การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุเกร็ง: สมการ สูตร การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่

การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่คือการเคลื่อนไหวที่จุดสองจุดใดๆ ที่เป็นของร่างกาย (หรือเกี่ยวข้องกับจุดนั้นอย่างสม่ำเสมอ) ยังคงนิ่งตลอดการเคลื่อนไหว(รูปที่ 2.2) .

รูปที่ 2.2

ผ่านจุดคงที่ กและ ในเรียกว่าเส้นตรง แกนหมุนเนื่องจากระยะห่างระหว่างจุดต่างๆ ของวัตถุแข็งเกร็งจะต้องไม่เปลี่ยนแปลง จึงเห็นได้ชัดว่าในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน ทุกจุดที่เป็นของแกนจะไม่เคลื่อนที่ และจุดอื่นๆ ทั้งหมดจะอธิบายวงกลม ซึ่งมีระนาบตั้งฉากกับแกนหมุน และจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนนี้ ในการกำหนดตำแหน่งของวัตถุที่หมุนอยู่ ให้วาดผ่านแกนการหมุนที่แกนหมุนไป อซ, ครึ่งระนาบ І – แบบคงที่และแบบครึ่งระนาบ ІІ ฝังอยู่ในร่างนั้นและหมุนไปพร้อมกับมัน จากนั้นตำแหน่งของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งจะถูกกำหนดโดยเฉพาะจากมุมที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายที่เกี่ยวข้อง φ ระหว่างระนาบเหล่านี้ซึ่งเราเรียกว่า มุมการหมุนของร่างกายเราจะพิจารณามุม φ บวกถ้ามันล่าช้า จากระนาบคงที่ในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา (สำหรับผู้สังเกตมองจากปลายด้านบวกของแกน อซ) และลบหากตามเข็มนาฬิกา วัดมุม φ เราจะอยู่ในหน่วยเรเดียน. หากต้องการทราบตำแหน่งของร่างกาย ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง คุณจำเป็นต้องทราบความขึ้นต่อกันของมุม φ เป็นครั้งคราว ที, เช่น.

.

สมการนี้เป็นการแสดงออก กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่

ลักษณะทางจลน์ศาสตร์หลักของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งคือ ความเร็วเชิงมุม ω และความเร่งเชิงมุม ε.

9.2.1. ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของวัตถุ

ปริมาณที่แสดงอัตราการเปลี่ยนแปลงของมุมการหมุน φ เมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าความเร็วเชิงมุม

หากในช่วงเวลาหนึ่ง
ร่างกายหมุนเป็นมุม
จากนั้นความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยที่เป็นตัวเลขของร่างกายในช่วงเวลานี้จะเท่ากับ
- ในวงเงินที่
เราได้รับ

ดังนั้น, ค่าตัวเลขของความเร็วเชิงมุมของร่างกาย ณ เวลาที่กำหนดเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมุมการหมุนเมื่อเทียบกับเวลา

กฎการลงนาม: เมื่อการหมุนทวนเข็มนาฬิกาเกิดขึ้น ω> 0 และเมื่อตามเข็มนาฬิกาแล้ว ω< 0.

หรือเนื่องจากเรเดียนเป็นปริมาณไร้มิติ
.

ในการคำนวณทางทฤษฎี การใช้เวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมจะสะดวกกว่า ซึ่งมีโมดูลัสเท่ากับ และซึ่งมุ่งไปตามแกนการหมุนของร่างกายในทิศทางที่มองเห็นการหมุนทวนเข็มนาฬิกา เวกเตอร์นี้จะกำหนดขนาดของความเร็วเชิงมุม แกนการหมุน และทิศทางการหมุนรอบแกนนี้ทันที

ปริมาณที่แสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมในช่วงเวลาหนึ่งเรียกว่าความเร่งเชิงมุมของร่างกาย

หากในช่วงเวลาหนึ่ง
การเพิ่มขึ้นของความเร็วเชิงมุมจะเท่ากับ
แล้วความสัมพันธ์
, เช่น. กำหนดค่าของการเร่งความเร็วเฉลี่ยของวัตถุที่หมุนอยู่ตลอดเวลา
.

เมื่อมุ่งมั่น
เราได้รับคุณค่า ความเร่งเชิงมุมในขณะนี้ ที:

ดังนั้น, ค่าตัวเลขของการเร่งความเร็วเชิงมุมของร่างกายในเวลาที่กำหนดเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็วเชิงมุมหรืออนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุนของร่างกายในเวลา

ปกติจะใช้หน่วยวัดครับ หรือซึ่งก็คือ
.

หากโมดูลัสของความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นตามเวลา การหมุนของร่างกายจะถูกเรียกว่า เร่งและถ้ามันลดลง - ช้าเมื่อค่านิยม ω และ ε มีสัญญาณเหมือนกันก็จะหมุนเร็วขึ้นเมื่อต่างกันก็จะช้าลง โดยการเปรียบเทียบกับความเร็วเชิงมุม ความเร่งเชิงมุมก็สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้เช่นกัน มุ่งไปตามแกนการหมุน ในเวลาเดียวกัน

.

หากร่างกายหมุนไปในทิศทางที่มีความเร่ง เกิดขึ้นพร้อมกับ และตรงกันข้าม ด้วยการหมุนช้าๆ

ถ้าความเร็วเชิงมุมของวัตถุคงที่ระหว่างการเคลื่อนที่ ( ω= ค่าคงที่) จึงเรียกว่าการหมุนของลำตัว เครื่องแบบ.

จาก
เรามี
- ดังนั้นเมื่อพิจารณาว่าในช่วงเวลาเริ่มต้น
มุม
และนำอินทิกรัลไปทางซ้ายของ ถึง และทางด้านขวาจาก 0 ถึง ทีในที่สุดเราก็จะได้

.

ด้วยการหมุนสม่ำเสมอเมื่อใด =0,
และ
.

ความเร็วของการหมุนสม่ำเสมอมักถูกกำหนดโดยจำนวนรอบต่อนาที ซึ่งแสดงถึงค่านี้ด้วย n รอบต่อนาที เรามาค้นหาความสัมพันธ์ระหว่างกัน n รอบต่อนาทีและ ω 1/วินาที ด้วยการปฏิวัติหนึ่งครั้ง ร่างกายจะหมุน 2π และด้วย nรอบต่อนาทีที่ 2π n- เทิร์นนี้เสร็จภายใน 1 นาที เช่น ที= 1 นาที = 60 วินาที สืบต่อจากนี้ไปว่า

.

ถ้าความเร่งเชิงมุมของวัตถุคงที่ตลอดการเคลื่อนที่ (ε = ค่าคงที่) จากนั้นจึงเรียกว่าการหมุน ตัวแปรเท่ากัน.

ในช่วงเวลาเริ่มต้น ที=0 มุม
และความเร็วเชิงมุม
(- ความเร็วเชิงมุมเริ่มต้น)
;
=ε
- บูรณาการด้านซ้ายของ ถึง และอันที่ถูกต้องตั้งแต่ 0 ถึง ทีเราจะพบ

ความเร็วเชิงมุม ω ของการหมุนนี้
- ถ้า ω และ ε มีสัญญาณเหมือนกัน การหมุนจะเป็นดังนี้ เร่งความเร็วสม่ำเสมอและถ้าแตกต่าง - ช้าพอๆ กัน

บทความนี้จะอธิบายส่วนสำคัญของฟิสิกส์ - "จลนศาสตร์และพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน"

แนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

การเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุรอบแกนคงที่เรียกว่าการเคลื่อนที่ดังกล่าวซึ่งมีวิถีการเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่อยู่ในระนาบตั้งฉากกับแกนและศูนย์กลางของมันอยู่บนแกนหมุน

การเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งคือการเคลื่อนไหวที่ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ไปตามจุดศูนย์กลาง (จุดศูนย์กลางซึ่งอยู่บนแกนเดียวกัน) เป็นวงกลมตามกฎสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนของจุดวัสดุ

ปล่อยให้ร่างกายแข็งทื่อโดยพลการ T หมุนรอบแกน O ซึ่งตั้งฉากกับระนาบของการวาด ให้เราเลือกจุด M บนวัตถุนี้ เมื่อหมุน จุดนี้จะอธิบายวงกลมที่มีรัศมีรอบแกน O ร.

หลังจากนั้นครู่หนึ่ง รัศมีจะหมุนสัมพันธ์กับตำแหน่งเดิมเป็นมุม Δφ

ทิศทางของสกรูด้านขวา (ตามเข็มนาฬิกา) ถือเป็นทิศทางการหมุนที่เป็นบวก การเปลี่ยนแปลงมุมการหมุนเมื่อเวลาผ่านไปเรียกว่าสมการของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง:

φ = φ(เสื้อ)

หากวัด φ เป็นเรเดียน (1 rad คือมุมที่สอดคล้องกับส่วนโค้งที่มีความยาวเท่ากับรัศมีของมัน) ดังนั้นความยาวของส่วนโค้งวงกลม ΔS ซึ่งจุดวัสดุ M จะผ่านไปตามเวลา Δt จะเท่ากับ:

∆S = ∆φr

องค์ประกอบพื้นฐานของจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ

การวัดการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุในช่วงเวลาสั้นๆ dtทำหน้าที่เป็นเวกเตอร์การหมุนเบื้องต้น dφ.

ความเร็วเชิงมุมของจุดวัตถุหรือวัตถุคือ ปริมาณทางกายภาพซึ่งกำหนดโดยอัตราส่วนของเวกเตอร์ของการหมุนเบื้องต้นต่อระยะเวลาของการหมุนนี้ ทิศทางของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้ตามกฎของสกรูด้านขวาตามแนวแกน O ในรูปแบบสเกลาร์:

ω = dφ/dt

ถ้า ω = dφ/dt = const,การเคลื่อนที่ดังกล่าวเรียกว่าการเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอ ด้วยความเร็วเชิงมุมจะถูกกำหนดโดยสูตร

ω = φ/ตัน

ตามสูตรเบื้องต้นคือ มิติของความเร็วเชิงมุม

[ω] = 1 ราด/วินาที

การเคลื่อนที่แบบหมุนสม่ำเสมอของวัตถุสามารถอธิบายได้ด้วยคาบการหมุน คาบของการหมุน T คือปริมาณทางกายภาพที่กำหนดเวลาในระหว่างที่วัตถุทำการหมุนรอบแกนการหมุนเต็มหนึ่งครั้ง ([T] = 1 วินาที) หากในสูตรสำหรับความเร็วเชิงมุมเราใช้ t = T, φ = 2 π (หนึ่งรอบการหมุนรัศมี r เต็ม) แล้ว

ω = 2π/T,

ดังนั้นเราจึงกำหนดระยะเวลาการหมุนเวียนดังนี้:

T = 2π/ω

จำนวนรอบที่ร่างกายทำต่อหน่วยเวลาเรียกว่าความถี่ในการหมุน ν ซึ่งเท่ากับ:

ν = 1/ต.

หน่วยความถี่: [ν]= 1/s = 1 วินาที -1 = 1 เฮิร์ตซ์

เมื่อเปรียบเทียบสูตรสำหรับความเร็วเชิงมุมและความถี่การหมุน เราจะได้นิพจน์ที่เชื่อมโยงปริมาณเหล่านี้:

ω = 2πν

องค์ประกอบพื้นฐานของจลนศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนไม่สม่ำเสมอ

การเคลื่อนที่แบบหมุนไม่สม่ำเสมอของวัตถุแข็งเกร็งหรือจุดวัสดุรอบแกนคงที่นั้นมีคุณลักษณะเฉพาะคือความเร็วเชิงมุมซึ่งเปลี่ยนแปลงตามเวลา

เวกเตอร์ ε ซึ่งแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงของความเร็วเชิงมุมเรียกว่าเวกเตอร์ความเร่งเชิงมุม:

ε = dω/dt

หากร่างกายหมุนเร่งความเร็วนั่นคือ dω/dt > 0เวกเตอร์มีทิศทางตามแนวแกนในทิศทางเดียวกับ ω

หากการเคลื่อนที่แบบหมุนช้า - dω/dt< 0 จากนั้นเวกเตอร์ ε และ ω จะถูกกำกับตรงกันข้าม

ความคิดเห็น- เมื่อการเคลื่อนที่แบบหมุนไม่สม่ำเสมอเกิดขึ้น เวกเตอร์ ω สามารถเปลี่ยนได้ไม่เพียงแต่ในขนาดเท่านั้น แต่ยังเปลี่ยนในทิศทางด้วย (เมื่อหมุนแกนการหมุน)

ความสัมพันธ์ระหว่างปริมาณที่แสดงถึงลักษณะการเคลื่อนที่แบบแปลนและแบบหมุน

เป็นที่ทราบกันว่าความยาวส่วนโค้งกับมุมการหมุนของรัศมีและค่าของมันมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์

∆S = ∆φ r

จากนั้นความเร็วเชิงเส้นของจุดวัสดุที่ทำการเคลื่อนที่แบบหมุน

υ = ΔS/Δt = Δφr/Δt = ωr

ความเร่งปกติของจุดวัสดุที่ทำการเคลื่อนที่เชิงแปลแบบหมุนมีการกำหนดไว้ดังนี้:

ก = υ 2 /r = ω 2 r 2 /r.

ดังนั้นในรูปแบบสเกลาร์

ก = ω 2 อาร์

จุดวัสดุเร่งความเร็วในวงสัมผัสที่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่แบบหมุน

ก = ε อาร์

โมเมนตัมของจุดวัสดุ

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีของวิถีโคจรของจุดวัสดุที่มีมวล m i และโมเมนตัมของมันถูกเรียกว่าโมเมนตัมเชิงมุมของจุดนี้รอบแกนการหมุน ทิศทางของเวกเตอร์สามารถกำหนดได้โดยใช้กฎสกรูด้านขวา

โมเมนตัมของจุดวัสดุ ( ฉัน) ตั้งฉากกับระนาบที่ลากผ่าน r i และ υ i และเกิดเป็นเวกเตอร์สามเท่าทางขวามือ (นั่นคือ เมื่อเคลื่อนที่จากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ร ฉันถึง υ สกรูด้านขวาจะแสดงทิศทางของเวกเตอร์ ลฉัน).

ในรูปแบบสเกลาร์

L = m ฉัน υ ฉัน r ฉันบาป(υ ฉัน , r ฉัน)

เมื่อพิจารณาว่าเมื่อเคลื่อนที่เป็นวงกลม เวกเตอร์รัศมี และเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นสำหรับ วัสดุที่ iจุดตั้งฉากกัน

บาป(υ ฉัน , r ฉัน) = 1.

ดังนั้นโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัตถุสำหรับการเคลื่อนที่แบบหมุนจะอยู่ในรูปแบบ

L = ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน r ฉัน .

โมเมนต์แรงที่กระทำต่อจุดวัสดุที่ i

ผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์รัศมีซึ่งถูกดึงดูดไปยังจุดที่ใช้แรง และแรงนี้เรียกว่าโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อ วัสดุที่ iจุดสัมพันธ์กับแกนการหมุน

ในรูปแบบสเกลาร์

M i = r i F ฉันบาป(r ฉัน , F i)

เมื่อพิจารณาแล้วว่า r ฉันsinα = l ฉัน ,ม ผม = ล ผม ฉ ผม .

ขนาด ล i เท่ากับความยาวของเส้นตั้งฉากที่ลดลงจากจุดหมุนไปจนถึงทิศทางการกระทำของแรง เรียกว่า แขนของแรง ฉ ฉัน.

พลวัตของการเคลื่อนที่แบบหมุน

สมการของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุนเขียนได้ดังนี้:

M = เดซิลิตร/dt

การกำหนดกฎมีดังนี้: อัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่เท่ากับโมเมนต์ผลลัพธ์ที่สัมพันธ์กับแกนนี้ของแรงภายนอกทั้งหมดที่ใช้กับร่างกาย

โมเมนต์ของแรงกระตุ้นและโมเมนต์ความเฉื่อย

เป็นที่ทราบกันดีว่าสำหรับจุดวัสดุที่ i โมเมนตัมเชิงมุมในรูปแบบสเกลาร์จะได้รับจากสูตร

ลิ = ฉัน ฉัน ฉัน ฉัน r ฉัน .

ถ้าแทนที่จะเป็นความเร็วเชิงเส้น เราแทนนิพจน์ของมันด้วยความเร็วเชิงมุม:

υ ฉัน = ωr ฉัน ,

จากนั้นการแสดงออกของโมเมนตัมเชิงมุมจะอยู่ในรูปแบบ

L i = มิริ ฉัน 2 ω.

ขนาด ฉัน ฉัน = ฉัน ฉัน r ฉัน 2เรียกว่าโมเมนต์ความเฉื่อยเกี่ยวกับ แกนฉันจุดวัตถุของวัตถุแข็งเกร็งอย่างยิ่งที่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล จากนั้นเราเขียนโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุ:

ลิ = ฉัน ฉัน ω

เราเขียนโมเมนตัมเชิงมุมของวัตถุที่แข็งเกร็งอย่างยิ่งเป็นผลรวมของโมเมนตัมเชิงมุมของจุดวัสดุที่ประกอบกันเป็นวัตถุนี้:

ล = ไอโอ

โมเมนต์ของแรงและโมเมนต์ความเฉื่อย

กฎการเคลื่อนที่แบบหมุนระบุว่า:

M = เดซิลิตร/dt

เป็นที่ทราบกันว่าโมเมนตัมเชิงมุมของร่างกายสามารถแสดงผ่านโมเมนต์ความเฉื่อย:

ล = ไอโอ

M = Idω/dt

เมื่อพิจารณาว่าความเร่งเชิงมุมถูกกำหนดโดยนิพจน์

ε = dω/dt,

เราได้สูตรสำหรับโมเมนต์ของแรง ซึ่งแสดงผ่านโมเมนต์ความเฉื่อย:

ม = ฉันε.

ความคิดเห็นโมเมนต์ของแรงจะถือเป็นบวกถ้าความเร่งเชิงมุมที่ทำให้เกิดโมเมนต์นั้นมากกว่าศูนย์ และในทางกลับกัน

ทฤษฎีบทของสไตเนอร์ กฎการบวกโมเมนต์ความเฉื่อย

หากแกนการหมุนของวัตถุไม่ผ่านจุดศูนย์กลางมวล สัมพันธ์กับแกนนี้ เราสามารถค้นหาโมเมนต์ความเฉื่อยของมันได้โดยใช้ทฤษฎีบทของสไตเนอร์:
ฉัน = ฉัน 0 + แม่ 2

ที่ไหน ฉัน 0- ช่วงเริ่มต้นของความเฉื่อยของร่างกาย ม- น้ำหนักตัว; ก- ระยะห่างระหว่างแกน

หากระบบที่หมุนรอบแกนคงที่ประกอบด้วย nร่างกายจากนั้นโมเมนต์ความเฉื่อยรวมของระบบประเภทนี้จะเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของส่วนประกอบต่างๆ (กฎของการบวกโมเมนต์ความเฉื่อย)

นี่คือการเคลื่อนไหวที่ทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่เป็นวงกลม โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนการหมุน

ตำแหน่งของร่างกายถูกกำหนดโดยมุมไดฮีดรัล (มุมการหมุน)

 =  (t) - สมการการเคลื่อนที่

ลักษณะทางจลนศาสตร์ของร่างกาย:

- ความเร็วเชิงมุม s -1;

- ความเร่งเชิงมุม, s -2

ปริมาณ  และ  สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้
ซึ่งอยู่บนแกนหมุนซึ่งเป็นทิศทางของเวกเตอร์ จนเมื่อมองจากปลายสุดจะเห็นการหมุนของลำตัวในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา ทิศทาง เกิดขึ้นพร้อมกับ , ถ้า >โอ้

ป ตำแหน่งจุดของร่างกาย: M 0 M 1 = S = h

ความเร็วคะแนน
- ในเวลาเดียวกัน
.

ที่ไหน
;
;
.

การเร่งความเร็วจุดของร่างกาย
- ความเร่งในการหมุน (ในจลนศาสตร์ของจุด - แทนเจนต์ - ):
- การเร่งความเร็วแบบจุดต่อจุด (ในจลนศาสตร์ของจุด - ปกติ - ).

โมดูล:
;
;

.

การหมุนสม่ำเสมอและสม่ำเสมอ

1. ชุดเครื่องแบบ:  = const,
;
;
- สมการของการเคลื่อนที่

2. ตัวแปรเท่ากัน:  = const,
;
;
;
;
- สมการของการเคลื่อนที่

2- ระบบขับเคลื่อนเชิงกลประกอบด้วยรอก 1 สายพาน 2 และล้อขั้นที่ 3 และ 4 ค้นหาความเร็วของแร็ค 5 ตลอดจนความเร่งของจุด M ที่เวลา t 1 = 1 วินาที หากความเร็วเชิงมุมของรอกคือ  1 = 0.2t, s -1; ร 1 = 15; ร 3 = 40; ร 3 = 5; R4 = 20; r 4 = 8 (เป็นเซนติเมตร)

ความเร็วแร็ค

;

;
;
.

ที่ไหน
;
;
, ส -1 .

จาก (1) และ (2) เราได้รับดู

ความเร่งของจุด M

, s -2 ที่ เสื้อ 1 = 1 วินาที; a = 34.84 ซม./วินาที 2

3.3 การเคลื่อนที่ระนาบขนาน (ระนาบ) ของวัตถุแข็งเกร็ง

อี การเคลื่อนไหวนั้นซึ่งทุกจุดของร่างกายเคลื่อนที่ในระนาบขนานกับระนาบที่คงที่

ทุกจุดของร่างกายบนเส้นตรงที่ตั้งฉากกับระนาบคงที่จะเคลื่อนที่เท่ากัน ดังนั้น การวิเคราะห์การเคลื่อนที่ของวัตถุในระนาบจึงลดลงเหลือเพียงการศึกษาการเคลื่อนที่ของรูปทรงเครื่องบิน (ส่วน S) ในระนาบของมัน (xy)

การเคลื่อนไหวนี้สามารถแสดงเป็นชุดของการเคลื่อนไหวเชิงแปลร่วมกับบางส่วนได้ โดยพลการเลือกจุด a เรียกว่า เสาและการเคลื่อนที่แบบหมุนรอบเสา

สมการการเคลื่อนที่ รูปร่างแบน

x ก = x ก (t); ใช่ = ใช่; เจ = เจ(เสื้อ)

ลักษณะทางจลนศาสตร์ ki ของร่างแบน:

- ความเร็วและความเร่งของเสา w, e - ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม (ไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกขั้ว)

คุณ การจัดตำแหน่งการเคลื่อนไหวของจุดใด ๆรูประนาบ (B) สามารถหาได้โดยการฉายภาพความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์
บนแกน x และ y

x 1 B , y 1 B - พิกัดของจุดในระบบพิกัดที่เกี่ยวข้องกับรูป

การกำหนดความเร็วของจุด

1). วิธีการวิเคราะห์.

รู้สมการการเคลื่อนที่ xn = xn (t); y n = y n (t) เราพบ
;
;
.

2). ทฤษฎีบทการกระจายความเร็ว

ดี สร้างความเท่าเทียมที่แตกต่าง
เราได้รับ
,

- ความเร็วของจุด B เมื่อหมุนร่างแบนรอบขั้ว A
;

สูตรการกระจายความเร็วของจุดต่างๆ บนระนาบ
.

กับ ความเร็วจุด M ของล้อที่หมุนโดยไม่ลื่นไถล

;
.

3). ทฤษฎีบทการฉายภาพความเร็ว

การฉายภาพความเร็วของจุดสองจุดของร่างกายบนแกนที่ผ่านจุดเหล่านี้มีค่าเท่ากัน การออกแบบความเท่าเทียมกัน
บนแกน x เราก็ได้

ป ตัวอย่าง

จงหาความเร็วของน้ำที่ไหล v N ไปที่หางเสือเรือ หากทราบ (จุดศูนย์ถ่วงของเรือ) b และ b K (มุมดริฟท์)

สารละลาย: .

4). ศูนย์ความเร็วชั่วขณะ (IVC)

ความเร็วของจุดระหว่างการเคลื่อนที่ของวัตถุสามารถกำหนดได้จากสูตรการเคลื่อนที่แบบหมุนโดยใช้แนวคิดของ MCS

MCS คือจุดที่เกี่ยวข้องกับรูปแบน โดยมีความเร็ว ณ เวลาที่กำหนดเป็นศูนย์ (v p = 0)

โดยทั่วไป MCS คือจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับทิศทางความเร็วของจุดสองจุดของรูป

เมื่อเอาจุด P เป็นขั้ว เราก็จะได้จุดที่ต้องการ

, แล้ว

ที่ไหน
- ความเร็วเชิงมุมของรูปและ
,เหล่านั้น. ความเร็วของจุดต่างๆ ของรูปทรงแบนนั้นแปรผันตามระยะห่างของจุดเหล่านั้นกับ MCS

กรณีที่เป็นไปได้ในการค้นหา MCS
			กลิ้งได้ไม่ลื่น
		MCS - ที่อนันต์

กรณี b สอดคล้องกับการกระจายความเร็วการแปลทันที

1- สำหรับตำแหน่งที่กำหนดของกลไก ให้หา v B, v C, v D, w 1, w 2, w 3 ถ้าในขณะนั้น v A = 20 cm/s; BC = ซีดี = 40 ซม. โอซี = 25 ซม. ร = 20 ซม.

คำตอบของ MCS ของลูกกลิ้ง 1 - จุด P 1:

ส -1 ;
ซม./วินาที

MCS ของลิงค์ 2 - จุด P 2 ของจุดตัดของตั้งฉากกับทิศทางความเร็วของจุด B และ C:

ส -1 ;
ซม./วินาที;
ซม./วินาที;
ส -1 .

2). โหลด Q ถูกยกขึ้นโดยใช้ดรัมแบบก้าว 1 ซึ่งมีความเร็วเชิงมุมคือ w 1 = 1 s -1 ; R 1 = 3r 1 = 15 ซม. เอ || บี.ดี. จงหาความเร็ว v C ของแกนของบล็อกที่กำลังเคลื่อนที่ 2

ค้นหาความเร็วของจุด A และ B:

โวลต์ A = โวลต์ E = วัตต์ 1* R 1 = 15 ซม./วินาที; v B = v D = ก 1* r 1 = 5 ซม./วินาที

MCS ของบล็อก 2 - จุด P จากนั้น
, ที่ไหน
;
;
ซม./วินาที

มุมการหมุน ความเร็วเชิงมุม และความเร่งเชิงมุม

การหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่เรียกว่าเป็นการเคลื่อนไหวโดยที่จุดสองจุดของร่างกายยังคงนิ่งอยู่ตลอดเวลาที่เคลื่อนไหว ในกรณีนี้ทุกจุดของร่างกายที่อยู่บนเส้นตรงที่ผ่านจุดคงที่ก็จะไม่เคลื่อนไหวเช่นกัน เส้นนี้เรียกว่า แกนการหมุนของร่างกาย

ถ้า กและ ใน- จุดคงที่ของร่างกาย (รูปที่ 15 ), แล้วแกนหมุนก็คือแกน ออนซ์,ซึ่งสามารถมีทิศทางใดก็ได้ในอวกาศ ไม่จำเป็นต้องเป็นแนวตั้ง ทิศทางแกนเดียว ออนซ์ถือเป็นผลบวก

เราวาดระนาบคงที่ผ่านแกนการหมุน โดยและมือถือ พีติดอยู่กับตัวที่หมุนได้ ปล่อยให้ระนาบทั้งสองมาบรรจบกัน ณ เวลาเริ่มแรก แล้วเมื่อสักครู่. ทีตำแหน่งของระนาบที่กำลังเคลื่อนที่และตัวที่กำลังหมุนนั้นสามารถกำหนดได้โดยมุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบกับมุมเชิงเส้นที่สอดคล้องกัน φ ระหว่างเส้นตรงที่อยู่ในระนาบเหล่านี้และตั้งฉากกับแกนการหมุน มุม φ เรียกว่า มุมการหมุนของร่างกาย

ตำแหน่งของร่างกายที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงที่เลือกนั้นถูกกำหนดโดยสมบูรณ์ในสิ่งใด ๆ

ช่วงเวลาหนึ่ง ถ้าให้สมการ φ =ฉ(ที) (5)

ที่ไหน ฉ(ที)- ฟังก์ชันของเวลาที่สามารถหาอนุพันธ์ได้สองเท่า สมการนี้เรียกว่า สมการการหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่

วัตถุที่หมุนรอบแกนคงที่มีอิสระระดับหนึ่ง เนื่องจากตำแหน่งถูกกำหนดโดยการระบุพารามิเตอร์เพียงตัวเดียว - มุม φ .

มุม φ ถือว่าเป็นบวกหากวาดทวนเข็มนาฬิกาและเป็นลบในทิศทางตรงกันข้ามเมื่อมองจากทิศทางบวกของแกน ออนซ์.วิถีของจุดต่างๆ ของร่างกายในระหว่างการหมุนรอบแกนคงที่คือวงกลมที่อยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนการหมุน

เพื่ออธิบายลักษณะการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งรอบแกนคงที่ เราแนะนำแนวคิดเรื่องความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม ความเร็วเชิงมุมพีชคณิตของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งเรียกว่าอนุพันธ์อันดับหนึ่งเทียบกับเวลาของมุมการหมุน ณ ขณะนี้คือ dφ/dt = φเป็นปริมาณบวกเมื่อวัตถุหมุนทวนเข็มนาฬิกา เนื่องจากมุมการหมุนเพิ่มขึ้นตามเวลา และเป็นปริมาณลบเมื่อวัตถุหมุนตามเข็มนาฬิกา เนื่องจากมุมการหมุนลดลง

โมดูลความเร็วเชิงมุมแสดงโดย ω. แล้ว ω= ׀dφ/dt׀= ׀φ ׀ (6)

มิติของความเร็วเชิงมุมถูกกำหนดไว้ตาม (6)

[ω] = มุม/เวลา = rad/s = s -1.

ในทางวิศวกรรม ความเร็วเชิงมุมคือความเร็วในการหมุนที่แสดงเป็นรอบต่อนาที ภายใน 1 นาที ร่างกายจะหมุนเป็นมุม 2πp,ถ้า n- จำนวนรอบต่อนาที เมื่อหารมุมนี้ด้วยจำนวนวินาทีในหนึ่งนาที เราจะได้: (7)

ความเร่งเชิงมุมพีชคณิตของร่างกายเรียกว่าอนุพันธ์อันดับแรกเทียบกับเวลาของความเร็วพีชคณิตนั่นคือ อนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุน วัน 2 φ/dt 2 = ω- ให้เราแสดงถึงโมดูลความเร่งเชิงมุม ε , แล้ว ε=|φ| (8)

มิติของการเร่งความเร็วเชิงมุมได้มาจาก (8):

[ε ] = ความเร็วเชิงมุม/เวลา = rad/s 2 = s -2

ถ้า φ’’>0 ที่ φ’>0 จากนั้นความเร็วเชิงมุมพีชคณิตจะเพิ่มขึ้นตามเวลา ดังนั้นวัตถุจะหมุนด้วยความเร่งในขณะนั้นในทิศทางบวก (ทวนเข็มนาฬิกา) ที่ φ’’<0 และ φ’<0 ร่างกายหมุนอย่างรวดเร็วไปในทิศทางลบ ถ้า φ’’<0 ที่ φ’>0 แล้วเราจะหมุนช้าๆ ไปในทิศทางบวก ที่ φ’’>0 และ φ’<0 , เช่น. การหมุนช้าเกิดขึ้นในทิศทางลบ ความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมในรูปแสดงด้วยลูกศรส่วนโค้งรอบแกนการหมุน ลูกศรส่วนโค้งสำหรับความเร็วเชิงมุมบ่งบอกถึงทิศทางการหมุนของวัตถุ

สำหรับการหมุนด้วยความเร่ง ลูกศรโค้งสำหรับความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมจะมีทิศทางเดียวกัน สำหรับการหมุนช้าๆ ทิศทางของมันจะตรงกันข้าม

กรณีพิเศษของการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

การหมุนจะบอกว่าสม่ำเสมอถ้า ω=const, φ= φ’t

การหมุนจะสม่ำเสมอถ้า ε=คอนสต. φ’= φ’ 0 + φ’'t และ

โดยทั่วไปแล้วถ้า φ’’ ไม่ใช่ตลอดเวลา

ความเร็วและความเร่งของจุดต่างๆ ของร่างกาย

ทราบสมการของการหมุนของวัตถุแข็งรอบแกนคงที่ φ= ฉ(เสื้อ)(รูปที่ 16) ระยะทาง สคะแนน มในเครื่องบินที่กำลังเคลื่อนที่ ปตามแนวโค้งวงกลม (วิถีจุด) วัดจากจุด ฉันตั้งอยู่ในระนาบคงที่ซึ่งแสดงออกผ่านมุม φ ติดยาเสพติด s=hφ, ที่ไหน ชม.-รัศมีของวงกลมที่จุดเคลื่อนที่ เป็นระยะทางที่สั้นที่สุดจากจุดหนึ่ง มไปจนถึงแกนหมุน บางครั้งเรียกว่ารัศมีการหมุนของจุด ที่แต่ละจุดของร่างกาย รัศมีการหมุนยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อร่างกายหมุนรอบแกนคงที่

ความเร็วพีชคณิตของจุด มกำหนดโดยสูตร โวลต์ τ =s’=hφโมดูลความเร็วจุด: v=hω(9)

ความเร็วของจุดวัตถุเมื่อหมุนรอบแกนคงที่จะเป็นสัดส่วนกับระยะทางที่สั้นที่สุดไปยังแกนนี้ค่าสัมประสิทธิ์สัดส่วนคือความเร็วเชิงมุม ความเร็วของจุดต่างๆ นั้นพุ่งไปตามเส้นสัมผัสของวิถีการเคลื่อนที่ ดังนั้น จึงตั้งฉากกับรัศมีการหมุน ความเร็วของจุดของร่างกายที่อยู่บนส่วนของเส้นตรง โอมตาม (9) มีการกระจายตามกฎเชิงเส้น พวกมันขนานกันและปลายของมันตั้งอยู่บนเส้นตรงเส้นเดียวกันที่ผ่านแกนการหมุน เราแยกความเร่งของจุดออกเป็นองค์ประกอบวงสัมผัสและปกติเช่น a=a τ +a nτความเร่งในวงสัมผัสและความเร่งปกติคำนวณโดยใช้สูตร (10)

เนื่องจากรัศมีความโค้งของวงกลมคือ พี=ช(รูปที่ 17 ). ดังนั้น,

ความเร่งแทนเจนต์ ความเร่งปกติและความเร่งรวมของจุด ตลอดจนความเร็ว ก็มีการกระจายตามกฎเชิงเส้นเช่นกัน ขึ้นอยู่กับระยะทางของจุดถึงแกนการหมุนเชิงเส้น ความเร่งปกติจะพุ่งไปตามรัศมีของวงกลมไปทางแกนหมุน ทิศทางของการเร่งความเร็วในวงโคจรขึ้นอยู่กับสัญญาณของการเร่งความเร็วเชิงมุมเชิงพีชคณิต ที่ φ’>0 และ φ’’>0 หรือ φ’<0 และ φ’<0 เราได้เร่งความเร็วการหมุนของร่างกายและทิศทางของเวกเตอร์ τและ โวลต์จับคู่. ถ้า φ’ และ φ’" มีสัญญาณต่าง ๆ (หมุนช้า) แล้ว τและ โวลต์มุ่งตรงตรงข้ามกัน

กำหนดแล้ว α เรามีมุมระหว่างความเร่งรวมของจุดหนึ่งกับรัศมีการหมุนของมัน

ทีกา = | ก τ |/a n = ε/ω 2 (11)

เนื่องจากการเร่งความเร็วปกติ พีเป็นบวกเสมอ มุม กเหมือนกันทุกจุดของร่างกาย ควรเลื่อนจากการเร่งความเร็วไปเป็นรัศมีการหมุนในทิศทางของลูกศรส่วนโค้งของการเร่งความเร็วเชิงมุมโดยไม่คำนึงถึงทิศทางการหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

เวกเตอร์ของความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุม

ให้เราแนะนำแนวคิดของเวกเตอร์เกี่ยวกับความเร็วเชิงมุมและความเร่งเชิงมุมของวัตถุ ถ้า ถึงคือเวกเตอร์หน่วยของแกนหมุนที่พุ่งไปในทิศทางบวก จากนั้นเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุม ώ และความเร่งเชิงมุม ε กำหนดโดยสำนวน (12)

เพราะ เคคือค่าคงที่เวกเตอร์ทั้งขนาดและทิศทาง จากนั้นจาก (12) จะเป็นไปตามนั้น

ε=dώ/dt(13)

ที่ φ’>0 และ φ’’>0 ทิศทางเวกเตอร์ ώ และ ε จับคู่. ทั้งสองมีทิศทางไปทางด้านบวกของแกนหมุน ออนซ์(รูปที่ 18.ก)ถ้า φ’>0 และ φ’’<0 จากนั้นพวกมันจะถูกนำไปในทิศทางตรงกันข้าม (รูปที่ 18.b ). เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมเกิดขึ้นพร้อมกันในทิศทางกับเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมในระหว่างการหมุนด้วยความเร่ง และอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ในระหว่างการหมุนช้าๆ เวกเตอร์ ώ และ ε สามารถแสดง ณ จุดใดก็ได้บนแกนหมุน พวกมันเป็นเวกเตอร์เคลื่อนที่ คุณสมบัตินี้ตามมาจากสูตรเวกเตอร์สำหรับความเร็วและความเร่งของจุดร่างกาย

การเคลื่อนไหวของจุดที่ซับซ้อน

แนวคิดพื้นฐาน

เพื่อศึกษาประเภทการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นของวัตถุแข็งเกร็ง ขอแนะนำให้พิจารณาการเคลื่อนที่ที่ซับซ้อนที่ง่ายที่สุดของจุด ในปัญหาหลายๆ อย่าง การเคลื่อนที่ของจุดจะต้องพิจารณาโดยสัมพันธ์กับระบบอ้างอิงสองระบบ (หรือมากกว่า) ที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน ดังนั้น การเคลื่อนที่ของยานอวกาศที่เคลื่อนที่ไปยังดวงจันทร์จะต้องพิจารณาพร้อมๆ กัน ทั้งสัมพันธ์กับโลกและสัมพันธ์กับดวงจันทร์ซึ่งเคลื่อนที่สัมพันธ์กับโลก การเคลื่อนไหวของจุดใด ๆ ถือได้ว่าซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยการเคลื่อนไหวหลายอย่าง ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนที่ของเรือไปตามแม่น้ำที่สัมพันธ์กับโลกถือได้ว่าซับซ้อน ประกอบด้วยการเคลื่อนที่ผ่านน้ำและร่วมกับน้ำที่ไหล

ในกรณีที่ง่ายที่สุด การเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนของจุดประกอบด้วยการเคลื่อนไหวเชิงสัมพันธ์และการเคลื่อนไหวเชิงแปล เรามานิยามการเคลื่อนไหวเหล่านี้กัน ขอให้เรามีระบบอ้างอิงสองระบบที่เคลื่อนที่สัมพันธ์กัน หากระบบใดระบบหนึ่งเหล่านี้ โอ ลิตร x 1 ปี 1 z 1(รูปที่ 19 ) ถือเป็นระบบหลักหรือแบบคงที่ (ไม่พิจารณาการเคลื่อนที่ที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงอื่น) จากนั้นจึงเป็นระบบอ้างอิงที่สอง อ็อกซิซจะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับอันแรก การเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับกรอบอ้างอิงที่กำลังเคลื่อนที่ อ็อกซิซเรียกว่า ญาติ.ลักษณะการเคลื่อนที่นี้เรียกว่า วิถี ความเร็ว และความเร่ง ญาติ.ถูกกำหนดโดยดัชนี r; เพื่อความเร็วและความเร่ง วี อาร์ อาร์การเคลื่อนที่ของจุดสัมพันธ์กับหน้าต่างอ้างอิงระบบหลักหรือคงที่ O 1 x 1 ปี 1 z 1เรียกว่า แน่นอน(หรือซับซ้อน. ). บางครั้งก็เรียกว่า คอมโพสิตความเคลื่อนไหว. วิถี ความเร็ว และความเร่งของการเคลื่อนไหวนี้เรียกว่าสัมบูรณ์ ความเร็วและความเร่งของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์จะแสดงด้วยตัวอักษร วี กไม่มีดัชนี

การเคลื่อนที่แบบเคลื่อนย้ายได้ของจุดคือการเคลื่อนไหวที่ประกอบขึ้นพร้อมกับกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ โดยเป็นจุดที่ยึดติดกับระบบนี้อย่างเหนียวแน่น ณ เวลาที่พิจารณา เนื่องจากการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ จุดที่เคลื่อนที่ในเวลาต่างกันจึงเกิดขึ้นพร้อมกับจุดต่างๆ ของร่างกาย ส,โดยแนบระบบอ้างอิงการเคลื่อนย้ายไว้ด้วย ความเร็วแบบพกพาและความเร่งแบบพกพาคือความเร็วและความเร่งของจุดนั้นของร่างกาย ส,ซึ่งมีจุดเคลื่อนที่เกิดขึ้นพร้อมๆ กันในปัจจุบัน ความเร็วและความเร่งแบบพกพาแสดงถึง วี อี เอ อี

ถ้าวิถีทุกจุดของร่างกาย ส,ที่แนบมากับระบบอ้างอิงการเคลื่อนที่ดังแสดงในรูป (รูปที่ 20) จากนั้นเราจะได้ตระกูลเส้น - ตระกูลวิถีของการเคลื่อนที่แบบพกพาของจุด ม.เนื่องจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุด มในแต่ละช่วงเวลานั้น มันอยู่บนวิถีการเคลื่อนที่แบบพกพา จุด มสามารถเกิดขึ้นได้เพียงจุดเดียวในแต่ละวิถีของวิถีพกพาตระกูลนี้ ในเรื่องนี้บางครั้งเชื่อกันว่าไม่มีวิถีการเคลื่อนที่แบบพกพาเนื่องจากจำเป็นต้องพิจารณาเส้นเป็นวิถีการเคลื่อนที่แบบพกพาซึ่งจริงๆ แล้วมีเพียงจุดเดียวเท่านั้นที่เป็นจุดของวิถี

ในจลนศาสตร์ของจุด มีการศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดที่สัมพันธ์กับระบบอ้างอิงใดๆ โดยไม่คำนึงว่าระบบอ้างอิงนี้จะเคลื่อนที่สัมพันธ์กับระบบอื่นหรือไม่ ให้เราเสริมการศึกษานี้โดยพิจารณาการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อน ในกรณีที่ง่ายที่สุดที่ประกอบด้วยการเคลื่อนไหวเชิงสัมพันธ์และเป็นรูปเป็นร่าง การเคลื่อนที่สัมบูรณ์แบบเดียวกันโดยเลือกกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ต่างกัน สามารถพิจารณาได้ว่าประกอบด้วยการเคลื่อนที่แบบต่างๆ และการเคลื่อนไหวแบบสัมพันธ์กัน

เพิ่มความเร็ว

ให้เรากำหนดความเร็วของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของจุดหากทราบความเร็วของการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์และแบบเคลื่อนที่ได้ของจุดนี้ ปล่อยให้จุดสร้างการเคลื่อนไหวสัมพัทธ์เพียงครั้งเดียวโดยสัมพันธ์กับกรอบการเคลื่อนที่ของ Oxyz อ้างอิง และ ณ เวลานั้น t ครอบครองตำแหน่ง M บนวิถีการเคลื่อนที่ของสัมพัทธ์ (รูปที่ 20) ณ เวลา t+ t เนื่องจากการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ จุดจะอยู่ในตำแหน่ง M 1 โดยเคลื่อน MM 1 ไปตามวิถีการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ สมมติว่าประเด็นนี้มีส่วนเกี่ยวข้อง อ็อกซิซและด้วยวิถีโคจรสัมพัทธ์ มันจะเคลื่อนไปตามโค้งบางจุด เอ็มเอ็ม 2.หากจุดหนึ่งมีส่วนร่วมพร้อมกันในการเคลื่อนไหวทั้งแบบสัมพัทธ์และแบบพกพา ดังนั้นในเวลา A; เธอจะย้ายไป เอ็มเอ็ม"ตามวิถีการเคลื่อนที่สัมบูรณ์และ ณ เวลานั้น t+ที่จะเข้ารับตำแหน่ง เอ็ม".หากเวลา ที่เพียงเล็กน้อยแล้วไปให้สุดที่ ที่,มีแนวโน้มไปที่ศูนย์ จากนั้นการกระจัดเล็กๆ ตามเส้นโค้งสามารถถูกแทนที่ด้วยส่วนของคอร์ดและถือเป็นเวกเตอร์การกระจัด เมื่อบวกการกระจัดเวกเตอร์ เราก็จะได้

ในส่วนนี้ ปริมาณเล็กน้อยของลำดับที่สูงกว่าจะถูกยกเลิก โดยมีแนวโน้มไปที่ศูนย์ที่ ที่,มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ ทะลุขีดจำกัดเราก็ได้ (14)

ดังนั้น (14) จะอยู่ในรูป (15)

ได้รับทฤษฎีบทการบวกความเร็วที่เรียกว่า: ความเร็วของการเคลื่อนที่สัมบูรณ์ของจุดจะเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของความเร็วของการเคลื่อนที่แบบพกพาและการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของจุดนี้เนื่องจากในกรณีทั่วไป ความเร็วของการเคลื่อนที่แบบพกพาและการเคลื่อนที่แบบสัมพัทธ์ไม่ตั้งฉาก ดังนั้น (15')

ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.

การเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกายแข็งเกร็งการเคลื่อนที่แบบหมุนคือการเคลื่อนที่ของวัตถุแข็งเกร็ง โดยจุดทั้งหมดของมันวางอยู่บนเส้นตรงเส้นหนึ่งเรียกว่าแกนการหมุน และยังคงนิ่งอยู่

ในระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุน จุดอื่นๆ ทั้งหมดของร่างกายจะเคลื่อนที่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนการหมุน และอธิบายวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่บนแกนนี้

ในการกำหนดตำแหน่งของวัตถุที่หมุนได้เราวาดระนาบครึ่งสองอันผ่านแกน z: ระนาบครึ่ง I - นิ่งและระนาบครึ่ง II - เชื่อมต่อกับตัวถังแข็งแล้วหมุนด้วย (รูปที่ 2.4) จากนั้นตำแหน่งของร่างกายในช่วงเวลาใดเวลาหนึ่งจะถูกกำหนดโดยมุมโดยเฉพาะ เจระหว่างระนาบครึ่งระนาบเหล่านี้ ถ่ายด้วยเครื่องหมายที่สอดคล้องกัน ซึ่งเรียกว่ามุมการหมุนของร่างกาย

เมื่อวัตถุหมุน มุมของการหมุน j จะเปลี่ยนตามเวลา กล่าวคือ มันเป็นฟังก์ชันของเวลา t:

สมการนี้เรียกว่า สมการการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็ง

ลักษณะทางจลนศาสตร์หลักของการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งคือความเร็วเชิงมุม w และความเร่งเชิงมุม e

หากในช่วงเวลา D ที= ที1 + ทีร่างกายเลี้ยวด้วย Dj = j1 –j ดังนั้นความเร็วเชิงมุมเฉลี่ยของร่างกายในช่วงเวลานี้จะเท่ากับ

(1.16)

เพื่อกำหนดค่าความเร็วเชิงมุมของวัตถุ ณ เวลาที่กำหนด ทีลองหาขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของมุมการหมุน Dj ต่อช่วงเวลา D ทีเนื่องจากอันหลังมีแนวโน้มเป็นศูนย์:

(2.17)

ดังนั้น ความเร็วเชิงมุมของวัตถุ ณ เวลาที่กำหนดจะเท่ากับตัวเลขอนุพันธ์อันดับหนึ่งของมุมการหมุนเมื่อเทียบกับเวลา สัญลักษณ์ของความเร็วเชิงมุม w เกิดขึ้นพร้อมกับสัญลักษณ์ของมุมการหมุนของวัตถุ j: w > 0 ที่เจ > 0 และในทางกลับกัน ถ้า j < 0.แล้ว ว < 0 มิติของความเร็วเชิงมุมมักจะเป็น 1/s ดังนั้นเรเดียนจึงไม่มีมิติ

ความเร็วเชิงมุมสามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ w , ค่าตัวเลขจะเท่ากับ dj/dt ซึ่งกำหนดทิศทางไปตามแกนการหมุนของวัตถุในทิศทางที่สามารถมองเห็นการหมุนที่เกิดขึ้นในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

การเปลี่ยนแปลงความเร็วเชิงมุมของวัตถุในช่วงเวลาหนึ่งมีลักษณะเฉพาะด้วยความเร่งเชิงมุม e โดยการเปรียบเทียบกับการหาค่าเฉลี่ยของความเร็วเชิงมุม เราจะพบนิพจน์สำหรับกำหนดค่าความเร่งเฉลี่ย:

(2.18)

จากนั้นความเร่งของวัตถุเกร็ง ณ เวลาที่กำหนดจะถูกกำหนดจากการแสดงออก

(2.19)

กล่าวคือ ความเร่งเชิงมุมของร่างกายในเวลาที่กำหนดเท่ากับอนุพันธ์อันดับหนึ่งของความเร็วเชิงมุมหรืออนุพันธ์อันดับสองของมุมการหมุนของร่างกายเทียบกับเวลา มิติของการเร่งความเร็วเชิงมุมคือ 1/s 2

ความเร่งเชิงมุมของวัตถุแข็งเกร็ง เช่น ความเร็วเชิงมุม สามารถแสดงเป็นเวกเตอร์ได้ เวกเตอร์ความเร่งเชิงมุมเกิดขึ้นพร้อมกันในทิศทางกับเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งของยอดแข็ง และพุ่งไปในทิศทางตรงกันข้ามระหว่างการเคลื่อนที่ช้า

เมื่อกำหนดลักษณะการเคลื่อนไหวของร่างกายแข็งเกร็งโดยรวมแล้ว ให้เราศึกษาการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ ของมันต่อไป ลองพิจารณาบางประเด็น มวัตถุแข็งตั้งอยู่ที่ระยะ h จากแกนการหมุน r (รูปที่ 2.3)

เมื่อวัตถุหมุน จุด M จะอธิบายจุดวงกลมที่มีรัศมี h ซึ่งมีศูนย์กลางอยู่บนแกนของการหมุนและนอนอยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแกนนี้ หากในช่วงเวลาหนึ่งมีการตีร่างกายเบื้องต้นที่มุมดีเจ , แล้วชี้ มในเวลาเดียวกันก็ทำการเคลื่อนที่เบื้องต้นไปตามวิถีของมัน dS = h*dj ,. จากนั้นหาความเร็วของจุด M จากนิพจน์

(2.20)

ความเร็วเรียกว่าความเร็วเชิงเส้นหรือเส้นรอบวงของจุด M

ดังนั้น ความเร็วเชิงเส้นของจุดบนวัตถุแข็งเกร็งที่หมุนได้จะเท่ากับตัวเลขผลคูณของความเร็วเชิงมุมของวัตถุและระยะห่างจากจุดนี้ถึงแกนการหมุน เนื่องจากทุกจุดของร่างกายจะมีความเร็วเชิงมุม w; มีค่าเท่ากันจากนั้นจากสูตรสำหรับความเร็วเชิงเส้นจะตามมาว่าความเร็วเชิงเส้นของจุดของวัตถุที่หมุนนั้นเป็นสัดส่วนกับระยะห่างจากแกนการหมุน ความเร็วเชิงเส้นของจุดของวัตถุเกร็งคือเวกเตอร์ n กำหนดทิศทางในวงสัมผัสกับวงกลมที่อธิบายโดยจุด ม.

ระยะทางจากแกนการหมุนของแผ่นแข็งถึงจุดหนึ่ง มถือเป็นเวกเตอร์รัศมี h ของจุด M ดังนั้นเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นของจุด v สามารถแสดงเป็นผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมได้ วรัศมีเวกเตอร์ h:

วี = ก * ชม (2/21)

อันที่จริง ผลลัพธ์ของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ (2.21) คือเวกเตอร์ในโมดูลัสเท่ากับผลิตภัณฑ์ w*h และกำกับ (รูปที่ 2.5) ตั้งฉากกับระนาบที่ปัจจัยทั้งสองอยู่ ในทิศทางที่การรวมกันที่ใกล้ที่สุดของ ปัจจัยแรกกับปัจจัยที่สองถูกสังเกตว่าเกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา เช่น สัมผัสกับวิถีของจุด M

ดังนั้น เวกเตอร์ที่เกิดจากผลคูณเวกเตอร์ (2.21) จะมีขนาดและทิศทางสอดคล้องกับเวกเตอร์ความเร็วเชิงเส้นของจุด M

ข้าว. 2.5

เพื่อค้นหาสำนวนความเร่ง กจุด M เราแยกความแตกต่างตามเวลาของนิพจน์ (2.21) สำหรับความเร็วของจุด

(2.22)

โดยคำนึงถึงว่า dj/dt=e และ dh/dt = v เราเขียนนิพจน์ (2.22) ในรูปแบบ

โดยที่ аг และ аn เป็นส่วนประกอบแทนเจนต์และปกติของความเร่งรวมของจุดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนตามลำดับ ซึ่งพิจารณาจากการแสดงออก

องค์ประกอบวงสัมผัสของการเร่งความเร็วรวมของจุดวัตถุ (ความเร่งวงสัมผัส) ที่ กำหนดลักษณะการเปลี่ยนแปลงของเวกเตอร์ความเร็วในขนาดและมุ่งตรงไปยังวิถีโคจรของจุดวัตถุในทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งหรือตรงกันข้าม ทิศทางระหว่างการเคลื่อนไหวช้า ขนาดของเวกเตอร์ความเร่งวงโคจรของจุดของร่างกายระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งถูกกำหนดโดยการแสดงออก

(2,25)

องค์ประกอบปกติของความเร่งรวม (ความเร่งปกติ) เอ"เกิดขึ้นเนื่องจากการเปลี่ยนแปลงทิศทางของเวกเตอร์ความเร็วของจุดเมื่อวาดภาพวัตถุที่เป็นของแข็ง ต่อไปนี้จากนิพจน์ (2.24) สำหรับการเร่งความเร็วปกติ ความเร่งนี้จะมุ่งไปตามรัศมี h ไปยังศูนย์กลางของวงกลมที่จุดเคลื่อนที่ โมดูลัสของเวกเตอร์ความเร่งปกติของจุดระหว่างการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุแข็งเกร็งถูกกำหนดโดยคำนึงถึง (2.20) โดยการแสดงออก