Formel für die Beugungsgitterperiode. Beugungsgitter

Bei der Analyse der Wirkung von Zonenplatten haben wir herausgefunden, dass periodische Strukturen bei der Beugung am effektivsten funktionieren. Und das ist nicht überraschend. Beugung ist schließlich ein Welleneffekt, und Wellen selbst sind eine periodische Struktur. Daher ist zu erwarten, dass ein Satz von äquidistanten Schlitzen in einigen Fällen ein effektiveres Beugungsmuster ergibt, das für praktische Anwendungen nützlich ist.

Betrachten wir in diesem Zusammenhang ein genaues optisches Gerät - ein Beugungsgitter. Das einfachste beugungsgitter genannt eine Menge einer großen Anzahl von schmalen, parallelen, identischen, gleich beabstandeten Schlitzen. Dieses Gitter arbeitet im Durchlicht. Manchmal wird auch ein Beugungsgitter in reflektiertem Licht verwendet, das durch Anbringen einer großen Anzahl schmaler, paralleler, gleicher und gleich beabstandeter Hindernisse auf dem Spiegel hergestellt wird. Oft wird das Gitter hergestellt, indem undurchsichtige Striche auf transparentes Glas oder Spiegel aufgebracht werden. Daher ist es nicht durch die Anzahl der Schlitze gekennzeichnet, sondern durch die Anzahl der Striche, die die Schlitze trennen. Das erste beugende Beugungsgitter wurde im 17. Jahrhundert hergestellt. Der schottische Wissenschaftler James Gregory, der dafür Vogelfedern verwendete. In modernen Gittern erreicht die Anzahl der Striche eine Million an der Oberfläche bis zu mehreren zehn Zentimetern.

Die Beschreibung der Beugung durch ein Beugungsgitter erfolgt ähnlich wie die Beschreibung der Beugung in parallelen Strahlen an einem Spalt (Abb. 27.4). Die Summe der Spaltbreite undund die Lücke zwischen den Schlitzen (Strich) B. namens gitterperiode ".

Lassen Sie einen Strahl paralleler Strahlen senkrecht zu seiner Ebene auf das Gitter fallen. Zahl: 27.4 nach dem Huygens-Fresnel-Prinzip ergeben sich sekundäre Störwellen. Wählen wir eine bestimmte Durchgangsrichtung dieser Sekundärwellen, die durch den Winkel a bestimmt wird. Wenn der Unterschied im Wellenweg zwischen den Zentren benachbarter Schlitze gleich einer ganzzahligen Anzahl von Wellen ist, findet ihre gegenseitige Verstärkung statt:

Offensichtlich besteht der gleiche Pfadunterschied für die linken Kanten der Schlitze und für die rechten Kanten sowie für alle anderen Markierungspunkte, die sich in einem Abstand befinden d. Darüber hinaus, wenn die Schlitze nicht benachbart sind und der Abstand zwischen ihren Zentren nicht ist d, und 2d, 3d, id,..., dann ist aus geometrischen Überlegungen ersichtlich, dass die Wegdifferenz um eine ganzzahlige Anzahl von Malen zunimmt und gleich einer ganzzahligen Anzahl von Wellen bleibt. Dies bedeutet eine mehrfache gegenseitige Verstärkung der Wellen aus allen Schlitzen des Gitters und führt dazu, dass auf dem Bildschirm helle Maxima, genannt, angezeigt werden die wichtigsten. Die Position der Hauptmaxima gemäß der Formel (27.21) ist angegeben die Grundformel des Beugungsgitters:

wo t \u003d 0, 1, 2, 3, ... ist die Reihenfolge der Hauptmaxima. Sie liegen symmetrisch um das zentrale Maximum, für das t = 0.

Zusätzlich zu den Hauptmaxima gibt es zusätzliche Maxima, wenn sich die Strahlen einiger Schlitze gegenseitig verstärken und von anderen abschrecken. Diese zusätzlichen Höhen sind normalerweise schwach und nicht von Interesse.

Wir wenden uns nun der Bestimmung der Position der Minima zu. Offensichtlich geht das Licht in den Richtungen, in denen es nicht von einem Schlitz ausgeht, auch von mehreren nicht dorthin. Daher bestimmt Bedingung (27.16) die Position die Hauptminima des Beugungsgitters:

Wenn außerdem die Position des Hauptminimums auf die Position des Hauptmaximums fällt, verschwindet das Hauptmaximum.

