12 définir le profil d'examen avec des logarithmes. Logarithmes dans les devoirs d'examen

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Attention! Les aperçus des diapositives sont à titre informatif uniquement et peuvent ne pas représenter toutes les options de présentation. Si vous êtes intéressé par ce travail, veuillez télécharger la version complète.

La méthode de résolution est bonne si dès le début on peut prévoir - et par la suite la confirmer -
qu'en suivant cette méthode nous atteindrons le but.
G. Leibniz

TYPE DE LEÇON : Consolidation et amélioration des connaissances.

• Didactique - Répéter et consolider les propriétés des logarithmes ; équations logarithmiques; corriger les méthodes de résolution des valeurs les plus grandes et les plus petites de la fonction ; améliorer l'application des connaissances acquises dans la résolution des problèmes de l'examen C1 et C3 ;
• Développement - Développement de la pensée logique, de la mémoire, de l'intérêt cognitif, poursuivre la formation du discours mathématique et de la culture graphique, développer la capacité d'analyse;
• Éducatif - Pour s'habituer à la conception esthétique de l'écriture dans un cahier, capacité à communiquer, inculquer la propreté.

Équipement: tableau noir, ordinateur, projecteur, écran, cartes avec des tâches de test, avec des tâches pour le travail de tous les élèves.

Formes de travail : f horizontale, individuelle, collective.

PENDANT LES COURS

1. MOMENT ORGANISATIONNEL

2. OBJECTIF

3. VÉRIFICATION DES DEVOIRS

4. MISE À JOUR DES CONNAISSANCES

Analyser : dans lequel tâches de l'examen il y a des logarithmes.

(B-7-équations logarithmiques les plus simples

B-11-transformation des expressions logarithmiques

B-12- problèmes de contenu physique liés aux logarithmes

B-15- trouver la valeur de fonction la plus grande et la plus petite

C-1- équations trigonométriques contenant le logarithme

С-3 - un système d'inéquations contenant une inégalité logarithmique)

À ce stade, un travail oral est effectué, au cours duquel les étudiants non seulement se souviennent des propriétés des logarithmes, mais effectuent également les tâches USE les plus simples.

1) Détermination du logarithme. Quelles propriétés du logarithme connaissez-vous ? (et conditions ?)

1.log b b = 1
2.log b 1 = 0, 3.log c (ab) = log c a + log c b.
4.log c (a: b) = log c a - log c b.
5.log c (b k) = k * log c

2) Quelle fonction est appelée logarithmique ? D (y) - ?

3) Qu'est-ce que le logarithme décimal ? ()

4) Qu'est-ce que le logarithme naturel ? ()

5) Quel est le nombre e ?

6) Quelle est la dérivée de ? ()

7) Quelle est la dérivée du logarithme népérien ?

5. TRAVAUX ORAUX pour tous les élèves

Calculer oralement : (tâches B-11)

= = = =

152 1 144 -1/2

6. Activité indépendanteétudiants en résolvant des tâches

B-7 suivi d'une vérification

Résoudre les équations (les deux premières équations sont dites oralement, les autres sont résolues indépendamment par toute la classe et la solution est notée dans un cahier) :

(Pendant que les élèves travaillent seuls sur place, 3 élèves viennent au tableau et travaillent sur des fiches individuelles)

Après avoir vérifié sur place 3 à 5 équations, les enfants sont invités à prouver que l'équation n'a pas de solution (oralement)

7. Solution B-12 - (problèmes de contenu physique associés aux logarithmes)

Toute la classe résout le problème (il y a 2 personnes au tableau : le 1er résout avec la classe, le 2ème résout un problème similaire tout seul)

8. TRAVAIL ORAL (questions)

Rappelons l'algorithme pour trouver les valeurs les plus grandes et les plus petites d'une fonction sur un segment et sur un intervalle.

Travaillez au tableau et dans un cahier.

(prototype B15 - Unified State Exam)

9. Mini-test avec autocontrôle.

№	Option 1	Option 2
1.	=
2.
3.
4.
5.
6.	Trouver plus grande valeur les fonctions 11. Les étudiants agissent en experts Les enfants sont invités à évaluer le travail de l'élève - tâche S-1, complétée sur la fiche d'examen - 0.1.2 points (voir présentation) 12. TÂCHE À DOMICILE Le professeur explique devoirs, en faisant attention au fait que des tâches similaires ont été envisagées dans la leçon. Après avoir écouté attentivement les explications du professeur, les élèves notent leurs devoirs. FIPI ( banque ouverte devoirs : géométrie de la section, 6e page) uztest.ru (transformation logarithmique) C3 - la tâche de la deuxième partie de l'examen 13. RÉSUMÉ Aujourd'hui, dans la leçon, nous avons répété les propriétés des logarithmes ; équations logarithmiques; méthodes fixes pour trouver la valeur la plus élevée et la plus basse d'une fonction ; examiné les problèmes de contenu physique liés aux logarithmes; problèmes résolus C1 et C3, qui sont offerts à l'examen de mathématiques dans les prototypes B7, B11, B12, B15, C1 et C3. Classement.

domicile

Comment résoudre le problème de l'examen numéro 13 sur les équations exponentielles et logarithmiques | 1C : Tuteur

Que devez-vous savoir sur les équations exponentielles et logarithmiques pour résoudre les problèmes USE en mathématiques ?

Être capable de résoudre des équations exponentielles et logarithmiques est très important pour livraison réussie un seul examen d'État mathématiques niveau de profil... Important pour deux raisons:

d'abord, tâche n° 13 de la version du KIM USE, bien que rarement, mais représente encore parfois une telle équation qui doit non seulement être résolue, mais aussi (semblable à la tâche en trigonométrie) pour sélectionner les racines de l'équation qui satisfaire à une condition.

Ainsi, l'une des options pour 2017 comprenait la tâche suivante :

a) Résoudre l'équation 8 X – 7 . 4 X – 2 X +4 + 112 = 0.

b) Indique les racines de cette équation qui appartiennent au segment.

Réponse: a) 2 ; log 2 7 et b) log 2 7.

Dans une autre version, il y avait une telle tâche:

a) Résoudre l'équation 6log 8 2 X- 5log 8 X + 1 = 0

b) Trouve toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment.

Réponse: a) 2 et 2√ 2 ; b) 2.

Il y avait aussi les suivants :

a) Résoudre l'équation 2log 3 2 (2cos X) - 5log 3 (2cos X) + 2 = 0.

b) Trouvez toutes les racines de cette équation qui appartiennent au segment [π; 5π / 2].

Réponse: une) (π / 6 + 2πk; -π / 6 + 2πk, k∊Z) et b) 11π/6 ; 13π / 6.

en deuxième, l'étude des méthodes de résolution d'équations exponentielles et logarithmiques est bonne, car les méthodes de base pour résoudre à la fois les équations et les inégalités utilisent en fait les mêmes idées mathématiques.

Les principales méthodes de résolution des équations exponentielles et logarithmiques sont faciles à retenir, il n'y en a que cinq : réduction à l'équation la plus simple, utilisation de transitions équivalentes, introduction de nouvelles inconnues, logarithme et factorisation. La méthode d'utilisation des propriétés des fonctions exponentielles, logarithmiques et autres pour résoudre des problèmes en vaut la peine: parfois, la clé de la résolution d'une équation est le domaine de définition, la plage de valeurs, la non-négativité, la limitation, la parité des fonctions inclus dedans.

En règle générale, dans le problème n ° 13, il existe des équations qui nécessitent l'utilisation des cinq méthodes de base ci-dessus. Chacune de ces méthodes a ses propres caractéristiques que vous devez connaître, car c'est leur ignorance qui conduit à des erreurs dans la résolution des problèmes.

Quelles sont les erreurs typiques des candidats au test ?

Souvent, lors de la résolution d'équations contenant une fonction exponentielle, les écoliers oublient de considérer l'un des cas où l'égalité est satisfaite. Comme on le sait, les équations de ce type sont équivalentes à un ensemble de deux systèmes de conditions (voir ci-dessous), nous parlons du cas où une ( X) = 1

Cette erreur est due au fait que lors de la résolution de l'équation, le candidat utilise formellement la définition de la fonction exponentielle (y = hache, a> 0, a 1) : pour une ≤ 0 la fonction exponentielle n'est pas vraiment définie,

Mais avec une = 1 est défini, mais non indicatif, puisque l'unité en tout degré réel est identiquement égale à elle-même. Cela signifie que si dans l'équation considérée à une(X) = 1 il y a une vraie égalité numérique, alors les valeurs correspondantes de la variable seront les racines de l'équation.

