Comment décomposer la quantité de cubes. Formules de multiplication abrégée
Dans les leçons précédentes, nous avons examiné deux méthodes de décomposition d'un polynôme à multiplicateurs: le facteur général des crochets et la méthode de regroupement.
Dans cette leçon, nous envisagerons une autre façon de décomposer des polynômes aux multiplicateurs en utilisant les formules de multiplication abrégée.
Nous recommandons à chaque formule d'enregistrer au moins 12 fois. Pour une meilleure mémorisation, écrivez toutes les formules de la multiplication abrégée de vous sur une petite crèche.
Rappelez-vous comment ressemble à la formule de différence de cubes.
un 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)La formule de différence cubique n'est pas très facile à mémoriser, nous vous recommandons donc d'utiliser un moyen spécial de la mémoriser.
Il est important de comprendre que toute formule de multiplication abrégée est valide dans verso.
(A - B) (a 2 + AB + B 2) \u003d A 3 - B 3Considérer un exemple. Il est nécessaire de décomposer la différence de cubes sur les multiplicateurs.
Nous notons que "27a 3" est "(3a) 3", cela signifie pour la formule de différence cubique au lieu de "A", nous utilisons "3a".
Utilisation de la formule de différence CUBE. En place "A 3", nous avons "27a 3", et sur le site "B 3", comme dans la formule, est "B 3".
Application de la différence de cubes dans la direction opposée
Considérer un autre exemple. Il est nécessaire de transformer le produit des polynômes dans la différence de cubes à l'aide de la formule de multiplication abrégée.
Notez que le produit de polynômes "(x-1) (x 2 + x + 1)" ressemble au côté droit de la formule de différence cube "", uniquement au lieu de "A" "x" x ", et sur le site" B "Coûts" 1 ".
Nous utilisons pour "(x-1) (x 2 + x + 1)" la formule de la différence de cubes dans la direction opposée.
Considérer un exemple plus difficile. Il est nécessaire de simplifier le produit des polynômes.
Si vous comparez "(Y 2 - 1) (Y 4 + Y 2 + 1)" avec la partie droite de la formule de différence cube
« un 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)"On peut comprendre que sur le site" A "du premier support est" Y 2, et sur le site "B" est "1".
Les formules de la multiplication abrégée (FSU) sont utilisées pour ériger des nombres et des expressions au degré et à la multiplication des nombres. Souvent, ces formules permettent aux calculs plus compacts et rapidement.
Dans cet article, nous énumérons les formules de base de la multiplication abrégée, les ont regroupés dans une table, envisagez des exemples d'utilisation de ces formules et se concentrent également sur les principes de la preuve des formules de multiplication abrégée.
Pour la première fois, le sujet de la FSU est considéré dans le cadre du cours «Algébra» pour 7e année. Donnons ci-dessous 7 des principales formules.
Formules de multiplication abrégée
- formule carrée Montant: A + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2
- formule du carré de la différence: A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2
- formule Cuba Somme: A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3
- différence de formule Cuba: A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3
- formule de différence carrée: A 2 - B 2 \u003d A - B A + B
- formule des cubes: A 3 + B 3 \u003d A + B A 2 - A B + B 2
- formule de différence cubique: A 3 - B 3 \u003d A - B A 2 + A B + B 2
Les lettres A, B, C dans ces expressions peuvent être des chiffres, des variables ou des expressions. Pour une facilité d'utilisation, il est préférable d'apprendre sept formules de base par cœur. Nous les minimisons dans la table et donnons ci-dessous le circuit.
Les quatre premières formules permettent de calculer le carré ou la quantité de cube ou la différence de deux expressions, respectivement.
La cinquième formule calcule la différence de carrés d'expressions par produit de leur somme et de leur différence.
Les sixième et septième formules se multiplient respectivement de la quantité et de la différence d'expressions sur un carré incomplet de la différence et de la somme carrée incomplète.
La formule de la multiplication abrégée est parfois appelée identité de la multiplication abrégée. Ce n'est pas surprenant, car chaque égalité est une identité.
Lors de la résolution des exemples pratiques, des formules de multiplication abrégée avec des endroits rehaussés à gauche et à droite sont souvent utilisés. Ceci est particulièrement pratique lorsqu'il y a une décomposition d'un polynôme à des multiplicateurs.
Formules supplémentaires de multiplication abrégée
Nous ne serons pas limités à un cours de 7e année par Algèbre et d'ajouter plusieurs formules à notre table à notre table.
