Dérivée d'une fonction. Théorie détaillée avec exemples

Très facile à retenir.

Bon, n’allons pas loin, considérons immédiatement la fonction inverse. Quelle fonction est l'inverse de la fonction exponentielle ? Logarithme:

Dans notre cas, la base est le nombre :

Un tel logarithme (c'est-à-dire un logarithme avec une base) est appelé « naturel », et nous utilisons pour cela une notation spéciale : nous l'écrivons à la place.

A quoi est-ce égal ? Bien sûr, .

La dérivée du logarithme népérien est également très simple :

Exemples:

Trouvez la dérivée de la fonction.
Quelle est la dérivée de la fonction ?

Réponses: Les logarithmes exponentiel et naturel sont des fonctions particulièrement simples du point de vue dérivé. Les fonctions exponentielles et logarithmiques avec n'importe quelle autre base auront une dérivée différente, que nous analyserons plus tard, après avoir parcouru les règles de différenciation.

Règles de différenciation

Des règles de quoi ? Encore un nouveau terme, encore ?!...

Différenciation est le processus de recherche de la dérivée.

C'est tout. Comment pouvez-vous appeler ce processus en un mot ? Pas dérivé... Les mathématiciens appellent la différentielle le même incrément d'une fonction à. Ce terme vient du latin différentia – différence. Ici.

Lors de la dérivation de toutes ces règles, nous utiliserons deux fonctions, par exemple et. Nous aurons également besoin de formules pour leurs incréments :

Il y a 5 règles au total.

La constante est soustraite du signe dérivé.

Si - un nombre constant (constant), alors.

Évidemment, cette règle fonctionne aussi pour la différence : .

Prouvons-le. Laissez-le être, ou plus simple.

Exemples.

Trouvez les dérivées des fonctions :

à un moment donné ;
à un moment donné ;
à un moment donné ;
à ce point.

Solutions:

(la dérivée est la même en tous points, puisque c'est une fonction linéaire, vous vous souvenez ?) ;

Dérivé du produit

Tout est similaire ici : introduisons une nouvelle fonction et trouvons son incrément :

Dérivé:

Exemples:

Trouver les dérivées des fonctions et ;
Trouvez la dérivée de la fonction en un point.

Solutions:

Dérivée d'une fonction exponentielle

Vos connaissances sont désormais suffisantes pour apprendre à trouver la dérivée de n'importe quelle fonction exponentielle, et pas seulement les exposants (avez-vous déjà oublié ce que c'est ?).

Alors, où est un certain nombre.

Nous connaissons déjà la dérivée de la fonction, essayons donc de réduire notre fonction à une nouvelle base :

Pour ce faire, nous utiliserons une règle simple : . Alors:

Eh bien, ça a fonctionné. Essayez maintenant de trouver la dérivée, et n'oubliez pas que cette fonction est complexe.

Arrivé?

Ici, vérifiez par vous-même :

La formule s'est avérée très similaire à la dérivée d'un exposant : telle qu'elle était, elle reste la même, seul un facteur est apparu, qui n'est qu'un nombre, mais pas une variable.

Exemples:
Trouvez les dérivées des fonctions :

Réponses:

Il s'agit simplement d'un nombre qui ne peut pas être calculé sans calculatrice, c'est-à-dire qu'il ne peut pas être écrit sous une forme plus simple. Par conséquent, nous le laissons sous cette forme dans la réponse.

Notez que voici le quotient de deux fonctions, nous appliquons donc la règle de différenciation correspondante :

Dans cet exemple, le produit de deux fonctions :

Dérivée d'une fonction logarithmique

C’est pareil ici : vous connaissez déjà la dérivée du logarithme népérien :

Par conséquent, pour trouver un logarithme arbitraire avec une base différente, par exemple :

Nous devons réduire ce logarithme à la base. Comment changer la base d'un logarithme ? J'espère que vous vous souvenez de cette formule :

Seulement maintenant, nous écrirons à la place :

Le dénominateur est simplement une constante (un nombre constant, sans variable). La dérivée s’obtient très simplement :

Les dérivées des fonctions exponentielles et logarithmiques ne sont presque jamais trouvées dans l'examen d'État unifié, mais il ne sera pas superflu de les connaître.

Dérivée d'une fonction complexe.

Qu'est-ce qu'une « fonction complexe » ? Non, ce n'est pas un logarithme, ni une arctangente. Ces fonctions peuvent être difficiles à comprendre (même si si vous trouvez le logarithme difficile, lisez le sujet « Logarithmes » et tout ira bien), mais d'un point de vue mathématique, le mot « complexe » ne signifie pas « difficile ».

Imaginez un petit tapis roulant : deux personnes sont assises et effectuent des actions avec des objets. Par exemple, le premier enveloppe une barre de chocolat dans un emballage et le second l'attache avec un ruban. Le résultat est un objet composite : une barre de chocolat enveloppée et nouée avec un ruban. Pour manger une barre de chocolat, vous devez effectuer les étapes inverses dans l’ordre inverse.

Créons un pipeline mathématique similaire : nous trouverons d'abord le cosinus d'un nombre, puis nous mettrons au carré le nombre obtenu. Donc, on nous donne un nombre (chocolat), je trouve son cosinus (emballage), et puis vous mettez au carré ce que j'ai obtenu (nouez-le avec un ruban). Ce qui s'est passé? Fonction. Ceci est un exemple de fonction complexe : lorsque, pour trouver sa valeur, on effectue une première action directement avec la variable, puis une deuxième action avec ce qui résulte de la première.

Autrement dit, une fonction complexe est une fonction dont l'argument est une autre fonction: .

Pour notre exemple, .

