Vieta teoreemi rakendamisest ruutvõrrandite lahendamisel. Ruutvõrrandite ja Vieta teoreemi suuline lahendamine Millal saab kasutada Vieta teoreemi
François Vieta (1540-1603) - matemaatik, kuulsate Vieta valemite looja
Vieta teoreem vajalik ruutvõrrandite kiireks lahendamiseks (lihtsamalt öeldes).
Täpsemalt t Vieta teoreem - see on ruutvõrrandi juurte summa, mis on võrdne teise koefitsiendiga, mis võetakse vastupidise märgiga, ja korrutis on võrdne vaba liikmega. Sellel omadusel on mis tahes ruutvõrrand, millel on juured.
Vieta teoreemi kasutades saate ruutvõrrandid lihtsalt valiku teel lahendada, nii et ütleme mõõk käes olevale matemaatikule meie õnneliku 7. klassi eest "aitäh".
Vieta teoreemi tõestus
Teoreemi tõestamiseks saab kasutada tuntud juurvalemeid, tänu millele koostame ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise. Alles pärast seda saame veenduda, et need on võrdsed ja vastavalt .
Oletame, et meil on võrrand: . Sellel võrrandil on järgmised juured: ja . Tõestame, et .
Ruutvõrrandi juurte valemite järgi:
1. Leidke juurte summa:
Analüüsime seda võrrandit, kuna saime selle täpselt nii:
= .
Samm 1. Vähendame murrud ühise nimetajani, selgub:
= = .
2. samm. Saime murdosa, kus peate sulgud avama:
Vähendame murdosa 2 võrra ja saame:
Oleme tõestanud ruutvõrrandi juurte summa seose Vieta teoreemi abil.
2. Leidke juurte korrutis:
= = = = = .
Tõestame seda võrrandit:
Samm 1. Murdude korrutamiseks on reegel, mille kohaselt korrutame selle võrrandi:
Nüüd tuletame meelde ruutjuure määratlust ja kaalume:
= .
3. samm. Tuletame meelde ruutvõrrandi diskriminanti: . Seetõttu asendame D (diskriminant) asemel viimase murruga, siis saame:
= .
4. samm. Avage sulud ja lisage murdudele sarnased terminid:
5. samm. Vähendame "4a" ja saame.
Seega oleme tõestanud seose juurte korrutisega vastavalt Vieta teoreemile.
TÄHTIS!Kui diskriminant on null, on ruutvõrrandil ainult üks juur.
Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile
Vastavalt teoreemile, Vieta teoreemi pöördväärtusele, saame kontrollida, kas meie võrrand on õigesti lahendatud. Teoreemi enda mõistmiseks peame seda üksikasjalikumalt käsitlema.
Kui numbrid on:
Ja siis on need ruutvõrrandi juured.
Vieta vastupidise teoreemi tõestus
Samm 1.Asendame võrrandis selle koefitsientide avaldised:
2. sammTeisendame võrrandi vasaku külje:
3. samm. Leiame võrrandi juured ja selleks kasutame omadust, et korrutis on võrdne nulliga:
Või . Kust see tuleb: või.
Näited lahendustega Vieta teoreemi järgi
Näide 1
Harjutus
Leia ruutvõrrandi juurte summa, korrutis ja ruutude summa ilma võrrandi juuri leidmata.
Lahendus
Samm 1. Tuletage meelde diskrimineeriva valemit. Asendame oma numbrid tähtede all. See tähendab, , on asendaja , ja . See tähendab:
Selgub:
Title=" Renderdab QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}
Me väljendame juurte ruutude summat nende summa ja korrutise kaudu:
Vastus
7; 12; 25.
Näide 2
Harjutus
Lahenda võrrand. Sel juhul ärge kasutage ruutvõrrandi valemeid.
Lahendus
Selle võrrandi juured on diskriminandi (D) poolest suuremad kui null. Vastavalt Vieta teoreemile on selle võrrandi juurte summa 4 ja korrutis 5. Esiteks määrame arvu jagajad, mille summa on 4. Need on arvud "5" ja "-1". Nende korrutis on – 5 ja summa – 4. Seega, vastavalt teoreemile, Vieta teoreemi pöördväärtusele, on nad selle võrrandi juured.
Vastus
JA Näide 4
Harjutus
Kirjutage võrrand, kus iga juur on kaks korda suurem kui võrrandi vastav juur:
Lahendus
Vieta teoreemi järgi on selle võrrandi juurte summa 12 ja korrutis = 7. Seega on need kaks juurt positiivsed.
Uue võrrandi juurte summa on võrdne:
Ja töö.
Vieta teoreemile vastupidise teoreemi järgi on uuel võrrandil vorm:
Vastus
Tulemuseks oli võrrand, mille iga juur on kaks korda suurem:
Niisiis, vaatasime, kuidas lahendada võrrandit Vieta teoreemi abil. Seda teoreemi on väga mugav kasutada, kui lahendatakse ülesandeid, mis on seotud ruutvõrrandite juurte märkidega. See tähendab, et kui valemis olev vaba liige on positiivne arv ja kui ruutvõrrandis on reaaljuured, võivad need mõlemad olla negatiivsed või positiivsed.
Ja kui vaba liige on negatiivne arv ja kui ruutvõrrandis on reaalsed juured, on mõlemad märgid erinevad. See tähendab, et kui üks juur on positiivne, on teine juur ainult negatiivne.
Kasulikud allikad:
- Dorofejev G. V., Suvorova S. B., Bunimovitš E. A. Algebra 8. klass: Moskva “Valgustus”, 2016 – 318 lk.
- Rubin A. G., Chulkov P. V. - õpik Algebra 8. klass: Moskva "Balass", 2015 - 237 lk.
- Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – algebra 8. klass: Moskva “Valgustus”, 2014 – 300
Vieta teoreem, Vieta pöördvalem ja näited lahendustega mannekeenide jaoks värskendatud: 22. novembril 2019: Teaduslikud artiklid.Ru
Vieta teoreem (täpsemalt Vieta teoreemile pöördvõrdeline teoreem) võimaldab vähendada ruutvõrrandite lahendamise aega. Peate lihtsalt teadma, kuidas seda kasutada. Kuidas õppida lahendama ruutvõrrandeid Vieta teoreemi abil? See on lihtne, kui sa natuke mõtled.
Nüüd räägime ainult taandatud ruutvõrrandi lahendamisest Vieta teoreemi abil Taandatud ruutvõrrand on võrrand, milles a, st x² ees olev koefitsient on võrdne ühega. Esitamata ruutvõrrandid saab lahendada ka Vieta teoreemi abil, kuid juba seal ei ole vähemalt üks juurtest täisarv. Neid on raskem ära arvata.
Vieta teoreemile vastav teoreem ütleb: kui arvud x1 ja x2 on sellised, et
siis x1 ja x2 on ruutvõrrandi juured
Ruutvõrrandi lahendamisel Vieta teoreemi abil on võimalikud ainult 4 võimalust. Kui mäletate arutluskäiku, võite õppida väga kiiresti leidma terveid juuri.
I. Kui q on positiivne arv,
see tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud (sest ainult samade märkidega arvude korrutamisel saadakse positiivne arv).
k.a. Kui -p on positiivne arv, (vastavalt lk<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).
I.b. Kui -p on negatiivne arv, (vastavalt p>0), siis mõlemad juured on negatiivsed arvud (liidesid sama märgiga arvud, said negatiivse arvu).
II. Kui q on negatiivne arv,
see tähendab, et juurtel x1 ja x2 on erinevad märgid (arvude korrutamisel saadakse negatiivne arv ainult siis, kui tegurite märgid on erinevad). Sel juhul ei ole x1 + x2 enam summa, vaid vahe (eri märgiga arvude liitmisel lahutame ju suuremast moodulist väiksema). Seetõttu näitab x1 + x2, kui palju erinevad juured x1 ja x2, st kui palju üks juur on teisest suurem (modulo).
II.a. Kui -p on positiivne arv, (st lk<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.
II.b. Kui -p on negatiivne arv, (p>0), siis suurem (mooduli) juur on negatiivne arv.
Vaatleme ruutvõrrandite lahendamist Vieta teoreemi järgi näidete abil.
Lahendage antud ruutvõrrand Vieta teoreemi abil:
Siin q=12>0, seega on juured x1 ja x2 sama märgiga arvud. Nende summa on -p=7>0, seega mõlemad juured on positiivsed arvud. Valime täisarvud, mille korrutis on 12. Need on 1 ja 12, 2 ja 6, 3 ja 4. Paari 3 ja 4 summa on 7. Seega on 3 ja 4 võrrandi juured.
Selles näites q=16>0, mis tähendab, et juured x1 ja x2 on sama märgiga arvud. Nende summa -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.
Siin q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, siis on suurem arv positiivne. Nii et juured on 5 ja -3.
q = -36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.
Ruutvõrrandi juurte ja kordajate vahel on lisaks juurvalemitele ka muid kasulikke seoseid, mis on antud Vieta teoreem. Selles artiklis esitame ruutvõrrandi Vieta teoreemi sõnastuse ja tõestuse. Järgmisena käsitleme teoreemi, mis on vastupidine Vieta teoreemile. Pärast seda analüüsime kõige iseloomulikumate näidete lahendusi. Lõpuks kirjutame üles Vieta valemid, mis määratlevad seose tegelike juurte vahel algebraline võrrand aste n ja selle koefitsiendid.
Leheküljel navigeerimine.
Vieta teoreem, sõnastus, tõestus
Ruutvõrrandi juurte valemitest a x 2 +b x+c=0 vormi , kus D=b 2 −4 a c , seosed x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Need tulemused on kinnitatud Vieta teoreem:
Teoreem.
Kui x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi a x 2 +b x+c=0 juured, siis võrdub juurte summa vastasmärgiga koefitsientide b ja a suhtega ja korrutisega juur võrdub koefitsientide c ja a suhtega, see tähendab .
Tõestus.
Tõestame Vieta teoreemi järgmise skeemi järgi: koostame ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise teadaolevate juurvalemite abil, seejärel teisendame saadud avaldised ja veendume, et need on võrdsed −b /a ja c/a vastavalt.
Alustame juurte summast, koostame selle. Nüüd viime murrud ühise nimetaja juurde, meil on. Saadud murru lugejas , mille järel : . Lõpuks, pärast 2, saame . See tõestab Vieta teoreemi esimest seost ruutvõrrandi juurte summa kohta. Liigume teise juurde.
Koostame ruutvõrrandi juurte korrutise:. Murdude korrutamise reegli järgi võib viimase korrutise kirjutada kujul. Nüüd korrutame sulu lugejas oleva suuga, kuid seda toodet on kiirem ahendada ruutude erinevuse valem, Nii et. Seejärel, pidades meeles, teostame järgmise ülemineku. Ja kuna valem D=b 2 −4 a·c vastab ruutvõrrandi diskriminandile, siis saab b 2 −4·a·c asendada D asemel viimase murruga, saame . Pärast sulgude avamist ja sarnaste terminite vähendamist jõuame murduni ja selle vähendamine 4·a võrra annab . See tõestab Vieta teoreemi teist seost juurte korrutisele.
Kui jätame seletused välja, on Vieta teoreemi tõestus kokkuvõtlik:
,
.
Jääb vaid märkida, et kui diskriminant on võrdne nulliga, on ruutvõrrandil üks juur. Kui aga eeldada, et võrrandil on sel juhul kaks identset juurt, siis kehtivad ka Vieta teoreemi võrrandid. Tõepoolest, kui D=0 ruutvõrrandi juur on , siis ja , ning kuna D=0, st b 2 −4·a·c=0 , kust b 2 =4·a·c , siis .
Praktikas kasutatakse Vieta teoreemi kõige sagedamini seoses taandatud ruutvõrrandiga (kõrgeima koefitsiendiga a on 1) kujul x 2 +p·x+q=0 . Mõnikord on see formuleeritud just seda tüüpi ruutvõrranditele, mis ei piira üldistust, kuna iga ruutvõrrandi saab asendada samaväärse võrrandiga, jagades selle mõlemad osad nullist erineva arvuga a. Siin on Vieta teoreemi vastav sõnastus:
Teoreem.
Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + p x + q \u003d 0 on võrdne koefitsiendiga punktis x, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis on vaba liige, see tähendab x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .
Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile
Vieta teoreemi teine sõnastus, mis on toodud eelmises lõigus, näitab, et kui x 1 ja x 2 on taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured, siis seosed x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2 = q. Seevastu kirjutatud seostest x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q järeldub, et x 1 ja x 2 on ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured. Teisisõnu, väide, mis on vastupidine Vieta teoreemile, on tõene. Sõnastame selle teoreemi kujul ja tõestame.
Teoreem.
Kui arvud x 1 ja x 2 on sellised, et x 1 +x 2 =−p ja x 1 x 2 =q, siis on x 1 ja x 2 taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juured. .
Tõestus.
Pärast koefitsientide p ja q asendamist nende avaldises võrrandis x 2 +p x+q=0 läbi x 1 ja x 2 teisendatakse see samaväärseks võrrandiks.
Asendame saadud võrrandis arvu x 1 asemel x, meil on võrdsus x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, mis iga x 1 ja x 2 korral on õige arvuline võrdus 0=0, kuna x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Seetõttu on x 1 võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, mis tähendab, et x 1 on ekvivalentvõrrandi x 2 +p x+q=0 juur.
Kui võrrandis x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 asenda x asemel arv x 2, siis saame võrdsuse x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. See on õige võrrand, sest x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Seetõttu on x 2 ka võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, ja seega võrrandid x 2 +p x+q=0 .
See lõpetab teoreemi tõestamise, mis on vastupidine Vieta teoreemile.
Näiteid Vieta teoreemi kasutamisest
On aeg rääkida Vieta teoreemi ja selle pöördteoreemi praktilisest rakendamisest. Selles alapeatükis analüüsime mitmete kõige tüüpilisemate näidete lahendusi.
Alustuseks rakendame Vieta teoreemile vastupidise teoreemi. Selle abil on mugav kontrollida, kas antud kaks arvu on antud ruutvõrrandi juured. Sel juhul arvutatakse nende summa ja vahe, misjärel kontrollitakse seoste kehtivust. Kui mõlemad seosed on täidetud, siis Vieta teoreemile vastupidise teoreemi alusel järeldatakse, et need arvud on võrrandi juured. Kui vähemalt üks seostest ei ole täidetud, ei ole need arvud ruutvõrrandi juured. Seda lähenemist saab kasutada ruutvõrrandite lahendamisel leitud juurte kontrollimiseks.
Näide.
Milline arvupaaridest 1) x 1 =−5, x 2 =3 või 2) või 3) on ruutvõrrandi 4 x 2 −16 x+9=0 juurepaar?
Lahendus.
Antud ruutvõrrandi 4 x 2 −16 x+9=0 koefitsiendid on a=4 , b=−16 , c=9 . Vieta teoreemi järgi peab ruutvõrrandi juurte summa olema võrdne −b/a, see tähendab 16/4=4 ja juurte korrutis peab olema võrdne c/a, see tähendab 9 /4.
Nüüd arvutame kõigis kolmes antud paaris olevate arvude summa ja korrutise ning võrdleme neid äsja saadud väärtustega.
Esimesel juhul on meil x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Saadud väärtus erineb 4-st, seega ei saa täiendavat kontrollimist läbi viia, kuid teoreemi, Vieta teoreemi pöördväärtuse põhjal saame kohe järeldada, et esimene arvupaar ei ole antud ruutvõrrandi juurte paar.
Liigume edasi teise juhtumi juurde. Siin on esimene tingimus täidetud. Kontrollime teist tingimust: , saadud väärtus erineb 9/4-st. Seetõttu ei ole teine arvupaar ruutvõrrandi juurte paar.
Jääb viimane juhtum. Siin ja . Mõlemad tingimused on täidetud, seega on need arvud x 1 ja x 2 antud ruutvõrrandi juurteks.
Vastus:
Teoreemi, Vieta teoreemi vastupidist, saab praktikas kasutada ruutvõrrandi juurte valimiseks. Tavaliselt valitakse antud ruutvõrrandite täisarvude juured täisarvu koefitsientidega, kuna muudel juhtudel on seda üsna raske teha. Samal ajal kasutavad nad seda, et kui kahe arvu summa on võrdne ruutvõrrandi teise koefitsiendiga, mis on võetud miinusmärgiga, ja nende arvude korrutis on võrdne vaba liikmega, siis need arvud on selle ruutvõrrandi juured. Käsitleme seda näitega.
Võtame ruutvõrrandi x 2 −5 x+6=0 . Et arvud x 1 ja x 2 oleksid selle võrrandi juured, peavad olema täidetud kaks võrdsust x 1 +x 2 \u003d 5 ja x 1 x 2 \u003d 6. Jääb üle valida sellised numbrid. Sel juhul on seda üsna lihtne teha: sellised arvud on 2 ja 3, kuna 2+3=5 ja 2 3=6 . Seega on 2 ja 3 selle ruutvõrrandi juured.
