Methoden zur Spezifikation einer Funktion - Knowledge Hypermarket. Funktionsbegriff

Die Angabe einer Funktion bedeutet die Angabe einer Regel, die es Ihnen ermöglicht, für jeden Argumentwert den entsprechenden Funktionswert zu finden. Es gibt im Wesentlichen drei Möglichkeiten, Funktionen anzugeben: analytisch, tabellarisch und grafisch.

Analytische Methode zur Angabe einer Funktion

ist, dass die Entsprechung zwischen und durch Formeln gegeben ist, zum Beispiel:

Tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion

Die Funktion kann mithilfe von Tabellen spezifiziert werden, die einige Variablenwerte und die entsprechenden Variablenwerte angeben. Diese Tabellen können sowohl direkt aus Erfahrung als auch mit Hilfe bestimmter mathematischer Berechnungen gewonnen werden.

Grafische Möglichkeit, eine Funktion anzugeben

In der Praxis physikalischer Messungen wird eine andere Methode zur Angabe von Funktionen verwendet – die grafische, bei der die Entsprechung zwischen unabhängigen und abhängigen Variablen anhand eines Diagramms angegeben wird, das normalerweise mit speziellen Instrumenten aufgezeichnet wird.

Implizite Funktionszuweisung

Die Betrachtung einer anderen Möglichkeit zur Spezifikation einer Funktion, der sogenannten impliziten Funktionsdefinition, ist mit dem Konzept einer Gleichung mit zwei Variablen verbunden.

Betrachten Sie die Gleichung

Es gebe eine Menge, bei der es für jede Zahl mindestens eine Zahl gibt, die die Gleichung erfüllt.

Bezeichnen wir eine dieser Zahlen mit und setzen wir sie mit der Zahl in Zusammenhang. Als Ergebnis erhalten wir eine auf der Menge definierte Funktion und so

In diesem Fall sagt man, dass die Funktion implizit durch die Gleichung spezifiziert wird. Diese Gleichung gibt im Allgemeinen nicht eine, sondern mehrere Funktionen an.

Eine Funktion heißt also implizit, wenn sie durch eine Gleichung mit zwei Variablen gegeben ist, die in Bezug auf ungelöst ist. Im Gegensatz dazu wird eine Funktion, die durch eine Gleichung mit zwei Variablen definiert ist und nach aufgelöst wird, als explizit bezeichnet.

Der Begriff „implizite Funktion“ spiegelt nicht die Art der funktionalen Abhängigkeit wider, sondern nur die Art und Weise, wie sie spezifiziert wird. Dieselbe Funktion kann sowohl explizit als auch implizit angegeben werden. Zum Beispiel Funktionen

Die wichtigsten Möglichkeiten zur Spezifikation von Funktionen sind angegeben: explizit analytisch; Intervall; parametrisch; implizit; Angeben einer Funktion mithilfe einer Reihe; tabellarisch; Grafik. Anwendungsbeispiele dieser Methoden

Inhalt

Siehe auch: Funktionsdefinition

Es gibt folgende Möglichkeiten, die Funktion y = f anzugeben (X):

Explizite Analysemethode unter Verwendung einer Formel wie y = f (X).
Intervall.
Parametrisch: x = x (t) , y = y(t).
Implizit, wie das Lösen von Gleichung F (x, y) = 0.
In Form einer Reihe bekannter Funktionen.
Tabellarisch.
Grafik.

Eine explizite analytische Möglichkeit, eine Funktion anzugeben

Bei auf explizite Weise, der Wert der Funktion wird durch die Formel bestimmt, die die Gleichung y = f darstellt (X). Auf der linken Seite dieser Gleichung steht die abhängige Variable y und auf der rechten Seite ein Ausdruck, der aus der unabhängigen Variablen x, Konstanten, bekannten Funktionen und den Operationen Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division besteht. Bekannte Funktionen sind Elementarfunktionen und Sonderfunktionen, deren Werte computertechnisch berechnet werden können.

Hier sind einige Beispiele für die explizite Angabe einer Funktion mit einer unabhängigen Variablen x und einer abhängigen Variablen y:
;
;
.

Intervallmethode zur Angabe einer Funktion

Bei Intervallmethode zur Angabe einer Funktion, wird der Definitionsbereich in mehrere Intervalle unterteilt und die Funktion wird für jedes Intervall separat angegeben.

Hier sind einige Beispiele für die Intervallmethode zur Angabe einer Funktion:

Parametrische Methode zur Angabe einer Funktion

Bei parametrische Methode, wird eine neue Variable eingeführt, die als Parameter bezeichnet wird. Als nächstes legen Sie die Werte von x und y als Funktion des Parameters fest, indem Sie die explizite Einstellungsmethode verwenden:
(1)

Hier sind Beispiele für die parametrische Art, eine Funktion mithilfe des t-Parameters anzugeben:

Der Vorteil der parametrischen Methode besteht darin, dass dieselbe Funktion auf unendlich viele Arten angegeben werden kann. Eine Funktion kann beispielsweise so definiert werden:

Oder Sie können Folgendes tun:

Diese Wahlfreiheit ermöglicht es Ihnen in manchen Fällen, diese Methode zum Lösen von Gleichungen zu verwenden (siehe „Differentialgleichungen, die keine der Variablen enthalten“). Der Kern der Anwendung besteht darin, dass wir zwei Funktionen und anstelle der Variablen x und y in die Gleichung einsetzen. Anschließend legen wir eine davon nach eigenem Ermessen fest, sodass die andere aus der resultierenden Gleichung ermittelt werden kann.