On peut facilement faire les mêmes étapes dans l'ordre inverse : on le met d'abord au carré, et je cherche ensuite le cosinus du nombre obtenu : . Il est facile de deviner que le résultat sera presque toujours différent. Une caractéristique importante des fonctions complexes : lorsque l'ordre des actions change, la fonction change.

Deuxième exemple : (même chose). .

L'action que nous faisons en dernier sera appelée fonction "externe", et l'action effectuée en premier - en conséquence fonction "interne"(ce sont des noms informels, je les utilise uniquement pour expliquer le matériel dans un langage simple).

Essayez de déterminer par vous-même quelle fonction est externe et laquelle interne :

Réponses: La séparation des fonctions internes et externes est très similaire à la modification de variables : par exemple, dans une fonction

Quelle action allons-nous effectuer en premier ? Tout d’abord, calculons le sinus, puis cubez-le seulement. Cela signifie qu’il s’agit d’une fonction interne, mais externe.
Et la fonction originelle est leur composition : .
Interne: ; externe: .
Examen: .
Interne: ; externe: .
Examen: .
Interne: ; externe: .
Examen: .
Interne: ; externe: .
Examen: .

Nous changeons les variables et obtenons une fonction.

Eh bien, maintenant nous allons extraire notre barre de chocolat et chercher le dérivé. La procédure est toujours inversée : on cherche d’abord la dérivée de la fonction externe, puis on multiplie le résultat par la dérivée de la fonction interne. Par rapport à l'exemple original, cela ressemble à ceci :

Un autre exemple:

Alors, formulons enfin la règle officielle :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Cela semble simple, non ?

Vérifions avec des exemples :

Solutions:

1) Interne : ;

Externe: ;

2) Interne : ;

(N’essayez pas de le couper maintenant ! Rien ne sort de sous le cosinus, vous vous souvenez ?)

3) Interne : ;

Externe: ;

Il est immédiatement clair qu'il s'agit d'une fonction complexe à trois niveaux : après tout, c'est déjà une fonction complexe en soi, et on en extrait également la racine, c'est-à-dire que nous effectuons la troisième action (mettre le chocolat dans un emballage et avec un ruban dans la mallette). Mais il n'y a aucune raison d'avoir peur : nous allons quand même « déballer » cette fonction dans le même ordre que d'habitude : depuis la fin.

Autrement dit, nous différencions d'abord la racine, puis le cosinus, et ensuite seulement l'expression entre parenthèses. Et puis on multiplie le tout.

Dans de tels cas, il est pratique de numéroter les actions. Autrement dit, imaginons ce que nous savons. Dans quel ordre effectuerons-nous les actions pour calculer la valeur de cette expression ? Regardons un exemple :

Plus l’action est réalisée tardivement, plus la fonction correspondante sera « externe ». La séquence d'actions est la même que précédemment :

Ici, la nidification est généralement à 4 niveaux. Déterminons la marche à suivre.

1. Expression radicale. .

2. Racine. .

3. Sinus. .

4. Carré. .

5. Rassembler le tout :

DÉRIVÉ. EN BREF SUR LES CHOSES PRINCIPALES

Dérivée d'une fonction- le rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument pour un incrément infinitésimal de l'argument :

Dérivés de base :

Règles de différenciation :

La constante est soustraite du signe dérivé :

Dérivée de la somme :

Dérivé du produit :

Dérivée du quotient :

Dérivée d'une fonction complexe :

Algorithme pour trouver la dérivée d'une fonction complexe :

Nous définissons la fonction « interne » et trouvons sa dérivée.
Nous définissons la fonction « externe » et trouvons sa dérivée.
Nous multiplions les résultats des premier et deuxième points.

Lors de la dérivation de la toute première formule du tableau, nous partirons de la définition de la fonction dérivée en un point. Prenons où X– n'importe quel nombre réel, c'est-à-dire X– n'importe quel nombre du domaine de définition de la fonction. Notons la limite du rapport de l'incrément de la fonction à l'incrément de l'argument à :

Il est à noter que sous le signe limite on obtient une expression qui n'est pas l'incertitude de zéro divisée par zéro, puisque le numérateur ne contient pas une valeur infinitésimale, mais précisément zéro. Autrement dit, l’incrément d’une fonction constante est toujours nul.

Ainsi, dérivée d'une fonction constanteest égal à zéro dans tout le domaine de définition.

Dérivée d'une fonction puissance.

La formule de la dérivée d'une fonction puissance a la forme , où l'exposant p– n’importe quel nombre réel.

Démontrons d'abord la formule de l'exposant naturel, c'est-à-dire pour p = 1, 2, 3, …

Nous utiliserons la définition de dérivée. Écrivons la limite du rapport de l'incrément d'une fonction puissance à l'incrément de l'argument :

Pour simplifier l'expression au numérateur, on se tourne vers la formule binomiale de Newton :

Ainsi,

Cela prouve la formule de la dérivée d’une fonction puissance pour un exposant naturel.

Dérivée d'une fonction exponentielle.

Nous présentons la dérivation de la formule dérivée basée sur la définition :

Nous sommes arrivés à l’incertitude. Pour le développer, nous introduisons une nouvelle variable, et à . Alors . Lors de la dernière transition, nous avons utilisé la formule de transition vers une nouvelle base logarithmique.

Remplaçons la limite d'origine :

Si l'on rappelle la deuxième limite remarquable, on arrive à la formule de la dérivée de la fonction exponentielle :

Dérivée d'une fonction logarithmique.

Démontrons la formule de la dérivée d'une fonction logarithmique pour tout X du domaine de définition et de toutes les valeurs valides de la base un logarithme Par définition de dérivée on a :

Comme vous l'avez remarqué, lors de la preuve les transformations ont été effectuées en utilisant les propriétés du logarithme. Égalité est vrai en raison de la deuxième limite remarquable.