Une autre erreur consiste à appliquer les propriétés des logarithmes sans prendre en compte la plage de valeurs valides. Par exemple, la propriété bien connue «le logarithme du produit est égal à la somme des logarithmes», s'avère, a une généralisation :
enregistrer un ( F(X)g(X)) = log a │ F(X) │ + log a │g ( X) │, pour F(X)g(X) > 0, une > 0, une ≠ 1

En effet, pour que l'expression du membre de gauche de cette égalité soit définie, il suffit que le produit des fonctions F et g était positif, mais les fonctions elles-mêmes peuvent être à la fois supérieures et inférieures à zéro, par conséquent, lors de l'application de cette propriété, il est nécessaire d'utiliser le concept de module.

Et il y a beaucoup d'exemples de ce genre. Par conséquent, pour le développement efficace de méthodes de résolution d'équations exponentielles et logarithmiques, il est préférable d'utiliser les services qui seront en mesure de signaler de tels "pièges" par des exemples de résolution des problèmes d'examen correspondants.

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Dans la tâche numéro 12 de l'utilisation en mathématiques du niveau de profil, nous devons trouver la plus grande ou la plus petite valeur de la fonction. Pour ce faire, il faut bien entendu utiliser une dérivée. Regardons un exemple typique.

Analyse des options types pour les devoirs n°12 de l'USE en mathématiques du niveau profil

La première variante de la tâche (version démo 2018)

Trouver le point maximum de la fonction y = ln (x + 4) 2 + 2x + 7.

Algorithme de résolution :

1. Trouvez la dérivée.
2. Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. Nous recherchons des valeurs de x auxquelles le logarithme a un sens. Pour cela, on résout l'inégalité :

Parce que le carré de n'importe quel nombre est non négatif. La solution de l'inégalité ne sera que la valeur de x pour laquelle x + 4 0, c'est-à-dire pour x -4.

2. Trouvez la dérivée :

y '= (ln (x + 4) 2 + 2x + 7)'

Par la propriété du logarithme, on obtient :

y '= (ln (x + 4) 2)' + (2x) '+ (7)'.

Par la formule de la dérivée d'une fonction complexe :

(lnf) '= (1 / f) f'. On a f = (x + 4) 2

y, = (ln (x + 4) 2) '+ 2 + 0 = (1 / (x + 4) 2) ∙ ((x + 4) 2)' + 2 = (1 / (x + 4) 2 2) ∙ (x 2 + 8x + 16) '+ 2 = 2 (x + 4) / ((x + 4) 2) + 2

y'= 2 / (x + 4) + 2

3. Égalisez la dérivée à zéro :

y, = 0 → (2 + 2 (x + 4)) / (x + 4) = 0,

2 + 2x +8 = 0, 2x + 10 = 0,

La deuxième variante de la tâche (de Yashchenko, n ° 1)

Trouver le point minimum de la fonction y = x - ln (x + 6) + 3.

Algorithme de résolution :

1. Déterminer la portée de la fonction.
2. Trouvez la dérivée.
3. Déterminez à quels points la dérivée est 0.
4. Nous excluons les points qui n'appartiennent pas à la zone de définition.
5. Parmi les points restants, nous recherchons les valeurs de x auxquelles la fonction a un minimum.
6. Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. ODZ :.

2. Trouvez la dérivée de la fonction :

3. Égalisez l'expression résultante à zéro :

4. Reçu un point x = -5, appartenant au domaine de la fonction.

5. À ce stade, la fonction a un extremum. Vérifions si c'est le minimum. Quand x = -4

Pour x = -5,5, la dérivée de la fonction est négative, puisque

Par conséquent, le point x = -5 est le point minimum.

La troisième variante de la tâche (de Yashchenko, n° 12)

Algorithme de résolution :

1. Trouvez la dérivée.
2. Déterminez à quels points la dérivée est 0.
3. Nous excluons les points qui n'appartiennent pas au segment spécifié.
4. Parmi les points restants, nous recherchons les valeurs de x auxquelles la fonction a un maximum.
5. Trouvez les valeurs de la fonction aux extrémités du segment.
6. Nous recherchons la plus grande parmi les valeurs obtenues.
7. Nous écrivons la réponse.

Solution:

1. On calcule la dérivée de la fonction, on obtient