Vieta teoreemi vastupidist teoreemi on eriti mugav rakendada redutseeritud ruutvõrrandi teise juure leidmisel, kui üks juurtest on juba teada või ilmne. Sel juhul leitakse teine juur mis tahes suhetest.
Näiteks võtame ruutvõrrandi 512 x 2 −509 x−3=0 . Siin on lihtne näha, et ühik on võrrandi juur, kuna selle ruutvõrrandi kordajate summa on null. Seega x 1 = 1. Teise juure x 2 võib leida näiteks seosest x 1 x 2 =c/a. Meil on 1 x 2 = −3/512 , kust x 2 = −3/512 . Seega oleme defineerinud ruutvõrrandi mõlemad juured: 1 ja −3/512.
On selge, et juurte valik on otstarbekas ainult kõige lihtsamatel juhtudel. Muudel juhtudel saab juurte leidmiseks rakendada ruutvõrrandi juurte valemeid läbi diskriminandi.
Teine teoreemi praktiline rakendus, Vieta teoreemi pöördväärtus, on ruutvõrrandite koostamine antud juurte x 1 ja x 2 jaoks. Selleks piisab, kui arvutada juurte summa, mis annab antud ruutvõrrandi vastasmärgiga kordaja x, ja juurte korrutis, mis annab vaba liikme.
Näide.
Kirjutage ruutvõrrand, mille juurteks on arvud −11 ja 23.
Lahendus.
Tähistame x 1 =−11 ja x 2 =23 . Arvutame nende arvude summa ja korrutise: x 1 + x 2 \u003d 12 ja x 1 x 2 \u003d −253. Seetõttu on need arvud antud ruutvõrrandi juurteks teise koefitsiendiga -12 ja vaba liikmega -253. See tähendab, et x 2 −12·x−253=0 on soovitud võrrand.
Vastus:
x 2 −12 x −253=0 .
Vieta teoreemi kasutatakse väga sageli ruutvõrrandite juurte märkidega seotud ülesannete lahendamisel. Kuidas on Vieta teoreem seotud taandatud ruutvõrrandi x 2 +p x+q=0 juurte märkidega? Siin on kaks asjakohast väidet:
- Kui vaba liige q on positiivne arv ja ruutvõrrandil on reaaljuured, siis on need mõlemad positiivsed või mõlemad negatiivsed.
- Kui vaba liige q on negatiivne arv ja ruutvõrrandil on reaaljuured, siis on nende märgid erinevad ehk teisisõnu üks juur on positiivne ja teine negatiivne.
Need väited tulenevad valemist x 1 x 2 =q, samuti positiivsete, negatiivsete ja erineva märgiga arvude korrutamise reeglitest. Mõelge nende rakendamise näidetele.
Näide.
R on positiivne. Diskriminandi valemi järgi leiame D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , avaldise r 2 väärtuseks +8 on positiivne iga reaalse r korral, seega D>0 iga reaalse r korral. Seetõttu on algsel ruutvõrrandil parameetri r mis tahes tegelike väärtuste jaoks kaks juurt.
Nüüd uurime välja, millal on juurtel erinevad märgid. Kui juurte märgid on erinevad, siis on nende korrutis negatiivne ja Vieta teoreemi järgi on antud ruutvõrrandi juurte korrutis võrdne vaba liikmega. Seetõttu oleme huvitatud nendest r väärtustest, mille vaba liige r−1 on negatiivne. Seega, selleks, et leida meile huvi pakkuvad r väärtused, peame seda tegema lahendada lineaarne võrratus r-1<0 , откуда находим r<1 .
Vastus:
aadressil r<1 .
Vieta valemid
Eespool rääkisime Vieta ruutvõrrandi teoreemist ja analüüsisime selles väidetavaid seoseid. Kuid on valemeid, mis ühendavad mitte ainult ruutvõrrandite, vaid ka kuupvõrrandite, neljakordsete võrrandite ja üldiselt, algebralised võrrandid aste n. Neid nimetatakse Vieta valemid.
Kirjutame Vieta valemid vormi n astme algebralise võrrandi jaoks, eeldades, et sellel on n reaaljuurt x 1, x 2, ..., x n (nende hulgas võivad olla samad): 
Hankige Vieta valemid võimaldavad polünoomifaktorisatsiooni teoreem, samuti võrdsete polünoomide määratlus kõigi neile vastavate koefitsientide võrdsuse kaudu. Seega on polünoom ja selle laienemine vormi lineaarseteks teguriteks võrdsed. Avades viimases korrutis sulud ja võrdsustades vastavad koefitsiendid, saame Vieta valemid.
Täpsemalt, n=2 puhul oleme juba tuttavad Ruutvõrrandi Vieta valemid.
Kuupvõrrandi jaoks on Vieta valemitel vorm 
Jääb vaid märkida, et Vieta valemite vasakul küljel on nn elementaar sümmeetrilised polünoomid.
Bibliograafia.
- Algebra:õpik 8 raku jaoks. Üldharidus institutsioonid / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindjuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Teljakovski. - 16. väljaanne. - M. : Haridus, 2008. - 271 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovitš A.G. Algebra. 8. klass. Kell 14 1. osa. Õpik õppeasutuste õpilastele / A. G. Mordkovich. - 11. väljaanne, kustutatud. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 lk.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Algebra ja matemaatilise analüüsi algus. 10. klass: õpik. üldhariduse jaoks institutsioonid: põhi- ja profiil. tasemed / [Yu. M. Koljagin, M. V. Tkatšova, N. E. Fedorova, M. I. Šabunin]; toim. A. B. Žižtšenko. - 3. väljaanne - M.: Valgustus, 2010.- 368 lk. : haige. - ISBN 978-5-09-022771-1.
Ruutvõrrandites on mitmeid seoseid. Peamised neist on seosed juurte ja koefitsientide vahel. Samuti töötavad ruutvõrrandites mitmed seosed, mis on antud Vieta teoreemiga.
Selles teemas tutvustame Vieta teoreemi ennast ja selle tõestust ruutvõrrandi jaoks, teoreemi, mis on vastupidine Vieta teoreemile, ning analüüsime mitmeid näiteid probleemide lahendamisest. Materjalis pöörame erilist tähelepanu Vieta valemite käsitlemisele, mis määratlevad seose astme algebralise võrrandi tegelike juurte vahel. n ja selle koefitsiendid.
Vieta teoreemi väide ja tõestus
Ruutvõrrandi juurte valem a x 2 + b x + c = 0 kujul x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a, kus D = b 2 − 4 a c, määrab suhte x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a. Seda kinnitab Vieta teoreem.
1. teoreem
Ruutvõrrandis a x 2 + b x + c = 0, Kus x 1 Ja x2- juured, on juurte summa võrdne koefitsientide suhtega b Ja a, mis võeti vastupidise märgiga ja juurte korrutis võrdub koefitsientide suhtega c Ja a, st. x 1 + x 2 \u003d - b a, x 1 x 2 = c a.
Tõestus 1
Tõestuse läbiviimiseks pakume teile järgmist skeemi: võtame juurte valemi, koostame ruutvõrrandi juurte summa ja korrutise ning seejärel teisendame saadud avaldised, veendumaks, et need on võrdsed -b a Ja c a vastavalt.
Koostage juurte summa x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a. Toome murrud ühise nimetajani - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Avame saadud murru lugejas sulud ja anname sarnased liikmed: - b + D + - b - D 2 a = - b + D - b - D 2 a = - 2 b 2 a . Vähendage murdosa võrra: 2 - b a \u003d - b a.
Seega oleme tõestanud Vieta teoreemi esimese seose, mis viitab ruutvõrrandi juurte summale.
Liigume nüüd teise seose juurde.
Selleks peame koostama ruutvõrrandi juurte korrutise: x 1 x 2 \u003d - b + D 2 a - b - D 2 a.
Tuletage meelde murdude korrutamise reegel ja kirjutage viimane korrutis järgmiselt: - b + D · - b - D 4 · a 2 .
Korrutame sulu murdosa lugejas oleva suuga või kasutame selle korrutise kiiremaks teisendamiseks ruutude erinevuse valemit: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .
Kasutame ruutjuure definitsiooni järgmise ülemineku läbiviimiseks: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Valem D = b 2 − 4 a c vastab ruutvõrrandi diskriminandile, seega selle asemel murduks D saab asendada b 2–4 a c:
b 2 - D 4 a 2 \u003d b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2
Avame sulud, anname sarnased terminid ja saame: 4 · a · c 4 · a 2 . Kui lühendame seda kuni 4 a, siis jääb järele c a. Seega oleme tõestanud Vieta teoreemi teise seose juurte korrutisele.
Vieta teoreemi tõestuse kirje võib olla väga kokkuvõtliku kujuga, kui jätame seletused välja:
x 1 + x 2 \u003d - b + D 2 a + - b - D 2 a \u003d - b + D + - b - D 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a, x 1 x 2 = - b + D 2 a - b - D 2 a = - b + D - b - D 4 a 2 = - b 2 - D 2 4 a 2 = b 2 - D 4 a 2 = = D = b 2 - 4 a c = b 2 - b 2 - 4 a c 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .
Kui ruutvõrrandi diskriminant on null, on võrrandil ainult üks juur. Vieta teoreemi rakendamiseks sellisele võrrandile võime eeldada, et nulliga võrdse diskriminandiga võrrandil on kaks identset juurt. Tõepoolest, kl D = 0 ruutvõrrandi juur on: - b 2 a, siis x 1 + x 2 \u003d - b 2 a + - b 2 a \u003d - b + (- b) 2 a \u003d - 2 b 2 a \u003d - b a ja x 1 x 2 \u003d - b 2 a - b 2 a \u003d - b - b 4 a 2 \u003d b 2 4 a 2 ja kuna D \u003d 0, st b 2 - 4 a c = 0, kust b 2 = 4 a c, siis b 2 4 a 2 = 4 a c 4 a 2 = c a .
Kõige sagedamini rakendatakse praktikas Vieta teoreemi vormi redutseeritud ruutvõrrandi suhtes x 2 + p x + q = 0, kus juhtiv koefitsient a on võrdne 1-ga. Sellega seoses on Vieta teoreem sõnastatud täpselt seda tüüpi võrrandite jaoks. See ei piira üldistust, kuna iga ruutvõrrandi saab asendada samaväärse võrrandiga. Selleks on vaja mõlemad selle osad jagada arvuga a, mis erineb nullist.
Andkem veel üks Vieta teoreemi sõnastus.
2. teoreem
Antud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + p x + q = 0 võrdub koefitsiendiga x juures, mis võetakse vastupidise märgiga, võrdub juurte korrutis vaba liikmega, s.t. x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q.
Teoreem on vastupidine Vieta teoreemile
Kui vaatate tähelepanelikult Vieta teoreemi teist sõnastust, näete seda juurte puhul x 1 Ja x2 redutseeritud ruutvõrrand x 2 + p x + q = 0 kehtivad seosed x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q. Nendest seostest x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q järeldub, et x 1 Ja x2 on ruutvõrrandi juured x 2 + p x + q = 0. Nii jõuame väiteni, mis on Vieta teoreemi pöördvõrdeline.
Nüüd teeme ettepaneku vormistada see väide teoreemina ja teostada selle tõestamine.
3. teoreem
Kui numbrid x 1 Ja x2 on sellised x 1 + x 2 = − p Ja x 1 x 2 = q, See x 1 Ja x2 on taandatud ruutvõrrandi juured x 2 + p x + q = 0.
Tõestus 2
Koefitsientide muutus lk Ja q nende väljendusele läbi x 1 Ja x2 võimaldab võrrandit teisendada x 2 + p x + q = 0 ekvivalendis .
Kui asendame arvu saadud võrrandiga x 1 selle asemel x, siis saame võrdsuse x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. See võrdsus mis tahes x 1 Ja x2 muutub tõeliseks arvuliseks võrdsuseks 0 = 0 , sest x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. See tähendab et x 1- võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Mis siis x 1 on ka samaväärse võrrandi juur x 2 + p x + q = 0.
Võrrandi asendamine x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 numbrid x2 x asemel võimaldab saada võrdsuse x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Seda võrdsust võib pidada tõeseks, kuna x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Selgub, et x2 on võrrandi juur x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, ja sellest ka võrrandid x 2 + p x + q = 0.
Vieta teoreemile vastupidine teoreem on tõestatud.
Näiteid Vieta teoreemi kasutamisest
Jätkame nüüd selle teema kõige tüüpilisemate näidete analüüsiga. Alustame probleemide analüüsiga, mis nõuavad teoreemi rakendamist, Vieta teoreemi vastupidist. Selle abil saab kontrollida arvutuste käigus saadud arve, kas need on antud ruutvõrrandi juured. Selleks peate arvutama nende summa ja erinevuse ning seejärel kontrollima suhete x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = a c kehtivust.
Mõlema seose täitumine näitab, et arvutuste käigus saadud arvud on võrrandi juurteks. Kui näeme, et vähemalt üks tingimus ei ole täidetud, siis ei saa need arvud olla ülesande tingimuses antud ruutvõrrandi juurteks.
Näide 1
Milline arvupaaridest 1) x 1 = - 5, x 2 = 3 või 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 või 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 on ruutvõrrandi juurte paar 4 x 2 – 16 x + 9 = 0?
Lahendus
Leia ruutvõrrandi koefitsiendid 4 x 2 – 16 x + 9 = 0 . See on a = 4, b = −16, c = 9. Vastavalt Vieta teoreemile peab ruutvõrrandi juurte summa olema võrdne -b a, see on, 16 4 = 4 , ja juurte korrutis peaks olema võrdne c a, see on, 9 4 .
Kontrollime saadud arve, arvutades kolmest etteantud paarist arvude summa ja korrutise ning võrdleme neid saadud väärtustega.
Esimesel juhul x 1 + x 2 = – 5 + 3 = – 2. See väärtus erineb väärtusest 4, nii et te ei pea kontrollimist jätkama. Vastavalt teoreemile, Vieta teoreemi pöördväärtusele, võime kohe järeldada, et esimene arvupaar ei ole selle ruutvõrrandi juured.
Teisel juhul x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Näeme, et esimene tingimus on täidetud. Kuid teine tingimus ei ole: x 1 x 2 \u003d 1 - 3 3 + 3 \u003d 3 + 3 - 3 3 - 3 \u003d - 2 3. Saadud väärtus erineb 9 4 . See tähendab, et teine arvupaar ei ole ruutvõrrandi juured.
Liigume edasi kolmanda paari juurde. Siin on x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 ja x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Mõlemad tingimused on täidetud, mis tähendab, et x 1 Ja x2 on antud ruutvõrrandi juured.
Vastus: x 1 \u003d 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2
Ruutvõrrandi juurte leidmiseks saame kasutada ka Vieta teoreemi pöördväärtust. Lihtsaim viis on valida antud ruutvõrrandite täisarvude juured täisarvu koefitsientidega. Kaaluda võib ka muid võimalusi. Kuid see võib arvutusi oluliselt keerulisemaks muuta.
Juurte valimiseks kasutame seda, et kui kahe arvu summa võrdub ruutvõrrandi teise koefitsiendiga, mis on võetud miinusmärgiga ja nende arvude korrutis on võrdne vaba liikmega, siis need arvud on selle ruutvõrrandi juured.
Näide 2
Näitena kasutame ruutvõrrandit x 2 – 5 x + 6 = 0. Numbrid x 1 Ja x2 võib olla selle võrrandi juurteks, kui kaks võrdsust on täidetud x1 + x2 = 5 Ja x 1 x 2 = 6. Valime need numbrid. Need on numbrid 2 ja 3, sest 2 + 3 = 5 Ja 2 3 = 6. Selgub, et 2 ja 3 on selle ruutvõrrandi juured.
Vieta teoreemi pöördväärtust saab kasutada teise juure leidmiseks, kui esimene on teada või ilmne. Selleks saame kasutada suhteid x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = c a .
Näide 3
Mõelge ruutvõrrandile 512 x 2 – 509 x – 3 = 0. Peame leidma selle võrrandi juured.
Lahendus
Võrrandi esimene juur on 1, kuna selle ruutvõrrandi kordajate summa on null. Selgub, et x 1 = 1.
Nüüd leiame teise juure. Selleks saate kasutada suhet x 1 x 2 = c a. Selgub, et 1 x 2 = – 3 512, kus x 2 \u003d - 3 512.
Vastus:ülesande tingimuses määratud ruutvõrrandi juured 1 Ja - 3 512 .
Juurte valimine Vieta teoreemile vastupidise teoreemi abil on võimalik ainult lihtsatel juhtudel. Muudel juhtudel on parem otsida ruutvõrrandi juurte valemit kasutades diskriminandi kaudu.
Tänu Vieta pöördteoreemile saame moodustada ka ruutvõrrandeid juurtega x 1 Ja x2. Selleks peame arvutama juurte summa, mis annab koefitsiendi at x redutseeritud ruutvõrrandi vastupidise märgiga ja juurte korrutisega, mis annab vaba liikme.
Näide 4
Kirjutage ruutvõrrand, mille juurteks on arvud − 11 Ja 23 .
Lahendus
Aktsepteerigem seda x 1 = −11 Ja x2 = 23. Nende arvude summa ja korrutis on võrdne: x1 + x2 = 12 Ja x 1 x 2 = – 253. See tähendab, et teine koefitsient on 12, vaba liige − 253.
Teeme võrrandi: x 2 - 12 x - 253 = 0.
Vastus: x 2 - 12 x - 253 = 0 .
Vieta teoreemi abil saame lahendada ülesandeid, mis on seotud ruutvõrrandite juurte märkidega. Seos Vieta teoreemi vahel on seotud taandatud ruutvõrrandi juurte märkidega x 2 + p x + q = 0 järgmisel viisil:
- kui ruutvõrrandil on reaaljuured ja kui vabaliikmel q on positiivne arv, siis on neil juurtel sama märk "+" või "-";
- kui ruutvõrrandil on juured ja kui vabal liikmel q on negatiivne arv, siis on üks juur "+" ja teine "-".
Mõlemad väited on valemi tagajärg x 1 x 2 = q ja korrutusreeglid positiivsete ja negatiivsete arvude, samuti erinevate märkidega arvude jaoks.
Näide 5
Kas ruutvõrrandi juured x 2 - 64 x - 21 = 0 positiivne?
Lahendus
Vieta teoreemi järgi ei saa selle võrrandi juured mõlemad olla positiivsed, kuna need peavad rahuldama võrdsust x 1 x 2 = – 21. Positiivsega pole see võimalik x 1 Ja x2.
Vastus: Ei
Näide 6
Millistel parameetri väärtustel r ruutvõrrand x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 on kaks erineva märgiga pärisjuurt.
Lahendus
Alustame selle väärtuste leidmisega r, mille võrrandil on kaks juurt. Leiame diskrimineerija ja vaatame, mille jaoks r see võtab positiivseid väärtusi. D = (r + 2) 2 - 4 1 (r - 1) = r 2 + 4 r + 4 - 4 r + 4 = r 2 + 8. Väljendi väärtus r2 + 8 positiivne iga tõelise jaoks r, seega on diskriminant iga reaalarvu puhul suurem kui null r. See tähendab, et algsel ruutvõrrandil on parameetri mis tahes tegelike väärtuste jaoks kaks juurt r.
Nüüd vaatame, millal on juurtel erinevad märgid. See on võimalik, kui nende toode on negatiivne. Vieta teoreemi järgi on taandatud ruutvõrrandi juurte korrutis võrdne vaba liikmega. Nii et õige lahendus on need väärtused r, mille vaba liige r − 1 on negatiivne. Lahendame lineaarse võrratuse r − 1< 0 , получаем r < 1 .
Vastus: aadressil r< 1 .
Vieta valemid
On mitmeid valemeid, mida saab kasutada mitte ainult ruut-, vaid ka kuup- ja muud tüüpi võrrandite juurte ja koefitsientidega toimingute tegemiseks. Neid nimetatakse Vieta valemiteks.
Kraadi algebralise võrrandi jaoks n kujul a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 arvatakse, et võrrand on n tõelised juured x 1 , x 2 , … , x n, mis võib sisaldada järgmist:
x 1 + x 2 + x 3 +. . . + x n \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 +. . . + x n - 1 x n = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 + x 1 x 2 x 4 +. . . + x n - 2 x n - 1 x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 x 2 x 3 . . . x n = (- 1) n a n a 0
Definitsioon 1
Vieta valemid aitavad meid:
- teoreem polünoomi lagundamisest lineaarseteks teguriteks;
- võrdsete polünoomide defineerimine kõigi neile vastavate koefitsientide võrdsuse kaudu.
Niisiis, polünoom a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n ja selle laiendamine lineaarseteks teguriteks kujul a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) on võrdsed.
Kui avame viimases korrutis sulud ja võrdsustame vastavad koefitsiendid, siis saame Vieta valemid. Võttes n \u003d 2, saame ruutvõrrandi Vieta valemi: x 1 + x 2 \u003d - a 1 a 0, x 1 x 2 \u003d a 2 a 0.
2. definitsioon
Vieta valem kuupvõrrandi jaoks:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0
Vieta valemite vasak pool sisaldab nn elementaarseid sümmeetrilisi polünoome.
Kui märkate tekstis viga, tõstke see esile ja vajutage Ctrl+Enter
Mis tahes täielik ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 võib meelde tuletada x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, kui iga liige on eelnevalt jagatud koefitsiendiga a enne x2. Ja kui võtta kasutusele uus tähistus (b/a) = p Ja (c/a) = q, siis saame võrrandi x 2 + pikslit + q = 0, mida matemaatikas nimetatakse redutseeritud ruutvõrrand.
Redutseeritud ruutvõrrandi juured ja koefitsiendid lk Ja q omavahel seotud. See on kinnitatud Vieta teoreem, mis sai nime 16. sajandi lõpus elanud prantsuse matemaatiku Francois Vieta järgi.
Teoreem. Redutseeritud ruutvõrrandi juurte summa x 2 + pikslit + q = 0 võrdne teise koefitsiendiga lk, mis on võetud vastupidise märgiga, ja juurte korrutis - vabale terminile q.
Kirjutame need suhted järgmisel kujul:
Lase x 1 Ja x2 redutseeritud võrrandi erinevad juured x 2 + pikslit + q = 0. Vastavalt Vieta teoreemile x1 + x2 = -p Ja x 1 x 2 = q.