Dérivées de fonctions trigonométriques.

Pour dériver des formules de dérivées de fonctions trigonométriques, nous devrons rappeler quelques formules trigonométriques, ainsi que la première limite remarquable.

Par définition de la dérivée de la fonction sinus, nous avons .

Utilisons la formule de la différence des sinus :

Reste à se tourner vers la première limite remarquable :

Ainsi, la dérivée de la fonction péché x Il y a parce que x.

La formule de la dérivée du cosinus se prouve exactement de la même manière.

Donc la dérivée de la fonction parce que x Il y a –péché x.

Nous dériverons des formules pour le tableau des dérivées de la tangente et de la cotangente en utilisant des règles de différenciation éprouvées (dérivée d'une fraction).

Dérivées de fonctions hyperboliques.

Les règles de différenciation et la formule de la dérivée de la fonction exponentielle du tableau des dérivées permettent de dériver des formules pour les dérivées du sinus hyperbolique, du cosinus, de la tangente et de la cotangente.

Dérivée de la fonction inverse.

Pour éviter toute confusion lors de la présentation, notons en indice l'argument de la fonction par laquelle la différenciation est effectuée, c'est-à-dire qu'il s'agit de la dérivée de la fonction f(x) Par X.

Formulons maintenant règle pour trouver la dérivée d’une fonction inverse.

Laissez les fonctions y = f(x) Et x = g(y) mutuellement inverses, définis sur les intervalles et respectivement. Si en un point il existe une dérivée finie non nulle de la fonction f(x), alors au point il y a une dérivée finie de la fonction inverse g(y), et . Dans un autre post .

Cette règle peut être reformulée pour tout Xà partir de l'intervalle, alors on obtient .

Vérifions la validité de ces formules.

Trouvons la fonction inverse du logarithme népérien (Ici oui est une fonction, et X- argument). Ayant résolu cette équation pour X, on obtient (ici X est une fonction, et oui– son argument). C'est, et des fonctions mutuellement inverses.

Du tableau des dérivées, nous voyons que Et .

Assurons-nous que les formules pour trouver les dérivées de la fonction inverse nous conduisent aux mêmes résultats :

Comme vous pouvez le constater, nous avons obtenu les mêmes résultats que dans le tableau des dérivées.

Nous avons maintenant les connaissances nécessaires pour prouver les formules des dérivées des fonctions trigonométriques inverses.

Commençons par la dérivée de l'arc sinus.

. Ensuite, en utilisant la formule de la dérivée de la fonction inverse, on obtient

Il ne reste plus qu'à procéder aux transformations.

Puisque la plage arc sinus est l’intervalle , Que (voir la section sur les fonctions élémentaires de base, leurs propriétés et leurs graphiques). Nous ne l’envisageons donc pas.

Ainsi, . Le domaine de définition de la dérivée arc sinus est l'intervalle (-1; 1) .

Pour l'arc cosinus, tout se fait exactement de la même manière :

Trouvons la dérivée de l'arctangente.

Car la fonction inverse est .

Exprimons l'arctangente en termes d'arccosinus pour simplifier l'expression résultante.

Laisser arctgx = z, Alors

Ainsi,

La dérivée de l'arc cotangente se trouve de la même manière :

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance (x à la puissance de a). Les dérivées des racines de x sont considérées. Formule pour la dérivée d'une fonction puissance d'ordre supérieur. Exemples de calcul de dérivés.

Contenu

Voir également: Fonction puissance et racines, formules et graphique
Graphiques de fonction de puissance

Formules de base

La dérivée de x à la puissance a est égale à a fois x à la puissance moins un :
(1) .

La dérivée de la nième racine de x à la mième puissance est :
(2) .

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction puissance

Cas x > 0

Considérons une fonction puissance de la variable x d'exposant a :
(3) .
Ici, a est un nombre réel arbitraire. Considérons d'abord le cas.

Pour trouver la dérivée de la fonction (3), nous utilisons les propriétés d'une fonction puissance et la transformons sous la forme suivante :
.

Maintenant, nous trouvons la dérivée en utilisant :
;
.
Ici .

La formule (1) a fait ses preuves.

Dérivation de la formule de la dérivée d'une racine de degré n de x au degré de m

Considérons maintenant une fonction qui est la racine de la forme suivante :
(4) .

Pour trouver la dérivée, nous transformons la racine en fonction puissance :
.
En comparant avec la formule (3), nous voyons que
.
Alors
.

En utilisant la formule (1), nous trouvons la dérivée :
(1) ;
;
(2) .

En pratique, il n'est pas nécessaire de mémoriser la formule (2). Il est beaucoup plus pratique de transformer d'abord les racines en fonctions puissances, puis de trouver leurs dérivées à l'aide de la formule (1) (voir exemples en fin de page).

Cas x = 0

Si , alors la fonction puissance est définie pour la valeur de la variable x = 0 . Trouvons la dérivée de la fonction (3) en x = 0 . Pour ce faire, nous utilisons la définition d'une dérivée :
.

Remplaçons x = 0 :
.
Dans ce cas, par dérivée, nous entendons la limite droite pour laquelle .

Nous avons donc trouvé :
.
Il ressort clairement de cela que pour , .
À , .
À , .
Ce résultat est également obtenu à partir de la formule (1) :
(1) .
Par conséquent, la formule (1) est également valable pour x = 0 .

Cas x< 0

Considérons à nouveau la fonction (3) :
(3) .
Pour certaines valeurs de la constante a, elle est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Autrement dit, soit a un nombre rationnel. On peut alors la représenter comme une fraction irréductible :
,
où m et n sont des nombres entiers qui n'ont pas de diviseur commun.

