Télécharger la présentation Cercle inscrit et circonscrit. Cercle circonscrit à un triangle
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Dans quelle figure un cercle est-il inscrit dans un triangle ?
Si un cercle est inscrit dans un triangle,
alors le triangle est circonscrit au cercle.
Théorème. Un cercle peut s'inscrire dans un triangle, et d'ailleurs, un seul. Son centre est le point d'intersection des bissectrices du triangle.
Donné : ABC
Démontrer : il existe Osp.(O; r),
inscrit dans un triangle
Preuve:
Traçons les bissectrices du triangle : AA 1, BB 1, SS 1.
Par propriété (point remarquable du triangle)
les bissectrices se coupent en un point - O,
et ce point est équidistant de tous les côtés du triangle, c'est-à-dire :
OK \u003d OE \u003d OU, où OK AB, OE BC, OU AC, alors
O est le centre du cercle et AB, BC, AC en sont les tangentes.
Donc le cercle est inscrit dans ABC.
Soit : Okr. (O ; r) est inscrit dans ABC,
p \u003d ½ (AB + BC + AC) - demi-périmètre.
Prouver: S abc = p r
Preuve:
relier le centre du cercle aux sommets
triangle et tracez les rayons
cercles aux points de contact.
Ces rayons sont
hauteurs des triangles AOB, BOC, COA.
S ABC = S AOB + S BOC + S AOC = ½ AB r + ½ BC r + ½ AC r =
= ½ (AB + BC + AC) r = ½ p r.
Tâche : dans un triangle équilatéral de 4 cm de côté
cercle inscrit. Trouvez son rayon.
Dérivation de la formule du rayon d'un cercle inscrit dans un triangle
S = p r = ½ P r = ½ (a + b + c) r
2S = (a + b + c) r
La formule souhaitée pour le rayon d'un cercle,
inscrit dans triangle rectangle
- jambes, c - hypoténuse
Définition: Un cercle est dit inscrit dans un quadrilatère si tous les côtés du quadrilatère le touchent.
Dans quelle figure un cercle est-il inscrit dans un quadrilatère ?
Théorème: si un cercle est inscrit dans un quadrilatère,
puis les sommes des côtés opposés
les quadrilatères sont égaux ( dans n'importe quelle description
quadrilatère somme des contraires
côtés sont égaux).
AB + SK = BC + AK.
Théorème inverse : si les sommes des côtés opposés
quadrilatère convexe sont égaux,
alors un cercle peut y être inscrit.
Tâche : dans un losange, angle vif dont 60 0 , un cercle est inscrit,
dont le rayon est de 2 cm Trouver le périmètre du losange.
Résoudre des problèmes
Soit : Okr. (O; r) s'inscrit en ABSK,
PABSC = 10
Trouver : BC + AK
Étant donné : l'ABSM est décrit autour d'environ (O ; r)
BC=6, AM=15,
diapositive 1
diapositive 2
Définition : Un cercle est dit circonscrit à un triangle si tous les sommets du triangle appartiennent à ce cercle. Si un cercle est circonscrit à un triangle, alors le triangle est inscrit dans le cercle.
diapositive 3
Théorème. Un cercle peut être circonscrit à un triangle, et d'ailleurs à un seul. Son centre est le point d'intersection des perpendiculaires médianes aux côtés du triangle. Preuve : Traçons les bissectrices perpendiculaires p, k, n aux côtés AB, BC, AC Par la propriété des bissectrices perpendiculaires aux côtés du triangle (un merveilleux point du triangle) : elles se coupent en un point - O, pour quel OA \u003d OB \u003d OS. Autrement dit, tous les sommets du triangle sont équidistants du point O, ce qui signifie qu'ils se trouvent sur un cercle de centre O. Cela signifie que le cercle est circonscrit près du triangle ABC.
diapositive 4
Propriété importante : Si un cercle est circonscrit près d'un triangle rectangle, alors son centre est le milieu de l'hypoténuse. R \u003d ½ AB Tâche : trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle rectangle dont les jambes mesurent 3 cm et 4 cm.
diapositive 5
Formules pour le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle Tâche : trouver le rayon d'un cercle circonscrit à un triangle équilatéral dont le côté mesure 4 cm. Solution :
diapositive 6
Problème : Un triangle isocèle est inscrit dans un cercle de 10 cm de rayon. La hauteur tirée à sa base est de 16 cm. côté latéral et l'aire du triangle. Solution : Puisque le cercle est circonscrit à triangle isocèle ABC, alors le centre du cercle se trouve à la hauteur BH. AO = VO = CO = 10 cm, OH = VN - VO = = 16 - 10 = 6 (cm) AC = 2AH = 2 8 = 16 (cm), SABC = ½ AC WH = ½ 16 16 128 (cm2)
Diapositive 7
Définition : Un cercle est dit circonscrit à un quadrilatère si tous les sommets du quadrilatère appartiennent au cercle. Théorème. Si un cercle est circonscrit près d'un quadrilatère, alors la somme de ses angles opposés est égale à 1800. Preuve : Autre formulation du théorème : dans un quadrangle inscrit dans un cercle, la somme des angles opposés est égale à 1800.
Diapositive 8
Théorème inverse : si la somme des angles opposés d'un quadrilatère est 1800, alors un cercle peut être circonscrit autour de lui. Preuve : № 729 (manuel) Autour de quel quadrilatère est-il impossible de circonscrire un cercle ?
OA=OB O b => OB=OC => O bissectrice perpendiculaire à AC => env. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC =>" title="(!LANG:Theorem 1 Preuve : 1) a est la bissectrice perpendiculaire à AB 2) b est la bissectrice perpendiculaire à BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O bissectrice perpendiculaire à AC => env. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC =>" class="link_thumb"> 8 !} Théorème 1 Preuve : 1) a est la médiatrice de AB 2) b est la médiatrice de BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O la médiatrice de AC => environ tr. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC => OA=OB O b => OB=OC => O bissectrice perpendiculaire à AC => env. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC =>"> OA=OB O b => OB=OC => O bissectrice perpendiculaire à AC => près de tr. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC => "> OA=OB O b => OB=OC => O bissectrice perpendiculaire à AC => env. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC =>" title="(!LANG:Theorem 1 Preuve : 1) a est la bissectrice perpendiculaire à AB 2) b est la bissectrice perpendiculaire à BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O bissectrice perpendiculaire à AC => env. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC =>"> title="Théorème 1 Preuve : 1) a est la médiatrice de AB 2) b est la médiatrice de BC 3) ab=O 4) O a => OA=OB O b => OB=OC => O la médiatrice de AC => environ tr. ABC peut décrire un cercle ba =>OA=OC =>"> !}
Propriétés d'un triangle et d'un trapèze inscrit dans un cercle à angle obtus tr-ka, ne réside pas dans le tr-ke
