Kurze Multiplikationsformeln. Abgekürzte Multiplikationsformeln - Knowledge Hypermarket

Eines der ersten Themen im Algebra-Kurs sind abgekürzte Multiplikationsformeln. In Klasse 7 werden sie in den einfachsten Situationen verwendet, in denen Sie eine der Formeln in einem Ausdruck erkennen und eine Faktorisierung eines Polynoms durchführen oder umgekehrt die Summe oder Differenz schnell auf ein Quadrat oder einen Würfel erhöhen müssen. In Zukunft wird die FSU verwendet, um Ungleichungen und Gleichungen schnell zu lösen und sogar einige numerische Ausdrücke ohne Taschenrechner zu berechnen.

So sieht eine Liste von Formeln aus

Es gibt 7 grundlegende Formeln, mit denen Sie die Polynome in Klammern schnell multiplizieren können.

Manchmal enthält diese Liste auch eine Erweiterung für den vierten Grad, die sich aus den vorgestellten Identitäten ergibt und die Form hat:

a⁴ - b⁴ = (a - b) (a + b) (a² + b²).

Alle Gleichheiten haben ein Paar (Summe - Differenz), mit Ausnahme der Quadratdifferenz. Für die Quadratsumme ist die Formel nicht gegeben.

Der Rest der Gleichheiten ist leicht zu merken.:

Es sollte daran erinnert werden, dass BFS in jedem Fall und für alle Werte funktionieren ein und B: Es können beliebige Zahlen oder ganze Ausdrücke sein.

Wenn Sie sich in einer Situation plötzlich nicht mehr erinnern können, welches Vorzeichen in der Formel vor dem einen oder anderen Begriff steht, können Sie die Klammern öffnen und erhalten das gleiche Ergebnis wie nach der Verwendung der Formel. Wenn beispielsweise bei der Anwendung des FSO des Würfels der Differenz ein Problem aufgetreten ist, müssen Sie den ursprünglichen Ausdruck aufschreiben und führe die Multiplikation der Reihe nach durch:

(a - b) ³ = (a - b) (a - b) (a - b) = (a² - ab - ab + b²) (a - b) = a³ - a²b - a²b + ab² - a²b + ab² + ab² - b³ = a³ - 3a²b + 3ab² - b³.

Als Ergebnis wurde nach dem Reduzieren aller ähnlichen Terme das gleiche Polynom wie in der Tabelle erhalten. Die gleichen Manipulationen können mit allen anderen BFS durchgeführt werden.

Anwendung von FSO zum Lösen von Gleichungen

Sie müssen beispielsweise eine Gleichung lösen, die enthält Polynom vom Grad 3:

x³ + 3x² + 3x + 1 = 0.

Der Lehrplan der Schulen berücksichtigt keine universellen Techniken zum Lösen kubischer Gleichungen, und solche Aufgaben werden meistens mit einfacheren Methoden (z. B. Faktorisierung) gelöst. Wenn Sie bemerken, dass die linke Seite der Identität einem Würfel einer Summe ähnelt, kann die Gleichung in einer einfacheren Form geschrieben werden:

(x + 1) ³ = 0.

Die Wurzel einer solchen Gleichung wird mündlich berechnet: x = -1.

Ungleichungen werden auf ähnliche Weise gelöst. Zum Beispiel können wir die Ungleichung x³ - 6x² + 9x> 0.

Der erste Schritt besteht darin, den Ausdruck zu faktorisieren. Zuerst müssen Sie die Klammern herausnehmen x... Danach sollten Sie beachten, dass der Ausdruck in Klammern in das Quadrat der Differenz umgewandelt werden kann.

Dann müssen Sie die Punkte finden, an denen der Ausdruck Nullwerte annimmt, und diese auf dem Zahlenstrahl markieren. Im konkreten Fall sind dies 0 und 3. Bestimmen Sie dann mit der Intervallmethode, in welchen Intervallen x der Ungleichungsbedingung entspricht.

BFS können bei der Durchführung nützlich sein einige Berechnungen ohne Taschenrechner:

703² - 203² = (703 + 203) (703 - 203) = 906 ∙ 500 = 453000.

Darüber hinaus können Sie durch das Faktorisieren von Ausdrücken leicht Brüche löschen und verschiedene algebraische Ausdrücke vereinfachen.

Aufgabenbeispiele für die Klassen 7-8

Abschließend werden wir zwei Probleme zur Anwendung von Formeln für die abgekürzte Multiplikation in der Algebra analysieren und lösen.

Aufgabe 1. Vereinfachen Sie den Ausdruck:

(m + 3) ² + (3m + 1) (3m - 1) - 2m (5m + 3).

Lösung. Unter der Bedingung der Aufgabe ist es erforderlich, den Ausdruck zu vereinfachen, dh die Klammern zu öffnen, die Multiplikations- und Potenzierungsoperationen durchzuführen und auch alle diese Terme zu verwenden. Unterteilen wir den Ausdruck bedingt in drei Teile (je nach Anzahl der Begriffe) und öffnen wir die Klammern nacheinander, wobei wir nach Möglichkeit das BFS anwenden.

(m + 3) ² = m² + 6m + 9(das Quadrat der Summe);
(3m + 1) (3m - 1) = 9m² - 1(Differenz der Quadrate);
Im letzten Term müssen Sie multiplizieren: 2m (5m + 3) = 10m² + 6m.

Setzen wir die erhaltenen Ergebnisse in den ursprünglichen Ausdruck ein:

(m² + 6m + 9) + (9m² - 1) - (10m² + 6m).

Unter Berücksichtigung der Zeichen öffnen wir die Klammern und geben ähnliche Begriffe an:

m² + 6m + 9 + 9m² 1 - 10m² - 6m = 8.

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung, die das unbekannte k hoch 5 enthält:

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ - 4k² - 4k = k³.

Lösung. In diesem Fall ist es notwendig, das BFS und die Gruppierungsmethode zu verwenden. Es ist notwendig, den letzten und vorletzten Begriff auf die rechte Seite der Identität zu übertragen.

k⁵ + 4k⁴ + 4k³ = k³ + 4k² + 4k.

Der gemeinsame Faktor wird von der rechten und linken Seite herausgenommen (k² + 4k +4):

k³ (k² + 4k + 4) = k (k² + 4k + 4).

Alles wird auf die linke Seite der Gleichung übertragen, sodass auf der rechten Seite 0 bleibt:

k³ (k² + 4k + 4) - k (k² + 4k + 4) = 0.

Auch hier müssen Sie den gemeinsamen Faktor herausnehmen:

(k³ - k) (k² + 4k + 4) = 0.

Aus dem ersten erhaltenen Faktor können Sie nehmen k... Nach der Formel für die kurze Multiplikation ist der zweite Faktor identisch gleich (k + 2) ²:

k (k² - 1) (k + 2) ² = 0.

Verwenden der Quadratdifferenzformel:

k (k - 1) (k + 1) (k + 2) ² = 0.

Da das Produkt gleich 0 ist und mindestens einer seiner Faktoren null ist, ist es nicht schwierig, alle Wurzeln der Gleichung zu finden:

k = 0;
k - 1 = 0; k = 1;
k+1 = 0; k = -1;
(k + 2)² = 0; k = -2.

Anhand anschaulicher Beispiele können Sie sich die Formeln und ihre Unterschiede merken und auch einige praktische Probleme mit der FSU lösen. Die Aufgaben sind einfach und es sollte keine Schwierigkeiten geben, sie zu lösen.

Abgekürzte Multiplikationsformeln (ACF) werden zur Potenzierung und Multiplikation von Zahlen und Ausdrücken verwendet. Oftmals ermöglichen Ihnen diese Formeln, Berechnungen kompakter und schneller zu machen.

In diesem Artikel werden wir die Grundformeln der abgekürzten Multiplikation auflisten, sie in einer Tabelle gruppieren, Beispiele für die Verwendung dieser Formeln betrachten und auch auf die Prinzipien des Beweises von abgekürzten Multiplikationsformeln eingehen.

Erstmals wird das Thema FSU im Rahmen des Kurses „Algebra“ für die 7. Klasse berücksichtigt. Unten sind 7 grundlegende Formeln.

Abgekürzte Multiplikationsformeln

die Formel für das Quadrat der Summe: a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2
die Formel für das Quadrat der Differenz: a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2
Summenwürfelformel: a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3
Differenzwürfelformel: a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3
Quadratdifferenzformel: a 2 - b 2 = a - b a + b
die Formel für die Summe der Würfel: a 3 + b 3 = a + b a 2 - a b + b 2
die Formel für die Würfeldifferenz: a 3 - b 3 = a - b a 2 + a b + b 2

Die Buchstaben a, b, c in diesen Ausdrücken können beliebige Zahlen, Variablen oder Ausdrücke sein. Für eine einfache Handhabung ist es am besten, die sieben Grundformeln auswendig zu lernen. Fassen wir sie in einer Tabelle zusammen und präsentieren sie unten, indem wir sie mit einem Rahmen umgeben.

Mit den ersten vier Formeln können Sie das Quadrat bzw. die Kubik der Summe oder Differenz zweier Ausdrücke berechnen.

Die fünfte Formel berechnet die Differenz der Quadrate der Ausdrücke durch das Produkt ihrer Summe und der Differenz.

Die sechste und siebte Formel sind die Multiplikation der Summe und der Differenz von Ausdrücken mit einem unvollständigen Quadrat der Differenz und einem unvollständigen Quadrat der Summe.

Die abgekürzte Multiplikationsformel wird manchmal auch als abgekürzte Multiplikationsidentitäten bezeichnet. Dies ist nicht verwunderlich, da jede Gleichheit eine Identität ist.

Beim Lösen von praktischen Beispielen werden oft abgekürzte Multiplikationsformeln mit neu angeordneten linken und rechten Seiten verwendet. Dies ist besonders nützlich, wenn eine Faktorisierung eines Polynoms stattfindet.

Zusätzliche abgekürzte Multiplikationsformeln

Wir beschränken uns nicht auf den 7. Klassenkurs in Algebra und fügen unserer FSU-Tabelle noch ein paar Formeln hinzu.

Betrachten Sie zunächst die Newtonsche Binomialformel.

a + b n = C n 0 a n + C n 1 a n - 1 b + C n 2 a n - 2 b 2 +. ... + C n n - 1 a b n - 1 + C n n b n

Hier sind C n k Binomialkoeffizienten, die in Zeile n im Pascal-Dreieck stehen. Binomialkoeffizienten werden nach der Formel berechnet:

Cnk = n! k! (N - k)! = n (n – 1) (n – 2). ... (n - (k - 1)) k!

Wie Sie sehen, ist der FSE für das Quadrat und die Kubik der Differenz und der Summe ein Spezialfall der Newtonschen Binomialformel für n = 2 bzw. n = 3.

Was aber, wenn die zu potenzierende Summe mehr als zwei Terme enthält? Die Formel für das Quadrat der Summe von drei, vier oder mehr Termen ist nützlich.

eine 1 + eine 2 +. ... + a n 2 = a 1 2 + a 2 2 +. ... + a n 2 + 2 a 1 a 2 + 2 a 1 a 3 +. ... + 2 a 1 a n + 2 a 2 a 3 + 2 a 2 a 4 +. ... + 2 a 2 a n + 2 a n - 1 a n

Eine andere Formel, die sich als nützlich erweisen kann, ist die Formel für die Differenz zwischen den n-ten Potenzen zweier Terme.

a n – b n = a – b a n – 1 + a n – 2 b + a n – 3 b 2 +. ... + a 2 b n - 2 + b n - 1

Diese Formel wird normalerweise in zwei Formeln unterteilt - für gerade bzw. ungerade Grade.

Für gerade Indikatoren 2m:

a 2 m - b 2 m = a 2 - b 2 a 2 m - 2 + a 2 m - 4 b 2 + a 2 m - 6 b 4 +. ... + b 2 m - 2

Für ungerade Exponenten 2m + 1:

a 2 m + 1 - b 2 m + 1 = a 2 - b 2 a 2 m + a 2 m - 1 b + a 2 m - 2 b 2 +. ... + b 2 m

Die Formeln für die Differenz der Quadrate und die Differenz der Würfel, Sie haben es erraten, sind Spezialfälle dieser Formel für n = 2 bzw. n = 3. Für die Differenz der Würfel wird b auch durch - b ersetzt.

Wie liest man abgekürzte Multiplikationsformeln?

Wir werden für jede Formel die passenden Formulierungen angeben, aber zuerst werden wir das Prinzip des Lesens von Formeln verstehen. Der bequemste Weg, dies zu tun, ist ein Beispiel. Nehmen wir die allererste Formel für das Quadrat der Summe zweier Zahlen.

a + b 2 = a 2 + 2 a b + b 2.

Sie sagen: Das Quadrat der Summe zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe des Quadrats des ersten Ausdrucks, dem doppelten Produkt der Ausdrücke und dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.

Alle anderen Formeln werden auf die gleiche Weise gelesen. Für das Quadrat der Differenz a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2 schreiben wir:

das Quadrat der Differenz zwischen den beiden Ausdrücken a und b ist gleich der Summe der Quadrate dieser Ausdrücke minus dem doppelten Produkt des ersten und zweiten Ausdrucks.

Lesen Sie die Formel a + b 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 a b 2 + b 3. Die Kubik der Summe zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Summe der Kuben dieser Ausdrücke, das Dreifache des Quadrats des ersten Ausdrucks durch den zweiten und das Dreifache des Quadrats des zweiten Ausdrucks durch den ersten Ausdruck.

Wir fahren fort, die Formel für die Differenz zwischen den Würfeln a - b 3 = a 3 - 3 a 2 b + 3 a b 2 - b 3 zu lesen. Die Kubik der Differenz zweier Ausdrücke a und b ist gleich der Kubik des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten und des zweiten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Quadrats des zweiten Ausdrucks und des ersten Ausdrucks minus dem Kubus des zweiten Ausdrucks.

Die fünfte Formel a 2 - b 2 = a - b a + b (Differenz der Quadrate) lautet wie folgt: Die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz und der Summe der beiden Ausdrücke.

Ausdrücke wie a 2 + a b + b 2 und a 2 - a b + b 2 werden der Einfachheit halber als unvollständiges Quadrat der Summe bzw. unvollständiges Quadrat der Differenz bezeichnet.

Vor diesem Hintergrund lauten die Formeln für Summe und Differenz der Würfel wie folgt:

Die Summe der Würfel zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe dieser Ausdrücke durch das unvollständige Quadrat ihrer Differenz.

Die Differenz zwischen den Würfeln zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz zwischen diesen Ausdrücken und dem unvollständigen Quadrat ihrer Summe.

Nachweis BFS

Es ist ganz einfach, das BFS zu beweisen. Basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation multiplizieren wir die Teile der Formeln in Klammern.

Betrachten Sie zum Beispiel die Formel für das Quadrat der Differenz.

a - b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Um einen Ausdruck in die zweite Potenz zu erheben, müssen Sie diesen Ausdruck mit sich selbst multiplizieren.

a - b 2 = a - b a - b.

Erweitern wir die Klammern:

a - b a - b = a 2 - a b - b a + b 2 = a 2 - 2 a b + b 2.

Die Formel ist bewiesen. Der Rest der BFS wird in ähnlicher Weise nachgewiesen.

Beispiele für die FSU-Anwendung

Der Zweck der Verwendung von abgekürzten Multiplikationsformeln besteht darin, Ausdrücke schnell und präzise zu multiplizieren und zu potenzieren. Dies ist jedoch nicht der gesamte Aufgabenbereich des BFS. Sie werden häufig zum Kürzen von Ausdrücken, zum Reduzieren von Brüchen und zum Faktorisieren von Polynomen verwendet. Hier sind einige Beispiele.

Beispiel 1. BFS

Vereinfachen Sie den Ausdruck 9 y - (1 + 3 y) 2.

Wir wenden die Formel für die Quadratsumme an und erhalten:

9 Jahre - (1 + 3 Jahre) 2 = 9 Jahre - (1 + 6 Jahre + 9 Jahre 2) = 9 Jahre - 1 - 6 Jahre - 9 Jahre 2 = 3 Jahre - 1 - 9 Jahre 2

Beispiel 2. BFS

Reduziere den Bruch 8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4.

Beachten Sie, dass der Ausdruck im Zähler die Differenz zwischen den Würfeln und der Nenner die Differenz der Quadrate ist.

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = 2 x - z (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x - z 2 x + z.

Wir kürzen und erhalten:

8 x 3 - z 6 4 x 2 - z 4 = (4 x 2 + 2 x z + z 4) 2 x + z

BFS helfen auch bei der Berechnung der Werte von Ausdrücken. Die Hauptsache ist, zu erkennen, wo die Formel anzuwenden ist. Zeigen wir dies an einem Beispiel.

Wir quadrieren die Zahl 79. Statt umständlicher Rechnungen schreiben wir:

79 = 80 - 1 ; 79 2 = 80 - 1 2 = 6400 - 160 + 1 = 6241 .

Es scheint, dass eine komplexe Berechnung mit den abgekürzten Multiplikationsformeln und der Multiplikationstabelle schnell durchgeführt wurde.

Ein weiterer wichtiger Punkt ist die Wahl des Quadrats des Binomials. Der Ausdruck 4 x 2 + 4 x - 3 kann in 2 x 2 + 2 · 2 · x · 1 + 1 2 - 4 = 2 x + 1 2 - 4 umgewandelt werden. Solche Transformationen werden häufig bei der Integration verwendet.

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Wenn Sie algebraische Polynome berechnen, verwenden Sie zur Vereinfachung der Berechnungen abgekürzte Multiplikationsformeln... Insgesamt gibt es sieben solcher Formeln. Sie müssen sie alle auswendig kennen.

Es sollte auch daran erinnert werden, dass Formeln anstelle von "a" und "b" sowohl Zahlen als auch beliebige andere algebraische Polynome enthalten können.

Differenz der Quadrate

Merken!

Differenz der Quadrate zwei Zahlen ist gleich dem Produkt der Differenz zwischen diesen Zahlen und ihrer Summe.

a 2 - b 2 = (a - b) (a + b)

15 2 - 2 2 = (15 - 2) (15 + 2) = 13 17 = 221
9a 2 - 4b 2 c 2 = (3a - 2bc) (3a + 2bc)

Summe zum Quadrat

Merken!

Das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl plus dem doppelten Produkt der ersten Zahl mit der zweiten plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

(ein + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Beachten Sie, dass es mit dieser abgekürzten Multiplikationsformel einfach ist, Quadrate mit großen Zahlen finden ohne einen Taschenrechner oder lange Multiplikation zu verwenden. Lassen Sie es uns an einem Beispiel erklären:

Suche 112 2.

Zerlegen wir 112 in die Summe der Zahlen, deren Quadrate wir uns gut merken.
112 = 100 + 1
Schreiben wir die Summe der Zahlen in Klammern und setzen wir ein Quadrat über die Klammern.
112 2 = (100 + 12) 2
Verwenden wir die Formel für das Quadrat der Summe:
112 2 = (100 + 12) 2 = 100 2 + 2 100 12 + 12 2 = 10 000 + 2 400 + 144 = 12 544

Denken Sie daran, dass die Quadratsummenformel auch für jedes algebraische Polynom gilt.

(8a + c) 2 = 64a 2 + 16ac + c 2

Warnung!

(a + b) 2 ist ungleich (a 2 + b 2)

Differenz zum Quadrat

Merken!

Das Quadrat der Differenz zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl minus dem doppelten Produkt der ersten Zahl mit der zweiten plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

(ein - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

Es lohnt sich auch, sich an eine sehr nützliche Transformation zu erinnern:

(a - b) 2 = (b - a) 2

Die obige Formel wird durch einfaches Erweitern der Klammern bewiesen:

(a - b) 2 = a 2 −2ab + b 2 = b 2 - 2ab + a 2 = (b - a) 2

Summenwürfel

Merken!

Der Kubus der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Kubus der ersten Zahl plus dem Dreifachen des Quadrats der ersten Zahl und der zweiten plus dem Dreifachen des Quadrats der zweiten plus dem Kubus der zweiten.

(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

So merken Sie sich den Summenwürfel

Es ist ganz einfach, sich an diese "beängstigend" aussehende Formel zu erinnern.

Lernen Sie, mit "einer 3" zu beginnen.
Die beiden Polynome in der Mitte haben Koeffizienten von 3.
Denken Sie daran, dass jede Zahl bis zum Nullgrad 1 ist. (a 0 = 1, b 0 = 1). Es ist leicht zu erkennen, dass in der Formel eine Abnahme des Grades "a" und eine Zunahme des Grades "b" vorliegt. Davon können Sie sich überzeugen:
(a + b) 3 = a 3 b 0 + 3a 2 b 1 + 3a 1 b 2 + b 3 a 0 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Warnung!

(a + b) 3 ist ungleich a 3 + b 3

Differenzwürfel

Merken!

Differenzwürfel zweier Zahlen ist gleich dem Kubik der ersten Zahl minus dem Dreifachen des Quadrats der ersten Zahl und der zweiten plus dem Dreifachen des Produkts der ersten Zahl und dem Quadrat der zweiten minus dem Kubik der zweiten.

(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Diese Formel wird wie die vorherige gespeichert, jedoch nur unter Berücksichtigung des Wechsels der Zeichen "+" und "-". Dem ersten Term „a 3“ ist ein „+“ vorangestellt (wir schreiben es nicht nach den Regeln der Mathematik). Das bedeutet, dass dem nächsten Element ein "-" vorangestellt wird, dann wieder ein "+" und so weiter.

(a - b) 3 = + a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3

Summe der Würfel

Nicht zu verwechseln mit dem Summenwürfel!

Merken!

Summe der Würfel ist gleich dem Produkt der Summe zweier Zahlen durch das unvollständige Quadrat der Differenz.

a 3 + b 3 = (a + b) (a 2 - ab + b 2)

Die Würfelsumme ist das Produkt zweier Klammern.

Die erste Klammer ist die Summe zweier Zahlen.
Die zweite Klammer ist ein unvollständiges Quadrat der Differenz der Zahlen. Der Ausdruck wird als unvollständiges Quadrat der Differenz bezeichnet:
(a 2 - ab + b 2)
Dieses Quadrat ist unvollständig, da in der Mitte statt des verdoppelten Produkts das übliche Zahlenprodukt steht.

Unterschied der Würfel

Nicht zu verwechseln mit dem Differenzwürfel!

Merken!

Unterschied der Würfel ist gleich dem Produkt der Differenz zweier Zahlen durch das unvollständige Quadrat der Summe.

a 3 - b 3 = (a - b) (a 2 + ab + b 2)

Seien Sie vorsichtig beim Schreiben von Zeichen.

Anwenden von abgekürzten Multiplikationsformeln

Es sei daran erinnert, dass alle oben angegebenen Formeln auch von rechts nach links verwendet werden.

Viele der Beispiele in den Tutorials sollen Ihnen helfen, das Polynom mithilfe von Formeln wieder zusammenzusetzen.

a 2 + 2a + 1 = (a + 1) 2
(ac - 4b) (ac + 4b) = a 2 c 2 - 16b 2

Eine Tabelle mit allen Formeln für die abgekürzte Multiplikation können Sie im Abschnitt „

Multiplizieren eines Polynoms mit einem Polynom

! Zu multipliziere ein Polynom mit einem Polynom, müssen Sie jeden Term eines Polynoms mit jedem Term eines anderen Polynoms multiplizieren und die resultierenden Produkte addieren.

Seien Sie aufmerksam! Jeder Begriff hat sein eigenes Vorzeichen.

Abgekürzte Multiplikationsformeln Polynome - das sind in der Regel 7 (sieben) häufig vorkommende Fälle der Multiplikation von Polynomen.

Definitionen undAbgekürzte Multiplikationsformeln. Tabelle

Tabelle 2. Definitionen von abgekürzten Multiplikationsformeln (zum Vergrößern anklicken)

Drei abgekürzte Multiplikationsformeln für Quadrate

1. Die Formel für das Quadrat der Summe.

Summe zum Quadrat zwei Ausdrücke ist gleich dem Quadrat des ersten Ausdrucks plus dem doppelten Produkt des ersten Ausdrucks mit dem zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.

Um die Formel besser zu verstehen, vereinfachen wir zunächst den Ausdruck (erweitern Sie die Formel für das Quadrat der Summe)

Jetzt faktorisieren wir (wir werden die Formel komprimieren)

Der Aktionsablauf beim Factoring:

bestimmen, welche Monome quadriert wurden ( 5 und 3m);
prüfe, ob das verdoppelte Produkt in der Mitte der Formel steht (2 5 3m = 30m);
schreib die Antwort auf (5 + 3m) 2.

2. Differenzquadratformel

Differenz zum Quadrat zwei Ausdrücke ist gleich dem Quadrat des ersten Ausdrucks minus dem doppelten Produkt des ersten Ausdrucks durch den zweiten plus dem Quadrat des zweiten Ausdrucks.

Vereinfachen wir zunächst den Ausdruck (erweitern Sie die Formel):

Und dann lassen Sie uns im Gegenteil faktorisieren (wir werden die Formel zusammenbrechen):

3. Differenz der Quadrate Formel

Das Produkt der Summe zweier Ausdrücke durch ihre Differenz ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Ausdrücke.

Reduziere die Formel (mache die Multiplikation)

Jetzt erweitern wir die Formel (faktorisieren)

Vier abgekürzte Multiplikationsformeln für Würfel

4. Würfelformel der Summe zweier Zahlen

Die Kubik der Summe zweier Ausdrücke ist gleich der Kubik des ersten Ausdrucks plus dreimal dem Quadrat des ersten Ausdrucks und des zweiten plus dreimal dem Quadrat des zweiten plus der Kubik des zweiten Ausdrucks.

Die Reihenfolge der Aktionen beim "Falten" der Formel:

Finde Monome, die zu einem Würfel erhoben wurden (hier 4x und 1 );
die durchschnittlichen Terme auf Übereinstimmung mit der Formel überprüfen;
schreibe die Antwort auf.

5. Würfelformel der Differenz zweier Zahlen

Die Kubik der Differenz zwischen den beiden Ausdrücken ist gleich der Kubik des ersten Ausdrucks minus dem Dreifachen des Quadrats des ersten und des zweiten Ausdrucks plus dem Dreifachen des Produkts des ersten Ausdrucks und dem Quadrat des zweiten minus der Kubik der zweiter Ausdruck.

6. Die Formel für die Summe der Würfel

Die Summe der Kuben zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe des ersten und zweiten Ausdrucks durch das unvollständige Quadrat der Differenz zwischen diesen Ausdrücken.

Und zurück:

7. Würfeldifferenzformel

Die Differenz zwischen den Würfeln zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Differenz zwischen dem ersten und zweiten Ausdruck durch das unvollständige Quadrat der Summe dieser Ausdrücke.

Anwenden von abgekürzten Multiplikationsformeln. Tabelle

Ein Beispiel für die Anwendung von Formeln in der Praxis (mündliches Zählen).

Aufgabe: Finden Sie die Fläche eines Quadrats mit der Seite a = 71 cm.

Lösung: S = eine 2. Mit der Formel für das Quadrat der Summe haben wir

71 2 = (70 + 1) 2 = 70 2 + 2 * 70 * 1 + 1 2 = 4900 + 140 + 1 = 5041 cm 2

Antworten: 5041cm 2

Ausdruck ( ein + B) 2 ist das Quadrat der Summe Zahlen ein und B... Per Definition des Grades ist der Ausdruck ( ein + Bein + B)(ein + B). Daher können wir aus dem Quadrat der Summe schließen, dass

(ein + B) 2 = (ein + B)(ein + B) = ein 2 + ab + ab + B 2 = ein 2 + 2ab + B 2 ,

das heißt, das Quadrat der Summe zweier Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl plus dem doppelten Produkt der ersten Zahl mit der zweiten plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

Summenquadratformel

(ein + B) 2 = ein 2 + 2ab + B 2

Polynom ein 2 + 2ab + B 2 heißt Zerlegung des Quadrats der Summe.

