Как разобраться в графиках функций. Функции и графики

Знание основных элементарных функций, их свойств и графиков не менее важно, чем знание таблицы умножения. Они как фундамент, на них все основано, из них все строится и к ним все сводится.

В этой статье мы перечислим все основные элементарные функции, приведем их графики и дадим без вывода и доказательств свойства основных элементарных функций по схеме:

поведение функции на границах области определения, вертикальные асимптоты (при необходимости смотрите статью классификация точек разрыва функции);
четность и нечетность;
промежутки выпуклости (выпуклости вверх) и вогнутости (выпуклости вниз), точки перегиба (при необходимости смотрите статью выпуклость функции, направление выпуклости, точки перегиба, условия выпуклости и перегиба);
наклонные и горизонтальные асимптоты;
особые точки функций;
особые свойства некоторых функций (например, наименьший положительный период у тригонометрических функций).

Если Вас интересует или , то можете перейти к этим разделам теории.

Основными элементарными функциями являются: постоянная функция (константа), корень n -ой степени, степенная функция, показательная, логарифмическая функция, тригонометрические и обратные тригонометрические функции.

Навигация по странице.

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , где C – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 , y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

Область определения: все множество действительных чисел.
Постоянная функция является четной.
Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .
Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).
Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.
Асимптот нет.
Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n -ой степени.

Рассмотрим основную элементарную функцию, которая задается формулой , где n – натуральное число, большее единицы.

Корень n -ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .

Для примера приведем рисунок с изображениями графиков функций и , им соответствуют черная, красная и синяя линии.

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

Корень n -ой степени, n - нечетное число.

Функция корень n -ой степени с нечетным показателем корня n определена на всем множестве действительных чисел. Для примера приведем графики функций и , им соответствуют черная, красная и синяя кривые.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .

Степенная функция.

Степенная функция задается формулой вида .

Рассмотрим вид графиков степенной функции и свойства степенной функции в зависимости от значения показателя степени.

Начнем со степенной функции с целым показателем a . В этом случае вид графиков степенных функций и свойства функций зависят от четности или нечетности показателя степени, а также от его знака. Поэтому сначала рассмотрим степенные функции при нечетных положительных значениях показателя a , далее - при четных положительных, далее - при нечетных отрицательных показателях степени, и, наконец, при четных отрицательных a .

Свойства степенных функций с дробными и иррациональными показателями (как и вид графиков таких степенных функций) зависят от значения показателя a . Их будем рассматривать, во-первых, при a от нуля до единицы, во-вторых, при a больших единицы, в-третьих, при a от минус единицы до нуля, в-четвертых, при a меньших минус единицы.

В заключении этого пункта для полноты картины опишем степенную функцию с нулевым показателем.

Степенная функция с нечетным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию при нечетном положительном показателе степени, то есть, при а=1,3,5,… .

На рисунке ниже приведены графики степенных фнукций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=1 имеем линейную функцию y=x .

Свойства степенной функции с нечетным положительным показателем.

Степенная функция с четным положительным показателем.

Рассмотрим степенную функцию с четным положительным показателем степени, то есть, при а=2,4,6,… .

В качестве примера приведем графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия. При а=2 имеем квадратичную функцию, графиком которой является квадратичная парабола .

Свойства степенной функции с четным положительным показателем.

Степенная функция с нечетным отрицательным показателем.

Посмотрите на графики степенной функции при нечетных отрицательных значениях показателя степени, то есть, при а=-1,-3,-5,… .

На рисунке в качестве примеров показаны графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия, – зеленая линия. При а=-1 имеем обратную пропорциональность , графиком которой является гипербола .

Свойства степенной функции с нечетным отрицательным показателем.

Степенная функция с четным отрицательным показателем.

Перейдем к степенной функции при а=-2,-4,-6,… .

На рисунке изображены графики степенных функций – черная линия, – синяя линия, – красная линия.

Свойства степенной функции с четным отрицательным показателем.

Степенная функция с рациональным или иррациональным показателем, значение которого больше нуля и меньше единицы.

Обратите внимание! Если a - положительная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество . Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Рассмотрим степенную функцию с рациональным или иррациональным показателем a , причем .

Приведем графики степенных функций при а=11/12 (черная линия), а=5/7 (красная линия), (синяя линия), а=2/5 (зеленая линия).

Степенная функция с нецелым рациональным или иррациональным показателем, большим единицы.

Рассмотрим степенную функцию с нецелым рациональным или иррациональным показателем a , причем .

Приведем графики степенных функций, заданных формулами (черная, красная, синяя и зеленая линии соответственно).

При других значениях показателя степени a , графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства степенной функции при .

Степенная функция с действительным показателем, который больше минус единицы и меньше нуля.

Обратите внимание! Если a - отрицательная дробь с нечетным знаменателем, то некоторые авторы считают областью определения степенной функции интервал . При этом оговариваются, что показатель степени a – несократимая дробь. Сейчас авторы многих учебников по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Мы будем придерживаться именно такого взгляда, то есть, будем считать областями определения степенных функций с дробными дробными отрицательными показателями степени множество соответственно. Рекомендуем учащимся узнать взгляд Вашего преподавателя на этот тонкий момент, чтобы избежать разногласий.

Переходим к степенной функции , кгода .

Чтобы хорошо представлять вид графиков степенных функций при , приведем примеры графиков функций (черная, красная, синяя и зеленая кривые соответственно).

Свойства степенной функции с показателем a , .

Степенная функция с нецелым действительным показателем, который меньше минус единицы.

Приведем примеры графиков степенных функций при , они изображены черной, красной, синей и зеленой линиями соответственно.

Свойства степенной функции с нецелым отрицательным показателем, меньшим минус единицы.

При а=0 и имеем функцию - это прямая из которой исключена точка (0;1) (выражению 0 0 условились не придавать никакого значения).

Показательная функция.

Одной из основных элементарных функций является показательная функция.

График показательной функции , где и принимает различный вид в зависимости от значения основания а . Разберемся в этим.

Сначала рассмотрим случай, когда основание показательной функции принимает значение от нуля до единицы, то есть, .

Для примера приведем графики показательной функции при а = 1/2 – синяя линия, a = 5/6 – красная линия. Аналогичный вид имеют графики показательной функции при других значениях основания из интервала .

Свойства показательной функции с основанием меньшим единицы.

Переходим к случаю, когда основание показательной функции больше единицы, то есть, .

В качестве иллюстрации приведем графики показательных функций – синяя линия и – красная линия. При других значениях основания, больших единицы, графики показательной функции будут иметь схожий вид.

Свойства показательной функции с основанием большим единицы.

Логарифмическая функция.

Следующей основной элементарной функцией является логарифмическая функция , где , . Логарифмическая функция определена лишь для положительных значений аргумента, то есть, при .

График логарифмической функции принимает различный вид в зависимости от значения основания а .

Постоянная функция.

Постоянная функция задается на множестве всех действительных чисел формулой , гдеC – некоторое действительное число. Постоянная функция ставит в соответствие каждому действительному значению независимой переменной x одно и то же значение зависимой переменной y – значение С . Постоянную функцию также называют константой.

Графиком постоянной функции является прямая, параллельная оси абсцисс и проходящая через точку с координатами (0,C) . Для примера покажем графики постоянных функций y=5 ,y=-2 и , которым на рисунке, приведенном ниже, отвечают черная, красная и синяя прямые соответственно.

Свойства постоянной функции.

Область определения: все множество действительных чисел.

Постоянная функция является четной.

Область значений: множество, состоящее из единственного числа С .

Постоянная функция невозрастающая и неубывающая (на то она и постоянная).

Говорить о выпуклости и вогнутости постоянной не имеет смысла.

Асимптот нет.

Функция проходит через точку (0,C) координатной плоскости.

Корень n-ой степени.

Корень n-ой степени, n - четное число.

Начнем с функции корень n -ой степени при четных значениях показателя корня n .

Аналогичный вид имеют графики функций корень четной степени при других значениях показателя.

Свойства функции корень n -ой степени при четных n .

Корень n-ой степени, n - нечетное число.

При других нечетных значениях показателя корня графики функции будут иметь схожий вид.

Свойства функции корень n -ой степени при нечетных n .

1. Дробно-линейная функция и ее график

Функция вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, называется дробно-рациональной функцией.

С понятием рациональных чисел вы уже наверняка знакомы. Аналогично рациональные функции – это функции, которые можно представить как частное двух многочленов.

Если дробно-рациональная функция представляет собой частное двух линейных функций – многочленов первой степени, т.е. функцию вида

y = (ax + b) / (cx + d), то ее называют дробно-линейной.

