วิธีแก้สมการของวงกลม วงกลมบนระนาบพิกัด

คำจำกัดความ 1. แกนจำนวน ( เส้นจำนวน เส้นพิกัด) Ox คือเส้นตรงที่เลือกจุด O ต้นกำเนิด (ที่มาของพิกัด)(รูปที่ 1) ทิศทาง

โอ → x

ระบุไว้เป็น ทิศทางเชิงบวกและส่วนนั้นจะถูกทำเครื่องหมายไว้ตามความยาวของส่วนนั้น หน่วยความยาว.

คำจำกัดความ 2 ส่วนที่มีความยาวถือเป็นหน่วยความยาวเรียกว่ามาตราส่วน

แต่ละจุดบนแกนจำนวนมีพิกัดที่เป็นจำนวนจริง พิกัดของจุด O เป็นศูนย์ พิกัดของจุดใดก็ได้ A ที่วางอยู่บนรังสี Ox เท่ากับความยาวของส่วน OA

พิกัดของจุดใดก็ได้ A ของแกนตัวเลขที่ไม่ได้อยู่บนรังสี Ox นั้นเป็นค่าลบและในค่าสัมบูรณ์จะเท่ากับความยาวของส่วน OA คำจำกัดความ 3ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบ โทรหากันสองคนตั้งฉาก แกนตัวเลข Ox และ Oy ด้วยขนาดเดียวกัน และจุดอ้างอิงทั่วไป ที่จุด O และเพื่อให้การหมุนจากรังสี Ox ที่มุม 90° ถึงรังสี Oy ดำเนินไปในทิศทางทวนเข็มนาฬิกา

(รูปที่ 2) บันทึก. เรียกว่าระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy ดังแสดงในรูปที่ 2ระบบพิกัดที่ถูกต้อง ไม่เหมือนระบบพิกัดด้านซ้าย โดยการหมุนลำแสง Ox ที่มุม 90° กับลำแสง Oy จะดำเนินการในทิศทางตามเข็มนาฬิกา ในคู่มือนี้เราเราพิจารณาเฉพาะระบบพิกัดทางขวาเท่านั้น

โดยไม่ระบุเจาะจงไว้ หากเราแนะนำระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy บนระนาบ แต่ละจุดของระนาบจะได้รับ – สองพิกัดขนาดเดียวกัน แอบซิสซาบวช ซึ่งคำนวณได้ดังนี้ ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุด Aเอเอ ซึ่งคำนวณได้ดังนี้ ให้ A เป็นจุดใดก็ได้บนเครื่องบิน ให้เราปล่อยเส้นตั้งฉากจากจุด A 1 และ

2 ถึงเส้นตรง Ox และ Oy ตามลำดับ (รูปที่ 3) คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุดก คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด 1 บนแกนตัวเลข Ox พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด

2 บนแกนตัวเลข Oy การกำหนดพิกัด (abscissa และ ordinate) ของจุด คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด(x;A ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy (รูปที่ 4) มักจะแสดงแทน) ย คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด = (x; หรือ).

ย บันทึก. จุด O เรียกว่าต้นทาง โอ(0 ; 0) .

, มีพิกัด

คำนิยาม 6 ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมแต่ละระบบจะแบ่งระนาบออกเป็น 4 ส่วน (ควอแดรนท์) โดยหมายเลขจะแสดงในรูปที่ 5

คำนิยาม 7 ระนาบซึ่งกำหนดระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมไว้นั้นเรียกว่า ประสานงานเครื่องบิน.

บันทึก. แกนแอบซิสซาถูกระบุบนระนาบพิกัดโดยสมการ หรือ= 0 แกนพิกัดถูกกำหนดไว้บนระนาบพิกัดโดยสมการ x = 0.

คำชี้แจง 1. ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดประสานงานเครื่องบิน

คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด 1 (x 1 ;A ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy (รูปที่ 4) มักจะแสดงแทน 1) ขนาดเดียวกัน คำจำกัดความที่ 4 พิกัดของจุด A คือพิกัดของจุด 2 (x 2 ;A ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม Oxy (รูปที่ 4) มักจะแสดงแทน 2)

คำนวณ ตามสูตร

การพิสูจน์ . พิจารณารูปที่ 6

หากคุณวางวงกลมหมายเลขหน่วยบนระนาบพิกัด คุณจะสามารถค้นหาพิกัดของจุดต่างๆ ได้ วงกลมตัวเลขอยู่ในตำแหน่งเพื่อให้ศูนย์กลางตรงกับจุดกำเนิดของระนาบ นั่นคือจุด O (0; 0)

โดยปกติแล้วบนวงกลมหมายเลขหน่วยจะมีการทำเครื่องหมายจุดที่ตรงกับที่มาของวงกลม

• ไตรมาส - 0 หรือ 2π, π/2, π, (2π)/3,
• ตรงกลาง - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• หนึ่งในสามของควอเตอร์ - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6

บนระนาบพิกัด โดยที่ตำแหน่งด้านบนของวงกลมหน่วยอยู่บนนั้น คุณจะพบพิกัดที่สอดคล้องกับจุดเหล่านี้ของวงกลม

พิกัดปลายควอเตอร์หาง่ายมาก ที่จุดที่ 0 ของวงกลม พิกัด x คือ 1 และพิกัด y คือ 0 เราสามารถเขียนแทนได้ว่า A (0) = A (1; 0)

จุดสิ้นสุดของไตรมาสแรกจะอยู่บนแกน y บวก ดังนั้น B (π/2) = B (0; 1)

จุดสิ้นสุดของควอเตอร์ที่สองอยู่บนครึ่งแกนลบ: C (π) = C (-1; 0)

สิ้นสุดควอเตอร์ที่สาม: D ((2π)/3) = D (0; -1)

แต่จะหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของไตรมาสได้อย่างไร? พวกเขาสร้างขึ้นเพื่อสิ่งนี้ สามเหลี่ยมมุมฉาก- ด้านตรงข้ามมุมฉากคือส่วนจากจุดศูนย์กลางของวงกลม (หรือจุดกำเนิด) ไปยังจุดกึ่งกลางของวงกลมในสี่ส่วน นี่คือรัศมีของวงกลม เนื่องจากมีวงกลมหนึ่งหน่วย ด้านตรงข้ามมุมฉากจึงเท่ากับ 1 จากนั้น ให้วาดเส้นตั้งฉากจากจุดบนวงกลมไปยังแกนใดๆ ให้มันเป็นไปทางแกน x ผลลัพธ์ที่ได้คือสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งความยาวของขาเป็นพิกัด x และ y ของจุดบนวงกลม

วงกลมหนึ่งในสี่คือ90° และครึ่งในสี่คือ45° เนื่องจากด้านตรงข้ามมุมฉากถูกลากไปที่จุดกึ่งกลางของจตุภาค มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาที่ยื่นออกมาจากจุดกำเนิดคือ 45° แต่ผลรวมของมุมของสามเหลี่ยมใดๆ ก็คือ 180° ดังนั้น มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาอีกข้างจึงยังคงอยู่ที่ 45° ผลลัพธ์ที่ได้คือสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว

จากทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราได้สมการ x 2 + y 2 = 1 2 เนื่องจาก x = y และ 1 2 = 1 สมการจึงลดรูปลงเหลือ x 2 + x 2 = 1 เมื่อแก้โจทย์แล้ว เราจะได้ x = √½ = 1/√2 = √2/2

ดังนั้น พิกัดของจุด M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2)

ในพิกัดของจุดกึ่งกลางของไตรมาสอื่น ๆ เฉพาะสัญญาณเท่านั้นที่จะเปลี่ยนไปและโมดูลของค่าจะยังคงเหมือนเดิมเนื่องจากสามเหลี่ยมมุมฉากจะพลิกกลับเท่านั้น เราได้รับ:
ม 2 ((3π)/4) = ม 2 (-√2/2; √2/2)
ม 3 ((5π)/4) = ม 3 (-√2/2; -√2/2)
ม 4 ((7π)/4) = ม 4 (√2/2; -√2/2)

เมื่อกำหนดพิกัดของส่วนที่สามของไตรมาสของวงกลม จะมีการสร้างรูปสามเหลี่ยมมุมฉากด้วย หากเราหาจุด π/6 แล้ววาดตั้งฉากกับแกน x มุมระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาที่วางอยู่บนแกน x จะเป็น 30 องศา เป็นที่ทราบกันว่าขาที่วางตรงข้ามกับมุม 30 องศา เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก หมายความว่าเราเจอพิกัด y แล้ว มันเท่ากับ ½

เมื่อทราบความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาข้างหนึ่ง โดยใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราจะพบขาอีกข้างหนึ่ง:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

ดังนั้น T 1 (π/6) = T 1 (√3/2; ½)

สำหรับจุดหนึ่งในสามส่วนที่สองของควอเตอร์แรก (π/3) ควรวาดตั้งฉากกับแกนกับแกน y จากนั้นมุมที่จุดกำเนิดก็จะเป็น 30 องศาเช่นกัน โดยพิกัด x จะเท่ากับ ½ และ y ตามลำดับ √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2)

สำหรับจุดอื่นๆ ของควอเตอร์ที่ 3 เครื่องหมายและลำดับของค่าพิกัดจะเปลี่ยนไป ทุกจุดที่อยู่ใกล้กับแกน x จะมีค่าพิกัดโมดูลัส x เท่ากับ √3/2 จุดเหล่านั้นที่อยู่ใกล้กับแกน y จะมีค่าโมดูลัส y เท่ากับ √3/2
ต 3 ((2π)/3) = ต 3 (-½; √3/2)
ต 4 ((5π)/6) = ต 4 (-√3/2; ½)
ต 5 ((7π)/6) = ต 5 (-√3/2; -½)
ต 6 ((4π)/3) = ต 6 (-½; -√3/2)
ต 7 ((5π)/3) = ต 7 (½; -√3/2)
ต 8 ((11π)/6) = ต 8 (√3/2; -½)

เส้นรอบวงคือเซตของจุดบนระนาบที่มีระยะห่างเท่ากันจากจุดที่กำหนดที่เรียกว่าจุดศูนย์กลาง

ถ้าจุด C เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลม R คือรัศมีของมัน และ M เป็นจุดใดก็ได้บนวงกลม จากนั้นตามคำจำกัดความของวงกลม

ความเท่าเทียมกัน (1) คือ สมการของวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C

ให้ระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม (รูปที่ 104) และจุด C( ก; ข) เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมรัศมี R ให้ M( เอ็กซ์; ที่) เป็นจุดใดก็ได้ของวงกลมนี้

ตั้งแต่ |SM| = \(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) จากนั้นสมการ (1) สามารถเขียนได้ดังนี้:

\(\sqrt((x - a)^2 + (y - b)^2) \) = R

(เอ็กซ์เอ) 2 + (ย - ข) 2 = ร 2 (2)

สมการ (2) เรียกว่า สมการทั่วไปวงกลมหรือสมการของวงกลมรัศมี R โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( ก; ข- ตัวอย่างเช่นสมการ

(x - ล) 2 + ( หรือ + 3) 2 = 25

คือสมการของวงกลมรัศมี R = 5 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (1; -3)

หากจุดศูนย์กลางของวงกลมตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด สมการ (2) จะอยู่ในรูปแบบ

x 2 + ที่ 2 = ร 2 . (3)

สมการ (3) เรียกว่า สมการบัญญัติของวงกลม .

ภารกิจที่ 1เขียนสมการของวงกลมรัศมี R = 7 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

โดยการแทนที่ค่ารัศมีโดยตรงลงในสมการ (3) ที่เราได้รับ

x 2 + ที่ 2 = 49.

ภารกิจที่ 2เขียนสมการของวงกลมรัศมี R = 9 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(3; -6)

เราได้รับค่าของพิกัดของจุด C และค่ารัศมีเป็นสูตร (2)

(เอ็กซ์ - 3) 2 + (ที่- (-6)) 2 = 81 หรือ ( เอ็กซ์ - 3) 2 + (ที่ + 6) 2 = 81.

ภารกิจที่ 3ค้นหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของวงกลม

(เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่-5) 2 =100.

เมื่อเปรียบเทียบสมการนี้กับสมการทั่วไปของวงกลม (2) เราจะเห็นว่า ก = -3, ข= 5, R = 10 ดังนั้น C(-3; 5), R = 10

ภารกิจที่ 4พิสูจน์ว่าสมการ

x 2 + ที่ 2 + 4เอ็กซ์ - 2หรือ - 4 = 0

คือสมการของวงกลม ค้นหาจุดศูนย์กลางและรัศมีของมัน

ลองแปลงด้านซ้ายของสมการนี้:

x 2 + 4เอ็กซ์ + 4- 4 + ที่ 2 - 2ที่ +1-1-4 = 0

(เอ็กซ์ + 2) 2 + (ที่ - 1) 2 = 9.

สมการนี้คือสมการของวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่ (-2; 1); รัศมีของวงกลมคือ 3

ภารกิจที่ 5เขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด C(-1; -1) แทนเจนต์กับเส้น AB ถ้า A (2; -1), B(- 1; 3)

ลองเขียนสมการของเส้น AB:

หรือ 4 เอ็กซ์ + 3หรือ-5 = 0.

เนื่องจากวงกลมสัมผัสกับเส้นที่กำหนด รัศมีที่ลากไปยังจุดสัมผัสจึงตั้งฉากกับเส้นนี้ ในการหารัศมี คุณต้องหาระยะทางจากจุด C(-1; -1) - จุดศูนย์กลางของวงกลมถึงเส้นตรง 4 เอ็กซ์ + 3หรือ-5 = 0:

เรามาเขียนสมการของวงกลมที่ต้องการกัน

(x +1) 2 + (หรือ +1) 2 = 144 / 25

ให้วงกลมอยู่ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม x 2 + ที่ 2 = ร 2 . พิจารณาจุดใดก็ได้ M( เอ็กซ์; ที่) (รูปที่ 105)

ปล่อยให้เวกเตอร์รัศมี โอม> จุด M สร้างมุมขนาด ทีโดยมีทิศทางบวกของแกน O เอ็กซ์จากนั้น abscissa และลำดับของจุด M จะเปลี่ยนไปตาม ที

(0 ที x และ y ผ่าน ทีเราพบ

x= อาร์คอส ที ; หรือ= บาป ที , 0 ที

สมการ (4) ถูกเรียก สมการพาราเมตริกของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด.

ภารกิจที่ 6วงกลมได้มาจากสมการ

x= \(\sqrt(3)\)คอส ที, หรือ= \(\sqrt(3)\)บาป ที, 0 ที

เขียนลงไป สมการบัญญัติวงกลมนี้

มันเป็นไปตามเงื่อนไข x 2 = 3 คอส 2 ที, ที่ 2 = 3 บาป 2 ที- เมื่อบวกความเท่าเทียมกันเหล่านี้ทีละเทอม เราจะได้

x 2 + ที่ 2 = 3(คอส 2 ที+ บาป 2 ที)

หรือ x 2 + ที่ 2 = 3

วัตถุประสงค์ของบทเรียน:แนะนำสมการของวงกลม สอนให้นักเรียนเขียนสมการของวงกลมโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป และสร้างวงกลมโดยใช้สมการที่กำหนด

อุปกรณ์: ไวท์บอร์ดแบบโต้ตอบ

แผนการสอน:

1. ช่วงเวลาขององค์กร – ​​3 นาที
2. การทำซ้ำ องค์กร กิจกรรมทางจิต– 7 นาที
3. คำอธิบายของวัสดุใหม่ การหาสมการของวงกลม – 10 นาที
4. การรวมเนื้อหาที่ศึกษา – 20 นาที
5. สรุปบทเรียน – 5 นาที

ความคืบหน้าของบทเรียน

2. การทำซ้ำ:

− (ภาคผนวก 1 สไลด์ 2) เขียนสูตรเพื่อค้นหาพิกัดของจุดกึ่งกลางของส่วน

− (สไลด์ 3) Zเขียนสูตรระยะห่างระหว่างจุด (ความยาวของส่วน)

3. คำอธิบายเนื้อหาใหม่

(สไลด์ที่ 4 – 6)กำหนดสมการของวงกลม หาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( ก;ข) และมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

(เอ็กซ์ – ก ) 2 + (ที่ – ข ) 2 = ร 2 – สมการของวงกลมกับจุดศูนย์กลาง กับ (ก;ข) , รัศมี ร , เอ็กซ์ และ ที่ – พิกัดของจุดใดก็ได้บนวงกลม .

เอ็กซ์ 2 + ย 2 = ร 2 – สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด

(สไลด์ 7)

ในการสร้างสมการของวงกลม คุณต้อง:

• รู้พิกัดของศูนย์
• รู้ความยาวของรัศมี
• แทนพิกัดของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีลงในสมการของวงกลม

4. การแก้ปัญหา

ในงานหมายเลข 1 - หมายเลข 6 ให้เขียนสมการของวงกลมโดยใช้ภาพวาดสำเร็จรูป

(สไลด์ 14)

№ 7. กรอกตาราง

(สไลด์ 15)

№ 8. สร้างวงกลมในสมุดบันทึกของคุณตามสมการ:

ก) ( เอ็กซ์ – 5) 2 + (ที่ + 3) 2 = 36;
ข) (เอ็กซ์ + 1) 2 + (ที่– 7) 2 = 7 2 .

(สไลด์ 16)

№ 9. ค้นหาพิกัดของจุดศูนย์กลางและความยาวของรัศมีถ้า เอบี– เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

ที่ให้ไว้:		สารละลาย:
		ร	พิกัดกลาง
1	ก(0 ; -6) ใน(0 ; 2)	เอบี 2 = (0 – 0) 2 + (2 + 6) 2 ; เอบี 2 = 64; เอบี = 8 .	ก(0; -6) ใน(0 ; 2) กับ(0 ; – 2) – ศูนย์
2	ก(-2 ; 0) ใน(4 ; 0)	เอบี 2 = (4 + 2) 2 + (0 + 0) 2 ; เอบี 2 = 36; เอบี = 6.	ก (-2;0) ใน (4 ;0) กับ(1 ; 0) – ศูนย์

(สไลด์ 17)

№ 10. เขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและผ่านจุดนั้น ถึง(-12;5).

สารละลาย.

ร 2 = ตกลง 2 = (0 + 12) 2 + (0 – 5) 2 = 144 + 25 = 169;
ร= 13;

สมการของวงกลม: x 2 + y 2 = 169 .

(สไลด์ 18)

№ 11. เขียนสมการของวงกลมที่ผ่านจุดกำเนิดและมีศูนย์กลางอยู่ที่ กับ(3; - 1).

สารละลาย.

R2= ระบบปฏิบัติการ 2 = (3 – 0) 2 + (–1–0) 2 = 9 + 1 = 10;

สมการของวงกลม: ( เอ็กซ์ - 3) 2 + (ใช่ + 1) 2 = 10.

(สไลด์ 19)

№ 12. เขียนสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลาง ก(3;2) ผ่านไป ใน(7;5).

สารละลาย.

1. จุดศูนย์กลางวงกลม – ก(3;2);
2.ร = เอบี;
เอบี 2 = (7 – 3) 2 + (5 – 2) 2 = 25; เอบี = 5;
3. สมการของวงกลม ( เอ็กซ์ – 3) 2 + (ที่ − 2) 2 = 25.

(สไลด์ 20)

№ 13. ตรวจสอบว่าจุดอยู่หรือไม่ ก(1; -1), ใน(0;8), กับ(-3; -1) บนวงกลมที่กำหนดโดยสมการ ( เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

สารละลาย.

ฉัน- ลองแทนพิกัดของจุดดู ก(1; -1) ลงในสมการของวงกลม:

(1 + 3) 2 + (−1 − 4) 2 = 25;
4 2 + (−5) 2 = 25;
16 + 25 = 25;
41 = 25 – ความเท่าเทียมกันเป็นเท็จ ซึ่งหมายความว่า ก(1; -1) ไม่โกหกบนวงกลมที่กำหนดโดยสมการ ( เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

ครั้งที่สอง- ลองแทนพิกัดของจุดดู ใน(0;8) ลงในสมการของวงกลม:

(0 + 3) 2 + (8 − 4) 2 = 25;
3 2 + 4 2 = 25;
9 + 16 = 25;
ใน(0;8)คำโกหก เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

III.ลองแทนพิกัดของจุดดู กับ(-3; -1) ลงในสมการของวงกลม:

(−3 + 3) 2 + (−1− 4) 2 = 25;
0 2 + (−5) 2 = 25;
25 = 25 – ความเท่าเทียมกันเป็นจริง ซึ่งหมายความว่า กับ(-3; -1) คำโกหกบนวงกลมที่กำหนดโดยสมการ ( เอ็กซ์ + 3) 2 + (ที่ − 4) 2 = 25.

สรุปบทเรียน

1. ทำซ้ำ: สมการของวงกลม สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด
2. (สไลด์ 21)การบ้าน.