함수의 파생물입니다. 예시를 포함한 상세한 이론

기억하기 매우 쉽습니다.

글쎄, 멀리 가지 말고 즉시 역함수를 고려해 봅시다. 지수 함수의 역함수는 무엇입니까? 로그:

우리의 경우 기본은 숫자입니다.

이러한 로그(즉, 밑이 있는 로그)를 "자연"이라고 하며 이에 대해 특별한 표기법을 사용합니다. 대신 씁니다.

그것은 무엇과 같습니까? 물론, .

자연로그의 미분도 매우 간단합니다.

예:

1. 함수의 미분을 찾아보세요.
2. 함수의 미분은 무엇입니까?

답변: 지수 및 자연 로그는 미분 관점에서 볼 때 독특하게 단순한 함수입니다. 다른 밑수를 사용하는 지수 함수와 로그 함수는 서로 다른 도함수를 갖게 되며, 이를 미분 규칙을 살펴본 후 나중에 분석할 것입니다.

차별화 규칙

무슨 규칙이요? 또 새로운 용어가 또?!...

분화파생상품을 찾는 과정입니다.

그게 다야. 이 과정을 한 단어로 뭐라고 부를 수 있을까요? 미분 아님... 수학자들은 미분을 함수의 동일한 증분이라고 부릅니다. 이 용어는 라틴어 Differentia(차이)에서 유래되었습니다. 여기.

이러한 모든 규칙을 도출할 때 예를 들어 and와 같은 두 가지 기능을 사용합니다. 또한 증분에 대한 수식이 필요합니다.

총 5가지 규칙이 있습니다.

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

만약 - 어떤 상수(상수)라면.

분명히 이 규칙은 차이점에도 적용됩니다.

그것을 증명해 봅시다. 그대로 두거나 더 간단하게 하세요.

예.

함수의 도함수를 찾습니다:

1. 어느 시점에서;
2. 어느 시점에서;
3. 어느 시점에서;
4. 그 시점에.

솔루션:

1. (도함수는 선형 함수이기 때문에 모든 점에서 동일합니다. 기억하시나요?)

제품의 파생물

여기에서는 모든 것이 비슷합니다. 새로운 함수를 도입하고 그 증가분을 찾아보겠습니다.

유도체:

예:

1. 함수의 파생물을 찾아보세요.
2. 한 점에서 함수의 도함수를 구합니다.

솔루션:

지수 함수의 파생

이제 당신의 지식은 지수뿐만 아니라 모든 지수 함수의 도함수를 찾는 방법을 배우기에 충분합니다. (아직 잊어버렸나요?)

그렇다면 숫자는 어디에 있습니까?

우리는 이미 함수의 도함수를 알고 있으므로 함수를 새로운 기반으로 줄여보겠습니다.

이를 위해 간단한 규칙을 사용합니다: . 그 다음에:

글쎄, 그것은 효과가 있었다. 이제 도함수를 구해 보세요. 이 함수가 복잡하다는 사실을 잊지 마세요.

일어난?

여기에서 직접 확인해 보세요.

공식은 지수의 미분과 매우 유사한 것으로 밝혀졌습니다. 그대로 유지되었으며 변수가 아닌 숫자일 뿐인 요소만 나타났습니다.

예:
함수의 도함수를 찾습니다:

답변:

이것은 계산기 없이는 계산할 수 없는 숫자일 뿐입니다. 즉, 더 간단한 형식으로 적을 수 없습니다. 그러므로 답변에는 이런 형태로 남겨둡니다.

여기에 두 함수의 몫이 있으므로 해당 미분 규칙을 적용합니다.

이 예에서는 다음 두 함수의 곱입니다.

로그 함수의 파생

여기에서도 비슷합니다. 여러분은 이미 자연 로그의 미분을 알고 있습니다.

따라서 밑이 다른 임의의 로그를 찾으려면 다음과 같이 하십시오.

우리는 이 로그를 밑수로 줄여야 합니다. 로그의 밑을 어떻게 바꾸나요? 다음 공식을 기억하시기 바랍니다.

이제 대신 다음과 같이 작성하겠습니다.

분모는 단순히 상수(변수가 없는 상수)입니다. 파생 상품은 매우 간단하게 얻습니다.

지수 함수와 로그 함수의 미분은 통합 상태 시험에서는 거의 발견되지 않지만 이를 아는 것이 불필요한 것은 아닙니다.

복잡한 함수의 파생물입니다.

"복잡한 기능"이란 무엇입니까? 아니요, 이것은 로그도 아니고 아크탄젠트도 아닙니다. 이러한 함수는 이해하기 어려울 수 있습니다(로그가 어렵다고 생각되면 "로그" 주제를 읽으면 괜찮을 것입니다). 그러나 수학적 관점에서 "복소수"라는 단어는 "어렵다"를 의미하지 않습니다.

작은 컨베이어 벨트를 상상해 보십시오. 두 사람이 앉아서 어떤 물건을 가지고 어떤 행동을 하고 있습니다. 예를 들어, 첫 번째는 초콜릿 바를 포장지로 감싸고, 두 번째는 리본으로 묶습니다. 그 결과는 리본으로 포장되고 묶인 초콜릿 바인 복합 개체입니다. 초콜릿 바를 먹으려면 반대 단계를 역순으로 수행해야 합니다.