Заметим, что в функции y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (иначе функция становится линейной y = ax/d + b/d) и что a/c ≠ b/d (иначе функция константа). Дробно-линейная функция определена при всех действительных числах, кроме x = -d/c. Графики дробно-линейных функций по форме не отличаются от известного вам графика y = 1/x. Кривая, являющаяся графиком функции y = 1/x, называется гиперболой . При неограниченном увеличении x по абсолютной величине функция y = 1/x неограниченно уменьшается по абсолютной величине и обе ветки графика приближаются к оси абсцисс: правая приближается сверху, а левая – снизу. Прямые, к которым приближаются ветки гиперболы, называются ее асимптотами .

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Выделим целую часть: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 3 единичных отрезка вправо, растяжением вдоль оси Oy в 7 раз и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх.

Любую дробь y = (ax + b) / (cx + d) можно записать аналогичным образом, выделив «целую часть». Следовательно, графики всех дробно-линейных функций есть гиперболы, различным образом сдвинутые вдоль координатных осей и растянутые по оси Oy.

Для построения графика какой-нибудь произвольной дробно-линейной функции совсем не обязательно дробь, задающую эту функцию, преобразовывать. Поскольку мы знаем, что график есть гипербола, будет достаточно найти прямые, к которым приближаются ее ветки – асимптоты гиперболы x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Найти асимптоты графика функции y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функция не определена, при x = -1. Значит, прямая x = -1 служит вертикальной асимптотой. Для нахождения горизонтальной асимптоты, выясним, к чему приближаются значения функции y(x), когда аргумент x возрастает по абсолютной величине.

Для этого разделим числитель и знаменатель дроби на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробь будет стремиться к 3/2. Значит, горизонтальная асимптота – это прямая y = 3/2.

Пример 3.

Построить график функции y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Выделим у дроби «целую часть»:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Теперь легко видеть, что график этой функции получается из графика функции y = 1/x следующими преобразованиями: сдвигом на 1 единицу влево, симметричным отображением относительно Ox и сдвигом на 2 единичных отрезка вверх по оси Oy.

Область определения D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Область значений E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Точки пересечения с осями: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функция возрастает на каждом из промежутков области определения.

Ответ: рисунок 1.

2. Дробно-рациональная функция

Рассмотрим дробно-рациональную функцию вида y = P(x) / Q(x), где P(x) и Q(x) – многочлены, степени выше первой.

Примеры таких рациональных функций:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Если функция y = P(x) / Q(x) представляет собой частное двух многочленов степени выше первой, то ее график будет, как правило, сложнее, и построить его точно, со всеми деталями бывает иногда трудно. Однако, часто достаточно применить приемы, аналогичные тем, с которыми мы уже познакомились выше.

Пусть дробь – правильная (n < m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Очевидно, что график дробно-рациональной функции можно получить как сумму графиков элементарных дробей.

Построение графиков дробно-рациональных функций

Рассмотрим несколько способов построения графиков дробно-рациональной функции.

Пример 4.

Построить график функции y = 1/x 2 .

Решение.

Используем график функции y = x 2 для построения графика y = 1/x 2 и воспользуемся приемом «деления» графиков.

Область определения D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Область значений E(y) = (0; +∞).

Точек пересечения с осями нет. Функция четная. Возрастает при все х из интервала (-∞; 0), убывает при x от 0 до +∞.

Ответ: рисунок 2.

Пример 5.

Построить график функции y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Область определения D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/3 + 1/3.

Здесь мы использовали прием разложения на множители, сокращения и приведения к линейной функции.

Ответ: рисунок 3.

Пример 6.

Построить график функции y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Область определения D(y) = R. Так как функция четная, то график симметричен относительно оси ординат. Прежде чем строить график, опять преобразуем выражение, выделив целую часть:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Заметим, что выделение целой части в формуле дробно-рациональной функции является одним из основных при построении графиков.

Если x → ±∞, то y → 1, т.е. прямая y = 1 является горизонтальной асимптотой.

Ответ: рисунок 4.

Пример 7.

Рассмотрим функцию y = x/(x 2 + 1) и попробуем точно найти наибольшее ее значение, т.е. самую высокую точку правой половины графика. Чтобы точно построить этот график, сегодняшних знаний недостаточно. Очевидно, что наша кривая не может «подняться» очень высоко, т.к. знаменатель довольно быстро начинает «обгонять» числитель. Посмотрим, может ли значение функции равняться 1. Для этого нужно решить уравнение x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Это уравнение не имеет действительных корней. Значит, наше предположение не верно. Чтобы найти самое большое значение функции, надо узнать, при каком самом большом А уравнение А = x/(x 2 + 1) будет иметь решение. Заменим исходное уравнение квадратным: Аx 2 – x + А = 0. Это уравнение имеет решение, когда 1 – 4А 2 ≥ 0. Отсюда находим наибольшее значение А = 1/2.

Ответ: рисунок 5, max y(x) = ½.

Остались вопросы? Не знаете, как строить графики функций?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Линейной функцией называется функция вида y=kx+b, где x-независимая переменная, k и b-любые числа.
Графиком линейной функции является прямая.

1. Чтобы постороить график функции, нам нужны координаты двух точек, принадлежащих графику функции. Чтобы их найти, нужно взять два значения х, подставить их в уравнение функции, и по ним вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y= ⅓ x+2, удобно взять x=0 и x=3, тогда ординаты эти точек будут равны y=2 и y=3. Получим точки А(0;2) и В(3;3). Соединим их и получим график функции y= ⅓ x+2:

2. В формуле y=kx+b число k называется коэффицентом пропорциональности:
если k>0, то функция y=kx+b возрастает
если k
Коэффициент b показывает смещение графика функции вдоль оси OY:
если b>0, то график функции y=kx+b получается из графика функцииy=kx сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY
если b
На рисунке ниже изображены графики функций y=2x+3; y= ½ x+3; y=x+3

Заметим, что во всех этих функциях коэффициент k больше нуля, и функции являются возрастающими. Причем, чем больше значение k, тем больше угол наклона прямой к положительному направлению оси OX.

Во всех функциях b=3 – и мы видим, что все графики пересекают ось OY в точке (0;3)

Теперь рассмотрим графики функций y=-2x+3; y=- ½ x+3; y=-x+3

На этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и функции убывают. Коэффициент b=3, и графики также как в предыдущем случае пересекают ось OY в точке (0;3)

Рассмотрим графики функций y=2x+3; y=2x; y=2x-3

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны 2. И мы получили три параллельные прямые.

Но коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:
График функции y=2x+3 (b=3) пересекает ось OY в точке (0;3)
График функции y=2x (b=0) пересекает ось OY в точке (0;0) - начале координат.
График функции y=2x-3 (b=-3) пересекает ось OY в точке (0;-3)

Итак, если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем сразу представить, как выглядит график функции y=kx+b.
Если k 0

Если k>0 и b>0 , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k>0 и b , то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k, то график функции y=kx+b имеет вид:

Если k=0 , то функция y=kx+b превращается в функцию y=b и ее график имеет вид:

Ординаты всех точек графика функции y=b равны b Если b=0 , то график функции y=kx (прямая пропорциональность) проходит через начало координат:

3. Отдельно отметим график уравнения x=a. График этого уравнения представляет собой прямую линию, параллельую оси OY все точки которой имеют абсциссу x=a.

Например, график уравнения x=3 выглядит так:
Внимание! Уравнение x=a не является функцией, так одному значению аргумента соотвутствуют разные значения функции, что не соответствует определению функции.

4. Условие параллельности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 параллелен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 =k 2

5. Условие перепендикулярности двух прямых:

График функции y=k 1 x+b 1 перепендикулярен графику функции y=k 2 x+b 2 , если k 1 *k 2 =-1 или k 1 =-1/k 2

6. Точки пересечения графика функции y=kx+b с осями координат.

С осью ОY. Абсцисса любой точки, принадлежащей оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Получим y=b. То есть точка пересечения с осью OY имеет координаты (0;b).

С осью ОХ: Ордината любой точки, принадлежащей оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. Получим 0=kx+b. Отсюда x=-b/k. То есть точка пересечения с осью OX имеет координаты (-b/k;0):

Элементарные функции и их графики

Прямая пропорциональность. Линейная функция .

Обратная пропорциональность. Гипербола.

Квадратичная функция . Квадратная парабола.

Степенная функция. Показательная функция.

Логарифмическая функция . Тригонометрические функции.

Обратные тригонометрические функции.

1.	Пропорциональные величины. Если переменные y и x прямо пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k x , где k - постоянная величина ( коэффициент пропорциональности ). График прямой пропорциональности – прямая линия, проходящая через начало координат и образующая с осью X угол , тангенс которого равен k : tan = k (рис.8). Поэтому, коэффициент пропорциональности называется также угловым коэффициентом . На рис.8 показаны три графика для k = 1/3, k = 1 и k = 3 .
2.	Линейная функция. Если переменные y и x связаны уравнением 1-ой степени: A x + B y = C , где по крайней мере одно из чисел A или B не равно нулю, то графиком этой функциональной зависимости является прямая линия . Если C = 0, то она проходит через начало координат, в противном случае - нет. Графики линейных функций для различных комбинаций A , B , C показаны на рис.9.
3.	Обратная пропорциональность. Если переменные y и x обратно пропорциональны , то функциональная зависимость между ними выражается уравнением: y = k / x , где k - постоянная величина. График обратной пропорциональности – гипербола (рис.10). У этой кривой две ветви. Гиперболы получаются при пересечении кругового конуса плоскостью (о конических сечениях см. раздел «Конус» в главе «Стереометрия»). Как показано на рис.10, произведение координат точек гиперболы есть величина постоянная, в нашем примере равная 1. В общем случае эта величина равна k , что следует из уравнения гиперболы: xy = k . Основные характеристики и свойства гиперболы: Область определения функции: x 0, область значений: y 0 ; Функция монотонная (убывающая) при x < 0 и при x > 0, но не монотонная в целом из-за точки разрыва x = 0 (подумайте, почему?); Функция неограниченная, разрывная в точке x = 0, нечётная, непериодическая; - нулей функция не имеет.
4.	Квадратичная функция. Это функция: y = ax 2 + bx + c , где a, b, c - постоянные, a 0. В простейшем случае имеем: b = c = 0 и y = ax 2 . График этой функции квадратная парабола - кривая, проходящая через начало координат (рис.11). Каждая парабола имеет ось симметрии OY , которая называется осью параболы . Точка O пересечения параболы с её осью называется вершиной параболы . График функции y = ax 2 + bx + c - тоже квадратная парабола того же вида, что и y = ax 2 , но её вершина лежит не в начале координат, а в точке с координатами: Форма и расположение квадратной параболы в системе координат полностью зависит от двух параметров: коэффициента a при x 2 и дискриминанта D : D = b 2 – 4ac . Эти свойства следуют из анализа корней квадратного уравнения (см. соответствующий раздел в главе «Алгебра»). Все возможные различные случаи для квадратной параболы показаны на рис.12.

Изобразите, пожалуйста, квадратную параболу для случая a > 0, D > 0 .

Основные характеристики и свойства квадратной параболы:

Область определения функции:  < x + (т.e. x R ), а область

значений: … (ответьте, пожалуйста, на этот вопрос сами!);

Функция в целом не монотонна, но справа или слева от вершины

ведёт себя, как монотонная;

Функция неограниченная, всюду непрерывная, чётная при b = c = 0,

и непериодическая;

- при D < 0 не имеет нулей. (А что при D 0 ?) .

5.	Степенная функция. Это функция: y = ax n , где a , n – постоянные. При n = 1 получаем прямую пропорциональность : y = ax ; при n = 2 - квадратную параболу ; при n = 1 - обратную пропорциональность или гиперболу . Таким образом, эти функции - частные случаи степенной функции. Мы знаем, что нулевая степень любого числа, отличного от нуля, равна 1, cледовательно, при n = 0 степенная функция превращается в постоянную величину: y = a , т.e. её график - прямая линия, параллельная оси Х , исключая начало координат (поясните, пожалуйста, почему?). Все эти случаи (при a = 1) показаны на рис.13 (n 0) и рис.14 (n < 0). Отрицательные значения x здесь не рассматриваются, так как тогда некоторые функции: Если n – целые, степенные функции имеют смысл и при x < 0, но их графики имеют различный вид в зависимости от того, является ли n чётным числом или нечётным. На рис.15 показаны две такие степенные функции: для n = 2 и n = 3. При n = 2 функция чётная и её график симметричен относительно оси Y . При n = 3 функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. Функция y = x 3 называется кубической параболой . На рис.16 представлена функция . Эта функция является обратной к квадратной параболе y = x 2 , её график получается поворотом графика квадратной параболы вокруг биссектрисы 1-го координатного углаЭто способ получения графика любой обратной функции из графика её исходной функции. Мы видим по графику, что это двузначная функция (об этом говорит и знак  перед квадратным корнем). Такие функции не изучаются в элементарной математике, поэтому в качестве функции мы рассматриваем обычно одну из её ветвей: верхнюю или нижнюю.
6.	Показательная функция. Функция y = a x , где a - положительное постоянное число, называется показательной функцией . Аргумент x принимает любые действительные значения ; в качестве значений функции рассматриваются только положительные числа , так как иначе мы имеем многозначную функцию. Так, функция y = 81 x имеет при x = 1/4 четыре различных значения: y = 3, y = 3, y = 3 i и y = 3 i (проверьте, пожалуйста!). Но мы рассматриваем в качестве значения функции только y = 3. Графики показательной функции для a = 2 и a = 1/2 представлены на рис.17. Они проходят через точку (0, 1). При a = 1 мы имеем график прямой линии, параллельной оси Х , т.e. функция превращается в постоянную величину, равную 1. При a > 1 показательная функция возрастает, a при 0 < a < 1 – убывает. Основные характеристики и свойства показательной функции:  < x + (т.e. x R ); область значений: y > 0 ; Функция монотонна: возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; - нулей функция не имеет.
7.	Логарифмическая функция. Функция y = log a x , где a – постоянное положительное число, не равное 1, называется логарифмической . Эта функция является обратной к показательной функции; её график (рис.18) может быть получен поворотом графика показательной функции вокруг биссектрисы 1-го координатного угла. Основные характеристики и свойства логарифмической функции: Область определения функции: x > 0, а область значений:  < y + (т.e. y R ); Это монотонная функция: она возрастает при a > 1 и убывает при 0 < a < 1; Функция неограниченная, всюду непрерывная, непериодическая; У функции есть один ноль: x = 1.
8.	Тригонометрические функции. При построении тригонометрических функций мы используем радианную меру измерения углов. Тогда функция y = sin x представляется графиком (рис.19). Эта кривая называется синусоидой . График функции y = cos x представлен на рис.20; это также синусоида, полученная в результате перемещения графика y = sin x вдоль оси Х влево на 2 Из этих графиков очевидны характеристики и свойства этих функций: Область определения:  < x +  область значений: 1 y +1; Эти функции периодические: их период 2; Функции ограниченные (\| y \| , всюду непрерывные, не монотонные, но имеющие так называемые интервалы монотонности , внутри которых они ведут себя, как монотонные функции (см. графики рис.19 и рис.20); Функции имеют бесчисленное множество нулей (подробнее см. раздел «Тригонометрические уравнения»). Графики функций y = tan x и y = cot x показаны соответственно на рис.21 и рис.22 Из графиков видно, что эти функции: периодические (их период , неограниченные, в целом не монотонные, но имеют интервалы монотонности (какие?), разрывные (какие точки разрыва имеют эти функции?). Область определения и область значений этих функций:
9.	Обратные тригонометрические функции. Определения обратных тригонометрических функций и их основные свойства приведены в одноимённом разделе в главе «Тригонометрия». Поэтому здесь мы ограничимся лишь короткими комметариями, касающимися их графиков, полученных поворотом графиков тригонометрических функций вокруг биссектрисы 1-го координатного угла.

Функции y = Arcsin x (рис.23) и y = Arccos x (рис.24) многозначные, неограниченные; их область определения и область значений соответственно: 1 x +1 и  < y + . Поскольку эти функции многозначные, не

рассматриваемые в элементарной математике, в качестве обратных тригонометрических функций рассматриваются их главные значения: y = arcsin x и y = arccos x ; их графики выделены на рис.23 и рис.24 жирными линиями.

Функции y = arcsin x и y = arccos x обладают следующими характеристиками и свойствами:

У обеих функций одна и та же область определения: 1 x +1 ;

их области значений: /2 y /2 для y = arcsin x и 0 y для y = arccos x ;

(y = arcsin x – возрастающая функция; y = arccos x – убывающая);

Каждая функция имеет по одному нулю (x = 0 у функции y = arcsin x и

x = 1 у функции y = arccos x ).

Функции y = Arctan x (рис.25) и y = Arccot x (рис.26) - многозначные, неограниченные функции; их область определения: x + . Их главные значения y = arctan x и y = arccot x рассматриваются в качестве обратных тригонометрических функций; их графики выделены на рис.25 и рис.26 жирными ветвями.

Функции y = arctan x и y = arccot x имеют следующие характеристики и свойства:

У обеих функций одна и та же область определения: x + ;

их области значений: /2 < y < /2 для y = arctan x и 0 < y < для y = arccos x ;

Функции ограниченные, непериодические, непрерывные и монотонные

(y = arctan x – возрастающая функция; y = arccot x – убывающая);

Только функция y = arctan x имеет единственный ноль (x = 0);

функция y = arccot x нулей не имеет.