Die Lösung der Probleme C4 aus der Prüfung in Mathematik (Anfang).
Wenn alle Seiten des Polygons einen Kreis tangieren, wird der Kreis aufgerufen in ein Polygon eingeschriebenund das Polygon ist beschrieben um diesen Kreis. In 231 ist das viereckige EFMN in der Nähe eines Kreises mit Mittelpunkt O beschrieben, und das viereckige DKMN ist in der Nähe dieses Kreises nicht beschrieben, da die Seite DK den Kreis nicht berührt.
Abb. 231
In Abbildung 232 ist das Dreieck ABC in der Nähe eines Kreises mit dem Mittelpunkt O beschrieben.
Abb. 232
Beweisen wir den Satz auf einem Kreis, der in ein Dreieck eingeschrieben ist.
Der Satz
Beweis
Wir betrachten ein beliebiges Dreieck ABC und bezeichnen mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden. Zeichnen Sie die Senkrechten OK, OL und OM vom Punkt O zu den Seiten AB, BC bzw. CA (siehe Abb. 232). Da der Punkt O von den Seiten des Dreiecks ABC äquidistant ist, ist OK \u003d OL \u003d OM. Daher verläuft ein Kreis mit dem Mittelpunkt O des Radius OK durch die Punkte K, L und M. Die Seiten des Dreiecks ABC berühren diesen Kreis an den Punkten K, L, M, da sie senkrecht zu den Radien OK, OL und OM sind. Daher ist ein Kreis mit dem Mittelpunkt O des Radius OK in das Dreieck ABC eingeschrieben. Der Satz ist bewiesen.
Bemerkung 1
Beachten Sie, dass nur ein Kreis in ein Dreieck eingeschrieben werden kann.
Angenommen, zwei Kreise können in ein Dreieck eingeschrieben werden. Dann ist der Mittelpunkt jedes Kreises von den Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt und fällt daher mit dem Schnittpunkt O der Winkelhalbierenden des Dreiecks zusammen, und der Radius ist gleich dem Abstand vom Punkt O zu den Seiten des Dreiecks. Daher fallen diese Kreise zusammen.
Bemerkung 2
Wenden wir uns Abbildung 232 zu. Wir sehen, dass das Dreieck ABC aus drei Dreiecken besteht: ABO, ВСО und CAO. Wenn wir in jedem dieser Dreiecke die Seite des Dreiecks ABC als Basis nehmen, ist der Radius r des Kreises, der in das Dreieck ABC eingeschrieben ist, die Höhe. Daher wird die Fläche S des Dreiecks ABC durch die Formel ausgedrückt
Auf diese Weise,
Bemerkung 3
Im Gegensatz zu einem Dreieck in keinem Viereck können Sie einen Kreis eingeben.
Stellen Sie sich zum Beispiel ein Rechteck vor, dessen benachbarte Seiten nicht gleich sind, dh ein Rechteck, das kein Quadrat ist. Es ist klar, dass es in einem solchen Rechteck möglich ist, einen Kreis zu "platzieren", der seine drei Seiten berührt (Abb. 233, a), aber Sie können einen Kreis nicht so "platzieren", dass er alle vier Seiten berührt, dh Sie können keinen Kreis eingeben. Wenn ein Kreis in ein Viereck eingeschrieben werden kann, haben seine Seiten die folgende bemerkenswerte Eigenschaft:
Abb. 233
Diese Eigenschaft kann einfach mithilfe von Abbildung 233, b festgelegt werden, in der gleiche Tangentsegmente durch dieselben Buchstaben gekennzeichnet sind. Tatsächlich ist AB + CD \u003d a + b + c + d, BC + AD-a + b + c + d, daher ist AB + CD \u003d BC + AD. Es stellt sich heraus, dass das Gegenteil auch wahr ist:
Umschriebener Kreis
Wenn alle Eckpunkte des Polygons auf einem Kreis liegen, wird der Kreis aufgerufen beschrieben in der Nähe des Polygons, und das Polygon ist bezeichnet in diesen Kreis. In Abbildung 234 ist das viereckige ABCD in einen Kreis mit dem Zentrum O eingeschrieben, und das viereckige AECD ist nicht in diesen Kreis eingeschrieben, da der Scheitelpunkt E nicht auf dem Kreis liegt.
Abb. 234
Das Dreieck ABC in Abbildung 235 ist in einen Kreis mit dem Mittelpunkt O eingeschrieben.
Abb. 235
Beweisen wir den Satz auf dem Kreis, der in der Nähe eines Dreiecks umschrieben ist.
Der Satz
Beweis
Betrachten Sie ein beliebiges Dreieck ABC. Bezeichnen wir mit dem Buchstaben O den Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zu ihren Seiten und zeichnen wir die Segmente OA, OV und OS (Abb. 235). Da der Punkt O gleich weit von den Eckpunkten des Dreiecks ABC entfernt ist, ist O A \u003d OB \u003d OS. Daher verläuft ein Kreis mit dem Mittelpunkt O des Radius OA durch alle drei Eckpunkte des Dreiecks und wird daher in der Nähe des Dreiecks ABC beschrieben. Der Satz ist bewiesen.
Bemerkung 1
Beachten Sie das um ein Dreieck kann nur ein Kreis beschrieben werden.
Angenommen, um ein Dreieck herum können zwei Kreise beschrieben werden. Dann ist der Mittelpunkt von jedem von ihnen gleich weit von seinen Eckpunkten entfernt und fällt daher mit dem Schnittpunkt O der mittleren Senkrechten zu den Seiten des Dreiecks zusammen, und der Radius ist der Abstand vom Punkt O zu den Eckpunkten des Dreiecks. Daher fallen diese Kreise zusammen.
Bemerkung 2
Im Gegensatz zu einem Dreieck in der Nähe eines Vierecks ist es nicht immer möglich, einen Kreis zu beschreiben.
Sie können beispielsweise keinen Kreis um eine Raute beschreiben, der kein Quadrat ist (erklären Sie, warum). Wenn ein Kreis um ein Viereck beschrieben werden kann, haben seine Winkel die folgende bemerkenswerte Eigenschaft:
Diese Eigenschaft kann leicht unter Bezugnahme auf 236 und unter Verwendung des Satzes des eingeschriebenen Winkels festgestellt werden. Tatsächlich,
woher folgt
Abb. 236
Es stellt sich heraus, dass das Gegenteil auch wahr ist:
Die Aufgaben
689. In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt die Basis 10 cm und die Seite 13 cm. Ermitteln Sie den Radius des in dieses Dreieck eingeschriebenen Kreises.
690. Finden Sie die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, wenn der Mittelpunkt des darin eingeschriebenen Kreises die zur Basis gezeichnete Höhe in einem Verhältnis von 12: 5 teilt, von oben gezählt, und die Seite 60 cm beträgt.
691. Der Tangentenpunkt eines Kreises, der in ein gleichschenkliges Dreieck eingeschrieben ist, teilt eine der Seiten in Segmente von 3 cm und 4 cm, die von der Basis aus gezählt werden. Finden Sie den Umfang des Dreiecks.
692. In das Dreieck ABC ist ein Kreis eingeschrieben, der die Seiten AB, BC und CA an den Punkten P, Q und R berührt. Finden Sie AP, PB, BQ, QC, CB, RA, wenn AB \u003d 10 cm, BC \u003d 12 cm, CA \u003d 5 cm
693. Ein Kreis mit dem Radius r ist in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben. Finden Sie den Umfang des Dreiecks, wenn: a) die Hypotenuse 26 cm beträgt, r \u003d 4 cm; b) Der Kontaktpunkt unterteilt die Hypotenuse in Segmente von 5 cm und 12 cm.
694. Finden Sie den Durchmesser eines Kreises, der in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, wenn die Hypotenuse des Dreiecks c und die Summe der Beine m ist.
695. Die Summe der beiden gegenüberliegenden Seiten des beschriebenen Vierecks beträgt 15 cm. Ermitteln Sie den Umfang dieses Vierecks.
696. Beweisen Sie, dass dieses Parallelogramm eine Raute ist, wenn ein Kreis in ein Parallelogramm eingegeben werden kann.
697. Man beweise, dass die Fläche des beschriebenen Polygons gleich der Hälfte des Produkts seines Umfangs durch den Radius des Beschriftungskreises ist.
698. Die Summe zweier gegenüberliegender Seiten des beschriebenen Vierecks beträgt 12 cm, und der Radius des darin eingeschriebenen Kreises beträgt 5 cm. Ermitteln Sie die Fläche des Vierecks.
699. Die Summe zweier gegenüberliegender Seiten des beschriebenen Vierecks beträgt 10 cm und seine Fläche 12 cm 2. Finden Sie den Radius des Kreises, der in dieses Viereck eingeschrieben ist.
700. Beweisen Sie, dass ein Kreis in jede Raute eingeschrieben werden kann.
701. Zeichnen Sie drei Dreiecke: spitzwinklig, rechteckig und stumpf. Geben Sie in jeden einen Kreis ein.
702. Das Dreieck ABC ist in den Kreis eingeschrieben, so dass AB der Durchmesser des Kreises ist. Finden Sie die Winkel eines Dreiecks, wenn: a) BC \u003d 134 °; b) AC \u003d 70 °.
703. Ein gleichschenkliges Dreieck ABC mit der Basis des Flugzeugs ist in einen Kreis eingeschrieben. Finden Sie die Winkel des Dreiecks, wenn BC \u003d 102 °.
704. Ein Kreis mit Mittelpunkt O wird in der Nähe eines rechtwinkligen Dreiecks beschrieben. a) Beweisen Sie, dass der Punkt O die Mitte der Hypotenuse ist. b) Finden Sie die Seiten des Dreiecks, wenn der Durchmesser des Kreises d ist und einer der spitzen Winkel des Dreiecks α ist.
705. Ein Kreis wird in der Nähe eines rechtwinkligen Dreiecks ABC mit einem rechten Winkel C beschrieben. Finden Sie den Radius dieses Kreises, wenn: a) AC \u003d 8 cm, BC \u003d 6 cm; b) AS \u003d 18 cm, ∠B \u003d 30 °.
706. Finden Sie die Seite eines gleichseitigen Dreiecks, wenn der Radius des umschriebenen Kreises 10 cm beträgt.
707. Der Winkel gegenüber der Basis des gleichschenkligen Dreiecks beträgt 120 °, die Seite des Dreiecks beträgt 8 cm. Ermitteln Sie den Durchmesser des Kreises, der um dieses Dreieck herum umschrieben ist.
708. Beweisen Sie, dass Sie einen Kreis beschreiben können: a) in der Nähe eines beliebigen Rechtecks; b) in der Nähe eines gleichschenkligen Trapezes.
709. Beweisen Sie, dass dieses Parallelogramm ein Rechteck ist, wenn ein Kreis in der Nähe eines Parallelogramms beschrieben werden kann.
710. Beweisen Sie, dass, wenn ein Kreis um ein Trapez beschrieben werden kann, dieses Trapez gleichschenklig ist.
711. Zeichnen Sie drei Dreiecke: stumpf, rechteckig und gleichseitig. Konstruieren Sie für jeden von ihnen einen umschriebenen Kreis.
Es gibt immer weniger Zeit vor der Prüfung, Testprüfungen werden immer häufiger durchgeführt und die Nerven der Schüler und ihrer Lehrer werden immer angespannter. Im Vorgriff auf die Eröffnung der Saison der „intensiven Vorbereitung“ auf die Abschluss- und Aufnahmeprüfungen empfehle ich Ihnen, die Probleme C4 aus dem vom Moskauer Bildungsinstitut entwickelten Handbuch zur Vorbereitung der Schüler auf die Prüfung in Mathematik zu üben. Die Aufgaben werden mit Lösungen präsentiert, es wäre jedoch nützlich, sie zuerst selbst zu lösen.
Option 3 Dreieck Abc eingeschrieben in einen Kreis mit Radius 12. Es ist bekannt, dass Ab \u003d 6 und BC \u003d 4. Finden AC.
Lösung:
Aus dem Sinussatz für ein Dreieck Abc wir haben:
Aus der grundlegenden trigonometrischen Identität ergibt sich Folgendes:
Dann nach dem Kosinussatz für ein Dreieck Abc Wir haben für beide Fälle:
Die Antwort lautet: √35 ± √15.
Option 5 Im Dreieck Abchöhen gehalten BMund CN, O.- der Mittelpunkt des Beschriftungskreises. Es ist bekannt, dass BC \u003d24 , Mn \u003d12. Finden Sie den Radius des Kreises, der um das Dreieck herum umschrieben ist Boc.
Lösung:
Zwei mögliche Fälle: ∠A - scharf und ∠A - dumm
Zwei Fälle sind möglich:
1) Sei ∠ A. - scharf (linkes Bild). Lassen Sie uns diese Dreiecke beweisen Amn und Abc sind ähnlich. In der Tat die Punkte B., N., M. und C. auf einem Kreis mit einem Durchmesser liegen BCdeshalb ∠ NMB = ∠NZBaus rechtwinkligen Dreiecken Bam und Bnc:
∠Amn = 90 0 — ∠NMB∠B \u003d90 0 —
∠NZB, was offensichtlich impliziert, dass ∠ Amn=
∠B.außerdem ∠ A.- beiden Dreiecken gemeinsam, daher sind sie in zwei Winkeln ähnlich.
Aus einem rechtwinkligen Dreieck Amb: cos∠ A. = AM/Ab Anc: cos∠ A. = AN/ACDie gleichen Beziehungen sind offensichtlich die Seitenverhältnisse in ähnlichen Dreiecken. Amn und Abc, was impliziert, dass cos∠ A \u003d NM/BC \u003d1/2, was ∠ bedeutet A \u003d60 0, Da die Summe der Winkel im Dreieck 180 0 beträgt, ∠ B +∠C \u003d
120 0. Der Mittelpunkt des im Dreieck eingeschriebenen Kreises liegt, wie Sie wissen, am Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden. Daraus schließen wir, dass:
∠OBC +∠O. CB \u003d
1/2 · (∠ B +∠C) \u003d
60 0, was ∠ bedeutet BOC \u003d120 0. Nach dem Sinussatz für ein Dreieck Boc wir haben: BC/ sin∠ Boc =
2R.wo R. R. = 8√3.
2) Nun sei ∠ A. - dumm (rechte Abbildung). Aus einem rechtwinkligen Dreieck Abm wir finden das cos∠ Bam = AM/Abaus einem rechtwinkligen Dreieck CAN wir finden das cos∠ CAN \u003d AN/AC. ∠BAM \u003d∠C. AN , da sie vertikal sind, bedeutet es AM/Ab = AN/AC \u003d cos∠ Bam \u003d cos∠ Bac da die letzten beiden Ecken benachbart sind. Mittlere Dreiecke Abc und Anm ähnlich im Winkel und zwei proportionalen Seiten. Der Ähnlichkeitskoeffizient ist cos∠ BAC \u003d MN /BC \u003d -1/2 und der Winkel ∠ BAC \u003d 120 0 .
Weitere Überlegungen sind ähnlich. Da die Summe der Winkel im Dreieck 180 0 beträgt, ist ∠ B +∠C \u003d
60 0. Der Mittelpunkt des im Dreieck eingeschriebenen Kreises liegt daher am Schnittpunkt seiner Winkelhalbierenden:
∠OBC +∠O. CB \u003d
1/2 · (∠ B +∠C) \u003d
30 0, was ∠ bedeutet BOC \u003d150 0. Nach dem Sinussatz für ein Dreieck Boc wir haben: BC/ sin∠ Boc =
2R.wo R.- der gewünschte Radius des in der Nähe des Dreiecks beschriebenen Kreises. Von hier aus: R. = 24.
Die Antwort lautet: 8√3 oder 24.
Option 8. Der Umfang eines gleichschenkligen Trapezes beträgt 52. Es ist bekannt, dass ein Kreis in dieses Trapez eingegeben werden kann, und die Seite wird durch einen Berührungspunkt in einem Verhältnis von 4: 9 geteilt. Eine gerade Linie, die durch die Mitte des Kreises verläuft und die Oberseite des Trapezes schneidet das Dreieck vom Trapez ab. Finden Sie das Verhältnis der Fläche dieses Dreiecks zur Fläche des Trapezes.
Lösung:
Abbildung zur Lösung des C4-Trapezproblems
Nach dem Satz über Tangentensegmente KB = BP = PC = Cq = 4x, QD = DL = LA = AK = 9xdann ist der Umfang des Trapezes 4 · (9 x + 4x) \u003d 52, woher x \u003d 1. Von hier aus berechnen wir die Seiten Ab = CD \u003d 13 und Basen BC = 8, AD \u003d 18. Dann Ah = (AD — BC) / 2 \u003d 5. Aus einem rechtwinkligen Dreieck Bha Nach dem Satz von Pythagoras finden wir die Höhe des Trapezes Bh \u003d 12, sin∠ A. \u003d sin∠ D. \u003d 12/13. Die Fläche des Trapezes ist dann gleich S. = (BC + AD) · Bh/2 = 156.
Abhängig davon, welche Zeile in der Problemstellung angegeben ist, sind zwei Fälle möglich:
1) Lassen Sie diese Linie durch einen Scheitelpunkt verlaufen, der eine kleinere Basis des Trapezes enthält (in der Abbildung die Linie BM) Der Mittelpunkt des in die Ecke eingeschriebenen Kreises liegt auf seiner Winkelhalbierenden, d.h. Abm = ∠MBC, ∠MBC = ∠Amb (quer liegend mit parallelen Linien BC, AD und Sekante BM), dann ∠ Abm = ∠Amb und Dreieck Abm - gleichschenklig AM = Ab \u003d 13. Dann die Fläche des Dreiecks Abm \u003d 0,5 Ab · AM Sin∠ A. \u003d 0,5 · 13 · 13 · 12/13 \u003d 78 und das gewünschte Verhältnis ist 78/156 \u003d 1/2.
2) Lassen Sie nun die Linie, auf die in der Bedingung Bezug genommen wird, durch einen Scheitelpunkt verlaufen, der eine kleinere Basis des Trapezes enthält (in der Abbildung die Linie AN) Führen Sie eine zusätzliche Konstruktion durch: Erweitern Sie die Basis BC und direkt AN bis zur Kreuzung am Punkt Y.. Wir beweisen in ähnlicher Weise, dass das Dreieck Aby - gleichschenklig Ab = VON = 13, CY = VON — BC \u003d 5. Dreiecke CNY und UND ähnlich in zwei Winkeln (∠ UND = ∠CNY wie vertikal, ∠ CYA = ∠Yad kreuzweise mit parallelen Linien liegen BC, AD und Sekante Ja) dann DN : NC = AD : CY \u003d 18: 5 dann DN = 18/23 CD = 18/23 Ab \u003d 234/23. Dann die Fläche des Dreiecks Adn \u003d 0,5 AD · DN Sin∠ D. \u003d 0,5 · 18 · 234/23 · 12/13 \u003d 1944/23 und das gewünschte Verhältnis ist 162/299.
Die Antwort lautet: 1/2 oder 162/299.
Sergej Valerevich
Abschnitte: Mathe
Bei den letzten Lektionen in der Geometrie der Zeit gibt es praktisch keine Wahl, um Probleme während des gesamten Kurses zu lösen. Und KIMs der USE umfassen traditionell Aufgaben, deren Lösung Kenntnisse der Planimetrie zum Thema „Beschriftete und umschriebene Kreise“ erfordert. Daher wird das vorgeschlagene Material nicht nur dazu beitragen, dieses Thema in Erinnerung zu rufen, sondern auch zuvor erworbenes Wissen zur Lösung planimetrischer Probleme in eingeschriebenen und beschriebenen Kreisen zu systematisieren und sich auf die Lösung ähnlicher Probleme in der NUTZUNG vorzubereiten. Es wird davon ausgegangen, dass der Schüler mindestens auf dem Mindestniveau den gesamten Kurs der Schulgeometrie (Planimetrie) besitzt.
Der erste und wichtigste Schritt zur Lösung eines geometrischen Problems ist das Erstellen einer Zeichnung. Sie können nicht lernen, wie Sie ausreichend umfangreiche Probleme lösen können, ohne starke Fähigkeiten für das Erstellen „guter“ Zeichnungen zu entwickeln, ohne Gewohnheiten (sogar Reflexe) zu entwickeln. Beginnen Sie erst, das Problem zu lösen, wenn Sie eine „große und schöne“ Zeichnung erstellt haben. Die algebraische Methode mit der Kompilierung des nachfolgenden Algorithmus wird als Hauptmethode zur Lösung geometrischer Probleme weiterentwickelt. Wenn Sie sich auf die algebraische Methode konzentrieren, müssen Sie vor übermäßiger Begeisterung für Algebra und Zählen warnen. Vergessen Sie nicht, dass es sich immer noch um geometrische Probleme handelt. Wenn Sie also an einem Problem arbeiten, sollten Sie nach geometrischen Merkmalen suchen, lernen, Geometrie zu sehen und zu sehen. Nachdem wir zwei Begriffe hervorgehoben haben, die die Fähigkeit zur Lösung geometrischer Probleme bestimmen - Zeichnen plus Methode -, fügen wir hier den dritten hinzu - den Besitz bestimmter Theoreme und unterstützender Probleme, bekannte geometrische Tatsachen.
I. Notwendige Theoreme und Unterstützungsprobleme für einen Kreis, der in ein Dreieck und ein Viereck eingeschrieben ist, und einen Kreis, der in der Nähe eines Dreiecks und eines Vierecks beschrieben wird. ( Anhang 1 )
II. Lösen von Problemen anhand von vorgefertigten Zeichnungen (es ist zweckmäßig, ein Codoskop zu verwenden).
Gleichzeitig erklären die Schüler mündlich den Verlauf der Problemlösung, formulieren Theoreme und unterstützen Aufgaben, die zur Lösung von Problemen anhand von vorgefertigten Zeichnungen verwendet werden.
Fertige Zeichnung |
Gegeben |
Lösung |
| AB \u003d BC | Die Tangentenliniensegmente sind gleich: BM \u003d BK \u003d 5 AB \u003d BC \u003d 12 MC \u003d CN \u003d 7, AC \u003d 14, AK \u003d AN \u003d 7, PABC \u003d 12 + 12 + 14 \u003d 38 Antwort: P ABC \u003d 38 |
|
| AB \u003d 6, |
Die Tangentenliniensegmente sind gleich: AB \u003d BC 1)  , 2) AB \u003d BC, weil VO - Halbierende 3) ABC - gleichseitig, PABC \u003d 6 3 \u003d 18 Antwort: P ABC \u003d 18 |
|
|
AD ist der Durchmesser des Kreises, AB \u003d 3, VD \u003d 4 1. Beweisen Sie: NM AD 2. R \u003d? |
1. Seit AD ist der Durchmesser, dann DB AN und AC DN, d.h. AC und DB sind die Höhen von AND, dann ist NK die Höhe, weil Sie schneiden sich an einem Punkt. Also NM AD. 2. AD \u003d \u003d 5, R \u003d Antwort: R \u003d 2,5 |
| R \u003d? | AC - Kreisdurchmesser und Hypotenuse des rechteckigen ABC, R \u003d 1,5 Antwort: R \u003d 1,5 |
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| AB \u003d 24, Ok \u003d 5 |
O ist der Schnittpunkt der mittleren Senkrechten zu den Seiten. BKO - rechteckig, VK \u003d AK \u003d 12, KO \u003d 5, BO \u003d \u003d 13 \u003d R. Antwort: R \u003d 13 |
III. Problemlösung.
1. Ermitteln Sie den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn der Radius des Beschriftungskreises 2 cm und die Hypotenuse 13 cm beträgt.
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Sei AM \u003d AN \u003d x, dann AC \u003d x + 2, CB \u003d 2 + 13 - x \u003d 15 - x (x + 2) 2 + (15 - x) 2 \u003d 169 x 2 - 13x + 30 \u003d 0 x 1 \u003d 10, x 2 \u003d 3; AC \u003d 6, CB \u003d 12; P \u003d 30 cm Antwort: P \u003d 30 cm. |
2. Der Radius eines 3 cm großen Kreises, der in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, O ist der Mittelpunkt des eingeschriebenen Kreises ,,. Finden Sie den Bereich des Dreiecks.
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AO - Halbierende, AKO - rechteckig, sin \u003d sin 30 o \u003d  , AO \u003d 6, AN \u003d AK \u003d \u003d 3, AC \u003d 3 + 3, tg 60 ungefähr \u003d, CB \u003d  S ABC \u003d  = Antwort: S \u003d cm2. |
3. Der Umfang des Dreiecks 84. Der Tangentenpunkt des Beschriftungskreises teilt eine der Seiten in Segmente 12 und 14. Ermitteln Sie den Radius des Beschriftungskreises und die Fläche des ABC, wenn OB \u003d 18, O ist der Mittelpunkt des Beschriftungskreises.
4. In einem gleichschenkligen Dreieck beträgt der Abstand zwischen dem Mittelpunkt des Beschriftungskreises und der Oberseite des ungleichen Winkels 5 cm. Die große Seite beträgt 10 cm. Ermitteln Sie den Radius des Beschriftungskreises.
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OB \u003d 5,  ,OM \u003d OB . =  BH \u003d 5 + r, AH \u003d 2r, AHB - rechteckig,  4r 2 \u003d 100 - (5 + r) 2, r 2 + 2r - 15 \u003d 0, r 1 \u003d - 5, r 2 \u003d 3 Antwort: r \u003d 3 cm. |
5. Die Basis eines gleichschenkligen Dreiecks, das in einen Kreis mit einem Radius von 5 cm eingeschrieben ist, beträgt 6 cm. Ermitteln Sie den Umfang des Dreiecks.
| AHO - rechteckig: OH \u003d 4, BH \u003d 4 + 5 \u003d 9, AB \u003d BC \u003d \u003d P \u003d Antwort: P \u003d siehe |
6. Der Umfang des Dreiecks ABC beträgt 72 cm. AB \u003d BC, AB: AC \u003d 13:10. Finden Sie den Radius des umschriebenen Dreiecks.
AB + BC + AC \u003d 72,  ,  AC \u003d 20, AB \u003d BC \u003d \u003d 26, BH \u003d \u003d 24 BN \u003d NA \u003d 13,  , R \u003d  Antwort: R \u003d siehe |
7. Die Basis des gleichschenkligen Dreiecks mit stumpfen Winkeln beträgt 24 cm, und der Radius des umschriebenen Kreises beträgt 13 cm. Suchen Sie die Seite des Dreiecks.
8. Ein Kreis, dessen Durchmesser der Wechselstrom des Dreiecks ABC ist, verläuft durch den Schnittpunkt der Mediane dieses Dreiecks. Finden Sie das Verhältnis der Länge der Seite des Lautsprechers zur Länge des dazu gezeichneten Medians.
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AO \u003d OC \u003d R \u003d OM, BM \u003d 2R, BO \u003d 3R, Antwort:. |
9. Finden Sie den Bereich des gleichschenkligen Trapezes, der um einen Kreis mit einem Radius von 4 beschrieben ist, wenn bekannt ist, dass die Seite des Trapezes 10 ist.
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S ABCD \u003d Weil Beschriftungskreis, dann AB + CD \u003d AD + BC \u003d 20 h \u003d 2r \u003d 8,  S ABCD \u003d 10 8 \u003d 80 Antwort: 80. |
10. Dan Rhombus ABCD. Der um das Dreieck ABD umschriebene Kreis schneidet die große Diagonale der Raute AC am Punkt E. Finden Sie CE, wenn AB \u003d, BD \u003d 16.
IV. Aufgaben für eine unabhängige Lösung.
1. Der Radius eines Kreises, der in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, beträgt 2 cm, und der Radius des umschriebenen Kreises beträgt 5 cm. Suchen Sie ein größeres Bein des Dreiecks.
Antwort: (6; 8).
2. Ein Kreis mit einem O-Zentrum wird in der Nähe eines gleichschenkligen Dreiecks mit einer Basis AC und einem Winkel an der Basis 75 ° beschrieben. Ermitteln Sie seinen Radius, wenn die Fläche des BOC-Dreiecks 16 beträgt.
Antwort: (8).
3. Finden Sie den Radius des Kreises, der in das spitzwinklige Dreieck ABC eingeschrieben ist, wenn die Höhe BH 12 beträgt und bekannt ist, dass.
Antwort: (4).
4. Einer der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks ist 15, und die Projektion des zweiten Schenkels auf die Hypotenuse ist 16. Ermitteln Sie den Durchmesser des Kreises, der um dieses Dreieck herum umschrieben ist.
Antwort: (25).
5. In das gleichschenklige Dreieck ABC ist ein Kreis eingeschrieben. Parallel zu seiner Basis wurde der AS tangential zu einem Kreis gezeichnet, der die Seiten an den Punkten D und E schneidet. Ermitteln Sie den Radius des Kreises, wenn DE \u003d 8, AC \u003d 18.
Antwort: (6).
6. Ein Kreis wird in der Nähe des Dreiecks ABC beschrieben. Der Median des Dreiecks AM wird bis zum Schnittpunkt mit dem Kreis am Punkt K erweitert. Finden Sie die AC-Seite, wenn AM \u003d 18, MK \u003d 8, BK \u003d 10.
Antwort: (15).
7. Der in ein gleichschenkliges Dreieck eingeschriebene Kreis berührt seine Seiten an den Punkten K und A. Punkt K unterteilt die Seite dieses Dreiecks in Segmente 15 und 10, wobei von der Basis aus gezählt wird. Finden Sie die Länge des Segments KA.
Antwort: (12).
8. Der Winkel B des Dreiecks ABC beträgt 60 °, der Radius des in der Nähe von ABC beschriebenen Kreises beträgt 2. Ermitteln Sie den Radius des Kreises, der durch die Punkte A und C verläuft, und den Mittelpunkt des in ABC eingeschriebenen Kreises.
Antwort: (2).
9. Die Seiten des Dreiecks sind 5, 6 und 7. Ermitteln Sie das Verhältnis der Segmente, in die die Winkelhalbierende des größeren Winkels dieses Dreiecks durch den Mittelpunkt des im Dreieck eingeschriebenen Kreises geteilt wird.
Antwort: (11: 7).
10. Der Radius eines Kreises, der in ein rechtwinkliges Dreieck eingeschrieben ist, entspricht der halben Differenz seiner Beine. Finden Sie das Verhältnis des größeren zum kleineren Bein.
,. Finden Sie die Hypotenuse und den Radius des Kreises, der um das Dreieck herum umschrieben ist.