Zusätzlich zu diesen Minima erscheinen jedoch zusätzliche Minima aufgrund des Eintreffens von Licht aus verschiedenen Schlitzen in der Gegenphase. Lassen Sie uns eine vereinfachte Einschätzung ihrer Position vornehmen und dabei die Rolle von Schlaganfällen vernachlässigen. In dieser Näherung wird das gesamte Gitter durch einen einzelnen Schlitz dargestellt, dessen Breite beträgt Nd, Wo N - die Anzahl der Gitterschlitze. In Analogie zur Formel (27.23) haben wir

Es ist sofort klar, dass diese Schätzung die Positionen der strenger berechneten (unter Berücksichtigung der Rolle der Striche) Hauptmaxima (27,22) enthält. Offensichtlich müssen diese falschen Positionen ausgeschlossen werden. Danach wird eine ausreichend genaue Formel erhalten, um die Position einer großen Menge zu bestimmen zusätzliche Minima des Beugungsgitters:

Die Analyse der Formel zeigt, dass zwischen jeweils zwei Hauptmaxima liegt N - 1 zusätzliches Minimum. Je mehr Lücken vorhanden sind, desto mehr Minima zwischen den Hauptmaxima und desto schärfer und heller sind die Hauptmaxima im Verhältnis zum dunklen Hintergrund zwischen den Maxima. Wenn ein Beugungsgitter mit zwei Lichtstrahlen mit einer ähnlichen Wellenlänge beleuchtet wird, ermöglicht ein Gitter mit einer großen Anzahl von Schlitzen, diese Wellenlängen im Beugungsmuster klar zu trennen und zu bestimmen. Und wenn Sie das Gitter mit weißem Licht beleuchten, wird jedes Hauptmaximum mit Ausnahme des zentralen in ein Spektrum zerlegt, das als Gitter bezeichnet wird beugungsspektrum.

Die Qualität eines Beugungsgitters als optisches Gerät wird durch seine Winkeldispersion und Auflösung bestimmt. Winkeldispersion D. charakterisiert die Winkelbreite des Spektrums und zeigt, welcher Winkelbereich auf einen Einheitswellenlängenbereich fällt:

Nehmen wir das Differential der Beziehung (27.22), so erhalten wir

Wenn mit einem Beugungsgitter gearbeitet wird, werden normalerweise kleine Winkel verwendet, so dass cos a ~ 1. Daher erhalten wir schließlich, dass die Winkeldispersion (und der Winkelabstand zwischen den Zentren enger Spektrallinien) umso größer ist, je größer das Spektrum ist Ordnung und je kleiner die Gitterperiode:

Die Fähigkeit, enge Spektrallinien zu unterscheiden, hängt nicht nur vom Abstand zwischen den Linienmitten ab, sondern auch von der Linienbreite. Daher wird in der Optik eine weitere Eigenschaft eingeführt - die Auflösung eines optischen Geräts, die zeigt, wie gut das Gerät kleine Details eines Objekts unterscheidet. Für ein Beugungsgitter unter auflösung Verstehen Sie das Verhältnis der Wellenlänge zur Differenz der engen Wellenlängen, das das Gitter noch unterscheiden kann:

Zahl: 27.5

Normalerweise wird die Leitungsunterscheidungsschwelle durch das Rayleigh-Kriterium bestimmt: das optische Gerät löst zwei benachbarte Spektrallinien auf, wenn das Maximum von einem von ihnen in das nächste Minimum der anderen Linie fällt (Abb. 27.5). In diesem Fall gibt es in der Mitte zwischen den Intensitäten der Linienmittelpunkte / noch ein Minimum, das normalerweise durch das Auge oder das Gerät unterscheidbar ist, mit einer Intensität

Die Position des Hauptmaximums der ersten Welle ist durch Gleichung (27.22) gegeben:

Position des nächsten zusätzlichen Minimums der nahen zweiten Welle X 2 unter Berücksichtigung der Gleichungen (27.22) und (27.25) wird durch die Summe bestimmt

An der Auflösungsschwelle fallen diese Positionen (und Beobachtungswinkel) zusammen:

Je größer die Anzahl der Rillen und je größer die Ordnung des Spektrums ist, desto größer ist die Auflösung des Gitters.

Beugung und Interferenz sind einige der bekannten Effekte, die die Wellennatur des Lichts bestätigen. Ihr Hauptanwendungsgebiet ist die Spektroskopie, bei der Beugungsgitter zur Analyse der spektralen Zusammensetzung elektromagnetischer Strahlung eingesetzt werden. Die Formel, die die Position der von diesem Gitter erzeugten Hauptmaxima beschreibt, wird in diesem Artikel erläutert.

Was sind die Phänomene der Beugung und Interferenz?

Bevor man die Ableitung der Formel für ein Beugungsgitter betrachtet, sollte man sich mit den Phänomenen vertraut machen, aufgrund derer dieses Gitter nützlich ist, dh mit Beugung und Interferenz.

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Beugung ist der Prozess der Änderung der Bewegung einer Wellenfront, wenn sie auf ihrem Weg auf ein undurchsichtiges Hindernis trifft, dessen Abmessungen mit der Wellenlänge vergleichbar sind. Wenn beispielsweise Sonnenlicht durch ein kleines Loch fällt, können Sie an der Wand keinen kleinen Lichtpunkt beobachten (was hätte passieren sollen, wenn sich das Licht in einer geraden Linie ausbreitet), sondern einen Lichtfleck von einiger Größe. Diese Tatsache zeugt von der Wellennatur des Lichts.

Interferenz ist ein weiteres Phänomen, das nur bei Wellen auftritt. Sein Wesen liegt in der Überlagerung von Wellen. Wenn die Wellenschwingungen von mehreren Quellen konsistent sind (kohärent sind), kann ein stabiles Muster von abwechselnden hellen und dunklen Bereichen auf dem Bildschirm beobachtet werden. Die Minima in einem solchen Bild werden durch das Eintreffen von Wellen an einem bestimmten Punkt gegenphasig (pi und -pi) erklärt, und die Maxima sind das Ergebnis von Wellen, die in einer Phase (pi und pi) in den betrachteten Punkt eintreten.

Beide beschriebenen Phänomene wurden erstmals vom Engländer Thomas Young erklärt, als er 1801 die Beugung von monochromatischem Licht durch zwei dünne Schlitze untersuchte.

Huygens-Fresnel-Prinzip und Approximation von Fern- und Nahfeldern

Die mathematische Beschreibung der Phänomene Beugung und Interferenz ist keine triviale Aufgabe. Um die genaue Lösung zu finden, müssen komplexe Berechnungen unter Verwendung der Maxwellschen Theorie elektromagnetischer Wellen durchgeführt werden. In den 20er Jahren des 19. Jahrhunderts zeigte der Franzose Augustin Fresnel jedoch, dass man diese Phänomene mit Huygens 'Vorstellungen über sekundäre Wellenquellen erfolgreich beschreiben kann. Diese Idee führte zur Formulierung des Huygens-Fresnel-Prinzips, das derzeit der Ableitung aller Formeln zur Beugung durch Hindernisse beliebiger Form zugrunde liegt.

Trotzdem ist es selbst mit Hilfe des Huygens-Fresnel-Prinzips nicht möglich, das Beugungsproblem in allgemeiner Form zu lösen, weshalb sie bei der Ableitung der Formeln auf einige Annäherungen zurückgreifen. Die wichtigste ist eine ebene Wellenfront. Es ist diese Wellenform, die auf das Hindernis fallen muss, um eine Reihe mathematischer Berechnungen zu vereinfachen.

Die nächste Annäherung ist die Position des Bildschirms, an der das Beugungsmuster relativ zum Hindernis projiziert wird. Diese Position wird durch die Fresnel-Nummer beschrieben. Es wird wie folgt berechnet:

Wo a die geometrischen Abmessungen des Hindernisses ist (zum Beispiel ein Schlitz oder ein rundes Loch), ist λ die Wellenlänge, D ist der Abstand zwischen dem Bildschirm und dem Hindernis. Wenn für ein bestimmtes Experiment F.

Der Unterschied zwischen Fraunhofer- und Fresnel-Beugung liegt in den unterschiedlichen Bedingungen für das Interferenzphänomen in kleinen und großen Abständen vom Hindernis.

Die Ableitung der Formel für die Hauptmaxima des Beugungsgitters, die später in diesem Artikel vorgestellt wird, beinhaltet die Berücksichtigung der Fraunhofer-Beugung.

Beugungsgitter und seine Arten

Dieses Gitter ist eine mehrere Zentimeter große Platte aus Glas oder transparentem Kunststoff, auf die undurchsichtige Striche gleicher Dicke aufgebracht werden. Die Striche befinden sich in einem konstanten Abstand d voneinander. Dieser Abstand wird als Gitterperiode bezeichnet. Zwei weitere wichtige Merkmale der Vorrichtung sind die Gitterkonstante a und die Anzahl der transparenten Schlitze N. Der Wert von a bestimmt die Anzahl der Schlitze pro mm Länge, ist also umgekehrt proportional zur Periode d.