Selle tõestamiseks asendame võrrandis mõlemad juured x 1 ja x 2. Saame kaks tõelist võrdsust:
x 1 2 + px 1 + q = 0
x 2 2 + px 2 + q = 0
Lahutage esimesest võrdsusest teine. Saame: 
x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0
Laiendame kahte esimest terminit vastavalt ruutude erinevuse valemile:
(x 1 - x 2) (x 1 - x 2) + p (x 1 - x 2) = 0
Tingimuse järgi on juured x 1 ja x 2 erinevad. Seetõttu saame võrdsust vähendada (x 1 - x 2) ≠ 0 võrra ja väljendada p.
(x 1 + x 2) + p = 0;
(x 1 + x 2) = -p.
Esimene võrdsus on tõestatud.
Teise võrdsuse tõestamiseks asendame esimese võrrandiga
x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 koefitsiendi p asemel, selle võrdne arv on (x 1 + x 2):
x 1 2 – (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0
Teisendades võrrandi vasakut külge, saame:
x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;
x 1 x 2 = q, mida tuli tõestada.
Vieta teoreem on hea, sest isegi ruutvõrrandi juuri teadmata saame arvutada nende summa ja korrutise .
Vieta teoreem aitab määrata antud ruutvõrrandi täisarvu juuri. Kuid paljudele õpilastele tekitab see raskusi, kuna nad ei tea selget tegevusalgoritmi, eriti kui võrrandi juurtel on erinevad märgid.
Seega on antud ruutvõrrandi kuju x 2 + px + q \u003d 0, kus x 1 ja x 2 on selle juured. Vieta teoreemi järgi x 1 + x 2 = -p ja x 1 x 2 = q.
Võime teha järgmise järelduse.
Kui võrrandis eelneb viimasele liikmele miinusmärk, siis juurtel x 1 ja x 2 on erinevad märgid. Lisaks on väiksema juure märk sama, mis võrrandi teise koefitsiendi märk.
Lähtudes asjaolust, et erinevate märkidega numbrite liitmisel lahutatakse nende moodulid ja tulemuse ette pannakse suurema arvu märk, tuleks toimida järgmiselt:
- määrake arvu q sellised tegurid, et nende erinevus oleks võrdne arvuga p;
- pane saadud arvudest väiksema ette võrrandi teise kordaja märk; teisel juurel on vastupidine märk.
Vaatame mõnda näidet.
Näide 1.
Lahendage võrrand x 2 - 2x - 15 = 0.
Lahendus.
Proovime seda võrrandit lahendada ülaltoodud reeglite abil. Siis võime kindlalt väita, et sellel võrrandil on kaks erinevat juurt, sest D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.
Nüüd valime kõigi arvu 15 tegurite (1 ja 15, 3 ja 5) hulgast need, mille vahe on 2. Need on numbrid 3 ja 5. Väiksema arvu ette paneme miinusmärgi , st. võrrandi teise kordaja märk. Seega saame võrrandi x 1 \u003d -3 ja x 2 \u003d 5 juured.
Vastus. x 1 = -3 ja x 2 = 5.
Näide 2.
Lahendage võrrand x 2 + 5x - 6 = 0.
Lahendus.
Kontrollime, kas sellel võrrandil on juured. Selleks leiame diskriminandi:
D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Võrrandil on kaks erinevat juurt.
Arvu 6 võimalikud tegurid on 2 ja 3, 6 ja 1. Paari 6 ja 1 puhul on erinevus 5. Selles näites on teise liikme koefitsiendil plussmärk, nii et väiksemal arvul on sama märk. Kuid enne teist numbrit on miinusmärk.
Vastus: x 1 = -6 ja x 2 = 1.
Vieta teoreemi saab kirjutada ka täieliku ruutvõrrandi jaoks. Nii et kui ruutvõrrand ax2 + bx + c = 0 on juured x 1 ja x 2 , siis nad rahuldavad võrdusi
x 1 + x 2 = -(b/a) Ja x 1 x 2 = (c/a). Selle teoreemi rakendamine täisruutvõrrandis on aga üsna problemaatiline, kuna juurte olemasolul on vähemalt üks neist murdarv. Ja fraktsioonide valikuga töötamine on üsna keeruline. Kuid ikkagi on väljapääs.
Vaatleme täielikku ruutvõrrandit ax 2 + bx + c = 0. Korrutage selle vasak ja parem külg koefitsiendiga a. Võrrand saab kujul (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Nüüd võtame kasutusele uue muutuja, näiteks t = ax.
Sel juhul muutub saadud võrrand redutseeritud ruutvõrrandiks kujul t 2 + bt + ac = 0, mille juured t 1 ja t 2 (kui neid on) saab määrata Vieta teoreemiga.
Sel juhul on algse ruutvõrrandi juured
x 1 = (t 1 / a) ja x 2 = (t 2 / a).
Näide 3.
Lahendage võrrand 15x 2 - 11x + 2 = 0.
Lahendus.
Koostame abivõrrandi. Korrutame võrrandi iga liikme 15-ga:
15 2 x 2 – 11 15 x + 15 2 = 0.
Teeme muudatuse t = 15x. Meil on:
t 2 – 11t + 30 = 0.
Vieta teoreemi kohaselt on selle võrrandi juured t 1 = 5 ja t 2 = 6.
Pöördume tagasi asendusse t = 15x:
5 = 15x või 6 = 15x. Seega x 1 = 5/15 ja x 2 = 6/15. Vähendame ja saame lõpliku vastuse: x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.
Vastus. x 1 = 1/3 ja x 2 = 2/5.
Ruutvõrrandite lahendamise valdamiseks Vieta teoreemi abil peavad õpilased harjutama nii palju kui võimalik. See on täpselt edu saladus.
saidil, materjali täieliku või osalise kopeerimise korral on nõutav link allikale.
