การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่เป็นการเคลื่อนไหวโดยที่จุดสองจุดของร่างกายยังคงนิ่งอยู่ตลอดเวลาของการเคลื่อนไหว ในกรณีนี้ทุกจุดของร่างกายที่อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดคงที่ก็จะไม่เคลื่อนไหวเช่นกัน เส้นนี้เรียกว่า แกนหมุนของร่างกาย .

ให้จุด A และ B หยุดนิ่ง ลองกำหนดทิศทางแกนตามแกนการหมุน ผ่านแกนการหมุนเราวาดระนาบที่นิ่งและระนาบที่เคลื่อนที่ได้ซึ่งติดอยู่กับตัวที่หมุนได้ (ใน )

ตำแหน่งของเครื่องบินและลำตัวนั้นถูกกำหนดโดยมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบและ เรามาแสดงแทนกันเถอะ มุมนั้นเรียกว่า มุมการหมุนของร่างกาย .

ตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือกจะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน ณ เวลาใดๆ หากให้สมการ โดยที่ฟังก์ชันของเวลาใดๆ ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่า สมการนี้เรียกว่า สมการการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ .

วัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่มีอิสระระดับหนึ่ง เนื่องจากตำแหน่งถูกกำหนดโดยการระบุพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว - มุม

มุมจะถือว่าเป็นมุมบวกหากวางทวนเข็มนาฬิกา และเป็นมุมลบในทิศทางตรงกันข้าม วิถีของจุดต่างๆ ของร่างกายในระหว่างการหมุนรอบแกนคงที่คือวงกลมที่อยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนการหมุน

สำหรับลักษณะเฉพาะ การเคลื่อนไหวแบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ เราจะแนะนำแนวคิดเรื่องความเร็วเชิงมุมและ ความเร่งเชิงมุม.

ความเร็วเชิงมุมพีชคณิต ของวัตถุ ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง เรียกว่าอนุพันธ์อันดับ 1 เทียบกับเวลาของมุมการหมุน ณ เวลานี้ กล่าวคือ

ความเร็วเชิงมุมจะเป็นค่าบวกเมื่อวัตถุหมุนทวนเข็มนาฬิกา เนื่องจากมุมการหมุนจะเพิ่มขึ้นตามเวลา และเป็นลบเมื่อวัตถุหมุนตามเข็มนาฬิกา เนื่องจากมุมการหมุนลดลง

มิติของความเร็วเชิงมุมตามคำจำกัดความ:

ในทางวิศวกรรม ความเร็วเชิงมุมคือความเร็วในการหมุนที่แสดงเป็นรอบต่อนาที ในหนึ่งนาที ร่างกายจะหมุนเป็นมุม โดยที่ n คือจำนวนรอบต่อนาที เราได้หารมุมนี้ด้วยจำนวนวินาทีในหนึ่งนาที

ความเร่งเชิงมุมพีชคณิตของร่างกาย เรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับเวลาของความเร็วเชิงมุมนั่นคืออนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุนนั่นคือ

มิติของการเร่งความเร็วเชิงมุมตามคำจำกัดความ:

ให้เราแนะนำแนวคิดของเวกเตอร์เกี่ยวกับความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของวัตถุ

และ ที่ไหน คือเวกเตอร์หน่วยของแกนหมุน เวกเตอร์และสามารถแสดง ณ จุดใดก็ได้บนแกนหมุน โดยเป็นเวกเตอร์แบบเลื่อน

ความเร็วเชิงมุมพีชคณิตคือการฉายภาพของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมบนแกนการหมุน ความเร่งเชิงมุมพีชคณิตคือการฉายภาพเวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมของความเร็วไปบนแกนการหมุน

ถ้า ที่ ดังนั้นความเร็วเชิงมุมพีชคณิตจะเพิ่มขึ้นตามเวลาดังนั้นร่างกายจึงหมุนด้วยความเร่งในขณะนั้นในทิศทางบวก ทิศทางของเวกเตอร์และความบังเอิญ ทั้งคู่มีทิศทางบวกของแกนการหมุน

เมื่อใดและร่างกายจะหมุนไปในทิศทางลบอย่างรวดเร็ว ทิศทางของเวกเตอร์และความตรงกัน ทั้งคู่มีทิศทางในทิศทางลบของแกนการหมุน

หมุนเวียนพวกเขาเรียกการเคลื่อนไหวดังกล่าวโดยที่จุดสองจุดที่เกี่ยวข้องกับร่างกายดังนั้นเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้จึงยังคงไม่เคลื่อนไหวระหว่างการเคลื่อนไหว (รูปที่ 2.16) เส้นตรงคงที่ เอบีเรียกว่า แกนหมุน

ข้าว. 2.1V. สู่นิยามการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย

ตำแหน่งของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนจะกำหนดมุมของการหมุน φ, rad (ดูรูปที่ 2.16) เมื่อเคลื่อนที่มุมการหมุนจะเปลี่ยนไปตามเวลาเช่น กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุถูกกำหนดให้เป็นกฎแห่งการเปลี่ยนแปลงในเวลาของค่าของมุมไดฮีดรัล Ф = Ф(/) ระหว่างครึ่งระนาบคงที่ ถึง () ,ผ่านแกนหมุนแล้วเคลื่อนที่ได้ หมายเลข 1ระนาบครึ่งระนาบเชื่อมต่อกับลำตัวและผ่านแกนการหมุนด้วย

วิถีการเคลื่อนที่ของทุกจุดของร่างกายในระหว่างการหมุนคือวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ภายใน ระนาบขนานโดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนหมุน

ลักษณะทางจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย ในทำนองเดียวกับที่คุณลักษณะทางจลนศาสตร์ถูกนำมาใช้สำหรับจุดหนึ่งๆ แนวคิดทางจลนศาสตร์ถูกนำมาใช้ซึ่งกำหนดลักษณะเฉพาะของอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน φ(c) ซึ่งกำหนดตำแหน่งของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน กล่าวคือ ความเร็วเชิงมุม co = f = s/f/s//, มิติความเร็วเชิงมุม [co] = rad /กับ.

ในการคำนวณทางเทคนิค มักใช้การแสดงออกของความเร็วเชิงมุมที่มีมิติต่างกัน - ในรูปของจำนวนรอบต่อนาที: [i] = rpm และความสัมพันธ์ระหว่าง nและ co สามารถแสดงเป็น: co = 27w/60 = 7w/30

โดยทั่วไป ความเร็วเชิงมุมจะแปรผันตามเวลา การวัดอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมคือการเร่งความเร็วเชิงมุม e = c/co/c//= co = f มิติของการเร่งความเร็วเชิงมุม [e] = rad/s 2

คุณลักษณะจลนศาสตร์เชิงมุมที่แนะนำนั้นถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยการระบุฟังก์ชันเดียว - มุมของการหมุนเทียบกับเวลา

ลักษณะทางจลนศาสตร์ของจุดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน พิจารณาประเด็น มร่างกายตั้งอยู่ที่ระยะทาง p จากแกนการหมุน จุดนี้เคลื่อนที่ไปตามวงกลมรัศมี p (รูปที่ 2.17)

ข้าว. 2.17.

จุดต่างๆ ของร่างกายขณะหมุน

ความยาวส่วนโค้ง เอ็ม คิว เอ็มวงกลมรัศมี p ถูกกำหนดให้เป็น ส= ptp โดยที่ f คือมุมการหมุน rad หากกำหนดกฎการเคลื่อนที่ของวัตถุเป็น φ = φ(g) ดังนั้นกฎการเคลื่อนที่ของจุด มตามแนววิถีถูกกำหนดโดยสูตร ส= рф(7)

ด้วยการใช้การแสดงออกของลักษณะทางจลนศาสตร์ด้วยวิธีธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนที่ของจุด เราได้ลักษณะทางจลนศาสตร์สำหรับจุดของวัตถุที่กำลังหมุน: ความเร็วตามสูตร (2.6)

วี= 5 = rf = rso; (2.22)

ความเร่งวงโคจรตามนิพจน์ (2.12)

ฉัน = K = ส = เอ้อ; (2.23)

ความเร่งปกติตามสูตร (2.13)

ก" =และ 2 /р = с 2 р 2 /р = ogr; (2.24)

ความเร่งรวมโดยใช้นิพจน์ (2.15)

ก = -]ก + ก] =พิกเซล/อี 2 + โค 4 (2.25)

ลักษณะของทิศทางของการเร่งความเร็วทั้งหมดนั้นถือเป็น p - มุมเบี่ยงเบนของเวกเตอร์ของความเร่งรวมจากรัศมีของวงกลมที่อธิบายโดยจุด (รูปที่ 2.18)

จากรูป 2.18 เราได้

tgjLi = อาจา เอ็น=re/pco 2 =g/(o 2. (2.26)

ข้าว. 2.18.

โปรดทราบว่าคุณลักษณะทางจลนศาสตร์ทั้งหมดของจุดของวัตถุที่กำลังหมุนนั้นเป็นสัดส่วนกับระยะทางกับแกนของการหมุน เ-

ตัวตนของพวกมันถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ของฟังก์ชันเดียวกัน - มุมการหมุน

การแสดงออกของเวกเตอร์สำหรับคุณลักษณะทางจลนศาสตร์เชิงมุมและเชิงเส้น สำหรับคำอธิบายเชิงวิเคราะห์เกี่ยวกับคุณลักษณะจลนศาสตร์เชิงมุมของวัตถุที่กำลังหมุน ร่วมกับแกนการหมุน แนวคิดนี้ เวกเตอร์มุมการหมุน(รูปที่ 2.19): φ = φ(/)A: โดยที่ ถึง- กิน

เวกเตอร์แกนหมุน

1; ถึง=สบป51 .

เวกเตอร์ f ถูกกำหนดทิศทางไปตามแกนนี้เพื่อให้มองเห็นได้จาก "จุดสิ้นสุด"

การหมุนเกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา

ข้าว. 2.19.

ลักษณะเฉพาะในรูปแบบเวกเตอร์

หากทราบเวกเตอร์ φ(/) คุณลักษณะเชิงมุมอื่นๆ ทั้งหมดของการเคลื่อนที่แบบหมุนสามารถแสดงได้ในรูปแบบเวกเตอร์:

• เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม co = f = f ถึง.ทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมจะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ของมุมการหมุน
• เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุม є = сo = Ф ถึง.ทิศทางของเวกเตอร์นี้จะกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ของความเร็วเชิงมุม

เวกเตอร์ที่แนะนำ с และ є ช่วยให้เราได้รับการแสดงออกของเวกเตอร์สำหรับคุณลักษณะจลนศาสตร์ของจุด (ดูรูปที่ 2.19)

โปรดทราบว่าโมดูลัสของเวกเตอร์ความเร็วของจุดเกิดขึ้นพร้อมกับโมดูลัส ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมและรัศมี: |sokh ช= sogvіpa = ขยะ เมื่อคำนึงถึงทิศทางของเวกเตอร์ с และ r และกฎสำหรับทิศทางของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เราสามารถเขียนนิพจน์สำหรับเวกเตอร์ความเร็วได้:

วี= ร่วม xg

ในทำนองเดียวกัน มันง่ายที่จะแสดงสิ่งนั้น

• ? เอ็กซ์
• - เช่นBіpa= ар = ที่และ

โซซอร์ = co p = i

(นอกจากนี้ เวกเตอร์ของคุณลักษณะทางจลนศาสตร์เหล่านี้ตรงกับทิศทางกับผลคูณเวกเตอร์ที่สอดคล้องกัน

ดังนั้นเวกเตอร์แทนเจนต์และ การเร่งความเร็วปกติสามารถแสดงเป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้:

• (2.28)
• (2.29)

ก x = กเอ็กซ์ ช

ก= ร่วม x วี.

ร่างกายแข็งทื่ออย่างแน่นอนร่างกาย ตำแหน่งสัมพัทธ์ส่วนต่างๆ ที่ไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการเคลื่อนไหว

การเคลื่อนที่แบบแปลนของวัตถุแข็งเกร็ง - นี่คือการเคลื่อนไหวโดยที่เส้นตรงใดๆ ที่เชื่อมต่ออย่างเหนียวแน่นกับลำตัวเคลื่อนที่โดยยังคงขนานกับทิศทางเดิม

ในระหว่างการเคลื่อนที่เชิงแปลของวัตถุแข็งเกร็ง จุดทุกจุดจะเคลื่อนที่เท่ากันในช่วงเวลาสั้นๆ dt เวกเตอร์รัศมีของจุดเหล่านี้จะเปลี่ยนไปด้วยจำนวนที่เท่ากัน ดังนั้น ในแต่ละช่วงเวลา ความเร็วของจุดทั้งหมดจะเท่ากันและเท่ากัน ดังนั้น จลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบแปลนที่พิจารณาแล้วของวัตถุแข็งเกร็งจึงขึ้นอยู่กับการศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดใดๆ ของมัน โดยปกติแล้วเราจะพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางความเฉื่อยของวัตถุแข็งเกร็งที่เคลื่อนที่อย่างอิสระในอวกาศ

การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายแข็งเกร็ง - นี่คือการเคลื่อนไหวที่จุดทั้งหมดเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่นอกร่างกาย . เส้นตรงเรียกว่าแกนการหมุนของร่างกาย

ความเร็วเชิงมุม– ปริมาณเวกเตอร์, กำหนดลักษณะความเร็วของการหมุนของร่างกาย; อัตราส่วนของมุมการหมุนต่อเวลาที่การหมุนนี้เกิดขึ้น เวกเตอร์ที่กำหนดโดยอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมุมการหมุนของวัตถุเทียบกับเวลา เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมถูกกำหนดทิศทางไปตามแกนการหมุนตามกฎของสกรูด้านขวา ω=φ/t=2π/T=2πn โดยที่ T คือคาบการหมุน n คือความถี่การหมุน ω=ลิม Δt → 0 Δφ/Δt=dφ/dt

ความเร่งเชิงมุม– เวกเตอร์ที่กำหนดโดยอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็วเชิงมุมเทียบกับเวลา เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมจะพุ่งไปตามแกนการหมุนไปทางเวกเตอร์ของการเพิ่มขึ้นเบื้องต้นของความเร็วเชิงมุม อนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุนเทียบกับเวลา เมื่อวัตถุหมุนรอบแกนคงที่ เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมจะพุ่งไปตามแกนการหมุนไปทางเวกเตอร์ของการเพิ่มขึ้นเบื้องต้นของความเร็วเชิงมุม เมื่อการเคลื่อนที่ถูกเร่ง เวกเตอร์ ε จะมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ φ และเมื่อมันเคลื่อนที่ช้า เวกเตอร์ก็จะอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์นั้น ε=dω/dt.

ถ้า dω/dt> 0 แล้ว εω

ถ้า dω/dt< 0, то ε ↓ω

4. หลักการของความเฉื่อย (กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน) ระบบอ้างอิงเฉื่อย หลักสัมพัทธภาพ

กฎข้อที่หนึ่งของนิวตัน (กฎความเฉื่อย): ทุกจุดวัตถุ (ร่างกาย) จะรักษาสภาวะการพักหรือสม่ำเสมอ การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงจนอิทธิพลจากร่างอื่นบังคับให้เธอเปลี่ยนสถานะนี้

ความปรารถนาของร่างกายที่จะรักษาสภาวะการพักผ่อนหรือการเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงสม่ำเสมอนั้นเรียกว่า ความเฉื่อย- ดังนั้นกฎข้อแรกของนิวตันจึงเรียกว่ากฎความเฉื่อย

กฎข้อแรกของนิวตันระบุถึงการมีอยู่ของกรอบอ้างอิงเฉื่อย

กรอบอ้างอิงเฉื่อย– นี่คือระบบอ้างอิงที่สัมพันธ์กับจุดวัสดุอิสระซึ่งไม่ได้รับผลกระทบจากวัตถุอื่น เคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอเป็นเส้นตรง นี่คือระบบที่อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงโดยสัมพันธ์กับระบบเฉื่อยอื่นๆ

หลักสัมพัทธภาพ- พื้นฐาน กฎหมายทางกายภาพตามที่กระบวนการใดๆ ดำเนินการเหมือนกันในระบบวัสดุแยกเดี่ยวที่อยู่นิ่ง และในระบบเดียวกันในสภาวะการเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงสม่ำเสมอ สถานะของการเคลื่อนที่หรือการหยุดนิ่งถูกกำหนดโดยคำนึงถึงกรอบอ้างอิงเฉื่อยที่เลือกโดยพลการ หลักการสัมพัทธภาพเป็นรากฐาน ทฤษฎีพิเศษทฤษฎีสัมพัทธภาพของไอน์สไตน์

5. การเปลี่ยนแปลงแบบกาลิลี

หลักสัมพัทธภาพ (กาลิลี): ไม่มีการทดลอง (ทางกล ไฟฟ้า ทางแสง) ภายในระบบอ้างอิงเฉื่อยที่กำหนด ทำให้สามารถตรวจจับได้ว่าระบบนี้อยู่นิ่งหรือเคลื่อนที่สม่ำเสมอและเป็นเส้นตรง กฎแห่งธรรมชาติทั้งหมดไม่เปลี่ยนแปลงในส่วนที่เกี่ยวกับการเปลี่ยนจากกรอบอ้างอิงเฉื่อยหนึ่งไปยังอีกกรอบอ้างอิงหนึ่ง

ให้เราพิจารณาระบบอ้างอิงสองระบบ: กรอบเฉื่อย K (ด้วย พิกัด x,y,z) ซึ่งตามอัตภาพเราจะพิจารณาความคงที่และระบบ K’ (ด้วยพิกัด x’,y’,z’) ซึ่งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับ K อย่างสม่ำเสมอและเป็นเส้นตรงด้วยความเร็ว U (U = const) เรามาค้นหาความเชื่อมโยงระหว่างพิกัดของจุด A โดยพลการในทั้งสองระบบกัน r = r'+r0=r'+Ut (1.)

สมการ (1.) สามารถเขียนเป็นเส้นโครงบนแกนพิกัดได้:

y=y'+Uyt; (2.)

z=z’+อุซต์; สมการ (1.) และ (2.) เรียกว่าการแปลงพิกัดแบบกาลิเลียน

ความสัมพันธ์ระหว่างพลังงานศักย์และแรง

ทุกจุด สนามที่มีศักยภาพในด้านหนึ่งสอดคล้องกับค่าหนึ่งของเวกเตอร์แรงที่กระทำต่อร่างกาย และในอีกด้านหนึ่งสอดคล้องกับค่าหนึ่งของพลังงานศักย์ ดังนั้นจึงต้องมีความสัมพันธ์บางอย่างระหว่างแรงกับพลังงานศักย์

เพื่อสร้างการเชื่อมต่อนี้ ให้เราคำนวณงานเบื้องต้นที่ดำเนินการโดยกองกำลังสนามในระหว่างการกระจัดเล็กน้อยของร่างกายที่เกิดขึ้นตามทิศทางที่เลือกโดยพลการในอวกาศ ซึ่งเราแสดงด้วยตัวอักษร . งานนี้เท่าเทียมกับ

การฉายแรงไปที่ทิศทางอยู่ที่ไหน

เนื่องจากในกรณีนี้ งานเสร็จสิ้นเนื่องจากการสำรองพลังงานศักย์ จึงเท่ากับการสูญเสียพลังงานศักย์บนส่วนของแกน:

ของทั้งสอง สำนวนล่าสุดเราได้รับ

สูตรนี้กำหนดเส้นโครงของเวกเตอร์แรงลงบน แกนประสานงาน- หากทราบเส้นโครงเหล่านี้ จะมีการกำหนดเวกเตอร์แรงเอง:

ในเวกเตอร์ทางคณิตศาสตร์ ,

โดยที่ a คือฟังก์ชันสเกลาร์ของ x, y, z เรียกว่าเกรเดียนต์ของสเกลาร์นี้และเขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ . ดังนั้นแรงจึงเท่ากับการไล่ระดับพลังงานศักย์ที่มีเครื่องหมายตรงกันข้าม

บทความนี้จะอธิบายส่วนสำคัญของฟิสิกส์ - "จลนศาสตร์และพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน"

แนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

การเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุรอบแกนคงที่เรียกว่าการเคลื่อนที่ดังกล่าวซึ่งมีวิถีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่อยู่ในระนาบตั้งฉากกับแกนและศูนย์กลางของมันอยู่บนแกนหมุน

การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งคือการเคลื่อนไหวที่ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามจุดศูนย์กลาง (จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนแกนเดียวกัน) เป็นวงกลมตามกฎสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุ

ปล่อยให้ร่างกายแข็งทื่อโดยพลการ T หมุนรอบแกน O ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของการวาด ให้เราเลือกจุด M บนวัตถุนี้ เมื่อหมุน จุดนี้จะอธิบายวงกลมที่มีรัศมีรอบแกน O ร.

หลังจากนั้นครู่หนึ่ง รัศมีจะหมุนสัมพันธ์กับตำแหน่งเดิมเป็นมุม Δφ

ทิศทางของสกรูด้านขวา (ตามเข็มนาฬิกา) ถือเป็นทิศทางการหมุนที่เป็นบวก การเปลี่ยนแปลงมุมการหมุนเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าสมการของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง:

φ = φ(เสื้อ)

หากวัด φ เป็นเรเดียน (1 rad คือมุมที่สอดคล้องกับส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของมัน) ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งวงกลม ΔS ซึ่งจุดวัสดุ M จะผ่านไปตามเวลา Δt จะเท่ากับ:

∆S = ∆φr

องค์ประกอบพื้นฐานของจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ

การวัดการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในช่วงเวลาสั้นๆ dtทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์การหมุนเบื้องต้น dφ.

ความเร็วเชิงมุมของจุดวัตถุหรือวัตถุคือ ปริมาณทางกายภาพซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของเวกเตอร์ของการหมุนเบื้องต้นต่อระยะเวลาของการหมุนนี้ ทิศทางของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้ตามกฎของสกรูด้านขวาตามแนวแกน O ในรูปแบบสเกลาร์:

ω = dφ/dt

ถ้า ω = dφ/dt = const,การเคลื่อนที่ดังกล่าวเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ ด้วยความเร็วเชิงมุมจะถูกกำหนดโดยสูตร

ω = φ/ตัน

ตามสูตรเบื้องต้นคือ มิติของความเร็วเชิงมุม

[ω] = 1 ราด/วินาที

การเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยคาบการหมุน คาบของการหมุน T คือปริมาณทางกายภาพที่กำหนดเวลาในระหว่างที่วัตถุทำการหมุนรอบแกนการหมุนเต็มหนึ่งครั้ง ([T] = 1 วินาที) หากในสูตรสำหรับความเร็วเชิงมุมเราใช้ t = T, φ = 2 π (หนึ่งรอบการหมุนรัศมี r เต็ม) แล้ว

ω = 2π/T,

ดังนั้นเราจึงกำหนดระยะเวลาการหมุนเวียนดังนี้:

T = 2π/ω

จำนวนรอบที่ร่างกายทำต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความถี่ในการหมุน ν ซึ่งเท่ากับ:

ν = 1/ต.

หน่วยความถี่: [ν]= 1/s = 1 วินาที -1 = 1 เฮิร์ตซ์

เมื่อเปรียบเทียบสูตรสำหรับความเร็วเชิงมุมและความถี่การหมุน เราจะได้นิพจน์ที่เชื่อมโยงปริมาณเหล่านี้:

ω = 2πν

องค์ประกอบพื้นฐานของจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนไม่สม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่แบบหมุนไม่สม่ำเสมอของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุรอบแกนคงที่นั้นมีคุณลักษณะเฉพาะคือความเร็วเชิงมุมซึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลา

เวกเตอร์ ε ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมเรียกว่าเวกเตอร์ความเร่งเชิงมุม:

ε = dω/dt

หากร่างกายหมุนเร่งความเร็วนั่นคือ dω/dt > 0เวกเตอร์มีทิศทางตามแนวแกนในทิศทางเดียวกับ ω

หากการเคลื่อนที่แบบหมุนช้า - dω/dt< 0 จากนั้นเวกเตอร์ ε และ ω จะถูกกำกับตรงกันข้าม

ความคิดเห็น- เมื่อการเคลื่อนที่แบบหมุนไม่สม่ำเสมอเกิดขึ้น เวกเตอร์ ω สามารถเปลี่ยนได้ไม่เพียงแต่ในขนาดเท่านั้น แต่ยังเปลี่ยนในทิศทางด้วย (เมื่อหมุนแกนการหมุน)

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แสดงถึงลักษณะการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน

เป็นที่ทราบกันว่าความยาวส่วนโค้งกับมุมการหมุนของรัศมีและค่าของมันมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

∆S = ∆φ r

จากนั้นความเร็วเชิงเส้นของจุดวัสดุที่ทำการเคลื่อนที่แบบหมุน

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr

ความเร่งปกติของจุดวัสดุที่ทำการเคลื่อนที่เชิงแปลแบบหมุนมีการกำหนดไว้ดังนี้:

ก = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

ดังนั้นในรูปแบบสเกลาร์

ก = ω 2 อาร์

จุดวัสดุเร่งความเร็วในวงสัมผัสที่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบหมุน

ก = ε อาร์

โมเมนตัมของจุดวัสดุ

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของวิถีโคจรของจุดวัสดุที่มีมวล m i และโมเมนตัมของมันถูกเรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุมของจุดนี้รอบแกนการหมุน ทิศทางของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้โดยใช้กฎสกรูด้านขวา

โมเมนตัมของจุดวัสดุ ( ฉัน) ตั้งฉากกับระนาบที่ลากผ่าน r i และ υ i และเกิดเป็นเวกเตอร์สามเท่าทางขวามือ (นั่นคือ เมื่อเคลื่อนที่จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ร ฉันถึง υ สกรูด้านขวาจะแสดงทิศทางของเวกเตอร์ ลฉัน).

ในรูปแบบสเกลาร์

L = m ฉัน υ ฉัน r ฉันบาป(υ ฉัน , r ฉัน)

เมื่อพิจารณาว่าเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลม เวกเตอร์รัศมี และเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นสำหรับ วัสดุที่ iจุดตั้งฉากกัน

บาป(υ ฉัน , r ฉัน) = 1.

ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัตถุสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนจะอยู่ในรูปแบบ

L = ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน r ฉัน .

โมเมนต์แรงที่กระทำต่อจุดวัสดุที่ i

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีซึ่งถูกดึงดูดไปยังจุดที่ใช้แรง และแรงนี้เรียกว่าโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อ วัสดุที่ iจุดสัมพันธ์กับแกนการหมุน

ในรูปแบบสเกลาร์

M i = r i F ฉันบาป(r ฉัน , F i)

เมื่อพิจารณาแล้วว่า r ฉันsinα = l ฉัน ,ม ผม = ล ผม ฉ ผม .

ขนาด ล i เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุดหมุนไปจนถึงทิศทางการกระทำของแรง เรียกว่า แขนของแรง ฉ ฉัน.

พลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุน

สมการของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนเขียนได้ดังนี้:

M = เดซิลิตร/dt

การกำหนดกฎมีดังนี้: อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่เท่ากับโมเมนต์ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กับแกนนี้ของแรงภายนอกทั้งหมดที่ใช้กับร่างกาย

โมเมนต์ของแรงกระตุ้นและโมเมนต์ความเฉื่อย

เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับจุดวัสดุที่ i โมเมนตัมเชิงมุมในรูปแบบสเกลาร์จะได้รับจากสูตร

ลิ = ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน r ฉัน .

ถ้าแทนที่จะเป็นความเร็วเชิงเส้น เราแทนนิพจน์ของมันด้วยความเร็วเชิงมุม:

υ ฉัน = ωr ฉัน ,

จากนั้นการแสดงออกของโมเมนตัมเชิงมุมจะอยู่ในรูปแบบ

L i = มิริ ฉัน 2 ω.

ขนาด ฉัน ฉัน = ฉัน ฉัน r ฉัน 2เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยสัมพันธ์กับแกนของจุดวัสดุที่ i ของวัตถุที่มีความแข็งอย่างยิ่งที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล จากนั้นเราเขียนโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุ:

ลิ = ฉัน ฉัน ω

เราเขียนโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างยิ่งเป็นผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุที่ประกอบกันเป็นวัตถุนี้:

ล = ไอโอ

โมเมนต์ของแรงและโมเมนต์ความเฉื่อย

กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนระบุว่า:

M = เดซิลิตร/dt

เป็นที่ทราบกันว่าโมเมนตัมเชิงมุมของร่างกายสามารถแสดงผ่านโมเมนต์ความเฉื่อย:

ล = ไอโอ

M = Idω/dt

เมื่อพิจารณาว่าความเร่งเชิงมุมถูกกำหนดโดยนิพจน์

ε = dω/dt,

เราได้สูตรสำหรับโมเมนต์ของแรง ซึ่งแสดงผ่านโมเมนต์ความเฉื่อย:

ม = ฉันε.

ความคิดเห็นโมเมนต์ของแรงจะถือเป็นบวกถ้าความเร่งเชิงมุมที่ทำให้เกิดโมเมนต์นั้นมากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน

ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ กฎการบวกโมเมนต์ความเฉื่อย

หากแกนการหมุนของวัตถุไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล สัมพันธ์กับแกนนี้ เราสามารถค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของมันได้โดยใช้ทฤษฎีบทของสไตเนอร์:
ฉัน = ฉัน 0 + แม่ 2

ที่ไหน ฉัน 0- ช่วงเริ่มต้นของความเฉื่อยของร่างกาย ม- น้ำหนักตัว; ก- ระยะห่างระหว่างแกน

หากระบบที่หมุนรอบแกนคงที่ประกอบด้วย nร่างกายจากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยรวมของระบบประเภทนี้จะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของส่วนประกอบต่างๆ (กฎของการบวกโมเมนต์ความเฉื่อย)

มุมการหมุน ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุม

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่เรียกว่าเป็นการเคลื่อนไหวโดยที่จุดสองจุดของร่างกายยังคงนิ่งอยู่ตลอดเวลาที่เคลื่อนไหว ในกรณีนี้ทุกจุดของร่างกายที่อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดคงที่ก็จะไม่เคลื่อนไหวเช่นกัน เส้นนี้เรียกว่า แกนการหมุนของร่างกาย

ถ้า กและ ใน- จุดคงที่ของร่างกาย (รูปที่ 15 ), แล้วแกนหมุนก็คือแกน ออนซ์,ซึ่งสามารถมีทิศทางใดก็ได้ในอวกาศ ไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้ง ทิศทางแกนเดียว ออนซ์ถือเป็นผลบวก

เราวาดระนาบคงที่ผ่านแกนการหมุน โดยและมือถือ พีติดอยู่กับตัวที่หมุนได้ ปล่อยให้ระนาบทั้งสองมาบรรจบกัน ณ เวลาเริ่มแรก แล้วเมื่อสักครู่. ทีตำแหน่งของระนาบที่กำลังเคลื่อนที่และตัวที่กำลังหมุนนั้นสามารถกำหนดได้โดยมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบกับมุมเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน φ ระหว่างเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเหล่านี้และตั้งฉากกับแกนการหมุน มุม φ เรียกว่า มุมการหมุนของร่างกาย

ตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือกนั้นถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ในสิ่งใด ๆ

ช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าให้สมการ φ =ฉ(ที) (5)

ที่ไหน ฉ(ที)- ฟังก์ชันของเวลาที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่า สมการนี้เรียกว่า สมการการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่

วัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่มีอิสระระดับหนึ่ง เนื่องจากตำแหน่งถูกกำหนดโดยการระบุพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว - มุม φ .

มุม φ ถือว่าเป็นบวกหากวาดทวนเข็มนาฬิกาและเป็นลบในทิศทางตรงกันข้ามเมื่อมองจากทิศทางบวกของแกน ออนซ์.วิถีของจุดต่างๆ ของร่างกายในระหว่างการหมุนรอบแกนคงที่คือวงกลมที่อยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนการหมุน

เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ เราแนะนำแนวคิดเรื่องความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม ความเร็วเชิงมุมพีชคณิตของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งเรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับเวลาของมุมการหมุน ณ ขณะนี้คือ dφ/dt = φเป็นปริมาณบวกเมื่อวัตถุหมุนทวนเข็มนาฬิกา เนื่องจากมุมการหมุนเพิ่มขึ้นตามเวลา และเป็นปริมาณลบเมื่อวัตถุหมุนตามเข็มนาฬิกา เนื่องจากมุมการหมุนลดลง

โมดูลความเร็วเชิงมุมแสดงโดย ω. แล้ว ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

มิติของความเร็วเชิงมุมถูกกำหนดไว้ตาม (6)

[ω] = มุม/เวลา = rad/s = s -1.

ในทางวิศวกรรม ความเร็วเชิงมุมคือความเร็วในการหมุนที่แสดงเป็นรอบต่อนาที ภายใน 1 นาที ร่างกายจะหมุนเป็นมุม 2πp,ถ้า n- จำนวนรอบต่อนาที เมื่อหารมุมนี้ด้วยจำนวนวินาทีในหนึ่งนาที เราจะได้: (7)

ความเร่งเชิงมุมพีชคณิตของร่างกายเรียกว่าอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับเวลาของความเร็วพีชคณิตนั่นคือ อนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุน วัน 2 φ/dt 2 = ω- ให้เราแสดงถึงโมดูลความเร่งเชิงมุม ε , แล้ว ε=|φ| (8)

มิติของการเร่งความเร็วเชิงมุมได้มาจาก (8):

[ε ] = ความเร็วเชิงมุม/เวลา = rad/s 2 = s -2

ถ้า φ’’>0 ที่ φ’>0 จากนั้นความเร็วเชิงมุมพีชคณิตจะเพิ่มขึ้นตามเวลา ดังนั้นวัตถุจะหมุนด้วยความเร่งในขณะนั้นในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) ที่ φ’’<0 และ φ’<0 ร่างกายหมุนอย่างรวดเร็วไปในทิศทางลบ ถ้า φ’’<0 ที่ φ’>0 แล้วเราจะหมุนช้าๆ ไปในทิศทางบวก ที่ φ’’>0 และ φ’<0 , เช่น. การหมุนช้าเกิดขึ้นในทิศทางลบ ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมในรูปแสดงด้วยลูกศรส่วนโค้งรอบแกนการหมุน ลูกศรส่วนโค้งสำหรับความเร็วเชิงมุมบ่งบอกถึงทิศทางการหมุนของวัตถุ

สำหรับการหมุนด้วยความเร่ง ลูกศรโค้งสำหรับความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมจะมีทิศทางเดียวกัน สำหรับการหมุนช้าๆ ทิศทางของมันจะตรงกันข้าม

กรณีพิเศษของการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

การหมุนจะบอกว่าสม่ำเสมอถ้า ω=const, φ= φ’t

การหมุนจะสม่ำเสมอถ้า ε=คอนสต. φ’= φ’ 0 + φ’'t และ

โดยทั่วไปแล้วถ้า φ’’ ไม่ใช่ตลอดเวลา

ความเร็วและความเร่งของจุดต่างๆ ของร่างกาย

ทราบสมการของการหมุนของวัตถุแข็งรอบแกนคงที่ φ= ฉ(เสื้อ)(รูปที่ 16) ระยะทาง สคะแนน มในเครื่องบินที่กำลังเคลื่อนที่ ปตามแนวโค้งวงกลม (วิถีจุด) วัดจากจุด ฉันตั้งอยู่ในระนาบคงที่ซึ่งแสดงออกผ่านมุม φ ติดยาเสพติด s=hφ, ที่ไหน ชม.-รัศมีของวงกลมที่จุดเคลื่อนที่ เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดหนึ่ง มไปจนถึงแกนหมุน บางครั้งเรียกว่ารัศมีการหมุนของจุด ที่แต่ละจุดของร่างกาย รัศมีการหมุนยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อร่างกายหมุนรอบแกนคงที่

ความเร็วพีชคณิตของจุด มกำหนดโดยสูตร โวลต์ τ =s’=hφโมดูลความเร็วจุด: v=hω(9)

ความเร็วของจุดวัตถุเมื่อหมุนรอบแกนคงที่จะเป็นสัดส่วนกับระยะทางที่สั้นที่สุดไปยังแกนนี้ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนคือความเร็วเชิงมุม ความเร็วของจุดต่างๆ นั้นพุ่งไปตามเส้นสัมผัสของวิถีการเคลื่อนที่ ดังนั้น จึงตั้งฉากกับรัศมีการหมุน ความเร็วของจุดของร่างกายที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง โอมตาม (9) มีการกระจายตามกฎเชิงเส้น พวกมันขนานกันและปลายของมันตั้งอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกันที่ผ่านแกนการหมุน เราแยกความเร่งของจุดออกเป็นองค์ประกอบวงสัมผัสและปกติเช่น a=a τ +a nτความเร่งในวงสัมผัสและความเร่งปกติคำนวณโดยใช้สูตร (10)

เนื่องจากรัศมีความโค้งของวงกลมคือ พี=ช(รูปที่ 17 ). ดังนั้น,

ความเร่งแทนเจนต์ ความเร่งปกติและความเร่งรวมของจุด ตลอดจนความเร็ว ก็มีการกระจายตามกฎเชิงเส้นเช่นกัน ขึ้นอยู่กับระยะทางของจุดถึงแกนการหมุนเชิงเส้น ความเร่งปกติจะพุ่งไปตามรัศมีของวงกลมไปทางแกนหมุน ทิศทางของการเร่งความเร็วในวงโคจรขึ้นอยู่กับสัญญาณของการเร่งความเร็วเชิงมุมเชิงพีชคณิต ที่ φ’>0 และ φ’’>0 หรือ φ’<0 และ φ’<0 เราได้เร่งความเร็วการหมุนของร่างกายและทิศทางของเวกเตอร์ τและ โวลต์จับคู่. ถ้า φ’ และ φ’" มีสัญญาณต่าง ๆ (หมุนช้า) แล้ว τและ โวลต์มุ่งตรงตรงข้ามกัน

กำหนดแล้ว α เรามีมุมระหว่างความเร่งรวมของจุดหนึ่งกับรัศมีการหมุนของมัน

ทีกา = | ก τ |/a n = ε/ω 2 (11)

เนื่องจากการเร่งความเร็วปกติ พีเป็นบวกเสมอ มุม กเหมือนกันทุกจุดของร่างกาย ควรเลื่อนจากการเร่งความเร็วไปเป็นรัศมีการหมุนในทิศทางของลูกศรส่วนโค้งของการเร่งความเร็วเชิงมุมโดยไม่คำนึงถึงทิศทางการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

เวกเตอร์ของความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม

ให้เราแนะนำแนวคิดของเวกเตอร์เกี่ยวกับความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของวัตถุ ถ้า ถึงคือเวกเตอร์หน่วยของแกนหมุนที่พุ่งไปในทิศทางบวก จากนั้นเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม ώ และความเร่งเชิงมุม ε กำหนดโดยสำนวน (12)

เพราะ เคคือค่าคงที่เวกเตอร์ทั้งขนาดและทิศทาง จากนั้นจาก (12) จะเป็นไปตามนั้น

ε=dώ/dt(13)

ที่ φ’>0 และ φ’’>0 ทิศทางเวกเตอร์ ώ และ ε จับคู่. ทั้งสองมีทิศทางไปทางด้านบวกของแกนหมุน ออนซ์(รูปที่ 18.ก)ถ้า φ’>0 และ φ’’<0 จากนั้นพวกมันจะถูกนำไปในทิศทางตรงกันข้าม (รูปที่ 18.b ). เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมเกิดขึ้นพร้อมกันในทิศทางกับเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมในระหว่างการหมุนด้วยความเร่ง และอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ในระหว่างการหมุนช้าๆ เวกเตอร์ ώ และ ε สามารถแสดง ณ จุดใดก็ได้บนแกนหมุน พวกมันเป็นเวกเตอร์เคลื่อนที่ คุณสมบัตินี้ตามมาจากสูตรเวกเตอร์สำหรับความเร็วและความเร่งของจุดร่างกาย

การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อน

แนวคิดพื้นฐาน

เพื่อศึกษาประเภทการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นของวัตถุแข็งเกร็ง ขอแนะนำให้พิจารณาการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดของจุด ในปัญหาหลายๆ อย่าง การเคลื่อนที่ของจุดจะต้องพิจารณาโดยสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงสองระบบ (หรือมากกว่า) ที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน ดังนั้น การเคลื่อนที่ของยานอวกาศที่เคลื่อนที่ไปยังดวงจันทร์จะต้องพิจารณาพร้อมๆ กัน ทั้งสัมพันธ์กับโลกและสัมพันธ์กับดวงจันทร์ซึ่งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับโลก การเคลื่อนไหวของจุดใด ๆ ถือได้ว่าซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยการเคลื่อนไหวหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของเรือไปตามแม่น้ำที่สัมพันธ์กับโลกถือได้ว่าซับซ้อน ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ผ่านน้ำและร่วมกับน้ำที่ไหล

ในกรณีที่ง่ายที่สุด การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของจุดประกอบด้วยการเคลื่อนไหวเชิงสัมพันธ์และการเคลื่อนไหวเชิงแปล เรามานิยามการเคลื่อนไหวเหล่านี้กัน ขอให้เรามีระบบอ้างอิงสองระบบที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน หากระบบใดระบบหนึ่งเหล่านี้ โอ ลิตร x 1 ปี 1 z 1(รูปที่ 19 ) ถือเป็นระบบหลักหรือแบบคงที่ (ไม่พิจารณาการเคลื่อนที่ที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงอื่น) จากนั้นจึงเป็นระบบอ้างอิงที่สอง อ็อกซิซจะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับอันแรก การเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนที่ อ็อกซิซเรียกว่า ญาติ.ลักษณะการเคลื่อนที่นี้เรียกว่า วิถี ความเร็ว และความเร่ง ญาติ.ถูกกำหนดโดยดัชนี r; เพื่อความเร็วและความเร่ง วี อาร์ อาร์การเคลื่อนที่ของจุดสัมพันธ์กับหน้าต่างอ้างอิงระบบหลักหรือคงที่ O 1 x 1 ปี 1 z 1เรียกว่า แน่นอน(หรือซับซ้อน. ). บางครั้งก็เรียกว่า คอมโพสิตความเคลื่อนไหว. วิถี ความเร็ว และความเร่งของการเคลื่อนไหวนี้เรียกว่าสัมบูรณ์ ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์จะแสดงด้วยตัวอักษร วี กไม่มีดัชนี

การเคลื่อนที่แบบเคลื่อนย้ายได้ของจุดคือการเคลื่อนไหวที่ประกอบขึ้นพร้อมกับกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ โดยเป็นจุดที่ยึดติดกับระบบนี้อย่างเหนียวแน่น ณ เวลาที่พิจารณา เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ จุดที่เคลื่อนที่ในเวลาต่างกันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดต่างๆ ของร่างกาย ส,โดยแนบระบบอ้างอิงการเคลื่อนย้ายไว้ด้วย ความเร็วแบบพกพาและความเร่งแบบพกพาคือความเร็วและความเร่งของจุดนั้นของร่างกาย ส,ซึ่งมีจุดเคลื่อนที่เกิดขึ้นพร้อมๆ กันในปัจจุบัน ความเร็วและความเร่งแบบพกพาแสดงถึง วี อี เอ อี

ถ้าวิถีทุกจุดของร่างกาย ส,ที่แนบมากับระบบอ้างอิงการเคลื่อนที่ดังแสดงในรูป (รูปที่ 20) จากนั้นเราจะได้ตระกูลเส้น - ตระกูลวิถีของการเคลื่อนที่แบบพกพาของจุด ม.เนื่องจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด มในแต่ละช่วงเวลานั้น มันอยู่บนวิถีการเคลื่อนที่แบบพกพา จุด มสามารถเกิดขึ้นได้เพียงจุดเดียวในแต่ละวิถีของวิถีพกพาตระกูลนี้ ในเรื่องนี้บางครั้งเชื่อกันว่าไม่มีวิถีการเคลื่อนที่แบบพกพาเนื่องจากจำเป็นต้องพิจารณาเส้นเป็นวิถีการเคลื่อนที่แบบพกพาซึ่งจริงๆ แล้วมีเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่เป็นจุดของวิถี

ในจลนศาสตร์ของจุด มีการศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงใดๆ โดยไม่คำนึงว่าระบบอ้างอิงนี้จะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบอื่นหรือไม่ ให้เราเสริมการศึกษานี้โดยพิจารณาการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อน ในกรณีที่ง่ายที่สุดที่ประกอบด้วยการเคลื่อนไหวเชิงสัมพันธ์และเป็นรูปเป็นร่าง การเคลื่อนที่สัมบูรณ์แบบเดียวกันโดยเลือกกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ต่างกัน สามารถพิจารณาได้ว่าประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบต่างๆ และการเคลื่อนไหวแบบสัมพันธ์กัน

เพิ่มความเร็ว

ให้เรากำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของจุดหากทราบความเร็วของการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์และแบบเคลื่อนที่ได้ของจุดนี้ ปล่อยให้จุดสร้างการเคลื่อนไหวสัมพัทธ์เพียงครั้งเดียวโดยสัมพันธ์กับกรอบการเคลื่อนที่ของ Oxyz อ้างอิง และ ณ เวลานั้น t ครอบครองตำแหน่ง M บนวิถีการเคลื่อนที่ของสัมพัทธ์ (รูปที่ 20) ณ เวลา t+ t เนื่องจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ จุดจะอยู่ในตำแหน่ง M 1 โดยเคลื่อน MM 1 ไปตามวิถีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ สมมติว่าประเด็นนี้มีส่วนเกี่ยวข้อง อ็อกซิซและด้วยวิถีโคจรสัมพัทธ์ มันจะเคลื่อนไปตามโค้งบางจุด เอ็มเอ็ม 2.หากจุดหนึ่งมีส่วนร่วมพร้อมกันในการเคลื่อนไหวทั้งแบบสัมพัทธ์และแบบพกพา ดังนั้นในเวลา A; เธอจะย้ายไป เอ็มเอ็ม"ตามวิถีการเคลื่อนที่สัมบูรณ์และ ณ เวลานั้น t+ที่จะเข้ารับตำแหน่ง เอ็ม".หากเวลา ที่เพียงเล็กน้อยแล้วไปให้สุดที่ ที่,มีแนวโน้มไปที่ศูนย์ จากนั้นการกระจัดเล็กๆ ตามเส้นโค้งสามารถถูกแทนที่ด้วยส่วนของคอร์ดและถือเป็นเวกเตอร์การกระจัด เมื่อบวกการกระจัดเวกเตอร์ เราก็จะได้

ในส่วนนี้ ปริมาณเล็กน้อยของลำดับที่สูงกว่าจะถูกยกเลิก โดยมีแนวโน้มไปที่ศูนย์ที่ ที่,มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ทะลุขีดจำกัดเราก็ได้ (14)

ดังนั้น (14) จะอยู่ในรูป (15)

ได้รับทฤษฎีบทการบวกความเร็วที่เรียกว่า: ความเร็วของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของจุดจะเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความเร็วของการเคลื่อนที่แบบพกพาและการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดนี้เนื่องจากในกรณีทั่วไป ความเร็วของการเคลื่อนที่แบบพกพาและการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ไม่ตั้งฉาก ดังนั้น (15')

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.