12 Einstellung des Prüfungsprofils mit Logarithmen. Logarithmen in Prüfungsaufgaben

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Eine Lösungsmethode ist gut, wenn wir von vornherein voraussehen - und diese anschließend bestätigen können -
dass wir mit dieser Methode das Ziel erreichen.
G. Leibniz

UNTERRICHTSTYP: Festigung und Verbesserung des Wissens.

• Didaktik - Wiederholen und konsolidieren Sie die Eigenschaften von Logarithmen; logarithmische Gleichungen; die Methoden zum Lösen der größten und kleinsten Werte der Funktion festlegen; Verbesserung der Anwendung der bei der Lösung der Probleme der Prüfungen C1 und C3 erworbenen Kenntnisse;
• Entwicklung - Entwicklung des logischen Denkens, des Gedächtnisses, des kognitiven Interesses, Fortsetzung der Bildung der mathematischen Sprache und der grafischen Kultur, Entwicklung der Analysefähigkeit;
• Lehrreich - Um sich an die ästhetische Gestaltung des Schreibens in einem Notizbuch zu gewöhnen, Fähigkeit zu kommunizieren, Sauberkeit vermitteln.

Ausrüstung: Tafel, Computer, Beamer, Leinwand, Karten mit Testaufgaben, mit Aufgaben für die Arbeit aller Schüler.

Arbeitsformen: f horizontal, individuell, kollektiv.

WÄHREND DER KURSE

1. ORGANISATORISCHER MOMENT

2. ZWECKERKLÄRUNG

3. ÜBERPRÜFEN DER HAUSAUFGABEN

4. WISSENSUPDATE

Analysieren: in denen Aufgaben der Prüfung es gibt logarithmen.

(B-7-einfachste logarithmische Gleichungen

B-11-Transformation von logarithmischen Ausdrücken

B-12- Probleme des physischen Inhalts im Zusammenhang mit Logarithmen

B-15- Finden des größten und kleinsten Funktionswertes

C-1- trigonometrische Gleichungen enthält den Logarithmus

С-3 - ein Ungleichungssystem, das eine logarithmische Ungleichung enthält)

In dieser Phase werden mündliche Arbeiten durchgeführt, bei denen sich die Schüler nicht nur an die Eigenschaften von Logarithmen erinnern, sondern auch die einfachsten USE-Aufgaben ausführen.

1) Bestimmung des Logarithmus. Welche Eigenschaften des Logarithmus kennen Sie? (und Bedingungen?)

1.log b b = 1
2.log b 1 = 0, 3.log c (ab) = log c a + log c b.
4.log c (a: b) = log c a - log c b.
5.log c (b k) = k * log c

2) Welche Funktion heißt logarithmisch? D (j) -?

3) Was ist der dezimale Logarithmus? ()

4) Was ist natürlicher Logarithmus? ()

5) Wie lautet die Zahl e?

6) Was ist die Ableitung von? ()

7) Wie lautet die Ableitung des natürlichen Logarithmus?

5. MÜNDLICHE ARBEIT für alle Studierenden

Mündlich berechnen: (Aufgaben B-11)

= = = =

152 1 144 -1/2

6. Selbständige Tätigkeit Schüler durch das Lösen von Aufgaben

B-7 gefolgt von Verifizierung

Lösen Sie die Gleichungen (die ersten beiden Gleichungen werden mündlich gesprochen, der Rest wird von der ganzen Klasse alleine gelöst und die Lösung in ein Notizbuch geschrieben):

(Während die Schüler selbstständig vor Ort arbeiten, kommen 3 Schüler an die Tafel und bearbeiten einzelne Karten)

Nachdem sie 3-5 Gleichungen vor Ort überprüft haben, werden die Kinder aufgefordert, zu beweisen, dass die Gleichung keine Lösung hat (mündlich)

7. Lösung B-12 - (physische Inhaltsprobleme im Zusammenhang mit Logarithmen)

Die ganze Klasse löst das Problem (an der Tafel stehen 2 Personen: der 1. löst gemeinsam mit der Klasse, der 2. löst alleine ein ähnliches Problem)

8. MÜNDLICHE ARBEIT (Fragen)

Erinnern Sie sich an den Algorithmus zum Finden der größten und kleinsten Werte einer Funktion in einem Segment und in einem Intervall.

Arbeiten Sie an der Tafel und in einem Notizbuch.

(Prototyp B15 - Einheitliches Staatsexamen)

9. Minitest mit Selbstkontrolle.

№	Option 1	Option 2
1.	=
2.
3.
4.
5.
6.	Finden größter Wert Funktion 11. Studierende agieren als Experten Die Kinder sind eingeladen, die Arbeit des Schülers zu bewerten - Aufgabe S-1, ausgefüllt auf dem Prüfungsbogen - 0,1,2 Punkte (siehe Präsentation) 12. HAUSAUFGABE Der Lehrer erklärt Hausaufgaben, wobei darauf zu achten ist, dass im Unterricht ähnliche Aufgaben behandelt wurden. Die Schüler hören aufmerksam den Erklärungen des Lehrers zu und schreiben ihre Hausaufgaben auf. FIPI ( offene Bank Aufgaben: Schnittgeometrie, 6. Seite) uztest.ru (Logarithmustransformation) C3 - die Aufgabe des zweiten Teils der Prüfung 13. ZUSAMMENFASSUNG Heute haben wir in der Lektion die Eigenschaften von Logarithmen wiederholt; logarithmische Gleichungen; feste Methoden zum Finden des höchsten und niedrigsten Wertes einer Funktion; untersuchte die Probleme des physischen Inhalts im Zusammenhang mit Logarithmen; gelöste Aufgaben C1 und C3, die in der Mathematikprüfung in den Prototypen B7, B11, B12, B15, C1 und C3 angeboten werden. Benotung.

Heimat

So lösen Sie das Problem der Prüfungsnummer 13 zu exponentiellen und logarithmischen Gleichungen | 1C: Lehrer

Was Sie über exponentielle und logarithmische Gleichungen wissen müssen, um Prüfungsaufgaben in Mathematik zu lösen?

Exponentielle und logarithmische Gleichungen lösen zu können ist sehr wichtig für erfolgreiche Lieferung ein einzelnes Staatliche Prüfung Mathematik Profilebene... Wichtig aus zwei Gründen:

Erstens, Aufgabe Nr. 13 der KIM-Version der USE, wenn auch selten, aber dennoch manchmal eine solche Gleichung darstellt, die nicht nur gelöst werden muss, sondern (ähnlich wie bei der Aufgabe in der Trigonometrie) auch die Wurzeln der Gleichung auszuwählen, die eine Bedingung erfüllen.

Eine der Optionen für 2017 beinhaltete also die folgende Aufgabe:

a) Lösen Sie die Gleichung 8 x – 7 . 4 x – 2 x +4 + 112 = 0.

b) Geben Sie die Wurzeln dieser Gleichung an, die zum Segment gehören.

Antworten: a) 2; log 2 7 und b) log 2 7.

In einer anderen Version gab es eine solche Aufgabe:

a) Lösen Sie die Gleichung 6log 8 2 x- 5log 8 x + 1 = 0

b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment gehören.

Antworten: a) 2 und 2√ 2 ; b) 2.

Außerdem gab es folgendes:

a) Lösen Sie die Gleichung 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0.

b) Finden Sie alle Wurzeln dieser Gleichung, die zum Segment [π; 5π / 2].

Antworten: ein) (π / 6 + 2πk; -π / 6 + 2πk, k∊Z) und b) 11π/6; 13π / 6.

Zweitens, ist das Studium von Methoden zur Lösung exponentieller und logarithmischer Gleichungen gut, da die grundlegenden Methoden zur Lösung von Gleichungen und Ungleichungen tatsächlich dieselben mathematischen Ideen verwenden.

Die wichtigsten Methoden zur Lösung exponentieller und logarithmischer Gleichungen sind leicht zu merken, es gibt nur fünf davon: Reduktion auf die einfachste Gleichung, Verwendung äquivalenter Übergänge, Einführung neuer Unbekannter, Logarithmus und Faktorisierung. Die Methode, die Eigenschaften von exponentiellen, logarithmischen und anderen Funktionen bei der Lösung von Problemen zu verwenden, ist eine separate Methode: Manchmal ist der Schlüssel zur Lösung einer Gleichung der Definitionsbereich, der Wertebereich, Nicht-Negativität, Beschränktheit, Parität der Funktionen darin enthalten.

In der Regel gibt es in Aufgabe Nr. 13 Gleichungen, die die Verwendung der oben genannten fünf grundlegenden Methoden erfordern. Jede dieser Methoden hat ihre eigenen Eigenschaften, die Sie kennen müssen, da ihre Unkenntnis zu Fehlern bei der Lösung von Problemen führt.

Was sind die typischen Fehler, die Testteilnehmer machen?

Beim Lösen von Gleichungen, die eine Exponentialfunktion enthalten, vergessen Schulkinder oft, einen der Fälle zu berücksichtigen, in denen die Gleichheit erfüllt ist. Gleichungen dieser Art entsprechen bekanntlich einem Satz von zwei Bedingungssystemen (siehe unten), wir sprechen von dem Fall, wenn ein ( x) = 1

Dieser Fehler ist darauf zurückzuführen, dass der Prüfling beim Lösen der Gleichung formal die Definition der Exponentialfunktion verwendet (y = Axt, a> 0, a ≠ 1): für ein ≤ 0 die Exponentialfunktion ist nicht wirklich definiert,

Aber mit ein = 1 ist definiert, aber nicht indikativ, da die Einheit in jedem reellen Grad identisch mit sich selbst ist. Dies bedeutet, dass wenn in der betrachteten Gleichung at ein(x) = 1 gibt es eine korrekte numerische Gleichheit, dann sind die entsprechenden Werte der Variablen die Wurzeln der Gleichung.

Ein weiterer Fehler besteht darin, die Eigenschaften von Logarithmen anzuwenden, ohne den Bereich der akzeptablen Werte zu berücksichtigen. Zum Beispiel hat die bekannte Eigenschaft "der Logarithmus des Produkts ist gleich der Summe der Logarithmen" eine Verallgemeinerung:
log ein ( F(x)g(x)) = log a │ F(x) │ + log a │g ( x) │, für F(x)g(x) > 0, ein > 0, ein ≠ 1

Um den Ausdruck auf der linken Seite dieser Gleichheit zu definieren, genügt es nämlich, dass das Produkt der Funktionen F und g war positiv, aber die Funktionen selbst können sowohl gleichzeitig größer als auch gleichzeitig kleiner als Null sein, daher muss bei der Anwendung dieser Eigenschaft das Konzept eines Moduls verwendet werden.

Und solche Beispiele gibt es viele. Für die effektive Entwicklung von Methoden zur Lösung exponentieller und logarithmischer Gleichungen ist es daher am besten, die Dienste zu nutzen, die solche "Stolperfallen" anhand von Beispielen zur Lösung der entsprechenden Prüfungsaufgaben aufzeigen können.

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In Aufgabe Nummer 12 der USE in Mathematik der Profilebene müssen wir den größten oder kleinsten Wert der Funktion finden. Dazu muss natürlich ein Derivat verwendet werden. Schauen wir uns ein typisches Beispiel an.

Analyse typischer Optionen für Aufgaben Nr. 12 der USE in Mathematik der Profilebene

Die erste Variante der Aufgabe (Demoversion 2018)

Finden Sie den maximalen Punkt der Funktion y = ln (x + 4) 2 + 2x + 7.

Lösungsalgorithmus:

1. Finden Sie die Ableitung.
2. Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. Wir suchen Werte von x, bei denen der Logarithmus Sinn macht. Dazu lösen wir die Ungleichung:

Da das Quadrat jeder Zahl nicht negativ ist. Die Lösung der Ungleichung wird nur der Wert von x sein, bei dem x + 4 ≠ 0, d.h. für x ≠ -4.

2. Finden Sie die Ableitung:

y '= (ln (x + 4) 2 + 2x + 7)'

Durch die Eigenschaft des Logarithmus erhalten wir:

y '= (ln (x + 4) 2)' + (2x) '+ (7)'.

Nach der Formel für die Ableitung einer komplexen Funktion:

(lnf) ’= (1 / f) ∙ f’. Wir haben f = (x + 4) 2

y, = (ln (x + 4) 2) '+ 2 + 0 = (1 / (x + 4) 2) ∙ ((x + 4) 2)' + 2 = (1 / (x + 4) 2 2) ∙ (x 2 + 8x + 16) '+ 2 = 2 (x + 4) / ((x + 4) 2) + 2

y '= 2 / (x + 4) + 2

3. Setzen Sie die Ableitung mit Null gleich:

y, = 0 → (2 + 2 ∙ (x + 4)) / (x + 4) = 0,

2 + 2x +8 = 0, 2x + 10 = 0,

Die zweite Variante der Aufgabe (von Yashchenko, Nr. 1)

Finden Sie den Minimalpunkt der Funktion y = x - ln (x + 6) + 3.

Lösungsalgorithmus:

1. Bestimmen Sie den Umfang der Funktion.
2. Finden Sie die Ableitung.
3. Bestimmen Sie, an welchen Punkten die Ableitung 0 ist.
4. Wir schließen Punkte aus, die nicht zum Definitionsbereich gehören.
5. Unter den verbleibenden Punkten suchen wir nach den Werten von x, bei denen die Funktion ein Minimum hat.
6. Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. ODZ:.

2. Finden Sie die Ableitung der Funktion:

3. Setzen Sie den resultierenden Ausdruck mit Null gleich:

4. Erhielt einen Punkt x = -5, der zum Bereich der Funktion gehört.

5. An diesem Punkt hat die Funktion ein Extremum. Lassen Sie uns überprüfen, ob dies das Minimum ist. Wenn x = -4

Für x = -5,5 ist die Ableitung der Funktion negativ, da

Daher ist der Punkt x = -5 der Minimalpunkt.

Die dritte Variante der Aufgabe (von Yashchenko, Nr. 12)

Lösungsalgorithmus:

1. Finden Sie die Ableitung.
2. Bestimmen Sie, an welchen Punkten die Ableitung 0 ist.
3. Wir schließen Punkte aus, die nicht zum angegebenen Segment gehören.
4. Unter den verbleibenden Punkten suchen wir nach den Werten von x, bei denen die Funktion ein Maximum hat.
5. Wir finden die Werte der Funktion an den Enden des Segments.
6. Wir suchen den größten unter den erhaltenen Werten.
7. Wir schreiben die Antwort auf.

Lösung:

1. Berechnen Sie die Ableitung der Funktion, wir erhalten