Действия с корнями формулы сложение. Как складывать квадратные корни

Теория

Сложение и вычитание корней изучается во вводном курсе математики. Будем считать, что читателю известно понятие степени.

Определение 1

Корень степени $n$ из действительного числа $a$ - это действительное число $b$, $n$-ая степень которого равна $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ Здесь $a$ - подкоренное выражение, $n$ - показатель корня, $b$ - значение корня. Знак корня называют радикалом.

Обратным действию извлечения корня является возведение в степень.

Основные действия с арифметическими корнями:

Рисунок 1. Основные действия с арифметическими корнями. Автор24 - интернет-биржа студенческих работ

Как мы видим, в перечисленных действиях нет формулы для сложения и вычитания. Эти действия с корнями производятся в виде преобразований. Для этих преобразований следует использовать формулы сокращённого умножения:

$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$

$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt{a^2}+\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})=a-b;$

$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt{a^2}-\sqrt{ab}+\sqrt{b^2})=a+b;$

$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt{ab}+b);$

$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt{ab}+b).$

Стоит заметить, что действия сложения и вычитания встречаются в примерах иррациональных выражений: $ab\sqrt{m-n}; 1+\sqrt3.$

Примеры

Рассмотрим на примерах случаи, когда применимо "уничтожение" иррациональности в знаменателе. Когда в результате преобразований иррациональное выражение получилось и в числителе, и в знаменателе, то нужно "уничтожить" иррациональность в знаменателе.

Пример 1

$\frac{1}{\sqrt7-\sqrt6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{(\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6)}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{7-6}=\frac{\sqrt7+\sqrt6}{1}=\sqrt7+\sqrt6.$

В этом примере мы умножили числитель и знаменатель дроби на выражение, сопряженное знаменателю. Таким образом, в знаменателе выполнено преобразование по формуле разности квадратов.

Формулы корней. Свойства квадратных корней.

Внимание!
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")

В предыдущем уроке мы разобрались, что такое квадратный корень . Пришла пора разобраться, какие существуют формулы для корней , каковы свойства корней , и что со всем этим можно делать.

Формулы корней, свойства корней и правила действий с корнями - это, по сути, одно и то же. Формул для квадратных корней на удивление немного. Что, безусловно, радует! Вернее, понаписать всяких формул можно много, но для практической и уверенной работы с корнями достаточно всего трёх. Все остальное из этих трёх проистекает. Хотя и в трех формулах корней многие плутают, да...

Начнём с самой простой. Вот она:

Если Вам нравится этот сайт...

Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)

Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)

можно познакомиться с функциями и производными.

Факт 1.
$\bullet$ Возьмем некоторое неотрицательное число $a$ (то есть $a\geqslant 0$ ). Тогда (арифметическим) квадратным корнем из числа $a$ называется такое неотрицательное число $b$ , при возведении которого в квадрат мы получим число $a$ : \[\sqrt a=b\quad \text{то же самое, что }\quad a=b^2\] Из определения следует, что $a\geqslant 0, b\geqslant 0$ . Эти ограничения являются важным условием существования квадратного корня и их следует запомнить!
Вспомним, что любое число при возведении в квадрат дает неотрицательный результат. То есть $100^2=10000\geqslant 0$ и $(-100)^2=10000\geqslant 0$ .
$\bullet$ Чему равен $\sqrt{25}$ ? Мы знаем, что $5^2=25$ и $(-5)^2=25$ . Так как по определению мы должны найти неотрицательное число, то $-5$ не подходит, следовательно, $\sqrt{25}=5$ (так как $25=5^2$ ).
Нахождение значения $\sqrt a$ называется извлечением квадратного корня из числа $a$ , а число $a$ называется подкоренным выражением.
$\bullet$ Исходя из определения, выражения $\sqrt{-25}$ , $\sqrt{-4}$ и т.п. не имеют смысла.

Факт 2.
Для быстрых вычислений полезно будет выучить таблицу квадратов натуральных чисел от $1$ до $20$ : \[\begin{array}{|ll|} \hline 1^2=1 & \quad11^2=121 \\ 2^2=4 & \quad12^2=144\\ 3^2=9 & \quad13^2=169\\ 4^2=16 & \quad14^2=196\\ 5^2=25 & \quad15^2=225\\ 6^2=36 & \quad16^2=256\\ 7^2=49 & \quad17^2=289\\ 8^2=64 & \quad18^2=324\\ 9^2=81 & \quad19^2=361\\ 10^2=100& \quad20^2=400\\ \hline \end{array}\]

Факт 3.
Какие действия можно выполнять с квадратными корнями?
$\bullet$ Сумма или разность квадратных корней НЕ РАВНА квадратному корню из суммы или разности, то есть \[\sqrt a\pm\sqrt b\ne \sqrt{a\pm b}\] Таким образом, если вам нужно вычислить, например, $\sqrt{25}+\sqrt{49}$ , то первоначально вы должны найти значения $\sqrt{25}$ и $\sqrt{49}$ , а затем их сложить. Следовательно, \[\sqrt{25}+\sqrt{49}=5+7=12\] Если значения $\sqrt a$ или $\sqrt b$ при сложении $\sqrt a+\sqrt b$ найти не удается, то такое выражение дальше не преобразуется и остается таким, как есть. Например, в сумме $\sqrt 2+ \sqrt {49}$ мы можем найти $\sqrt{49}$ – это $7$ , а вот $\sqrt 2$ никак преобразовать нельзя, поэтому $\sqrt 2+\sqrt{49}=\sqrt 2+7$ . Дальше это выражение, к сожалению, упростить никак нельзя $\bullet$ Произведение/частное квадратных корней равно квадратному корню из произведения/частного, то есть \[\sqrt a\cdot \sqrt b=\sqrt{ab}\quad \text{и}\quad \sqrt a:\sqrt b=\sqrt{a:b}\] (при условии, что обе части равенств имеют смысл )
Пример: $\sqrt{32}\cdot \sqrt 2=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8$ ; $\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{768:3}=\sqrt{256}=16$ ; $\sqrt{(-25)\cdot (-64)}=\sqrt{25\cdot 64}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{64}= 5\cdot 8=40$ . $\bullet$ Пользуясь этими свойствами, удобно находить квадратные корни из больших чисел путем разложения их на множители.
Рассмотрим пример. Найдем $\sqrt{44100}$ . Так как $44100:100=441$ , то $44100=100\cdot 441$ . По признаку делимости число $441$ делится на $9$ (так как сумма его цифр равна 9 и делится на 9), следовательно, $441:9=49$ , то есть $441=9\cdot 49$ .
Таким образом, мы получили: \[\sqrt{44100}=\sqrt{9\cdot 49\cdot 100}= \sqrt9\cdot \sqrt{49}\cdot \sqrt{100}=3\cdot 7\cdot 10=210\] Рассмотрим еще один пример: \[\sqrt{\dfrac{32\cdot 294}{27}}= \sqrt{\dfrac{16\cdot 2\cdot 3\cdot 49\cdot 2}{9\cdot 3}}= \sqrt{ \dfrac{16\cdot4\cdot49}{9}}=\dfrac{\sqrt{16}\cdot \sqrt4 \cdot \sqrt{49}}{\sqrt9}=\dfrac{4\cdot 2\cdot 7}3=\dfrac{56}3\]
$\bullet$ Покажем, как вносить числа под знак квадратного корня на примере выражения $5\sqrt2$ (сокращенная запись от выражения $5\cdot \sqrt2$ ). Так как $5=\sqrt{25}$ , то \ Заметим также, что, например,
1) $\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2$ ,
2) $5\sqrt3-\sqrt3=4\sqrt3$
3) $\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a$ .

Почему так? Объясним на примере 1). Как вы уже поняли, как-то преобразовать число $\sqrt2$ мы не можем. Представим, что $\sqrt2$ – это некоторое число $a$ . Соответственно, выражение $\sqrt2+3\sqrt2$ есть не что иное, как $a+3a$ (одно число $a$ плюс еще три таких же числа $a$ ). А мы знаем, что это равно четырем таким числам $a$ , то есть $4\sqrt2$ .

Факт 4.
$\bullet$ Часто говорят “нельзя извлечь корень”, когда не удается избавиться от знака $\sqrt {} \ $ корня (радикала) при нахождении значения какого-то числа. Например, извлечь корень из числа $16$ можно, потому что $16=4^2$ , поэтому $\sqrt{16}=4$ . А вот извлечь корень из числа $3$ , то есть найти $\sqrt3$ , нельзя, потому что нет такого числа, которое в квадрате даст $3$ .
Такие числа (или выражения с такими числами) являются иррациональными. Например, числа $\sqrt3, \ 1+\sqrt2, \ \sqrt{15}$ и т.п. являются иррациональными.
Также иррациональными являются числа $\pi$ (число “пи”, приблизительно равное $3,14$ ), $e$ (это число называют числом Эйлера, приблизительно оно равно $2,7$ ) и т.д.
$\bullet$ Обращаем ваше внимание на то, что любое число будет либо рациональным, либо иррациональным. А вместе все рациональные и все иррациональные числа образуют множество, называющееся множеством действительных (вещественных) чисел. Обозначается это множество буквой $\mathbb{R}$ .
Значит, все числа, которые на данный момент мы знаем, называются вещественными числами.

Факт 5.
$\bullet$ Модуль вещественного числа $a$ – это неотрицательное число $|a|$ , равное расстоянию от точки $a$ до $0$ на вещественной прямой. Например, $|3|$ и $|-3|$ равны 3, так как расстояния от точек $3$ и $-3$ до $0$ одинаковы и равны $3$ .
$\bullet$ Если $a$ – неотрицательное число, то $|a|=a$ .
Пример: $|5|=5$ ; $\qquad |\sqrt2|=\sqrt2$ . $\bullet$ Если $a$ – отрицательное число, то $|a|=-a$ .
Пример: $|-5|=-(-5)=5$ ; $\qquad |-\sqrt3|=-(-\sqrt3)=\sqrt3$ .
Говорят, что у отрицательных чисел модуль “съедает” минус, а положительные числа, а также число $0$ , модуль оставляет без изменений.
НО такое правило годится только для чисел. Если у вас под знаком модуля находится неизвестная $x$ (или какая-то другая неизвестная), например, $|x|$ , про которую мы не знаем, положительная она, равна нулю или отрицательная, то избавиться от модуля мы не можем. В этом случае это выражение таким и остается: $|x|$ . $\bullet$ Имеют место следующие формулы: \[{\large{\sqrt{a^2}=|a|}}\] \[{\large{(\sqrt{a})^2=a}}, \text{ при условии } a\geqslant 0\] Очень часто допускается такая ошибка: говорят, что $\sqrt{a^2}$ и $(\sqrt a)^2$ – одно и то же. Это верно только в том случае, когда $a$ – положительное число или ноль. А вот если $a$ – отрицательное число, то это неверно. Достаточно рассмотреть такой пример. Возьмем вместо $a$ число $-1$ . Тогда $\sqrt{(-1)^2}=\sqrt{1}=1$ , а вот выражение $(\sqrt {-1})^2$ вообще не существует (ведь нельзя под знак корня помещать отрицательные числа!).
Поэтому обращаем ваше внимание на то, что $\sqrt{a^2}$ не равен $(\sqrt a)^2$ ! Пример: 1) $\sqrt{\left(-\sqrt2\right)^2}=|-\sqrt2|=\sqrt2$ , т.к. $-\sqrt2<0$ ;

$\phantom{00000}$ 2) $(\sqrt{2})^2=2$ . $\bullet$ Так как $\sqrt{a^2}=|a|$ , то \[\sqrt{a^{2n}}=|a^n|\] (выражение $2n$ обозначает четное число)
То есть при извлечении корня из числа, находящегося в какой-то степени, эта степень уменьшается в два раза.
Пример:
1) $\sqrt{4^6}=|4^3|=4^3=64$
2) $\sqrt{(-25)^2}=|-25|=25$ (заметим, что если модуль не поставить, то получится, что корень из числа равен $-25$ ; но мы помним, что по определению корня такого быть не может: у нас всегда при извлечении корня должно получаться положительное число или ноль)
3) $\sqrt{x^{16}}=|x^8|=x^8$ (так как любое число в четной степени неотрицательно)

Факт 6.
Как сравнить два квадратных корня?
$\bullet$ Для квадратных корней верно: если $\sqrt a<\sqrt b$ , то $a Пример:
1) сравним \(\sqrt{50}$ и $6\sqrt2$ . Для начала преобразуем второе выражение в $\sqrt{36}\cdot \sqrt2=\sqrt{36\cdot 2}=\sqrt{72}$ . Таким образом, так как $50<72$ , то и $\sqrt{50}<\sqrt{72}$ . Следовательно, $\sqrt{50}<6\sqrt2$ .
2) Между какими целыми числами находится $\sqrt{50}$ ?
Так как $\sqrt{49}=7$ , $\sqrt{64}=8$ , а $49<50<64$ , то $7<\sqrt{50}<8$ , то есть число $\sqrt{50}$ находится между числами $7$ и $8$ .
3) Сравним $\sqrt 2-1$ и $0,5$ . Предположим, что $\sqrt2-1>0,5$ : \[\begin{aligned} &\sqrt 2-1>0,5 \ \big| +1\quad \text{(прибавим единицу к обеим частям)}\\ &\sqrt2>0,5+1 \ \big| \ ^2 \quad\text{(возведем обе части в квадрат)}\\ &2>1,5^2\\ &2>2,25 \end{aligned}\] Видим, что мы получили неверное неравенство. Следовательно, наше предположение было неверным и $\sqrt 2-1<0,5$ .
Заметим, что прибавление некоторого числа к обеим частям неравенства не влияет на его знак. Умножение/деление обеих частей неравенства на положительное число также не влияет на его знак, а умножение/деление на отрицательное число меняет знак неравенства на противоположный!
Возводить обе части уравнения/неравенства в квадрат можно ТОЛЬКО ТОГДА, когда обе части неотрицательные. Например, в неравенстве из предыдущего примера возводить обе части в квадрат можно, в неравенстве $-3<\sqrt2$ нельзя (убедитесь в этом сами)! $\bullet$ Следует запомнить, что \[\begin{aligned} &\sqrt 2\approx 1,4\\ &\sqrt 3\approx 1,7 \end{aligned}\] Знание приблизительного значения данных чисел поможет вам при сравнении чисел! $\bullet$ Для того, чтобы извлечь корень (если он извлекается) из какого-то большого числа, которого нет в таблице квадратов, нужно сначала определить, между какими “сотнями” оно находится, затем – между какими “десятками”, а потом уже определить последнюю цифру этого числа. Покажем, как это работает, на примере.
Возьмем $\sqrt{28224}$ . Мы знаем, что $100^2=10\,000$ , $200^2=40\,000$ и т.д. Заметим, что $28224$ находится между $10\,000$ и $40\,000$ . Следовательно, $\sqrt{28224}$ находится между $100$ и $200$ .
Теперь определим, между какими “десятками” находится наше число (то есть, например, между $120$ и $130$ ). Также из таблицы квадратов знаем, что $11^2=121$ , $12^2=144$ и т.д., тогда $110^2=12100$ , $120^2=14400$ , $130^2=16900$ , $140^2=19600$ , $150^2=22500$ , $160^2=25600$ , $170^2=28900$ . Таким образом, мы видим, что $28224$ находится между $160^2$ и $170^2$ . Следовательно, число $\sqrt{28224}$ находится между $160$ и $170$ .
Попробуем определить последнюю цифру. Давайте вспомним, какие однозначные числа при возведении в квадрат дают на конце $4$ ? Это $2^2$ и $8^2$ . Следовательно, $\sqrt{28224}$ будет заканчиваться либо на 2, либо на 8. Проверим это. Найдем $162^2$ и $168^2$ :
$162^2=162\cdot 162=26224$
$168^2=168\cdot 168=28224$ .
Следовательно, $\sqrt{28224}=168$ . Вуаля!

Для того чтобы достойно решить ЕГЭ по математике, прежде всего необходимо изучить теоретический материал, который знакомит с многочисленными теоремами, формулами, алгоритмами и т. д. На первый взгляд может показаться, что это довольно просто. Однако найти источник, в котором теория для ЕГЭ по математике изложена легко и понятно для учащихся с любым уровнем подготовки, - на деле задача довольно сложная. Школьные учебники невозможно всегда держать под рукой. А найти основные формулы для ЕГЭ по математике бывает непросто даже в Интернете.

Почему так важно изучать теорию по математике не только для тех, кто сдает ЕГЭ?

Потому что это расширяет кругозор . Изучение теоретического материала по математике полезно для всех, кто желает получить ответы на широкий круг вопросов, связанных с познанием окружающего мира. Все в природе упорядоченно и имеет четкую логику. Именно это и отражается в науке, через которую возможно понять мир.
Потому что это развивает интеллект . Изучая справочные материалы для ЕГЭ по математике, а также решая разнообразные задачи, человек учится логически мыслить и рассуждать, грамотно и четко формулировать мысли. У него вырабатывается способность анализировать, обобщать, делать выводы.

Предлагаем вам лично оценить все преимущества нашего подхода к систематизации и изложению учебных материалов.

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Вы ведь тоже ещё не вкурили?

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $\sqrt{a}$ и $\sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

\[\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}=\sqrt{a\cdot b}\]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

\[\begin{align} & \sqrt{25}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{25\cdot 4}=\sqrt{100}=10; \\ & \sqrt{32}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{32\cdot 2}=\sqrt{64}=8; \\ & \sqrt{54}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{54\cdot 6}=\sqrt{324}=18; \\ & \sqrt{\frac{3}{17}}\cdot \sqrt{\frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{3}{17}\cdot \frac{17}{27}}=\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{1}{3}. \\ \end{align}\]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $\sqrt{32}$ и $\sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу .

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

\[\begin{align} & \sqrt{2}\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{6}=\sqrt{2\cdot 3\cdot 6}=\sqrt{36}=6; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{2}\cdot \sqrt{0,001}=\sqrt{5\cdot 2\cdot 0,001}= \\ & =\sqrt{10\cdot \frac{1}{1000}}=\sqrt{\frac{1}{100}}=\frac{1}{10}. \\ \end{align}\]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

\[\begin{align} & \sqrt{20}\cdot \sqrt{\frac{125}{4}}=\sqrt{20\cdot \frac{125}{4}}=\sqrt{625}=5; \\ & \sqrt{\frac{16}{625}}\cdot \sqrt{0,16}=\sqrt{\frac{16}{625}\cdot \frac{16}{100}}=\sqrt{\frac{64}{{{25}^{2}}\cdot 25}}= \\ & =\sqrt{\frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=\sqrt{{{\left(\frac{4}{25} \right)}^{3}}}=\frac{4}{25}. \\ \end{align}\]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

\[\begin{align} & \sqrt{{{a}^{2n+1}}}=a; \\ & \sqrt{{{a}^{2n}}}=\left| a \right|. \\ \end{align}\]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $\sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $\sqrt{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. Чтобы умножить $\sqrt[n]{a}$ на $\sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны . Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

\[\begin{align} & \sqrt{3}\cdot \sqrt{2}=\sqrt{{{3}^{4}}\cdot {{2}^{3}}}=\sqrt{81\cdot 8}=\sqrt{648}; \\ & \sqrt{2}\cdot \sqrt{7}=\sqrt{{{2}^{5}}\cdot {{7}^{2}}}=\sqrt{32\cdot 49}=\sqrt{1568}; \\ & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{625\cdot 9}=\sqrt{5625}. \\ \end{align}\]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Умножать корни несложно

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

\[\sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

\[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}}\cdot \sqrt{{{b}^{n}}}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

\[\sqrt{-5}=\sqrt{{{\left(-5 \right)}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}\]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

\[\begin{align} & \sqrt[n]{a}=\sqrt{{{a}^{k}}}\Rightarrow \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}; \\ & \sqrt{{{a}^{k}}}=\sqrt[n]{a}\Rightarrow \sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{{{5}^{2}}}=\sqrt{5}. \\ \end{align}\]

Но тогда получается какая-то хрень:

\[\sqrt{-5}=\sqrt{5}\]

Этого не может быть, потому что $\sqrt{-5} \lt 0$, а $\sqrt{5} \gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $\sqrt{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

\[\begin{align} & \sqrt{-5}=-\sqrt{5} \lt 0\Rightarrow \\ & \sqrt{-5}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{25}=-\sqrt{{{5}^{2}}}=-\sqrt{5} \lt 0 \\ \end{align}\]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу \[\sqrt[n]{a}\cdot \sqrt[p]{b}=\sqrt{{{a}^{p}}\cdot {{b}^{n}}}\].
3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt{48}\cdot \sqrt{-\frac{4}{3}}=\sqrt{48}\cdot \left(-\sqrt{\frac{4}{3}} \right)=-\sqrt{48}\cdot \sqrt{\frac{4}{3}}= \\ & =-\sqrt{48\cdot \frac{4}{3}}=-\sqrt{64}=-4; \end{align}\]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt{32}\cdot \sqrt{4}=\sqrt{{{2}^{5}}}\cdot \sqrt{{{2}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{2}^{5}} \right)}^{3}}\cdot {{\left({{2}^{2}} \right)}^{4}}}= \\ & =\sqrt{{{2}^{15}}\cdot {{2}^{8}}}=\sqrt{{{2}^{23}}} \\ \end{align}\]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{\left({{a}^{4}} \right)}^{6}}}=\sqrt{{{a}^{3}}\cdot {{a}^{24}}}= \\ & =\sqrt{{{a}^{27}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 9}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \end{align}\]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

\[\begin{align} & \sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{4}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{\left({{a}^{4}} \right)}^{2}}}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{{{a}^{8}}} \\ & =\sqrt{a\cdot {{a}^{8}}}=\sqrt{{{a}^{9}}}=\sqrt{{{a}^{3\cdot 3}}}=\sqrt{{{a}^{3}}} \\ \end{align}\]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $\sqrt{5}\cdot \sqrt{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

\[\begin{align} & \sqrt{5}\cdot \sqrt{3}=\sqrt{{{5}^{4}}\cdot {{3}^{2}}}=\sqrt{{{\left({{5}^{2}}\cdot 3 \right)}^{2}}}= \\ & =\sqrt{{{\left(75 \right)}^{2}}}=\sqrt{75}. \end{align}\]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

В математике любое действие имеет свою пару-противоположность – в сущности, это представляет собою одно из проявлений гегелевского закона диалектики: «единство и борьба противоположностей». Одно из действий в такой «паре» направлено на увеличение числа, а другое, обратное ему – на уменьшение. Например, действие, противоположное сложению – это вычитание, умножению соответствует деление. Имеется и своя диалектическая пара-противоположность и у возведения в степень. Речь идет об извлечении корня.

Извлечь из числа корень такой-то степени – это значит вычислить, какое число необходимо возвести в соответствующую степень, чтобы в итоге получилось данное число. Две степени имеют свои отдельные названия: вторая степень называется «квадратом», а третья – «кубом». Соответствено, корни данных степеней приятно именовать квадратным корнем и кубическим. Действия с кубическими корнями – тема для отдельного разговора, а сейчас поговорим о сложении квадратных корней.

Начнем с того, что в ряде случаев квадратные корни проще сначала извлечь, а потом уже складывать результаты. Предположим, нам необходимо найти значение такого выражения:

Ведь совсем не сложно вычислить, что корень квадратный из 16 равен 4, а из 121 – 11. Следовательно,

√16+√121=4+11=15

Впрочем, это самый простой случай – здесь речь идет о полных квадратах, т.е. о таких числах, которые получаются при возведении в квадрат целых чисел. Но так бывает не всегда. Например, число 24 – это не полный квадрат (не найти такого целого числа, которое при возведении его во вторую степень дало бы в результате 24). То же самое относится к такому числу, как 54… Что делать, если нам необходимо сложить корни квадратные из этих чисел?

В таком случае мы получим в ответе не число, а другое выражение. Максимум, что мы можем тут сделать – это максимально упростить исходное выражение. Для этого придется вынести множители из-под корня квадратного. Посмотрим, как это делается, на примере упомянутым чисел:

Для начала разложим на множители 24 – таким образом, чтобы из одного из них легко можно было извлечь корень квадратный (т.е., чтобы он был полным квадратом). Такое числи есть – это 4:

Теперь проделаем то же самое с 54. В его составе таким числом будет 9:

Т.о., у нас получается следующее:

√24+√54=√(4*6)+ √(9*6)

Теперь извлечем корни из того, из чего можем их извлечь: 2*√6+3*√6

Здесь есть общий множитель, который мы можем вынести за скобки:

(2+3)* √6=5*√6

Это и будет результатом сложения – больше ничего тут извлечь нельзя.

Правда, можно прибегнуть к помощи калькулятора – правда, результат будет приблизительным и с огромным количеством знаков после запятой:

√6=2,449489742783178

Постепенно округляя его, мы получим приблизительно 2,5. Если нам все-таки хотелось бы довести до логического завершения решение предыдущего примера, мы можем умножить этот результат на 5 – и получится у нас 12,5. Более точного результата при таких исходных данных получить нельзя.