Si n est impair, alors la fonction puissance est également définie pour les valeurs négatives de la variable x. Par exemple, lorsque n = 3 et m = 1 on a la racine cubique de x :
.
Il est également défini pour les valeurs négatives de la variable x.

Trouvons la dérivée de la fonction puissance (3) pour et pour les valeurs rationnelles de la constante a pour laquelle elle est définie. Pour ce faire, représentons x sous la forme suivante :
.
Alors ,
.
On trouve la dérivée en plaçant la constante en dehors du signe de la dérivée et en appliquant la règle de différenciation d'une fonction complexe :

.
Ici . Mais
.
Depuis lors
.
Alors
.
Autrement dit, la formule (1) est également valable pour :
(1) .

Dérivés d'ordre supérieur

Trouvons maintenant les dérivées d'ordre supérieur de la fonction puissance
(3) .
Nous avons déjà trouvé la dérivée du premier ordre :
.

En prenant la constante a en dehors du signe de la dérivée, on trouve la dérivée du second ordre :
.
De même, on retrouve des dérivées du troisième et du quatrième ordre :
;

.

De là il ressort clairement que dérivée d'ordre n arbitraire a la forme suivante :
.

remarquerez que si a est un nombre naturel, alors la nième dérivée est constante :
.
Alors toutes les dérivées suivantes sont égales à zéro :
,
à .

Exemples de calcul de dérivés

Exemple

Trouvez la dérivée de la fonction :
.

Convertissons les racines en puissances :
;
.
La fonction originale prend alors la forme :
.

Trouver des dérivées de puissances :
;
.
La dérivée de la constante est nulle :
.

Avec cette vidéo je commence une longue série de cours sur les produits dérivés. Cette leçon se compose de plusieurs parties.

Tout d'abord, je vais vous expliquer ce que sont les dérivées et comment les calculer, mais pas dans un langage académique sophistiqué, mais comme je le comprends moi-même et comment je l'explique à mes étudiants. Deuxièmement, nous considérerons la règle la plus simple pour résoudre des problèmes dans laquelle nous rechercherons des dérivées de sommes, des dérivées de différences et des dérivées d'une fonction puissance.

Nous examinerons des exemples combinés plus complexes, à partir desquels vous apprendrez notamment que des problèmes similaires impliquant des racines et même des fractions peuvent être résolus en utilisant la formule de la dérivée d'une fonction puissance. En outre, bien sûr, il y aura de nombreux problèmes et exemples de solutions de différents niveaux de complexité.

En général, au départ, j'allais enregistrer une courte vidéo de 5 minutes, mais vous pouvez voir comment cela s'est passé. Alors assez parlé des paroles, passons aux choses sérieuses.

Qu'est-ce qu'un dérivé ?

Alors commençons de loin. Il y a de nombreuses années, lorsque les arbres étaient plus verts et que la vie était plus amusante, les mathématiciens ont pensé à ceci : considérons une fonction simple définie par son graphique, appelez-la $y=f\left(x \right)$. Bien entendu, le graphique n'existe pas en soi, vous devez donc dessiner les axes $x$ ainsi que l'axe $y$. Maintenant, choisissons n'importe quel point de ce graphique, absolument n'importe lequel. Appelons l'abscisse $((x)_(1))$, l'ordonnée, comme vous pouvez le deviner, sera $f\left(((x)_(1)) \right)$.

Regardons un autre point sur le même graphique. Peu importe lequel, l’essentiel est qu’il soit différent de celui d’origine. Encore une fois, il a une abscisse, appelons-la $((x)_(2))$, et aussi une ordonnée - $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Nous avons donc deux points : ils ont des abscisses différentes et donc des valeurs de fonction différentes, bien que cette dernière ne soit pas nécessaire. Mais ce qui est vraiment important, c'est ce que nous savons grâce au cours de planimétrie : à travers deux points, on peut tracer une ligne droite et, de plus, une seule. Alors réalisons-le.

Traçons maintenant une ligne droite passant par le tout premier d’entre eux, parallèle à l’axe des abscisses. Nous obtenons un triangle rectangle. Appelons-le $ABC$, angle droit $C$. Ce triangle a une propriété très intéressante : le fait est que l'angle $\alpha $ est en fait égal à l'angle sous lequel la droite $AB$ coupe le prolongement de l'axe des abscisses. Jugez par vous-même :

la droite $AC$ est parallèle à l'axe $Ox$ par construction,
la ligne $AB$ coupe $AC$ sous $\alpha $,
donc $AB$ coupe $Ox$ sous le même $\alpha $.

Que pouvons-nous dire de $\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )$ ? Rien de précis, sauf que dans le triangle $ABC$ le rapport de la branche $BC$ à la branche $AC$ est égal à la tangente de cet angle même. Alors écrivons-le :

Bien sûr, $AC$ dans ce cas se calcule facilement :

De même pour $BC$ :

En d’autres termes, nous pouvons écrire ce qui suit :

\[\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )=\frac(f\left(((x)_(2)) \right)-f\left( ((x)_(1)) \right))(((x)_(2))-((x)_(1)))\]

Maintenant que tout cela est réglé, revenons à notre graphique et regardons le nouveau point $B$. Effacons les anciennes valeurs et prenons $B$ quelque part plus près de $((x)_(1))$. Notons à nouveau son abscisse par $((x)_(2))$, et son ordonnée par $f\left(((x)_(2)) \right)$.

Regardons à nouveau notre petit triangle $ABC$ et $\text()\!\!\alpha\!\!\text( )$ à l'intérieur. Il est bien évident que ce sera un angle complètement différent, la tangente sera également différente car les longueurs des segments $AC$ et $BC$ ont considérablement changé, mais la formule de la tangente de l'angle n'a pas du tout changé - c'est toujours la relation entre un changement de fonction et un changement d'argument.

Enfin, nous continuons à rapprocher $B$ du point d'origine $A$, le triangle deviendra donc encore plus petit et la droite contenant le segment $AB$ ressemblera de plus en plus à une tangente au graphique de la fonction.

Par conséquent, si l'on continue à rapprocher les points, c'est-à-dire à réduire la distance à zéro, alors la droite $AB$ se transformera bel et bien en tangente au graphe en un point donné, et $\text()\ !\!\alpha\!\ !\text( )$ se transformera d'un élément triangulaire régulier en l'angle entre la tangente au graphique et la direction positive de l'axe $Ox$.

Et ici, nous passons en douceur à la définition de $f$, à savoir que la dérivée d'une fonction au point $((x)_(1))$ est la tangente de l'angle $\alpha $ entre la tangente à la graphique au point $((x)_( 1))$ et la direction positive de l'axe $Ox$ :

\[(f)"\left(((x)_(1)) \right)=\operatorname(tg)\text( )\!\!\alpha\!\!\text( )\]

Revenant à notre graphique, il convient de noter que n'importe quel point du graphique peut être choisi comme $((x)_(1))$. Par exemple, avec le même succès, nous pourrions supprimer le trait au point indiqué sur la figure.

Appelons l'angle entre la tangente et la direction positive de l'axe $\beta$. Par conséquent, $f$ dans $((x)_(2))$ sera égal à la tangente de cet angle $\beta $.

\[(f)"\left(((x)_(2)) \right)=tg\text( )\!\!\beta\!\!\text( )\]

Chaque point du graphique aura sa propre tangente et, par conséquent, sa propre valeur de fonction. Dans chacun de ces cas, en plus du point où l'on cherche la dérivée d'une différence ou d'une somme, ou la dérivée d'une fonction puissance, il faut prendre un autre point situé à une certaine distance de celui-ci, puis diriger ce point à l'original et, bien sûr, découvrez comment dans le processus Un tel mouvement changera la tangente de l'angle d'inclinaison.

Dérivée d'une fonction puissance

Malheureusement, une telle définition ne nous convient pas du tout. Toutes ces formules, images, angles ne nous donnent pas la moindre idée de la façon de calculer la dérivée réelle dans des problèmes réels. Par conséquent, nous nous éloignerons un peu de la définition formelle et examinerons des formules et des techniques plus efficaces avec lesquelles vous pouvez déjà résoudre de vrais problèmes.

Commençons par les constructions les plus simples, à savoir les fonctions de la forme $y=((x)^(n))$, c'est-à-dire fonctions de puissance. Dans ce cas, nous pouvons écrire ce qui suit : $(y)"=n\cdot ((x)^(n-1))$. En d'autres termes, le degré qui était dans l'exposant est affiché dans le multiplicateur frontal, et l'exposant lui-même est réduit par unité. Par exemple :

\[\begin(align)& y=((x)^(2)) \\& (y)"=2\cdot ((x)^(2-1))=2x \\\end(align) \]

Voici une autre option :

\[\begin(align)& y=((x)^(1)) \\& (y)"=((\left(x \right))^(\prime ))=1\cdot ((x )^(0))=1\cdot 1=1 \\& ((\left(x \right))^(\prime ))=1 \\\end(align)\]

En utilisant ces règles simples, essayons de supprimer le toucher des exemples suivants :

On obtient donc :

\[((\left(((x)^(6)) \right))^(\prime ))=6\cdot ((x)^(5))=6((x)^(5)) \]

Résolvons maintenant la deuxième expression :

\[\begin(align)& f\left(x \right)=((x)^(100)) \\& ((\left(((x)^(100)) \right))^(\ prime ))=100\cdot ((x)^(99))=100((x)^(99)) \\\end(align)\]

Bien entendu, il s’agissait de tâches très simples. Cependant, les problèmes réels sont plus complexes et ne se limitent pas à de simples degrés de fonction.

Ainsi, règle n°1 - si une fonction se présente sous la forme des deux autres, alors la dérivée de cette somme est égale à la somme des dérivées :

\[((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"\]

De même, la dérivée de la différence de deux fonctions est égale à la différence des dérivées :

\[((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"\]

\[((\left(((x)^(2))+x \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))+((\left(x \right))^(\prime ))=2x+1\]

De plus, il existe une autre règle importante : si certains $f$ sont précédés d'une constante $c$, par laquelle cette fonction est multipliée, alors le $f$ de toute cette construction est calculé comme suit :

\[((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"\]

\[((\left(3((x)^(3)) \right))^(\prime ))=3((\left(((x)^(3)) \right))^(\ prime ))=3\cdot 3((x)^(2))=9((x)^(2))\]

Enfin, une autre règle très importante : dans les problèmes, il existe souvent un terme distinct qui ne contient pas du tout $x$. Par exemple, nous pouvons observer cela dans nos expressions aujourd’hui. La dérivée d'une constante, c'est-à-dire un nombre qui ne dépend en aucune façon de $x$, est toujours égale à zéro, et peu importe à quoi la constante $c$ est égale :

\[((\gauche(c \droite))^(\prime ))=0\]

Exemple de solution :

\[((\left(1001 \right))^(\prime ))=((\left(\frac(1)(1000) \right))^(\prime ))=0\]

Encore des points clés :

La dérivée de la somme de deux fonctions est toujours égale à la somme des dérivées : $((\left(f+g \right))^(\prime ))=(f)"+(g)"$;
Pour des raisons similaires, la dérivée de la différence de deux fonctions est égale à la différence de deux dérivées : $((\left(f-g \right))^(\prime ))=(f)"-(g)"$;
Si une fonction a un facteur constant, alors cette constante peut être considérée comme un signe dérivé : $((\left(c\cdot f \right))^(\prime ))=c\cdot (f)"$;
Si la fonction entière est une constante, alors sa dérivée est toujours nulle : $((\left(c \right))^(\prime ))=0$.