유사한 수학적 파이프라인을 만들어 보겠습니다. 먼저 숫자의 코사인을 찾은 다음 결과 숫자를 제곱합니다. 그래서 우리에게 숫자(초콜릿)가 주어지고, 나는 그것의 코사인(포장지)을 찾은 다음, 내가 얻은 것을 제곱합니다(리본으로 묶습니다). 무슨 일이에요? 기능. 이것은 복잡한 함수의 예입니다. 값을 찾기 위해 변수를 사용하여 직접 첫 번째 작업을 수행한 다음 첫 번째 결과로 두 번째 작업을 수행합니다.

다시 말해서, 복잡한 함수는 인수가 다른 함수인 함수입니다.: .

우리의 예에서는 .

동일한 단계를 역순으로 쉽게 수행할 수 있습니다. 먼저 제곱을 한 다음 결과 숫자의 코사인을 찾습니다. 결과가 거의 항상 다를 것이라고 추측하기 쉽습니다. 복잡한 기능의 중요한 특징: 작업 순서가 변경되면 기능도 변경됩니다.

두 번째 예: (같은 것). .

우리가 마지막으로 수행하는 작업이 호출됩니다. "외부" 기능, 그리고 먼저 수행된 작업 - 그에 따라 "내부" 기능(비공식적인 이름입니다. 자료를 간단한 언어로 설명하기 위해서만 사용합니다.)

어떤 기능이 외부 기능이고 어떤 기능이 내부 기능인지 스스로 결정해 보세요.

답변:내부 함수와 외부 함수를 분리하는 것은 변수를 변경하는 것과 매우 유사합니다. 예를 들어 함수에서

1. 우리는 어떤 행동을 먼저 수행할 것인가? 먼저 사인을 계산한 다음 이를 세제곱해 봅시다. 이는 내부 기능이지만 외부 기능임을 의미합니다.
   그리고 원래 기능은 구성입니다.
2. 내부: ; 외부: .
   시험: .
3. 내부: ; 외부: .
   시험: .
4. 내부: ; 외부: .
   시험: .
5. 내부: ; 외부: .
   시험: .

변수를 변경하고 함수를 얻습니다.

자, 이제 초콜릿 바를 추출하고 파생 상품을 찾아보겠습니다. 절차는 항상 반대입니다. 먼저 외부 함수의 도함수를 찾은 다음 결과에 내부 함수의 도함수를 곱합니다. 원래 예와 관련하여 다음과 같습니다.

다른 예시:

이제 공식 규칙을 공식화해 보겠습니다.

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

간단해 보이죠?

예를 들어 확인해 보겠습니다.

솔루션:

1) 내부: ;

외부: ;

2) 내부: ;

(지금쯤 잘라내려고 하지 마세요! 코사인 아래에서는 아무 것도 나오지 않습니다. 기억하시나요?)

3) 내부: ;

외부: ;

이것이 3단계 복합 함수라는 것이 즉시 분명해집니다. 결국 이것은 그 자체로 이미 복잡한 함수이고 여기서 루트도 추출합니다. 즉, 세 번째 작업을 수행합니다(초콜릿을 포장지에 넣습니다). 서류 가방에 리본이 달려 있습니다). 하지만 두려워할 이유가 없습니다. 우리는 이 기능을 평소와 같은 순서로 끝부터 "풀기"할 것입니다.

즉, 먼저 루트를 구별한 다음 코사인을 구별하고 괄호 안의 표현식만 구별합니다. 그런 다음 우리는 그것을 모두 곱합니다.

이러한 경우에는 작업에 번호를 매기는 것이 편리합니다. 즉, 우리가 아는 것을 상상해 봅시다. 이 표현식의 값을 계산하기 위해 어떤 순서로 작업을 수행합니까? 예를 살펴보겠습니다:

작업이 나중에 수행될수록 해당 기능은 더 "외부"가 됩니다. 일련의 작업은 이전과 동일합니다.

여기서 중첩은 일반적으로 4레벨입니다. 행동 과정을 결정합시다.

1. 과격한 표현. .

2. 루트. .

3. 사인. .

4. 광장. .

5. 종합해보면:

유도체. 주요 사항에 대해 간략하게

함수의 파생- 인수의 극소 증가에 대한 인수 증가에 대한 함수 증가의 비율:

기본 파생상품:

차별화 규칙:

상수는 도함수 기호에서 제외됩니다.

합계의 미분:

제품의 파생 상품:

몫의 파생물:

복잡한 함수의 파생:

복잡한 함수의 도함수를 찾는 알고리즘:

1. 우리는 "내부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
2. 우리는 "외부" 함수를 정의하고 그 파생물을 찾습니다.
3. 첫 번째 점과 두 번째 점의 결과를 곱합니다.

표의 첫 번째 공식을 도출할 때 한 지점에서 미분 함수의 정의부터 진행하겠습니다. 어디로 가보자 엑스– 임의의 실수, 즉, 엑스– 함수 정의 영역의 임의의 숫자. 다음에서 인수 증분에 대한 함수 증분 비율의 한계를 적어 보겠습니다.

극한 기호 하에서는 분자가 극소값을 포함하지 않고 정확하게 0이기 때문에 0을 0으로 나눈 불확실성이 아닌 표현식이 얻어집니다. 즉, 상수 함수의 증가는 항상 0입니다.

따라서, 상수 함수의 미분전체 정의 영역에서 0과 같습니다..

거듭제곱 함수의 파생입니다.

거듭제곱 함수의 미분 공식은 다음과 같습니다. , 여기서 지수는 피– 임의의 실수.

먼저 자연 지수의 공식을 증명해 보겠습니다. p = 1, 2, 3, …

우리는 미분의 정의를 사용할 것입니다. 인수 증가에 대한 거듭제곱 함수 증가 비율의 극한을 적어 보겠습니다.

분자의 표현을 단순화하기 위해 뉴턴 이항식을 사용합니다.

따라서,

이는 자연 지수에 대한 거듭제곱 함수의 미분 공식을 증명합니다.

지수 함수의 파생물입니다.

우리는 정의에 기초하여 파생 공식의 파생을 제시합니다.

우리는 불확실성에 도달했습니다. 이를 확장하기 위해 새로운 변수를 도입합니다. 그 다음에 . 마지막 전환에서는 새로운 로그 밑으로 전환하는 공식을 사용했습니다.

원래 한계로 대체해 보겠습니다.

두 번째 놀라운 극한을 떠올려 보면 지수 함수의 미분 공식에 도달하게 됩니다.

로그 함수의 파생입니다.

모든 로그 함수의 미분 공식을 증명해 보겠습니다. 엑스정의 영역과 기본의 모든 유효한 값에서 ㅏ로그 파생상품의 정의에 따르면 다음과 같습니다.

아시다시피, 증명 중에 로그의 속성을 사용하여 변환이 수행되었습니다. 평등 두 번째 놀라운 한계로 인해 사실입니다.

삼각 함수의 파생물.

삼각 함수의 도함수에 대한 공식을 도출하려면 몇 가지 삼각법 공식과 첫 번째 놀라운 한계를 기억해야 합니다.

사인 함수에 대한 미분의 정의에 따라 우리는 .

사인 공식의 차이를 사용해 보겠습니다.

첫 번째 놀라운 한계를 살펴보겠습니다.

따라서 함수의 도함수는 죄 x있다 왜냐하면 x.

코사인의 미분 공식은 정확히 같은 방식으로 증명됩니다.

따라서 함수의 도함수는 왜냐하면 x있다 -죄 x.

입증된 미분 규칙(분수의 도함수)을 사용하여 탄젠트 및 코탄젠트의 도함수 표에 대한 공식을 유도할 것입니다.

쌍곡선 함수의 파생물.

미분 규칙과 도함수 표의 지수 함수 도함수 공식을 통해 쌍곡선 사인, 코사인, 탄젠트 및 코탄젠트의 도함수에 대한 공식을 유도할 수 있습니다.

역함수를 파생합니다.

표현 중 혼란을 피하기 위해 미분을 수행하는 함수의 인수, 즉 함수의 미분을 아래 첨자로 표시하겠습니다. 에프엑스(f(x))에 의해 엑스.

이제 공식화하자 역함수의 미분을 찾는 규칙.

기능을 보자 y = f(x)그리고 x = g(와이)상호 역수로, 간격과 각각 정의됩니다. 한 지점에서 함수의 0이 아닌 유한 파생물이 있는 경우 에프엑스(f(x)), 그 지점에서 역함수의 유한 파생물이 있습니다. g(y), 그리고 . 다른 게시물에서 .

이 규칙은 어떤 경우에도 다시 공식화될 수 있습니다. 엑스간격으로부터 우리는 다음을 얻습니다. .

이 공식의 유효성을 확인해 보겠습니다.

자연로그의 역함수를 찾아봅시다 (여기 와이함수이고, 엑스- 논쟁). 이 방정식을 풀면 엑스, 우리는 (여기 엑스함수이고, 와이– 그녀의 주장). 그건, 그리고 상호 역함수.

파생 상품 표에서 우리는 다음을 볼 수 있습니다. 그리고 .

역함수의 도함수를 찾는 공식이 동일한 결과를 가져오는지 확인하겠습니다.

보시다시피, 파생상품 테이블과 동일한 결과를 얻었습니다.

이제 우리는 역삼각함수의 도함수에 대한 공식을 증명할 수 있는 지식을 얻었습니다.

아크사인의 미분부터 시작하겠습니다.

. 그런 다음 역함수의 미분 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.

남은 것은 변환을 수행하는 것뿐입니다.

아크사인 범위는 간격이므로 , 저것 (기본 기본 기능, 해당 속성 및 그래프에 대한 섹션을 참조하세요). 따라서 우리는 그것을 고려하지 않습니다.

따라서, . 아크사인 파생물의 정의 영역은 간격입니다. (-1; 1) .

아크 코사인의 경우 모든 작업이 정확히 동일한 방식으로 수행됩니다.

아크탄젠트의 미분을 구해 봅시다.

역함수는 다음과 같습니다. .

결과 표현을 단순화하기 위해 아크탄젠트를 아크코사인으로 표현해 보겠습니다.

허락하다 arctgx = z, 그 다음에

따라서,

아크 코탄젠트의 미분도 비슷한 방식으로 구합니다.

거듭제곱 함수의 도함수 공식 도출(x의 a 거듭제곱) x의 근으로부터 도함수가 고려됩니다. 고차 거듭제곱 함수의 도함수에 대한 공식입니다. 파생 상품 계산의 예.

콘텐츠

또한보십시오: 거듭제곱 함수와 근, 공식 및 그래프
거듭제곱 함수 그래프

기본 공식

x의 a 거듭제곱 미분은 a 곱하기 x 마이너스 1 거듭제곱과 같습니다.
(1) .

x의 n제곱근을 m제곱으로 미분하면 다음과 같습니다.
(2) .

거듭제곱 함수의 미분 공식 유도

사례 x > 0

지수 a를 갖는 변수 x의 거듭제곱 함수를 생각해 보세요.
(3) .
여기서 a는 임의의 실수입니다. 먼저 사례를 고려해 보겠습니다.

함수 (3)의 도함수를 찾기 위해 전력 함수의 속성을 사용하고 이를 다음 형식으로 변환합니다.
.

이제 다음을 사용하여 파생 상품을 찾습니다.
;
.
여기 .

공식 (1)이 입증되었습니다.

x의 n차 근을 m차로 미분하는 공식 유도

이제 다음 형식의 루트인 함수를 생각해 보세요.
(4) .

도함수를 찾기 위해 근을 거듭제곱 함수로 변환합니다.
.
공식 (3)과 비교하면 다음과 같습니다.
.
그 다음에
.

공식 (1)을 사용하여 우리는 미분을 찾습니다.
(1) ;
;
(2) .

실제로는 (2)식을 외울 필요가 없습니다. 먼저 근을 거듭제곱 함수로 변환한 다음 공식 (1)을 사용하여 해당 도함수를 찾는 것이 훨씬 더 편리합니다(페이지 끝에 있는 예 참조).

사례 x = 0

이면 변수 x =의 값에 대해 검정력 함수가 정의됩니다. 0 . x =에서 함수 (3)의 도함수를 찾아봅시다. 0 . 이를 위해 파생물의 정의를 사용합니다.
.

x =로 대체하자 0 :
.
이 경우, 미분이란 에 대한 우극한을 의미합니다.

그래서 우리는 다음을 발견했습니다:
.
이것으로부터 , .
에 , .
에 , .
이 결과는 공식 (1)에서도 얻습니다.
(1) .
따라서 공식 (1)은 x =에도 유효합니다. 0 .

케이스x< 0

함수 (3)을 다시 고려해보세요:
(3) .
상수 a의 특정 값에 대해서는 변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다. 즉, a를 유리수라 하자. 그러면 기약분수로 표현될 수 있습니다:
,
여기서 m과 n은 공약수가 없는 정수입니다.

n이 홀수이면 변수 x의 음수 값에 대해서도 검정력 함수가 정의됩니다. 예를 들어, n = 3 그리고 m = 1 x의 세제곱근이 있습니다.
.
변수 x의 음수 값에 대해서도 정의됩니다.

정의된 상수 a의 유리수 값에 대한 거듭제곱 함수(3)의 미분을 찾아보겠습니다. 이를 위해 x를 다음 형식으로 표현해 보겠습니다.
.
그 다음에 ,
.
우리는 도함수의 부호 외부에 상수를 배치하고 복소 함수를 미분하는 규칙을 적용하여 도함수를 찾습니다.

.
여기 . 하지만
.
그때부터
.
그 다음에
.
즉, 공식 (1)은 다음에 대해서도 유효합니다.
(1) .

고차 파생 상품

이제 전력 함수의 고차 도함수를 찾아보겠습니다.
(3) .
우리는 이미 1차 도함수를 찾았습니다.
.

도함수의 부호 밖에서 상수 a를 취하면 2차 도함수를 찾을 수 있습니다.
.
마찬가지로, 우리는 3차와 4차의 파생 상품을 찾습니다.
;

.

이것으로부터 다음이 분명해진다. 임의의 n차 도함수다음과 같은 형식을 갖습니다:
.

그것을주의해라 a가 자연수인 경우이면 n번째 도함수는 상수입니다.
.
그러면 모든 후속 파생 상품은 0과 같습니다.
,
에 .

파생 상품 계산의 예

예

함수의 도함수를 구합니다:
.

근을 거듭제곱으로 변환해 보겠습니다.
;
.
그러면 원래 함수는 다음과 같은 형식을 취합니다.
.

거듭제곱의 파생물 찾기:
;
.
상수의 미분은 0입니다.
.

이 비디오를 통해 파생상품에 대한 일련의 긴 강의를 시작합니다. 이 강의는 여러 부분으로 구성되어 있습니다.

우선 도함수가 무엇인지, 계산하는 방법을 알려드리되, 복잡한 학문적 언어가 아닌 제가 직접 이해하고 학생들에게 설명하는 방법을 알려드리겠습니다. 둘째, 합의 도함수, 차이의 도함수 및 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 문제 해결을 위한 가장 간단한 규칙을 고려해 보겠습니다.

우리는 더 복잡한 결합된 예를 살펴볼 것이며, 특히 근과 심지어 분수와 관련된 유사한 문제가 거듭제곱 함수의 미분 공식을 사용하여 풀 수 있다는 것을 배우게 될 것입니다. 또한, 물론 다양한 수준의 복잡성에 대한 많은 문제와 해결 사례가 있을 것입니다.

일반적으로 처음에는 5분 정도의 짧은 영상을 녹화하려고 했는데 결과가 어떻게 되었는지 보실 수 있습니다. 이제 가사는 충분합니다. 본론으로 들어가겠습니다.

파생 상품이란 무엇입니까?

자, 멀리서부터 시작합시다. 몇 년 전, 나무가 더 푸르고 삶이 더 즐거웠을 때 수학자들은 이에 대해 생각했습니다. 그래프로 정의된 간단한 함수를 $y=f\left(x \right)$라고 부르자고 생각했습니다. 물론 그래프 자체는 존재하지 않기 때문에 $y$축뿐만 아니라 $x$축도 그려야 합니다. 이제 이 그래프에서 임의의 점을 선택해 보겠습니다. 가로좌표를 $((x)_(1))$라고 부르면 세로좌표는 $f\left(((x)_(1)) \right)$가 됩니다.

동일한 그래프의 다른 점을 살펴보겠습니다. 어느 것이든 중요하지 않습니다. 가장 중요한 것은 원본과 다르다는 것입니다. 다시 한 번 가로 좌표가 있습니다. $((x)_(2))$라고 부르겠습니다. 세로 좌표는 $f\left(((x)_(2)) \right)$입니다.

따라서 두 가지 점이 있습니다. 가로좌표가 다르므로 함수 값이 다르지만 후자가 필요하지는 않습니다. 그러나 정말로 중요한 것은 우리가 면적 측정 과정을 통해 알고 있다는 것입니다. 두 점을 통해 직선을 그릴 수 있고 게다가 단 하나만 그릴 수 있다는 것입니다. 그럼 실행해 보겠습니다.

이제 가로축에 평행한 첫 번째 직선을 그리겠습니다. 우리는 직각삼각형을 얻습니다. 이를 $ABC$, 직각 $C$라고 부르겠습니다. 이 삼각형은 하나의 매우 흥미로운 속성을 가지고 있습니다. 사실 각도 $\alpha $는 실제로 직선 $AB$가 가로좌표 축의 연속과 교차하는 각도와 같습니다. 스스로 판단하십시오.

1. 직선 $AC$는 구조적으로 $Ox$ 축과 평행합니다.
2. $AB$ 선은 $\alpha $ 아래에서 $AC$와 교차합니다.
3. 따라서 $AB$는 동일한 $\alpha $ 아래에서 $Ox$와 교차합니다.

$\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$에 대해 무엇을 말할 수 있나요? 삼각형 $ABC$에서 다리 $BC$ 대 다리 $AC$의 비율이 바로 이 각도의 접선과 같다는 점을 제외하면 특별한 것은 없습니다. 그럼 적어 보겠습니다.

물론 이 경우 $AC$는 쉽게 계산됩니다.

$BC$의 경우에도 마찬가지입니다.

즉, 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

이제 모든 작업을 완료했으므로 차트로 돌아가서 새로운 점 $B$를 살펴보겠습니다. 이전 값을 지우고 $B$를 $((x)_(1))$에 더 가까운 곳으로 가져가겠습니다. 다시 가로좌표를 $((x)_(2))$로 표시하고 세로좌표를 $f\left(((x)_(2)) \right)$로 표시하겠습니다.

작은 삼각형 $ABC$와 그 안에 있는 $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$를 다시 살펴보겠습니다. 이것은 완전히 다른 각도가 될 것이 분명합니다. 세그먼트 $AC$ 및 $BC$의 길이가 크게 변경되었으므로 접선도 다를 것입니다. 그러나 각도의 접선에 대한 공식은 전혀 변경되지 않았습니다. - 이것은 여전히 ​​함수의 변화와 인수의 변화 사이의 관계입니다.

마지막으로 $B$를 원래 점 $A$에 더 가깝게 계속 이동합니다. 결과적으로 삼각형은 더 작아지고 $AB$ 세그먼트를 포함하는 직선은 점점 더 그래프의 접선처럼 보일 것입니다. 함수.

결과적으로, 계속해서 점들을 더 가깝게 가져오면, 즉 거리를 0으로 줄이면 $AB$ 직선은 실제로 주어진 점에서 그래프의 접선으로 바뀔 것이며 $\text( )\ !\!\alpha\!\ !\text( )$는 일반 삼각형 요소에서 그래프의 접선과 $Ox$ 축의 양의 방향 사이의 각도로 변환됩니다.

그리고 여기서 우리는 $f$의 정의로 원활하게 이동합니다. 즉, $((x)_(1))$ 지점에서 함수의 도함수는 접선과 접선 사이의 각도 $\alpha $의 접선입니다. $((x)_( 1))$ 점과 $Ox$ 축의 양의 방향에 대한 그래프:

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\연산자 이름(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

그래프로 돌아가서, 그래프의 모든 점은 $((x)_(1))$로 선택될 수 있다는 점에 유의해야 합니다. 예를 들어, 동일한 성공으로 그림에 표시된 지점에서 스트로크를 제거할 수 있습니다.

$\beta$ 축의 접선과 양의 방향 사이의 각도를 호출해 보겠습니다. 따라서 $((x)_(2))$의 $f$는 이 각도 $\beta $의 탄젠트와 같습니다.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

그래프의 각 점은 고유한 접선을 가지므로 고유한 함수 값을 갖습니다. 이러한 각 경우에 우리가 차이 또는 합의 도함수 또는 거듭제곱 함수의 도함수를 찾고 있는 지점 외에도 그로부터 어느 정도 거리에 있는 다른 지점을 취한 다음 직접적으로 연결해야 합니다. 이 지점은 원래 지점을 가리키고 물론 그 과정에서 이러한 움직임이 경사각의 탄젠트를 어떻게 변경하는지 알아보세요.

거듭제곱 함수의 파생

불행히도 그러한 정의는 우리에게 전혀 적합하지 않습니다. 이러한 모든 공식, 그림, 각도는 실제 문제에서 실제 도함수를 계산하는 방법에 대한 약간의 아이디어도 제공하지 않습니다. 따라서 공식적인 정의에서 조금 벗어나 실제 문제를 이미 해결할 수 있는 보다 효과적인 공식과 기술을 고려해 보겠습니다.

가장 간단한 구성, 즉 $y=((x)^(n))$ 형식의 함수부터 시작하겠습니다. 전원 기능. 이 경우 다음과 같이 쓸 수 있습니다: $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. 즉, 지수에 있었던 차수는 앞 승수에 표시되며, 지수 자체는 단위로 감소됩니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

또 다른 옵션은 다음과 같습니다.

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\end(align)\]

이러한 간단한 규칙을 사용하여 다음 예의 터치를 제거해 보겠습니다.

그래서 우리는 다음을 얻습니다:

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\프라임 ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

이제 두 번째 표현식을 풀어보겠습니다.

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ 프라임 ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\end(align)\]

물론 이는 매우 간단한 작업이었습니다. 그러나 실제 문제는 더 복잡하며 기능 수준에만 국한되지 않습니다.

따라서 규칙 번호 1 - 함수가 다른 두 가지 형태로 표시되면 이 합계의 도함수는 도함수의 합과 같습니다.

\[((\left(f+g \right))^(\프라임 ))=(f)"+(g)"\]

마찬가지로, 두 함수의 차이의 도함수는 도함수의 차이와 같습니다.

\[((\왼쪽(f-g \오른쪽))^(\프라임 ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\프라임 ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ 소수 ))+((\왼쪽(x \오른쪽))^(\소수 ))=2x+1\]

또한, 또 다른 중요한 규칙이 있습니다. 일부 $f$ 앞에 상수 $c$가 있고 이 함수에 곱해지면 이 전체 구조의 $f$는 다음과 같이 계산됩니다.

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\프라임 ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ 소수 ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

마지막으로 매우 중요한 규칙이 하나 더 있습니다. 문제에는 $x$가 전혀 포함되지 않은 별도의 용어가 있는 경우가 많습니다. 예를 들어, 오늘날 우리의 표현에서 이를 볼 수 있습니다. 상수의 미분, 즉 $x$에 어떤 식으로든 의존하지 않는 숫자는 항상 0과 동일하며 상수 $c$가 무엇과 같은지는 전혀 중요하지 않습니다.

\[((\left(c \right))^(\프라임 ))=0\]

솔루션 예시:

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

다시 한 번 핵심 사항:

1. 두 함수의 합의 미분은 항상 미분의 합과 같습니다: $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
2. 비슷한 이유로 두 함수의 차이의 도함수는 두 도함수의 차이와 같습니다. $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
3. 함수에 상수 요소가 있는 경우 이 상수는 도함수 기호로 꺼낼 수 있습니다. $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
4. 전체 함수가 상수이면 그 도함수는 항상 0입니다: $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

실제 예제를 통해 이 모든 것이 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다. 그래서:

우리는 다음을 적습니다:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\프라임 ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\프라임 ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\소수 ))+0=5((x) ^(4))-6x \\end(정렬)\]

이 예에서 우리는 합의 도함수와 차이의 도함수를 모두 볼 수 있습니다. 전체적으로 도함수는 $5((x)^(4))-6x$와 같습니다.

두 번째 기능으로 넘어가겠습니다.

해결책을 적어 보겠습니다.

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\소수 ))-((\left(2x \right))^(\소수 ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

여기서 우리는 답을 찾았습니다.

세 번째 기능으로 넘어가겠습니다. 더 심각한 기능입니다.

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\소수 ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\소수 ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\소수 ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\소수 ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\소수 ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\소수 ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\end(정렬)\]

우리는 답을 찾았습니다.

가장 복잡하고 긴 마지막 표현으로 넘어가겠습니다.

따라서 우리는 다음을 고려합니다.

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\프라임 ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\프라임 )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(정렬)\]

그러나 해결책은 여기서 끝나지 않습니다. 획을 제거할 뿐만 아니라 특정 지점에서 해당 값을 계산해야 하기 때문에 표현식에 $x$ 대신 -1을 사용합니다.

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

더 나아가 더욱 복잡하고 흥미로운 사례를 살펴보겠습니다. 사실은 거듭제곱 도함수 $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$는 일반적으로 생각되는 것보다 훨씬 더 넓은 범위를 가지고 있습니다. 도움을 받으면 분수, 근 등을 사용하여 예제를 풀 수 있습니다. 이것이 우리가 지금 할 일입니다.

우선, 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 데 도움이 되는 공식을 다시 한 번 적어 보겠습니다.

이제 주목하세요. 지금까지 우리는 자연수만 $n$로 간주했지만 분수와 음수까지 고려하는 데 방해가 되는 것은 없습니다. 예를 들어 다음과 같이 작성할 수 있습니다.

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ 프라임 ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\프라임 ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\끝(정렬)\]

복잡한 것은 없으므로 더 복잡한 문제를 해결할 때 이 공식이 어떻게 도움이 되는지 살펴보겠습니다. 예를 들면 다음과 같습니다.

해결책을 적어 보겠습니다.

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\프라임 ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\프라임 )) \\& ((\ left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \소수 ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\소수 ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\프라임 ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\프라임 )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\end(정렬)\]

우리의 예로 돌아가서 다음과 같이 작성해 봅시다:

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

정말 어려운 결정이네요.

두 번째 예로 넘어가겠습니다. 용어는 두 개뿐이지만 각 용어에는 고전적인 차수와 근이 모두 포함되어 있습니다.

이제 우리는 근을 포함하는 거듭제곱 함수의 도함수를 찾는 방법을 배울 것입니다:

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\프라임 ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\프라임 )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\프라임 ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\프라임 ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(정렬)\]

두 항이 모두 계산되었으므로 남은 것은 최종 답을 적는 것뿐입니다.

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

우리는 답을 찾았습니다.

거듭제곱 함수를 통한 분수 파생

그러나 거듭제곱 함수의 도함수를 풀기 위한 공식의 가능성은 여기서 끝나지 않습니다. 사실 이 도구를 사용하면 근이 있는 예뿐만 아니라 분수를 사용하여 예제도 계산할 수 있습니다. 이것은 그러한 예의 해결을 크게 단순화하는 드문 기회이지만 학생뿐만 아니라 교사도 종종 무시합니다.

이제 두 수식을 한 번에 결합해 보겠습니다. 한편으로, 거듭제곱 함수의 고전적 도함수는 다음과 같습니다.

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

반면, $\frac(1)(((x)^(n)))$ 형식의 표현식은 $((x)^(-n))$로 표시될 수 있다는 것을 알고 있습니다. 따라서,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

따라서 분자가 상수이고 분모가 도인 단순 분수의 도함수도 고전 공식을 사용하여 계산됩니다. 이것이 실제로 어떻게 작동하는지 살펴보겠습니다.

첫 번째 기능은 다음과 같습니다.

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\프라임 ))=((\left(((x)^(-2)) \ 오른쪽))^(\프라임 ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

첫 번째 예는 해결되었습니다. 두 번째 예를 살펴보겠습니다.

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\프라임 ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\프라임 ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\프라임 ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\프라임 ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\프라임 ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\프라임 ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\프라임 ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2 ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ left(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ 끝(정렬)\]...

이제 우리는 이러한 모든 용어를 단일 공식으로 수집합니다.

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

답변을 받았습니다.

그러나 계속 진행하기 전에 원래 표현식 자체를 작성하는 형식에 주의를 기울이고 싶습니다. 첫 번째 표현식에서는 $f\left(x \right)=...$를 썼고, 두 번째 표현식에서는 $y를 썼습니다. =...$ 많은 학생들은 다양한 형태의 녹음을 보고 길을 잃습니다. $f\left(x \right)$와 $y$의 차이점은 무엇입니까? 정말 아무것도 없습니다. 그들은 같은 의미를 가진 다른 항목일 뿐입니다. $f\left(x \right)$라고 말할 때 우선 함수에 대해 이야기하고 $y$에 대해 이야기할 때 가장 자주 함수의 그래프를 의미합니다. 그렇지 않으면 이는 동일한 것입니다. 즉, 두 경우의 도함수는 동일한 것으로 간주됩니다.

파생 상품의 복잡한 문제

결론적으로, 나는 오늘 우리가 고려한 모든 것을 활용하는 몇 가지 복잡한 결합 문제를 고려하고 싶습니다. 여기에는 근, 분수, 합계가 포함됩니다. 그러나 이러한 예제는 오늘의 비디오 튜토리얼에서만 복잡해질 것입니다. 정말 복잡한 파생 함수가 여러분을 기다리고 있을 것이기 때문입니다.

그래서 오늘 비디오 강의의 마지막 부분은 두 가지 결합된 작업으로 구성됩니다. 그 중 첫 번째부터 시작해 보겠습니다.

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\소수 ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\소수 ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\프라임 ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\프라임 ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\프라임 ))=((\ left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\end(정렬)\]

함수의 미분은 다음과 같습니다.

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

첫 번째 예가 해결되었습니다. 두 번째 문제를 생각해 봅시다:

두 번째 예에서도 비슷하게 진행합니다.

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4))))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \오른쪽))^(\프라임 ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \오른쪽))^(\프라임 ))+((\왼쪽 (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\프라임 ))\]

각 용어를 별도로 계산해 보겠습니다.

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\프라임 ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ 왼쪽(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\프라임 ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3 )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \프라임 ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\end(정렬)\]

모든 조건이 계산되었습니다. 이제 원래 공식으로 돌아가서 세 항을 모두 더합니다. 최종 답변은 다음과 같습니다.

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

그리고 그게 전부입니다. 이것이 우리의 첫 번째 교훈이었습니다. 다음 강의에서 우리는 좀 더 복잡한 구성을 살펴보고 우선 왜 파생 상품이 필요한지 알아볼 것입니다.

지수함수(e의 x승)와 지수함수(a의 x승)의 미분에 대한 공식 증명 및 유도. e^2x, e^3x 및 e^nx의 도함수 계산 예. 고차 파생 상품에 대한 공식.

콘텐츠

또한보십시오: 지수 함수 - 속성, 공식, 그래프
지수, e의 x 거듭제곱 - 속성, 공식, 그래프

기본 공식

지수의 미분은 지수 자체와 같습니다(e의 x 거듭제곱 미분은 e의 x 거듭제곱과 같습니다).
(1) (e x )' = e x.

밑이 a인 지수 함수의 도함수는 함수 자체에 a의 자연 로그를 곱한 것과 같습니다.
(2) .

지수는 밑이 다음 극한인 e와 같은 지수 함수입니다.
.
여기서는 자연수일 수도 있고 실수일 수도 있습니다. 다음으로, 지수의 도함수에 대한 공식(1)을 유도합니다.

지수 미분 공식 유도

e의 x제곱 지수를 고려해보세요.
y = 엑엑스 .
이 기능은 모든 사람을 위해 정의되었습니다. 변수 x에 대한 도함수를 찾아보겠습니다. 정의에 따르면 미분은 다음과 같은 한계입니다.
(3) .

이 표현을 알려진 수학적 속성과 규칙으로 변환해 보겠습니다. 이를 위해서는 다음과 같은 사실이 필요합니다.
ㅏ)지수 속성:
(4) ;
비)로그의 성질:
(5) ;
안에)로그의 연속성과 연속 함수의 극한 속성:
(6) .
여기에 한계가 있는 함수가 있는데 이 한계는 양수입니다.
G)두 번째 주목할만한 한계의 의미는 다음과 같습니다.
(7) .

이러한 사실을 극한(3)에 적용해 보겠습니다. 우리는 속성 (4)를 사용합니다:
;
.

대체를 해보자. 그 다음에 ; .
지수의 연속으로 인해,
.
따라서 , . 결과적으로 우리는 다음을 얻습니다:
.

대체를 해보자. 그 다음에 . 에 , . 그리고 우리는:
.

로그 속성(5)을 적용해 보겠습니다.
. 그 다음에
.

속성 (6)을 적용해 보겠습니다. 양의 극한이 있고 로그가 연속적이므로 다음과 같습니다.
.
여기서 우리는 두 번째 놀라운 한계(7)도 사용했습니다. 그 다음에
.

따라서 우리는 지수의 미분에 대한 공식 (1)을 얻었습니다.

지수 함수의 미분 공식 유도

이제 우리는 차수 a를 밑으로 하는 지수 함수의 도함수에 대한 공식 (2)를 유도합니다. 우리는 그것을 믿습니다. 그런 다음 지수 함수
(8)
모든 사람을 위해 정의되었습니다.

식 (8)을 변형해 보겠습니다. 이를 위해 지수 함수와 로그의 속성을 사용합니다.
;
.
그래서 우리는 식 (8)을 다음과 같은 형태로 변형했습니다.
.

e의 x 거듭제곱에 대한 고차 도함수

이제 더 높은 차수의 파생 상품을 찾아 보겠습니다. 먼저 지수를 살펴보겠습니다.
(14) .
(1) .

우리는 함수 (14)의 도함수가 함수 (14) 자체와 같다는 것을 알 수 있습니다. (1)을 미분하면 2차 및 3차 도함수를 얻을 수 있습니다.
;
.

이는 n차 도함수가 원래 함수와 동일하다는 것을 보여줍니다.
.

지수 함수의 고차 도함수

이제 밑이 a인 지수 함수를 생각해 보세요.
.
우리는 1차 도함수를 찾았습니다.
(15) .

(15)를 미분하면 2차 및 3차 도함수를 얻을 수 있습니다.
;
.

각 미분은 원래 함수의 곱셈으로 이어진다는 것을 알 수 있습니다. 따라서 n차 도함수는 다음과 같은 형식을 갖습니다.
.

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