Es gibt zwei Arten von Beugungsgittern:

• Transparent wie oben beschrieben. Das Beugungsmuster eines solchen Gitters entsteht durch den Durchgang einer Wellenfront durch dieses Gitter.
• Reflektierend. Es wird durch Aufbringen kleiner Rillen auf eine glatte Oberfläche hergestellt. Beugung und Interferenz von einer solchen Platte treten aufgrund der Reflexion von Licht von den Eckpunkten jeder Rille auf.

Unabhängig von der Art des Gitters besteht die Idee seines Einflusses auf die Wellenfront darin, eine periodische Störung darin zu erzeugen. Dies führt zur Bildung einer großen Anzahl kohärenter Quellen, deren Interferenz ein Beugungsmuster auf dem Bildschirm ist.

Grundformel des Beugungsgitters

Bei der Ableitung dieser Formel wird die Abhängigkeit der Strahlungsintensität vom Einfallswinkel auf den Bildschirm berücksichtigt. In der Fernfeldnäherung wird die folgende Formel für die Intensität I (θ) erhalten:

I (θ) \u003d I0 * (sin (β) / β) 2 * 2, wobei

α \u003d pi * d / λ * (sin (θ) - sin (θ0));

β \u003d pi * a / λ * (sin (θ) - sin (θ0)).

In der Formel wird die Spaltbreite des Beugungsgitters mit dem Symbol a bezeichnet. Daher ist der Faktor in Klammern für die Einzelspaltbeugung verantwortlich. Der d-Wert ist die Periode des Beugungsgitters. Die Formel zeigt, dass der Faktor in eckigen Klammern, in dem dieser Zeitraum erscheint, die Interferenz durch die Anordnung der Gitterschlitze beschreibt.

Mit der obigen Formel können Sie den Intensitätswert für jeden Einfallswinkel des Lichts berechnen.

Wenn wir den Wert der Intensitätsmaxima I (θ) finden, können wir zu dem Schluss kommen, dass sie unter der Bedingung auftreten, dass α \u003d m * pi ist, wobei m eine beliebige ganze Zahl ist. Für die maximale Bedingung erhalten wir:

m * pi \u003d pi * d / λ * (sin (θm) - sin (θ0)) \u003d\u003e

sin (& thgr; m) - sin (& thgr; 0) \u003d m * & lgr; / d.

Der resultierende Ausdruck wird als Formel für die Maxima des Beugungsgitters bezeichnet. Die m-Zahlen sind die Beugungsordnung.

Andere Möglichkeiten, die Grundformel für ein Gitter zu schreiben

Beachten Sie, dass die im vorherigen Absatz angegebene Formel den Begriff sin (θ0) enthält. Hier spiegelt der Winkel & thgr; 0 die Einfallsrichtung der Vorderseite der Lichtwelle relativ zur Ebene des Gitters wider. Wenn die Front parallel zu dieser Ebene fällt, ist θ0 \u003d 0o. Dann erhalten wir den Ausdruck für die Maxima:

sin (θm) \u003d m * λ / d.

Da die Gitterkonstante a (nicht zu verwechseln mit der Spaltbreite) umgekehrt proportional zu d ist, wird die obige Formel in Bezug auf die Beugungsgitterkonstante wie folgt umgeschrieben:

sin (θm) \u003d m * λ * a.

Um Fehler beim Ersetzen bestimmter Zahlen λ, a und d in diesen Formeln zu vermeiden, sollten Sie immer die entsprechenden SI-Einheiten verwenden.

Das Konzept der Winkeldispersion eines Gitters

Wir werden diesen Wert mit dem Buchstaben D bezeichnen. Gemäß der mathematischen Definition wird er wie folgt geschrieben:

Die physikalische Bedeutung der Winkeldispersion D besteht darin, dass sie zeigt, um welchen Winkel dθm sich das Maximum für die Beugungsordnung m verschiebt, wenn die einfallende Wellenlänge um dλ geändert wird.

Wenn wir diesen Ausdruck auf die Gittergleichung anwenden, erhalten wir die Formel:

D \u003d m / (d · cos (& thgr; m)).

Die Winkeldispersion des Beugungsgitters wird durch die obige Formel bestimmt. Es ist ersichtlich, dass der Wert von D von der Ordnung m und von der Periode d abhängt.

Je größer die Dispersion D ist, desto höher ist die Auflösung dieses Gitters.

Gitterauflösung

Unter Auflösung wird eine physikalische Größe verstanden, die zeigt, um welchen Minimalwert sich zwei Wellenlängen unterscheiden können, so dass ihre Maxima im Beugungsmuster getrennt erscheinen.

Die Auflösung wird durch das Rayleigh-Kriterium bestimmt. Es heißt: Zwei Maxima können im Beugungsmuster getrennt werden, wenn sich herausstellt, dass der Abstand zwischen ihnen größer ist als die halbe Breite von jedem von ihnen. Die Winkelhalbwertsbreite des Maximums für das Gitter wird durch die Formel bestimmt:

Δθ1 / 2 \u003d λ / (N · d · cos (θm)).

Die Gitterauflösung gemäß dem Rayleigh-Kriterium ist:

Δθm\u003e Δθ1 / 2 oder D * Δλ\u003e Δθ1 / 2.

Wenn wir die Werte von D und Δθ1 / 2 einsetzen, erhalten wir:

Δλ * m / (d * cos (θm))\u003e λ / (N * d * cos (θm) \u003d\u003e

Δλ\u003e λ / (m · N).

Dies ist die Formel für die Auflösung des Beugungsgitters. Je größer die Anzahl der Rillen N auf der Platte ist und je höher die Beugungsordnung ist, desto größer ist die Auflösung für eine gegebene Wellenlänge λ.

Beugungsgitter in der Spektroskopie

Schreiben wir die Grundgleichung der Gittermaxima neu:

sin (θm) \u003d m * λ / d.

Hier ist zu sehen, dass je länger die Wellenlänge mit den Rillen auf die Platte fällt, desto höher die Winkel auf dem Bildschirm erscheinen. Mit anderen Worten, wenn ein nicht monochromatisches Licht (zum Beispiel Weiß) durch die Platte geleitet wird, kann das Auftreten von Farbmaxima auf dem Bildschirm gesehen werden. Ausgehend vom zentralen Weißmaximum (Beugung nullter Ordnung) erscheinen weitere Maxima für kürzere Wellen (violett, blau) und dann für längere Wellen (orange, rot).

Eine weitere wichtige Schlussfolgerung aus dieser Formel ist die Abhängigkeit des Winkels θm von der Beugungsordnung. Je größer das m ist, desto größer ist der Wert von θm. Dies bedeutet, dass die farbigen Linien an den Höhen für die hohe Beugungsordnung stärker voneinander getrennt sind. Diese Tatsache wurde bereits geweiht, als die Auflösung des Gitters berücksichtigt wurde (siehe vorherigen Punkt).

Die beschriebenen Fähigkeiten des Beugungsgitters ermöglichen die Analyse der Emissionsspektren verschiedener leuchtender Objekte, einschließlich entfernter Sterne und Galaxien.

Ein Beispiel zur Lösung des Problems

Lassen Sie uns zeigen, wie die Beugungsgitterformel verwendet wird. Die Wellenlänge des Lichts, das auf das Gitter trifft, beträgt 550 nm. Es ist notwendig, den Winkel zu bestimmen, unter dem die Beugung erster Ordnung auftritt, wenn die Periode d 4 & mgr; m beträgt.

θ1 \u003d Arcsin (λ / d).

Wir konvertieren alle Daten in SI-Einheiten und ersetzen sie durch diese Gleichheit:

θ1 \u003d Arcsin (550 · 10 & supmin; & sup9; / (4 · 10 & supmin; & sup6;)) \u003d 7,9º.

Befindet sich der Bildschirm in einem Abstand von 1 Meter vom Gitter und dann in der Mitte des zentralen Maximums, erscheint die Beugungslinie erster Ordnung für eine Welle von 550 nm in einem Abstand von 13,8 cm, was einem Winkel entspricht von 7,9 °.

DEFINITION

Beugungsgitter - Dies ist das einfachste Spektralgerät, das aus einem System von Schlitzen (für Licht transparente Bereiche) und undurchsichtigen Lücken besteht, die mit der Wellenlänge vergleichbar sind.

Ein eindimensionales Beugungsgitter besteht aus parallelen Schlitzen gleicher Breite, die in derselben Ebene liegen und durch lichtundurchlässige Intervalle gleicher Breite voneinander getrennt sind. Reflektierende Beugungsgitter gelten als die besten. Sie bestehen aus einer Sammlung von Bereichen, die Licht reflektieren, und Bereichen, die Licht streuen. Diese Gitter sind polierte Metallplatten, auf die mit einem Cutter lichtstreuende Striche aufgebracht werden.

Das Gitterbeugungsmuster ist das Ergebnis einer gegenseitigen Interferenz von Wellen, die von allen Schlitzen kommen. Mit Hilfe eines Beugungsgitters wird eine Mehrstrahlinterferenz von kohärenten Lichtstrahlen realisiert, die einer Beugung unterzogen wurden und von allen Schlitzen kommen.

Das Merkmal des Beugungsgitters ist seine Periode. Die Periode des Beugungsgitters (d) (seine Konstante) wird als Wert bezeichnet, der gleich ist:

wobei a die Spaltbreite ist; b ist die Breite des undurchsichtigen Bereichs.

Beugung durch ein eindimensionales Beugungsgitter

Nehmen wir an, dass eine Lichtwelle mit einer Länge senkrecht zur Ebene des Beugungsgitters einfällt. Da die Schlitze des Gitters in gleichen Abständen voneinander angeordnet sind, sind die Wegdifferenzen der Strahlen (), die von zwei benachbarten Schlitzen für die Richtung kommen, für das gesamte betrachtete Beugungsgitter gleich:

Die Hauptintensitätsminima werden in den durch die Bedingung bestimmten Richtungen beobachtet:

Zusätzlich zu den Hauptminima erlöschen sich die Strahlen infolge der gegenseitigen Interferenz von Lichtstrahlen, die aus zwei Schlitzen kommen, in einigen Richtungen gegenseitig. Infolgedessen entstehen zusätzliche Intensitätsminima. Sie erscheinen in den Richtungen, in denen der Unterschied im Strahlengang eine ungerade Anzahl von Halbwellen ist. Die Bedingung für zusätzliche Minima ist die Formel:

wobei N die Anzahl der Schlitze des Beugungsgitters ist; - andere ganzzahlige Werte als 0, Wenn das Gitter N Schlitze hat, gibt es zwischen den beiden Hauptmaxima ein zusätzliches Minimum, das die Nebenmaxima trennt.

Die Bedingung für die Hauptmaxima für das Beugungsgitter ist:

Der Sinuswert kann nicht mehr als eins sein, dann ist die Anzahl der Hauptmaxima:

Beispiele zur Lösung von Problemen zum Thema "Beugungsgitter"

BEISPIEL 1

Die Aufgabe	Ein monochromatischer Lichtstrahl mit einer Wellenlänge fällt senkrecht zu seiner Oberfläche auf das Beugungsgitter. Das Beugungsmuster wird mit einer Linse auf einen Flachbildschirm projiziert. Der Abstand zwischen den beiden Intensitätsmaxima erster Ordnung beträgt l. Was ist die Konstante des Beugungsgitters, wenn sich die Linse in unmittelbarer Nähe des Gitters befindet und der Abstand von ihm zum Bildschirm L ist?
Entscheidung	Als Grundlage für die Lösung des Problems verwenden wir eine Formel, die die Konstante des Beugungsgitters, die Wellenlänge des Lichts und den Ablenkwinkel der Strahlen verbindet, der der maximalen Beugungszahl m entspricht: Je nach Problembedingung Da der Ablenkwinkel der Strahlen als klein angesehen werden kann (), gehen wir davon aus, dass: Aus Fig. 1 folgt: Wir setzen den Ausdruck (1.3) in die Formel (1.1) ein und berücksichtigen, dass wir Folgendes erhalten: Aus (1.4) drücken wir die Gitterperiode aus:
Antworten

BEISPIEL 2

Die Aufgabe	Bestimmen Sie unter Verwendung der Bedingungen von Beispiel 1 und des Ergebnisses der Lösung die Anzahl der Maxima, die das betrachtete Gitter ergibt.
Entscheidung	Um den maximalen Ablenkwinkel von Lichtstrahlen in unserem Problem zu bestimmen, finden wir die Anzahl der Maxima, die unser Beugungsgitter geben kann. Dafür verwenden wir die Formel: wo wir das hinstellen. Dann bekommen wir:

DEFINITION

Beugungsgitter wird als Spektralgerät bezeichnet, bei dem es sich um ein System aus mehreren Schlitzen handelt, die durch undurchsichtige Intervalle voneinander getrennt sind.

In der Praxis wird sehr oft ein eindimensionales Beugungsgitter verwendet, das aus parallelen Schlitzen gleicher Breite in derselben Ebene besteht, die durch undurchsichtige Intervalle gleicher Breite voneinander getrennt sind. Ein solches Gitter wird unter Verwendung einer speziellen Teilungsmaschine hergestellt, die parallele Striche auf eine Glasplatte ausübt. Die Anzahl solcher Hübe kann mehr als tausend pro Millimeter betragen.

Reflektierende Beugungsgitter gelten als die besten. Es ist eine Sammlung von Bereichen, die Licht reflektieren, mit Bereichen, die Licht reflektieren. Solche Gitter stellen eine polierte Metallplatte dar, auf die von einem Fräser lichtstreuende Striche aufgebracht werden.

Das Gitterbeugungsmuster ist das Ergebnis einer gegenseitigen Interferenz von Wellen, die von allen Schlitzen kommen. Folglich wird mit Hilfe eines Beugungsgitters eine Mehrstrahlinterferenz von kohärenten Lichtstrahlen realisiert, die einer Beugung unterzogen wurden und von allen Schlitzen kommen.

Nehmen wir an, dass auf dem Beugungsgitter die Spaltbreite a ist, die Breite des undurchsichtigen Abschnitts b ist, dann der Wert:

wird die Periode (Konstante) des Beugungsgitters genannt.

Beugungsmuster auf einem eindimensionalen Beugungsgitter

Stellen wir uns vor, dass eine monochromatische Welle normal auf die Ebene des Beugungsgitters fällt. Aufgrund der Tatsache, dass sich die Schlitze in gleichen Abständen voneinander befinden, sind die Wegdifferenzen der Strahlen (), die von einem Paar benachbarter Schlitze für die gewählte Richtung kommen, für das gesamte gegebene Beugungsgitter gleich:

Die Hauptintensitätsminima werden in den durch die Bedingung bestimmten Richtungen beobachtet:

Zusätzlich zu den Hauptminima erlöschen sie sich aufgrund der gegenseitigen Interferenz von Lichtstrahlen, die von einem Paar Schlitzen gesendet werden, in einigen Richtungen gegenseitig, was bedeutet, dass zusätzliche Minima auftreten. Sie entstehen in Richtungen, in denen der Unterschied im Strahlengang eine ungerade Anzahl von Halbwellen ist. Die Bedingung für zusätzliche Minima lautet wie folgt:

wobei N die Anzahl der Schlitze des Beugungsgitters ist; k ’nimmt andere ganzzahlige Werte als 0 an. Wenn das Gitter N Schlitze hat, befindet sich ein zusätzliches Minimum zwischen den beiden Hauptmaxima, die die Nebenmaxima trennen.

Die Bedingung für die Hauptmaxima für das Beugungsgitter ist der Ausdruck:

Da der Sinuswert nicht mehr als eins sein kann, beträgt die Anzahl der Hauptmaxima:

Wenn weißes Licht durch das Gitter geleitet wird, werden alle Maxima (mit Ausnahme des zentralen m \u003d 0) in ein Spektrum zerlegt. In diesem Fall wird der violette Bereich dieses Spektrums in Richtung der Mitte des Beugungsmusters gedreht. Diese Eigenschaft eines Beugungsgitters wird verwendet, um die Zusammensetzung des Lichtspektrums zu untersuchen. Wenn die Gitterperiode bekannt ist, kann die Berechnung der Wellenlänge des Lichts darauf reduziert werden, den Winkel zu finden, der der Richtung zum Maximum entspricht.

Beispiele für die Problemlösung

BEISPIEL 1

Die Aufgabe	Was ist die maximale Ordnung des Spektrums, die mit einem Beugungsgitter mit konstanter m erhalten werden kann, wenn ein monochromatischer Lichtstrahl mit einer Wellenlänge von m senkrecht zur Oberfläche auf dieses fällt?
Entscheidung	Als Grundlage für die Lösung des Problems verwenden wir die Formel, die die Bedingung für die Beobachtung der Hauptmaxima für das Beugungsmuster darstellt, das erhalten wird, wenn Licht durch das Beugungsgitter tritt: Der Maximalwert ist eins, also: Aus (1.2) drücken wir aus: Lassen Sie uns die Berechnungen durchführen:
Antworten

BEISPIEL 2

Die Aufgabe

Monochromatisches Licht mit einer Wellenlänge wird durch das Beugungsgitter geleitet. Ein Sieb ist in einem Abstand L vom Gitter angeordnet. Ein Beugungsmuster wird mit Hilfe einer Linse in der Nähe des Gitters darauf projiziert. In diesem Fall befindet sich das erste Beugungsmaximum in einem Abstand l vom zentralen. Wie viele Rillen pro Längeneinheit des Beugungsgitters (N) gibt es, wenn das Licht normal darauf fällt?

Entscheidung

Lassen Sie uns eine Zeichnung machen.

Weit verbreitet in wissenschaftlichen Experimenten und Technologie erhalten beugungsgitter, die ein Satz paralleler, gleich beabstandeter gleicher Schlitze sind, die durch undurchsichtige Intervalle gleicher Breite getrennt sind. Beugungsgitter werden mit einer Trennmaschine hergestellt, die Glas oder anderes transparentes Material markiert (kratzt). Wenn der Kratzer gemacht wird, wird das Material undurchsichtig, und die Lücken zwischen ihnen bleiben transparent und spielen tatsächlich die Rolle von Schlitzen.

Betrachten wir zunächst die Beugung von Licht von einem Gitter am Beispiel von zwei Schlitzen. (Mit zunehmender Anzahl der Schlitze werden die Beugungsmaxima nur schmaler, heller und deutlicher.)

Lassen und -spaltbreite, a b - die Breite des undurchsichtigen Spaltes (Abb. 5.6).

Zahl: 5.6. Beugung aus zwei Schlitzen

Beugungsgitterperiode ist der Abstand zwischen den Mittelpunkten benachbarter Slots:

Die Wegdifferenz der beiden extremen Strahlen beträgt

Wenn die Wegdifferenz gleich einer ungeraden Anzahl von Halbwellen ist

dann wird das von den beiden Schlitzen gesendete Licht aufgrund der Interferenz der Wellen gegenseitig gelöscht. Die Mindestbedingung ist

Diese Mindestwerte werden aufgerufen zusätzlich.

Wenn die Wegdifferenz gleich einer geraden Anzahl von Halbwellen ist

dann verstärken sich die von jedem Schlitz gesendeten Wellen gegenseitig. Die Bedingung für Interferenzmaxima unter Berücksichtigung von (5.36) hat die Form

Dies ist die Formel für hauptmaxima des Beugungsgitters.

Außerdem breitet es sich in den Richtungen, in denen keiner der Schlitze Licht ausbreitet, auch mit zwei Schlitzen nicht aus, d. H. hauptgitterminima wird in den durch Bedingung (5.21) für einen Schlitz bestimmten Richtungen beobachtet:

Wenn das Beugungsgitter aus besteht N.schlitze (moderne Gitter, die in Spektralanalysegeräten verwendet werden, haben bis zu 200 000 Schlaganfälle und Periode d \u003d 0,8 μmdas heißt, von Ordnung 12 000 Schlaganfälle um 1 cm), dann ist die Bedingung für die Hauptminima, wie im Fall von zwei Lücken, die Beziehung (5.41), die Bedingung für die Hauptmaxima ist die Beziehung (5.40) und zusätzliche Mindestbedingunghat die Form

Hier k "kann alle ganzzahligen Werte annehmen, außer 0, N, 2N, ....Daher im Fall N.lücken zwischen den beiden Hauptmaxima befinden sich ( N - 1) zusätzliche Minima, die durch sekundäre Maxima getrennt sind und einen relativ schwachen Hintergrund erzeugen.

Die Position der Hauptmaxima hängt von der Wellenlänge ab l... Wenn weißes Licht durch das Gitter übertragen wird, zerfallen daher alle Maxima mit Ausnahme des zentralen in ein Spektrum, dessen violettes Ende auf die Mitte des Beugungsmusters gerichtet ist und dessen rotes Ende nach außen gerichtet ist. Somit ist das Beugungsgitter eine Spektralvorrichtung. Es ist zu beachten, dass, während das Spektralprisma die violetten Strahlen am meisten ablenkt, das Beugungsgitter im Gegensatz dazu die roten Strahlen am meisten ablenkt.

Ein wichtiges Merkmal eines jeden Spektralinstruments ist auflösung.

Die Auflösung eines Spektralinstruments ist eine dimensionslose Größe

wo ist die minimale Differenz zwischen den Wellenlängen der beiden Spektrallinien, bei denen diese Linien getrennt wahrgenommen werden.

Bestimmen wir die Auflösung des Beugungsgitters. Mittlere Position k-thmaximum für Wellenlänge

bestimmt durch die Bedingung

Die Kanten k- th maximum (d. h. die nächsten zusätzlichen Minima) für die Wellenlänge l befinden sich in Winkeln, die das Verhältnis erfüllen: