ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยังไม่ได้รับการพิสูจน์ การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ - ระดับประถมศึกษา เรียบง่าย เข้าใจได้ ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นจริงหรือไม่?

ตัดสินจากความนิยมของคำถาม "ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ - หลักฐานสั้นๆ"ปัญหาทางคณิตศาสตร์นี้สนใจคนจำนวนมากจริงๆ ทฤษฎีบทนี้ถูกกล่าวถึงครั้งแรกโดยปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ในปี 1637 บนขอบของสำเนาเลขคณิต ซึ่งเขาอ้างว่าเขามีวิธีแก้ปัญหาที่ใหญ่เกินกว่าจะวางลงบนขอบได้

การพิสูจน์ความสำเร็จครั้งแรกได้รับการตีพิมพ์ในปี 1995 ซึ่งเป็นข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์โดย Andrew Wiles ฉบับสมบูรณ์ ได้รับการอธิบายว่าเป็น "ความก้าวหน้าอันน่าทึ่ง" และทำให้ไวล์สได้รับรางวัลอาเบลในปี 2559 ในขณะที่อธิบายไว้ค่อนข้างสั้น การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังได้พิสูจน์ทฤษฎีบทแบบโมดูลาร์อีกมาก และได้เปิดแนวทางใหม่ให้กับปัญหาอื่นๆ มากมายและ วิธีการที่มีประสิทธิภาพการเพิ่มขึ้นของโมดูลาร์ ความสำเร็จเหล่านี้ก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ไป 100 ปี การพิสูจน์ทฤษฎีบทเล็กๆ ของแฟร์มาต์ไม่ใช่เรื่องแปลกในปัจจุบัน

ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขได้กระตุ้นการพัฒนาทฤษฎีจำนวนเชิงพีชคณิตในศตวรรษที่ 19 และการค้นหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์ในศตวรรษที่ 20 เป็นหนึ่งในทฤษฎีบทที่โดดเด่นที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ และก่อนที่จะมีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการหารโดยสมบูรณ์ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการบันทึกลงในกินเนสส์บุ๊กว่าเป็น "ปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยากที่สุด" ซึ่งมีคุณลักษณะประการหนึ่งคือ ว่ามีการพิสูจน์ล้มเหลวจำนวนมากที่สุด

ภูมิหลังทางประวัติศาสตร์

สมการพีทาโกรัส x 2 + y 2 = z 2 มีคำตอบจำนวนเต็มบวกจำนวนอนันต์สำหรับ x, y และ z คำตอบเหล่านี้เรียกว่าทรินิตี้พีทาโกรัส ประมาณปี ค.ศ. 1637 แฟร์มาต์เขียนไว้ตรงขอบหนังสือมากกว่านั้น สมการทั่วไป a n + b n = c n ไม่มีคำตอบในจำนวนธรรมชาติ ถ้า n เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 2 แม้ว่าแฟร์มาต์เองจะอ้างว่ามีวิธีแก้ไขปัญหาของเขา แต่เขาก็ไม่ได้ทิ้งรายละเอียดใดๆ เกี่ยวกับการพิสูจน์ของมันไว้ ข้อพิสูจน์เบื้องต้นของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ที่ผู้สร้างระบุไว้ ค่อนข้างจะเป็นสิ่งประดิษฐ์ที่น่าโอ้อวดของเขา หนังสือของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่ถูกค้นพบ 30 ปีหลังจากการตายของเขา สมการนี้เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งยังคงไม่มีใครแก้สมการในวิชาคณิตศาสตร์มาเป็นเวลาสามศตวรรษครึ่งแล้ว

ในที่สุดทฤษฎีบทก็กลายเป็นหนึ่งในปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขที่น่าสังเกตมากที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์ ความพยายามที่จะพิสูจน์สิ่งนี้ได้จุดประกายการพัฒนาที่สำคัญในทฤษฎีจำนวน และเมื่อเวลาผ่านไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กลายเป็นที่รู้จักในฐานะปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ยังแก้ไม่ได้

ประวัติหลักฐานโดยย่อ

ถ้า n = 4 ตามที่แฟร์มาต์พิสูจน์ด้วยตัวเอง ก็เพียงพอที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับดัชนี n ซึ่งเป็นจำนวนเฉพาะก็เพียงพอแล้ว ตลอดสองศตวรรษถัดมา (ค.ศ. 1637-1839) การคาดเดาได้รับการพิสูจน์สำหรับจำนวนเฉพาะ 3, 5 และ 7 เท่านั้น แม้ว่า Sophie Germain จะปรับปรุงและพิสูจน์วิธีการที่ใช้กับจำนวนเฉพาะทั้งกลุ่มก็ตาม ในช่วงกลางศตวรรษที่ 19 เอิร์นส์ คุมเมอร์ขยายขอบเขตเรื่องนี้และพิสูจน์ทฤษฎีบทของจำนวนเฉพาะปกติทั้งหมด ทำให้ต้องวิเคราะห์จำนวนเฉพาะที่ไม่ปกติทีละตัว จากงานของ Kummer และใช้การวิจัยคอมพิวเตอร์ที่ซับซ้อน นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ สามารถขยายคำตอบให้กับทฤษฎีบทได้ โดยมีเป้าหมายเพื่อให้ครอบคลุมเลขยกกำลังหลักทั้งหมดได้มากถึงสี่ล้านตัว แต่การพิสูจน์สำหรับเลขชี้กำลังทั้งหมดยังไม่สามารถหาได้ (หมายความว่าโดยทั่วไปแล้วนักคณิตศาสตร์จะพิจารณาวิธีแก้ปัญหานี้ ทฤษฎีบทเป็นไปไม่ได้ ยากมาก หรือไม่สามารถบรรลุได้ด้วย ความรู้ที่ทันสมัย).

ผลงานของชิมูระและทานิยามะ

ในปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโระ ชิมูระ และยูทากะ ทานิยามะ สงสัยว่ามีความเชื่อมโยงระหว่างเส้นโค้งวงรีกับรูปแบบโมดูลาร์ ซึ่งเป็นพื้นที่ทางคณิตศาสตร์สองด้านที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิง เป็นที่รู้จักในขณะนั้นในชื่อการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ-ไวล์ และ (ในท้ายที่สุด) ว่าเป็นทฤษฎีบทโมดูลาร์ มันยืนอยู่ได้ด้วยตัวเอง โดยไม่มีความเชื่อมโยงที่ชัดเจนกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ทฤษฎีบทนี้ได้รับการยกย่องอย่างกว้างขวางว่าเป็นทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่สำคัญในตัวของมันเอง แต่ก็ถือว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ (เช่นเดียวกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) ในเวลาเดียวกัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของแฟร์มาต์ (โดยวิธีการหารและการใช้สูตรทางคณิตศาสตร์ที่ซับซ้อน) ได้ดำเนินการเพียงครึ่งศตวรรษต่อมา

ในปี 1984 Gerhard Frey สังเกตเห็นความเชื่อมโยงที่ชัดเจนระหว่างปัญหาทั้งสองที่ไม่เกี่ยวข้องและไม่ได้รับการแก้ไขก่อนหน้านี้ ข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ว่าทฤษฎีบททั้งสองมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ได้รับการตีพิมพ์ในปี พ.ศ. 2529 โดย Ken Ribet ผู้ซึ่งต่อยอดการพิสูจน์บางส่วนโดย Jean-Pierre Serres ผู้พิสูจน์ทั้งหมดยกเว้นเพียงส่วนเดียว เรียกว่า "การคาดเดาเอปซิลอน" พูดง่ายๆ ก็คือ ผลงานเหล่านี้ของ Frey, Serres และ Ribe แสดงให้เห็นว่าหากทฤษฎีบทโมดูลาร์สามารถพิสูจน์ได้เป็นคลาสกึ่งเสถียรของเส้นโค้งวงรีเป็นอย่างน้อย การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะถูกค้นพบไม่ช้าก็เร็วเช่นกัน คำตอบใดๆ ที่สามารถขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็สามารถนำมาใช้เพื่อขัดแย้งกับทฤษฎีบทโมดูลาร์ได้เช่นกัน ดังนั้น หากทฤษฎีบทโมดูลาร์กลายเป็นจริง ตามคำจำกัดความแล้ว ก็ไม่มีทางแก้ปัญหาที่ขัดแย้งกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ ซึ่งหมายความว่ามันควรจะได้รับการพิสูจน์ในไม่ช้า

แม้ว่าทฤษฎีบททั้งสองจะเป็นปัญหายากๆ ในวิชาคณิตศาสตร์ ซึ่งถือว่าแก้ไม่ได้ แต่งานของชาวญี่ปุ่นสองคนถือเป็นข้อเสนอแนะแรกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถขยายและพิสูจน์สำหรับจำนวนทั้งหมดได้อย่างไร ไม่ใช่แค่บางส่วนเท่านั้น สิ่งสำคัญสำหรับนักวิจัยที่เลือกหัวข้อการวิจัยคือความจริงที่ว่าทฤษฎีบทโมดูลาร์นั้นแตกต่างจากทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ตรงที่เป็นประเด็นสำคัญในการวิจัยซึ่งมีการพัฒนาข้อพิสูจน์แล้ว ไม่ใช่แค่เรื่องแปลกประหลาดทางประวัติศาสตร์เท่านั้น ดังนั้นเวลาที่ใช้ไป การทำงานกับเรื่องนี้อาจเป็นเรื่องที่สมเหตุสมผลจากมุมมองของมืออาชีพ อย่างไรก็ตาม ฉันทามติทั่วไปคือการแก้ปัญหาการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระนั้นใช้ไม่ได้ผล

ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์: หลักฐานของไวล์ส

หลังจากทราบว่าริเบต์ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเฟรย์ว่าถูกต้องแล้ว แอนดรูว์ ไวล์ส นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้สนใจทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มาตั้งแต่เด็กและมีประสบการณ์ในการทำงานกับเส้นโค้งวงรีและสาขาที่เกี่ยวข้อง ตัดสินใจลองพิสูจน์การคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระเป็นหนทางหนึ่งในการพิสูจน์ทฤษฎีของเฟรย์ พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปี 1993 หกปีหลังจากประกาศเป้าหมายของเขา ขณะที่ทำงานอย่างลับๆ เกี่ยวกับปัญหาการแก้ทฤษฎีบท ไวล์สก็สามารถพิสูจน์การคาดเดาที่เกี่ยวข้องได้ ซึ่งจะช่วยเขาพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ เอกสารของไวล์สมีขนาดและขอบเขตมหาศาล

ข้อบกพร่องนี้ถูกค้นพบในส่วนหนึ่งของรายงานต้นฉบับของเขาในระหว่างการทบทวนโดยผู้ทรงคุณวุฒิ และจำเป็นต้องร่วมมือกับ Richard Taylor อีกหนึ่งปีเพื่อร่วมกันแก้ทฤษฎีบท ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สจึงเกิดขึ้นไม่นานนัก ในปี 1995 มีการตีพิมพ์เผยแพร่ในขนาดที่เล็กกว่างานคณิตศาสตร์ก่อนหน้าของไวล์สมาก ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเขาไม่ผิดกับข้อสรุปก่อนหน้านี้เกี่ยวกับความเป็นไปได้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบท ความสำเร็จของไวล์สได้รับการรายงานอย่างกว้างขวางในสื่อยอดนิยม และแพร่หลายในหนังสือและรายการโทรทัศน์ ส่วนที่เหลือของการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ-ไวล์ ซึ่งปัจจุบันได้รับการพิสูจน์แล้วและเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทโมดูลาร์ ได้รับการพิสูจน์ในเวลาต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ ที่สร้างผลงานของไวล์สระหว่างปี 1996 ถึง 2001 สำหรับความสำเร็จของเขา Wiles ได้รับเกียรติและได้รับรางวัลมากมาย รวมถึงรางวัล Abel Prize ประจำปี 2016

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ของไวล์สเป็นกรณีพิเศษของการแก้ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งวงรี อย่างไรก็ตาม นี่เป็นกรณีที่มีชื่อเสียงที่สุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ขนาดใหญ่เช่นนี้ นอกจากการแก้ทฤษฎีบทของริเบต์แล้ว นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังได้รับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์อีกด้วย ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์และทฤษฎีบทโมดูลาร์เกือบจะถูกมองว่าไม่สามารถพิสูจน์ได้ในระดับสากลโดยนักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ แต่แอนดรูว์ ไวล์สสามารถพิสูจน์ทุกสิ่งทุกอย่างได้ โลกวิทยาศาสตร์แม้แต่คนที่เรียนรู้ก็สามารถทำผิดพลาดได้