Voyons comment tout cela fonctionne avec des exemples réels. Donc:

Nous écrivons :

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(5))-3((x)^(2))+7 \right))^(\prime ))=((\left (((x)^(5)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right))^(\prime ))+(7) "= \\& =5((x)^(4))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+0=5((x) ^(4))-6x \\\fin (aligner)\]

Dans cet exemple, nous voyons à la fois la dérivée de la somme et la dérivée de la différence. Au total, la dérivée est égale à $5((x)^(4))-6x$.

Passons à la deuxième fonction :

Écrivons la solution :

\[\begin(align)& ((\left(3((x)^(2))-2x+2 \right))^(\prime ))=((\left(3((x)^( 2)) \right))^(\prime ))-((\left(2x \right))^(\prime ))+(2)"= \\& =3((\left(((x) ^(2)) \right))^(\prime ))-2(x)"+0=3\cdot 2x-2\cdot 1=6x-2 \\\end(align)\]

Ici, nous avons trouvé la réponse.

Passons à la troisième fonction - elle est plus sérieuse :

\[\begin(align)& ((\left(2((x)^(3))-3((x)^(2))+\frac(1)(2)x-5 \right)) ^(\prime ))=((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(3((x)^(2)) \right ))^(\prime ))+((\left(\frac(1)(2)x \right))^(\prime ))-(5)"= \\& =2((\left(( (x)^(3)) \right))^(\prime ))-3((\left(((x)^(2)) \right))^(\prime ))+\frac(1) (2)\cdot (x)"=2\cdot 3((x)^(2))-3\cdot 2x+\frac(1)(2)\cdot 1=6((x)^(2)) -6x+\frac(1)(2) \\\end(align)\]

Nous avons trouvé la réponse.

Passons à la dernière expression - la plus complexe et la plus longue :

Ainsi, nous considérons :

\[\begin(align)& ((\left(6((x)^(7))-14((x)^(3))+4x+5 \right))^(\prime ))=( (\left(6((x)^(7)) \right))^(\prime ))-((\left(14((x)^(3)) \right))^(\prime )) +((\left(4x \right))^(\prime ))+(5)"= \\& =6\cdot 7\cdot ((x)^(6))-14\cdot 3((x )^(2))+4\cdot 1+0=42((x)^(6))-42((x)^(2))+4 \\\end(align)\]

Mais la solution ne s'arrête pas là, car on nous demande non seulement de supprimer un trait, mais de calculer sa valeur à un point précis, nous substituons donc −1 au lieu de $x$ dans l'expression :

\[(y)"\left(-1 \right)=42\cdot 1-42\cdot 1+4=4\]

Allons plus loin et passons à des exemples encore plus complexes et intéressants. Le fait est que la formule pour résoudre la dérivée de puissance $((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1) )$ a une portée encore plus large qu’on ne le croit habituellement. Avec son aide, vous pouvez résoudre des exemples avec des fractions, des racines, etc. C'est ce que nous allons faire maintenant.

Pour commencer, écrivons à nouveau la formule qui nous aidera à trouver la dérivée d’une fonction puissance :

Et maintenant attention : jusqu'à présent nous n'avons considéré que les nombres naturels comme $n$, mais rien ne nous empêche de considérer des fractions et même des nombres négatifs. Par exemple, nous pouvons écrire ce qui suit :

\[\begin(align)& \sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\ prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(2))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2)\cdot ((x) ^(-\frac(1)(2)))=\frac(1)(2)\cdot \frac(1)(\sqrt(x))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\\fin (aligner)\]

Rien de compliqué, voyons donc comment cette formule nous aidera à résoudre des problèmes plus complexes. Alors, un exemple :

Écrivons la solution :

\[\begin(align)& \left(\sqrt(x)+\sqrt(x)+\sqrt(x) \right)=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime )) \\& ((\ gauche(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=\frac(1)(2\sqrt(x)) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^( \prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot ((x )^(-\frac(2)(3)))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x)^(2)))) \\& (( \left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(4))) \right))^(\prime )) =\frac(1)(4)((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1)(4)\cdot \frac(1)(\sqrt(((x) ^(3)))) \\\fin (aligner)\]

Reprenons notre exemple et écrivons :

\[(y)"=\frac(1)(2\sqrt(x))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^(2))))+\frac(1)(4 \sqrt(((x)^(3))))\]

C'est une décision tellement difficile.

Passons au deuxième exemple : il n'y a que deux termes, mais chacun d'eux contient à la fois un diplôme classique et des racines.

Nous allons maintenant apprendre à trouver la dérivée d'une fonction puissance, qui contient en plus la racine :

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))\sqrt(((x)^(2)))+((x)^(7))\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(3))\cdot \sqrt(((x)^(2))) \right))^(\prime )) =((\left(((x)^(3))\cdot ((x)^(\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))= \\& =(( \left(((x)^(3+\frac(2)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(11)(3 ))) \right))^(\prime ))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(\frac(8)(3)))=\frac(11)(3)\ cdot ((x)^(2\frac(2)(3)))=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2 ))) \\& ((\left(((x)^(7))\cdot \sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7 ))\cdot ((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(7\frac(1)(3 ))) \right))^(\prime ))=7\frac(1)(3)\cdot ((x)^(6\frac(1)(3)))=\frac(22)(3 )\cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x) \\\end(align)\]

Les deux termes ont été calculés, il ne reste plus qu'à écrire la réponse finale :

\[(y)"=\frac(11)(3)\cdot ((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(2)))+\frac(22)(3) \cdot ((x)^(6))\cdot \sqrt(x)\]

Nous avons trouvé la réponse.

Dérivée d'une fraction par une fonction puissance

Mais les possibilités de la formule pour résoudre la dérivée d'une fonction puissance ne s'arrêtent pas là. Le fait est qu'avec son aide, vous pouvez calculer non seulement des exemples avec des racines, mais également avec des fractions. C'est précisément une opportunité rare qui simplifie grandement la solution de tels exemples, mais qui est souvent ignorée non seulement par les étudiants, mais aussi par les enseignants.

Nous allons donc maintenant essayer de combiner deux formules à la fois. D'une part, la dérivée classique d'une fonction puissance

\[((\left(((x)^(n)) \right))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

D'un autre côté, nous savons qu'une expression de la forme $\frac(1)(((x)^(n)))$ peut être représentée par $((x)^(-n))$. Ainsi,

\[\left(\frac(1)(((x)^(n))) \right)"=((\left(((x)^(-n)) \right))^(\prime ) )=-n\cdot ((x)^(-n-1))=-\frac(n)(((x)^(n+1)))\]

\[((\left(\frac(1)(x) \right))^(\prime ))=\left(((x)^(-1)) \right)=-1\cdot ((x )^(-2))=-\frac(1)(((x)^(2)))\]

Ainsi, les dérivées des fractions simples, où le numérateur est une constante et le dénominateur est un degré, sont également calculées à l'aide de la formule classique. Voyons comment cela fonctionne en pratique.

Donc la première fonction :

\[((\left(\frac(1)(((x)^(2))) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(-2)) \ à droite))^(\prime ))=-2\cdot ((x)^(-3))=-\frac(2)(((x)^(3)))\]

Le premier exemple est résolu, passons au second :

\[\begin(align)& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4)))-\frac(2)(3((x)^(3)))+\ frac(5)(2)((x)^(2))+2((x)^(3))-3((x)^(4)) \right))^(\prime ))= \ \& =((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(2)(3(( x)^(3))) \right))^(\prime ))+((\left(2((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left( 3((x)^(4)) \right))^(\prime )) \\& ((\left(\frac(7)(4((x)^(4))) \right))^ (\prime ))=\frac(7)(4)((\left(\frac(1)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=\frac(7 )(4)\cdot ((\left(((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=\frac(7)(4)\cdot \left(-4 \right) \cdot ((x)^(-5))=\frac(-7)(((x)^(5))) \\& ((\left(\frac(2)(3((x)^ (3))) \right))^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right) )^(\prime ))=\frac(2)(3)\cdot ((\left(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=\frac(2)( 3)\cdot \left(-3 \right)\cdot ((x)^(-4))=\frac(-2)(((x)^(4))) \\& ((\left( \frac(5)(2)((x)^(2)) \right))^(\prime ))=\frac(5)(2)\cdot 2x=5x \\& ((\left(2 ((x)^(3)) \right))^(\prime ))=2\cdot 3((x)^(2))=6((x)^(2)) \\& ((\ gauche(3((x)^(4)) \right))^(\prime ))=3\cdot 4((x)^(3))=12((x)^(3)) \\\ fin(aligner)\]...

Nous rassemblons maintenant tous ces termes dans une seule formule :

\[(y)"=-\frac(7)(((x)^(5)))+\frac(2)(((x)^(4)))+5x+6((x)^ (2))-12((x)^(3))\]

Nous avons reçu une réponse.

Cependant, avant de poursuivre, je voudrais attirer votre attention sur la forme d'écriture des expressions originales elles-mêmes : dans la première expression nous avons écrit $f\left(x \right)=...$, dans la seconde : $y =...$ De nombreux étudiants se perdent lorsqu'ils voient différentes formes d'enregistrement. Quelle est la différence entre $f\left(x \right)$ et $y$ ? Rien vraiment. Ce sont simplement des entrées différentes avec la même signification. C'est juste que quand on dit $f\left(x \right)$, on parle avant tout d'une fonction, et quand on parle de $y$, on parle le plus souvent du graphe d'une fonction. Sinon, c’est la même chose, c’est-à-dire que la dérivée dans les deux cas est considérée comme la même.

Problèmes complexes avec les produits dérivés

En conclusion, je voudrais considérer quelques problèmes combinés complexes qui utilisent tout ce que nous avons considéré aujourd'hui. Ils contiennent des racines, des fractions et des sommes. Cependant, ces exemples ne seront complexes que dans le didacticiel vidéo d’aujourd’hui, car des fonctions dérivées véritablement complexes vous attendent.

Donc, la dernière partie de la leçon vidéo d'aujourd'hui, composée de deux tâches combinées. Commençons par le premier d'entre eux :

\[\begin(align)& ((\left(((x)^(3))-\frac(1)(((x)^(3)))+\sqrt(x) \right))^ (\prime ))=((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ))-((\left(\frac(1)(((x)^(3) )) \right))^(\prime ))+\left(\sqrt(x) \right) \\& ((\left(((x)^(3)) \right))^(\prime ) )=3((x)^(2)) \\& ((\left(\frac(1)(((x)^(3))) \right))^(\prime ))=((\ gauche(((x)^(-3)) \right))^(\prime ))=-3\cdot ((x)^(-4))=-\frac(3)(((x)^ (4))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac(1)(3))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(3)\cdot \frac(1)(((x)^(\frac(2)(3))))=\frac(1) (3\sqrt(((x)^(2)))) \\\end(align)\]

La dérivée de la fonction est égale à :

\[(y)"=3((x)^(2))-\frac(3)(((x)^(4)))+\frac(1)(3\sqrt(((x)^ (2))))\]

Le premier exemple est résolu. Considérons le deuxième problème :

Dans le deuxième exemple, nous procédons de la même manière :

\[((\left(-\frac(2)(((x)^(4)))+\sqrt(x)+\frac(4)(x\sqrt(((x)^(3)) )) \right))^(\prime ))=((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))+((\left (\sqrt(x) \right))^(\prime ))+((\left(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^ (\prime ))\]