Premièrement, considérez la formule de Binoma Newton.
a + B N \u003d C N 0 · A N + C N 1 · A N-1 · B + C N 2 · A N-2 · B 2 +. . + C N - 1 · A · B N - 1 + C N · B N
Ici, c n k est les coefficients binomiaux qui se tiennent dans une rangée sous Nombre N dans le triangle Pascal. Les coefficients binomiaux sont calculés par la formule:
C n k \u003d n! K! · (N - K)! \u003d n (n - 1) (n-2). . (N - (K - 1)) K!
Comme nous le voyons, la FSU pour la place et le cube de la différence et de la somme sont un cas particulier de la formule de Binoma Newton à N \u003d 2 et N \u003d 3ction.
Mais que se passe-t-il si les composants dans le montant que vous devez prendre dans une certaine mesure, plus de deux? La formule de la somme de trois, quatre et plus de composants sera utile.
a 1 + a 2 +. . + A N 2 \u003d A 1 2 + A 2 2 +. . + A N 2 + 2 A 1 A 2 + 2 A 1 A 3 +. . + 2 A 1 A N + 2 A 2 A 3 + 2 A 2 A 4 +. . + 2 A 2 A N + 2 A N - 1 A N N
Une autre formule pouvant être utile - la formule de la formule de la différence de n-ème degrés des deux termes.
a N-B N \u003d A - B A N-1 + A N-2 B + A N-3 B 2 +. . + A 2 B N - 2 + B N - 1
Cette formule est généralement séparée en deux formules - respectivement pour des degrés paires et impaires.
Pour les indicateurs même 2M:
a 2 m - B 2 m \u003d A 2 - B 2 A 2 m - 2 + A 2 M - 4 B 2 + A 2 M - 6 B 4 +. . + B 2 m - 2
Pour les indicateurs impairs 2M + 1:
a 2 m + 1 - B 2 m + 1 \u003d A 2 - B 2 A 2 M + A 2 m - 1 B + A 2 M 2 +. . + B 2 m
La différence de carrés de formules et la différence de cubes, comme vous le devinez, sont des cas spéciaux de cette formule pour N \u003d 2 et N \u003d 3, respectivement. Pour la différence de cubes b est également remplacé par - B.
Comment lire des formules de multiplication abrégée?
Nous donnons le libellé approprié pour chaque formule, mais nous comprendrons d'abord le principe de la lecture de formules. Il est le plus pratique de le faire par exemple. Prenez la toute première formule du carré de la somme de deux nombres.
a + B 2 \u003d A 2 + 2 A B + B 2.
Ils disent: le carré de la somme de deux expressions A et B est égal à la somme du carré de la première expression, a doublé le produit des expressions et le carré de la deuxième expression.
Toutes les autres formules sont en lecture seule. Pour le carré de la différence A - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2 Nous écrivons:
le carré de la différence de deux expressions A et B est égal à la somme des carrés de ces expressions moins un produit deux fois sur la première et la deuxième expression.
Lisons la formule A + B 3 \u003d A 3 + 3 A 2 B + 3 A B 2 + B 3. Le cube de la somme de deux expressions A et B est égal à la somme des cubes de ces expressions, le travail triplé du carré de la première expression sur le deuxième et triple produit du carré de la deuxième expression sur la première expression .
Allez à la lecture de la formule pour la différence de cubes A - B 3 \u003d A 3 - 3 A 2 B + 3 A B 2 - B 3. La différence cube de deux expressions A et B est égale à Cuba de la première expression moins l'œuvre triplée du carré de la première expression sur la seconde, plus le produit triplé du carré de la deuxième expression sur la première expression, moins le cube de la deuxième expression.
La cinquième formule A 2 - B 2 \u003d A - B A + B (la différence de carrés) est lue comme ceci: la différence dans les carrés de deux expressions est égale au produit de la différence et la somme de deux expressions.
Les expressions de type A 2 + A B + B 2 et A 2 - A B + B 2 pour la commodité sont appelées carré incomplètes de la somme et un carré incomplet de la différence.
Dans cet esprit, la formule de la quantité et la différence de cubes seront lues comme ceci:
La somme des cubes de deux expressions est égale au montant de la somme de ces expressions sur le carré incomplet de leur différence.
La différence de cubes de deux expressions est égale au produit de ces expressions sur un carré incomplet de leur somme.
Preuve de la FSU
Prouver que la FSU est assez simple. Basé sur des propriétés de multiplication, nous multiplierons les parties des formules entre parenthèses.
Par exemple, envisagez la formule du carré de la différence.
a - B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2.
Pour construire une expression dans le deuxième degré, vous devez multiplier par lui-même.
a - B 2 \u003d A - B A - B.
Supports de rappel:
a - B A - B \u003d A 2 - A B - B A + B 2 \u003d A 2 - 2 A B + B 2.
La formule est prouvée. Le FSU restant est prouvé de la même manière.
Exemples d'application de la FSU
L'utilisation des formules de multiplication abrégée est une multiplication rapide et courte et une érection d'expressions dans un degré. Cependant, ce n'est pas l'ensemble de l'application de la FSU. Ils sont largement utilisés dans la réduction des expressions, la réduction des fractions, la décomposition des polynômes sur les multiplicateurs. Nous donnons des exemples.
Exemple 1. FSU
Nous simplifions l'expression 9 Y - (1 + 3 Y) 2.
Appliquez la formule de la somme des carrés et obtenez:
9 Y - (1 + 3 Y) 2 \u003d 9 Y - (1 + 6 Y + 9 Y 2) \u003d 9 Y - 1 - 6 Y - 9 Y 2 \u003d 3 Y - 1 - 9 Y 2
Exemple 2. FSU
Fraction de réduction 8 x 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4.
Nous remarquons que l'expression dans le numérateur est la différence de cubes, et dans le dénominateur - la différence de carrés.
8 x 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4 \u003d 2 x - Z (4 x 2 + 2 x Z + Z 4) 2 x - z 2 x + z.
Réduire et obtenir:
8 x 3 - Z 6 4 x 2 - Z 4 \u003d (4 x 2 + 2 x Z + Z 4) 2 x + z
En outre, la FSA aide à calculer les valeurs des expressions. La principale chose est de pouvoir remarquer où appliquer la formule. Montrez-le sur l'exemple.
Érigé un numéro 79 en carré. Au lieu d'informatique volumineuse, écrivez:
79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .
Il semblerait que le calcul complexe ne soit effectué rapidement qu'à l'aide des formules de la multiplication abrégée et de la table de multiplication.
Un autre point important est la libération du carré du bac. L'expression 4 x 2 + 4 x - 3 peut être convertie en forme 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 \u003d 2 x + 1 2 - 4. De telles transformations sont largement utilisées dans l'intégration.
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Formules de multiplication abrégée.
Étude des formules de multiplication abrégée: le carré de la somme et le carré de la différence de deux expressions; Différences carrées de deux expressions; SUMS CUBA et différence de cube de deux expressions; Quantités et différences de cubes de deux expressions.
L'utilisation de formules de multiplication abrégée lors de la résolution des exemples.
Pour simplifier les expressions, la décomposition des polynômes sur les multiplicateurs, apportant des polynômes aux formules standard de la multiplication abrégée. Les formules de multiplication abrégées doivent être connues.
Soit A, b r. Alors:
1. Le carré de la somme de deux expressions est égal Le carré de la première expression plus un produit torsadé de la première expression sur le second plus le carré de la deuxième expression.
(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
2. Le carré de la différence de deux expressions est égal Le carré de la première expression moins un produit deux fois sur la première expression sur la seconde et le carré de la deuxième expression.
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B 2
3. Différences carréesdeux expressions sont égales au produit de ces expressions et de leur somme.
a 2 - B 2 \u003d (A -B) (A + B)
4. Quantité de cubedeux expressions sont égales à cuba de la première expression plus le produit triplé du carré de la première expression sur la seconde plus le produit triplé de la première expression sur le carré du deuxième cube de la deuxième expression.
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
5. Différence de cubedeux expressions sont égales à cuba de la première expression moins les travaux triplés du carré de la première expression sur le second plus le travail triplé de la première expression sur le carré du deuxième cube de la deuxième expression.
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 3
6. La quantité de cubesdeux expressions sont égales au montant de la somme des première et deuxième expression sur le carré incomplet de la différence de ces expressions.
a 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
7. Différences cubiques Deux expressions sont égales au produit de la première et de la deuxième expression sur un carré incomplet de la somme de ces expressions.
un 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)
L'utilisation de formules de multiplication abrégée lors de la résolution des exemples.
Exemple 1.
Calculer
a) Utiliser la somme de la somme de deux expressions, nous avons
(40 + 1) 2 \u003d 40 2 + 2 · 40 · 1 + 1 2 \u003d 1600 + 80 + 1 \u003d 1681
b) utiliser la formule du carré de la différence de deux expressions, nous obtenons
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 · 100 · 2 + 2 2 \u003d 1000 - 400 + 4 \u003d 9604
Exemple 2.
Calculer
En utilisant la formule de la taille des carrés de deux expressions, nous obtenons
Exemple 3.
