Funkcijas pieaugošās un samazināšanās intervāli tiešsaistē. Funkciju izpēte

Ārkārtas funkcijas

2. definīcija

Punktu $ x_0 $ sauc par funkcijas $ f (x) $ maksimālo punktu, ja šī punkta apkārtne ir tāda, ka visiem $ x $ no šīs apkaimes pastāv nevienlīdzība $ f (x) \\ le f (x_0) $.

3. definīcija

Punktu $ x_0 $ sauc par funkcijas $ f (x) $ maksimālo punktu, ja pastāv šī punkta apkaime, piemēram, ka visiem $ x $ no šīs apkaimes pastāv nevienlīdzība $ f (x) \\ ge f (x_0) $.

Funkcijas ekstremitātes jēdziens ir cieši saistīts ar funkcijas kritiskā punkta jēdzienu. Mēs iepazīstinām ar tā definīciju.

4. definīcija

$ x_0 $ tiek saukts par funkcijas $ f (x) $ kritisko punktu, ja:

1) $ x_0 $ ir definīcijas domēna iekšējais punkts;

2) $ f "\\ pa kreisi (x_0 \\ pa labi) \u003d 0 $ vai neeksistē.

Ekstremitātes jēdzienam var formulēt teorēmas par pietiekamiem un nepieciešamiem nosacījumiem tās pastāvēšanai.

2. teorēma

Pietiekams nosacījums ekstremitātei

Ļaujiet punktam $ x_0 $ būt kritiskam funkcijai $ y \u003d f (x) $ un atrasties intervālā $ (a, b) $. Pieņemsim, ka katrā intervālā $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ un \\ (x_0, b) $ atvasinājums $ f "(x) $ pastāv un saglabā nemainīgu zīmi. Tad:

1) Ja intervālā $ (a, x_0) $ atvasinājums ir $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $, un ar intervālu $ (x_0, b) $ atvasinājums ir $ f" \\ left (x \\ Right)

2) Ja intervālā $ (a, x_0) $ atvasinājums ir $ f "\\ left (x \\ right) 0 $, tad punkts $ x_0 $ ir šīs funkcijas minimālais punkts.

3) Ja intervālā $ (a, x_0) $ un intervālā $ (x_0, b) $ atvasinājums $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi)\u003e 0 $ vai atvasinājums $ f" \\ pa kreisi (x \\ pa labi)

Šī teorēma ir parādīta 1. attēlā.

1. attēls. Pietiekams ekstrēmas pastāvēšanas nosacījums

Galējību piemēri (2. att.).

2. attēls. Galējo punktu piemēri

  Ekstremitāšu funkcijas noteikšanas noteikums

2) Atrodiet atvasinājumu $ f "(x) $;

7) Izdariet secinājumus par maksimumu un minimumu klātbūtni katrā intervālā, izmantojot 2. teorēmu.

  Funkciju palielināšana un samazināšana

Iesācējiem mēs piedāvājam pieaugošo un samazinošo funkciju definīciju.

5. definīcija

Funkcija $ y \u003d f (x) $, kas noteikta intervālā $ X $, tiek saukta par pieaugošu, ja kādiem punktiem $ x_1, x_2 \\ in X $ par $ x_1

6. definīcija

Funkcija $ y \u003d f (x) $, kas definēta intervālā $ X $, tiek saukta par samazinājumu, ja kādiem punktiem $ x_1, x_2 \\ in X $ ir $ x_1f (x_2) $.

  Palielināšanas un samazināšanas funkcijas izpēte

Izmantojot atvasinājumu, varat izpētīt palielināšanas un samazināšanas funkcijas.

Lai izpētītu pieauguma un samazināšanas intervālu funkciju, ir jādara šādi:

1) Atrodiet funkcijas $ f (x) $ domēnu;

2) Atrodiet atvasinājumu $ f "(x) $;

3) Atrodiet punktus, pie kuriem pieder vienlīdzība $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 0 $;

4) Atrodiet punktus, kuros $ f "(x) $ neeksistē;

5) uz koordinātu līnijas atzīmējiet visus atrastos punktus un šīs funkcijas domēnu;

6) nosakiet atvasinājuma $ f "(x) $ zīmi katrā iegūtajā intervālā;

7) Secinājums: ar intervāliem, kur $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) 0 $, funkcija palielinās.

  Uzdevumu piemēri palielināšanas, samazināšanas un galējo punktu klātbūtnes funkciju izpētei

1. piemērs

Izpētiet palielināšanas un samazināšanas funkciju, kā arī maksimālo un minimālo punktu klātbūtni: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Tā kā pirmie 6 punkti ir vienādi, sāksim ar tiem.

1) Darbības joma - visi reālie skaitļi;

2) $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ pastāv visos definīcijas domēna punktos;

5) Koordinātu līnija:

3. attēls

6) katrā intervālā nosakiet atvasinājuma $ f "(x) $ zīmi:

  \\ \\ ja par jebkuru punktu pāri x   un x ", un ≤ x nevienādība f(x) ≤ f (x "), un stingri palielinot - ja nevienlīdzība f (x) f(x ") Funkcijas samazinājums un stingrs samazinājums ir definēti līdzīgi. Piemēram, funkcija plkst = x 2 (att. a) stingri palielinās segmentā, un

(att. , b) stingri samazinās šajā segmentā. Pieaugošās funkcijas tiek apzīmētas ar f (x), un samazinās f (x) ↓. Lai atšķirtu funkciju f (x) palielinājās segmentā [ bet, b], ir nepieciešams un pietiekams, ka tā atvasinājums f"(x) nebija negatīvs vietnē [ bet, b].

Vienlaicīgi ar funkcijas palielināšanos un samazināšanos segmentā tiek ņemta vērā funkcijas palielināšanās un samazināšanās punktā. Funkcija plkst = f (x) sauc par pieaugošu brīdī x   0, ja ir šāds intervāls (α, β), kas satur punktu x   0, ka jebkuram punktam x   no (α, β), x\u003e x   0, nevienlīdzība f (x 0) ≤ f (x) un jebkuram punktam x   no (α, β), x 0, nevienlīdzība f (x) ≤ f (x   0). Tāpat arī stingrs funkcijas palielinājums brīdī x   0 Ja f"(x 0) >   0, tad funkcija f(x) stingri palielinās brīdī x   0 Ja f (x) palielinās katrā intervāla punktā ( a, b), tad šajā intervālā tas palielinās.

  S. B. Stechkin.

Lielā padomju enciklopēdija. - M .: Padomju enciklopēdija. 1969-1978 .

Skatiet sadaļu “Funkcijas palielināšana un samazināšana” citās vārdnīcās:

Matemātiskās analīzes jēdzieni. Funkciju f (x) sauc par populācijas dažādu vecuma grupu skaita attiecību, kas pieaug segmentā VECUMA IEDZĪVOTĀJU STRUKTŪRA. Atkarīgs no auglības un mirstības līmeņa, cilvēku dzīves ilguma ... Lielā enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātiskās analīzes jēdzieni. Funkciju f (x) segmentā sauc par pieaugošu, ja jebkuram punktu x1 un x2 pārim a≤x1 ... Enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas jēdzieni. analīze. Tiek izsaukta funkcija f (x) palielinot uz segmenta [a, b], ja jebkuram punktu pārim x1 un x2, un<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)Dabas vēsture. Enciklopēdiskā vārdnīca

Matemātikas nozare, kas pēta funkciju atvasinājumus un diferenciāļus un to pielietojumu funkciju izpētē. Dizains un. uz neatkarīgu matemātisko disciplīnu, kas saistīta ar I. Ņūtona un G. Leibnica vārdiem (17 ... Lielā padomju enciklopēdija

Matemātikas sekcija, kurā tiek pētīti atvasinājuma un diferenciācijas jēdzieni, un to pielietošanas metodes funkciju izpētē. D. attīstība un. cieši saistīta ar integrālo aprēķinu attīstību. Neatņemami un to saturs. Kopā tie veido pamatu ... Matemātiskā enciklopēdija

Šim terminam ir citas nozīmes, sk. Funkciju. Pieprasījums “Displejs” tiek novirzīts šeit; skatīt arī citas nozīmes ... Wikipedia

Aristotelis un peripetiķi   - Aristoteļa jautājums Aristoteļa Aristoteļa dzīve ir dzimusi 384./383. gadā. BC e. Stagira, uz robežas ar Maķedoniju. Viņa tēvs Nikomausks bija ārsts Maķedonijas karaļa Amyntos kalpošanā, Filipa tēvs. Kopā ar ģimeni, jauno Aristoteli ... Rietumu filozofija no tās pirmsākumiem līdz mūsdienām

  - (QCD), kvantu lauka teorija par kvarku un gluonu spēcīgo iedarbību, kas konstruēta kvanta attēlā. elektrodinamika (QED), kuras pamatā ir “krāsu” gabarīta simetrija. Atšķirībā no QED, fermioniem QCD ir papildinājums. kvanta brīvības pakāpe. numurs, ... ... Fiziskā enciklopēdija

I Sirds Sirds (lat. Cor, grieķu kardija) ir dobs fibro-muskuļu orgāns, kas, darbojoties kā pumpis, nodrošina asiņu kustību asinsrites sistēmā. Anatomija Sirds atrodas priekšējā videnes vidusdaļā (Mediastinum) perikardā starp ... Medicīnas enciklopēdija

Auga, tāpat kā jebkura cita dzīva organisma, dzīve ir sarežģīts savstarpēji saistītu procesu kopums; visnozīmīgākie no tiem ir zināmi metabolisms ar vidi. Vide ir avots, no kurienes ... Bioloģiskā enciklopēdija

Ārkārtas funkcijas

2. definīcija

Punktu $ x_0 $ sauc par funkcijas $ f (x) $ maksimālo punktu, ja šī punkta apkārtne ir tāda, ka visiem $ x $ no šīs apkaimes pastāv nevienlīdzība $ f (x) \\ le f (x_0) $.

3. definīcija

Punktu $ x_0 $ sauc par funkcijas $ f (x) $ maksimālo punktu, ja pastāv šī punkta apkaime, piemēram, ka visiem $ x $ no šīs apkaimes pastāv nevienlīdzība $ f (x) \\ ge f (x_0) $.

Funkcijas ekstremitātes jēdziens ir cieši saistīts ar funkcijas kritiskā punkta jēdzienu. Mēs iepazīstinām ar tā definīciju.

4. definīcija

$ x_0 $ tiek saukts par funkcijas $ f (x) $ kritisko punktu, ja:

1) $ x_0 $ ir definīcijas domēna iekšējais punkts;

2) $ f "\\ pa kreisi (x_0 \\ pa labi) \u003d 0 $ vai neeksistē.

Ekstremitātes jēdzienam var formulēt teorēmas par pietiekamiem un nepieciešamiem nosacījumiem tās pastāvēšanai.

2. teorēma

Pietiekams nosacījums ekstremitātei

Ļaujiet punktam $ x_0 $ būt kritiskam funkcijai $ y \u003d f (x) $ un atrasties intervālā $ (a, b) $. Pieņemsim, ka katrā intervālā $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ un \\ (x_0, b) $ atvasinājums $ f "(x) $ pastāv un saglabā nemainīgu zīmi. Tad:

1) Ja intervālā $ (a, x_0) $ atvasinājums ir $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $, un ar intervālu $ (x_0, b) $ atvasinājums ir $ f" \\ left (x \\ Right)

2) Ja intervālā $ (a, x_0) $ atvasinājums ir $ f "\\ left (x \\ right) 0 $, tad punkts $ x_0 $ ir šīs funkcijas minimālais punkts.

3) Ja intervālā $ (a, x_0) $ un intervālā $ (x_0, b) $ atvasinājums $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi)\u003e 0 $ vai atvasinājums $ f" \\ pa kreisi (x \\ pa labi)

Šī teorēma ir parādīta 1. attēlā.

1. attēls. Pietiekams ekstrēmas pastāvēšanas nosacījums

Galējību piemēri (2. att.).

2. attēls. Galējo punktu piemēri

  Ekstremitāšu funkcijas noteikšanas noteikums

2) Atrodiet atvasinājumu $ f "(x) $;

7) Izdariet secinājumus par maksimumu un minimumu klātbūtni katrā intervālā, izmantojot 2. teorēmu.

  Funkciju palielināšana un samazināšana

Iesācējiem mēs piedāvājam pieaugošo un samazinošo funkciju definīciju.

5. definīcija

Funkcija $ y \u003d f (x) $, kas noteikta intervālā $ X $, tiek saukta par pieaugošu, ja kādiem punktiem $ x_1, x_2 \\ in X $ par $ x_1

6. definīcija

Funkcija $ y \u003d f (x) $, kas definēta intervālā $ X $, tiek saukta par samazinājumu, ja kādiem punktiem $ x_1, x_2 \\ in X $ ir $ x_1f (x_2) $.

  Palielināšanas un samazināšanas funkcijas izpēte

Izmantojot atvasinājumu, varat izpētīt palielināšanas un samazināšanas funkcijas.

Lai izpētītu pieauguma un samazināšanas intervālu funkciju, ir jādara šādi:

1) Atrodiet funkcijas $ f (x) $ domēnu;

2) Atrodiet atvasinājumu $ f "(x) $;

3) Atrodiet punktus, pie kuriem pieder vienlīdzība $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 0 $;

4) Atrodiet punktus, kuros $ f "(x) $ neeksistē;

5) uz koordinātu līnijas atzīmējiet visus atrastos punktus un šīs funkcijas domēnu;

6) nosakiet atvasinājuma $ f "(x) $ zīmi katrā iegūtajā intervālā;

7) Secinājums: ar intervāliem, kur $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) 0 $, funkcija palielinās.

  Uzdevumu piemēri palielināšanas, samazināšanas un galējo punktu klātbūtnes funkciju izpētei

1. piemērs

Izpētiet palielināšanas un samazināšanas funkciju, kā arī maksimālo un minimālo punktu klātbūtni: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

Tā kā pirmie 6 punkti ir vienādi, sāksim ar tiem.

1) Darbības joma - visi reālie skaitļi;

2) $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ pa kreisi (x \\ pa labi) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ pastāv visos definīcijas domēna punktos;

5) Koordinātu līnija:

3. attēls

6) katrā intervālā nosakiet atvasinājuma $ f "(x) $ zīmi:

\ \.

Funkciju vērtību diapazons ir intervāls [1; 3].

1. Ja x \u003d -3, x \u003d - 1, x \u003d 1,5, x \u003d 4,5, funkcijas vērtība ir nulle.

Argumenta vērtību, kurā funkcijas vērtība ir nulle, sauc par funkcijas nulli.

// t.i. šai funkcijai skaitļi -3; -1; 1,5; 4,5 ir nulle.

2. ar intervālu [4,5; 3) un (1; 1,5) un (4,5; 5,5] funkcijas f grafiks atrodas virs abscisas ass un ar intervālu (-3; -1) un (1,5; 4,5) zem ass abscisu, to var izskaidrot šādi: ar intervāliem [4,5; 3) un (1; 1,5) un (4,5; 5,5] funkcija saņem pozitīvas vērtības, un ar intervālu (-3; -1) un ( 1,5; 4,5) negatīvs.

Katru no norādītajiem intervāliem (kur funkcija ņem vienas un tās pašas zīmes vērtības) sauc par funkcijas f.//t.e nemainīgo zīmju intervālu. piemēram, ja mēs ņemam intervālu (0; 3), tad tas nav šīs funkcijas nemainīgās zīmes intervāls.

Matemātikā, meklējot funkcijas nemainīgas zīmes intervālus, parasti tiek norādīts maksimālā garuma intervāls. // t.i. sprauga (2; 3) ir nemainīga zīme   funkcija f, bet atbildē jāiekļauj intervāls [4,5; 3) kas satur spraugu (2; 3).

3. Ja jūs pārvietojaties pa abscisu no 4,5 līdz 2, jūs pamanīsit, ka funkcijas grafiks samazinās, tas ir, funkcijas vērtības samazinās. // Matemātikā ir ierasts teikt, ka ar intervālu [4,5; 2] funkcija samazinās.

Kad x palielinās no 2 līdz 0, funkciju grafiks palielinās, t.i. palielinās funkciju vērtības. // Matemātikā ir ierasts teikt, ka ar intervālu [2; 0] funkcija palielinās.

Funkcija f tiek izsaukta, ja attiecībā uz jebkurām divām argumenta x1 un x2 vērtībām no šī intervāla ir tāds, ka x2\u003e x1, saglabājas nevienādība f (x2)\u003e f (x1). // vai izsaukta funkcija palielinoties kādā intervālāja jebkurai argumenta vērtībai no šī intervāla lielāka funkcijas vērtība atbilst lielākai argumenta vērtībai. // t.i. jo vairāk x, jo vairāk y.

Tiek saukta funkcija f samazinās ar noteiktu intervāluja attiecībā uz jebkurām divām argumenta x1 un x2 vērtībām no šī intervāla ir tāds, ka x2\u003e x1, nevienādība f (x2) samazinās uz kaut kādu intervālu, ja attiecībā uz jebkurām argumenta vērtībām no šī intervāla lielāka argumenta vērtība atbilst mazākai funkcijas vērtībai. // t.i. jo vairāk x, jo mazāk y.

Ja funkcija palielinās visā definīcijas domēnā, tad to sauc pieaug.

Ja funkcija samazinās visā domēnā, tad to sauc mazinās.

1. piemērs   attiecīgi pieaugošo un samazinošo funkciju grafiks.

2. piemērs

Definēt Vai lineārā funkcija f (x) \u003d 3x + 5 palielinās vai samazinās?

Pierādījums. Mēs izmantojam definīcijas. Ļaujiet x1 un x2 būt patvaļīgām argumenta vērtībām ar x1< x2., например х1=1, х2=7

Balstoties uz pietiekamām pazīmēm, ir funkciju palielināšanas un samazināšanas intervāli.

Apzīmējumu formulējums ir šāds:

• ja funkcijas atvasinājums y \u003d f (x)   pozitīvs jebkuram x   no intervāla X, tad funkcija palielinās par X;
• ja funkcijas atvasinājums y \u003d f (x)   negatīvs jebkuram x   no intervāla X, pēc tam funkcija samazinās X.

Tādējādi, lai noteiktu funkcijas palielināšanas un samazināšanas intervālus, ir nepieciešams:

• atrast funkcijas apjomu;

• atrast funkcijas atvasinājumu;

• iegūtajiem intervāliem pievienojiet robežpunktus, pie kuriem funkcija tiek noteikta un nepārtraukta.

Apsveriet piemēru, lai izskaidrotu algoritmu.

Piemērs.

Atrodiet funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālus.

Risinājums.

Pirmais solis ir atrast funkcijas izaugsmes definīciju. Tāpēc mūsu piemērā izteiksme saucējā nedrīkst izzust, .

Mēs pārejam uz atvasināšanas funkciju:

Lai ar pietiekamu kritēriju noteiktu funkciju palielināšanas un samazināšanas intervālus, tiek atrisinātas nevienādības   un   definīcijas jomā. Mēs izmantojam intervāla metodes vispārinājumu. Vienīgā derīgā skaitītāja sakne ir x \u003d 2, un saucējs pazūd plkst x \u003d 0. Šie punkti sadala domēnu intervālos, kuros funkcijas atvasinājums saglabā savu zīmi. Mēs atzīmējam šos punktus uz ciparu līnijas. Plusi un mīnusi patvaļīgi apzīmē intervālus, kuros atvasinājums ir pozitīvs vai negatīvs. Zemāk redzamās bultiņas shematiski parāda funkcijas palielinājumu vai samazinājumu attiecīgajā intervālā.

Tādā veidā   un .

Tajā brīdī x \u003d 2   funkcija ir noteikta un nepārtraukta, tāpēc tā jāpievieno gan palielināšanai, gan samazināšanai. Tajā brīdī x \u003d 0   funkcija nav definēta, tāpēc šis punkts nav iekļauts vajadzīgajos intervālos.

Mēs sniedzam funkcijas grafiku iegūto rezultātu salīdzināšanai ar to.

Atbilde ir:   funkcija palielinās ar   samazinās par intervālu (0; 2] .

- viena mainīgā funkcijas ekstrēmie punkti. Pietiekami ekstremitāšu apstākļi

Pieņemsim, ka funkcija f (x), kas noteikta un nepārtraukta noteiktā intervālā, tajā nav monotoniska. Būs tādas intervāla daļas [,], kurās lielāko un mazāko vērtību sasniedz funkcija iekšējā punktā, t. starp un.

Mēdz teikt, ka funkcijai f (x) kādā punktā ir maksimums (vai minimums), ja šo punktu var ieskauj šāda apkaime (x 0 -, x 0 +), kas atrodas intervālā, kur tiek dota funkcija, ka nevienlīdzība tiek turēta visos tās punktos.

f (x)< f(x 0)(или f(x)>f (x 0))

Citiem vārdiem sakot, punkts x 0 sniedz maksimālo (minimālo) funkcijai f (x), ja vērtība f (x 0) izrādās lielākā (mazākā) no vērtībām, kuras funkcija pieņem dažās (vismaz mazās) šī punkta apkaimēs. Ņemiet vērā, ka pati maksimālā (minimālā) definīcija paredz, ka funkcija tiek dota abās punkta x 0 pusēs.

Ja pastāv apkārtne, kurā (x \u003d x 0) ir stingra nevienlīdzība

f (x) f (x 0)

viņi saka, ka funkcijai punktā x 0 ir sava maksimālā (minimālā), pretējā gadījumā tā ir nepareiza.

Ja funkcijai ir maksimumi punktos x 0 un x 1, tad, piemērojot otro Weierstrass teorēmu intervālam, mēs redzam, ka funkcija sasniedz savu mazāko vērtību šajā intervālā kādā brīdī x 2 starp x 0 un x 1 un tur tai ir minimums. Tāpat starp diviem minimumiem noteikti būs maksimums. Vienkāršākajā (un praksē vissvarīgākajā) gadījumā, kad funkcijai parasti ir tikai ierobežots maksimumu un minimumu skaits, tās vienkārši mainās.

Ņemiet vērā, ka, lai apzīmētu maksimumu vai minimumu, ir termins, kas tos apvieno - ekstremitāte.

Maksimālā (max f (x)) un minimālā (min f (x)) jēdzieni ir funkcijas lokālās īpašības un notiek noteiktā punktā x 0. Lielāko (sup f (x)) un mazāko (inf f (x)) vērtību jēdzieni attiecas uz ierobežotu intervālu un ir funkcijas intervāla globālās īpašības.

1. attēlā parādīts, ka punktos x 1 un x 3 ir vietējie maksimumi, bet punktos x 2 un x 4 ir vietējie minimumi. Tomēr funkcija sasniedz mazāko vērtību x \u003d a, bet lielāko - x \u003d b.

Mēs uzdodam problēmu atrast visas argumenta vērtības, kas pilda galējās funkcijas. To atrisinot, atvasinājums spēlēs galveno lomu.

Vispirms pieņemsim, ka funkcijai f (x) intervālā (a, b) pastāv ierobežots atvasinājums. Ja punktā x 0 funkcijai ir ekstremitāte, tad, piemērojot intervālu (x 0 -, x 0 +), kas tika apspriests iepriekš, Fermata teorēma, mēs secinām, ka f (x) \u003d 0 tas ir nepieciešams nosacījums ekstremitātei. Galējība jāmeklē tikai tajās vietās, kur atvasinājums ir vienāds ar nulli.

Tomēr nevajadzētu domāt, ka katrs punkts, kurā atvasinājums ir vienāds ar nulli, nodrošina ekstremitāšu funkcijas: nupat norādītais stāvoklis nav pietiekams