ไวล์สได้ประกาศการค้นพบของเขาครั้งแรกเมื่อวันพุธที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ในการบรรยายที่มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ในหัวข้อ "รูปแบบโมดูลาร์ เส้นโค้งรูปไข่ และการนำเสนอแบบกาลัวส์" อย่างไรก็ตาม ในเดือนกันยายน พ.ศ. 2536 พบว่าการคำนวณของเขามีข้อผิดพลาด อีกหนึ่งปีต่อมา วันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 ในสิ่งที่เขาจะเรียกว่า "มากที่สุด" จุดสำคัญชีวิตการทำงานของเขา" ไวล์สสะดุดกับการเปิดเผยที่ทำให้เขาสามารถแก้ไขปัญหาจนถึงจุดที่สามารถตอบสนองชุมชนนักคณิตศาสตร์ได้

ลักษณะของงาน

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ของแอนดรูว์ ไวล์สใช้เทคนิคมากมายจากเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและทฤษฎีจำนวน และมีการแตกสาขามากมายในสาขาวิชาคณิตศาสตร์เหล่านี้ นอกจากนี้เขายังใช้โครงสร้างมาตรฐานของเรขาคณิตพีชคณิตสมัยใหม่ เช่น ประเภทของโครงร่างและทฤษฎีอิวาซาวะ ตลอดจนวิธีการอื่น ๆ ในศตวรรษที่ 20 ที่ปิแอร์ แฟร์มาต์ไม่มีให้ใช้

บทความทั้งสองประกอบด้วยหลักฐานทั้งหมด 129 หน้าและเขียนมานานกว่าเจ็ดปี จอห์น โคตส์ อธิบายว่าการค้นพบนี้เป็นหนึ่งในความสำเร็จที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของทฤษฎีจำนวน และจอห์น คอนเวย์ เรียกการค้นพบนี้ว่าเป็นความสำเร็จทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญของศตวรรษที่ 20 ไวล์ส เพื่อที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยการพิสูจน์ทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับกรณีพิเศษของเส้นโค้งทรงรีกึ่งเสถียรที่พัฒนาขึ้น วิธีการที่มีประสิทธิภาพการเพิ่มขึ้นของโมดูลาร์และเปิดแนวทางใหม่ให้กับปัญหาอื่นๆ มากมาย สำหรับการแก้ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เขาได้รับแต่งตั้งเป็นอัศวินและได้รับรางวัลอื่นๆ เมื่อมีการประกาศว่าไวล์สได้รับรางวัลอาเบล ทาง Norwegian Academy of Sciences กล่าวถึงความสำเร็จของเขาว่าเป็น "ข้อพิสูจน์เบื้องต้นที่น่าอัศจรรย์ของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์"

มันเป็นอย่างไร

หนึ่งในผู้ที่วิเคราะห์ต้นฉบับดั้งเดิมของไวล์สเกี่ยวกับวิธีแก้ปัญหาของทฤษฎีบทคือนิค แคทซ์ ในระหว่างการทบทวน เขาได้ถามคำถามที่ทำให้กระจ่างแก่ชาวอังกฤษหลายชุด ซึ่งบังคับให้ Wiles ยอมรับว่างานของเขามีช่องว่างอย่างชัดเจน มีข้อผิดพลาดในส่วนสำคัญของการพิสูจน์ที่ให้การประมาณลำดับของกลุ่มใดกลุ่มหนึ่ง: ระบบออยเลอร์ที่ใช้ในการขยายวิธี Kolyvagin และ Flach นั้นไม่สมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม ข้อผิดพลาดดังกล่าวไม่ได้ทำให้งานของเขาไร้ประโยชน์ งานแต่ละส่วนของไวล์สมีความสำคัญและเป็นนวัตกรรมในตัวเอง เช่นเดียวกับการพัฒนาและวิธีการต่างๆ มากมายที่เขาสร้างขึ้นระหว่างการทำงานของเขา ซึ่งส่งผลกระทบเพียงส่วนหนึ่งเท่านั้น ต้นฉบับ อย่างไรก็ตาม งานต้นฉบับนี้ซึ่งตีพิมพ์ในปี 1993 ไม่ได้ให้ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แต่อย่างใด

ไวล์สใช้เวลาเกือบหนึ่งปีในการพยายามค้นพบคำตอบของทฤษฎีบทนี้อีกครั้ง โดยเริ่มจากลำพังก่อนแล้วจึงร่วมมือกับเขา อดีตนักเรียนริชาร์ด เทย์เลอร์ แต่ดูเหมือนทุกอย่างจะไร้ประโยชน์ ในตอนท้ายของปี 1993 มีข่าวลือแพร่สะพัดว่าการพิสูจน์ของ Wiles ล้มเหลวในการทดสอบ แต่ยังไม่ทราบถึงความล้มเหลวร้ายแรงเพียงใด นักคณิตศาสตร์เริ่มกดดันไวลส์ให้เปิดเผยรายละเอียดของงานของเขา ไม่ว่าจะเสร็จสมบูรณ์หรือไม่ก็ตาม เพื่อให้นักคณิตศาสตร์ในวงกว้างสามารถสำรวจและใช้ทุกสิ่งที่เขาประสบความสำเร็จได้ แทนที่จะแก้ไขข้อผิดพลาดอย่างรวดเร็ว ไวล์สกลับค้นพบแต่ความซับซ้อนเพิ่มเติมในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ และในที่สุดก็ตระหนักว่ามันยากเพียงใด

ไวล์สกล่าวว่าในเช้าวันที่ 19 กันยายน พ.ศ. 2537 เขาเกือบจะยอมแพ้และเกือบจะยอมแพ้แล้ว และเกือบจะยอมรับว่าเขาล้มเหลวแล้ว เขายินดีที่จะเผยแพร่งานที่ยังไม่เสร็จของเขาเพื่อที่คนอื่นจะได้ต่อยอดและค้นหาว่าเขาผิดพลาดตรงไหน นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษตัดสินใจให้โอกาสตัวเองเป็นครั้งสุดท้ายและวิเคราะห์ทฤษฎีบทเป็นครั้งสุดท้ายเพื่อพยายามทำความเข้าใจสาเหตุหลักว่าทำไมแนวทางของเขาจึงไม่ได้ผล เมื่อเขาตระหนักทันทีว่าแนวทาง Kolyvagin-Flac จะไม่ทำงานจนกว่าเขาจะรวมการพิสูจน์ไว้ในนั้นด้วย กระบวนการที่ทฤษฎีของอิวาซาวะทำให้มันได้ผล

เมื่อวันที่ 6 ตุลาคม Wiles ขอให้เพื่อนร่วมงานสามคน (รวมถึง Faltins) ตรวจสอบเขา งานใหม่และในวันที่ 24 ตุลาคม พ.ศ. 2537 เขาได้ส่งต้นฉบับสองฉบับ - "เส้นโค้งรูปไข่แบบโมดูลาร์และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" และ "คุณสมบัติทางทฤษฎีของวงแหวนของพีชคณิตเฮคเกบางรุ่น" ซึ่งฉบับที่สองที่ไวล์สเขียนร่วมกับเทย์เลอร์และพิสูจน์ว่าเงื่อนไขบางประการจำเป็น เพื่อชี้แจงขั้นตอนการแก้ไขในบทความหลัก

เอกสารทั้งสองนี้ได้รับการตรวจสอบและตีพิมพ์เป็นฉบับเต็มใน Annals of Mathematics ฉบับเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538 การคำนวณใหม่ของแอนดรูว์ได้รับการวิเคราะห์อย่างกว้างขวางและได้รับการยอมรับจากชุมชนวิทยาศาสตร์ในที่สุด งานเหล่านี้ได้สร้างทฤษฎีบทโมดูลาร์สำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งเป็นขั้นตอนสุดท้ายในการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ 358 ปีหลังจากที่ถูกสร้างขึ้น

ประวัติความเป็นมาของปัญหาใหญ่

การแก้ทฤษฎีบทนี้ถือเป็นปัญหาที่ใหญ่ที่สุดในวิชาคณิตศาสตร์มานานหลายศตวรรษ ในปี ค.ศ. 1816 และอีกครั้งในปี ค.ศ. 1850 French Academy of Sciences เสนอรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทั่วไปเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ในปี 1857 Academy ได้รับรางวัล 3,000 ฟรังก์และ เหรียญทองคัมเมอร์สำหรับการวิจัยเกี่ยวกับตัวเลขในอุดมคติ แม้ว่าเขาจะไม่ได้สมัครรับรางวัลก็ตาม รางวัลอื่นเสนอให้เขาในปี พ.ศ. 2426 โดย Academy of Brussel

รางวัลโวล์ฟสเคห์ล

ในปี 1908 Paul Wolfskehl นักอุตสาหกรรมและนักคณิตศาสตร์สมัครเล่นชาวเยอรมันได้มอบเครื่องหมายทองคำ 100,000 มาร์ก (ซึ่งเป็นเงินจำนวนมากในขณะนั้น) ให้กับ Göttingen Academy of Sciences เพื่อเป็นรางวัลสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat อย่างสมบูรณ์ เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2451 Academy ได้เผยแพร่กฎการมอบรางวัลเก้าข้อ เหนือสิ่งอื่นใด กฎเหล่านี้กำหนดให้มีการตีพิมพ์หลักฐานในวารสารที่ผ่านการตรวจสอบโดยผู้ทรงคุณวุฒิ จะไม่มีการมอบรางวัลจนกว่าจะถึงสองปีหลังจากการตีพิมพ์ การแข่งขันมีกำหนดสิ้นสุดในวันที่ 13 กันยายน พ.ศ. 2550 หรือประมาณหนึ่งศตวรรษหลังจากเริ่มต้นขึ้น เมื่อวันที่ 27 มิถุนายน พ.ศ. 2540 Wiles ได้รับเงินรางวัลของ Wolfschel และอีก 50,000 ดอลลาร์ ในเดือนมีนาคม พ.ศ. 2559 เขาได้รับเงินจำนวน 600,000 ยูโรจากรัฐบาลนอร์เวย์ซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของรางวัลอาเบลสำหรับ "ข้อพิสูจน์อันน่าทึ่งของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์โดยใช้การคาดเดาแบบแยกส่วนสำหรับเส้นโค้งรูปไข่กึ่งคงที่ ซึ่งเป็นการเปิดศักราชใหม่ในทฤษฎีจำนวน" มันเป็นชัยชนะของโลกสำหรับชาวอังกฤษผู้ถ่อมตน

ก่อนการพิสูจน์ของไวล์ส ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ถือว่าไม่สามารถแก้ได้อย่างแน่นอนมานานหลายศตวรรษ หลักฐานที่ไม่ถูกต้องหลายพันชิ้นถูกนำเสนอต่อคณะกรรมการของ Wolfskehl ในหลาย ๆ ครั้ง ซึ่งคิดเป็นระยะการติดต่อประมาณ 10 ฟุต (3 เมตร) ในปีแรกของการได้รับรางวัลเพียงอย่างเดียว (พ.ศ. 2450-2451) มีการส่งใบสมัคร 621 ใบเพื่ออ้างสิทธิ์ในการแก้ทฤษฎีบท แม้ว่าในช่วงทศวรรษ 1970 จำนวนนี้จะลดลงเหลือประมาณ 3-4 ใบต่อเดือน ตามคำกล่าวของ F. Schlichting ผู้ตรวจสอบของ Wolfschel หลักฐานส่วนใหญ่อิงตามวิธีการขั้นพื้นฐานที่สอนในโรงเรียน และมักนำเสนอโดย "ผู้ที่มี การศึกษาด้านเทคนิคแต่อาชีพการงานที่ไม่ประสบความสำเร็จ” ตามที่นักประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ Howard Aves กล่าวไว้ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้สร้างบันทึกประเภทหนึ่ง - เป็นทฤษฎีบทที่มีการพิสูจน์ที่ไม่ถูกต้องที่สุด

แฟร์มาต์ลอเรลตกเป็นของชาวญี่ปุ่น

ดังที่ได้กล่าวไว้ก่อนหน้านี้ ประมาณปี 1955 นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่น โกโระ ชิมูระ และยูทากะ ทานิยามะ ค้นพบความเชื่อมโยงที่เป็นไปได้ระหว่างสองสาขาทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงซึ่งเห็นได้ชัดว่าเป็นเส้นโค้งรูปไข่และรูปแบบโมดูลาร์ ทฤษฎีบทโมดูลาร์ที่เกิดขึ้น (ซึ่งต่อมารู้จักกันในชื่อการคาดเดาของทานิยามา-ชิมูระ) จากการวิจัยระบุว่าเส้นโค้งรูปไข่ทุกอันเป็นแบบโมดูลาร์ ซึ่งหมายความว่าสามารถเชื่อมโยงกับรูปแบบโมดูลาร์ที่มีเอกลักษณ์เฉพาะได้

ในตอนแรกทฤษฎีนี้ถูกมองว่าไม่น่าเป็นไปได้หรือเป็นการคาดเดาสูง แต่กลับถูกมองว่าจริงจังมากขึ้นเมื่อนักทฤษฎีจำนวน อังเดร ไวล์ พบหลักฐานที่สนับสนุนการค้นพบของญี่ปุ่น ด้วยเหตุนี้ การคาดเดาจึงมักเรียกว่าการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์ กลายมาเป็นส่วนหนึ่งของโครงการ Langlands ซึ่งเป็นรายการสมมติฐานสำคัญที่ต้องมีการพิสูจน์ในอนาคต

แม้จะได้รับความสนใจอย่างจริงจัง นักคณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็ยอมรับว่าการคาดเดานี้เป็นเรื่องยากมากหรืออาจเป็นไปไม่ได้เลยที่จะพิสูจน์ ตอนนี้เป็นทฤษฎีบทนี้ที่กำลังรอ Andrew Wiles ซึ่งสามารถสร้างความประหลาดใจให้กับคนทั้งโลกด้วยวิธีแก้ปัญหาของมัน

ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์: การพิสูจน์ของเพเรลมาน

แม้จะมีตำนานที่ได้รับความนิยม แต่ Grigory Perelman นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียที่มีความเป็นอัจฉริยะทั้งหมดของเขาก็ไม่มีส่วนเกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ซึ่งอย่างไรก็ตามไม่ได้เบี่ยงเบนความสนใจจากบริการมากมายของเขาต่อชุมชนวิทยาศาสตร์ แต่อย่างใด

มีคนไม่มากในโลกที่ไม่เคยได้ยินชื่อ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์- บางทีนี่อาจเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์เดียวที่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางและกลายเป็นตำนานที่แท้จริง มีการกล่าวถึงในหนังสือและภาพยนตร์หลายเรื่อง และบริบทหลักของการอ้างอิงเกือบทั้งหมดก็คือ ความเป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบท.

ใช่ ทฤษฎีบทนี้เป็นที่รู้จักกันดี และในแง่หนึ่ง ได้กลายเป็น "ไอดอล" ที่นักคณิตศาสตร์สมัครเล่นและมืออาชีพนับถือ แต่มีเพียงไม่กี่คนที่รู้ว่าพบข้อพิสูจน์ และสิ่งนี้เกิดขึ้นในปี 1995 แต่สิ่งแรกก่อน

ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (มักเรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) คิดค้นขึ้นในปี 1637 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ชาญฉลาด ปิแอร์ แฟร์มาต์เป็นเรื่องง่ายมากในสาระสำคัญและเข้าใจได้สำหรับทุกคนที่มีการศึกษาระดับมัธยมศึกษา มันบอกว่าสูตร a n + b n = c n ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตามธรรมชาติ (นั่นคือ ไม่ใช่เศษส่วน) สำหรับ n > 2 ทุกอย่างดูเรียบง่ายและชัดเจน แต่นักคณิตศาสตร์และมือสมัครเล่นที่เก่งที่สุดต่างดิ้นรนเพื่อหาวิธีแก้ปัญหามานานกว่า สามศตวรรษครึ่ง

แฟร์มาต์เองอ้างว่าเขาได้รับข้อพิสูจน์ทฤษฎีของเขาที่เรียบง่ายและรัดกุม แต่ยังไม่พบหลักฐานเชิงสารคดีเกี่ยวกับข้อเท็จจริงข้อนี้ ดังนั้นตอนนี้จึงมีความเชื่อกันว่า ฉันหาฟาร์มไม่เจอ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปทฤษฎีบทของเขาแม้ว่าข้อพิสูจน์เฉพาะสำหรับ n = 4 จะมาจากปากกาของเขาก็ตาม

หลังจากแฟร์มาต์ ผู้มีจิตใจดีเช่น ลีโอนาร์ด ออยเลอร์(ในปี ค.ศ. 1770 เขาเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับ n = 3) เอเดรียน เลเจนเดร และโยฮันน์ ดิริชเลต์(นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ร่วมกันค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 5 ในปี 1825) กาเบรียล ลาเม(ผู้ค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 7) และอื่นๆ อีกมากมาย ในช่วงกลางทศวรรษ 1980 เป็นที่ชัดเจนว่า โลกวิทยาศาสตร์อยู่ระหว่างทางไปสู่การแก้ปัญหาขั้นสุดท้าย

อย่างไรก็ตาม ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นเป็นเพียงในปี 1993 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์ได้เห็นและเชื่อว่ามหากาพย์แห่งการค้นหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ในช่วงสามศตวรรษได้สิ้นสุดลงแล้ว

ในปี 1993 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ แอนดรูว์ ไวล์สนำเสนอต่อโลกของเขา การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์งานที่กินเวลายาวนานกว่าเจ็ดปี แต่ปรากฎว่าการตัดสินใจครั้งนี้มีข้อผิดพลาดร้ายแรง แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะถูกต้องก็ตาม ไวล์สไม่ยอมแพ้ขอความช่วยเหลือจากผู้เชี่ยวชาญที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีจำนวน Richard Taylor และในปี 1994 พวกเขาก็ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่แก้ไขและขยายแล้ว สิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคืองานนี้กินเวลามากถึง 130 (!) หน้าในวารสารทางคณิตศาสตร์ "Annals of Mathematics" แต่เรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น - มาถึงจุดสุดท้ายในปีหน้าเท่านั้น 1995 เมื่อเวอร์ชันของการพิสูจน์ได้รับการเผยแพร่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายและ "อุดมคติ"

เวลาผ่านไปนานมากแล้ว แต่ยังคงมีความเห็นในสังคมว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่สามารถแก้ไขได้ แต่แม้แต่ผู้ที่รู้เกี่ยวกับข้อพิสูจน์ที่พบก็ยังคงทำงานไปในทิศทางนี้ - มีน้อยคนที่พอใจที่ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ต้องการคำตอบความยาว 130 หน้า! ดังนั้นตอนนี้ความพยายามของนักคณิตศาสตร์หลายคน (ส่วนใหญ่เป็นมือสมัครเล่นไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์มืออาชีพ) จึงถูกโยนลงไปในการค้นหาข้อพิสูจน์ที่เรียบง่ายและรัดกุม แต่เส้นทางนี้มีแนวโน้มว่าจะไม่นำไปสู่ที่ใด...

สำหรับจำนวนเต็ม n ที่มากกว่า 2 สมการ xn + yn = zn จะไม่มีคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ

คุณคงจำได้ตั้งแต่สมัยเรียน ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา คุณอาจจำสามเหลี่ยมมุมฉากแบบคลาสสิกที่มีด้านที่มีความยาวในอัตราส่วน 3: 4: 5 ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีลักษณะดังนี้:

นี่คือตัวอย่างของการแก้สมการพีทาโกรัสทั่วไปด้วยจำนวนเต็มที่ไม่ใช่ศูนย์ n= 2. ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (เรียกอีกอย่างว่า "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์" และ "ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์") เป็นข้อความที่ว่าสำหรับค่าต่างๆ n> 2 สมการของแบบฟอร์ม เอ็กซ์เอ็น + ใช่ = z nไม่มีคำตอบที่ไม่เป็นศูนย์ในจำนวนธรรมชาติ

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นน่าสนใจและให้ความรู้อย่างมาก ไม่ใช่เฉพาะสำหรับนักคณิตศาสตร์เท่านั้น ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์มีส่วนในการพัฒนาคณิตศาสตร์สาขาต่างๆ แต่ส่วนหลักของมรดกทางวิทยาศาสตร์ของเขาได้รับการตีพิมพ์หลังมรณกรรมเท่านั้น ความจริงก็คือคณิตศาสตร์สำหรับแฟร์มาต์นั้นเป็นงานอดิเรก ไม่ใช่อาชีพ เขาติดต่อกับนักคณิตศาสตร์ชั้นนำในยุคนั้น แต่ไม่ได้พยายามเผยแพร่ผลงานของเขา งานทางวิทยาศาสตร์ฟาร์มส่วนใหญ่พบอยู่ในรูปแบบของจดหมายส่วนตัวและบันทึกที่ไม่เป็นชิ้นเป็นอัน ซึ่งมักเขียนไว้ริมหนังสือต่างๆ มันอยู่ในระยะขอบ (ของเล่มที่สองของ "เลขคณิต" ของกรีกโบราณของ Diophantus - บันทึก นักแปล) ไม่นานหลังจากการเสียชีวิตของนักคณิตศาสตร์ผู้สืบเชื้อสายได้ค้นพบสูตรของทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียงและคำลงท้าย:

« ฉันพบข้อพิสูจน์ที่ยอดเยี่ยมอย่างแท้จริงเกี่ยวกับเรื่องนี้ แต่ช่องเหล่านี้แคบเกินไปสำหรับมัน».

อนิจจาเห็นได้ชัดว่าแฟร์มาต์ไม่เคยใส่ใจที่จะจด "ข้อพิสูจน์อันน่าอัศจรรย์" ที่เขาพบและลูกหลานของเขาก็ค้นหามันมานานกว่าสามศตวรรษไม่สำเร็จ ในบรรดามรดกทางวิทยาศาสตร์ที่กระจัดกระจายของแฟร์มาต์ทั้งหมด ซึ่งมีข้อความที่น่าประหลาดใจมากมาย ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นั้นปฏิเสธที่จะแก้ไขอย่างดื้อรั้น

ใครก็ตามที่พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์นั้นไร้ผล! นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ยิ่งใหญ่อีกคน René Descartes (1596–1650) เรียกแฟร์มาต์ว่าเป็น "คนอวดดี" และนักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ John Wallis (1616–1703) เรียกเขาว่า "ไอ้ชาวฝรั่งเศส" อย่างไรก็ตาม แฟร์มาต์เองยังคงทิ้งหลักฐานทฤษฎีบทของเขาไว้สำหรับคดีนี้ n= 4. พร้อมหลักฐานสำหรับ n= 3 ได้รับการแก้ไขโดยนักคณิตศาสตร์ชาวสวิส-รัสเซียผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 18 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ (ค.ศ. 1707–83) หลังจากนั้นไม่สามารถหาหลักฐานได้ n> 4 พูดติดตลกว่าให้ตรวจค้นบ้านของแฟร์มาต์เพื่อหากุญแจไขหลักฐานที่สูญหาย ในศตวรรษที่ 19 วิธีการใหม่ในทฤษฎีจำนวนทำให้สามารถพิสูจน์ข้อความของจำนวนเต็มจำนวนมากภายใน 200 ได้ แต่ก็ไม่ใช่ทั้งหมดเช่นกัน

ในปี 1908 มีการจัดตั้งรางวัล 100,000 เครื่องหมายเยอรมันสำหรับการแก้ปัญหานี้ กองทุนรางวัลได้รับการพินัยกรรมโดยนักอุตสาหกรรมชาวเยอรมัน Paul Wolfskehl ซึ่งตามตำนานกล่าวว่ากำลังจะฆ่าตัวตาย แต่ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ถูกพาไปจนทำให้เขาเปลี่ยนใจที่จะตาย ด้วยการถือกำเนิดของการเพิ่มเครื่องจักรและคอมพิวเตอร์แถบค่า nเริ่มสูงขึ้นเรื่อย ๆ - เป็น 617 ในช่วงเริ่มต้นของสงครามโลกครั้งที่สองเป็น 4,001 ในปี 1954 เป็น 125,000 ในปี 1976 ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 20 คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังที่สุดในห้องปฏิบัติการทางทหารในลอสอาลามอส (นิวเม็กซิโก สหรัฐอเมริกา) ได้รับการตั้งโปรแกรมให้แก้ปัญหาของแฟร์มาต์ในเบื้องหลัง (คล้ายกับโหมดรักษาหน้าจอของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล) ดังนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะแสดงให้เห็นว่าทฤษฎีบทเป็นจริงสำหรับค่าที่มากอย่างไม่น่าเชื่อ x, y, zและ nแต่สิ่งนี้ไม่สามารถใช้เป็นข้อพิสูจน์ที่เข้มงวดได้ เนื่องจากมีค่าใดๆ ต่อไปนี้ nหรือสาม ตัวเลขธรรมชาติสามารถหักล้างทฤษฎีบทโดยรวมได้

ในที่สุด ในปี 1994 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Andrew John Wiles (เกิดปี 1953) ซึ่งทำงานที่ Princeton ได้ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของ Fermat ซึ่งหลังจากปรับเปลี่ยนบางอย่างก็ถือว่าครอบคลุม หลักฐานนี้ใช้บันทึกมากกว่าร้อยหน้าและอาศัยการใช้เครื่องมือสมัยใหม่ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นซึ่งไม่ได้รับการพัฒนาในสมัยของแฟร์มาต์ แล้วแฟร์มาต์หมายถึงอะไรโดยทิ้งข้อความไว้ตรงขอบหนังสือว่าเขาพบข้อพิสูจน์แล้ว? นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ที่ฉันพูดคุยด้วยในหัวข้อนี้ชี้ให้เห็นว่าตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่ไม่ถูกต้องมากกว่าเพียงพอ และเป็นไปได้มากว่าแฟร์มาต์เองก็พบข้อพิสูจน์ที่คล้ายกันแล้ว แต่ล้มเหลวในการจดจำข้อผิดพลาด ในนั้น อย่างไรก็ตาม อาจเป็นไปได้ว่ายังมีข้อพิสูจน์สั้นๆ และสง่างามเกี่ยวกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ที่ยังไม่มีใครค้นพบ มีเพียงสิ่งเดียวเท่านั้นที่สามารถพูดได้อย่างมั่นใจ: วันนี้เรารู้แน่ว่าทฤษฎีบทนั้นเป็นความจริง ฉันคิดว่านักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่จะเห็นด้วยกับแอนดรูว์ ไวล์ส ผู้ซึ่งกล่าวถึงข้อพิสูจน์ของเขาว่า "ในที่สุด จิตใจของฉันก็สงบลงแล้ว"

ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์
งานยิ่งใหญ่

ครั้งหนึ่งในจดหมายข่าวปีใหม่เกี่ยวกับวิธีการทำขนมปังปิ้ง ฉันพูดอย่างไม่เป็นทางการว่าในช่วงปลายศตวรรษที่ 20 มีเหตุการณ์สำคัญอย่างหนึ่งเกิดขึ้นที่หลายคนไม่ได้สังเกต - ในที่สุดสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็ได้รับการพิสูจน์แล้ว เกี่ยวกับเรื่องนี้ในบรรดาจดหมายที่ฉันได้รับ ฉันพบคำตอบจากเด็กผู้หญิงสองคน (หนึ่งในนั้นเท่าที่ฉันจำได้คือ Vika นักเรียนชั้นประถมศึกษาปีที่ 9 จาก Zelenograd) ซึ่งรู้สึกประหลาดใจกับข้อเท็จจริงนี้

และฉันรู้สึกประหลาดใจที่สาวๆ สนใจปัญหาคณิตศาสตร์สมัยใหม่มากแค่ไหน ดังนั้นฉันคิดว่าไม่เพียง แต่เด็กผู้หญิงเท่านั้น แต่ยังรวมถึงเด็กผู้ชายทุกวัยตั้งแต่นักเรียนมัธยมปลายไปจนถึงผู้รับบำนาญก็จะสนใจเรียนรู้ประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ด้วย

การพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ถือเป็นเหตุการณ์ที่ยิ่งใหญ่ และเพราะว่า ไม่ใช่เรื่องปกติที่จะล้อเล่นกับคำว่า "ยอดเยี่ยม" แต่สำหรับฉันแล้วดูเหมือนว่าผู้พูดที่เคารพตนเองทุกคน (และเราทุกคนก็เป็นผู้พูดเมื่อเราพูด) มีหน้าที่เพียงต้องรู้ประวัติของทฤษฎีบท

หากเกิดขึ้นว่าคุณไม่ได้รักคณิตศาสตร์มากเท่ากับที่ฉันชอบ ให้อ่านรายละเอียดบางส่วนอย่างละเอียด

ด้วยความตระหนักว่าไม่ใช่ผู้อ่านจดหมายข่าวของเราทุกคนที่สนใจที่จะเดินเข้าไปในป่าทางคณิตศาสตร์ ฉันจึงพยายามไม่ให้สูตรใดๆ (ยกเว้นสมการของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์และสมมติฐานคู่หนึ่ง) และเพื่อลดความซับซ้อนของการรายงานประเด็นเฉพาะบางอย่างให้มากที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ เป็นไปได้.

แฟร์มาต์สร้างความวุ่นวายได้อย่างไร

ปิแอร์ แฟร์มาต์ (ค.ศ. 1601-1665) ทนายความชาวฝรั่งเศสและนักคณิตศาสตร์พาร์ทไทม์ผู้ยิ่งใหญ่แห่งศตวรรษที่ 17 ได้เสนอข้อความที่น่าสนใจข้อหนึ่งจากสาขาทฤษฎีจำนวน ซึ่งต่อมากลายเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ (หรือยิ่งใหญ่) ของแฟร์มาต์ นี่เป็นหนึ่งในทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงและมหัศจรรย์ที่สุด อาจเป็นไปได้ว่าความตื่นเต้นรอบตัวมันคงไม่รุนแรงนักหากในหนังสือของไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรีย (คริสต์ศตวรรษที่ 3) เรื่อง “เลขคณิต” ซึ่งแฟร์มาต์มักจะศึกษาโดยจดบันทึกไว้ที่ขอบกระดาษที่กว้าง และซามูเอลลูกชายของเขาได้เก็บรักษาไว้อย่างกรุณาสำหรับลูกหลาน ไม่พบบันทึกของนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ต่อไปนี้:

“ฉันมีหลักฐานที่น่าตกใจมาก แต่มันใหญ่เกินกว่าจะใส่ลงไปในขอบได้”

การบันทึกนี้เองที่เป็นสาเหตุของความยุ่งยากใหญ่หลวงรอบทฤษฎีบทในเวลาต่อมา

ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์ชื่อดังจึงประกาศว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาแล้ว ลองถามตัวเองดูว่าเขาพิสูจน์ได้จริงหรือแค่โกหก? หรือมีเวอร์ชันอื่นที่อธิบายลักษณะของโน้ตนั้นที่ขอบ ซึ่งไม่อนุญาตให้นักคณิตศาสตร์รุ่นต่อ ๆ ไปหลายคนนอนหลับอย่างสงบสุขหรือไม่? เรื่องราวของทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่นั้นน่าหลงใหลราวกับการผจญภัยข้ามกาลเวลา ในปี ค.ศ. 1636 แฟร์มาต์ระบุว่าสมการของรูปแบบนี้ xn +yn =zn

ค่อนข้างแปลกที่ด้วยเหตุผลบางประการทฤษฎีบทจึงปรากฏตัวช้าเนื่องจากสถานการณ์เกิดขึ้นมาเป็นเวลานานเพราะกรณีพิเศษที่มี n = 2 - สูตรทางคณิตศาสตร์ที่มีชื่อเสียงอีกสูตรหนึ่ง - ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกิดขึ้นยี่สิบสองศตวรรษ ก่อนหน้านี้. ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีต่างจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ชุดอนันต์คำตอบจำนวนเต็ม เช่น สามเหลี่ยมพีทาโกรัสต่อไปนี้: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17) ... (27,36, 45) ... ( 112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …

เกรททฤษฎีบทซินโดรม

ใครยังไม่ได้พยายามพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์? นักเรียนที่เพิ่งเริ่มต้นคนใดคนหนึ่งถือว่าเป็นหน้าที่ของเขาที่จะประยุกต์ใช้กับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ แต่ไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้ ในตอนแรกมันไม่ได้ผลเป็นเวลาร้อยปี แล้วอีกร้อย.. และอีกอย่างหนึ่ง กลุ่มอาการมวลเริ่มเกิดขึ้นในหมู่นักคณิตศาสตร์: "สิ่งนี้เป็นไปได้อย่างไร? แฟร์มาต์พิสูจน์ได้ แต่ฉันทำไม่ได้หรืออะไร?" - และบางคนก็คลั่งไคล้บนพื้นฐานนี้ในความหมายที่สมบูรณ์

ไม่ว่าจะทดสอบทฤษฎีบทนี้กี่ครั้ง มันก็เป็นจริงเสมอ ฉันรู้จักโปรแกรมเมอร์ผู้กระตือรือร้นคนหนึ่งซึ่งหมกมุ่นอยู่กับแนวคิดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่โดยพยายามหาวิธีแก้ปัญหาอย่างน้อยหนึ่งวิธี (ตัวอย่างตอบโต้) โดยการแจกแจงจำนวนเต็มโดยใช้คอมพิวเตอร์ความเร็วสูง (ในเวลานั้นเรียกกันทั่วไปว่าเมนเฟรม) เขาเชื่อในความสำเร็จขององค์กรของเขาและชอบพูดว่า: "อีกหน่อย - แล้วความรู้สึกจะระเบิด!" ฉันคิดว่าในสถานที่ต่าง ๆ บนโลกของเรามีผู้แสวงหาผู้กล้าหาญประเภทนี้จำนวนมาก แน่นอนว่าเขาไม่พบวิธีแก้ปัญหาแม้แต่วิธีเดียว และไม่มีคอมพิวเตอร์เครื่องใดที่สามารถยืนยันทฤษฎีบทได้ แม้จะมีความเร็วเหลือเชื่อ เพราะตัวแปรทั้งหมดของสมการนี้ (รวมถึงเลขชี้กำลังด้วย) สามารถเพิ่มเป็นอนันต์ได้

ทฤษฎีบทต้องมีการพิสูจน์

นักคณิตศาสตร์รู้ดีว่าถ้าทฤษฎีบทไม่ได้รับการพิสูจน์ อะไรก็ตามที่ตามมา (ทั้งจริงและเท็จ) เช่นเดียวกับสมมุติฐานอื่นๆ ตัวอย่างเช่น ในจดหมายฉบับหนึ่งของเขา ปิแอร์ แฟร์มาต์เสนอว่าตัวเลขในรูปแบบ 2 n +1 (ที่เรียกว่าตัวเลขแฟร์มาต์) จำเป็นต้องง่าย (นั่นคือ พวกมันไม่มีตัวหารจำนวนเต็มและหารลงตัวได้โดยไม่มีเศษเหลือเพียง ตัวมันเองและทีละตัว) ถ้า n เป็นกำลังของสอง (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 เป็นต้น) สมมติฐานของแฟร์มาต์นี้มีชีวิตอยู่มานานกว่าร้อยปี จนกระทั่งในปี ค.ศ. 1732 เลออนฮาร์ด ออยเลอร์ได้แสดงให้เห็นเช่นนั้น

2 32 +1 = 4 294 967 297 = 6 700 417 641

จากนั้น เกือบ 150 ปีต่อมา (พ.ศ. 2423) Fortune Landry ได้แยกตัวประกอบของเลขแฟร์มาต์ต่อไปนี้:

2 64 +1 = 18 446 744 073 709 551 617 = 274 177 67 280 421 310 721

พวกเขาสามารถหาตัวหารของสิ่งเหล่านี้ได้อย่างไรโดยไม่ได้รับความช่วยเหลือจากคอมพิวเตอร์? จำนวนมาก- พระเจ้าเท่านั้นที่รู้ ในทางกลับกัน ออยเลอร์ตั้งสมมติฐานว่าสมการ x 4 +y 4 +z 4 =u 4 ไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม อย่างไรก็ตาม ประมาณ 250 ปีต่อมา ในปี 1988 Naum Elkis จาก Harvard สามารถค้นพบได้ (ด้วยความช่วยเหลือของ โปรแกรมคอมพิวเตอร์), อะไร

2 682 440 4 + 15 365 639 4 + 18 796 760 4 = 20 615 673 4

ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์จึงจำเป็นต้องมีการพิสูจน์ ไม่เช่นนั้นก็จะเป็นเพียงสมมติฐาน และอาจเป็นไปได้ว่าที่ใดที่หนึ่งในบริเวณจำนวนอันไม่มีที่สิ้นสุดของจำนวนที่คำตอบของสมการของทฤษฎีบทใหญ่นั้นสูญหายไป

ลีโอนาร์ด ออยเลอร์ นักคณิตศาสตร์ที่เก่งกาจและอุดมสมบูรณ์ที่สุดแห่งศตวรรษที่ 18 ผู้ซึ่งเก็บบันทึกความเป็นมนุษย์ได้แพร่หลายมานานเกือบศตวรรษ ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สำหรับพลัง 3 และ 4 (หรือค่อนข้างมาก เขาทำซ้ำข้อพิสูจน์ที่หายไปของปิแอร์ แฟร์มาต์เอง) ; ผู้ติดตามของเขาในทฤษฎีจำนวน Legendre (และเป็นอิสระจากเขา Dirichlet) - สำหรับระดับ 5; ง่อย - สำหรับระดับ 7 แต่เข้า มุมมองทั่วไปทฤษฎีบทยังคงไม่ได้รับการพิสูจน์

เมื่อวันที่ 1 มีนาคม พ.ศ. 2390 ในการประชุมของ Paris Academy of Sciences นักคณิตศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงสองคนคือ Gabriel Lamé และ Augustin Cauchy ได้ประกาศว่าพวกเขาได้มาถึงจุดสิ้นสุดของการพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่แล้ว และเริ่มการแข่งขันโดยเผยแพร่ข้อพิสูจน์ของพวกเขาใน ชิ้นส่วน อย่างไรก็ตาม การดวลกันระหว่างพวกเขาถูกขัดจังหวะเพราะพบข้อผิดพลาดเดียวกันในการพิสูจน์ของพวกเขา ซึ่งนักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Ernst Kummer ชี้ให้เห็น

ในตอนต้นของศตวรรษที่ 20 (พ.ศ. 2451) ผู้ประกอบการ ผู้ใจบุญ และนักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมันชื่อ Paul Wolfskehl ได้มอบคะแนนหนึ่งแสนคะแนนให้กับผู้ที่จะนำเสนอข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ ในปีแรกหลังจากการตีพิมพ์พินัยกรรมของ Wolfskehl โดย Göttingen Academy of Sciences ก็เต็มไปด้วยข้อพิสูจน์หลายพันรายการจากมือสมัครเล่นคณิตศาสตร์และการไหลนี้ไม่ได้หยุดมานานหลายทศวรรษ แต่ทั้งหมดตามที่คุณเดามีข้อผิดพลาด . พวกเขาบอกว่าทางสถาบันได้เตรียมแบบฟอร์มโดยมีเนื้อหาประมาณดังต่อไปนี้:

ที่รัก __________________________!
ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ในหน้า ____ ในบรรทัด ____ ที่ด้านบน
ตรวจพบข้อผิดพลาดต่อไปนี้ในสูตร:__________________________:,

ซึ่งถูกส่งไปให้กับผู้เข้าชิงรางวัลผู้โชคร้าย

ในเวลานั้นชื่อเล่นกึ่งดูถูกปรากฏในหมู่นักคณิตศาสตร์ - ชาวนา- นี่เป็นชื่อที่ตั้งให้กับคนพลุ่งพล่านที่มั่นใจในตนเองซึ่งขาดความรู้ แต่มีความทะเยอทะยานมากเกินพอที่จะพยายามอย่างเร่งรีบเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ จากนั้นโดยไม่สังเกตเห็นข้อผิดพลาดของตนเองตบหน้าอกตัวเองอย่างภาคภูมิใจประกาศเสียงดัง : “ฉันเป็นคนแรกที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์!” ชาวนาทุกคน แม้ว่าเขาจะเป็นคนที่หนึ่งหมื่น แต่ก็คิดว่าตัวเองเป็นคนแรก - นี่มันตลกดี เรียบง่าย รูปร่างทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่เตือนชาวนาให้นึกถึงเหยื่อง่ายๆ มากจนพวกเขาไม่อายเลยแม้แต่ออยเลอร์และเกาส์ก็ไม่สามารถรับมือกับมันได้

(น่าแปลกที่นักปุ๋ยศาสตร์ยังคงมีอยู่จนถึงทุกวันนี้ แม้ว่าหนึ่งในนั้นไม่คิดว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้แล้ว เช่นเดียวกับนักปุ๋ยศาสตร์คลาสสิก แต่เขาก็ได้พยายามจนกระทั่งเมื่อไม่นานมานี้ เขาปฏิเสธที่จะเชื่อฉันเมื่อฉันบอกเขาว่าทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ได้ถูกพิสูจน์แล้ว พิสูจน์แล้ว)

นักคณิตศาสตร์ที่ทรงพลังที่สุดบางทีในที่ทำงานที่เงียบสงบก็พยายามเข้าใกล้บาร์เบลล์ที่เป็นไปไม่ได้นี้อย่างระมัดระวัง แต่ไม่ได้พูดออกมาดัง ๆ เพื่อที่จะไม่ถูกตราหน้าว่าเป็นชาวนาและไม่ทำร้ายผู้มีอำนาจสูงของพวกเขา .

เมื่อถึงเวลานั้น ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทของเลขชี้กำลัง n ก็ปรากฏขึ้น<100. Потом для n<619. Надо ли говорить о том, что все доказательства невероятно сложны. Но в общем виде теорема оставалась недоказанной.

สมมติฐานแปลกๆ

จนถึงกลางศตวรรษที่ 20 ไม่มีความก้าวหน้าครั้งสำคัญในประวัติศาสตร์ของทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ แต่ในไม่ช้าเหตุการณ์ที่น่าสนใจอย่างหนึ่งก็เกิดขึ้นในชีวิตทางคณิตศาสตร์ ในปี 1955 ยูทากะ ทานิยามะ นักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นวัย 28 ปี ได้เสนอข้อความจากสาขาคณิตศาสตร์ที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง เรียกว่า การคาดเดาทานิยามะ (หรือที่รู้จักในชื่อ การคาดเดาทานิยามะ-ชิมูระ-ไวล์) ซึ่งแตกต่างจากทฤษฎีบทที่ล่าช้าของแฟร์มาต์ อยู่ข้างหน้า ของเวลาของมัน

การคาดเดาของทานิยามะกล่าวว่า: "เส้นโค้งรูปไข่ทุกอันสอดคล้องกับรูปแบบโมดูลาร์ที่แน่นอน" ข้อความนี้ฟังดูไร้สาระสำหรับนักคณิตศาสตร์ในยุคนั้น พอๆ กับข้อความที่ฟังเรา: “ต้นไม้แต่ละต้นสอดคล้องกับโลหะบางชนิด” ไม่ใช่เรื่องยากที่จะคาดเดาว่าคนปกติจะมีปฏิกิริยาอย่างไรต่อข้อความดังกล่าว - เขาเพียงแต่จะไม่จริงจังกับมัน ซึ่งเป็นสิ่งที่เกิดขึ้น: นักคณิตศาสตร์เพิกเฉยต่อสมมติฐานอย่างเป็นเอกฉันท์

ชี้แจงเล็กน้อย. เส้นโค้งรูปวงรีที่รู้จักกันมานานมีลักษณะเป็นสองมิติ (ตั้งอยู่บนเครื่องบิน) ฟังก์ชันโมดูลาร์ที่ค้นพบในศตวรรษที่ 19 มีรูปแบบสี่มิติ ดังนั้นเราจึงไม่สามารถจินตนาการถึงมันด้วยสมองสามมิติของเราได้ แต่เราสามารถอธิบายพวกมันในเชิงคณิตศาสตร์ได้ นอกจากนี้ รูปแบบโมดูลาร์ยังน่าทึ่งเนื่องจากมีสมมาตรสูงสุดที่เป็นไปได้ - สามารถแปล (เลื่อน) ไปในทิศทางใดก็ได้ ทำมิเรอร์ สลับชิ้นส่วน หมุนได้หลายวิธีอย่างไม่สิ้นสุด - แต่รูปลักษณ์ก็ไม่เปลี่ยนแปลง อย่างที่คุณเห็น เส้นโค้งรูปไข่และรูปทรงโมดูลาร์มีอะไรที่เหมือนกันเพียงเล็กน้อย สมมติฐานของทานิยามาระบุว่าสมการเชิงพรรณนาของวัตถุทางคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกันโดยสิ้นเชิงสองชิ้นที่สอดคล้องกันสามารถขยายเป็นชุดทางคณิตศาสตร์เดียวกันได้

สมมติฐานของทานิยามะขัดแย้งกันเกินไป โดยผสมผสานแนวคิดที่แตกต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง - เส้นโค้งแบนที่เรียบง่ายและรูปร่างสี่มิติที่ไม่อาจจินตนาการได้ สิ่งนี้ไม่เคยเกิดขึ้นกับใครเลย เมื่อในงานสัมมนาทางคณิตศาสตร์นานาชาติที่กรุงโตเกียวในเดือนกันยายน พ.ศ. 2498 ทานิยามะได้สาธิตความสอดคล้องกันของเส้นโค้งรูปไข่กับรูปแบบโมดูลาร์ ทุกคนมองว่าสิ่งนี้เป็นเพียงเรื่องบังเอิญที่น่าขบขัน สำหรับคำถามที่เรียบง่ายของทานิยามะ: เป็นไปได้ไหมที่จะค้นหาฟังก์ชันโมดูลาร์ที่สอดคล้องกันสำหรับเส้นโค้งรูปไข่แต่ละวง Andre Weil ชาวฝรั่งเศสผู้น่านับถือ ซึ่งในเวลานั้นเป็นหนึ่งในผู้เชี่ยวชาญด้านทฤษฎีจำนวนที่เก่งที่สุดของโลก ได้ให้คำตอบทางการฑูตอย่างสมบูรณ์ว่า หากทานิยามะผู้อยากรู้อยากเห็นไม่ละทิ้งความกระตือรือร้นบางทีเขาอาจจะโชคดีและสมมติฐานอันเหลือเชื่อของเขาจะได้รับการยืนยัน แต่สิ่งนี้อาจจะไม่เกิดขึ้นในเร็ว ๆ นี้ โดยทั่วไป เช่นเดียวกับการค้นพบที่โดดเด่นอื่นๆ ในตอนแรกสมมติฐานของทานิยามะยังคงไม่มีใครสังเกตเห็น เนื่องจากผู้คนยังไม่โตพอที่จะเข้าใจ - แทบไม่มีใครเข้าใจมัน

สามปีต่อมา (พ.ศ. 2501) ยูทากะ ทานิยามะได้ฆ่าตัวตาย (อย่างไรก็ตาม ประเพณีซามูไรยังคงแข็งแกร่งในญี่ปุ่น) จากมุมมองของสามัญสำนึก นี่เป็นการกระทำที่ไม่สามารถเข้าใจได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพิจารณาว่าอีกไม่นานเขากำลังจะแต่งงาน

ผู้นำของนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ชาวญี่ปุ่นเริ่มบันทึกการฆ่าตัวตายเช่นนี้: “เมื่อวานฉันไม่ได้คิดถึงการฆ่าตัวตายเลย ช่วงนี้ฉันมักจะได้ยินจากคนอื่นว่าฉันเหนื่อยทั้งกายและใจ จริงๆ แล้วฉันยังไม่เข้าใจว่าเหตุใดฉันจึง” ฉันกำลังทำสิ่งนี้...” และต่อๆ ไปในสามแผ่นงาน น่าเสียดายที่นี่คือชะตากรรมของคนที่น่าสนใจ แต่อัจฉริยะทุกคนก็แปลกนิดหน่อย - นั่นเป็นเหตุผลว่าทำไมพวกเขาถึงเป็นอัจฉริยะ (ด้วยเหตุผลบางอย่างคำพูดของ Arthur Schopenhauer เข้ามาในใจ:“ ในชีวิตธรรมดาอัจฉริยะ มีประโยชน์พอๆ กับกล้องโทรทรรศน์ในโรงละคร”) สมมติฐานเป็นกำพร้า ไม่มีใครรู้วิธีพิสูจน์มัน

เป็นเวลาประมาณสิบปีที่พวกเขาแทบจะจำสมมติฐานของทานิยามะไม่ได้เลย แต่ในช่วงต้นทศวรรษที่ 70 มันได้รับความนิยม - ได้รับการทดสอบเป็นประจำโดยทุกคนที่เข้าใจได้ - และได้รับการยืนยันเสมอ (ตามความเป็นจริงคือทฤษฎีบทของแฟร์มาต์) แต่เหมือนเมื่อก่อนไม่มีใครสามารถพิสูจน์ได้

การเชื่อมโยงที่น่าประหลาดใจระหว่างสองสมมติฐาน

เวลาผ่านไปอีกประมาณ 15 ปี ในปี 1984 มีเหตุการณ์สำคัญเหตุการณ์หนึ่งในชีวิตของคณิตศาสตร์เกิดขึ้น ซึ่งรวมเอาสมมติฐานอันฟุ่มเฟือยของญี่ปุ่นเข้ากับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ เกอร์ฮาร์ด เฟรย์ ชาวเยอรมันเสนอข้อความที่น่าสนใจคล้ายกับทฤษฎีบทนี้ว่า "หากสมมติฐานของทานิยามะได้รับการพิสูจน์แล้ว ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะได้รับการพิสูจน์" กล่าวอีกนัยหนึ่ง ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นผลมาจากการคาดเดาของทานิยามะ (เฟรย์ใช้การแปลงทางคณิตศาสตร์อย่างชาญฉลาด ลดสมการของแฟร์มาต์ให้อยู่ในรูปของสมการเส้นโค้งวงรี (แบบเดียวกับที่ปรากฏในสมมติฐานของทานิยามะ) พิสูจน์สมมติฐานของเขาได้ไม่มากก็น้อย แต่ไม่สามารถพิสูจน์ได้) และเพียงหนึ่งปีครึ่งต่อมา (พ.ศ. 2529) ศาสตราจารย์เคนเนธ ริเบต์จากมหาวิทยาลัยแคลิฟอร์เนียได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเฟรย์อย่างชัดเจน

เกิดอะไรขึ้นตอนนี้? ตอนนี้ปรากฎว่าเนื่องจากทฤษฎีบทของแฟร์มาต์เป็นผลที่ตามมาของการคาดเดาของทานิยามะอยู่แล้ว เราจึงต้องพิสูจน์อย่างหลังเพื่อที่จะชนะรางวัลเกียรติยศของผู้พิชิตทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ในตำนาน แต่สมมติฐานกลายเป็นเรื่องยาก นอกจากนี้ ตลอดหลายศตวรรษที่ผ่านมา นักคณิตศาสตร์เริ่มแพ้ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ และหลายคนตัดสินใจว่าแทบจะเป็นไปไม่ได้เลยที่จะรับมือกับการคาดเดาของทานิยามะ

เวลาผ่านไปอีก 8 ปี แอนดรูว์ ไวล์ส ศาสตราจารย์ด้านคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษผู้ก้าวหน้าคนหนึ่งจากมหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน (นิวเจอร์ซีย์ สหรัฐอเมริกา) คิดว่าเขาได้พบข้อพิสูจน์ของการคาดเดาของทานิยามะแล้ว หากอัจฉริยะไม่หัวล้าน ตามกฎแล้วเขาจะยุ่งเหยิง ไวล์สไม่เรียบร้อยจึงดูเหมือนเป็นอัจฉริยะ แน่นอนว่าการเข้าสู่ประวัติศาสตร์เป็นสิ่งที่น่าดึงดูดและเป็นที่ต้องการอย่างมาก แต่ Wiles ก็เหมือนกับนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริงไม่ได้หลอกตัวเองโดยตระหนักว่าเกษตรกรหลายพันคนก่อนหน้าเขาก็เห็นหลักฐานลวงตาเช่นกัน ดังนั้นก่อนที่จะนำเสนอข้อพิสูจน์ของเขาให้โลกได้รับรู้ เขาตรวจสอบมันด้วยตัวเองอย่างรอบคอบ แต่เมื่อตระหนักว่าเขาอาจมีอคติส่วนตัว เขาจึงให้ผู้อื่นตรวจสอบด้วย เช่น ภายใต้หน้ากากของงานทางคณิตศาสตร์ธรรมดา บางครั้งเขาก็โยนเศษชิ้นส่วนต่างๆ ของการพิสูจน์ของเขาต่อนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษาที่ชาญฉลาด ไวล์สยอมรับในเวลาต่อมาว่าไม่มีใครนอกจากภรรยาของเขารู้ว่าเขากำลังพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่อยู่

และหลังจากการทดสอบและความคิดอันเจ็บปวดมากมาย ในที่สุด ไวล์สก็รวบรวมความกล้าหาญ หรือบางทีอาจเป็นความเย่อหยิ่งอย่างที่เห็น และในวันที่ 23 มิถุนายน พ.ศ. 2536 ที่การประชุมทางคณิตศาสตร์เรื่องทฤษฎีจำนวนในเคมบริดจ์ เขาก็ประกาศความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ของเขา

แน่นอนว่านี่เป็นความรู้สึก ไม่มีใครคาดหวังความคล่องตัวเช่นนี้จากนักคณิตศาสตร์ที่ไม่ค่อยมีใครรู้จัก สื่อมวลชนก็ปรากฏตัวขึ้นทันที ทุกคนถูกทรมานด้วยความสนใจอันเร่าร้อน สูตรที่เพรียวบางราวกับลายเส้นของภาพวาดที่สวยงาม ปรากฏต่อหน้าสายตาที่อยากรู้อยากเห็นของผู้คนที่รวมตัวกัน

นักคณิตศาสตร์ตัวจริง พวกเขาเป็นเช่นนั้น มองสมการทุกประเภทแล้วเห็นว่าไม่ใช่ตัวเลข ค่าคงที่ และตัวแปร แต่ได้ยินเสียงดนตรี เหมือนที่โมสาร์ทมองดูเจ้าหน้าที่ เช่นเดียวกับเวลาที่เราอ่านหนังสือ เรามองดูตัวอักษร แต่ดูเหมือนจะไม่สังเกตเห็น แต่รับรู้ความหมายของข้อความได้ทันที

ไวล์สวิเคราะห์สถานการณ์และตัดสินใจว่าเขาแพ้แล้ว ใคร ๆ ก็สามารถจินตนาการได้ว่าเขารู้สึกอย่างไรกับสิ่งที่เป็นอยู่ ความหมายของ "ก้าวจากความยิ่งใหญ่ไปสู่ความไร้สาระ" “ ฉันอยากจะลงไปในประวัติศาสตร์ แต่ฉันกลับกลายเป็นส่วนหนึ่งของทีมตัวตลกและนักแสดงตลก - ชาวนาที่หยิ่งผยอง” - สิ่งเหล่านี้เป็นความคิดที่ทำให้เขาเหนื่อยล้าในช่วงเวลาที่ยากลำบากในชีวิตของเขา สำหรับเขาซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้จริงจัง นี่เป็นโศกนาฏกรรมและเขาโยนการพิสูจน์ของเขาไปสู่การลืมเลือน

แต่เพียงปีต่อมาในเดือนกันยายน พ.ศ. 2537 ขณะที่คิดถึงปัญหาคอขวดในการพิสูจน์ร่วมกับเพื่อนร่วมงานของเขา เทย์เลอร์จากอ็อกซ์ฟอร์ด ฝ่ายหลังก็เกิดความคิดที่ว่า "ระบบออยเลอร์" สามารถถูกแทนที่ด้วยทฤษฎีอิวาซาวะ (a สาขาทฤษฎีจำนวน) จากนั้นพวกเขาก็พยายามใช้ทฤษฎีของอิวาซาวะ โดยไม่ใช้ "ระบบยูเลอเรียน" และทุกอย่างก็ออกมาดีสำหรับพวกเขา

มีการส่งหลักฐานฉบับแก้ไขเพื่อตรวจสอบและอีกหนึ่งปีต่อมาก็มีการประกาศว่าทุกอย่างชัดเจนในนั้นโดยไม่มีข้อผิดพลาดแม้แต่ครั้งเดียว ในฤดูร้อนปี 1995 หนึ่งในวารสารทางคณิตศาสตร์ชั้นนำ - "Annals of Mathematics" - มีการตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ที่สมบูรณ์ของการคาดเดาของ Taniyama (ด้วยเหตุนี้ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของ Fermat) ซึ่งครอบคลุมประเด็นทั้งหมดมากกว่าร้อยหน้า การพิสูจน์มีความซับซ้อนมากจนมีเพียงไม่กี่สิบคนทั่วโลกที่สามารถเข้าใจได้ทั้งหมด

ดังนั้น ในตอนท้ายของศตวรรษที่ 20 คนทั้งโลกจึงตระหนักว่าในปีที่ 360 ของชีวิต ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ ซึ่งอันที่จริงเป็นเพียงสมมติฐานมาโดยตลอด ได้กลายเป็นทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว Andrew Wiles พิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ของ Fermat และปรากฏในประวัติศาสตร์

ลองคิดดูสิ พวกเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทบางอย่างแล้ว... ความสุขของผู้ค้นพบมักจะตกเป็นของบุคคลคนเดียวเสมอ - เขาคือผู้ที่ทุบความรู้อันแข็งกระด้างด้วยการกระแทกครั้งสุดท้าย แต่เราไม่สามารถเพิกเฉยต่อการโจมตีหลายครั้งก่อนหน้านี้ที่ก่อให้เกิดรอยแตกร้าวในทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่มานานหลายศตวรรษ: ออยเลอร์และเกาส์ (ราชาแห่งคณิตศาสตร์ในสมัยของพวกเขา), เอวาริสเต กาลัวส์ (ผู้ซึ่งค้นพบทฤษฎีของกลุ่มและสาขาต่างๆ ในช่วงระยะเวลาสั้น ๆ ของเขา 21- ปีชีวิตซึ่งผลงานได้รับการยอมรับว่าเป็นอัจฉริยะหลังจากการตายของเขาเท่านั้น), Henri Poincaré (ผู้ก่อตั้งไม่เพียง แต่รูปแบบโมดูลาร์ที่แปลกประหลาดเท่านั้น แต่ยังรวมถึงลัทธิธรรมดานิยม - การเคลื่อนไหวทางปรัชญา), David Gilbert (หนึ่งในนักคณิตศาสตร์ที่แข็งแกร่งที่สุดแห่งศตวรรษที่ 20) , Yutaka Taniyama, Goro Shimura, Mordell, Faltings, Ernst Kummer, Barry Mazur, Gerhard Frey, Ken Ribbett, Richard Taylor และคนอื่นๆนักวิทยาศาสตร์ที่แท้จริง

การพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สามารถเทียบได้กับความสำเร็จของศตวรรษที่ 20 เช่น การประดิษฐ์คอมพิวเตอร์ ระเบิดนิวเคลียร์ และการบินในอวกาศ แม้ว่าจะไม่เป็นที่รู้จักอย่างกว้างขวางนัก เนื่องจากมันไม่ได้บุกรุกพื้นที่ที่เราสนใจทันที เช่น โทรทัศน์หรือหลอดไฟฟ้า แต่มันคือการระเบิดของซูเปอร์โนวา ซึ่งเช่นเดียวกับความจริงที่ไม่เปลี่ยนรูปทั้งหมด จะส่องสว่างต่อมนุษยชาติเสมอ

คุณสามารถพูดได้ว่า: “ลองคิดดูสิ พวกเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทบางอย่างแล้ว ใครต้องการมัน?". คำถามที่ยุติธรรม คำตอบของ David Gilbert เหมาะกับที่นี่ทุกประการ เมื่อถูกถามว่า: "งานใดที่สำคัญที่สุดสำหรับวิทยาศาสตร์ในตอนนี้" เขาตอบว่า: "จับแมลงวันบนอีกฟากหนึ่งของดวงจันทร์" เขาถูกถามอย่างสมเหตุสมผล: " และ ใครต้องการมัน?" เขาตอบว่า: "ไม่มีใครต้องการสิ่งนี้ แต่ลองคิดดูว่าต้องแก้ไขปัญหาที่สำคัญและซับซ้อนจำนวนเท่าใดเพื่อที่จะบรรลุเป้าหมายนี้" ลองนึกถึงปัญหามากมายที่มนุษยชาติสามารถแก้ไขได้ใน 360 ปีก่อนก่อนที่จะพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ เกือบครึ่งหนึ่งของคณิตศาสตร์สมัยใหม่ถูกค้นพบในการค้นหา ควรคำนึงด้วยว่าคณิตศาสตร์เป็นแนวหน้าของวิทยาศาสตร์ (และเป็นวิทยาศาสตร์เดียวที่สร้างขึ้นโดยไม่มีข้อผิดพลาดแม้แต่ครั้งเดียว) และความสำเร็จและสิ่งประดิษฐ์ทางวิทยาศาสตร์ใด ๆ เริ่มต้นที่นี่ “มีเพียงหลักคำสอนที่ได้รับการยืนยันทางคณิตศาสตร์เท่านั้นที่สามารถรับรู้ได้ว่าเป็นวิทยาศาสตร์”

* * *

ตอนนี้เรากลับไปที่จุดเริ่มต้นของเรื่องราวของเรา จำบันทึกของปิแอร์ แฟร์มาต์ที่ขอบหนังสือเรียนของไดโอแฟนตัส และถามคำถามอีกครั้ง: แฟร์มาต์พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาจริง ๆ หรือไม่? แน่นอนว่าเราไม่สามารถรู้สิ่งนี้ได้อย่างแน่นอนและในกรณีใด ๆ มีเวอร์ชันที่แตกต่างกันเกิดขึ้นที่นี่:

เวอร์ชัน 1:แฟร์มาต์พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา (เมื่อถูกถามว่า "แฟร์มาต์มีการพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาเหมือนกันทุกประการหรือไม่" แอนดรูว์ ไวล์สตั้งข้อสังเกตว่า "แฟร์มาต์ไม่มีหลักฐานพิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาเลย" แบบนี้การพิสูจน์. นี่เป็นข้อพิสูจน์ของศตวรรษที่ 20" คุณและฉันเข้าใจว่าแน่นอนว่าคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 17 นั้นไม่เหมือนกับตอนปลายศตวรรษที่ 20 อย่างแน่นอน - ในยุคนั้น Artagnan ราชินีแห่งวิทยาศาสตร์ยังไม่ได้ มีการค้นพบเหล่านั้น (รูปแบบโมดูลาร์, ทฤษฎีบทของ Taniyama, เฟรยา ฯลฯ ) ซึ่งทำให้สามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ได้ แน่นอนว่าใครๆ ก็สันนิษฐานได้: ทำไมแฟร์มาต์ถึงคาดเดาในลักษณะที่แตกต่างออกไป? ตามที่นักคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่กล่าวไว้ เป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติ);
เวอร์ชัน 2:ปิแอร์ แฟร์มาต์คิดว่าเขาได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขาแล้ว แต่มีข้อผิดพลาดในการพิสูจน์ของเขา (นั่นคือแฟร์มาต์เองก็เป็นชาวนาคนแรกด้วย)
เวอร์ชัน 3:แฟร์มาต์ไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทของเขา แต่เพียงโกหกในระยะขอบเท่านั้น

หากหนึ่งในสองเวอร์ชันล่าสุดถูกต้องซึ่งเป็นไปได้มากที่สุด เราสามารถสรุปง่ายๆ ได้: คนที่ยิ่งใหญ่ถึงแม้พวกเขาจะเก่งแต่พวกเขาก็สามารถทำผิดพลาดได้หรือบางครั้งก็ไม่รังเกียจที่จะโกหก(ส่วนใหญ่ข้อสรุปนี้จะเป็นประโยชน์สำหรับผู้ที่มีแนวโน้มที่จะไว้วางใจรูปเคารพและผู้ปกครองความคิดอื่น ๆ ของตนอย่างสมบูรณ์) ดังนั้นเมื่ออ่านผลงานของบุตรผู้มีอำนาจของมนุษยชาติหรือฟังสุนทรพจน์ที่น่าสมเพชของคุณ คุณมีสิทธิ์ทุกประการที่จะสงสัยในคำพูดของพวกเขา (โปรดทราบว่า ความสงสัยไม่ได้หมายถึงการปฏิเสธ).

การทำซ้ำเนื้อหาบทความสามารถทำได้เฉพาะเมื่อมีลิงก์บังคับไปยังไซต์เท่านั้น (บนอินเทอร์เน็ต - ไฮเปอร์ลิงก์) และถึงผู้เขียน

ดังนั้น ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ (มักเรียกว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์) ซึ่งคิดค้นขึ้นในปี 1637 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสผู้ชาญฉลาด ปิแอร์ แฟร์มาต์ มีลักษณะเรียบง่ายมากและทุกคนที่มีการศึกษาระดับมัธยมศึกษาก็สามารถเข้าใจได้ มันบอกว่าสูตร a ยกกำลัง n + b ยกกำลัง n = c ยกกำลัง n ไม่มีคำตอบตามธรรมชาติ (ซึ่งไม่ใช่เศษส่วน) สำหรับ n > 2 ทุกอย่างดูเรียบง่ายและชัดเจน แต่ นักคณิตศาสตร์และมือสมัครเล่นที่เก่งที่สุดต้องดิ้นรนกับการค้นหาวิธีแก้ปัญหามานานกว่าสามศตวรรษครึ่ง

ทำไมเธอถึงมีชื่อเสียงมาก? ตอนนี้เราจะพบว่า...



มีทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว ยังไม่พิสูจน์ และยังไม่ได้รับการพิสูจน์มากมายหรือไม่? ประเด็นก็คือทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แสดงถึงความแตกต่างที่ยิ่งใหญ่ที่สุดระหว่างความเรียบง่ายของสูตรกับความซับซ้อนของการพิสูจน์ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นปัญหาที่ยากอย่างไม่น่าเชื่อ แต่ใครก็ตามที่มีระดับชั้นประถมศึกษาปีที่ 5 ก็สามารถเข้าใจสูตรของมันได้ โรงเรียนมัธยมปลายแต่การพิสูจน์ไม่ได้มีไว้สำหรับนักคณิตศาสตร์มืออาชีพทุกคนด้วยซ้ำ ไม่ว่าจะเป็นในฟิสิกส์ เคมี หรือชีววิทยา หรือคณิตศาสตร์ ไม่มีปัญหาเดียวที่สามารถกำหนดสูตรง่ายๆ ได้ แต่ยังคงแก้ไขไม่ได้เป็นเวลานาน 2.ประกอบด้วยอะไรบ้าง?

เริ่มจากกางเกงพีทาโกรัสกันก่อน ถ้อยคำนั้นง่ายมาก - เมื่อมองแวบแรก ดังที่เราทราบกันตั้งแต่สมัยเด็กๆ “ กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกด้าน" ปัญหาดูง่ายมากเพราะมันมีพื้นฐานมาจากข้อความทางคณิตศาสตร์ที่ทุกคนรู้ - ทฤษฎีบทพีทาโกรัส: ในข้อใดข้อหนึ่ง สามเหลี่ยมมุมฉากสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นบนขา

ในศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช พีทาโกรัสก่อตั้งกลุ่มภราดรภาพพีทาโกรัส เหนือสิ่งอื่นใด ชาวพีทาโกรัสได้ศึกษาแฝดจำนวนเต็มที่มีค่าเท่ากัน x²+y²=z² พวกเขาพิสูจน์ว่ามีพีทาโกรัสสามเท่าและได้มาอย่างไม่สิ้นสุด สูตรทั่วไปเพื่อค้นหาพวกเขา พวกเขาอาจพยายามมองหา C และองศาที่สูงกว่า ด้วยความเชื่อมั่นว่าวิธีนี้ใช้ไม่ได้ผล ชาวพีทาโกรัสจึงละทิ้งความพยายามที่ไร้ประโยชน์ สมาชิกของภราดรภาพเป็นนักปรัชญาและสุนทรียภาพมากกว่านักคณิตศาสตร์


กล่าวคือ มันเป็นเรื่องง่ายที่จะเลือกชุดตัวเลขที่ตรงกับความเท่าเทียมกัน x²+y²=z² อย่างสมบูรณ์แบบ

เริ่มจาก 3, 4, 5 - แน่นอนว่านักเรียนรุ่นน้องเข้าใจว่า 9 + 16 = 25

หรือ 5, 12, 13: 25 + 144 = 169 เยี่ยมมาก

และอื่นๆ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าเราใช้สมการที่คล้ายกัน x³+y³=z³? อาจมีตัวเลขเช่นนี้ด้วย?




และอื่นๆ (รูปที่ 1)

ปรากฎว่าพวกเขาไม่ใช่ นี่คือจุดเริ่มต้นของเคล็ดลับ ความเรียบง่ายนั้นชัดเจนเพราะมันเป็นการยากที่จะพิสูจน์ว่าไม่ใช่การมีอยู่ของบางสิ่งบางอย่าง แต่ในทางกลับกันมันไม่มีอยู่เลย เมื่อคุณต้องการพิสูจน์ว่ามีวิธีแก้ปัญหา คุณสามารถและควรนำเสนอวิธีแก้ปัญหานี้

การพิสูจน์ว่าไม่มีตัวตนนั้นยากกว่า เช่น บางคนพูดว่า สมการดังกล่าวไม่มีวิธีแก้ปัญหา เอาเขาลงบ่อเหรอ? ง่าย: แบม - และนี่คือวิธีแก้ปัญหา! (ให้วิธีแก้ปัญหา). เพียงเท่านี้คู่ต่อสู้ก็พ่ายแพ้ จะพิสูจน์ได้อย่างไรว่าไม่มี?

พูดว่า: “ฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาดังกล่าว”? หรือบางทีคุณอาจดูไม่ดี? จะเกิดอะไรขึ้นถ้ามันมีอยู่จริง แต่มีขนาดใหญ่มาก ใหญ่มาก แม้แต่คอมพิวเตอร์ที่ทรงพลังสุดๆ ก็ยังไม่มีความแข็งแกร่งเพียงพอล่ะ? นี่คือสิ่งที่ยาก

สิ่งนี้สามารถแสดงเป็นภาพได้ดังนี้: หากคุณใช้ขนาดที่เหมาะสมสองช่องสี่เหลี่ยมแล้วแยกชิ้นส่วนออกเป็นช่องสี่เหลี่ยมจากนั้นคุณจะได้ช่องสี่เหลี่ยมที่สามจากกลุ่มช่องสี่เหลี่ยมนี้ (รูปที่ 2):


แต่มาทำเช่นเดียวกันกับมิติที่สาม (รูปที่ 3) - มันไม่ทำงาน มีลูกบาศก์ไม่เพียงพอหรือยังมีเหลืออยู่:





แต่ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสในศตวรรษที่ 17 ศึกษาสมการทั่วไป x อย่างกระตือรือร้น n +y n =z n - และในที่สุดฉันก็สรุปได้ว่า: สำหรับ n>2 ไม่มีคำตอบจำนวนเต็ม ข้อพิสูจน์ของแฟร์มาต์สูญหายไปอย่างไม่อาจแก้ไขได้ ต้นฉบับกำลังลุกไหม้! สิ่งที่เหลืออยู่คือคำพูดของเขาในวิชาเลขคณิตของไดโอแฟนตัส: “ฉันได้พบข้อพิสูจน์ที่น่าทึ่งจริงๆ เกี่ยวกับข้อเสนอนี้ แต่ระยะขอบที่นี่แคบเกินกว่าจะเก็บไว้ได้”

จริงๆ แล้ว ทฤษฎีบทที่ไม่มีการพิสูจน์เรียกว่าสมมติฐาน แต่แฟร์มาต์มีชื่อเสียงในด้านที่ไม่เคยทำผิดพลาด แม้ว่าเขาจะไม่ได้ทิ้งหลักฐานคำให้การไว้ แต่ก็ได้รับการยืนยันในเวลาต่อมา นอกจากนี้ แฟร์มาต์ยังพิสูจน์วิทยานิพนธ์ของเขาด้วยค่า n=4 ดังนั้นสมมติฐานของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสจึงลงไปในประวัติศาสตร์ในฐานะทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

หลังจากเฟอร์มาต์ ผู้มีความคิดที่ยิ่งใหญ่เช่นเลออนฮาร์ด ออยเลอร์ทำงานเพื่อค้นหาข้อพิสูจน์ (ในปี 1770 เขาเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับ n = 3)

Adrien Legendre และ Johann Dirichlet (นักวิทยาศาสตร์เหล่านี้ร่วมกันค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 5 ในปี 1825), Gabriel Lamé (ผู้ค้นพบข้อพิสูจน์สำหรับ n = 7) และอื่นๆ อีกมากมาย ในช่วงกลางทศวรรษที่ 80 ของศตวรรษที่ผ่านมา เป็นที่ชัดเจนว่าโลกวิทยาศาสตร์กำลังมุ่งไปสู่การแก้ปัญหาขั้นสุดท้ายของทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ แต่มีเพียงในปี 1993 เท่านั้นที่นักคณิตศาสตร์มองเห็นและเชื่อว่ามหากาพย์แห่งการค้นหาข้อพิสูจน์ในช่วงสามศตวรรษ ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เกือบจะจบลงแล้ว

เป็นเรื่องง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่าการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์สำหรับ n แบบง่ายเท่านั้นก็เพียงพอแล้ว: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... สำหรับการประกอบ n การพิสูจน์ยังคงใช้ได้ แต่มีจำนวนเฉพาะมากมายนับไม่ถ้วน...

ในปี 1825 โดยใช้วิธีการของ Sophie Germain นักคณิตศาสตร์หญิง Dirichlet และ Legendre ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสำหรับ n=5 อย่างเป็นอิสระ ในปี 1839 โดยใช้วิธีเดียวกัน กาเบรียล ลาม ชาวฝรั่งเศสได้แสดงให้เห็นความจริงของทฤษฎีบทสำหรับ n=7 ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วเกือบทั้งหมดและน้อยกว่าหนึ่งร้อย


ในที่สุด Ernst Kummer นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมันได้ค้นพบว่าทฤษฎีบทโดยทั่วไปไม่สามารถพิสูจน์ได้โดยใช้วิธีทางคณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 19 รางวัล สถาบันฝรั่งเศสวิทยาศาสตร์ซึ่งก่อตั้งขึ้นเมื่อปี พ.ศ. 2390 เพื่อการพิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์ยังคงไม่ได้รับการยอมรับ

ในปี 1907 Paul Wolfskehl นักอุตสาหกรรมผู้มั่งคั่งชาวเยอรมันตัดสินใจปลิดชีพตัวเองเพราะความรักที่ไม่สมหวัง เช่นเดียวกับชาวเยอรมันอย่างแท้จริง เขากำหนดวันที่และเวลาของการฆ่าตัวตาย: เวลาเที่ยงคืนพอดี ในวันสุดท้ายได้ทำพินัยกรรมและเขียนจดหมายถึงเพื่อนและญาติ เรื่องจบลงก่อนเที่ยงคืน ต้องบอกว่าพอลสนใจวิชาคณิตศาสตร์ เมื่อไม่มีอะไรทำแล้ว เขาจึงไปห้องสมุดและเริ่มอ่านบทความชื่อดังของคุมเมอร์ ทันใดนั้นดูเหมือนว่า Kummer จะทำผิดพลาดในการให้เหตุผลสำหรับเขา Wolfskel เริ่มวิเคราะห์ส่วนนี้ของบทความด้วยดินสอในมือ เที่ยงคืนผ่านไป เช้ามาถึงแล้ว ช่องว่างในการพิสูจน์ถูกเติมเต็มแล้ว และเหตุผลของการฆ่าตัวตายตอนนี้ดูไร้สาระมาก พอลฉีก จดหมายอำลาและเขียนพินัยกรรมขึ้นมาใหม่

ในไม่ช้าเขาก็เสียชีวิตด้วยสาเหตุตามธรรมชาติ ทายาทค่อนข้างประหลาดใจ: 100,000 มาร์ค (มากกว่า 1,000,000 ปอนด์สเตอร์ลิงในปัจจุบัน) ถูกโอนไปยังบัญชีของราชวงศ์ สังคมวิทยาศาสตร์ Göttingen ซึ่งในปีเดียวกันนั้นได้ประกาศการแข่งขันเพื่อชิงรางวัล Wolfskehl Prize ผู้ที่พิสูจน์ทฤษฎีบทของแฟร์มาต์จะได้รับคะแนน 100,000 คะแนน ไม่ใช่ pfennig ที่ได้รับรางวัลสำหรับการหักล้างทฤษฎีบท...

นักคณิตศาสตร์มืออาชีพส่วนใหญ่ถือว่าการค้นหาข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นงานที่สิ้นหวัง และปฏิเสธที่จะเสียเวลากับแบบฝึกหัดที่ไร้ประโยชน์ดังกล่าวอย่างเด็ดเดี่ยว แต่มือสมัครเล่นก็ระเบิด ไม่กี่สัปดาห์หลังจากการประกาศ “หลักฐาน” ก็ถล่มมหาวิทยาลัย Göttingen ศาสตราจารย์ E.M. Landau ซึ่งมีหน้าที่รับผิดชอบในการวิเคราะห์หลักฐานที่ส่งมาได้แจกการ์ดให้กับนักเรียนของเขา:


ที่รัก. - - - - - - -

ขอขอบคุณที่ส่งต้นฉบับพร้อมหลักฐานทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มาให้ฉัน ข้อผิดพลาดแรกอยู่ที่หน้า ... ในบรรทัด... . ด้วยเหตุนี้ หลักฐานทั้งหมดจึงสูญเสียความถูกต้อง
ศาสตราจารย์ อี. เอ็ม. แลนเดา











ในปี 1963 พอล โคเฮนอาศัยการค้นพบของเกอเดล ได้พิสูจน์ความไม่สามารถแก้ได้ของปัญหาหนึ่งในยี่สิบสามของฮิลแบร์ต นั่นก็คือ สมมติฐานต่อเนื่อง จะเกิดอะไรขึ้นถ้าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ยังตัดสินใจไม่ได้?! แต่ผู้คลั่งไคล้ทฤษฎีบท Great Theorem ตัวจริงก็ไม่ผิดหวังเลย การถือกำเนิดของคอมพิวเตอร์ทำให้นักคณิตศาสตร์เกิดโดยไม่คาดคิด วิธีการใหม่การพิสูจน์. หลังสงครามโลกครั้งที่ 2 ทีมโปรแกรมเมอร์และนักคณิตศาสตร์ได้พิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์สำหรับค่าทั้งหมดตั้งแต่ n จนถึง 500 จากนั้นจึงสูงถึง 1,000 และต่อมาเป็น 10,000

ในคริสต์ทศวรรษ 1980 ซามูเอล แวกสตาฟเพิ่มขีดจำกัดเป็น 25,000 และในคริสต์ทศวรรษ 1990 นักคณิตศาสตร์ได้ประกาศว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์เป็นจริงสำหรับค่าทุกค่าตั้งแต่ n จนถึง 4 ล้าน แต่ถ้าคุณลบแม้แต่ล้านล้านล้านล้านจากอนันต์ มันก็จะไม่เล็กลง นักคณิตศาสตร์ไม่มั่นใจในสถิติ เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่หมายถึงการพิสูจน์มันเพื่อทุกสิ่งที่จะไปสู่อนันต์




ในปี 1954 เพื่อนนักคณิตศาสตร์ชาวญี่ปุ่นสองคนเริ่มค้นคว้ารูปแบบโมดูลาร์ แบบฟอร์มเหล่านี้จะสร้างชุดตัวเลข โดยแต่ละชุดจะมีชุดของตัวเอง โดยบังเอิญ ทานิยามะเปรียบเทียบอนุกรมเหล่านี้กับอนุกรมที่สร้างโดยสมการวงรี พวกเขาเข้ากัน! แต่รูปแบบโมดูลาร์นั้นเป็นวัตถุทางเรขาคณิต และสมการวงรีนั้นเป็นพีชคณิต ไม่เคยพบการเชื่อมต่อระหว่างวัตถุที่แตกต่างกันเช่นนี้

อย่างไรก็ตาม หลังจากการทดสอบอย่างรอบคอบ เพื่อน ๆ ได้ตั้งสมมติฐานว่า สมการวงรีทุกสมการจะมีรูปแบบแฝด - รูปแบบโมดูลาร์ และในทางกลับกัน สมมติฐานนี้เองที่กลายเป็นรากฐานของทิศทางทั้งหมดในคณิตศาสตร์ แต่จนกว่าจะพิสูจน์สมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระ อาคารทั้งหลังอาจพังทลายลงได้ทุกเมื่อ

ในปี 1984 แกร์ฮาร์ด เฟรย์แสดงให้เห็นว่าคำตอบของสมการแฟร์มาต์ (ถ้ามี) สามารถรวมไว้ในสมการวงรีบางสมการได้ สองปีต่อมา ศาสตราจารย์เคน ริเบต์ พิสูจน์ว่าสมการสมมุตินี้ไม่มีคู่กันในโลกโมดูลาร์ จากนี้ไป ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์มีความเชื่อมโยงกับการคาดเดาของทานิยามะ-ชิมูระอย่างแยกไม่ออก หลังจากที่พิสูจน์แล้วว่าเส้นโค้งวงรีใดๆ เป็นแบบโมดูลาร์ เราสรุปได้ว่าไม่มีสมการวงรีที่จะแก้สมการของแฟร์มาต์ได้ และทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ก็จะได้รับการพิสูจน์ทันที แต่เป็นเวลาสามสิบปีที่เป็นไปไม่ได้ที่จะพิสูจน์สมมติฐานของทานิยามะ-ชิมูระ และความหวังที่จะประสบความสำเร็จก็น้อยลงเรื่อยๆ

ในปี 1963 ขณะที่เขาอายุเพียง 10 ขวบ Andrew Wiles มีความหลงใหลในวิชาคณิตศาสตร์อยู่แล้ว เมื่อเขาเรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ เขาก็ตระหนักว่าเขาไม่สามารถยอมแพ้กับทฤษฎีบทนั้นได้ ในฐานะเด็กนักเรียน นักศึกษา และนักศึกษาระดับบัณฑิตศึกษา เขาได้เตรียมตัวสำหรับงานนี้

เมื่อทราบเกี่ยวกับการค้นพบของ Ken Ribet แล้ว Wiles ก็กระโจนเข้าสู่การพิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama-Shimura เขาตัดสินใจทำงานอย่างโดดเดี่ยวและเป็นความลับ “ฉันตระหนักว่าทุกสิ่งที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์กระตุ้นความสนใจมากเกินไป... เห็นได้ชัดว่ามีผู้ชมจำนวนมากเกินไปที่ขัดขวางการบรรลุเป้าหมาย” การทำงานหนักเจ็ดปีได้รับผลในที่สุด ในที่สุด Wiles ก็พิสูจน์การคาดเดาของ Taniyama–Shimura ได้สำเร็จ

ในปี 1993 นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษ Andrew Wiles ได้นำเสนอข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์แก่โลก (Wiles อ่านบทความที่น่าตื่นเต้นของเขาในการประชุมที่สถาบัน Sir Isaac Newton ในเคมบริดจ์) ซึ่งเป็นผลงานที่กินเวลานานกว่าเจ็ดปี







ในขณะที่การโฆษณายังคงดำเนินต่อไปในสื่อ งานจริงจังก็เริ่มตรวจสอบหลักฐาน หลักฐานทุกชิ้นจะต้องได้รับการตรวจสอบอย่างรอบคอบก่อนที่จะถือว่าหลักฐานนั้นเข้มงวดและถูกต้อง Wiles ใช้เวลาช่วงฤดูร้อนอย่างไม่สงบเพื่อรอคำติชมจากผู้วิจารณ์ โดยหวังว่าเขาจะได้รับการอนุมัติจากพวกเขา เมื่อปลายเดือนสิงหาคม ผู้เชี่ยวชาญพบว่าคำตัดสินดังกล่าวไม่มีหลักฐานยืนยันเพียงพอ

ปรากฎว่าการตัดสินใจครั้งนี้มีข้อผิดพลาดร้ายแรง แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วจะถูกต้องก็ตาม ไวล์สไม่ยอมแพ้ ขอความช่วยเหลือจากริชาร์ด เทย์เลอร์ ผู้เชี่ยวชาญทฤษฎีจำนวนที่มีชื่อเสียง และในปี 1994 พวกเขาก็ตีพิมพ์ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทที่ได้รับการแก้ไขและขยายความแล้ว สิ่งที่น่าทึ่งที่สุดคืองานนี้กินเวลามากถึง 130 (!) หน้าในวารสารคณิตศาสตร์ Annals of Mathematics แต่เรื่องราวไม่ได้จบเพียงแค่นั้น - มาถึงจุดสุดท้ายในปีหน้าเท่านั้น 1995 เมื่อเวอร์ชันของการพิสูจน์ได้รับการเผยแพร่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ขั้นสุดท้ายและ "อุดมคติ"

“...ครึ่งนาทีหลังจากเริ่มงานเลี้ยงอาหารค่ำเนื่องในโอกาสวันเกิดของเธอ ฉันได้มอบต้นฉบับหลักฐานที่สมบูรณ์ให้กับ Nadya” (แอนดรูว์ เวลส์) ฉันยังไม่ได้บอกว่านักคณิตศาสตร์เป็นคนแปลกหน้าเหรอ?






คราวนี้ไม่มีข้อสงสัยเกี่ยวกับหลักฐานเลย บทความสองบทความได้รับการวิเคราะห์อย่างรอบคอบที่สุด และตีพิมพ์ในเดือนพฤษภาคม พ.ศ. 2538 ในวารสาร Annals of Mathematics

เวลาผ่านไปนานมากแล้ว แต่ยังคงมีความเห็นในสังคมว่าทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์ไม่สามารถแก้ไขได้ แต่แม้แต่ผู้ที่รู้เกี่ยวกับข้อพิสูจน์ที่พบก็ยังคงทำงานไปในทิศทางนี้ - มีน้อยคนที่พอใจที่ทฤษฎีบทอันยิ่งใหญ่ต้องการคำตอบความยาว 130 หน้า!

ดังนั้นตอนนี้ความพยายามของนักคณิตศาสตร์หลายคน (ส่วนใหญ่เป็นมือสมัครเล่นไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์มืออาชีพ) จึงถูกโยนลงไปในการค้นหาข้อพิสูจน์ที่เรียบง่ายและรัดกุม แต่เส้นทางนี้มีแนวโน้มว่าจะไม่นำไปสู่ที่ใด...