Simplifier l'expression
(x - y) 2 + (x + y) 2
Nous utilisons les formules carrées de la somme et du carré de la différence de deux expressions
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2H + en 2 + x 2 + 2h + y 2 \u003d 2x 2 + 2Y 2
Formules de multiplication abrégée dans une table:
(A + B) 2 \u003d A 2 + 2AB + B 2
(A - B) 2 \u003d A 2 - 2AB + B 2
un 2 - B 2 \u003d (A - B) (A + B)
(A + B) 3 \u003d A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3
(A - B) 3 \u003d A 3 - 3A 2 B + 3AB 2 - B 3 3
A 3 + B 3 \u003d (A + B) (A 2 - AB + B 2)
Un 3 - B 3 \u003d (A - B) (A 2 + AB + B 2)
Différences carrées
Nous dérivons la formule de la différence dans les carrés de $ A ^ 2-b ^ 2 $.
Pour ce faire, rappelez-vous la règle suivante:
S'ils ajoutent à l'expression de tout unilatéral et soustrayez la même chose, alors nous aurons une identité fidèle.
Nous ajoutons à notre expression et soustrayez $ AB $ hors de celui-ci:
Total nous obtenons:
C'est-à-dire que la différence entre les carrés de deux homoraux est égale au produit de leur différence pour leur somme.
Exemple 1.
Présent sous la forme d'un produit $ (4x) ^ 2-y ^ 2 $
\\ [(4x) ^ 2-y ^ 2 \u003d ((2x)) ^ 2-y ^ 2 \\]
\\ [(((2x)) ^ 2-y ^ 2 \u003d \\ gauche (2x-y \\ droite) (2x + y) \\]
La quantité de cubes
Nous tirons la formule de la quantité de cubes $ A ^ 3 + b ^ $ 3.
Je vais effectuer des facteurs généraux pour les accolades:
Je vais apporter $ \\ Gauche pour les crochets (A + B \\ droite) $:
Total nous obtenons:
C'est-à-dire que la somme des cubes de deux homoraux est égale au travail de leur somme sur le carré incomplet de leur différence.
Exemple 2.
Soumettre sous la forme d'un produit $ (8x) ^ 3 + y ^ $ 3
Cette expression peut être réécrite sous la forme suivante:
\\ [(8x) ^ 3 + y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \\]
En utilisant la formule de la différence carrée, nous obtenons:
\\ [(((2x)) ^ 3 + y ^ 3 \u003d \\ gauche (2x + y \\ droite) (4x ^ 2-2xy + y ^ 2) \\]
Différences cubiques
Apportons la formule la différence de cubes $ A ^ 3-b ^ 3 $.
Pour cela, nous utiliserons la même règle que ci-dessus.
Nous ajoutons à notre expression et inscrivez-vous. $ A ^ 2b \\ and \\ (ab) ^ $ 2:
Je vais effectuer des facteurs généraux pour les accolades:
Je vais transférer $ \\ gauche pour les supports (A-b \\ droite) $:
Total nous obtenons:
C'est-à-dire que la différence de cubes de deux homoraux est égale au produit de leur différence sur le carré incomplet de leur somme.
Exemple 3.
Présent sous la forme d'un produit $ (8x) ^ 3-y ^ $ 3
Cette expression peut être réécrite sous la forme suivante:
\\ [(8x) ^ 3-y ^ 3 \u003d ((2x)) ^ 3-y ^ 3 \\]
En utilisant la formule de la différence carrée, nous obtenons:
\\ [((2x)) ^ 3-y ^ 3 \u003d \\ gauche (2x-y \\ droite) (4x ^ 2 + 2xy + y ^ 2) \\]
Un exemple de tâches pour utiliser les formules de la différence de carrés et la quantité et la différence de cubes
Exemple 4.
Désintégrer.
a) $ ((A + 5)) ^ 2-9 $
c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $
Décision:
a) $ ((A + 5)) ^ 2-9 $
\\ [((((A + 5)) ^ 2-9 \u003d (A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \\]
En utilisant la formule de la différence de carrés, nous obtenons:
\\ [(((A + 5)) ^ 2-3 ^ 2 \u003d \\ gauche (A + 5-3 \\ droite) \\ Gauche (A + 5 + 3 \\ droite) \u003d \\ Gauche (A + 2 \\ droite) (A + 2 \\ droite) (A +8) \\]
Nous écrivons cette expression sous la forme:
Appliquez la formule des cubes:
c) $ -x ^ 3 + \\ frac (1) (27) $
Nous écrivons cette expression sous la forme:
\\ [- x ^ 3 + \\ frac (1) (27) \u003d (\\ gauche (\\ frac (1) (3) \\ droite)) ^ 3-x ^ 3 \\]
Appliquez la formule des cubes:
\\ [(\\ gauche (\\ frac (1) (3) \\ droite)) ^ 3-x ^ 3 \u003d \\ gauche (\\ frac (1) (3) -x \\ droite) \\ gauche (\\ frac (1) ( 9) + \\ frac (x) (3) + x ^ 2 \\ droite) \\]
Les formules ou les règles de multiplication abrégées sont utilisées en arithmétique ou plutôt en algèbre, pour un processus plus rapide de calcul des grandes expressions algébriques. Les formules elles-mêmes sont obtenues à partir des règles existant dans l'algèbre pour multiplier plusieurs polynômes.