Diese Methode wird auch zur Vereinfachung von Berechnungen verwendet. Beispielsweise lässt sich die Abhängigkeit der Koordinaten der Punkte einer Ellipse mit den Halbachsen a und b wie folgt darstellen:
.
In parametrischer Form kann dieser Abhängigkeit eine einfachere Form gegeben werden:
.

Gleichungen (1) sind nicht die einzige Möglichkeit, eine Funktion parametrisch anzugeben. Sie können nicht einen, sondern mehrere Parameter eingeben und diese mit zusätzlichen Gleichungen verbinden. Sie können beispielsweise zwei Parameter eingeben und . Dann sieht die Funktionsdefinition so aus:

Hier erscheint eine zusätzliche Gleichung, die die Parameter in Beziehung setzt. Wenn die Anzahl der Parameter n beträgt, muss es n geben - 1 zusätzliche Gleichungen.

Ein Beispiel für die Verwendung mehrerer Parameter wird auf der Seite „Jacobi-Differentialgleichung“ vorgestellt. Dort wird die Lösung in folgender Form gesucht:
(2) .
Das Ergebnis ist ein Gleichungssystem. Um es zu lösen, wird ein vierter Parameter t eingeführt. Nach der Lösung des Systems erhält man drei Gleichungen, die die vier Parameter und in Beziehung setzen.

Implizite Möglichkeit, eine Funktion anzugeben

Bei implizit, der Wert der Funktion wird aus der Lösung der Gleichung bestimmt.

Die Gleichung einer Ellipse lautet beispielsweise:
(3) .
Es ist eine einfache Gleichung. Wenn wir nur den oberen Teil der Ellipse betrachten, können wir die Variable y explizit als Funktion von x ausdrücken:
(4) .
Aber selbst wenn es möglich ist, (3) auf eine explizite Art und Weise der Funktion (4) zu reduzieren, ist die letztgenannte Formel nicht immer bequem zu verwenden. Um beispielsweise die Ableitung zu finden, ist es zweckmäßig, Gleichung (3) statt (4) zu differenzieren:
;
.

Eine Funktion in der Nähe einstellen

Eine äußerst wichtige Möglichkeit, eine Funktion zu definieren, ist Seriendarstellung, bestehend aus bekannten Funktionen. Mit dieser Methode können Sie eine Funktion mit mathematischen Methoden untersuchen und ihre Werte für angewandte Probleme berechnen.

Die gebräuchlichste Darstellung besteht darin, eine Funktion mithilfe einer Potenzreihe zu definieren. Es kommen eine Reihe von Funktionen zum Einsatz:
.
Es wird auch die Reihe mit negativen Graden verwendet:
.
Die Sinusfunktion hat beispielsweise die folgende Entwicklung:
(5) .
Solche Erweiterungen werden in der Informatik häufig verwendet, da sie es ermöglichen, Berechnungen auf arithmetische Operationen zu reduzieren.

Zur Veranschaulichung berechnen wir mithilfe der Erweiterung (5) den Wert des Sinus von 30°.
Grad in Bogenmaß umrechnen:
.
Wir ersetzen in (5):

.

In der Mathematik werden neben Potenzreihen häufig auch Entwicklungen in trigonometrische Reihen in den Funktionen und sowie in anderen speziellen Funktionen verwendet. Mithilfe von Reihen können Sie Näherungsberechnungen von Integralen und Gleichungen (Differential, Integral, partielle Ableitungen) durchführen und deren Lösungen untersuchen.

Tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion

Bei tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion Wir haben eine Tabelle, die die Werte der unabhängigen Variablen x und die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y enthält. Die unabhängigen und abhängigen Variablen können unterschiedliche Schreibweisen haben, wir verwenden hier jedoch x und y. Um den Wert einer Funktion für einen gegebenen Wert x zu bestimmen, verwenden wir die Tabelle, um den Wert x zu finden, der unserem am nächsten kommt. Anschließend ermitteln wir den entsprechenden Wert der abhängigen Variablen y.

Um den Wert der Funktion genauer zu bestimmen, gehen wir davon aus, dass die Funktion zwischen zwei benachbarten Werten von x linear ist, also die folgende Form hat:
.
Hier sind die aus der Tabelle gefundenen Funktionswerte mit den entsprechenden Argumentwerten.
Schauen wir uns ein Beispiel an. Wir müssen den Wert der Funktion bei ermitteln. Aus der Tabelle finden wir:
.
Dann

.
Genauer Wert:
.
Aus diesem Beispiel wird deutlich, dass die Verwendung der linearen Näherung zu einer höheren Genauigkeit bei der Bestimmung des Funktionswerts führte.

Die tabellarische Methode wird in den angewandten Wissenschaften verwendet. Vor der Entwicklung der Computertechnologie wurde sie häufig im Ingenieurwesen und bei anderen Berechnungen eingesetzt. Heutzutage wird die tabellarische Methode in der Statistik und den experimentellen Wissenschaften zum Sammeln und Analysieren experimenteller Daten verwendet.

Grafische Möglichkeit, eine Funktion anzugeben

Bei grafisch, der Wert der Funktion wird aus einem Diagramm bestimmt, die Werte der unabhängigen Variablen werden entlang der Abszissenachse aufgetragen und die abhängige Variable wird entlang der Ordinatenachse aufgetragen.

Die grafische Methode bietet eine visuelle Darstellung des Verhaltens der Funktion. Die Ergebnisse einer Funktionsstudie werden häufig mit einer Grafik veranschaulicht. Aus der Grafik können Sie den ungefähren Wert der Funktion ermitteln. Dadurch können Sie die grafische Methode in angewandten und technischen Berechnungen verwenden.

Siehe auch:

Bewegt sich der Zug mit einer konstanten Geschwindigkeit v km/h, so errechnet sich die in der Zeit t zurückgelegte Strecke s km nach der Formel s = vt. Hier bezeichnet v eine Zahl, und s und t ändern sich in jedem Moment der Bewegung. Bei einer gegebenen konstanten Geschwindigkeit ermitteln wir den Wert von s in Abhängigkeit von der Bewegungszeit t. Dann heißt t unabhängige Variable oder Argument, s heißt abhängige Variable oder Funktion. Die Beziehung zwischen Argument t und Funktion s wird als s(t) geschrieben.

Die Notation s(t) bedeutet dass beliebige Wegabschnitte genommen werden und festgestellt wird, in welcher Zeit (bei gegebener konstanter Geschwindigkeit v) dieser Weg zurückgelegt werden kann. Wenn sich beispielsweise ein Auto mit einer Geschwindigkeit von 50 km/h bewegt, dann braucht es 100 km, um 100 km zurückzulegen: 50 km/h = 2 Stunden, um 25 km zurückzulegen, braucht man eine halbe Stunde, um 150 km zurückzulegen km/h - 3 Std.

Wenn zwei Variablen x und y gegeben sind, dann sagen sie, dass die Variable j ist eine Funktion einer Variablen X, wenn eine solche Abhängigkeit zwischen diesen Variablen gegeben ist, die jeden Wert zulässt X die Bedeutung klar definieren u.

Schreiben Sie F = y(x) bedeutet, dass eine Funktion betrachtet wird, die jeden Wert der unabhängigen Variablen zulässt X(von denen, die das Argument x im Allgemeinen annehmen kann) Finden Sie den entsprechenden Wert der abhängigen Variablen u.

Methoden zur Angabe einer Funktion.

Die Funktion kann durch eine Formel angegeben werden, zum Beispiel:

y = 3x 2 – 2.

Bei beliebigen Werten der unabhängigen Variablen x werden mit dieser Formel die entsprechenden Werte der abhängigen Variablen y berechnet. Wenn beispielsweise x = -0,5 ist, finden wir mithilfe der Formel heraus, dass der entsprechende Wert von y gleich ist

3 (-0,5) 2 – 2 = -1,25

Wenn Sie einen beliebigen Wert nehmen, den das Argument x in der Formel y = 3x 2 – 2 annehmen kann, können Sie damit den einzigen Wert der Funktion berechnen, der ihm entspricht.

Die Funktion kann beispielsweise durch eine Tabelle spezifiziert werden:

Anhand dieser Tabelle können Sie feststellen, dass der Argumentwert – 1 dem Funktionswert 1 entspricht; der Wert x = 2 entspricht y = 10 usw. In diesem Fall entspricht jeder in der Tabelle enthaltene Argumentwert nur einem Funktionswert.

Die Funktion kann durch einen Graphen angegeben werden. Mithilfe eines Diagramms können Sie ermitteln, welcher Funktionswert einem angegebenen Argumentwert entspricht. Dies ist normalerweise ein Näherungswert der Funktion.

Eigenschaften einer Funktion, die bei der Erstellung ihres Diagramms berücksichtigt werden müssen:

1) Der Umfang der Funktion.

Domäne der Funktion, das heißt, jene Werte, die das Argument x der Funktion F =y (x) annehmen kann.

2) Intervalle steigender und fallender Funktionen.

Die Funktion heißt erhöhend auf dem betrachteten Intervall, wenn ein größerer Wert des Arguments einem größeren Wert der Funktion y(x) entspricht. Das heißt, wenn zwei beliebige Argumente x 1 und x 2 aus dem betrachteten Intervall genommen werden und x 1 > x 2, dann ist y(x 1) > y(x 2).

Die Funktion heißt abnehmend auf dem betrachteten Intervall, wenn einem größeren Wert des Arguments ein kleinerer Wert der Funktion y(x) entspricht. Dies bedeutet, dass, wenn zwei beliebige Argumente x 1 und x 2 aus dem betrachteten Intervall entnommen werden, und x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).

