlozē, konkursā vai līdzīgā reklāmas pasākumā, mēs varam izmantot jūsu sniegto informāciju, lai pārvaldītu šādas programmas.

Informācijas atklāšana trešajām personām

Mēs neizpaužam no jums saņemto informāciju trešajām personām.

Izņēmumi:

Vajadzības gadījumā - saskaņā ar likumu, tiesu sistēma, tiesvedībā un / vai pamatojoties uz publiskiem vai Krievijas Federācijas valsts iestāžu pieprasījumiem - atklāj jūsu personisko informāciju. Mēs varam arī atklāt informāciju par jums, ja mēs nospriežam, ka šāda izpaušana ir nepieciešama vai piemērota drošības nolūkos, likuma un kārtības uzturēšanai vai citos sabiedriski nozīmīgos gadījumos.
Reorganizācijas, apvienošanās vai pārdošanas gadījumā mēs varam nodot mūsu apkopoto personisko informāciju attiecīgajai trešajai pusei, cesionāram.

Personiskās informācijas aizsardzība

Mēs veicam piesardzības pasākumus, ieskaitot administratīvos, tehniskos un fiziskos, lai aizsargātu jūsu personisko informāciju no nozaudēšanas, zādzības un negodīgas izmantošanas, kā arī no nesankcionētas piekļuves, izpaušanas, mainīšanas un iznīcināšanas.

Jūsu uzņēmuma privātuma saglabāšana

Lai pārliecinātos, ka jūsu personīgā informācija ir droša, mēs darbiniekiem darām zināmus konfidencialitātes un drošības noteikumus un stingri uzraugām konfidencialitātes pasākumu izpildi.

Saistītie raksti

Apspriest:

Angļu valodas skola: Ērtai uzturēšanās ārzemēs atpūtai ar biznesa vizīti ...
Boltoloģijas prasmes vai orālā attīstība: Svešvaloda ir ne tikai gramatikas noteikumi, kurus mācāties ...
Holod Tarmašev lejupielādēt pilnu versiju: Sergejs Tarmaševs Neizbēgama nāve man nepatīk zobens, jo tas ir ass, ...
Es gribu zināt visu, ko lasīt. Es gribu zināt visu. Par grāmatu “Es gribu zināt visu” Andrejs Merņikovs, Dmitrijs Koshevars: Es gribu zināt visu (1970. gads) Redakcijas kolēģija: K. F. Ogorodņikovs, A. Un ...