L'utilisation de ces formules fournit une solution assez opérationnelle de diverses tâches mathématiques et aide également à simplifier les expressions. Les règles des transformations algébriques vous permettent d'effectuer des manipulations avec des expressions, suivantes qu'il est possible d'obtenir une expression sur le côté droit de la partie gauche de l'égalité ou de convertir la partie droite de l'égalité (pour obtenir un expression qui se tient à gauche après le signe de l'égalité).
Il est pratique de connaître les formules utilisées pour la multiplication abrégée, ainsi qu'elles sont souvent utilisées pour résoudre des problèmes et des équations. Vous trouverez ci-dessous les formules de base incluses dans cette liste et leur nom.
Montant carré
Afin de calculer le carré de la quantité, il est nécessaire de trouver la quantité composée du carré du premier terme, doublé le produit du premier terme sur le deuxième et le carré de la seconde. Dans la forme d'expression, cette règle est écrite comme suit: (A + C) ² \u003d A² + 2A + C².
Différence carrée
Pour calculer le carré de la différence, il est nécessaire de calculer la quantité composée du carré du premier numéro deux fois le premier numéro à la seconde (prise avec le signe opposé) et le carré du deuxième numéro. Dans la forme d'expression, cette règle est la suivante: (A - C) ² \u003d A² - 2A + C².
Différences carrées
La formule de la différence des deux nombres érigées dans le carré est égale au montant de la somme de ces chiffres sur leur différence. Dans la forme d'expression, cette règle est la suivante: A² - C² \u003d (A + C) · (A - C).
Quantité de cube
Afin de calculer le cube des sommes des deux composantes, il est nécessaire de calculer la quantité composée du cube du premier terme, œuvre triplée du carré du premier terme et du second produit triplé du premier terme et la seconde sur la place, ainsi que le cube du second terme. Dans la forme d'expression, cette règle est la suivante: (A + C) ³ \u003d A³ + 3A² + 3A² + C³.
La quantité de cubes
Selon la formule, il est égal à la quantité de la quantité des termes des composants sur leur carré incomplète de la différence. Dans la forme d'expression, cette règle est la suivante: A³ + C³ \u003d (A + C) · (A² - AC + C²).
Exemple. Il est nécessaire de calculer le volume de la forme, qui est formé par l'ajout de deux cubes. Également connu uniquement les valeurs de leurs partis.
Si les valeurs des parties sont petites, effectuez des calculs simplement.
Si la longueur des parties est exprimée en nombre encombrant, il est donc plus facile d'appliquer la formule "quantité de cubes", ce qui simplifiera considérablement les calculs.
Différence de cube
L'expression pour la différence cubique ressemble à ceci: comme la somme du troisième degré du premier terme, le travail négatif triplé du carré du premier membre sur la seconde, des travaux triplés du premier membre à la place du second et de la négative cube du second terme. Sous la forme d'une expression mathématique, une différence de cube ressemble à ceci: (A - C) ³ \u003d A³ - 3a² + 3A² - C³.
Différences cubiques
La formule de différence Cube diffère de la quantité de cubes un seul signe. Ainsi, la différence de cubes est une formule égale au produit de la différence de données entre leur somme carrée incomplète. La différence de cubes est la suivante: a 3 - de 3 \u003d (A - C) (et 2 + AC + C 2).
Exemple. Il est nécessaire de calculer le volume de la figure qui restera après la soustraction du volume du cube bleu d'une figure de contour jaune de jaune, qui est également un cube. Seule la magnitude du côté d'un petit et grand cube est connue.
Si les valeurs des parties sont petites, les calculs sont assez simples. Et si les longueurs des parties sont exprimées en chiffres significatifs, il est nécessaire d'appliquer la formule intitulée «Différences de cubes» (ou «cube de la différence»), ce qui simplifiera considérablement les calculs.