Als ein und B Zahlen oder Ausdrücke bezeichnen, dann gibt uns die Regel die Möglichkeit, abgekürzt jeden Ausdruck zu quadrieren, der als Summe zweier Terme betrachtet werden kann.

Beispiel. Quadratischer Ausdruck 3 x 2 + 2xy.

Lösung: um keine zusätzlichen Transformationen vorzunehmen, verwenden wir die Formel für das Quadrat der Summe. Wir sollten die Summe des Quadrats der ersten Zahl, das Doppelte des Produkts der ersten Zahl mit der zweiten Zahl und das Quadrat der zweiten Zahl erhalten:

(3x 2 + 2xy) 2 = (3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2

Mit den Regeln der Multiplikation und Exponentiation von Monomen vereinfachen wir nun den resultierenden Ausdruck:

(3x 2) 2 + 2(3x 2 2 xy) + (2xy) 2 = 9x 4 + 12x 3 ja + 4x 2 ja 2

Differenz zum Quadrat

Ausdruck ( ein - B) 2 ist quadrierte Differenz Zahlen ein und B... Ausdruck ( ein - B) 2 ist das Produkt zweier Polynome ( ein - B)(ein - B). Daher können wir aus der quadrierten Differenz schließen, dass

(ein - B) 2 = (ein - B)(ein - B) = ein 2 - ab - ab + B 2 = ein 2 - 2ab + B 2 ,

das heißt, das Quadrat der Differenz zwischen zwei Zahlen ist gleich dem Quadrat der ersten Zahl minus dem Doppelten des Produkts der ersten Zahl mit der zweiten plus dem Quadrat der zweiten Zahl.

Es folgt aus der Regel, dass das allgemeine quadrierte Differenzformel, ohne Zwischentransformationen, sieht so aus:

(ein - B) 2 = ein 2 - 2ab + B 2

Polynom ein 2 - 2ab + B 2 heißt Zerlegung der quadrierten Differenz.

Diese Regel gilt für die abgekürzte Quadratur von Ausdrücken, die als Differenz zweier Zahlen dargestellt werden können.

Beispiel. Stellen Sie sich das Quadrat der Differenz als drei Terme vor:

(2ein 2 - 5ab 2) 2

Lösung: Mit der Formel für das Quadrat der Differenz finden wir:

(2ein 2 - 5ab 2) 2 = (2ein 2) 2 - 2(2ein 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2

Lassen Sie uns nun den Ausdruck in ein Standardpolynom umwandeln:

(2ein 2) 2 - 2(2ein 2 5 ab 2) + (5ab 2) 2 = 4ein 4 - 20ein 3 B 2 + 25ein 2 B 4

Differenz der Quadrate

Ausdruck ein 2 - B 2 ist Differenz der Quadrate Zahlen ein und B... Ausdruck ein 2 - B 2 ist eine abgekürzte Methode, um die Summe zweier Zahlen mit ihrer Differenz zu multiplizieren:

(ein + B)(ein - B) = ein 2 + ab - ab - B 2 = ein 2 - B 2 ,

das heißt, das Produkt der Summe zweier Zahlen durch ihre Differenz ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Zahlen.

Es folgt aus der Regel, dass das allgemeine Differenz der Quadrate Formel sieht so aus:

ein 2 - B 2 = (ein + B)(ein - B)

Diese Regel gilt für die abgekürzte Multiplikation von Ausdrücken, die dargestellt werden können: einer als Summe zweier Zahlen und der andere als Differenz derselben Zahlen.

Beispiel. Wandeln Sie die Arbeit in ein Binomial um:

(5ein 2 + 3)(5ein 2 - 3)

Lösung:

(5ein 2 + 3)(5ein 2 - 3) = (5ein 2) 2 - 3 2 = 25ein 4 - 9

Im Beispiel haben wir die Formel für die Differenz der Quadrate von rechts nach links angewendet, d. h. wir haben die rechte Seite der Formel erhalten und diese nach links umgerechnet:

(ein + B)(ein - B) = ein 2 - B 2

In der Praxis werden alle drei betrachteten Formeln je nach Situation sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links angewendet.