สมการในผลต่างรวม สมการในส่วนต่างผลรวม ตรวจสอบว่านิพจน์ที่กำหนดเป็นผลรวมผลรวมหรือไม่

คำชี้แจงปัญหาในกรณีสองมิติ

การสร้างฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัวขึ้นใหม่จากผลต่างรวม

9.1. คำชี้แจงปัญหาในกรณีสองมิติ 72

9.2. คำอธิบายของโซลูชัน 72

นี่เป็นหนึ่งในการประยุกต์ใช้อินทิกรัลส่วนโค้งชนิดที่สอง

นิพจน์สำหรับผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวจะได้รับ:

ค้นหาฟังก์ชัน

1. เนื่องจากไม่ใช่ทุกนิพจน์ของแบบฟอร์มที่จะทำให้เกิดอนุพันธ์โดยสมบูรณ์ของฟังก์ชันบางอย่าง คุณ(x,ย) จึงจำเป็นต้องตรวจสอบความถูกต้องของคำชี้แจงปัญหา กล่าวคือ ตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับผลต่างรวมซึ่งมีรูปแบบสำหรับฟังก์ชัน 2 ตัวแปร เงื่อนไขนี้ตามมาจากความเท่าเทียมกันของข้อความ (2) และ (3) ในทฤษฎีบทของส่วนก่อนหน้า หากตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ แสดงว่าปัญหามีทางแก้ไข นั่นคือฟังก์ชัน คุณ(x,ย) สามารถกู้คืนได้; หากไม่ตรงตามเงื่อนไข แสดงว่าปัญหาไม่มีวิธีแก้ไข นั่นคือ ฟังก์ชันไม่สามารถกู้คืนได้

2. คุณสามารถค้นหาฟังก์ชันจากส่วนต่างรวมของมันได้ เช่น ใช้อินทิกรัลเชิงโค้งชนิดที่สอง คำนวณจากตามแนวเส้นที่เชื่อมจุดคงที่ ( x 0 ,ย 0) และจุดตัวแปร ( x;y) (ข้าว. 18):

ดังนั้นจึงได้ว่าอินทิกรัลส่วนโค้งของชนิดที่สองของผลต่างรวม ดียู(x,ย) เท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของฟังก์ชัน คุณ(x,ย) ที่จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นของเส้นบูรณาการ

เมื่อรู้ผลลัพธ์นี้แล้ว เราก็ต้องทดแทน ดียูเข้าไปในนิพจน์อินทิกรัลเส้นโค้งและคำนวณอินทิกรัลตามเส้นประ ( เอซีบี) โดยคำนึงถึงความเป็นอิสระจากรูปร่างของเส้นบูรณาการ:

บน ( เอ.ซี.): บน ( NE) :

(1)

ดังนั้นจึงได้รับสูตรโดยคืนค่าฟังก์ชันของตัวแปร 2 ตัวจากส่วนต่างทั้งหมด

3. เป็นไปได้ที่จะคืนค่าฟังก์ชันจากส่วนต่างรวมจนถึงค่าคงที่เท่านั้น เนื่องจาก ง(คุณ+ ค่าคงที่) = ดียู- ดังนั้น จากการแก้ปัญหา เราจึงได้ชุดของฟังก์ชันที่แตกต่างจากกันด้วยเทอมคงที่

ตัวอย่าง (สร้างฟังก์ชันของตัวแปรสองตัวขึ้นใหม่จากผลต่างรวม)

1. ค้นหา คุณ(x,ย), ถ้า ดียู = (x 2 – ย 2)ดีเอ็กซ์ – 2ไซดี้.

เราตรวจสอบเงื่อนไขสำหรับผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

เป็นไปตามเงื่อนไขดิฟเฟอเรนเชียลที่สมบูรณ์ ซึ่งหมายถึงฟังก์ชัน คุณ(x,ย) สามารถกู้คืนได้

ตรวจสอบ: – จริง

คำตอบ: คุณ(x,ย) = x 3 /3 – เอ็กซ์ซี 2 + ค.

2. ค้นหาฟังก์ชันเช่นนั้น

เราตรวจสอบเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความแตกต่างที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันของตัวแปรสามตัว: , , , หากได้รับนิพจน์

ในปัญหาที่กำลังได้รับการแก้ไข

ตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดสำหรับส่วนต่างที่สมบูรณ์ ดังนั้นจึงสามารถคืนค่าฟังก์ชันได้ (ปัญหาถูกกำหนดอย่างถูกต้อง)

เราจะคืนค่าฟังก์ชันโดยใช้อินทิกรัลเชิงโค้งของชนิดที่สองโดยคำนวณตามเส้นบางเส้นที่เชื่อมต่อจุดคงที่และจุดตัวแปรเนื่องจาก

(ความเท่าเทียมกันนี้ได้มาในลักษณะเดียวกับในกรณีสองมิติ)

ในทางกลับกัน อินทิกรัลเชิงโค้งประเภทที่สองจากผลต่างรวมไม่ได้ขึ้นอยู่กับรูปร่างของเส้นอินทิกรัล ดังนั้นจึงเป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณตามเส้นประที่ประกอบด้วยส่วนที่ขนานกับแกนพิกัด ในกรณีนี้ ในฐานะจุดคงที่ คุณสามารถใช้จุดที่มีพิกัดตัวเลขเฉพาะเจาะจงได้ โดยตรวจดูเฉพาะว่า ณ จุดนี้และตลอดเส้นของการอินทิเกรตทั้งหมด สภาพของการมีอยู่ของอินทิกรัลเส้นโค้งเป็นที่พอใจ (นั่นคือ ดังนั้น ฟังก์ชัน และมีความต่อเนื่อง) เมื่อคำนึงถึงข้อสังเกตนี้ ในปัญหานี้เราสามารถใช้จุด M 0 เป็นจุดคงที่ได้ จากนั้นในแต่ละลิงค์ของเส้นขาดเราจะมี

10.2. การคำนวณอินทิกรัลพื้นผิวชนิดที่หนึ่ง 79

10.3. การใช้งานบางส่วนของพื้นผิวอินทิกรัลประเภทแรก 81

มันอาจเกิดขึ้นที่ด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์

คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง:

ดังนั้นสมการ (7) จึงอยู่ในรูปแบบ

หากฟังก์ชันนี้เป็นคำตอบของสมการ (7) ดังนั้น และ ดังนั้น

โดยที่ ค่าคงที่ และในทางกลับกัน หากฟังก์ชันบางอย่างเปลี่ยนสมการจำกัด (8) ให้กลายเป็นเอกลักษณ์ ดังนั้น เมื่อแยกความแตกต่างของเอกลักษณ์ผลลัพธ์ เราก็จะได้ และด้วยเหตุนี้ โดยที่ ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คืออินทิกรัลทั่วไปของค่าดั้งเดิม สมการ

หากระบุค่าเริ่มต้นค่าคงที่จะถูกกำหนดจาก (8) และ

คืออินทิกรัลย่อยที่ต้องการ หาก ณ จุด สมการ (9) จะถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันโดยนัยของ

เพื่อให้ด้านซ้ายของสมการ (7) เป็นอนุพันธ์โดยสมบูรณ์ของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน จำเป็นและเพียงพอที่

หากเป็นไปตามเงื่อนไขที่ออยเลอร์ระบุ สมการ (7) ก็สามารถอินทิเกรตได้อย่างง่ายดาย จริงหรือ, . อีกด้านหนึ่ง.. เพราะฉะนั้น,

เมื่อคำนวณอินทิกรัล ปริมาณจะถือเป็นค่าคงที่ ดังนั้นจึงเป็นฟังก์ชันตามอำเภอใจของ ในการกำหนดฟังก์ชัน เราจะแยกฟังก์ชันที่พบด้วยความเคารพ และ เนื่องจาก เราได้รับ

จากสมการนี้ เราหาได้ และโดยการอินทิเกรต จะพบว่า

ดังที่ทราบจากหลักสูตร การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ง่ายกว่านั้นอีก คุณสามารถกำหนดฟังก์ชันด้วยผลต่างรวมของมัน โดยหาอินทิกรัลเส้นโค้งระหว่างจุดคงที่บางจุดกับจุดที่มีพิกัดแปรผันตามเส้นทางใดก็ได้:

บ่อยครั้งที่เป็นเส้นทางการรวม มันสะดวกที่จะใช้เส้นขาดที่ประกอบด้วยสองลิงค์ขนานกับแกนพิกัด ในกรณีนี้

ตัวอย่าง. .

ทางด้านซ้ายของสมการคือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางตัว เนื่องจาก

ดังนั้นอินทิกรัลทั่วไปจึงมีรูปแบบ

สามารถใช้วิธีอื่นในการกำหนดฟังก์ชันได้:

ตัวอย่างเช่น เราเลือกต้นทางของพิกัดเป็นจุดเริ่มต้น และเส้นขาดเป็นเส้นทางการรวม แล้ว

และอินทิกรัลทั่วไปมีรูปแบบ

ซึ่งเกิดขึ้นพร้อมๆ กับผลที่แล้ว ทำให้มีตัวส่วนร่วม

ในบางกรณี เมื่อด้านซ้ายของสมการ (7) ไม่ใช่อนุพันธ์ที่สมบูรณ์ ก็เป็นเรื่องง่ายที่จะเลือกฟังก์ชัน หลังจากที่คูณแล้วด้านซ้ายของสมการ (7) จะกลายเป็นอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ปัจจัยการบูรณาการ- โปรดทราบว่าการคูณด้วยปัจจัยการอินทิเกรตอาจทำให้เกิดผลลัพธ์บางส่วนที่ไม่จำเป็นซึ่งทำให้ปัจจัยนี้เป็นศูนย์

ตัวอย่าง. .

แน่นอนว่าหลังจากคูณด้วยตัวประกอบแล้ว ทางด้านซ้ายจะกลายเป็นผลต่างรวม อันที่จริงหลังจากคูณด้วยเราจะได้

หรือบูรณาการ . คูณด้วย 2 และศักยภาพ เราได้

แน่นอนว่าปัจจัยการอินทิเกรตไม่ได้ถูกเลือกอย่างง่ายดายเสมอไป ในกรณีทั่วไป ในการค้นหาตัวประกอบการอินทิเกรต จำเป็นต้องเลือกคำตอบบางส่วนของสมการอย่างน้อยหนึ่งข้อในรูปแบบอนุพันธ์ย่อยหรือในรูปแบบขยายที่ไม่เป็นศูนย์เหมือนกัน

ซึ่งเมื่อหารแล้วโอนพจน์บางคำไปเป็นความเสมอภาคอีกส่วนหนึ่งก็ลดลงเหลืออยู่ในรูป

ในกรณีทั่วไป การอินทิเกรตสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยนี้ไม่ได้หมายความว่าจะง่ายกว่าการอินทิเกรตสมการดั้งเดิม แต่ในบางกรณี การเลือกวิธีแก้สมการ (11) ก็ไม่ใช่เรื่องยาก

นอกจากนี้ เมื่อพิจารณาว่าปัจจัยการอินทิเกรตเป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์เดียวเท่านั้น (เช่น เป็นฟังก์ชันของ only หรือ only หรือฟังก์ชันของ only หรือ only เป็นต้น) เราจึงสามารถอินทิเกรตสมการ (11) และ ระบุเงื่อนไขภายใต้ปัจจัยการอินทิเกรตของประเภทที่พิจารณา สิ่งนี้จะระบุคลาสของสมการที่สามารถหาตัวประกอบการอินทิเกรตได้ง่าย

ตัวอย่างเช่น ลองหาเงื่อนไขที่สมการมีปัจจัยการปริพันธ์ที่ขึ้นอยู่กับเท่านั้น กล่าวคือ - ในกรณีนี้ สมการ (11) ถูกทำให้ง่ายขึ้นและใช้แบบฟอร์ม จากที่ไหน พิจารณา ฟังก์ชั่นต่อเนื่องจาก เราได้รับ

ถ้า เป็นฟังก์ชันเท่านั้น แสดงว่าปัจจัยการอินทิเกรตขึ้นอยู่กับเท่านั้น มีอยู่และเท่ากับ (12) มิฉะนั้น จะไม่มีปัจจัยอินทิเกรตของแบบฟอร์ม

เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของปัจจัยการอินทิเกรตขึ้นอยู่กับเท่านั้นเป็นที่พอใจ เช่น สำหรับ สมการเชิงเส้นหรือ . จริงและดังนั้น เงื่อนไขสำหรับการมีอยู่ของปัจจัยการอินทิเกรตของแบบฟอร์ม ฯลฯ สามารถพบได้ในลักษณะเดียวกันโดยสิ้นเชิง

ตัวอย่าง.สมการมีตัวประกอบการอินทิเกรตอยู่ในรูปแบบหรือไม่?

มาแสดงกัน. สมการ (11) ที่ ใช้แบบฟอร์ม ที่ไหน หรือ

สำหรับการมีอยู่ของตัวประกอบการอินทิเกรตประเภทที่กำหนด จำเป็นและเพียงพอที่จะเป็นฟังก์ชันเท่านั้น ภายใต้สมมติฐานของความต่อเนื่อง ดังนั้นในกรณีนี้ ตัวประกอบการอินทิเกรตจึงมีอยู่และเท่ากับ (13) เมื่อเราได้รับ. คูณสมการดั้งเดิมด้วย เราจะลดมันให้อยู่ในรูปแบบ

เราได้รับอินทิเกรต และหลังจากศักยภาพ เราจะมี หรือในพิกัดเชิงขั้ว - ตระกูลเกลียวลอการิทึม

ตัวอย่าง- ค้นหารูปร่างของกระจกที่สะท้อนในแนวขนานกับทิศทางที่กำหนด รังสีทั้งหมดที่เล็ดลอดออกมาจากจุดที่กำหนด

ลองวางจุดกำเนิดของพิกัดไว้ที่จุดที่กำหนดแล้วกำหนดทิศทางของแกนแอบซิสซาให้ขนานกับทิศทางที่ระบุในเงื่อนไขของปัญหา ให้ลำแสงตกกระทบกระจกตรงจุด ให้เราพิจารณาส่วนของกระจกโดยระนาบที่ผ่านแกนแอบซิสซาและจุด . ให้เราวาดเส้นสัมผัสส่วนของพื้นผิวกระจกที่พิจารณา ณ จุดนั้น เนื่องจากมุมตกกระทบของลำแสง เท่ากับมุมการสะท้อนกลับ แล้วสามเหลี่ยมนั้นเป็นหน้าจั่ว เพราะฉะนั้น,

สมการเอกพันธ์ที่ได้นั้นสามารถบูรณาการได้อย่างง่ายดายโดยการเปลี่ยนตัวแปร แต่จะง่ายกว่านั้นคือเขียนใหม่ในรูปของสมการที่ปราศจากเหตุผลในตัวส่วน สมการนี้มีตัวประกอบการอินทิเกรตที่ชัดเจน , , , (ตระกูลพาราโบลา)

ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้ง่ายยิ่งขึ้นในพิกัด และ โดยที่ และสมการสำหรับส่วนของพื้นผิวที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ

มีความเป็นไปได้ที่จะพิสูจน์การมีอยู่ของตัวประกอบการอินทิเกรต หรือสิ่งที่เหมือนกันคือการมีอยู่ของคำตอบที่ไม่ใช่ศูนย์ของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย (11) ในบางโดเมน ถ้าฟังก์ชันและมีอนุพันธ์ต่อเนื่องและอย่างน้อยหนึ่งในนั้น ฟังก์ชั่นไม่หายไป ดังนั้นวิธีอินทิเกรตแฟกเตอร์จึงถือได้ว่าเป็น วิธีการทั่วไปการอินทิเกรตสมการในรูปแบบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากความยากในการค้นหาตัวประกอบการอินทิเกรต วิธีการนี้จึงมักใช้ในกรณีที่ตัวประกอบการอินทิเกรตชัดเจน

แสดงวิธีการรับรู้ สมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบเฟืองท้ายเต็มรูปแบบ มีวิธีการแก้ไขมาให้ ให้ตัวอย่างการแก้สมการส่วนต่างรวมในสองวิธี

เนื้อหา

การแนะนำ

สมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งในผลต่างรวมคือสมการของรูปแบบ:
(1) ,
โดยที่ด้านซ้ายของสมการคือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U (x, ย)จากตัวแปร x, y:
.
ในเวลาเดียวกัน.

หากพบฟังก์ชัน U ดังกล่าว (x, ย)จากนั้นสมการจะอยู่ในรูปแบบ:
ดียู (x, y) = 0.
อินทิกรัลทั่วไปของมันคือ:
คุณ (x, y) = ค,
โดยที่ C เป็นค่าคงที่

หากสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งถูกเขียนในรูปของอนุพันธ์:
,
จากนั้นก็ทำให้เป็นรูปเป็นร่างได้ง่าย (1) - เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณสมการด้วย dx
(1) .

แล้ว . เป็นผลให้เราได้สมการที่แสดงออกมาในรูปของส่วนต่าง:

คุณสมบัติของสมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม (1) เพื่อให้สมการ
(2) .

เป็นสมการในผลต่างรวม ซึ่งมีความจำเป็นและเพียงพอสำหรับความสัมพันธ์ดังนี้

การพิสูจน์ นอกจากนี้เรายังถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกกำหนดและมีอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันในช่วงของค่าบางค่าของตัวแปร x และ yจุด x

0 , ย 0.
อยู่ในพื้นที่นี้ด้วย (1) ให้เราพิสูจน์ความจำเป็นของเงื่อนไข (2) (x, ย):
.
ให้ด้านซ้ายของสมการ
;
.
คือค่าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน U บางตัว
;
.
แล้ว (2) เนื่องจากอนุพันธ์อันดับสองไม่ได้ขึ้นอยู่กับลำดับของความแตกต่างดังนั้น

เป็นไปตามนั้น..
สภาพความจำเป็น (2) :
(2) .
พิสูจน์แล้ว (x, ย)ให้เราพิสูจน์ความเพียงพอของเงื่อนไข (2)
.
ปล่อยให้เป็นไปตามเงื่อนไข (x, ย)ให้เราแสดงว่าเป็นไปได้ที่จะค้นหาฟังก์ชันดังกล่าว U
(3) ;
(4) .
ความแตกต่างคือ: (3) ซึ่งหมายความว่ามีฟังก์ชันดังกล่าว U 0 ซึ่งเป็นไปตามสมการ:
;
;
(5) .
ลองหาฟังก์ชันดังกล่าวกัน มารวมสมการกัน (2) :

.
โดย x จาก x (4) ถึง x โดยสมมติว่า y เป็นค่าคงที่:
.
เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y โดยถือว่า x เป็นค่าคงที่และใช้ 0 สมการ
;
;
.
จะถูกดำเนินการหาก (5) :
(6) .
อินทิเกรตส่วน y จาก y
.
ถึงคุณ:

เข้ามาแทน. (6) ดังนั้นเราจึงพบฟังก์ชันที่มีค่าดิฟเฟอเรนเชียลแล้ว ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้วในสูตร (x, ย),ยู นอกจากนี้เรายังถือว่าฟังก์ชันทั้งหมดที่ใช้ในการพิสูจน์ถูกกำหนดและมีอนุพันธ์ที่สอดคล้องกันในช่วงของค่าบางค่าของตัวแปร x และ y(x 0 , ย 0)

เป็นค่าคงที่ - ค่าของฟังก์ชัน U

ที่จุด x
(1) .
- สามารถกำหนดค่าใดๆ ก็ได้ (2) :
(2) .
หากเป็นเช่นนั้น แสดงว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างรวม ถ้าไม่เช่นนั้น นี่ก็ไม่ใช่สมการเชิงอนุพันธ์รวม

ตัวอย่าง

ตรวจสอบว่าสมการอยู่ในส่วนต่างทั้งหมดหรือไม่:
.

ที่นี่
, .
เราแยกความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y โดยคำนึงถึงค่าคงที่ x:


.
เรามาแยกแยะกันดีกว่า


.
เพราะ:
,
จากนั้นสมการที่กำหนดจะอยู่ในส่วนต่างทั้งหมด

วิธีการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม

วิธีการแยกส่วนต่างตามลำดับ

ที่สุด วิธีการง่ายๆการแก้สมการในผลต่างรวมเป็นวิธีการเลือกผลต่างตามลำดับ ในการทำเช่นนี้ เราใช้สูตรหาอนุพันธ์ที่เขียนในรูปแบบอนุพันธ์:
ดู่ ± dv = d (คุณ ± โวลต์);
v du + คุณ dv = d (ยูวี);
;
.
ในสูตรเหล่านี้ u และ v เป็นนิพจน์ที่กำหนดเองที่ประกอบด้วยตัวแปรใดๆ รวมกัน

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ:
.

ก่อนหน้านี้เราพบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างทั้งหมด มาแปลงมันกันเถอะ:
(P1) .
เราแก้สมการโดยแยกส่วนต่างตามลำดับ
;
;
;
;

.
จะถูกดำเนินการหาก (P1):
;
.

วิธีการบูรณาการอย่างต่อเนื่อง

ในวิธีนี้เรากำลังมองหาฟังก์ชัน U (x, ย)เป็นไปตามสมการ:
(3) ;
(4) .

มาอินทิเกรตสมการกัน (3) ใน x โดยคำนึงถึงค่าคงที่ y:
.
นี่ φ (ญ)- ฟังก์ชันตามอำเภอใจของ y ที่ต้องพิจารณา มันคือความต่อเนื่องของการบูรณาการ แทนลงในสมการ (4) :
.
จากที่นี่:
.
เมื่อรวมเข้าด้วยกันเราจะพบ φ (ญ)และด้วยเหตุนี้ U (x, ย).

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการในส่วนต่างรวม:
.

ก่อนหน้านี้เราพบว่าสมการนี้อยู่ในส่วนต่างรวม ให้เราแนะนำสัญกรณ์ต่อไปนี้:
, .
กำลังมองหาฟังก์ชั่น U (x, ย)ส่วนต่างซึ่งอยู่ทางด้านซ้ายของสมการ:
.
แล้ว:
(3) ;
(4) .
มารวมสมการกัน (3) ใน x โดยคำนึงถึงค่าคงที่ y:
(P2)
.
สร้างความแตกต่างด้วยความเคารพต่อ y:

.
เข้ามาแทนกัน (4) :
;
.
มาบูรณาการกัน:
.
เข้ามาแทนกัน (P2):

.
อินทิกรัลทั่วไปของสมการ:
คุณ (x, y) = ค่าคงที่.
เรารวมค่าคงที่สองค่าเข้าด้วยกัน

วิธีการบูรณาการตามเส้นโค้ง

ฟังก์ชัน U กำหนดโดยความสัมพันธ์:
duU = หน้า (x, y) dx + q(x, y) dy,
สามารถพบได้โดยการรวมสมการนี้เข้ากับเส้นโค้งที่เชื่อมจุดต่างๆ ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้วและ (x, ย):
(7) .
เนื่องจาก
(8) ,
ดังนั้นอินทิกรัลจะขึ้นอยู่กับพิกัดของค่าเริ่มต้นเท่านั้น ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้วและสุดท้าย (x, ย)จุดและไม่ขึ้นอยู่กับรูปร่างของส่วนโค้ง จาก (7) และ (8) เราพบ:
(9) .
ที่นี่ x 0 และคุณ 0 - ถาวร. ดังนั้น U ความเพียงพอได้รับการพิสูจน์แล้ว- สม่ำเสมอเช่นกัน

ตัวอย่างคำจำกัดความของ U ได้รับจากการพิสูจน์:
(6) .
ในที่นี้จะมีการบูรณาการเป็นอันดับแรกเหนือเซ็กเมนต์ ขนานกับแกนใช่แล้ว จากจุดนั้น (x 0 , ย 0 )ตรงประเด็น (x 0 , ย)- จากนั้นทำการอินทิเกรตตามส่วนที่ขนานกับแกน x จากจุด (x 0 , ย)ตรงประเด็น (x, ย) .

โดยทั่วไปแล้ว คุณจะต้องแสดงสมการของจุดเชื่อมต่อเส้นโค้ง (x 0 , ย 0 )และ (x, ย)ในรูปแบบพารามิเตอร์:
x 1 = ส(เสื้อ 1)- ย 1 = ร(เสื้อ 1);
x 0 = ส(t 0)- ย 0 = ร(เสื้อ 0);
x = ส (เสื้อ)- ย = อาร์ (เสื้อ);
และอินทิเกรตส่วน t 1 จากที 0 ถึงที

วิธีที่ง่ายที่สุดในการดำเนินการรวมระบบคือผ่านจุดเชื่อมต่อเซ็กเมนต์ (x 0 , ย 0 )และ (x, ย)- ในกรณีนี้:
x 1 = x 0 + (x - x 0) เสื้อ 1- ย 1 = y 0 + (y - y 0) เสื้อ 1;
ที 0 = 0 - เสื้อ = 1 ;
ดีเอ็กซ์ 1 = (x - x 0) dt 1- ดี้ 1 = (y - y 0) dt 1.
หลังจากการทดแทน เราจะได้อินทิกรัลส่วน t ของ 0 ถึง 1 .
วิธีการนี้อย่างไรก็ตาม ทำให้เกิดการคำนวณที่ค่อนข้างยุ่งยาก

วรรณกรรมที่ใช้:
วี.วี. Stepanov หลักสูตรสมการเชิงอนุพันธ์ "LKI" ปี 2558

ดิฟเฟอเรนเชียล เรียกว่าสมการของรูป

ป(เอ็กซ์, ย)ดีเอ็กซ์ + ถาม(เอ็กซ์, ย)ดี้ = 0 ,

โดยที่ด้านซ้ายคือผลต่างรวมของฟังก์ชันใดๆ ของตัวแปรสองตัว

ให้เราแสดงฟังก์ชันที่ไม่รู้จักของตัวแปรสองตัว (นี่คือสิ่งที่ต้องค้นหาเมื่อแก้สมการในส่วนต่างทั้งหมด) โดย เอฟและเราจะกลับไปหามันอีกครั้งเร็วๆ นี้

สิ่งแรกที่คุณควรใส่ใจคือต้องมีศูนย์ทางด้านขวาของสมการ และเครื่องหมายที่เชื่อมระหว่างสองเทอมทางด้านซ้ายจะต้องเป็นเครื่องหมายบวก

ประการที่สอง ต้องสังเกตความเท่าเทียมกัน ซึ่งยืนยันว่าสมการเชิงอนุพันธ์นี้เป็นสมการในอนุพันธ์ทั้งหมด การตรวจสอบนี้เป็นส่วนบังคับของอัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการในส่วนต่างรวม (อยู่ในย่อหน้าที่สองของบทเรียนนี้) ดังนั้นกระบวนการค้นหาฟังก์ชัน เอฟค่อนข้างใช้แรงงานมากและสิ่งสำคัญคือต้องแน่ใจว่าเราจะไม่เสียเวลาไปเปล่าๆ

ดังนั้นฟังก์ชันที่ไม่รู้จักที่ต้องค้นหาจึงถูกแทนด้วย เอฟ- ผลรวมของส่วนต่างย่อยของตัวแปรอิสระทั้งหมดจะให้ผลรวมส่วนต่าง ดังนั้น หากสมการนั้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวม ทางด้านซ้ายของสมการคือผลรวมของอนุพันธ์ย่อย แล้วตามคำนิยาม

ดีเอฟ = ป(เอ็กซ์, ย)ดีเอ็กซ์ + ถาม(เอ็กซ์, ย)ดี้ .

ให้เรานึกถึงสูตรในการคำนวณผลต่างรวมของฟังก์ชันของตัวแปรสองตัว:

เราสามารถเขียนการแก้ความเท่าเทียมกันสองตัวสุดท้ายได้

.

เราแยกความแตกต่างความเท่าเทียมกันแรกด้วยความเคารพต่อตัวแปร "y" ที่สอง - ด้วยความเคารพต่อตัวแปร "x":

.

ซึ่งเป็นเงื่อนไขสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ที่กำหนดให้เป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวมอย่างแท้จริง

อัลกอริทึมสำหรับการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม

ขั้นตอนที่ 1ตรวจสอบให้แน่ใจว่าสมการนั้นเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวม เพื่อให้เกิดการแสดงออก คือผลต่างรวมของฟังก์ชันบางอย่าง เอฟ(เอ็กซ์, ย) มีความจำเป็นและเพียงพอเพื่อที่ กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณต้องหาอนุพันธ์ย่อยเทียบกับ xและอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ ยอีกเทอมหนึ่ง และถ้าอนุพันธ์เหล่านี้เท่ากัน สมการนั้นก็จะเป็นสมการเชิงอนุพันธ์รวม

ขั้นตอนที่ 2เขียนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบกันเป็นฟังก์ชัน เอฟ:

ขั้นตอนที่ 3อินทิเกรตสมการแรกของระบบ - โดย x (ย เอฟ:

,
ย.

ทางเลือกอื่น (หากหาอินทิกรัลด้วยวิธีนี้ได้ง่ายกว่า) คือการอินทิเกรตสมการที่สองของระบบ - โดย ย (xยังคงเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล) ด้วยวิธีนี้ฟังก์ชันก็จะถูกกู้คืนเช่นกัน เอฟ:

,
ฟังก์ชันที่ยังไม่ทราบของอยู่ที่ไหน เอ็กซ์.

ขั้นตอนที่ 4ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) จะสร้างความแตกต่างด้วย ย(หรืออีกทางหนึ่ง - ตาม x) และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

,

และในเวอร์ชันอื่น - ถึงสมการแรกของระบบ:

.

จากสมการผลลัพธ์ที่เรากำหนด (อีกทางหนึ่ง)

ขั้นตอนที่ 5ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 คือการบูรณาการและค้นหา (หรืออีกวิธีหนึ่งคือ find )

ขั้นตอนที่ 6แทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - ลงในฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน เอฟ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คมักเขียนหลังเครื่องหมายเท่ากับ - ทางด้านขวาของสมการ ดังนั้นเราจึงได้ วิธีแก้ปัญหาทั่วไปสมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม ดังที่ได้กล่าวไปแล้วมีรูปแบบ เอฟ(เอ็กซ์, ย) = ค.

ตัวอย่างการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม

ตัวอย่างที่ 1

ขั้นตอนที่ 1 สมการในผลต่างรวม xเทอมหนึ่งทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ ยอีกคำหนึ่ง
สมการในผลต่างรวม .

ขั้นตอนที่ 2 เอฟ:

ขั้นตอนที่ 3โดย x (ยยังคงเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน เอฟ:

ฟังก์ชันที่ยังไม่ทราบของอยู่ที่ไหน ย.

ขั้นตอนที่ 4 ย

.

.

ขั้นตอนที่ 5

ขั้นตอนที่ 6 เอฟ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ ค :
.

ข้อผิดพลาดใดมีแนวโน้มที่จะเกิดขึ้นที่นี่มากที่สุด ข้อผิดพลาดที่พบบ่อยที่สุดคือการใช้อินทิกรัลบางส่วนเหนือตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งสำหรับอินทิกรัลปกติของผลิตภัณฑ์ของฟังก์ชัน และพยายามอินทิกรัลด้วยส่วนต่างๆ หรือตัวแปรแทนที่ และยังหาอนุพันธ์ย่อยของปัจจัยทั้งสองเป็นอนุพันธ์ของ ผลคูณของฟังก์ชันและค้นหาอนุพันธ์โดยใช้สูตรที่เกี่ยวข้อง

สิ่งนี้จะต้องถูกจดจำ: เมื่อคำนวณอินทิกรัลบางส่วนเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ตัวอื่นจะเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายของอินทิกรัล และเมื่อคำนวณอนุพันธ์บางส่วนเทียบกับตัวแปรตัวใดตัวหนึ่ง ยังเป็นค่าคงที่และอนุพันธ์ของนิพจน์จะพบว่าเป็นอนุพันธ์ของตัวแปร "การแสดง" คูณด้วยค่าคงที่

ท่ามกลาง สมการในผลต่างรวม ไม่ใช่เรื่องแปลกที่จะค้นหาตัวอย่างที่มีฟังก์ชันเลขชี้กำลัง นี่คือตัวอย่างถัดไป นอกจากนี้ยังเป็นที่น่าสังเกตว่าโซลูชันใช้ทางเลือกอื่น

ตัวอย่างที่ 2แก้สมการเชิงอนุพันธ์

.

ขั้นตอนที่ 1ลองดูให้แน่ใจว่าสมการเป็น สมการในผลต่างรวม - ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ xเทอมหนึ่งทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ ยอีกคำหนึ่ง
- อนุพันธ์เหล่านี้เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือ สมการในผลต่างรวม .

ขั้นตอนที่ 2ให้เราเขียนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบกันเป็นฟังก์ชัน เอฟ:

ขั้นตอนที่ 3ลองรวมสมการที่สองของระบบ - โดย ย (xยังคงเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน เอฟ:

ฟังก์ชันที่ยังไม่ทราบของอยู่ที่ไหน เอ็กซ์.

ขั้นตอนที่ 4เราแยกความแตกต่างผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) ด้วยความเคารพ เอ็กซ์

และเท่ากับสมการแรกของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์ที่เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:
.

ขั้นตอนที่ 6เราแทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - ลงในฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน เอฟ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คเขียนหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้ผลรวม การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม :
.

ในตัวอย่างต่อไปนี้ เราจะเปลี่ยนจากตัวเลือกอื่นไปเป็นตัวเลือกหลัก

ตัวอย่างที่ 3แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1ลองดูให้แน่ใจว่าสมการเป็น สมการในผลต่างรวม - ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ ยเทอมหนึ่งทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ xอีกคำหนึ่ง
- อนุพันธ์เหล่านี้เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือ สมการในผลต่างรวม .

ขั้นตอนที่ 2ให้เราเขียนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบกันเป็นฟังก์ชัน เอฟ:

ขั้นตอนที่ 3ลองรวมสมการแรกของระบบกัน - โดย x (ยยังคงเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน เอฟ:

ฟังก์ชันที่ยังไม่ทราบของอยู่ที่ไหน ย.

ขั้นตอนที่ 4เราแยกความแตกต่างผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) ด้วยความเคารพ ย

และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์ที่เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:

ขั้นตอนที่ 6เราแทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - ลงในฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน เอฟ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คเขียนหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้ผลรวม การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม :
.

ตัวอย่างที่ 4แก้สมการเชิงอนุพันธ์

ขั้นตอนที่ 1ลองดูให้แน่ใจว่าสมการเป็น สมการในผลต่างรวม - ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ ยเทอมหนึ่งทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ xอีกคำหนึ่ง
- อนุพันธ์เหล่านี้มีค่าเท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือสมการเชิงอนุพันธ์รวม

ขั้นตอนที่ 2ให้เราเขียนระบบสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่ประกอบกันเป็นฟังก์ชัน เอฟ:

ขั้นตอนที่ 3ลองรวมสมการแรกของระบบกัน - โดย x (ยยังคงเป็นค่าคงที่และถูกนำออกจากเครื่องหมายอินทิกรัล) ดังนั้นเราจึงคืนค่าฟังก์ชัน เอฟ:

ฟังก์ชันที่ยังไม่ทราบของอยู่ที่ไหน ย.

ขั้นตอนที่ 4เราแยกความแตกต่างผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 (อินทิกรัลทั่วไปที่พบ) ด้วยความเคารพ ย

และเท่ากับสมการที่สองของระบบ:

จากสมการผลลัพธ์ที่เรากำหนด:
.

ขั้นตอนที่ 5เรารวมผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 4 และค้นหา:

ขั้นตอนที่ 6เราแทนที่ผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 5 เป็นผลลัพธ์ของขั้นตอนที่ 3 - ลงในฟังก์ชันที่กู้คืนโดยการรวมบางส่วน เอฟ- ค่าคงที่ตามอำเภอใจ คเขียนหลังเครื่องหมายเท่ากับ ดังนั้นเราจึงได้ผลรวม การแก้สมการเชิงอนุพันธ์ในผลต่างรวม :
.

ตัวอย่างที่ 5แก้สมการเชิงอนุพันธ์

.

ขั้นตอนที่ 1ลองดูให้แน่ใจว่าสมการเป็น สมการในผลต่างรวม - ในการทำเช่นนี้ เราจะหาอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ ยเทอมหนึ่งทางด้านซ้ายของนิพจน์

และอนุพันธ์ย่อยด้วยความเคารพ xอีกคำหนึ่ง
- อนุพันธ์เหล่านี้เท่ากัน ซึ่งหมายความว่าสมการคือ สมการในผลต่างรวม .

ในหัวข้อนี้ เราจะพิจารณาวิธีการคืนค่าฟังก์ชันจากผลต่างรวม พร้อมยกตัวอย่างปัญหา การวิเคราะห์เต็มรูปแบบโซลูชั่น

มันเกิดขึ้นที่สมการเชิงอนุพันธ์ (DE) ของรูปแบบ P (x, y) d x + Q (x, y) d y = 0 อาจมีอนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชันบางอย่างทางด้านซ้าย จากนั้นเราจะหาอินทิกรัลทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ได้หากเราสร้างฟังก์ชันขึ้นมาใหม่จากส่วนต่างรวมของมันก่อน

ตัวอย่างที่ 1

พิจารณาสมการ P (x, y) d x + Q (x, y) y = 0 ด้านซ้ายมือมีส่วนต่างของฟังก์ชันบางอย่าง ยู(x, y) = 0- เมื่อต้องการทำเช่นนี้ จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x

ผลรวมของฟังก์ชัน U (x, y) = 0 มีรูปแบบ d U = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y dy โดยคำนึงถึงเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x ที่เราได้รับ:

P (x , y) d x + Q (x , y) d y = ∂ U ∂ x d x + ∂ U ∂ y d y

∂ U ∂ x = P (x, y) ∂ U ∂ y = Q (x, y)

โดยการแปลงสมการแรกจากระบบสมการผลลัพธ์ เราจะได้:

U (x, y) = ∫ P (x, y) d x + φ (y)

เราสามารถค้นหาฟังก์ชัน φ (y) จากสมการที่สองของระบบที่ได้รับก่อนหน้านี้:
∂ U (x, y) ∂ y = ∂ ∫ P (x, y) d x ∂ y + φ y " (y) = Q (x, y) ⇒ φ (y) = ∫ Q (x, y) - ∂ ∫ P (x , y) d x ∂ y ได

นี่คือวิธีที่เราพบฟังก์ชันที่ต้องการ U (x, y) = 0

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหาผลเฉลยทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (x 2 - y 2) d x - 2 x y dy = 0

สารละลาย

P (x, y) = x 2 - y 2, Q (x, y) = - 2 x y

ตรวจสอบว่าเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่:

∂ P ∂ y = ∂ (x 2 - y 2) ∂ y = - 2 ปี ∂ Q ∂ x = ∂ (- 2 x y) ∂ x = - 2 ปี

ตรงตามเงื่อนไขของเรา

จากการคำนวณ เราสามารถสรุปได้ว่าด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์เดิมคือผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U (x, y) = 0 เราจำเป็นต้องค้นหาฟังก์ชันนี้

เนื่องจาก (x 2 - y 2) d x - 2 x y dy y คือผลต่างรวมของฟังก์ชัน U (x, y) = 0 ดังนั้น

∂ U ∂ x = x 2 - y 2 ∂ U ∂ y = - 2 x y

ลองรวมสมการแรกของระบบเทียบกับ x:

U (x, y) = ∫ (x 2 - y 2) d x + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y)

ตอนนี้เราแยกความแตกต่างผลลัพธ์ผลลัพธ์ด้วยความเคารพ y:

∂ U ∂ y = ∂ x 3 3 - x y 2 + φ (y) ∂ y = - 2 x y + φ y " (y)

การแปลงสมการที่สองของระบบเราได้รับ: ∂ U ∂ y = - 2 x y . นี่หมายความว่า
- 2 x y + φ y " (y) = - 2 x y φ y " (y) = 0 ⇒ φ (y) = ∫ 0 d x = C

โดยที่ C เป็นค่าคงที่ตามอำเภอใจ

เราได้: U (x, y) = x 3 3 - x y 2 + φ (y) = x 3 3 - x y 2 + C อินทิกรัลทั่วไปของสมการดั้งเดิมคือ x 3 3 - x y 2 + C = 0

ลองดูวิธีอื่นในการค้นหาฟังก์ชันโดยใช้ค่าผลรวมทั้งหมดที่ทราบ มันเกี่ยวข้องกับการใช้อินทิกรัลส่วนโค้งจากจุดคงที่ (x 0, y 0) ไปยังจุดที่มีพิกัดแปรผัน (x, y):

U (x , y) = ∫ (x 0 , y 0) (x , y) P (x , y) d x + Q (x , y) y + C

ในกรณีเช่นนี้ ค่าของอินทิกรัลไม่ได้ขึ้นอยู่กับเส้นทางของอินทิกรัลแต่อย่างใด เราสามารถใช้เส้นแบ่งเป็นเส้นทางการรวมซึ่งลิงก์นั้นตั้งอยู่ขนานกับแกนพิกัด

ตัวอย่างที่ 3

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = 0

สารละลาย

ตรวจสอบว่าเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่:

∂ P ∂ y = ∂ (y - y 2) ∂ y = 1 - 2 y ∂ Q ∂ x = ∂ (x - 2 x y) ∂ x = 1 - 2 y

ปรากฎว่าด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์แสดงด้วยผลรวมของฟังก์ชันบางฟังก์ชัน U (x, y) = 0 เพื่อที่จะค้นหาฟังก์ชันนี้ จำเป็นต้องคำนวณอินทิกรัลเส้นของจุด (1 ; 1) ถึง (x, ย)- ขอให้เราใช้เส้นแบ่งเป็นเส้นทางของการบูรณาการ ซึ่งส่วนต่างๆ จะผ่านไปเป็นเส้นตรง ย = 1จากจุด (1, 1) ถึง (x, 1) และจากจุด (x, 1) ถึง (x, y):

∫ (1 , 1) (x , y) y - y 2 d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ (1 , 1) (x , 1) (y - y 2) d x + (x - 2 x y ) d y + + ∫ (x , 1) (x , y) (y - y 2) d x + (x - 2 x y) d y = = ∫ 1 x (1 - 1 2) d x + ∫ 1 y (x - 2 x y) d y = (x y - x y 2) y 1 = = x y - x y 2 - (x 1 - x 1 2) = x y - x y 2

เราได้รับคำตอบทั่วไปสำหรับสมการเชิงอนุพันธ์ในรูปแบบ x y - x y 2 + C = 0

ตัวอย่างที่ 4

หาคำตอบทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ y · cos x d x + sin 2 x d y = 0

สารละลาย

ตรวจสอบว่าเงื่อนไข ∂ P ∂ y ≡ ∂ Q ∂ x เป็นไปตามเงื่อนไขหรือไม่

เนื่องจาก ∂ (y · cos x) ∂ y = cos x, ∂ (sin 2 x) ∂ x = 2 sin x · cos x ดังนั้นเงื่อนไขจะไม่เป็นไปตามนั้น ซึ่งหมายความว่าด้านซ้ายของสมการเชิงอนุพันธ์ไม่ใช่อนุพันธ์ที่สมบูรณ์ของฟังก์ชัน นี่คือสมการเชิงอนุพันธ์ที่มีตัวแปรที่แยกไม่ออกและวิธีแก้ปัญหาอื่นๆ ก็เหมาะสมสำหรับการแก้สมการนั้น

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter