มุมระหว่างสูตรเวกเตอร์ ผลคูณดอทของเวกเตอร์

ส่วน: คณิตศาสตร์

ประเภทของบทเรียน: การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

งานด้านการศึกษา:

– หาสูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

– พัฒนาทักษะในการประยุกต์เวกเตอร์เพื่อแก้ปัญหาอย่างต่อเนื่อง

– พัฒนาความสนใจในวิชาคณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่องผ่านการแก้ปัญหา

– ปลูกฝังทัศนคติที่มีสติต่อกระบวนการเรียนรู้ ปลูกฝังความรับผิดชอบต่อคุณภาพของความรู้ ฝึกการควบคุมตนเองเหนือกระบวนการแก้ไขและออกแบบแบบฝึกหัด

จัดให้มีชั้นเรียน:

– ตาราง “เวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ”;

– บัตรงานสำหรับการซักถามรายบุคคล

– การ์ดงานสำหรับ ทดสอบงาน;

- เครื่องคิดเลขขนาดเล็ก

นักเรียนจะต้องรู้:

– สูตรคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

นักเรียนจะต้องสามารถ:

– ใช้ความรู้ที่ได้รับในการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ เรขาคณิต และประยุกต์

แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้ของนักเรียน

ครูรายงานว่าวันนี้นักเรียนในชั้นเรียนจะได้เรียนรู้การคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์และนำความรู้ที่ได้รับมาประยุกต์ใช้เพื่อแก้ปัญหา กลศาสตร์ทางเทคนิคและฟิสิกส์ ปัญหาส่วนใหญ่ในสาขาวิชา “กลศาสตร์ทางเทคนิค” ได้รับการแก้ไขโดยวิธีเวกเตอร์ ดังนั้นเมื่อศึกษาหัวข้อ "ระบบระนาบของการบรรจบกันของแรง", "การค้นหาผลลัพธ์ของแรงทั้งสอง" จึงใช้สูตรในการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

ความคืบหน้าของบทเรียน
I. ช่วงเวลาขององค์กร

ครั้งที่สอง ตรวจการบ้าน.

ก) แบบสำรวจส่วนบุคคลโดยใช้บัตร

การ์ด 1.

1. เขียนคุณสมบัติของการบวกเวกเตอร์สองตัว

2.ราคาเท่าไร มเวกเตอร์และ พวกเขาจะเรียงกันไหม?

การ์ด 2.

1. ผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลขเรียกว่าอะไร?

2. เป็นเวกเตอร์และ ?

การ์ด 3.

1. กำหนดคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัว

2. ความยาวของเวกเตอร์และค่าเท่าใด พวกเขาจะเท่ากันไหม?

การ์ด 4.

1. เขียนสูตรสำหรับคำนวณพิกัดเวกเตอร์และความยาวเวกเตอร์?

2. เป็นเวกเตอร์และ ?

b) คำถามสำหรับการสำรวจหน้าผาก:

การกระทำใดที่สามารถทำได้กับเวกเตอร์ตามพิกัดของมัน?
เวกเตอร์ใดที่เรียกว่าคอลลิเนียร์?
เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตี้ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว?
การกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์?
คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่เป็นศูนย์สองตัว?
เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับเวกเตอร์สองตัวที่จะตั้งฉากกัน?
ความหมายทางกายภาพของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวคืออะไร?
เขียนสูตรสำหรับคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์สองตัวผ่านพิกัดบนระนาบและในอวกาศ
เขียนสูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ

III. การเรียนรู้เนื้อหาใหม่

ก) ขอให้เราได้สูตรสำหรับคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบและในอวกาศ ตามคำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัว:

เพราะ

ดังนั้น ถ้า และ แล้ว

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ และเท่ากับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้หารด้วยผลคูณของความยาว หากระบุเวกเตอร์ในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์จะถูกคำนวณโดยสูตร:

= (x 1 ; ปี 1); = (x 2 ; ปี 2)

คอส=

ในอวกาศ: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ; z 2)

คอส=

แก้ไขปัญหา:

ภารกิจที่ 1:ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ = (1; -2), = (-3; 1)

อาร์คคอส = 135°

ภารกิจที่ 2:ในรูปสามเหลี่ยม ABC จงหาขนาดของมุม B ถ้า

เอ (0; 5; 0), บี (4; 3; -8), ค (-1; -3; -6)

คอส= =

ภารกิจที่ 3:ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และถ้า A (1; 6)

บี (1; 0), ซี (-2; 3)

คอส= = = –

IV. การประยุกต์ใช้ความรู้ในการแก้ปัญหาทั่วไป

งานของตัวละครเชิงวิเคราะห์

กำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์และถ้า A (1; -3; -4)

บี (-1; 0; 2), ค (2; -4; -6), ง (1; 1; 1)

ค้นหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ถ้า , = 30°

ความยาวเวกเตอร์และค่าใด พวกเขาจะเท่ากันไหม?

คำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์และ

คำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างโดยใช้เวกเตอร์

และ .

งานที่ประยุกต์

ค้นหาผลลัพธ์ของแรงสองแรง 1 และ 2 ถ้า = 5H; = 7H มุมระหว่างพวกมัน = 60°

° + .

คำนวณงานที่ทำโดยใช้แรง = (6; 2) หากจุดใช้งานเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงย้ายจากตำแหน่ง A (-1; 3) ไปยังตำแหน่ง B (3; 4)

กำหนดให้เป็นความเร็วของจุดวัตถุ และให้เป็นแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้น กำลังที่พัฒนาโดยแรงจะเป็นเท่าใด ถ้า = 5H, = 3.5 m/s;

วี. สรุปบทเรียน.

ปกเกล้าเจ้าอยู่หัว การบ้าน:

จี.เอ็น. Yakovlev, เรขาคณิต, §22, ย่อหน้า 3, p. 191

หมายเลข 5.22, หมายเลข 5.27, น. 192.

ความยาวของเวกเตอร์ มุมระหว่างเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้นำไปใช้ได้ตามธรรมชาติและใช้งานง่ายเมื่อกำหนดเวกเตอร์ให้เป็นส่วนหนึ่งของทิศทางที่แน่นอน ด้านล่างนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ โคไซน์ และพิจารณาทฤษฎีพร้อมตัวอย่าง

ยานเดกซ์ RTB R-A-339285-1

ในการพิจารณาแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์ มาดูภาพประกอบกราฟิกกัน: ลองนิยามเวกเตอร์ a → และ b → สองตัวบนระนาบหรือในปริภูมิสามมิติซึ่งไม่เป็นศูนย์ ขอให้เรากำหนดจุดที่ต้องการ O และพล็อตเวกเตอร์ O A → = b → และ O B → = b → จากนั้น

คำจำกัดความ 1

มุมระหว่างเวกเตอร์ a → และ b → คือมุมระหว่างรังสี O A และ O B

เราจะแสดงมุมผลลัพธ์ดังนี้: a → , b → ^

แน่นอนว่ามุมสามารถรับค่าได้ตั้งแต่ 0 ถึง π หรือตั้งแต่ 0 ถึง 180 องศา

a → , b → ^ = 0 เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางร่วม และ a → , b → ^ = π เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม

คำจำกัดความ 2

เวกเตอร์ถูกเรียกว่า ตั้งฉากถ้ามุมระหว่างพวกมันคือ 90 องศาหรือ π 2 เรเดียน

ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ มุม a → , b → ^ จะไม่ถูกกำหนด

โคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวและมุมนั้นเอง สามารถกำหนดได้โดยใช้ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ หรือใช้ทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับรูปสามเหลี่ยมที่สร้างจากเวกเตอร์ที่กำหนดสองตัว

ตามคำจำกัดความ ผลคูณสเกลาร์คือ a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^

ถ้า เวกเตอร์ที่กำหนด a → และ b → ไม่ใช่ศูนย์ จากนั้นเราสามารถหารด้านขวาและด้านซ้ายของความเท่าเทียมกันด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ จึงได้สูตรสำหรับการค้นหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์:

เพราะ → , b → ^ = a → , b → a → b →

สูตรนี้ใช้เมื่อข้อมูลต้นฉบับรวมความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเริ่มต้น: เวกเตอร์ a → และ b → ความยาวคือ 3 และ 6 ตามลำดับ และผลิตภัณฑ์สเกลาร์คือ - 9 จำเป็นต้องคำนวณโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์และค้นหามุมนั้นเอง

สารละลาย

ข้อมูลเริ่มต้นเพียงพอที่จะใช้สูตรที่ได้รับข้างต้นแล้ว cos → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

ทีนี้ลองหามุมระหว่างเวกเตอร์: a → , b → ^ = a rc cos (- 1 2) = 3 π 4

คำตอบ: cos → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

บ่อยครั้งที่มีปัญหาในการระบุเวกเตอร์ด้วยพิกัดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ในกรณีเช่นนี้จำเป็นต้องใช้สูตรเดียวกันแต่อยู่ในรูปแบบพิกัด

ความยาวของเวกเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน และผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์จะเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกัน จากนั้นสูตรในการค้นหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบ a → = (a x , a y) , b → = (b x , by) มีลักษณะดังนี้:

เพราะ → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

และสูตรการหาโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) จะมีลักษณะดังนี้: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · by + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + by 2 + b z 2

ตัวอย่างที่ 2

ข้อมูลเริ่มต้น: เวกเตอร์ a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จำเป็นต้องกำหนดมุมระหว่างกัน

สารละลาย

เพื่อแก้ปัญหา เราสามารถใช้สูตรได้ทันที:

เพราะ → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a rc cos (- 1 70) = - a rc cos 1 70

คุณยังสามารถกำหนดมุมโดยใช้สูตร:

เพราะ → , ข → ^ = (ก → , ข →) ก → ข → ,

แต่ก่อนอื่นให้คำนวณความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ด้วยพิกัด: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a rc cos 1 70

คำตอบ: a → , b → ^ = - a rc cos 1 70

งานทั่วไปอีกอย่างคืองานเมื่อมีการกำหนดพิกัดของจุดสามจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยมและจำเป็นต้องกำหนดมุม จากนั้น เพื่อที่จะกำหนดมุมระหว่างเวกเตอร์กับพิกัดของจุดที่กำหนด จำเป็นต้องคำนวณพิกัดของเวกเตอร์ให้เป็นผลต่างระหว่างจุดที่สอดคล้องกันของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น: จุด A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) ถูกกำหนดไว้บนระนาบในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม จำเป็นต้องกำหนดโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ A C → และ B C →

สารละลาย

ลองหาพิกัดของเวกเตอร์จากพิกัดของจุดที่กำหนด AC → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

ตอนนี้เราใช้สูตรเพื่อกำหนดโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์บนระนาบในพิกัด: cos AC → , B C → ^ = (AC → , B C →) AC → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

คำตอบ: cos AC → , B C → ^ = 3 13

มุมระหว่างเวกเตอร์สามารถกำหนดได้โดยใช้ทฤษฎีบทโคไซน์ ให้เรากันเวกเตอร์ O A → = a → และ O B → = b → จากจุด O จากนั้นตามทฤษฎีบทโคไซน์ในรูปสามเหลี่ยม O A B ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

ซึ่งเทียบเท่ากับ:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

และจากตรงนี้เราได้สูตรสำหรับโคไซน์ของมุม:

cos (ก → , ข →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

ในการใช้สูตรผลลัพธ์ เราจำเป็นต้องมีความยาวของเวกเตอร์ ซึ่งสามารถกำหนดได้ง่ายจากพิกัดของพวกมัน

แม้ว่าวิธีนี้จะเกิดขึ้น แต่สูตรก็ยังคงใช้บ่อยกว่า:

cos (ก → , ข →) ^ = a → , b → a → b →

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว , :

หากมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวเป็นแบบเฉียบพลัน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์นั้นจะเป็นบวก ถ้ามุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์เหล่านี้จะเป็นลบ สินค้าดอทเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวจะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากเท่านั้น

ออกกำลังกาย.ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์และ

สารละลาย.โคไซน์ของมุมที่ต้องการ

16. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง เส้นตรง และระนาบ

มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบซึ่งตัดเส้นนี้และไม่ตั้งฉากกับมัน คือมุมระหว่างเส้นตรงกับเส้นโครงบนระนาบนี้

การกำหนดมุมระหว่างเส้นตรงและระนาบช่วยให้เราสรุปได้ว่ามุมระหว่างเส้นตรงและระนาบคือมุมระหว่างเส้นตัดกันสองเส้น: เส้นตรงและเส้นโครงบนเครื่องบิน ดังนั้น มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบจึงเป็นมุมแหลม

มุมระหว่างเส้นตรงตั้งฉากกับระนาบถือว่าเท่ากับ และมุมระหว่างเส้นตรงขนานกับระนาบไม่ได้ถูกกำหนดเลยหรือถือว่าเท่ากับ

§ 69. การคำนวณมุมระหว่างเส้นตรง

ปัญหาในการคำนวณมุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศได้รับการแก้ไขในลักษณะเดียวกับบนเครื่องบิน (§ 32) ให้เราแสดงด้วย φ ขนาดของมุมระหว่างเส้น ล 1 และ ล 2 และถึง ψ - ขนาดของมุมระหว่างเวกเตอร์ทิศทาง ก และ ข เส้นตรงเหล่านี้

แล้วถ้า

ψ 90° (รูปที่ 206.6) จากนั้น φ = 180° - ψ แน่นอน ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน cos φ = |cos ψ| เป็นจริง ตามสูตร (1) § 20 เรามี

เพราะฉะนั้น,

ให้เส้นตรงถูกกำหนดโดยสมการบัญญัติของมัน

จากนั้นมุม φ ระหว่างเส้นจะถูกกำหนดโดยใช้สูตร

หากเส้นใดเส้นหนึ่ง (หรือทั้งสองเส้น) ถูกกำหนดโดยสมการที่ไม่ใช่แบบบัญญัติ คุณจะต้องคำนวณมุมโดยต้องหาพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นเหล่านี้ จากนั้นใช้สูตร (1)

17. เส้นขนาน ทฤษฎีบทเกี่ยวกับเส้นขนาน

คำนิยาม.เรียกว่าสองบรรทัดในเครื่องบิน ขนานหากไม่มีจุดร่วม

เส้นสองเส้นในอวกาศสามมิติเรียกว่า ขนานหากอยู่ในระนาบเดียวกันและไม่มีจุดร่วม

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัว

จากคำจำกัดความของดอทโปรดัค:

เงื่อนไขสำหรับความตั้งฉากของเวกเตอร์สองตัว:

เงื่อนไขสำหรับการคอลลิเนียริตีของเวกเตอร์สองตัว:

ตามมาจากคำจำกัดความที่ 5 - . แท้จริงแล้ว จากนิยามผลคูณของเวกเตอร์และตัวเลข เป็นไปตามนั้น ดังนั้นตามกฎความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราจึงเขียน , , ซึ่งบอกเป็นนัย - แต่เวกเตอร์ที่เกิดจากการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นอยู่ในแนวเดียวกับเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์ลงบนเวกเตอร์:

ตัวอย่างที่ 4- ให้คะแนน , , , .

ค้นหาผลคูณดอท

สารละลาย- เราพบว่าใช้สูตรสำหรับผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัด เนื่องจาก

, ,

ตัวอย่างที่ 5ให้คะแนน , , , .

ค้นหาการฉายภาพ

สารละลาย- เนื่องจาก

, ,

ตามสูตรการฉายภาพเรามี

ตัวอย่างที่ 6ให้คะแนน , , , .

จงหามุมระหว่างเวกเตอร์กับ

สารละลาย- โปรดทราบว่าเวกเตอร์

, ,

ไม่เป็นเส้นตรงเนื่องจากพิกัดไม่สมส่วน:

เวกเตอร์เหล่านี้ไม่ได้ตั้งฉากกัน เนื่องจากผลคูณสเกลาร์ของพวกมันคือ

มาหากัน.

มุม เราหาได้จากสูตร:

ตัวอย่างที่ 7กำหนดว่าเวกเตอร์และอะไร คอลลิเนียร์

สารละลาย- ในกรณีของความเป็นเส้นตรง พิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ และต้องเป็นสัดส่วน กล่าวคือ

ดังนั้นและ.

ตัวอย่างที่ 8- จงพิจารณาว่าเวกเตอร์มีค่าเท่าใด และ ตั้งฉาก

สารละลาย- เวกเตอร์ และตั้งฉากถ้าผลคูณสเกลาร์เป็นศูนย์ จากเงื่อนไขนี้เราได้รับ: . ดังนั้น, .

ตัวอย่างที่ 9- หา , ถ้า , , .

สารละลาย- เนื่องจากคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ เรามี:

ตัวอย่างที่ 10- ค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์ และ , ที่ไหน และ - เวกเตอร์หน่วยและมุมระหว่างเวกเตอร์ และเท่ากับ 120°

สารละลาย- เรามี: , ,

ในที่สุดเราก็มี: .

5.ข. งานศิลปะของเว็กเตอร์.

คำนิยาม 21.งานศิลปะของเว็กเตอร์เวกเตอร์ต่อเวกเตอร์เรียกว่าเวกเตอร์ หรือกำหนดโดยเงื่อนไขสามประการต่อไปนี้:

1) โมดูลัสของเวกเตอร์เท่ากับ ที่ไหน คือมุมระหว่างเวกเตอร์ และ คือ .

เป็นไปตามนั้นโมดูล ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เป็นตัวเลขเท่ากับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์และทั้งสองด้าน

2) เวกเตอร์ตั้งฉากกับเวกเตอร์แต่ละตัวและ ( ; ) เช่น ตั้งฉากกับระนาบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่สร้างบนเวกเตอร์ และ

3) เวกเตอร์ถูกกำหนดทิศทางในลักษณะที่หากมองจากจุดสิ้นสุด การหมุนที่สั้นที่สุดจากเวกเตอร์หนึ่งไปยังอีกเวกเตอร์จะเป็นทวนเข็มนาฬิกา (เวกเตอร์ , เป็นรูปสามเท่าของมือขวา)

จะคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

เมื่อศึกษาเรขาคณิต มีคำถามมากมายเกิดขึ้นในหัวข้อเวกเตอร์ นักเรียนประสบปัญหาเป็นพิเศษเมื่อจำเป็นต้องค้นหามุมระหว่างเวกเตอร์

เงื่อนไขพื้นฐาน

ก่อนที่จะดูมุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องทำความคุ้นเคยกับคำจำกัดความของเวกเตอร์และแนวคิดเรื่องมุมระหว่างเวกเตอร์ก่อน

เวกเตอร์คือส่วนที่มีทิศทาง ซึ่งก็คือส่วนที่กำหนดจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด

มุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวบนระนาบที่มีจุดกำเนิดร่วมกันคือมุมที่เล็กกว่าตามจำนวนเวกเตอร์ตัวใดตัวหนึ่งที่ต้องเคลื่อนที่ไปรอบจุดร่วมจนกระทั่งทิศทางตรงกัน

สูตรการแก้ปัญหา

เมื่อคุณเข้าใจว่าเวกเตอร์คืออะไรและวิธีกำหนดมุมของเวกเตอร์ คุณก็จะสามารถคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์ได้ สูตรการแก้ปัญหานี้ค่อนข้างง่าย และผลลัพธ์ของการประยุกต์จะเป็นค่าโคไซน์ของมุม ตามคำจำกัดความ มันเท่ากับผลหารของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์ของความยาว

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์คำนวณจากผลรวมของพิกัดที่สอดคล้องกันของเวกเตอร์ตัวประกอบคูณกัน ความยาวของเวกเตอร์หรือโมดูลัสของมันถูกคำนวณดังนี้ รากที่สองจากผลรวมกำลังสองของพิกัดของมัน

เมื่อได้รับค่าโคไซน์ของมุมแล้ว คุณสามารถคำนวณค่าของมุมได้โดยใช้เครื่องคิดเลขหรือใช้ตารางตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง

เมื่อคุณรู้วิธีคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว การแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องจะง่ายและชัดเจน ตัวอย่างเช่น ควรพิจารณาปัญหาง่ายๆ ในการค้นหาค่าของมุม

ก่อนอื่นจะสะดวกกว่าในการคำนวณค่าความยาวของเวกเตอร์และผลิตภัณฑ์สเกลาร์ที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา จากคำอธิบายที่แสดงข้างต้น เราได้รับ:

แทนที่ค่าที่ได้รับลงในสูตรเราคำนวณค่าโคไซน์ของมุมที่ต้องการ:

จำนวนนี้ไม่ใช่หนึ่งในห้าค่าโคไซน์ทั่วไป ดังนั้นเพื่อให้ได้ค่ามุม คุณจะต้องใช้เครื่องคิดเลขหรือตารางตรีโกณมิติของ Bradis แต่ก่อนที่จะได้มุมระหว่างเวกเตอร์ คุณสามารถทำให้สูตรง่ายขึ้นเพื่อกำจัดเครื่องหมายลบส่วนเกิน:

เพื่อรักษาความถูกต้องแม่นยำ คุณสามารถคงคำตอบสุดท้ายไว้ตามเดิม หรือคุณสามารถคำนวณค่าของมุมเป็นองศาได้ ตามตารางแบรดิส ค่าของมันจะอยู่ที่ประมาณ 116 องศา 70 นาที และเครื่องคิดเลขจะแสดงค่า 116.57 องศา

การคำนวณมุมในปริภูมิ n มิติ

เมื่อพิจารณาเวกเตอร์สองตัวในปริภูมิสามมิติ จะยากกว่ามากที่จะเข้าใจว่าเรากำลังพูดถึงมุมไหนหากพวกมันไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน เพื่อให้การรับรู้ง่ายขึ้น คุณสามารถวาดส่วนที่ตัดกันสองส่วนที่สร้างมุมที่เล็กที่สุดระหว่างส่วนเหล่านั้น ซึ่งจะเป็นส่วนที่ต้องการ แม้ว่าจะมีพิกัดที่สามในเวกเตอร์ แต่กระบวนการคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์จะไม่เปลี่ยนแปลง คำนวณผลคูณสเกลาร์และโมดูลัสของเวกเตอร์ โคไซน์ส่วนโค้งของผลหารของพวกมันจะเป็นคำตอบสำหรับปัญหานี้

ในเรขาคณิต มักมีปัญหากับช่องว่างที่มีมากกว่าสามมิติ แต่สำหรับพวกเขาแล้ว อัลกอริธึมในการค้นหาคำตอบก็ดูคล้ายกัน

ความแตกต่างระหว่าง 0 ถึง 180 องศา

ข้อผิดพลาดทั่วไปประการหนึ่งเมื่อเขียนคำตอบของปัญหาที่ออกแบบมาเพื่อคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์คือการตัดสินใจที่จะเขียนว่าเวกเตอร์ขนานกัน นั่นคือมุมที่ต้องการเท่ากับ 0 หรือ 180 องศา คำตอบนี้ไม่ถูกต้อง

เมื่อได้รับค่ามุมเป็น 0 องศาจากการแก้โจทย์แล้ว คำตอบที่ถูกต้องคือกำหนดให้เวกเตอร์เป็นแบบโคไดนามิก นั่นคือ เวกเตอร์จะมีทิศทางเดียวกัน หากได้มุม 180 องศา เวกเตอร์จะมีทิศทางตรงกันข้าม

เวกเตอร์จำเพาะ

เมื่อพบมุมระหว่างเวกเตอร์แล้ว คุณสามารถค้นหาประเภทพิเศษประเภทใดประเภทหนึ่งได้ นอกเหนือจากมุมร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่อธิบายไว้ข้างต้น

เวกเตอร์หลายตัวที่ขนานกับระนาบเดียวเรียกว่าโคพลานาร์
เวกเตอร์ที่มีความยาวและทิศทางเท่ากันเรียกว่าเท่ากัน
เวกเตอร์ที่วางอยู่บนเส้นตรงเดียวกันไม่ว่าจะมีทิศทางใดก็ตาม เรียกว่า คอลลิเนียร์
หากความยาวของเวกเตอร์เป็นศูนย์ นั่นคือจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดตรงกัน จะเรียกว่าศูนย์ และถ้าเป็นหนึ่งก็จะเป็นหน่วย

จะหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้อย่างไร?

โปรดช่วยด้วย! ฉันรู้สูตรแต่คำนวณไม่ได้ ((
เวกเตอร์ ก (8; 10; 4) เวกเตอร์ ข (5; -20; -10)

อเล็กซานเดอร์ ติตอฟ

มุมระหว่างเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดนั้นพบได้โดยใช้อัลกอริธึมมาตรฐาน ก่อนอื่น คุณต้องหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2 เราแทนที่พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ที่นี่แล้วคำนวณ:
(ก,ข) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200
ต่อไป เราจะกำหนดความยาวของเวกเตอร์แต่ละตัว ความยาวหรือโมดูลัสของเวกเตอร์คือรากที่สองของผลรวมของกำลังสองของพิกัด:
|a| = รากของ (x1^2 + y1^2 + z1^2) = รากของ (8^2 + 10^2 + 4^2) = รากของ (64 + 100 + 16) = รากของ 180 = 6 รากของ 5
|ข| = รากของ (x2^2 + y2^2 + z2^2) = รากของ (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = รากของ (25 + 400 + 100) = ราก จาก 525 = 5 รูทจาก 21
เราคูณความยาวเหล่านี้ เราได้ 30 รากจาก 105
และสุดท้าย เราหารผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ด้วยผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้ เราได้ -200/(30 รากของ 105) หรือ
- (4 รากของ 105) / 63 นี่คือโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ และมุมเองก็เท่ากับส่วนโค้งโคไซน์ของเลขนี้
f = ส่วนโค้ง(-4 รากของ 105) / 63
ถ้าฉันนับทุกอย่างถูกต้อง

วิธีการคำนวณไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์

มิคาอิล ทาคาเชฟ

ลองคูณเวกเตอร์พวกนี้กัน ผลคูณสเกลาร์ของพวกมันเท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์เหล่านี้กับโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เหล่านี้
เราไม่ทราบมุม แต่ทราบพิกัดแล้ว
ลองเขียนมันลงไปทางคณิตศาสตร์แบบนี้
ให้เวกเตอร์ a(x1;y1) และ b(x2;y2) มอบให้
แล้ว

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

มาคุยกันเถอะ
a*b-ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ เท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกันของพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้ นั่นคือ เท่ากับ x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-ผลคูณของความยาวเวกเตอร์ เท่ากับ √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

ซึ่งหมายความว่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์เท่ากับ:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

เมื่อรู้โคไซน์ของมุม เราก็สามารถคำนวณไซน์ของมันได้ เรามาหารือกันถึงวิธีการทำสิ่งนี้:

ถ้าโคไซน์ของมุมเป็นบวก มุมนี้จะอยู่ในจตุภาคที่ 1 หรือ 4 ซึ่งหมายความว่าไซน์ของมุมนั้นจะเป็นบวกหรือลบ แต่เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์น้อยกว่าหรือเท่ากับ 180 องศา ไซน์ของมันจึงเป็นบวก เราให้เหตุผลทำนองเดียวกันถ้าโคไซน์เป็นลบ

SinA=√(1-คอส^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( ย2)^2))^2)

แค่นั้นแหละ)))) ขอให้โชคดีในการหามัน)))

มิทรี เลวิชชอฟ

ความจริงที่ว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะทำไซน์โดยตรงนั้นไม่เป็นความจริง
นอกเหนือจากสูตร:
(ก,ข)=|ก|*|b|*cos ก
มีอันนี้ด้วย:
||=|ก|*|b|*บาป ก
นั่นคือ แทนที่จะเป็นผลคูณสเกลาร์ คุณสามารถใช้โมดูลของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ได้

ความรู้และความเข้าใจเกี่ยวกับคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์จะช่วยในการแก้ปัญหาต่างๆ มากมายทั้งในหลักสูตรพีชคณิตและเรขาคณิต บทบาทที่สำคัญเท่าเทียมกันคือมอบให้กับสูตรที่แสดงความสัมพันธ์ระหว่างคุณลักษณะทางคณิตศาสตร์

มุมระหว่างเวกเตอร์ - อธิบายคำศัพท์เฉพาะทาง

เพื่อที่จะกำหนดนิยามของมุมระหว่างเวกเตอร์ จำเป็นต้องค้นหาว่าคำว่า "เวกเตอร์" หมายถึงอะไร แนวคิดนี้แสดงลักษณะของเส้นตรงที่มีจุดเริ่มต้น ความยาว และทิศทาง หากตรงหน้าคุณมี 2 ส่วนที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเดียวกัน ดังนั้นพวกมันจึงก่อตัวเป็นมุม

ที่. คำว่า “มุมระหว่างเวกเตอร์” กำหนดการวัดระดับของมุมที่เล็กที่สุดที่ควรหมุนส่วนที่เป็นทิศทางหนึ่ง (สัมพันธ์กับจุดเริ่มต้น) เพื่อให้ได้ตำแหน่ง/ทิศทางของส่วนที่เป็นทิศทางที่สองของเส้น ข้อความนี้ใช้กับเวกเตอร์ที่เล็ดลอดออกมาจากจุดหนึ่ง

การวัดระดับของมุมระหว่างสองส่วนที่กำกับของเส้นตรงที่มีต้นกำเนิดจากจุดเดียวกันนั้นอยู่ในส่วนที่ตั้งแต่ 0 º มากถึง 180 º. กำหนด มูลค่าที่กำหนดดังที่ ∠(ā,ū) – มุมระหว่างส่วนที่กำกับ ā และ ū

การคำนวณมุมระหว่างเวกเตอร์

การคำนวณการวัดระดับของมุมที่เกิดจากคู่ของส่วนกำกับของเส้นตรงดำเนินการโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

cosφ = (ō,ā) / |ō|·|ā|, ⇒ φ = arccos (cosφ)

∠φ – มุมที่ต้องการระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนด ō และ ā

(ō,ā) – ผลคูณของสเกลาร์ของส่วนที่กำกับของเส้น

|ō|·|ā| – ผลคูณของความยาวของเซกเมนต์กำกับที่กำหนด

การหาผลคูณสเกลาร์ของส่วนกำกับของเส้นตรง

จะใช้สูตรนี้และกำหนดค่าของตัวเศษและส่วนของอัตราส่วนที่นำเสนอได้อย่างไร?

ขึ้นอยู่กับระบบพิกัด (ปริภูมิคาร์ทีเซียนหรือสามมิติ) ซึ่งมีเวกเตอร์ที่กำหนดอยู่ แต่ละเซ็กเมนต์กำกับจะมีพารามิเตอร์ต่อไปนี้:

ō = { โอเอ็กซ์, โอ y ), ā = ( เอ็กซ์, กญ) หรือ

ō = { โอเอ็กซ์, โอย ,โอ้ z ), ā = ( เอ็กซ์, กย , กซ)

ดังนั้นในการค้นหาค่าของตัวเศษ - สเกลาร์ของเซ็กเมนต์ที่กำหนด - คุณควรดำเนินการต่อไปนี้:

(ō,ā) = ō * ā = โอเอ็กซ์* เอ็กซ์+ โอย *ก y ถ้าเวกเตอร์ที่กำลังพิจารณาอยู่บนระนาบ

(ō,ā) = ō * ā = โอเอ็กซ์* เอ็กซ์+ โอย *กใช่ + โอซ* ก z หากส่วนที่กำกับของเส้นนั้นอยู่ในช่องว่าง

การกำหนดความยาวของเวกเตอร์

ความยาวของส่วนควบคุมคำนวณโดยใช้นิพจน์:

|ō| = √ โอ x2+ โอ y 2 หรือ |ō| = โอ x2+ โอย2+ โอซี 2

|อา| = √ ก x 2 + ก y 2 หรือ |ā| = ก x2+ กย2+ กซี 2

ที่. ในกรณีทั่วไปของการวัดแบบ n มิติ นิพจน์สำหรับกำหนดการวัดระดับของมุมระหว่างส่วนที่กำหนด ō = ( โอเอ็กซ์, โอย , …o n) และ ā = ( เอ็กซ์, กย , …กน ) มีลักษณะดังนี้:

φ = ส่วนโค้ง (cosφ) = ส่วนโค้ง (( โอเอ็กซ์* เอ็กซ์+ โอย *กใช่ + … + โอไม่มี* กน)/(√ โอ x2+ โอย 2 + … + โอ n2*√ ก x2+ กย 2 + … + ก n 2))

ตัวอย่างการคำนวณมุมระหว่างส่วนที่กำกับ

ตามเงื่อนไข จะได้เวกเตอร์ ī = (3; 4; 0) และ ū = (4; 4; 2) คืออะไร การวัดระดับมุมที่เกิดจากส่วนเหล่านี้?

กำหนดสเกลาร์ของเวกเตอร์ ī และ ū เมื่อต้องการทำสิ่งนี้:

ผม * คุณ = 3*4 + 4*4 + 0*2 = 28

จากนั้นคำนวณความยาวของส่วนต่างๆ:

|อี| = √9 + 16 + 0 = √25 = 5,

|ū| = √16 + 16 + 4 = √36 = 6

cos (ī,ū) = 28 / 5*6 = 28/30 = 14/15 = 0.9(3)

ใช้ตารางค่าโคไซน์ (Bradis) กำหนดค่าของมุมที่ต้องการ:

cos (ī,ū) = 0.9(3) ⇒ ∠(ī,ū) = 21° 6′

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ (ต่อไปนี้จะเรียกว่า SP) เพื่อนรัก! ข้อสอบคณิตศาสตร์ประกอบด้วยกลุ่มโจทย์เกี่ยวกับการแก้เวกเตอร์ เราได้พิจารณาปัญหาบางอย่างแล้ว คุณสามารถดูได้ในหมวด "เวกเตอร์" โดยทั่วไปทฤษฎีเวกเตอร์นั้นไม่ซับซ้อน สิ่งสำคัญคือต้องศึกษาอย่างสม่ำเสมอ การคำนวณและการดำเนินการกับเวกเตอร์ใน หลักสูตรของโรงเรียนคณิตศาสตร์นั้นง่าย สูตรไม่ซับซ้อน ลองดูที่ ในบทความนี้ เราจะวิเคราะห์ปัญหาเกี่ยวกับ SP ของเวกเตอร์ (รวมอยู่ใน Unified State Examination) ตอนนี้ "การแช่" ในทฤษฎี:

ชม ในการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ คุณต้องลบออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดพิกัดที่สอดคล้องกันของแหล่งกำเนิด

และอีกอย่างหนึ่ง:

*ความยาวเวกเตอร์ (โมดูลัส) ถูกกำหนดดังนี้:

สูตรนี้ต้องจำไว้!!!

ลองแสดงมุมระหว่างเวกเตอร์:

เป็นที่ชัดเจนว่าสามารถเปลี่ยนแปลงได้ตั้งแต่ 0 ถึง 180 0(หรือเป็นเรเดียนตั้งแต่ 0 ถึง Pi)

เราสามารถสรุปบางอย่างเกี่ยวกับสัญลักษณ์ของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ได้ ความยาวของเวกเตอร์มีค่าเป็นบวก ซึ่งเห็นได้ชัด ซึ่งหมายความว่าเครื่องหมายของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ขึ้นอยู่กับค่าโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์

กรณีที่เป็นไปได้:

1. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นแบบเฉียบพลัน (ตั้งแต่ 0 0 ถึง 90 0) โคไซน์ของมุมจะมีค่าบวก

2. หากมุมระหว่างเวกเตอร์เป็นมุมป้าน (ตั้งแต่ 90 0 ถึง 180 0) โคไซน์ของมุมจะมีค่าเป็นลบ

*ที่องศาศูนย์ กล่าวคือ เมื่อเวกเตอร์มีทิศทางเดียวกัน โคไซน์จะเท่ากับ 1 และผลลัพธ์จะเป็นค่าบวกตามลำดับ

ที่ 180 o นั่นคือเมื่อเวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม โคไซน์จะเท่ากับลบ 1และผลลัพธ์จะเป็นลบตามไปด้วย

ตอนนี้เป็นจุดสำคัญ!

ที่ 90 o นั่นคือเมื่อเวกเตอร์ตั้งฉากกัน โคไซน์จะเท่ากับศูนย์ ดังนั้น SP จึงเท่ากับศูนย์ ข้อเท็จจริงนี้ (ผลที่ตามมา ข้อสรุป) ใช้ในการแก้ไขปัญหาต่างๆ ที่เรากำลังพูดถึง ตำแหน่งสัมพัทธ์เวกเตอร์ รวมถึงปัญหาที่รวมอยู่ใน เปิดธนาคารงานคณิตศาสตร์

ขอให้เรากำหนดคำสั่ง: ผลคูณสเกลาร์จะเท่ากับศูนย์ก็ต่อเมื่อเวกเตอร์เหล่านี้อยู่บนเส้นตั้งฉาก

ดังนั้น สูตรสำหรับเวกเตอร์ SP:

หากทราบพิกัดของเวกเตอร์หรือพิกัดของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด เราสามารถหามุมระหว่างเวกเตอร์ได้เสมอ:

พิจารณางาน:

27724 จงหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ a และ b

เราสามารถหาผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ได้โดยใช้สูตรใดสูตรหนึ่งในสองสูตร:

ไม่ทราบมุมระหว่างเวกเตอร์ แต่เราสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ได้อย่างง่ายดาย จากนั้นใช้สูตรแรก เนื่องจากจุดกำเนิดของเวกเตอร์ทั้งสองตรงกับจุดกำเนิดของพิกัด พิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จะเท่ากับพิกัดของจุดสิ้นสุด นั่นคือ