3) Funktionsnullstellen.

Die Punkte, an denen die Funktion F = y (x) die Abszissenachse schneidet (sie werden durch Lösen der Gleichung y(x) = 0 erhalten), werden Nullstellen der Funktion genannt.

4) Gerade und ungerade Funktionen.

Die Funktion heißt gerade, wenn für alle Argumentwerte aus dem Gültigkeitsbereich

y(-x) = y(x).

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zur Ordinate.

Die Funktion heißt ungerade, wenn für alle Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich

y(-x) = -y(x).

Der Graph einer geraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Viele Funktionen sind weder gerade noch ungerade.

5) Periodizität der Funktion.

Die Funktion wird aufgerufen periodisch, wenn es eine Zahl P gibt, die für alle Werte des Arguments aus dem Definitionsbereich gilt

y(x + P) = y(x).

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Was bedeuten die Wörter? „eine Funktion festlegen“? Sie meinen: Erkläre es jedem, der was wissen will spezifische Funktion wir reden. Erklären Sie außerdem klar und eindeutig!

Wie kann ich das machen? Wie eine Funktion einstellen?

Sie können eine Formel schreiben. Sie können ein Diagramm zeichnen. Sie können einen Tisch machen. Wie auch immer eine Regel, mit der wir den Wert von i für den von uns gewählten x-Wert ermitteln können. Diese. „Funktion festlegen“ Dies bedeutet, das Gesetz zu zeigen, die Regel, nach der sich ein x in ein y verwandelt.

Normalerweise gibt es in einer Vielzahl von Aufgaben bereits bereit Funktionen. Sie geben uns sind bereits eingestellt. Entscheiden Sie selbst, ja, entscheiden Sie.) Aber... Am häufigsten arbeiten Schüler (und sogar Studenten) mit Formeln. Sie gewöhnen sich daran, wissen Sie ... Sie gewöhnen sich so daran, dass jede elementare Frage, die sich auf eine andere Art der Spezifikation einer Funktion bezieht, die Person sofort verärgert ...)

Um solche Fälle zu vermeiden, ist es sinnvoll, verschiedene Möglichkeiten zur Spezifikation von Funktionen zu verstehen. Und wenden Sie dieses Wissen natürlich auch auf „knifflige“ Fragen an. Es ist ganz einfach. Wenn Sie wissen, was eine Funktion ist...)

Gehen?)

Analytische Methode zur Angabe einer Funktion.

Der universellste und leistungsstärkste Weg. Eine analytisch definierte Funktion Dies ist die Funktion, die gegeben ist Formeln. Eigentlich ist das die ganze Erklärung.) Funktionen, die jedem bekannt sind (ich möchte glauben!), zum Beispiel: y = 2x, oder y = x 2 usw. usw. werden analytisch spezifiziert.

Übrigens kann nicht jede Formel eine Funktion definieren. Nicht jede Formel erfüllt die strenge Bedingung aus der Definition einer Funktion. Nämlich - für jedes X kann es nur sein eins igrek. Zum Beispiel in der Formel y = ±x, Für eins Werte x=2, es stellt sich heraus zwei y-Werte: +2 und -2. Diese Formel kann keine eindeutige Funktion definieren. In diesem Teilgebiet der Mathematik, der Analysis, wird in der Regel nicht mit mehrwertigen Funktionen gearbeitet.

Was ist gut an der analytischen Art, eine Funktion anzugeben? Denn wenn Sie eine Formel haben, kennen Sie die Funktion Alle! Sie können ein Zeichen setzen. Erstellen Sie ein Diagramm. Entdecken Sie diese Funktion vollständig. Sagen Sie genau voraus, wo und wie sich diese Funktion verhalten wird. Alle mathematischen Analysen basieren auf dieser Methode zur Spezifikation von Funktionen. Nehmen wir an, es ist äußerst schwierig, eine Ableitung einer Tabelle zu bilden ...)

Die Analysemethode ist recht vertraut und bereitet keine Probleme. Vielleicht gibt es einige Variationen dieser Methode, auf die die Schüler stoßen. Ich spreche von parametrischen und impliziten Funktionen.) Aber solche Funktionen sind eine besondere Lektion.

Kommen wir nun zu den weniger bekannten Möglichkeiten, eine Funktion anzugeben.

Tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion.

Wie der Name schon sagt, handelt es sich bei dieser Methode um ein einfaches Zeichen. In dieser Tabelle entspricht jedes x ( wird entsprechend gestellt) etwas Bedeutung des Spiels. Die erste Zeile enthält die Werte des Arguments. Die zweite Zeile enthält die entsprechenden Funktionswerte, zum Beispiel:

Tabelle 1.

X	- 3	- 1	0	2	3	4
j	5	2	- 4	- 1	6	5

Bitte pass auf! In diesem Beispiel hängt das Spiel von X ab jedenfalls. Das habe ich mir absichtlich ausgedacht.) Es gibt kein Muster. Es ist okay, es passiert. Bedeutet, genau so Ich habe diese spezielle Funktion angegeben. Genau so Ich habe eine Regel aufgestellt, nach der aus einem X ein Y wird.

Du kannst dich versöhnen ein anderer eine Platte mit einem Muster. Dieses Zeichen weist darauf hin andere Funktion, zum Beispiel:

Tabelle 2.

X	- 3	- 1	0	2	3	4
j	- 6	- 2	0	4	6	8

Haben Sie das Muster erkannt? Hier erhält man alle Werte des Spiels durch Multiplikation von x mit zwei. Hier ist die erste „knifflige“ Frage: Kann eine anhand von Tabelle 2 definierte Funktion als Funktion betrachtet werden? y = 2x? Denken Sie erst einmal darüber nach, die Antwort wird unten in grafischer Form angezeigt. Da ist alles sehr klar.)

Was ist gut tabellarische Methode zur Angabe einer Funktion? Ja, weil Sie nichts zählen müssen. Alles ist bereits berechnet und in die Tabelle eingetragen.) Aber mehr Gutes gibt es nicht. Wir kennen den Wert der Funktion für X nicht, die nicht in der Tabelle enthalten sind. Bei dieser Methode sind solche x-Werte einfach ist nicht vorhanden. Das ist übrigens ein Hinweis auf eine knifflige Frage. Wir können nicht herausfinden, wie sich die Funktion außerhalb der Tabelle verhält. Wir können nichts tun. Und die Übersichtlichkeit dieser Methode lässt zu wünschen übrig... Die grafische Methode ist gut für die Übersichtlichkeit.

Grafische Möglichkeit, eine Funktion anzugeben.

Bei dieser Methode wird die Funktion durch einen Graphen dargestellt. Auf der Abszissenachse wird das Argument (x) aufgetragen, auf der Ordinatenachse der Funktionswert (y). Je nach Zeitplan können Sie auch einen beliebigen auswählen X und finden Sie den entsprechenden Wert bei. Der Graph kann beliebig sein, aber nicht irgendein. Wir arbeiten nur mit eindeutigen Funktionen. Die Definition einer solchen Funktion besagt eindeutig: jede X wird entsprechend gestellt der Einzige bei. Eins ein Spiel, nicht zwei oder drei ... Schauen wir uns zum Beispiel das Kreisdiagramm an:

Ein Kreis ist wie ein Kreis... Warum sollte es nicht der Graph einer Funktion sein? Finden wir heraus, welches Spiel dem Wert von X entspricht, zum Beispiel 6? Wir bewegen den Cursor über die Grafik (oder berühren die Zeichnung auf dem Tablet) und... wir sehen, dass dieses x übereinstimmt zwei Spielbedeutungen: y=2 und y=6.

Zwei und sechs! Daher handelt es sich bei einem solchen Diagramm nicht um eine grafische Zuordnung der Funktion. An eins x entfällt zwei Spiel. Dieser Graph entspricht nicht der Definition einer Funktion.

Aber wenn die Eindeutigkeitsbedingung erfüllt ist, kann der Graph absolut alles sein. Zum Beispiel:

Dieselbe Krümmung ist das Gesetz, nach dem ein X in ein Y umgewandelt werden kann. Eindeutig. Wir wollten wissen, was die Funktion für bedeutet x = 4, Zum Beispiel. Wir müssen die vier auf der x-Achse finden und sehen, welches Spiel diesem x entspricht. Wir bewegen die Maus über die Figur und sehen den Funktionswert bei Für x=4 gleich fünf. Wir wissen nicht, welche Formel diese Umwandlung eines X in ein Y bestimmt. Und es ist nicht notwendig. Alles ist durch den Zeitplan festgelegt.

Jetzt können wir zur „kniffligen“ Frage zurückkehren y=2x. Lassen Sie uns diese Funktion grafisch darstellen. Da ist er:

Natürlich haben wir beim Zeichnen dieses Diagramms nicht unendlich viele Werte angenommen X. Wir haben mehrere Werte genommen und berechnet ja, Zeichen gesetzt – und alles ist fertig! Die gebildetsten Menschen nahmen nur zwei Werte von X an! Und das zu Recht. Für eine gerade Linie braucht man nicht mehr. Warum die zusätzliche Arbeit?

Aber wir wusste es genau was x sein könnte irgendjemand. Ganzzahl, Bruchzahl, negativ ... Beliebig. Dies entspricht der Formel y=2x es wird gesehen. Deshalb haben wir die Punkte im Diagramm kühn mit einer durchgezogenen Linie verbunden.

Wenn uns die Funktion durch Tabelle 2 gegeben ist, müssen wir die Werte von x annehmen nur vom Tisch. Weil andere Xs (und Ys) uns nicht gegeben sind und wir sie nirgendwo bekommen können. Diese Werte sind in dieser Funktion nicht vorhanden. Der Zeitplan wird klappen aus Punkten. Wir bewegen die Maus über die Abbildung und sehen den Graphen der in Tabelle 2 angegebenen Funktion. Ich habe die x-y-Werte nicht auf die Achsen geschrieben, werden Sie es Zelle für Zelle herausfinden?)

Hier ist die Antwort auf die „knifflige“ Frage. In Tabelle 2 angegebene Funktion und Funktion y=2x - anders.

Die grafische Methode zeichnet sich durch ihre Übersichtlichkeit aus. Man sieht sofort, wie sich die Funktion verhält, wo sie ansteigt. wo es abnimmt. Aus der Grafik können Sie sofort einige wichtige Eigenschaften der Funktion erkennen. Und beim Thema Ableitungen wimmelt es von Aufgaben mit Graphen!

Im Allgemeinen gehen analytische und grafische Methoden zur Definition einer Funktion Hand in Hand. Die Arbeit mit der Formel hilft beim Erstellen eines Diagramms. Und die Grafik schlägt oft Lösungen vor, die man in der Formel gar nicht bemerken würde ... Wir werden mit Grafiken befreundet sein.)

Fast jeder Student kennt die drei Möglichkeiten, eine Funktion zu definieren, die wir gerade betrachtet haben. Aber auf die Frage: „Und der vierte!?“ - friert gründlich ein.)

Es gibt so einen Weg.

Verbale Beschreibung der Funktion.

Ja Ja! Die Funktion kann in Worten recht eindeutig angegeben werden. Die große und mächtige russische Sprache ist zu viel fähig!) Sagen wir die Funktion y=2x kann mit der folgenden verbalen Beschreibung angegeben werden: Jedem reellen Wert des Arguments x ist sein doppelter Wert zugeordnet. So! Die Regel ist etabliert, die Funktion ist spezifiziert.

Darüber hinaus können Sie eine Funktion verbal angeben, die mithilfe einer Formel nur äußerst schwierig, wenn nicht gar unmöglich, zu definieren ist. Zum Beispiel: Jeder Wert des natürlichen Arguments x ist mit der Summe der Ziffern verknüpft, aus denen der Wert von x besteht. Zum Beispiel, wenn x=3, Das y=3. Wenn x=257, Das y=2+5+7=14. Usw. Es ist problematisch, dies in eine Formel zu schreiben. Aber das Schild ist einfach zu machen. Und erstellen Sie einen Zeitplan. Die Grafik sieht übrigens komisch aus...) Probieren Sie es aus.

Die Methode der verbalen Beschreibung ist recht exotisch. Aber manchmal passiert es. Ich habe es hierher gebracht, um Ihnen Selbstvertrauen in unerwarteten und ungewöhnlichen Situationen zu geben. Sie müssen nur die Bedeutung der Wörter verstehen „Funktion angegeben…“ Hier ist sie, diese Bedeutung:

Wenn es ein Gesetz der Eins-zu-eins-Entsprechung zwischen gibt X Und bei- das heißt, es gibt eine Funktion. Welches Gesetz, in welcher Form es ausgedrückt wird – eine Formel, eine Tafel, eine Grafik, Worte, Lieder, Tänze – ändert nichts am Wesen der Sache. Mit diesem Gesetz können Sie den entsprechenden Wert von Y aus dem Wert von X ermitteln. Alle.

Jetzt werden wir dieses tiefe Wissen auf einige nicht standardmäßige Aufgaben anwenden.) Wie zu Beginn der Lektion versprochen.

Übung 1:

Die Funktion y = f(x) ist in Tabelle 1 angegeben:

Tabelle 1.

Finden Sie den Wert der Funktion p(4), wenn p(x)= f(x) - g(x)

Wenn Sie überhaupt nicht verstehen können, was was ist, lesen Sie die vorherige Lektion „Was ist eine Funktion?“ Über solche Buchstaben und Klammern wird sehr deutlich geschrieben.) Und wenn Sie nur die tabellarische Form verwirrt, dann klären wir das hier.

Aus der vorherigen Lektion geht klar hervor, dass wenn, p(x) = f(x) - g(x), Das p(4) = f(4) - g(4). Briefe F Und G bedeutet die Regeln, nach denen jedem X ein eigenes Spiel zugewiesen wird. Für jeden Buchstaben ( F Und G) - dein Regel. Was aus der entsprechenden Tabelle hervorgeht.

Funktionswert f(4) ermittelt aus Tabelle 1. Dies ist 5. Funktionswert g(4) bestimmt nach Tabelle 2. Das wird 8 sein. Das Schwierigste bleibt.)

p(4) = 5 - 8 = -3

Das ist die richtige Antwort.

Lösen Sie die Ungleichung f(x) > 2

Das ist es! Es ist notwendig, die Ungleichung zu lösen, die (in der üblichen Form) völlig fehlt! Es bleibt nur noch, entweder die Aufgabe aufzugeben oder den Kopf zu verdrehen. Wir wählen die zweite und diskutieren.)

Was bedeutet es, Ungleichheit zu lösen? Das bedeutet, alle Werte von x zu finden, bei denen die uns gegebene Bedingung erfüllt ist f(x) > 2. Diese. alle Funktionswerte ( bei) muss größer als zwei sein. Und auf unserem Diagramm haben wir jedes Spiel ... Und es gibt mehr Zweier und weniger ... Und lassen Sie uns der Klarheit halber eine Grenze entlang dieser beiden ziehen! Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen diesen Rand.

Streng genommen ist dieser Rand der Graph der Funktion y=2, aber das ist nicht der Punkt. Wichtig ist, dass die Grafik jetzt sehr deutlich zeigt, wo, bei welchen X's, Funktionswerte, d.h. ja, Mehr als zwei. Sie sind mehr X > 3. Bei X > 3 Unsere gesamte Funktion ist bestanden höher Grenzen y=2. Das ist die Lösung. Aber es ist noch zu früh, um den Kopf auszuschalten!) Ich muss die Antwort noch aufschreiben ...

Die Grafik zeigt, dass sich unsere Funktion nicht nach links und rechts bis ins Unendliche erstreckt. Die Punkte an den Enden der Grafik zeigen dies an. Die Funktion endet dort. Daher haben in unserer Ungleichung alle X, die über die Grenzen der Funktion hinausgehen, keine Bedeutung. Für die Funktion dieser X's existiert nicht. Und tatsächlich lösen wir die Ungleichung für die Funktion ...

Die richtige Antwort wird sein:

3 < X ≤ 6

Oder in einer anderen Form:

X ∈ (3; 6]

Jetzt ist alles wie es sein soll. Drei ist nicht in der Antwort enthalten, weil die ursprüngliche Ungleichung ist streng. Und die sechs schaltet sich ein, weil und die Funktion bei sechs existiert und die Ungleichheitsbedingung ist erfüllt. Wir haben erfolgreich eine Ungleichung gelöst, die (in der üblichen Form) nicht existiert ...

So ersparen Ihnen etwas Wissen und elementare Logik in nicht standardmäßigen Fällen.)

Analytische Funktionszuweisung

Funktion %%y = f(x), x \in X%% ist gegeben auf explizit analytische Weise, wenn eine Formel angegeben wird, die die Abfolge mathematischer Operationen angibt, die mit dem Argument %%x%% ausgeführt werden müssen, um den Wert %%f(x)%% dieser Funktion zu erhalten.

Beispiel

%% y = 2 x^2 + 3x + 5, x \in \mathbb(R)%%;
%% y = \frac(1)(x - 5), x \neq 5%%;
%% y = \sqrt(x), x \geq 0%%.

So wird beispielsweise in der Physik bei gleichmäßig beschleunigter geradliniger Bewegung die Geschwindigkeit eines Körpers durch die Formel %%v = v_0 + a t%% und die Formel für die Bewegung %%s%% eines Körpers bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung bestimmt Bewegung über einen Zeitraum von %%0%% bis %% t%% wird wie folgt geschrieben: %% s = s_0 + v_0 t + \frac(a t^2)(2) %%.

Stückweise definierte Funktionen

Manchmal kann die betreffende Funktion durch mehrere Formeln spezifiziert werden, die in verschiedenen Teilen ihres Definitionsbereichs wirken, in denen sich das Argument der Funktion ändert. Zum Beispiel: $$ y = \begin(cases) x ^ 2,~ if~x< 0, \\ \sqrt{x},~ если~x \geq 0. \end{cases} $$

Funktionen dieser Art werden manchmal aufgerufen zusammengesetzt oder stückweise angegeben. Ein Beispiel für eine solche Funktion ist %%y = |x|%%

Funktionsdomäne

Wenn eine Funktion auf explizite analytische Weise mithilfe einer Formel angegeben wird, aber der Definitionsbereich der Funktion in Form einer Menge %%D%% nicht angegeben ist, dann meinen wir mit %%D%% immer die Menge von Werten des Arguments %%x%%, für die diese Formel Sinn macht. Für die Funktion %%y = x^2%% ist der Definitionsbereich also die Menge %%D = \mathbb(R) = (-\infty, +\infty)%%, da das Argument %%x%% kann beliebige Werte annehmen Zahlenstrahl. Und für die Funktion %%y = \frac(1)(\sqrt(1 - x^2))%% ist der Definitionsbereich die Menge der Werte %%x%%, die die Ungleichung %%1 erfüllen - x^2 > 0%%, d.h. %%D = (-1, 1)%%.

Vorteile der expliziten analytischen Angabe einer Funktion

Beachten Sie, dass die explizite analytische Methode zur Angabe einer Funktion recht kompakt ist (die Formel nimmt in der Regel wenig Platz ein), leicht zu reproduzieren ist (die Formel ist nicht schwer zu schreiben) und sich am besten für die Durchführung mathematischer Operationen und Transformationen eignet auf Funktionen.

Einige dieser Operationen – algebraische (Addition, Multiplikation etc.) – sind aus dem Schulmathematikunterricht gut bekannt, andere (Differenzierung, Integration) werden in Zukunft untersucht. Diese Methode ist jedoch nicht immer klar, da die Art der Abhängigkeit der Funktion vom Argument nicht immer klar ist und manchmal umständliche Berechnungen erforderlich sind, um die Funktionswerte zu finden (falls erforderlich).

Implizite Funktionszuweisung

Funktion %%y = f(x)%% definiert auf implizit analytische Weise, wenn die Beziehung $$F(x,y) = 0 gegeben ist, ~~~~~~~~~~(1)$$ die Werte der Funktion %%y%% und das Argument %% verbinden X%%. Wenn Sie die Werte des Arguments angeben, müssen Sie die Gleichung %%(1)%% nach %% auflösen, um den Wert von %%y%% zu finden, der einem bestimmten Wert von %%x%% entspricht. y%% bei diesem spezifischen Wert von %%x%%.

Bei gegebenem Wert %%x%% hat die Gleichung %%(1)%% möglicherweise keine Lösung oder mehr als eine Lösung. Im ersten Fall gehört der angegebene Wert %%x%% nicht zum Definitionsbereich der implizit angegebenen Funktion und im zweiten Fall gibt er an mehrwertige Funktion, was für einen bestimmten Argumentwert mehr als eine Bedeutung hat.

Beachten Sie, dass wir dieselbe Funktion erhalten, wenn die Gleichung %%(1)%% explizit in Bezug auf %%y = f(x)%% aufgelöst werden kann, jedoch bereits auf explizite analytische Weise spezifiziert. Also die Gleichung %%x + y^5 - 1 = 0%%

und die Gleichheit %%y = \sqrt(1 - x)%% definieren dieselbe Funktion.

Parametrische Funktionsspezifikation

Wenn die Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% nicht direkt angegeben ist, sondern die Abhängigkeiten der beiden Variablen %%x%% und %%y%% von einer dritten Hilfsvariablen %%t%% in der Form

$$ \begin(cases) x = \varphi(t),\\ y = \psi(t), \end(cases) ~~~t \in T \subseteq \mathbb(R), ~~~~~ ~~~~~(2) $$worüber sie reden parametrisch Methode zur Angabe der Funktion;

dann wird die Hilfsvariable %%t%% als Parameter bezeichnet.

Wenn es möglich ist, den Parameter %%t%% aus den Gleichungen %%(2)%% zu eliminieren, dann gelangen wir zu einer Funktion, die durch die explizite oder implizite analytische Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% definiert ist. . Zum Beispiel aus den Beziehungen $$ \begin(cases) x = 2 t + 5, \\ y = 4 t + 12, \end(cases), ~~~t \in \mathbb(R), $$ außer Für den %-Parameter %t%% erhalten wir die Abhängigkeit %%y = 2 x + 2%%, die eine Gerade in der %%xOy%%-Ebene definiert.

Grafische Methode

Beispiel einer grafischen Funktionsdefinition

Die obigen Beispiele zeigen, dass die analytische Methode zur Spezifikation einer Funktion ihrer entspricht grafisches Bild, was als bequeme und visuelle Form der Beschreibung einer Funktion angesehen werden kann. Manchmal verwendet grafische Methode Angabe einer Funktion, wenn die Abhängigkeit von %%y%% von %%x%% durch eine Linie auf der Ebene %%xOy%% angegeben wird. Allerdings verliert es trotz aller Anschaulichkeit an Genauigkeit, da die Werte des Arguments und die entsprechenden Funktionswerte nur näherungsweise aus dem Diagramm gewonnen werden können. Der resultierende Fehler hängt vom Maßstab und der Genauigkeit der Messung der Abszisse und Ordinate einzelner Punkte im Diagramm ab. In Zukunft werden wir dem Funktionsgraphen nur noch die Rolle zuweisen, das Verhalten der Funktion zu veranschaulichen, und uns daher darauf beschränken, „Skizzen“ von Graphen zu erstellen, die die Hauptmerkmale der Funktionen widerspiegeln.

Tabellarische Methode

Notiz tabellarische Methode Funktionszuweisungen, wenn einige Argumentwerte und die entsprechenden Funktionswerte in einer bestimmten Reihenfolge in einer Tabelle platziert werden. Auf diese Weise werden bekannte trigonometrische Funktionstabellen, Logarithmentabellen usw. erstellt. Der Zusammenhang zwischen in experimentellen Studien, Beobachtungen und Tests gemessenen Größen wird normalerweise in Form einer Tabelle dargestellt.

Der Nachteil dieser Methode besteht darin, dass es unmöglich ist, Funktionswerte für Argumentwerte, die nicht in der Tabelle enthalten sind, direkt zu ermitteln. Wenn die Sicherheit besteht, dass die in der Tabelle nicht dargestellten Argumentwerte zum Definitionsbereich der betreffenden Funktion gehören, können die entsprechenden Funktionswerte durch Interpolation und Extrapolation näherungsweise berechnet werden.

Beispiel

X	3	5.1	10	12.5
j	9	23	80	110

Algorithmische und verbale Methoden zur Spezifikation von Funktionen

Die Funktion ist einstellbar algorithmisch(oder Software) auf eine Weise, die in Computerberechnungen weit verbreitet ist.

Abschließend lässt sich festhalten beschreibend(oder verbal) eine Möglichkeit, eine Funktion anzugeben, wenn die Regel zum Zuordnen der Funktionswerte zu den Argumentwerten in Worten ausgedrückt wird.

Zum Beispiel die Funktion %%[x] = m~\forall (x \in )