큐브의 합을 확장하는 방법. 약식 곱셈 공식
이전 수업에서 다항식을 인수분해하는 두 가지 방법을 고려했습니다.
이 단원에서는 다항식을 인수분해하는 또 다른 방법을 살펴보겠습니다. 약식 곱셈 공식 사용.
각 수식을 12회 이상 작성하는 것이 좋습니다. 더 잘 암기하려면 작은 치트 시트에 약식 곱셈 공식을 모두 적어 두십시오.
큐브의 차이에 대한 공식이 어떻게 생겼는지 기억하십시오.
a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)큐브의 차이에 대한 공식은 기억하기 쉽지 않으므로 특별한 방법을 사용하여 기억하는 것이 좋습니다.
약식 곱셈 공식은 다음에서도 작동한다는 것을 이해하는 것이 중요합니다. 반대쪽.
(a - b)(a 2 + ab + b 2) = a 3 - b 3예를 들어 보겠습니다. 세제곱의 차이를 인수분해할 필요가 있습니다.
"27a 3"은 "(3a) 3"입니다. 즉, 세제곱의 차에 대한 공식에 "a" 대신 "3a"를 사용합니다.
우리는 큐브의 차이에 대한 공식을 사용합니다. "a 3" 대신에 "27a 3"이 있고, "b 3" 대신에 공식에서와 같이 "b 3"이 있습니다.
큐브 차이를 반대로 적용
다른 예를 살펴보겠습니다. 약식 곱셈 공식을 사용하여 다항식의 곱을 세제곱의 차이로 변환해야 합니다.
다항식의 곱 "(x − 1) (x 2 + x + 1)" 입방체 차이 ""에 대한 공식의 오른쪽과 유사하지만 " a" 대신에 " x" 그리고 " b" 의 위치는 " 1» 입니다.
"(x − 1)(x 2 + x + 1)"의 경우 반대 방향의 큐브 차이에 대한 공식을 사용합니다.
좀 더 어려운 예를 들어보겠습니다. 다항식의 곱을 단순화하는 데 필요합니다.
"(y 2 − 1)(y 4 + y 2 + 1)"을 세제곱 차 공식의 우변과 비교하면
« a 3 - b 3 = (a - b)(a 2 + ab + b 2)”, 그러면 첫 번째 괄호의 " a" 대신에 " y 2가 있고 " b" 대신에 " 1"이라는 것을 이해할 수 있습니다.
약식 곱셈 공식(FSU)은 숫자와 식을 지수화하고 곱하는 데 사용됩니다. 종종 이러한 수식을 사용하면 더 간결하고 빠르게 계산할 수 있습니다.
이 기사에서는 약식 곱셈의 주요 공식을 나열하고, 표로 그룹화하고, 이러한 공식을 사용하는 예를 고려하고, 약식 곱셈 공식을 증명하는 원칙에 대해 설명합니다.
처음으로 FSU 주제는 7학년의 "대수학" 과정에서 고려됩니다. 다음은 7가지 기본 수식입니다.
약식 곱셈 공식
- 제곱합 공식: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
- 차이 제곱 공식 : a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2
- 합 큐브 공식: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
- 차이 큐브 공식 : a - b 3 \u003d a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
- 제곱의 차 공식 : a 2 - b 2 \u003d a - b a + b
- 큐브 합계 공식 : a 3 + b 3 \u003d a + b a 2 - a b + b 2
- 큐브 차이 공식 : a 3 - b 3 \u003d a - b a 2 + a b + b 2
이 표현식의 문자 a, b, c는 숫자, 변수 또는 표현식이 될 수 있습니다. 사용하기 쉽도록 7가지 기본 공식을 암기하는 것이 좋습니다. 우리는 그것들을 표로 요약하고 상자로 둘러싸서 아래에 제공합니다.
처음 네 개의 수식을 사용하면 두 표현식의 합계 또는 차이의 제곱 또는 큐브를 각각 계산할 수 있습니다.
다섯 번째 수식은 합과 차이를 곱하여 식의 제곱의 차이를 계산합니다.
여섯 번째와 일곱 번째 공식은 각각 식의 합과 차에 차의 불완전 제곱과 합의 불완전 제곱을 곱한 것입니다.
약식 곱셈 공식은 약식 곱셈 항등식이라고도 합니다. 모든 평등은 정체성이기 때문에 이것은 놀라운 일이 아닙니다.
결정할 때 실용적인 예왼쪽과 오른쪽 부분이 재배열된 약식 곱셈 공식을 자주 사용합니다. 이는 다항식을 인수분해할 때 특히 편리합니다.
추가 약식 곱셈 공식
우리는 대수학의 7학년 과정으로 제한하지 않고 FSU 테이블에 몇 가지 공식을 추가할 것입니다.
먼저 Newton의 이항 공식을 고려하십시오.
ㅏ + bn = C n 0 an + C n 1 an - 1 b + C n 2 an - 2 b 2 + . . + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n
여기서 C n k는 파스칼의 삼각형에서 줄 번호 n에 있는 이항 계수입니다. 이항 계수는 다음 공식으로 계산됩니다.
C nk = n ! 케이! · (n - k) ! = n (n - 1) (n - 2) . . (n - (k - 1)) 케이 !
보시다시피 차이와 합계의 제곱과 세제곱에 대한 FSU는 각각 n=2와 n=3에 대한 뉴턴의 이항 공식의 특별한 경우입니다.
그러나 거듭제곱할 합계에 항이 두 개 이상 있으면 어떻게 됩니까? 3개, 4개 또는 그 이상의 항의 합의 제곱에 대한 공식이 유용할 것입니다.
1 + 2 + . . + an 2 = a 1 2 + a 2 2 + . . + 앤 2 + 2아 1아 2 + 2아 1아 3 + . . + 2a 1an + 2a 2a 3 + 2a 2a 4 + . . + 2안 2안 + 2안 - 1안
유용할 수 있는 또 다른 공식은 두 항의 n승의 차이에 대한 공식입니다.
n - bn = a - b an - 1 + an - 2b + an - 3b 2 + . . + 2 bn - 2 + bn - 1
이 공식은 일반적으로 짝수 및 홀수 각도에 대해 각각 두 개의 공식으로 나뉩니다.
짝수 지수 2m의 경우:
2m - b 2m = 2m - b 2a 2m - 2 + 2m - 4b 2 + 2m - 6b 4 + . . + 비 2m - 2
홀수 지수 2m+1의 경우:
2m + 1 - b 2m + 1 = 2 - b 2a 2m + 2m - 1b + 2m - 2b 2 + . . + b 2m
제곱의 차이와 세제곱의 차이에 대한 공식은 각각 n = 2 및 n = 3에 대한 이 공식의 특별한 경우입니다. 큐브 차이의 경우 b도 - b로 대체됩니다.
약식 곱셈 공식을 읽는 방법?
각 수식에 해당하는 수식을 제시하겠지만, 먼저 수식을 읽는 원리를 다룰 것입니다. 이를 수행하는 가장 쉬운 방법은 예제를 사용하는 것입니다. 두 숫자의 합의 제곱에 대한 첫 번째 공식을 봅시다.
a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2 .
그들은 말합니다 : 두 표현 a와 b의 합의 제곱은 첫 번째 표현의 제곱의 합, 두 표현의 곱과 두 번째 표현의 제곱의 합과 같습니다.
다른 모든 수식은 비슷하게 읽습니다. 제곱 차이 a - b 2 \u003d a 2 - 2 a b + b 2의 경우 다음과 같이 씁니다.
두 식 a와 b의 차의 제곱은 이 식의 제곱의 합에서 첫 번째 식과 두 번째 식의 곱의 두 배를 뺀 것과 같습니다.
공식 a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3을 읽어 봅시다. 두 식 a와 b의 합의 세제곱은 이들 식의 세제곱의 합과 같으며, 첫 번째 식과 두 번째 식의 제곱 곱의 세 배, 두 번째 식의 제곱 곱의 세 배입니다. 그리고 첫 번째 표현.
우리는 큐브 a-b 3 \u003d a 3-3 a 2 b + 3 a b 2-b 3의 차이에 대한 공식을 읽습니다. 두 식 a와 b의 차의 세제곱은 첫 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식과 두 번째 식의 제곱의 세 배를 뺀 것과 같고 두 번째 식과 첫 번째 식의 제곱의 세 배에서 세제곱을 뺀 값입니다. 두 번째 표현의
다섯 번째 공식 a 2 - b 2 \u003d a - b a + b (제곱의 차이)는 다음과 같이 읽습니다. 두 표현식의 제곱의 차이는 차이의 곱과 두 표현식의 합과 같습니다.
편의상 a 2 + a b + b 2 및 a 2 - a b + b 2와 같은 표현을 각각 합계의 불완전 제곱과 차이의 불완전 제곱이라고 합니다.
이를 염두에 두고 세제곱의 합과 차에 대한 공식은 다음과 같습니다.
두 표현의 세제곱의 합은 이러한 표현의 합과 그 차이의 불완전한 제곱의 곱과 같습니다.
두 식의 세제곱의 차이는 이들 식의 차이의 합계의 불완전한 제곱에 의한 곱과 같습니다.
FSU 증명
FSU를 증명하는 것은 매우 간단합니다. 곱셈의 속성에 따라 괄호 안의 수식 부분의 곱셈을 수행합니다.
예를 들어, 차이의 제곱에 대한 공식을 고려하십시오.
a-b 2 \u003d a 2-2 a b + b 2.
식을 두 번째 거듭제곱으로 올리려면 식 자체를 곱해야 합니다.
a-b 2 \u003d a-b a-b.
대괄호를 확장해 보겠습니다.
a-b a-b \u003d a 2-a b-b a + b 2 \u003d a 2-2 a b + b 2.
공식이 입증되었습니다. 다른 FSO도 비슷하게 증명됩니다.
FSO 적용 사례
약식 곱셈 공식을 사용하는 목적은 빠르고 짧은 곱셈표현력을 강화합니다. 그러나 이것이 FSO의 전체 범위는 아닙니다. 표현식 축소, 분수 축소, 다항식 인수 분해에 널리 사용됩니다. 예를 들어 보겠습니다.
예 1. FSO
식 9 y - (1 + 3 y) 2 를 단순화해 봅시다.
제곱합 공식을 적용하고 다음을 얻습니다.
9y - (1 + 3y) 2 = 9y - (1 + 6y + 9y 2) = 9y - 1 - 6y - 9y 2 = 3y - 1 - 9y 2
예 2. FSO
분수 8 x 3 -z 6 4 x 2 -z 4 를 줄입니다.
분자의 표현은 큐브의 차이이고 분모의 표현은 제곱의 차이입니다.
8 x 3-z 6 4 x 2-z 4 \u003d 2 x-z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x-z 2 x + z.
우리는 다음을 줄이고 얻습니다.
8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z
FSU는 표현식 값을 계산하는 데도 도움이 됩니다. 가장 중요한 것은 수식을 적용할 위치를 알 수 있어야 한다는 것입니다. 예를 들어 보여드리겠습니다.
숫자 79를 제곱해 봅시다. 번거로운 계산 대신 다음과 같이 작성합니다.
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
약식 곱셈 공식과 구구단을 사용하는 것만으로도 복잡한 계산이 빠르게 이루어진 것 같습니다.
또 다른 중요한 점- 이항의 제곱 선택. 4 x 2 + 4 x - 3 식은 2 x 2 + 2 2 x 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 로 변환할 수 있습니다. 이러한 변환은 통합에 널리 사용됩니다.
텍스트에 오류가 있는 경우 강조 표시하고 Ctrl+Enter를 누르십시오.
약식 곱셈 공식.
약식 곱셈 공식 연구: 합계의 제곱과 두 식의 차의 제곱; 두 식의 제곱의 차이; 두 식의 합의 세제곱과 차의 세제곱; 두 식의 세제곱의 합과 차.
예제를 풀 때 약식 곱셈 공식 적용.
식을 단순화하고 다항식을 인수 분해하고 다항식을 표준 형식으로 줄이기 위해 약식 곱셈 공식이 사용됩니다. 마음으로 알아야 할 약식 곱셈 공식.
a, b R이라고 하자. 그러면:
1. 두 표현식의 합의 제곱은 다음과 같습니다.첫 번째 식의 제곱에 첫 번째 식의 곱의 두 배를 더하고 두 번째 식에 두 번째 식의 제곱을 더한 것입니다.
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
2. 두 식의 차의 제곱은 다음과 같습니다.첫 번째 식의 제곱에서 첫 번째 식의 곱의 두 배를 뺀 값과 두 번째 식의 곱에서 두 번째 식의 제곱을 더한 값입니다.
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
3. 제곱의 차이두 표현은 이러한 표현의 차이와 그 합계의 곱과 같습니다.
a 2-b 2 \u003d (a-b) (a + b)
4. 합계 큐브두 식의 곱은 첫 번째 식의 세제곱에 첫 번째 식의 제곱 곱하기 두 번째 식 곱하기 세 번 곱하기 두 번째 식의 제곱 더하기 두 번째 식의 세제곱을 더한 것과 같습니다.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. 차이 큐브두 식의 제곱은 첫 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 제곱 곱의 세 배를 뺀 것과 같고, 두 번째 식의 세제곱에서 첫 번째 식의 곱을 더한 값의 세 배를 더한 값과 두 번째 식의 세제곱에서 두 번째 식의 세제곱을 뺀 값과 같습니다.
(a - b) 3 = 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3
6. 큐브의 합두 식은 첫 번째 식과 두 번째 식의 합에 이들 식 차이의 불완전 제곱을 곱한 것과 같습니다.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2-ab + b 2)
7. 큐브의 차이두 식의 는 첫 번째 식과 두 번째 식의 차이를 이들 식의 합의 불완전 제곱으로 곱한 것과 같습니다.
a 3-b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
예제를 풀 때 약식 곱셈 공식 적용.
예 1
계산하다
a) 두 식의 합의 제곱에 대한 공식을 사용하여
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
b) 두 식의 차 제곱에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
98 2 \u003d (100-2) 2 \u003d 100 2-2100 2 + 2 2 \u003d 10000-400 + 4 \u003d 9604
예 2
계산하다
두 식의 제곱의 차이에 대한 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
예 3
표현식 단순화
(x - y) 2 + (x + y) 2
우리는 두 식의 합의 제곱과 차의 제곱에 대한 공식을 사용합니다.
(x-y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2-2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
한 테이블의 약식 곱셈 공식:
(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2
(a - b) 2 = a2 - 2ab + b2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = 3 - 3a 2b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2-ab + b 2)
a 3-b 3 \u003d (a-b) (a 2 + ab + b 2)
제곱의 차이
제곱의 차이 $a^2-b^2$에 대한 공식을 유도합니다.
이렇게 하려면 다음 규칙을 기억하십시오.
식에 단항식을 더하고 동일한 단항식을 빼면 올바른 항등식을 얻습니다.
표현식에 더하고 단항식 $ab$를 뺍니다.
전체적으로 다음을 얻습니다.
즉, 두 단항식의 제곱의 차이는 차이와 합의 곱과 같습니다.
예 1
$(4x)^2-y^2$의 곱으로 표현
\[(4x)^2-y^2=((2x))^2-y^2\]
\[((2x))^2-y^2=\왼쪽(2x-y\오른쪽)(2x+y)\]
큐브의 합
큐브의 합 $a^3+b^3$에 대한 공식을 유도합니다.
괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.
대괄호에서 $\left(a+b\right)$를 빼봅시다:
전체적으로 다음을 얻습니다.
즉, 두 단항식의 세제곱의 합은 그들의 차이의 불완전한 제곱에 의한 합의 곱과 같습니다.
예 2
제품으로 표현 $(8x)^3+y^3$
이 식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.
\[(8x)^3+y^3=((2x))^3+y^3\]
제곱의 차이 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
\[((2x))^3+y^3=\왼쪽(2x+y\오른쪽)(4x^2-2xy+y^2)\]
큐브의 차이
세제곱 $a^3-b^3$의 차이에 대한 공식을 유도합니다.
이를 위해 위와 동일한 규칙을 사용합니다.
식에 단항식 $a^2b\ 및\ (ab)^2$를 더하고 뺍시다:
괄호에서 공통 요소를 제거해 보겠습니다.
대괄호에서 $\left(a-b\right)$를 빼봅시다:
전체적으로 다음을 얻습니다.
즉, 두 단항식 세제곱의 차는 그 차의 곱과 그 합의 불완전한 제곱을 곱한 것과 같습니다.
예 3
$(8x)^3-y^3$의 곱으로 표현
이 식은 다음 형식으로 다시 작성할 수 있습니다.
\[(8x)^3-y^3=((2x))^3-y^3\]
제곱의 차이 공식을 사용하여 다음을 얻습니다.
\[((2x))^3-y^3=\왼쪽(2x-y\오른쪽)(4x^2+2xy+y^2)\]
제곱의 차와 세제곱의 합과 차에 대한 공식을 사용하는 작업의 예
예 4
곱하다.
가) $((a+5))^2-9$
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
해결책:
가) $((a+5))^2-9$
\[(((a+5))^2-9=(a+5))^2-3^2\]
제곱의 차이 공식을 적용하면 다음을 얻습니다.
\[((a+5))^2-3^2=\left(a+5-3\right)\left(a+5+3\right)=\left(a+2\right)(a +8)\]
적어보자 주어진 표현처럼:
큐브의 큐브 공식을 적용해 봅시다.
c) $-x^3+\frac(1)(27)$
이 식을 다음 형식으로 작성해 보겠습니다.
\[-x^3+\frac(1)(27)=(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3\]
큐브의 큐브 공식을 적용해 봅시다.
\[(\left(\frac(1)(3)\right))^3-x^3=\left(\frac(1)(3)-x\right)\left(\frac(1)( 9)+\frac(x)(3)+x^2\right)\]
감소된 곱셈의 공식 또는 규칙은 큰 대수식을 계산하는 더 빠른 프로세스를 위해 산술, 특히 대수학에서 사용됩니다. 공식 자체는 여러 다항식의 곱셈에 대한 대수학의 기존 규칙에서 파생됩니다.
이러한 공식을 사용하면 다양한 수학적 문제에 대한 상당히 빠른 솔루션을 제공하고 표현식을 단순화하는 데도 도움이 됩니다. 대수 변환의 규칙을 사용하면 표현식을 사용하여 몇 가지 조작을 수행할 수 있으며, 이에 따라 오른쪽에 있는 평등의 왼쪽에 있는 표현식을 얻거나 평등의 오른쪽을 변환( 등호 뒤의 왼쪽).
문제와 방정식을 푸는 데 자주 사용되므로 메모리에 의한 약식 곱셈에 사용되는 공식을 아는 것이 편리합니다. 이 목록에 포함된 주요 공식과 이름은 다음과 같습니다.
합계 제곱
합계의 제곱을 계산하려면 첫 번째 항의 제곱, 첫 번째 항과 두 번째 항의 곱의 두 배, 두 번째 항의 제곱으로 구성된 합계를 찾아야 합니다. 식의 형태로 이 규칙은 다음과 같이 작성됩니다: (a + c)² = a² + 2ac + c².
차이의 제곱
차이의 제곱을 계산하려면 첫 번째 숫자의 제곱, 첫 번째 숫자와 두 번째 숫자의 곱(부호 반대)의 두 배, 두 번째 숫자의 제곱으로 구성된 합계를 계산해야 합니다. 식의 형태로 이 규칙은 다음과 같습니다. (a - c)² \u003d a² - 2ac + c².
제곱의 차이
두 숫자의 제곱 차이에 대한 공식은 이러한 숫자의 합과 그 차이의 곱과 같습니다. 식의 형태로 이 규칙은 다음과 같습니다. a² - c² \u003d (a + c) (a - c).
합계 큐브
두 항의 합의 세제곱을 계산하려면 첫 항의 세제곱, 첫 항의 제곱과 두 번째 항의 곱의 세 배, 첫 항의 삼중 곱과 두 번째 제곱, 두 번째 항의 세제곱. 식의 형태로 이 규칙은 다음과 같습니다. (a + c)³ \u003d a³ + 3a²c + 3ac² + c³.
큐브의 합
공식에 따르면, 이 용어의 합계와 불완전한 차이의 제곱의 곱과 같습니다. 식의 형태로 이 규칙은 다음과 같습니다. a³ + c³ \u003d (a + c) (a² - ac + c²).
예.두 개의 큐브를 추가하여 형성된 그림의 부피를 계산할 필요가 있습니다. 변의 크기만 알려져 있습니다.
변의 값이 작으면 계산하기 쉽습니다.
측면의 길이가 성가신 숫자로 표현되면 "Sum of Cubes"공식을 적용하는 것이 더 쉬워 계산이 크게 단순화됩니다.
차이 큐브
3차 차이에 대한 표현은 다음과 같이 들립니다. 첫 번째 항의 3제곱의 합으로 첫 번째 항의 제곱의 음수 곱을 두 번째로 세 배, 첫 번째 항의 곱을 두 번째 제곱으로 세 배 , 그리고 두 번째 용어의 음수 큐브. 수학적 표현의 형태로 차이 큐브는 다음과 같습니다. (a - c)³ \u003d a³ - 3a²c + 3ac² - c³.
큐브의 차이
세제곱의 차이에 대한 공식은 세제곱의 합과 단 하나의 부호만 다릅니다. 따라서 큐브의 차이는 불완전한 합계의 제곱으로 이러한 숫자의 차이를 곱한 것과 같은 공식입니다. 형식에서 큐브의 차이는 다음과 같습니다. a 3 - c 3 \u003d (a - c) (a 2 + ac + c 2).
예.파란 정육면체의 부피에서 빼서 남을 도형의 부피를 계산해야 합니다. 체적 수치노란색도 입방체입니다. 작은 입방체와 큰 입방체의 한 변의 크기만 알려져 있습니다.
측면의 값이 작으면 계산이 매우 간단합니다. 그리고 측면의 길이가 유효 숫자로 표현되면 계산을 크게 단순화하는 "Difference of Cubes"(또는 "Difference Cube")라는 공식을 사용할 가치가 있습니다.