Calculons chaque terme séparément :

\[\begin(align)& ((\left(-\frac(2)(((x)^(4))) \right))^(\prime ))=-2\cdot ((\left( ((x)^(-4)) \right))^(\prime ))=-2\cdot \left(-4 \right)\cdot ((x)^(-5))=\frac(8 )(((x)^(5))) \\& ((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))=((\left(((x)^(\frac( 1)(4))) \right))^(\prime ))=\frac(1)(4)\cdot ((x)^(-\frac(3)(4)))=\frac(1 )(4\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3)))) \\& ((\ gauche(\frac(4)(x\cdot \sqrt(((x)^(3)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(x\cdot ((x)^(\frac(3)(4)))) \right))^(\prime ))=((\left(\frac(4)(((x)^(1\frac(3 )(4)))) \right))^(\prime ))=4\cdot ((\left(((x)^(-1\frac(3)(4))) \right))^( \prime ))= \\& =4\cdot \left(-1\frac(3)(4) \right)\cdot ((x)^(-2\frac(3)(4)))=4 \cdot \left(-\frac(7)(4) \right)\cdot \frac(1)(((x)^(2\frac(3)(4))))=\frac(-7) (((x)^(2))\cdot ((x)^(\frac(3)(4))))=-\frac(7)(((x)^(2))\cdot \sqrt (((x)^(3)))) \\\end(align)\]

Tous les termes ont été calculés. Revenons maintenant à la formule originale et additionnons les trois termes ensemble. Nous obtenons que la réponse finale sera la suivante :

\[(y)"=\frac(8)(((x)^(5)))+\frac(1)(4\sqrt(((x)^(3))))-\frac(7 )(((x)^(2))\cdot \sqrt(((x)^(3))))\]

Et c'est tout. C'était notre première leçon. Dans les leçons suivantes, nous examinerons des constructions plus complexes et découvrirons également pourquoi des dérivées sont nécessaires en premier lieu.

Preuve et dérivation des formules pour la dérivée de l'exponentielle (e à la puissance x) et de la fonction exponentielle (a à la puissance x). Exemples de calcul des dérivées de e^2x, e^3x et e^nx. Formules pour les dérivés d'ordres supérieurs.

Contenu

Voir également: Fonction exponentielle - propriétés, formules, graphique
Exposant, e à la puissance x - propriétés, formules, graphique

Formules de base

La dérivée d'un exposant est égale à l'exposant lui-même (la dérivée de e à la puissance x est égale à e à la puissance x) :
(1) (e x )′ = e x.

La dérivée d'une fonction exponentielle de base a est égale à la fonction elle-même multipliée par le logarithme naturel de a :
(2) .

Une exponentielle est une fonction exponentielle dont la base est égale au nombre e, qui est la limite suivante :
.
Ici, il peut s'agir soit d'un nombre naturel, soit d'un nombre réel. Ensuite, nous dérivons la formule (1) pour la dérivée de l’exponentielle.

Dérivation de la formule dérivée exponentielle

Considérons l'exponentielle, e à la puissance x :
y = ex.
Cette fonction est définie pour tout le monde. Trouvons sa dérivée par rapport à la variable x. Par définition, la dérivée est la limite suivante :
(3) .

Transformons cette expression pour la réduire à des propriétés et règles mathématiques connues. Pour ce faire, nous avons besoin des faits suivants :
UN) Propriété de l'exposant :
(4) ;
B) Propriété du logarithme :
(5) ;
DANS) Continuité du logarithme et propriété des limites pour une fonction continue :
(6) .
Voici une fonction qui a une limite et cette limite est positive.
G) La signification de la deuxième limite remarquable :
(7) .

Appliquons ces faits à notre limite (3). On utilise la propriété (4) :
;
.

Faisons une substitution. Alors ; .
En raison de la continuité de l'exponentielle,
.
Par conséquent, lorsque , . En conséquence nous obtenons :
.

Faisons une substitution. Alors . À , . Et nous avons:
.

Appliquons la propriété logarithme (5) :
. Alors
.

Appliquons la propriété (6). Puisqu’il existe une limite positive et que le logarithme est continu, alors :
.
Ici, nous avons également utilisé la deuxième limite remarquable (7). Alors
.

Ainsi, nous avons obtenu la formule (1) pour la dérivée de l'exponentielle.

Dérivation de la formule de la dérivée d'une fonction exponentielle

Nous dérivons maintenant la formule (2) pour la dérivée de la fonction exponentielle avec une base de degré a. Nous le croyons et. Alors la fonction exponentielle
(8)
Défini pour tout le monde.

Transformons la formule (8). Pour ce faire, nous utiliserons les propriétés de la fonction exponentielle et du logarithme.
;
.
Nous avons donc transformé la formule (8) sous la forme suivante :
.

Dérivées d'ordre supérieur de e à la puissance x

Trouvons maintenant les dérivées d'ordres supérieurs. Regardons d'abord l'exposant :
(14) .
(1) .

On voit que la dérivée de la fonction (14) est égale à la fonction (14) elle-même. En différenciant (1), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
;
.

Cela montre que la dérivée d'ordre n est également égale à la fonction d'origine :
.

Dérivées d'ordre supérieur de la fonction exponentielle

Considérons maintenant une fonction exponentielle de base de degré a :
.
Nous avons trouvé sa dérivée du premier ordre :
(15) .

En différenciant (15), on obtient des dérivées du deuxième et du troisième ordre :
;
.

On voit que chaque différenciation conduit à la multiplication de la fonction originale par . Par conséquent, la dérivée d’ordre n a la forme suivante :
.

Voir également: