เครื่องคิดเลขออนไลน์สมการโดยตรง สมการทั่วไปของเส้นตรง คำอธิบาย ตัวอย่าง การแก้ปัญหา

พิจารณาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดและเวกเตอร์ปกติ ให้จุดและเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ถูกกำหนดไว้ในระบบพิกัด (รูปที่ 1)

คำนิยาม

อย่างที่เราเห็นมีเส้นตรงเส้นเดียวที่ผ่านจุดตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ (ในกรณีนี้เรียกว่า เวกเตอร์ปกติตรง).

ข้าว. 1

มาพิสูจน์กัน สมการเชิงเส้น

นี่คือสมการของเส้นตรง กล่าวคือ พิกัดของแต่ละจุดของเส้นตรงตามสมการ (1) แต่พิกัดของจุดที่ไม่ได้วางอยู่บนนั้นไม่เป็นไปตามสมการ (1)

เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ ขอให้เราทราบว่า ผลิตภัณฑ์ดอทเวกเตอร์ และ = ในรูปแบบพิกัดเกิดขึ้นพร้อมกับด้านซ้ายของสมการ (1)

ต่อไปเราจะใช้คุณสมบัติที่ชัดเจนของเส้น: เวกเตอร์ และจะตั้งฉากก็ต่อเมื่อจุดนั้นอยู่บน และหากเวกเตอร์ทั้งสองตั้งฉากกัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมัน (2) จะเปลี่ยนเป็นจุดทั้งหมดที่วางอยู่บน และสำหรับเวกเตอร์เท่านั้น ซึ่งหมายความว่า (1) คือสมการของเส้นตรง

คำนิยาม

เรียกสมการ (1) สมการของเส้นที่ผ่าน จุดนี้ ด้วยเวกเตอร์ปกติ = .

มาแปลงสมการกัน (1)

แสดงถึง = เราได้รับ

ดังนั้นสมการเชิงเส้นของรูปแบบ (3) จึงสอดคล้องกับเส้นตรง ในทางตรงกันข้าม การใช้สมการที่กำหนดตามรูปแบบ (3) โดยที่ค่าสัมประสิทธิ์อย่างน้อยหนึ่งค่าไม่เท่ากับศูนย์ ก็สามารถสร้างเส้นตรงได้

ที่จริงแล้ว ให้คู่ตัวเลขเป็นไปตามสมการ (3) นั่นก็คือ

เมื่อลบอันหลังออกจาก (3) เราจะได้ความสัมพันธ์ที่กำหนดเส้นตรงด้านหลังเวกเตอร์และจุด

ศึกษาสมการทั่วไปของเส้นตรง

การทราบคุณลักษณะของการวางเส้นในบางกรณีจะเป็นประโยชน์เมื่อตัวเลขหนึ่งหรือสองตัวมีค่าเท่ากับศูนย์

1. สมการทั่วไปดูเหมือนว่านี้: . จุดนี้ทำให้พอใจ ซึ่งหมายความว่าเส้นจะตัดผ่านจุดกำเนิด สามารถเขียนได้: = – x (ดูรูปที่ 2)

ข้าว. 2

เราเชื่อว่า:

ถ้าเราใส่ แล้ว เราจะได้จุดอื่น (ดูรูปที่ 2)

2. แล้วสมการจะเป็นดังนี้ โดยที่ = – เวกเตอร์ตั้งฉากอยู่บนแกนซึ่งเป็นเส้นตรง ดังนั้น เส้นตรงจึงตั้งฉากที่จุด หรือขนานกับแกน (ดูรูปที่ 3) โดยเฉพาะถ้า และ แล้ว และสมการก็คือสมการของแกนพิกัด

ข้าว. 3

3. ในทำนองเดียวกัน เมื่อเขียนสมการ โดยที่ . เวกเตอร์อยู่ในแกน เส้นตรงที่จุดหนึ่ง (รูปที่ 4)

ถ้า แล้วสมการของแกนจะเป็น

การศึกษาสามารถกำหนดได้ในรูปแบบนี้: เส้นตรงขนานกับสิ่งนั้น แกนพิกัดการเปลี่ยนแปลงที่ไม่มีอยู่ในสมการทั่วไปของเส้นตรง

ตัวอย่างเช่น:

ลองสร้างเส้นตรงโดยใช้สมการทั่วไป โดยมีเงื่อนไขว่า - ไม่เท่ากับศูนย์ ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอแล้วที่จะหาจุดสองจุดที่อยู่บนเส้นนี้ บางครั้งการค้นหาจุดดังกล่าวบนแกนพิกัดจะสะดวกกว่า

งั้นเรามา = –.

เมื่อ แล้ว = –

ให้เราแสดง – = , – = . คะแนนและพบว่า ให้เราพล็อตและบนแกนแล้วลากเส้นตรงผ่านพวกมัน (ดูรูปที่ 5)

ข้าว. 5

จากเรื่องทั่วไป คุณสามารถไปยังสมการที่จะรวมตัวเลขและ:

แล้วปรากฎว่า:

หรือตามสัญกรณ์เราได้สมการ

ซึ่งเรียกว่า สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ- ตัวเลขและถูกต้องตามเครื่องหมายจะเท่ากับส่วนที่ถูกตัดออกด้วยเส้นตรงบนแกนพิกัด

สมการของเส้นตรงกับความชัน

เพื่อหาสมการของเส้นตรงกับอะไร ความลาดชันพิจารณาสมการ (1):

แสดงถึง – = เราได้รับ

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดหนึ่งในทิศทางที่กำหนด เนื้อหาทางเรขาคณิตของสัมประสิทธิ์ชัดเจนจากรูปที่ 1 6.

B = = โดยที่ คือมุมที่เล็กที่สุดที่ต้องหมุนทิศทางบวกของแกนรอบจุดร่วมจนกระทั่งอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรง แน่นอน ถ้ามุมนั้นแหลม ดังนั้น title="Rendered by QuickLaTeX.com" height="17" width="97" style="vertical-align: -4px;">; если же – !} มุมป้าน, แล้ว .

ลองเปิดวงเล็บใน (5) และทำให้ง่ายขึ้น:

ที่ไหน . ความสัมพันธ์ (6) – สมการ เส้นตรงที่มีความชัน- เมื่อ คือส่วนที่ตัดเส้นตรงบนแกน (ดูรูปที่ 6)

ใส่ใจ!

หากต้องการย้ายจากสมการเส้นตรงทั่วไปไปเป็นสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์ความชัน คุณต้องแก้หา เสียก่อน

ข้าว. 6

= – x + – =

โดยที่แสดงถึง = –, = – ถ้าจากการศึกษาสมการทั่วไปจะทราบแล้วว่าเส้นตรงดังกล่าวตั้งฉากกับแกน

ลองดูสมการมาตรฐานของเส้นตรงโดยใช้ตัวอย่าง

ให้ระบุจุดและเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ในระบบพิกัด (รูปที่ 7)

ข้าว. 7

จำเป็นต้องสร้างสมการสำหรับเส้นตรงที่ผ่านจุดที่ขนานกับเวกเตอร์ ซึ่งเรียกว่าเวกเตอร์ทิศทาง จุดตามอำเภอใจเป็นของบรรทัดนี้ก็ต่อเมื่อเท่านั้น เนื่องจากเวกเตอร์ถูกกำหนดไว้ และเวกเตอร์คือ ดังนั้นตามเงื่อนไขความเท่าเทียม พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จึงเป็นสัดส่วน นั่นคือ:

คำนิยาม

ความสัมพันธ์ (7) เรียกว่าสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในทิศทางที่กำหนดหรือสมการบัญญัติของเส้นตรง

โปรดทราบว่าเราสามารถย้ายไปยังสมการของรูปแบบ (7) ได้ เช่น จากสมการของเส้นดินสอ (4)

หรือจากสมการของเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ปกติ (1):

สันนิษฐานข้างต้นว่าเวกเตอร์ทิศทางไม่เป็นศูนย์ แต่อาจเกิดขึ้นได้ว่าพิกัดใดพิกัดหนึ่งของมัน เช่น จากนั้นนิพจน์ (7) จะถูกเขียนอย่างเป็นทางการ:

ซึ่งไม่สมเหตุสมผลเลย อย่างไรก็ตาม เรายอมรับและรับสมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน อันที่จริงจากสมการเป็นที่ชัดเจนว่าเส้นตรงถูกกำหนดโดยจุดและเวกเตอร์ทิศทางที่ตั้งฉากกับแกน หากเราลบตัวส่วนออกจากสมการนี้ เราจะได้:

หรือ - สมการของเส้นตรงที่ตั้งฉากกับแกน จะได้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันสำหรับเวกเตอร์

สมการพาราเมตริกของเส้นตรง

เพื่อทำความเข้าใจว่าสมการพาราเมตริกของเส้นตรงคืออะไร คุณต้องกลับไปที่สมการ (7) และยกเศษส่วนแต่ละส่วน (7) ให้เป็นพารามิเตอร์ เนื่องจากตัวส่วนอย่างน้อยหนึ่งตัวใน (7) ไม่เท่ากับศูนย์ และตัวเศษที่สอดคล้องกันสามารถรับค่าใดๆ ก็ได้ ดังนั้นขอบเขตของการเปลี่ยนแปลงพารามิเตอร์จึงเป็นแกนตัวเลขทั้งหมด

คำนิยาม

สมการ (8) เรียกว่าสมการพาราเมตริกของเส้นตรง

ตัวอย่างปัญหาเส้นตรง

แน่นอนว่า เป็นเรื่องยากที่จะแก้ไขสิ่งใดๆ ตามคำจำกัดความเพียงอย่างเดียว เนื่องจากคุณต้องแก้ไขตัวอย่างหรือปัญหาเล็กๆ น้อยๆ ด้วยตัวเองซึ่งจะช่วยรวบรวมเนื้อหาที่คุณกล่าวถึงไว้ ดังนั้นเรามาวิเคราะห์งานหลักเป็นเส้นตรงเนื่องจากปัญหาที่คล้ายกันมักเจอในการสอบและการทดสอบ

สมการ Canonical และ Parametric

ตัวอย่างที่ 1

บนเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ ให้หาจุดที่อยู่ห่างจากจุดของเส้นตรงนี้ 10 หน่วย

สารละลาย:

อนุญาต ตามหาจุดของเส้นตรง แล้วสำหรับระยะทางที่เราเขียน . ระบุว่า. เนื่องจากจุดเป็นของเส้นที่มีเวกเตอร์ปกติจึงสามารถเขียนสมการของเส้นได้: = = แล้วปรากฎว่า:

แล้วระยะทาง. ขึ้นอยู่กับ หรือ . จากสมการพาราเมตริก:

ตัวอย่างที่ 2

งาน

จุดจะเคลื่อนที่สม่ำเสมอด้วยความเร็วในทิศทางของเวกเตอร์จากจุดเริ่มต้น ค้นหาพิกัดของจุดผ่านจากจุดเริ่มต้นของการเคลื่อนไหว

สารละลาย

ก่อนอื่นคุณต้องหาเวกเตอร์หน่วยก่อน พิกัดของมันคือโคไซน์ทิศทาง:

จากนั้นเวกเตอร์ความเร็ว:

เอ็กซ์ = x = .

ตอนนี้สมการ Canonical ของเส้นจะถูกเขียน:

= = , = – สมการพาราเมตริก หลังจากนั้นคุณจะต้องใช้สมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่

สารละลาย:

สมการของเส้นที่ผ่านจุดหนึ่งพบได้โดยใช้สูตรของเส้นดินสอ โดยที่ ความลาดชันสำหรับเส้นตรงและ = สำหรับเส้นตรง

เมื่อพิจารณาจากรูปซึ่งแสดงว่าระหว่างเส้นตรงกับมุมนั้นมีสองมุม มุมหนึ่งแหลม และอีกมุมป้าน ตามสูตร (9) นี่คือมุมระหว่างเส้นตรงและโดยที่คุณต้องหมุนเส้นตรงทวนเข็มนาฬิกาสัมพันธ์กับจุดตัดกันจนกระทั่งมันอยู่ในแนวเดียวกับเส้นตรง .

เราจำสูตรได้ เราหามุมได้ และตอนนี้เราก็กลับมาที่ตัวอย่างได้แล้ว ซึ่งหมายความว่าเมื่อคำนึงถึงสูตร (9) เราจะพบสมการของขาก่อน

เนื่องจากการหมุนเส้นตรงในมุมทวนเข็มนาฬิกาสัมพันธ์กับจุด ทำให้เกิดการจัดตำแหน่งกับเส้นตรง จากนั้นในสูตร (9) a . จากสมการ:

เมื่อใช้สูตรลำแสง สมการของเส้นตรงจะถูกเขียน:

ในทำนองเดียวกันเราพบ , และ ,

สมการเส้น:

สมการของเส้น – ประเภทของสมการของเส้น: การผ่านจุด, ทั่วไป, ตามรูปแบบบัญญัติ, พาราเมตริก ฯลฯอัปเดต: 22 พฤศจิกายน 2019 โดย: บทความทางวิทยาศาสตร์.Ru

คำนิยาม.ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียน เวกเตอร์ที่มีส่วนประกอบ (A, B) จะตั้งฉากกับเส้นตรงที่กำหนดโดยสมการ Ax + By + C = 0

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) ซึ่งตั้งฉากกับเวกเตอร์ (3, -1)

สารละลาย- ด้วย A = 3 และ B = -1 ลองเขียนสมการของเส้นตรง: 3x – y + C = 0 ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ C เราจะแทนที่พิกัดของจุด A ที่กำหนดลงในนิพจน์ผลลัพธ์ เราจะได้: 3 – 2 + C = 0 ดังนั้น C = -1 ผลรวม: สมการที่ต้องการ: 3x – y – 1 = 0

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ให้จุดสองจุด M 1 (x 1, y 1, z 1) และ M 2 (x 2, y 2, z 2) ถูกกำหนดไว้ในอวกาศ จากนั้นสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดเหล่านี้คือ:

ถ้าตัวส่วนใดๆ เท่ากับศูนย์ ตัวเศษที่สอดคล้องกันควรจะเท่ากับศูนย์ บนระนาบ สมการของเส้นที่เขียนด้านบนจะถูกทำให้ง่ายขึ้น:

ถ้า x 1 ≠ x 2 และ x = x 1 ถ้า x 1 = x 2

เรียกว่าเศษส่วน = k ความลาดชันโดยตรง.

ตัวอย่าง- ค้นหาสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(1, 2) และ B(3, 4)

สารละลาย.เมื่อใช้สูตรที่เขียนข้างต้น เราจะได้:

สมการของเส้นตรงจากจุดและความชัน

หากสมการทั่วไปของเส้นตรง Ax + By + C = 0 ลดลงเป็นรูปแบบ:

และกำหนด จากนั้นจึงเรียกสมการผลลัพธ์ สมการของเส้นตรงกับความชันเค.

สมการของเส้นตรงจากจุดและเวกเตอร์ทิศทาง

โดยการเปรียบเทียบกับจุดที่พิจารณาสมการของเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ปกติ คุณสามารถป้อนคำจำกัดความของเส้นตรงผ่านจุดและเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงได้

คำนิยาม.เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์แต่ละตัว (α 1, α 2) ส่วนประกอบที่ตรงตามเงื่อนไข A α 1 + B α 2 = 0 เรียกว่าเวกเตอร์กำกับของเส้น

ขวาน + วู + C = 0

ตัวอย่าง. ค้นหาสมการของเส้นตรงที่มีเวกเตอร์ทิศทาง (1, -1) และผ่านจุด A(1, 2)

สารละลาย.เราจะค้นหาสมการของเส้นที่ต้องการในรูปแบบ: Ax + By + C = 0 ตามคำจำกัดความสัมประสิทธิ์จะต้องเป็นไปตามเงื่อนไข:

1 * A + (-1) * B = 0 เช่น ก = บี

จากนั้นสมการของเส้นตรงจะมีรูปแบบ: Ax + Ay + C = 0 หรือ x + y + C / A = 0 สำหรับ x = 1, y = 2 เราได้รับ C/ A = -3 เช่น สมการที่ต้องการ:

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

หากในสมการทั่วไปของเส้นตรง Ах + Ву + С = 0 С≠0 จากนั้นหารด้วย –С เราจะได้: หรือ

ความหมายทางเรขาคณิตของค่าสัมประสิทธิ์ก็คือค่าสัมประสิทธิ์ ก คือพิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนอ็อกซ์ และ ข – พิกัดจุดตัดของเส้นตรงกับแกนออย

ตัวอย่าง.จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง x – y + 1 = 0 ค้นหาสมการของเส้นตรงในส่วนนี้

C = 1, , ก = -1, ข = 1

สมการปกติของเส้นตรง

ถ้าทั้งสองข้างของสมการ Ax + By + C = 0 หารด้วยตัวเลข ซึ่งเรียกว่า ปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานแล้วเราก็ได้

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

สมการปกติของเส้นตรง ต้องเลือกเครื่องหมาย±ของปัจจัยการทำให้เป็นมาตรฐานเพื่อให้μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

ตัวอย่าง- สมการทั่วไปของเส้นตรง 12x – 5y – 65 = 0 ถูกกำหนดไว้ จำเป็นต้องเขียนสมการประเภทต่างๆ สำหรับเส้นนี้

สมการของเส้นนี้ในส่วนต่างๆ:

สมการของเส้นนี้กับความชัน: (หารด้วย 5)

สมการปกติของเส้นตรง:

- คอส φ = 12/13; บาป φ= -5/13; พี = 5.

C ควรสังเกตว่าไม่ใช่ทุกเส้นที่สามารถแสดงด้วยสมการในส่วนต่างๆ เช่น เส้นขนานกับแกนหรือผ่านจุดกำเนิด

ตัวอย่าง- เส้นตรงตัดส่วนบวกที่เท่ากันบนแกนพิกัด เขียนสมการของเส้นตรงหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่เกิดจากส่วนเหล่านี้คือ 8 ซม. 2

สารละลาย.สมการของเส้นตรงมีรูปแบบ: , ab /2 = 8; ก = 4; -4. a = -4 ไม่เหมาะตามเงื่อนไขของปัญหา รวม: หรือ x + y – 4 = 0

ตัวอย่าง- เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-2, -3) และจุดกำเนิด

สารละลาย. สมการของเส้นตรงคือ: โดยที่ x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y2 = -3.

มาดูวิธีสร้างสมการสำหรับเส้นที่ลากผ่านจุดสองจุดโดยใช้ตัวอย่าง

ตัวอย่างที่ 1

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุด A(-3; 9) และ B(2;-1)

วิธีที่ 1 - สร้างสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์มุม

สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุมจะมีรูปแบบ . การแทนที่พิกัดของจุด A และ B ลงในสมการของเส้นตรง (x= -3 และ y=9 - ในกรณีแรก x=2 และ y= -1 - ในวินาที) เราจะได้ระบบสมการ ซึ่งเราจะพบค่าของ k และ b:

เมื่อบวกสมการที่ 1 และ 2 ทีละเทอม เราจะได้: -10=5k โดยที่ k= -2 เมื่อแทน k= -2 ลงในสมการที่สอง เราจะพบว่า b: -1=2·(-2)+b, b=3

ดังนั้น y= -2x+3 จึงเป็นสมการที่ต้องการ

วิธีที่ 2 - มาสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงกัน

สมการทั่วไปของเส้นตรงมีรูปแบบ แทนที่พิกัดของจุด A และ B ลงในสมการเราจะได้ระบบ:

เนื่องจากจำนวนที่ไม่ทราบมีมากกว่าจำนวนสมการ ระบบจึงไม่สามารถแก้ได้ แต่ตัวแปรทั้งหมดสามารถแสดงผ่านตัวแปรเดียวได้ ตัวอย่างเช่นผ่านข

โดยการคูณสมการแรกของระบบด้วย -1 และเพิ่มเทอมต่อเทอมด้วยสมการที่สอง:

เราได้รับ: 5a-10b=0 ดังนั้น a=2b

ลองแทนที่นิพจน์ผลลัพธ์ลงในสมการที่สอง: 2·2b -b+c=0; 3b+ค=0; ค= -3b.
แทน a=2b, c= -3b ลงในสมการ ax+by+c=0:

2bx+คูณ-3b=0. มันยังคงหารทั้งสองข้างด้วย b:

สมการทั่วไปของเส้นตรงสามารถลดลงเป็นสมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมได้อย่างง่ายดาย:

วิธีที่ 3 - สร้างสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุด

สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดคือ:

ลองแทนพิกัดของจุด A(-3; 9) และ B(2;-1) ลงในสมการนี้

(นั่นคือ x 1 = -3, y 1 =9, x 2 =2, y 2 = -1):

และลดความซับซ้อน:

โดยที่ 2x+y-3=0

ใน หลักสูตรของโรงเรียนมักใช้สมการเส้นตรงกับความชัน แต่วิธีที่ง่ายที่สุดคือการหาและใช้สูตรสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด

ความคิดเห็น

หากเมื่อแทนพิกัดของจุดที่กำหนด ให้เป็นหนึ่งในตัวส่วนของสมการ

ปรากฎว่ามีค่าเท่ากับศูนย์จากนั้นจะได้สมการที่ต้องการโดยการทำให้ตัวเศษที่ตรงกันเท่ากับศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

เขียนสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด C(5; -2) และ D(7;-2)

เราแทนที่พิกัดของจุด C และ D ลงในสมการของเส้นตรงที่ผ่าน 2 จุด

บทความนี้ได้รับ สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ และยังได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมในพื้นที่สามมิติ หลังจากนำเสนอทฤษฎีแล้ว วิธีแก้ปัญหาของตัวอย่างและปัญหาทั่วไปจะแสดงขึ้นโดยจำเป็นต้องสร้างสมการของเส้นประเภทต่างๆ เมื่อทราบพิกัดของจุดสองจุดบนเส้นนี้

การนำทางหน้า

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดบนระนาบ

ก่อนที่จะได้สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ให้เรานึกถึงข้อเท็จจริงบางประการก่อน

สัจพจน์ประการหนึ่งของเรขาคณิตระบุว่าสามารถวาดเส้นตรงเส้นเดียวผ่านจุดสองจุดที่แตกต่างกันบนระนาบได้ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดยการระบุจุดสองจุดบนระนาบ เราจะกำหนดเส้นตรงที่ผ่านทั้งสองจุดนี้โดยไม่ซ้ำกัน (หากจำเป็น โปรดดูส่วนวิธีการระบุเส้นตรงบนระนาบ)

ให้ Oxy ได้รับการแก้ไขบนเครื่องบิน ในระบบพิกัดนี้ เส้นตรงใดๆ จะสอดคล้องกับสมการของเส้นตรงบนระนาบ เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรงเชื่อมโยงกับเส้นตรงเดียวกันนี้อย่างแยกไม่ออก ความรู้นี้เพียงพอที่จะสร้างสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดได้

ให้เรากำหนดเงื่อนไขของปัญหา: สร้างสมการสำหรับเส้นตรง a ซึ่งในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ผ่านจุดแยกสองจุดและ

เราจะแสดงวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายและเป็นสากลที่สุดให้กับปัญหานี้

เรารู้ว่าสมการบัญญัติของเส้นตรงบนระนาบนั้นมีรูปแบบ กำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy เส้นตรงที่ผ่านจุดและมีเวกเตอร์ทิศทาง

ลองเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด และ

แน่นอนว่าเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a ที่ผ่านจุด M 1 และ M 2 เป็นเวกเตอร์ก็มีพิกัด (ดูบทความหากจำเป็น) ดังนั้นเราจึงมีข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดเพื่อเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นตรง a ซึ่งเป็นพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง และพิกัดของจุดที่วางอยู่บนนั้น (และ ) ดูเหมือนว่า (หรือ ).

นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นตรงบนระนาบที่ผ่านจุดสองจุดและ พวกเขาดูเหมือน หรือ .

ลองดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด .

สารละลาย.

เราพบว่าสมการบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่มีพิกัดและมีรูปแบบ .

จากสภาพปัญหาที่เรามี - ลองแทนที่ข้อมูลนี้ลงในสมการ - เราได้รับ .

คำตอบ:

.

หากเราไม่ต้องการสมการมาตรฐานของเส้นตรงและไม่ใช่สมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด แต่เป็นสมการของเส้นประเภทอื่น เราก็สามารถหาสมการนั้นได้จากสมการมาตรฐานของเส้นตรงเสมอ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงซึ่งในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบจะผ่านจุดสองจุดและ

สารละลาย.

ขั้นแรก ลองเขียนสมการมาตรฐานของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุด ดูเหมือนว่า. ทีนี้ลองนำสมการผลลัพธ์มาเป็นรูปแบบที่ต้องการ: .

คำตอบ:

.

ณ จุดนี้เราสามารถจบสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบได้ แต่ฉันอยากจะเตือนคุณว่าเราแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้อย่างไร โรงเรียนมัธยมปลายในบทเรียนพีชคณิต

ที่โรงเรียนเรารู้เพียงแต่สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์เชิงมุมของรูปแบบเท่านั้น ให้เราค้นหาค่าของสัมประสิทธิ์เชิงมุม k และตัวเลข b ที่สมการกำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบเป็นเส้นตรงที่ผ่านจุดและที่ (ถ้า x 1 = x 2 ดังนั้นสัมประสิทธิ์เชิงมุมของเส้นตรงจะไม่มีที่สิ้นสุด และเส้น M 1 M 2 ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรง พิมพ์ x-x 1 =0 ).

เนื่องจากจุด M 1 และ M 2 อยู่บนเส้นตรงพิกัดของจุดเหล่านี้จึงเป็นไปตามสมการของเส้นนั่นคือความเท่าเทียมกันและถูกต้อง การแก้ระบบสมการในรูป เกี่ยวกับตัวแปรที่ไม่รู้จัก k และ b เราพบ หรือ - สำหรับค่า k และ b เหล่านี้ สมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดและอยู่ในรูปแบบ หรือ .

ไม่มีประโยชน์ที่จะจำสูตรเหล่านี้เมื่อแก้ไขตัวอย่างจะง่ายกว่าที่จะทำซ้ำการกระทำที่ระบุ

ตัวอย่าง.

เขียนสมการของเส้นตรงด้วยความชันหากเส้นนี้ผ่านจุด และ .

สารละลาย.

ในกรณีทั่วไป สมการของเส้นตรงกับสัมประสิทธิ์มุมจะมีรูปแบบ ให้เราค้นหา k และ b ซึ่งสมการสอดคล้องกับเส้นที่ผ่านจุดสองจุด และ

เนื่องจากจุด M 1 และ M 2 อยู่บนเส้นตรง พิกัดของพวกมันจึงเป็นไปตามสมการของเส้นตรง นั่นคือความเท่าเทียมกันเป็นจริง และ . ค่าของ k และ b พบได้โดยการแก้ระบบสมการ (หากจำเป็น โปรดดูบทความ):

ยังคงต้องทดแทนค่าที่พบลงในสมการ ดังนั้นสมการที่ต้องการของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดและมีรูปแบบ .

งานมหึมาใช่ไหม?

มันง่ายกว่ามากที่จะเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุด และ มันมีรูปแบบ และจากนั้นไปที่สมการของเส้นตรงที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม: .

คำตอบ:

สมการของเส้นตรงที่ลากผ่านจุดที่กำหนดสองจุดในปริภูมิสามมิติ

ปล่อยให้ระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ได้รับการแก้ไขในปริภูมิสามมิติ และให้จุดลู่ออกสองจุด และ ซึ่งผ่านเส้นตรง M 1 M 2 ขอให้เราได้สมการของเส้นนี้

เรารู้ว่าสมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศนั้นมีรูปแบบอยู่ และสมการพาราเมตริกของเส้นตรงในปริภูมิของแบบฟอร์ม กำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ซึ่งผ่านจุดด้วยพิกัดและมีเวกเตอร์ทิศทาง .

เวกเตอร์ทิศทางของเส้น M 1 M 2 คือเวกเตอร์ และเส้นนี้ตัดผ่านจุด (และ ) ดังนั้นสมการมาตรฐานของเส้นนี้จะมีรูปแบบ (หรือ ) และสมการพาราเมตริกคือ (หรือ ).

.

หากคุณต้องการกำหนดเส้นตรง M 1 M 2 โดยใช้สมการของระนาบที่ตัดกันสองอันก่อนอื่นคุณต้องวาดสมการทางบัญญัติของเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดก่อน และ และจากสมการเหล่านี้ได้ สมการที่จำเป็นเครื่องบิน

อ้างอิง.

• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Poznyak E.G., Yudina I.I. เรขาคณิต. เกรด 7 – 9: หนังสือเรียนสำหรับสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Atanasyan L.S., Butuzov V.F., Kadomtsev S.B., Kiseleva L.S., Poznyak E.G. เรขาคณิต. หนังสือเรียนสำหรับชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 10-11
• Pogorelov A.V. เรขาคณิต หนังสือเรียนสำหรับเกรด 7-11 ในสถาบันการศึกษาทั่วไป
• Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- เล่มที่หนึ่ง: องค์ประกอบ พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์
• อิลยิน วี.เอ., พอซเนียค อี.จี. เรขาคณิตวิเคราะห์

บทความนี้ยังคงพูดถึงสมการของเส้นตรงบนระนาบ: เราจะถือว่าสมการประเภทนี้เป็นสมการทั่วไปของเส้น ให้เรานิยามทฤษฎีบทและพิสูจน์มัน เรามาดูกันว่าสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ไม่สมบูรณ์คืออะไร และจะเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการเส้นประเภทอื่นได้อย่างไร เราจะเสริมกำลังทฤษฎีทั้งหมดด้วยภาพประกอบและวิธีแก้ไขปัญหาเชิงปฏิบัติ

ให้ระบุระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y บนระนาบ

ทฤษฎีบท 1

สมการของดีกรีแรกใดๆ อยู่ในรูป A x + B y + C = 0 โดยที่ A, B, C คือค่าใดค่าหนึ่ง ตัวเลขจริง(A และ B ไม่เท่ากับศูนย์ในเวลาเดียวกัน) กำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ในทางกลับกัน เส้นตรงใด ๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบจะถูกกำหนดโดยสมการที่มีรูปแบบ A x + B y + C = 0 สำหรับชุดค่า A, B, C จำนวนหนึ่ง

การพิสูจน์

ทฤษฎีบทนี้ประกอบด้วยสองประเด็น เราจะพิสูจน์แต่ละข้อ

1. ให้เราพิสูจน์ว่าสมการ A x + B y + C = 0 กำหนดเส้นตรงบนระนาบ

ให้มีจุดหนึ่ง M 0 (x 0 , y 0) ซึ่งพิกัดสอดคล้องกับสมการ A x + B y + C = 0 ดังนั้น: A x 0 + B y 0 + C = 0 ลบออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x + B y + C = 0 ด้านซ้ายและด้านขวาของสมการ A x 0 + B y 0 + C = 0 เราได้สมการใหม่ที่ดูเหมือน A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 . มันเทียบเท่ากับ A x + B y + C = 0

สมการผลลัพธ์ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 เป็นเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, ป - ป 0 ) . ดังนั้น เซตของจุด M (x, y) จะกำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่ตั้งฉากกับทิศทางของเวกเตอร์ n → = (A, B) เราสามารถสรุปได้ว่าไม่เป็นเช่นนั้น แต่เวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) จะไม่ตั้งฉาก และความเท่าเทียมกัน A (x - x 0 ) + B (y - y 0) = 0 จะไม่เป็นจริง

ดังนั้น สมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 กำหนดเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ ดังนั้นสมการที่เทียบเท่า A x + B y + C = 0 จึงกำหนด เส้นเดียวกัน นี่คือวิธีที่เราพิสูจน์ส่วนแรกของทฤษฎีบท

1. ขอให้เรานำเสนอข้อพิสูจน์ว่าเส้นตรงใดๆ ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบสามารถระบุได้ด้วยสมการของระดับแรก A x + B y + C = 0

ขอให้เรากำหนดเส้นตรง a ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมบนระนาบ จุด M 0 (x 0 , y 0) ที่เส้นนี้ผ่าน เช่นเดียวกับเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = (A, B) .

ให้มีจุด M (x, y) จุดหนึ่งด้วย - จุดลอยตัวบนเส้นตรง ในกรณีนี้ เวกเตอร์ n → = (A, B) และ M 0 M → = (x - x 0, y - y 0) ตั้งฉากกัน และผลคูณสเกลาร์ของพวกมันคือศูนย์:

n → , M 0 M → = A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0

มาเขียนสมการใหม่ A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0, กำหนด C: C = - A x 0 - B y 0 และด้วยผลลัพธ์สุดท้ายเราจะได้สมการ A x + B y + C = 0.

เราได้พิสูจน์ส่วนที่สองของทฤษฎีบทแล้ว และเราได้พิสูจน์ทฤษฎีบททั้งหมดโดยรวมแล้ว

คำจำกัดความ 1

สมการของแบบฟอร์ม A x + B y + C = 0 - นี้ สมการทั่วไปของเส้นบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมอ็อกซี่.

จากทฤษฎีบทที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว เราสามารถสรุปได้ว่าเส้นตรงและสมการทั่วไปที่กำหนดบนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคงที่นั้นเชื่อมโยงกันอย่างแยกไม่ออก กล่าวอีกนัยหนึ่ง เส้นเดิมสอดคล้องกับสมการทั่วไป สมการทั่วไปของเส้นตรงสอดคล้องกับเส้นที่กำหนด

จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทยังตามมาด้วยว่าสัมประสิทธิ์ A และ B สำหรับตัวแปร x และ y คือพิกัดของเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง ซึ่งกำหนดโดยสมการทั่วไปของเส้น A x + B y + C = 0.

ลองพิจารณาดู ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมสมการทั่วไปของเส้นตรง

ให้สมการ 2 x + 3 y - 2 = 0 ซึ่งสอดคล้องกับเส้นตรงในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมที่กำหนด เวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นนี้คือเวกเตอร์ n → = (2 , 3) ​​​​. ลองวาดเส้นตรงที่กำหนดในภาพวาด

นอกจากนี้เรายังสามารถระบุสิ่งต่อไปนี้: เส้นตรงที่เราเห็นในภาพวาดถูกกำหนดโดยสมการทั่วไป 2 x + 3 y - 2 = 0 เนื่องจากพิกัดของจุดทั้งหมดบนเส้นตรงที่กำหนดสอดคล้องกับสมการนี้

เราสามารถหาสมการ แล · · A x + แล · B y + แล · C = 0 ได้โดยการคูณทั้งสองข้างของสมการทั่วไปของเส้นด้วยตัวเลข แลม ซึ่งไม่เท่ากับศูนย์ สมการที่ได้จะเทียบเท่ากับสมการทั่วไปดั้งเดิม ดังนั้น มันจะอธิบายเส้นตรงเส้นเดียวกันบนระนาบ

คำจำกัดความ 2

เติมสมการทั่วไปของเส้นตรง– เช่นสมการทั่วไปของเส้นตรง A x + B y + C = 0 ซึ่งตัวเลข A, B, C แตกต่างจากศูนย์ มิฉะนั้นสมการจะเป็น ไม่สมบูรณ์.

ให้เราวิเคราะห์ความแปรผันทั้งหมดของสมการทั่วไปของเส้นตรงที่ไม่สมบูรณ์

1. เมื่อ A = 0, B ≠ 0, C ≠ 0 สมการทั่วไปจะอยู่ในรูปแบบ B y + C = 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ดังกล่าวกำหนดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม O x y เส้นตรงที่ขนานกับแกน O x เนื่องจากค่าจริงของ x ใด ๆ ตัวแปร y จะใช้ค่า - ซีบี . กล่าวอีกนัยหนึ่งสมการทั่วไปของเส้นตรง A x + B y + C = 0 เมื่อ A = 0, B ≠ 0 ระบุตำแหน่งของจุด (x, y) ซึ่งมีพิกัดเท่ากับตัวเลขเดียวกัน - ซีบี .
2. ถ้า A = 0, B ≠ 0, C = 0 สมการทั่วไปจะอยู่ในรูปแบบ y = 0 สมการที่ไม่สมบูรณ์นี้กำหนดแกน x O x
3. เมื่อ A ≠ 0, B = 0, C ≠ 0 เราจะได้สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C = 0 ซึ่งกำหนดเส้นตรงขนานกับพิกัด
4. ให้ A ≠ 0, B = 0, C = 0 จากนั้นสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะอยู่ในรูปแบบ x = 0 และนี่คือสมการของเส้นพิกัด O y
5. สุดท้าย สำหรับ A ≠ 0, B ≠ 0, C = 0 สมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์จะอยู่ในรูปแบบ A x + B y = 0 และสมการนี้อธิบายเส้นตรงที่ลากผ่านจุดกำเนิด ในความเป็นจริง คู่ของตัวเลข (0, 0) สอดคล้องกับความเท่าเทียมกัน A x + B y = 0 เนื่องจาก A · 0 + B · 0 = 0

ขอให้เราแสดงสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ของเส้นตรงทุกประเภทข้างต้นเป็นกราฟิก

ตัวอย่างที่ 1

เป็นที่ทราบกันว่าเส้นตรงที่กำหนดนั้นขนานกับแกนกำหนดและผ่านจุด 2 7, - 11 จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นที่กำหนด

สารละลาย

ตรง, ขนานกับแกนกำหนดโดยสมการของรูปแบบ A x + C = 0 โดยที่ A ≠ 0 เงื่อนไขยังระบุพิกัดของจุดที่เส้นผ่านและพิกัดของจุดนี้ตรงตามเงื่อนไขของสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ A x + C = 0 เช่น ความเท่าเทียมกันเป็นจริง:

ก 2 7 + ค = 0

จากนั้นจึงเป็นไปได้ที่จะกำหนด C หากเราให้ค่า A ที่ไม่ใช่ศูนย์ เช่น A = 7 ในกรณีนี้ เราได้: 7 · 2 7 + C = 0 ⇔ C = - 2 เรารู้ทั้งค่าสัมประสิทธิ์ A และ C แทนที่พวกมันลงในสมการ A x + C = 0 และรับสมการเส้นตรงที่ต้องการ: 7 x - 2 = 0

คำตอบ: 7 x - 2 = 0

ตัวอย่างที่ 2

ภาพวาดแสดงเส้นตรง คุณต้องเขียนสมการของมัน

สารละลาย

ภาพวาดที่กำหนดช่วยให้เรานำข้อมูลเริ่มต้นมาแก้ไขปัญหาได้อย่างง่ายดาย เราเห็นในภาพวาดว่าเส้นตรงที่กำหนดนั้นขนานกับแกน O x และผ่านจุด (0, 3)

เส้นตรงซึ่งขนานกับเส้น Abscissa ถูกกำหนดโดยสมการทั่วไปที่ไม่สมบูรณ์ B y + C = 0 มาหาค่าของ B และ C กัน พิกัดของจุด (0, 3) เนื่องจากเส้นที่กำหนดผ่านไปจะเป็นไปตามสมการของเส้น B y + C = 0 ดังนั้นความเท่าเทียมกันจึงถูกต้อง: B · 3 + C = 0 ลองตั้งค่า B ให้เป็นค่าอื่นที่ไม่ใช่ศูนย์ สมมติว่า B = 1 ซึ่งในกรณีนี้จากความเท่าเทียมกัน B · 3 + C = 0 เราสามารถหา C: C = - 3 เราใช้ ค่านิยมที่ทราบ B และ C เราได้สมการที่ต้องการของเส้นตรง: y - 3 = 0

คำตอบ: y - 3 = 0 .

สมการทั่วไปของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดในระนาบ

ปล่อยให้เส้นที่กำหนดผ่านจุด M 0 (x 0 , y 0) จากนั้นพิกัดของมันสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นนั่นคือ ความเท่าเทียมกันเป็นจริง: A x 0 + B y 0 + C = 0 ให้เราลบด้านซ้ายและด้านขวาของสมการนี้ออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของรูปทั่วไป สมการที่สมบูรณ์โดยตรง. เราได้รับ: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C = 0 สมการนี้เทียบเท่ากับสมการทั่วไปดั้งเดิมผ่านจุด M 0 (x 0, y 0) และมีค่าปกติ เวกเตอร์ n → = (A, B) .

ผลลัพธ์ที่เราได้รับทำให้สามารถเขียนสมการทั่วไปของเส้นตรงได้ พิกัดที่ทราบเวกเตอร์ปกติของเส้นและพิกัดของจุดใดจุดหนึ่งบนเส้นนี้

ตัวอย่างที่ 3

กำหนดจุด M 0 (- 3, 4) ที่เส้นผ่าน และเวกเตอร์ปกติของเส้นนี้ n → = (1 , - 2) . จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นที่กำหนด

สารละลาย

เงื่อนไขเริ่มต้นทำให้เราได้รับข้อมูลที่จำเป็นในการรวบรวมสมการ: A = 1, B = - 2, x 0 = - 3, y 0 = 4 แล้ว:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 1 (x - (- 3)) - 2 y (y - 4) = 0 ⇔ ⇔ x - 2 y + 22 = 0

ปัญหาสามารถแก้ไขได้แตกต่างออกไป สมการทั่วไปของเส้นตรงคือ A x + B y + C = 0 เวกเตอร์ปกติที่กำหนดช่วยให้เราได้รับค่าสัมประสิทธิ์ A และ B จากนั้น:

A x + B y + C = 0 ⇔ 1 x - 2 y + C = 0 ⇔ x - 2 y + C = 0

ตอนนี้เรามาหาค่าของ C โดยใช้จุด M 0 (- 3, 4) ที่ระบุโดยเงื่อนไขของปัญหาที่เส้นตรงผ่านไป พิกัดของจุดนี้สอดคล้องกับสมการ x - 2 · y + C = 0 เช่น - 3 - 2 4 + C = 0. ดังนั้น C = 11 สมการเส้นตรงที่ต้องการจะอยู่ในรูปแบบ: x ​​- 2 · y + 11 = 0

คำตอบ: x - 2 ปี + 11 = 0 .

ตัวอย่างที่ 4

ให้เส้นตรง 2 3 x - y - 1 2 = 0 และจุด M 0 นอนอยู่บนเส้นนี้ ทราบเฉพาะค่าแอบซิสซาของจุดนี้เท่านั้น และมีค่าเท่ากับ - 3 จำเป็นต้องกำหนดพิกัดของจุดที่กำหนด

สารละลาย

ให้เรากำหนดพิกัดของจุด M 0 เป็น x 0 และ y 0 . ข้อมูลต้นฉบับระบุว่า x 0 = - 3 เนื่องจากจุดเป็นของเส้นที่กำหนด พิกัดจึงสอดคล้องกับสมการทั่วไปของเส้นนี้ จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

2 3 x 0 - ย 0 - 1 2 = 0

กำหนด y 0: 2 3 · (- 3) - y 0 - 1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 ⇔ y 0 = - 5 2

คำตอบ: - 5 2

การเปลี่ยนจากสมการทั่วไปของเส้นไปสู่สมการประเภทอื่นของเส้นและหลัง

ดังที่เราทราบ มีสมการหลายประเภทสำหรับเส้นตรงเส้นเดียวกันบนระนาบ การเลือกประเภทของสมการขึ้นอยู่กับเงื่อนไขของปัญหา คุณสามารถเลือกอันที่สะดวกกว่าในการแก้ไขได้ ทักษะในการแปลงสมการประเภทหนึ่งเป็นสมการประเภทอื่นมีประโยชน์มากที่นี่

อันดับแรก ลองพิจารณาการเปลี่ยนจากสมการทั่วไปในรูปแบบ A x + B y + C = 0 ไปเป็นสมการมาตรฐาน x - x 1 a x = y - y 1 a y

ถ้า A ≠ 0 เราจะย้ายเทอม B y ไปทางด้านขวาของสมการทั่วไป ทางด้านซ้ายเรานำ A ออกจากวงเล็บ ผลลัพธ์ที่ได้คือ: A x + C A = - B y

ความเท่าเทียมกันนี้สามารถเขียนเป็นสัดส่วน: x + C A - B = y A

ถ้า B ≠ 0 เราจะเหลือเพียงพจน์ A x ทางด้านซ้ายของสมการทั่วไป แล้วย้ายที่เหลือไปทางด้านขวา เราจะได้: A x = - B y - C เราเอา – B ออกจากวงเล็บแล้ว: A x = - B y + C B .

ลองเขียนความเท่าเทียมกันใหม่เป็นสัดส่วน: x - B = y + C B A

แน่นอนว่าไม่จำเป็นต้องจำสูตรผลลัพธ์ การรู้อัลกอริธึมของการกระทำก็เพียงพอแล้วเมื่อย้ายจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 5

จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง 3 y - 4 = 0 มีความจำเป็นต้องแปลงให้เป็นสมการทางบัญญัติ

สารละลาย

ลองเขียนสมการดั้งเดิมเป็น 3 y - 4 = 0 ต่อไปเราดำเนินการตามอัลกอริทึม: คำว่า 0 x ยังคงอยู่ทางด้านซ้าย และทางด้านขวาเราใส่ - 3 ออกจากวงเล็บ เราได้รับ: 0 x = - 3 ปี - 4 3 .

ลองเขียนผลลัพธ์ความเท่าเทียมกันเป็นสัดส่วน: x - 3 = y - 4 3 0 . ดังนั้นเราจึงได้สมการของรูปแบบบัญญัติ

คำตอบ: x - 3 = y - 4 3 0.

ในการแปลงสมการทั่วไปของเส้นเป็นพาราเมตริก ขั้นแรกให้ทำการเปลี่ยนเป็นรูปแบบมาตรฐาน จากนั้นจึงเปลี่ยนจากสมการมาตรฐานของเส้นเป็นสมการพาราเมตริก

ตัวอย่างที่ 6

เส้นตรงได้มาจากสมการ 2 x - 5 y - 1 = 0 เขียนสมการพาราเมตริกของเส้นนี้

สารละลาย

ให้เราเปลี่ยนจากสมการทั่วไปไปเป็นสมการมาตรฐาน:

2 x - 5 y - 1 = 0 ⇔ 2 x = 5 y + 1 ⇔ 2 x = 5 y + 1 5 ⇔ x 5 = y + 1 5 2

ตอนนี้เราหาสมการทางบัญญัติผลลัพธ์ทั้งสองด้านเท่ากับ แล จากนั้น:

x 5 = แลมบ์ y + 1 5 2 = แลมบ์ ⇔ x = 5 แลมบ์ y = - 1 5 + 2 แลมบ์ , แลมบ์ ∈ R

คำตอบ:x = 5 แลมบ์ y = - 1 5 + 2 แลมบ์ , แลมบ์ ∈ R

สมการทั่วไปสามารถแปลงเป็นสมการของเส้นตรงที่มีความชัน y = k · x + b ได้ แต่เฉพาะเมื่อ B ≠ 0 เท่านั้น สำหรับการเปลี่ยนผ่าน เราจะปล่อยคำว่า B y ไว้ทางด้านซ้าย ที่เหลือจะถูกโอนไปทางขวา เราได้รับ: B y = - A x - C . ลองหารทั้งสองข้างของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย B ซึ่งต่างจากศูนย์: y = - A B x - C B

ตัวอย่างที่ 7

จะได้สมการทั่วไปของเส้นตรง: 2 x + 7 y = 0 คุณต้องแปลงสมการนั้นเป็นสมการความชัน

สารละลาย

มาดำเนินการที่จำเป็นตามอัลกอริทึม:

2 x + 7 y = 0 ⇔ 7 y - 2 x ⇔ y = - 2 7 x

คำตอบ:ย = - 2 7 x .

จากสมการทั่วไปของเส้นตรง แค่ได้สมการในส่วนของรูปแบบ x a + y b = 1 ก็เพียงพอแล้ว ในการเปลี่ยนแปลงดังกล่าว เราย้ายตัวเลข C ไปทางด้านขวาของความเท่าเทียมกัน หารทั้งสองด้านของผลลัพธ์ที่เท่ากันด้วย – C และสุดท้าย โอนสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปร x และ y ไปยังตัวส่วน:

A x + B y + C = 0 ⇔ A x + B y = - C ⇔ ⇔ A - C x + B - C y = 1 ⇔ x - C A + y - C B = 1

ตัวอย่างที่ 8

จำเป็นต้องแปลงสมการทั่วไปของเส้น x - 7 y + 1 2 = 0 เป็นสมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ

สารละลาย

ลองย้าย 1 2 ไปทางด้านขวา: x - 7 y + 1 2 = 0 ⇔ x - 7 y = - 1 2 .

ลองหารทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย -1/2: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1

คำตอบ: x - 1 2 + ปี 1 14 = 1 .

โดยทั่วไปแล้ว การเปลี่ยนกลับด้านก็ทำได้ง่ายเช่นกัน: จากสมการประเภทอื่นไปเป็นสมการทั่วไป

สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ และสมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุมสามารถแปลงเป็นสมการทั่วไปได้ง่ายๆ เพียงรวบรวมพจน์ทั้งหมดทางด้านซ้ายของความเท่าเทียมกัน:

x a + y b ⇔ 1 a x + 1 b y - 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0 y = k x + b ⇔ y - k x - b = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

สมการทางบัญญัติจะถูกแปลงเป็นสมการทั่วไปตามรูปแบบต่อไปนี้:

x - x 1 a x = y - y 1 ay x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

หากต้องการย้ายจากพารามิเตอร์พาราเมตริก ขั้นแรกให้ย้ายไปที่ Canonical แล้วจึงไปที่ทั่วไป:

x = x 1 + a x · แลมบ์ y = y 1 + a y · แลมบ์ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 ay ⇔ A x + B y + C = 0

ตัวอย่างที่ 9

จะได้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง x = - 1 + 2 · แลมบ์ y = 4 จำเป็นต้องเขียนสมการทั่วไปของเส้นนี้

สารละลาย

ให้เราเปลี่ยนจากสมการพาราเมตริกไปเป็นสมการมาตรฐาน:

x = - 1 + 2 · แลมบ์ด = 4 ⇔ x = - 1 + 2 · แลมบ์ = 4 + 0 · แลมบ์ ⇔ แลมบ์ = x + 1 2 แลมบ์ = ย - 4 0 ⇔ x + 1 2 = ย - 4 0

เรามาเปลี่ยนจาก Canonical ไปเป็น General:

x + 1 2 = y - 4 0 ⇔ 0 · (x + 1) = 2 (y - 4) ⇔ y - 4 = 0

คำตอบ: y - 4 = 0

ตัวอย่างที่ 10

จะได้สมการของเส้นตรงในส่วน x 3 + y 1 2 = 1 จำเป็นต้องเปลี่ยนไปใช้รูปแบบทั่วไปของสมการ

สารละลาย:

เราเพียงแค่เขียนสมการใหม่ในรูปแบบที่ต้องการ:

x 3 + y 1 2 = 1 ⇔ 1 3 x + 2 y - 1 = 0

คำตอบ: 1 3 x + 2 ปี - 1 = 0 .

วาดสมการทั่วไปของเส้นตรง

เราได้กล่าวไว้ข้างต้นว่าสมการทั่วไปสามารถเขียนได้ด้วยพิกัดที่ทราบของเวกเตอร์ปกติและพิกัดของจุดที่เส้นผ่าน เส้นตรงดังกล่าวถูกกำหนดโดยสมการ A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 เรายังวิเคราะห์ตัวอย่างที่เกี่ยวข้องอีกด้วย

ตอนนี้เรามาดูตัวอย่างที่ซับซ้อนมากขึ้น ซึ่งก่อนอื่นเราต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ปกติก่อน

ตัวอย่างที่ 11

ให้เส้นขนานกับเส้น 2 x - 3 y + 3 3 = 0 จุด M 0 (4, 1) เป็นที่รู้กันว่าเส้นที่กำหนดผ่าน จำเป็นต้องเขียนสมการของเส้นที่กำหนด

สารละลาย

เงื่อนไขเริ่มต้นบอกเราว่าเส้นตรงขนานกัน จากนั้นเวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่ต้องเขียนสมการนั้น เราจะหาเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง n → = (2, - 3): 2 x - 3 ปี + 3 3 = 0. ตอนนี้เรารู้ข้อมูลที่จำเป็นทั้งหมดในการสร้างสมการทั่วไปของเส้นตรงแล้ว:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 2 (x - 4) - 3 (y - 1) = 0 ⇔ 2 x - 3 y - 5 = 0

คำตอบ: 2 x - 3 ปี - 5 = 0 .

ตัวอย่างที่ 12

เส้นที่กำหนดจะลากผ่านจุดกำเนิดตั้งฉากกับเส้น x - 2 3 = y + 4 5 จำเป็นต้องสร้างสมการทั่วไปสำหรับเส้นที่กำหนด

สารละลาย

เวกเตอร์ปกติของเส้นตรงที่กำหนดจะเป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง x - 2 3 = y + 4 5

จากนั้น n → = (3, 5) . เส้นตรงผ่านจุดกำเนิดเช่น ผ่านจุด O (0, 0) มาสร้างสมการทั่วไปสำหรับเส้นตรงที่กำหนด:

A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 ⇔ 3 (x - 0) + 5 (y - 0) = 0 ⇔ 3 x + 5 y = 0

คำตอบ: 3 x + 5 ปี = 0 .

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter