รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน บรรยายในหัวข้อ “รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน” รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนแก้จำนวนเชิงซ้อน

2.3. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ให้ระบุเวกเตอร์บนระนาบเชิงซ้อนด้วยตัวเลข

ให้เราแสดงด้วย φ มุมระหว่าง Ox ครึ่งแกนบวกและเวกเตอร์ (มุม φ จะถือว่าเป็นบวกหากวัดทวนเข็มนาฬิกาและเป็นลบ)

ให้เราแสดงความยาวของเวกเตอร์ด้วย r แล้ว . เรายังแสดงถึง

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์ z ในรูปแบบ

เรียกว่ารูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน z จำนวน r เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน z และจำนวน φ เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนนี้ และเขียนแทนด้วย Arg z

รูปแบบตรีโกณมิติของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน - (สูตรของออยเลอร์) - รูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน:

จำนวนเชิงซ้อน z มีจำนวนอาร์กิวเมนต์มากมายไม่สิ้นสุด: หาก φ0 เป็นอาร์กิวเมนต์ใดๆ ของจำนวน z ก็สามารถหาอาร์กิวเมนต์อื่นๆ ทั้งหมดได้โดยใช้สูตร

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน อาร์กิวเมนต์และรูปแบบตรีโกณมิติไม่ได้ถูกกำหนดไว้

ดังนั้น อาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์จึงเป็นคำตอบใดๆ ของระบบสมการได้

(3)

ค่า φ ของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน z ซึ่งเป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกันเรียกว่าค่าหลักและเขียนแทนด้วย arg z

อาร์กิวเมนต์ Arg z และ arg z เกี่ยวข้องกันโดย

, (4)

สูตร (5) เป็นผลมาจากระบบ (3) ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ทั้งหมดของจำนวนเชิงซ้อนจึงเป็นไปตามความเท่าเทียมกัน (5) แต่ไม่ใช่ทุกคำตอบ φ ของสมการ (5) จะเป็นอาร์กิวเมนต์ของจำนวน z

ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่ใช่ศูนย์พบได้ตามสูตร:

สูตรการคูณและหารจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติมีดังนี้

. (7)

เมื่อเพิ่มจำนวนเชิงซ้อนเป็นพลังธรรมชาติ จะใช้สูตร Moivre:

เมื่อแยกรากของจำนวนเชิงซ้อน จะใช้สูตร:

, (9)

โดยที่ k=0, 1, 2, …, n-1

ปัญหาที่ 54. คำนวณที่ไหน .

ให้เรานำเสนอวิธีแก้ปัญหาสำหรับนิพจน์นี้ในรูปแบบเลขชี้กำลังของการเขียนจำนวนเชิงซ้อน: .

ถ้าอย่างนั้น.

แล้ว , - ดังนั้นแล้ว และ , ที่ไหน .

คำตอบ: , ที่ .

ปัญหาที่ 55. เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ:

ก) ; ข) ; วี) ; ช) ; ง) ; จ) - และ) .

เนื่องจากรูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อนคือ ดังนั้น:

ก) ในจำนวนเชิงซ้อน: .

นั่นเป็นเหตุผล

ข) , ที่ไหน ,

ช) , ที่ไหน ,

จ) .

และ) , ก , ที่ .

นั่นเป็นเหตุผล

คำตอบ: ; 4; ; ; ; ; .

ปัญหาที่ 56 ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

อนุญาต .

แล้ว , , .

ตั้งแต่และ , , จากนั้น และ

ดังนั้น ดังนั้น

คำตอบ: , ที่ไหน .

ปัญหาที่ 57. การใช้รูปตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน ให้ดำเนินการต่อไปนี้: .

ลองจินตนาการถึงตัวเลขและ ในรูปแบบตรีโกณมิติ

1) ที่ไหน แล้ว

ค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์หลัก:

ลองแทนค่าและเข้าไปในนิพจน์เราจะได้

2) แล้วที่ไหนล่ะ

แล้ว

3) ลองหาผลหารกัน

สมมติว่า k=0, 1, 2 เราจะได้ค่ารูตที่ต้องการที่แตกต่างกันสามค่า:

ถ้าอย่างนั้น

ถ้าอย่างนั้น .

คำตอบ: :

: .

ปัญหาที่ 58. ให้ , , , เป็นจำนวนเชิงซ้อนต่างกัน และ - พิสูจน์ว่า

ก) หมายเลข เป็นจำนวนบวกจำนวนจริง

b) ความเท่าเทียมกันถือ:

ก) ให้เราแสดงจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

เพราะ .

สมมุติว่า. แล้ว

นิพจน์สุดท้ายเป็นจำนวนบวก เนื่องจากสัญญาณไซน์ประกอบด้วยตัวเลขจากช่วงเวลา

ตั้งแต่จำนวน จริงและเป็นบวก โดยแท้แล้ว ถ้า a และ b เป็นจำนวนเชิงซ้อนและเป็นจำนวนจริงและมากกว่าศูนย์ แล้ว

นอกจาก,

ดังนั้นความเท่าเทียมกันที่ต้องการจึงได้รับการพิสูจน์แล้ว

โจทย์ที่ 59. เขียนตัวเลขในรูปแบบพีชคณิต .

ลองแทนตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติแล้วหารูปแบบพีชคณิตของมัน เรามี - สำหรับ เราได้รับระบบ:

นี่แสดงถึงความเท่าเทียมกัน: .

การใช้สูตรของ Moivre: ,

เราได้รับ

พบรูปแบบตรีโกณมิติของตัวเลขที่กำหนด

ให้เราเขียนตัวเลขนี้ในรูปแบบพีชคณิต:

คำตอบ: .

โจทย์ข้อที่ 60. จงหาผลรวม , ,

ลองพิจารณาจำนวนเงินดู

เราพบการใช้สูตรของ Moivre

ผลรวมนี้คือผลรวมของเทอม n ของความก้าวหน้าทางเรขาคณิตที่มีตัวส่วน และสมาชิกคนแรก .

เรามีสูตรสำหรับผลรวมของเงื่อนไขของความก้าวหน้าดังกล่าว

เราพบการแยกส่วนจินตภาพในนิพจน์สุดท้าย

เมื่อแยกส่วนจริงออก เรายังได้สูตรต่อไปนี้: , , .

โจทย์ที่ 61. ค้นหาผลรวม:

ก) - ข) .

ตามสูตรการยกกำลังของนิวตัน เรามี

จากการใช้สูตรของ Moivre เราพบว่า:

เมื่อเทียบส่วนจริงและส่วนจินตภาพของนิพจน์ผลลัพธ์สำหรับ เรามี:

และ .

สูตรเหล่านี้สามารถเขียนได้ในรูปแบบกะทัดรัดดังนี้

โดยที่ส่วนจำนวนเต็มของตัวเลข a อยู่ที่ไหน

ปัญหา 62. ค้นหาทั้งหมด ซึ่ง .

เนื่องจาก แล้วจึงใช้สูตร

, เพื่อแยกรากเราได้ ,

เพราะฉะนั้น, , ,

, .

จุดที่สอดคล้องกับตัวเลขจะอยู่ที่จุดยอดของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในวงกลมรัศมี 2 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0;0) (รูปที่ 30)

คำตอบ: , ,

, .

ปัญหาที่ 63 แก้สมการ , .

ตามเงื่อนไข; ดังนั้นสมการนี้จึงไม่มีรากจึงเท่ากับสมการ

เพื่อให้ตัวเลข z เป็นรากของสมการนี้ ตัวเลขนั้นจะต้องเป็นรากที่ n ของเลข 1

จากจุดนี้เราสรุปได้ว่าสมการดั้งเดิมมีรากมาจากความเท่าเทียมกัน

ดังนั้น,

เช่น. ,

คำตอบ: .

โจทย์ที่ 64. แก้สมการในชุดจำนวนเชิงซ้อน

เนื่องจากตัวเลขไม่ใช่รากของสมการ ดังนั้นสมการนี้จึงเท่ากับสมการ

นั่นก็คือสมการ

รากทั้งหมดของสมการนี้ได้มาจากสูตร (ดูปัญหาที่ 62):

; ; ; ; .

ปัญหาที่ 65. วาดชุดของจุดที่ตรงกับอสมการบนระนาบเชิงซ้อน: - (วิธีที่ 2 วิธีแก้ปัญหา 45)

อนุญาต .

จำนวนเชิงซ้อนที่มีโมดูลเหมือนกันจะสัมพันธ์กับจุดในระนาบที่วางอยู่บนวงกลมที่มีศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด ดังนั้นจึงเป็นความไม่เท่าเทียมกัน ตอบสนองทุกจุดของวงแหวนเปิดที่ล้อมรอบด้วยวงกลมโดยมีจุดศูนย์กลางร่วมกันที่จุดกำเนิดและรัศมีและ (รูปที่ 31) ปล่อยให้จุดหนึ่งของระนาบเชิงซ้อนตรงกับตัวเลข w0 ตัวเลข มีโมดูลที่เล็กกว่าโมดูล w0 หลายเท่าและมีอาร์กิวเมนต์ที่มากกว่าอาร์กิวเมนต์ w0 จากมุมมองทางเรขาคณิต สามารถหาจุดที่สอดคล้องกับ w1 ได้โดยใช้โฮโมเทตีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดและสัมประสิทธิ์ เช่นเดียวกับการหมุนที่สัมพันธ์กับจุดกำเนิดด้วยมุมทวนเข็มนาฬิกา จากการใช้การแปลงทั้งสองนี้กับจุดของวงแหวน (รูปที่ 31) จุดหลังจะเปลี่ยนเป็นวงแหวนที่ล้อมรอบด้วยวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางและรัศมี 1 และ 2 เท่ากัน (รูปที่ 32)

การแปลง นำไปใช้โดยใช้การถ่ายโอนแบบขนานไปยังเวกเตอร์ โดยการถ่ายโอนวงแหวนโดยให้ศูนย์กลางอยู่ที่จุดไปยังเวกเตอร์ที่ระบุ เราจะได้วงแหวนที่มีขนาดเท่ากันโดยมีศูนย์กลางอยู่ที่จุดนั้น (รูปที่ 22)

วิธีการที่นำเสนอซึ่งใช้แนวคิดเรื่องการแปลงทางเรขาคณิตของเครื่องบินอาจอธิบายได้ไม่สะดวกนัก แต่มีความสง่างามและมีประสิทธิภาพมาก

ปัญหาที่ 66 ค้นหาว่า .

ให้ แล้ว และ . ความเท่าเทียมกันเริ่มต้นจะอยู่ในรูปแบบ - จากเงื่อนไขความเท่าเทียมกันของจำนวนเชิงซ้อนสองตัวที่เราได้รับ , , จากที่ , . ดังนั้น, .

ลองเขียนเลข z ในรูปแบบตรีโกณมิติ:

, ที่ไหน , . ตามสูตรของ Moivre เราจะพบว่า

คำตอบ: – 64.

โจทย์ที่ 67 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน ให้หาจำนวนเชิงซ้อนทั้งหมดในลักษณะนั้น และ .

เรามาแสดงตัวเลขในรูปแบบตรีโกณมิติ:

- จากนี้.. สำหรับจำนวนที่เราได้รับ สามารถเท่ากับ หรือ .

ในกรณีแรก ในครั้งที่สอง

คำตอบ: , .

โจทย์ที่ 68. จงหาผลรวมของตัวเลขที่ว่า . โปรดระบุหนึ่งในตัวเลขเหล่านี้

โปรดทราบว่าจากการกำหนดปัญหาเองสามารถเข้าใจได้ว่าผลรวมของรากของสมการสามารถหาได้โดยไม่ต้องคำนวณรากด้วยตนเอง แท้จริงแล้วผลรวมของรากของสมการ คือค่าสัมประสิทธิ์สำหรับ นำมาด้วยเครื่องหมายตรงกันข้าม (ทฤษฎีบทของเวียตนามทั่วไป) เช่น

นักเรียน เอกสารของโรงเรียน สรุปเกี่ยวกับระดับความเชี่ยวชาญของแนวคิดนี้ สรุปการศึกษาคุณลักษณะของการคิดทางคณิตศาสตร์และกระบวนการสร้างแนวคิดเรื่องจำนวนเชิงซ้อน คำอธิบายของวิธีการ การวินิจฉัย: ระยะที่ 1 สนทนากับครูคณิตศาสตร์ที่สอนพีชคณิตและเรขาคณิตในชั้นประถมศึกษาปีที่ 10 บทสนทนาเกิดขึ้นหลังจากผ่านไประยะหนึ่งตั้งแต่เริ่มต้น...

เสียงสะท้อน" (!)) ซึ่งรวมถึงการประเมินพฤติกรรมของตนเองด้วย 4. การประเมินเชิงวิพากษ์ความเข้าใจในสถานการณ์ (ข้อสงสัย) 5. สุดท้ายการใช้คำแนะนำจากจิตวิทยากฎหมาย (ทนายความคำนึงถึงจิตวิทยา แง่มุมของการดำเนินการทางวิชาชีพ - การเตรียมพร้อมทางจิตวิทยาอย่างมืออาชีพ) ให้เราพิจารณาการวิเคราะห์ทางจิตวิทยาของข้อเท็จจริงทางกฎหมาย...

คณิตศาสตร์ของการทดแทนตรีโกณมิติและการทดสอบประสิทธิผลของวิธีการสอนที่พัฒนาขึ้น ขั้นตอนการทำงาน: 1. การพัฒนาหลักสูตรเสริมในหัวข้อ: “การประยุกต์ใช้การทดแทนตรีโกณมิติเพื่อแก้ปัญหาพีชคณิต” กับนักเรียนในชั้นเรียนที่มีคณิตศาสตร์ขั้นสูง 2. ดำเนินรายวิชาเลือกที่พัฒนาแล้ว 3. ดำเนินการทดสอบวินิจฉัย...

งานด้านความรู้ความเข้าใจมีจุดมุ่งหมายเพื่อเสริมสื่อการสอนที่มีอยู่เท่านั้น และต้องผสมผสานอย่างเหมาะสมกับวิธีการและองค์ประกอบแบบดั้งเดิมของกระบวนการศึกษา ความแตกต่างระหว่างปัญหาการศึกษาในการสอนมนุษยศาสตร์กับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่แน่นอนคือเพียงว่าในปัญหาทางประวัติศาสตร์ไม่มีสูตร อัลกอริธึมที่เข้มงวด ฯลฯ ซึ่งทำให้การแก้ปัญหาซับซ้อนขึ้น -

3.1. พิกัดเชิงขั้ว

มักใช้บนเครื่องบิน ระบบพิกัดเชิงขั้ว - มันถูกกำหนดไว้ถ้าให้จุด O เรียกว่า เสาและรังสีที่เล็ดลอดออกมาจากขั้วโลก (สำหรับเรานี่คือแกน Ox) – แกนขั้วโลกตำแหน่งของจุด M ถูกกำหนดโดยตัวเลขสองตัว: รัศมี (หรือเวกเตอร์รัศมี) และมุม φ ระหว่างแกนขั้วกับเวกเตอร์มุม φ เรียกว่า มุมเชิงขั้ว; วัดเป็นเรเดียนและนับทวนเข็มนาฬิกาจากแกนขั้วโลก

ตำแหน่งของจุดในระบบพิกัดเชิงขั้วถูกกำหนดโดยคู่ลำดับของตัวเลข (r; φ) ที่ขั้วโลก ร = 0,และ φ ไม่ได้ถูกกำหนดไว้ สำหรับประเด็นอื่นๆ ทั้งหมด ร > 0,และ φ ถูกกำหนดให้เป็นคำที่เป็นพหุคูณของ 2π ในกรณีนี้ คู่ตัวเลข (r; φ) และ (r 1 ; φ 1) มีความเกี่ยวข้องกันที่จุดเดียวกัน ถ้า

สำหรับระบบพิกัดสี่เหลี่ยม xOyพิกัดคาร์ทีเซียนของจุดสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายในรูปของพิกัดเชิงขั้วดังนี้:

3.2. การตีความทางเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ให้เราพิจารณาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนบนระนาบ xOy.

จำนวนเชิงซ้อนใดๆ z=(a, b) สัมพันธ์กับจุดบนระนาบที่มีพิกัด ( เอ็กซ์, ย), ที่ไหน พิกัด x = a เช่น ส่วนที่แท้จริงของจำนวนเชิงซ้อน และพิกัด y = bi คือส่วนจินตภาพ

ระนาบที่มีจุดเป็นจำนวนเชิงซ้อนคือระนาบเชิงซ้อน

ในรูปคือจำนวนเชิงซ้อน z = (ก, ข)สอดคล้องกับจุด ม(x, ย).

ออกกำลังกาย.วาดจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบพิกัด:

3.3. รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนบนเครื่องบินมีพิกัดของจุด ม(x;ย)- ในกรณีนี้:

การเขียนจำนวนเชิงซ้อน - รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

เรียกว่าหมายเลข r โมดูล จำนวนเชิงซ้อน zและถูกกำหนดไว้ โมดูลัสเป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นลบ สำหรับ .

โมดูลัสจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อเท่านั้น z = 0 เช่น ก = ข = 0.

เรียกหมายเลข φ อาร์กิวเมนต์ z และถูกกำหนดไว้- อาร์กิวเมนต์ z ถูกกำหนดไว้อย่างคลุมเครือ เช่นเดียวกับมุมเชิงขั้วในระบบพิกัดเชิงขั้ว ซึ่งก็คือคำที่เป็นผลคูณของ 2π

จากนั้นเรายอมรับ: โดยที่ φ คือค่าที่น้อยที่สุดของการโต้แย้ง เห็นได้ชัดว่า

เมื่อศึกษาหัวข้อนี้ในเชิงลึกมากขึ้น จะมีการแนะนำอาร์กิวเมนต์เสริม φ* เช่นนั้น

ตัวอย่างที่ 1- ค้นหารูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

สารละลาย. 1) พิจารณาโมดูล: ;

2) กำลังมองหา φ: ;

3) รูปแบบตรีโกณมิติ:

ตัวอย่างที่ 2ค้นหารูปแบบพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน .

นี่ก็เพียงพอที่จะทดแทนค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติและแปลงนิพจน์:

ตัวอย่างที่ 3ค้นหาโมดูลัสและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อน

1) ;

2) ; φ – ใน 4 ไตรมาส:

3.4. การดำเนินการกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

· การบวกและการลบสะดวกกว่าหากใช้จำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบพีชคณิต:

· การคูณ– การใช้การแปลงตรีโกณมิติอย่างง่ายสามารถแสดงให้เห็นได้ เมื่อทำการคูณ โมดูลของตัวเลขจะถูกคูณและเพิ่มอาร์กิวเมนต์: ;

บรรยาย

รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

วางแผน

1. การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

2. สัญกรณ์ตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

3. การกระทำกับจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

การแสดงเรขาคณิตของจำนวนเชิงซ้อน

ก) จำนวนเชิงซ้อนแสดงด้วยจุดบนระนาบตามกฎต่อไปนี้: ก + สอง = ม ( ก ; ข ) (รูปที่ 1)

รูปที่ 1

b) จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงด้วยเวกเตอร์ที่เริ่มต้นที่จุดเกี่ยวกับ และสิ้นสุด ณ จุดที่กำหนด (รูปที่ 2)

รูปที่ 2

ตัวอย่างที่ 7 จุดสร้างที่แสดงถึงจำนวนเชิงซ้อน:1; - ฉัน ; - 1 + ฉัน ; 2 – 3 ฉัน (รูปที่ 3)

รูปที่ 3

สัญกรณ์ตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

จำนวนเชิงซ้อนz = ก + สอง สามารถระบุได้โดยใช้เวกเตอร์รัศมี พร้อมพิกัด( ก ; ข ) (รูปที่ 4)

รูปที่ 4

คำนิยาม . ความยาวเวกเตอร์ ซึ่งแสดงถึงจำนวนเชิงซ้อนz เรียกว่าโมดูลัสของจำนวนนี้และเขียนแทนด้วย หรือร .

สำหรับจำนวนเชิงซ้อนใดๆz โมดูลของมันร = | z | ถูกกำหนดโดยสูตรเฉพาะ .

คำนิยาม . ขนาดของมุมระหว่างทิศทางบวกของแกนจริงกับเวกเตอร์ ซึ่งใช้แทนจำนวนเชิงซ้อน เรียกว่าอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนนี้และใช้แทนด้วยก รจ z หรือφ .

อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนz = 0 ไม่ได้กำหนดไว้ อาร์กิวเมนต์จำนวนเชิงซ้อนz≠ 0 – ปริมาณที่มีหลายค่าและกำหนดไว้ภายในเทอม2πk (เค = 0; - 1; 1; - 2; 2; …): เรื่อง z = หาเรื่อง z + 2πk , ที่ไหนหาเรื่อง z – ค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ที่มีอยู่ในช่วงเวลา(-π; π] นั่นคือ-π < หาเรื่อง z ≤ π (บางครั้งค่าที่เป็นของช่วงเวลาจะถูกใช้เป็นค่าหลักของอาร์กิวเมนต์ .

สูตรนี้เมื่อร =1 มักเรียกว่าสูตรของ Moivre:

(เพราะ φ + ฉันบาป φ) n = cos (nφ) + ฉันบาป (nφ), n  N .

ตัวอย่างที่ 11: คำนวณ(1 + ฉัน ) 100 .

ลองเขียนจำนวนเชิงซ้อนกัน1 + ฉัน ในรูปแบบตรีโกณมิติ

ก = 1, ข = 1 .

เพราะ φ = , บาป φ = , φ = .

(1+ฉัน) 100 = [ (เพราะ +ฉันทำบาป )] 100 = ( ) 100 (เพราะ 100+ ฉันทำบาป ·100) = = 2 50 (cos 25π + ฉันบาป 25π) = 2 50 (cos π + ฉันบาป π) = - 2 50 .

4) แยกรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อน

เมื่อหารากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนก + สอง เรามีสองกรณี:

ถ้าข >o , ที่ ;

จำนวนเชิงซ้อน XI

§ 256 รูปแบบตรีโกณมิติของจำนวนเชิงซ้อน

ให้จำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ> พร้อมพิกัด ( ก, ข ) (ดูรูปที่ 332)

ให้เราแสดงความยาวของเวกเตอร์นี้ด้วย ร และมุมที่ทำกับแกน เอ็กซ์ , ผ่าน φ - ตามคำจำกัดความของไซน์และโคไซน์:

ก / ร =คอส φ , ข / ร = บาป φ .

นั่นเป็นเหตุผล ก = ร เพราะ φ , ข = ร บาป φ - แต่ในกรณีนี้คือจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ สามารถเขียนเป็น:

ก + ไบ = ร เพราะ φ + ir บาป φ = ร (เพราะ φ + ฉัน บาป φ ).

ดังที่คุณทราบ กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของพิกัดของมัน นั่นเป็นเหตุผล ร 2 = ก 2 + ข 2 จากที่ไหน ร = √ก 2 + ข 2

ดังนั้น, จำนวนเชิงซ้อนใดๆ ก + ไบ สามารถแสดงเป็นแบบฟอร์มได้ :

ก + ไบ = ร (เพราะ φ + ฉัน บาป φ ), (1)

ที่ไหนร = √ก 2 + ข 2 และมุม φ ถูกกำหนดจากเงื่อนไข:

การเขียนจำนวนเชิงซ้อนรูปแบบนี้เรียกว่า ตรีโกณมิติ.

ตัวเลข ร ในสูตร (1) เรียกว่า โมดูลและมุม φ - การโต้แย้งจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ .

ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นโมดูลัสของมันจะเป็นค่าบวก ถ้า ก + ไบ = 0 แล้ว ก = ข = 0 แล้ว ร = 0.

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะถูกกำหนดโดยไม่ซ้ำกัน

ถ้าเป็นจำนวนเชิงซ้อน ก + ไบ ไม่เท่ากับศูนย์ ดังนั้นอาร์กิวเมนต์จะถูกกำหนดโดยสูตร (2) อย่างแน่นอนจนถึงมุมที่หารด้วย 2 ลงตัว π - ถ้า ก + ไบ = 0 แล้ว ก = ข = 0 ในกรณีนี้ ร = 0 จากสูตร (1) จะเข้าใจได้ง่ายว่าเป็นอาร์กิวเมนต์ φ ในกรณีนี้คุณสามารถเลือกมุมใดก็ได้: ท้ายที่สุดแล้วสำหรับมุมใดก็ได้ φ

0 (คอส φ + ฉัน บาป φ ) = 0.

ดังนั้นอาร์กิวเมนต์ null จึงไม่ได้ถูกกำหนดไว้

โมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อน ร บางครั้งอาจแสดงด้วย | z | และอาร์กิวเมนต์คือหาเรื่อง z - ลองดูตัวอย่างต่างๆ ของการแทนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ

ตัวอย่าง. 1. 1 + ฉัน .

เรามาค้นหาโมดูลกันดีกว่า ร และการโต้แย้ง φ หมายเลขนี้

ร = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

เพราะฉะนั้นบาป φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2 ดังนั้น φ = π / 4 + 2nπ .

ดังนั้น,

1 + ฉัน = √ 2 ,

ที่ไหน n - จำนวนเต็มใดๆ โดยปกติแล้วจากชุดค่าอนันต์ของอาร์กิวเมนต์ของจำนวนเชิงซ้อนให้เลือกค่าที่อยู่ระหว่าง 0 ถึง 2 π - ในกรณีนี้ค่านี้คือ π / 4. นั่นเป็นเหตุผล

1 + ฉัน = √ 2 (คอส π / 4 + ฉัน บาป π / 4)

ตัวอย่างที่ 2เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ √ 3 - ฉัน - เรามี:

ร = √ 3+1 = 2, cos φ = √ 3 / 2, บาป φ = - 1 / 2

ดังนั้น จนถึงมุมหารด้วย 2 ลงตัว π , φ = 11 / 6 π - เพราะฉะนั้น,

√ 3 - ฉัน = 2(คอส 11/6 π + ฉัน บาป 11/6 π ).

ตัวอย่างที่ 3เขียนจำนวนเชิงซ้อนในรูปแบบตรีโกณมิติ ฉัน.

จำนวนเชิงซ้อน ฉัน สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ> สิ้นสุดที่จุด A ของแกน ที่ ด้วยลำดับที่ 1 (รูปที่ 333) ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 1 และมุมที่มันสร้างกับแกน x เท่ากับ π / 2. นั่นเป็นเหตุผล

ฉัน =คอส π / 2 + ฉัน บาป π / 2 .

ตัวอย่างที่ 4เขียนจำนวนเชิงซ้อน 3 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำนวนเชิงซ้อน 3 สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ > เอ็กซ์ แอบซิสซา 3 (รูปที่ 334)

ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 3 และมุมที่สร้างกับแกน x คือ 0 ดังนั้น

3 = 3 (คอส 0 + ฉัน บาป 0)

ตัวอย่างที่ 5เขียนจำนวนเชิงซ้อน -5 ในรูปแบบตรีโกณมิติ

จำนวนเชิงซ้อน -5 สอดคล้องกับเวกเตอร์ โอเอ> สิ้นสุดที่จุดแกน เอ็กซ์ ด้วย abscissa -5 (รูปที่ 335) ความยาวของเวกเตอร์ดังกล่าวคือ 5 และมุมที่สร้างด้วยแกน x เท่ากับ π - นั่นเป็นเหตุผล

5 = 5(คอส π + ฉัน บาป π ).

แบบฝึกหัด

2047 เขียนจำนวนเชิงซ้อนเหล่านี้ในรูปแบบตรีโกณมิติ โดยกำหนดโมดูลและอาร์กิวเมนต์:

1) 2 + 2√3 ฉัน , 4) 12ฉัน - 5; 7).3ฉัน ;

2) √3 + ฉัน ; 5) 25; 8) -2ฉัน ;

3) 6 - 6ฉัน ; 6) - 4; 9) 3ฉัน - 4.

2048. ระบุชุดของจุดที่แสดงถึงจำนวนเชิงซ้อนบนระนาบซึ่งมีโมดูลัส r และอาร์กิวเมนต์ φ ตรงตามเงื่อนไข:

1) ร = 1, φ = π / 4 ; 4) ร < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) ร =2; 5) 2 < ร <3; 8) 0 < φ < я;

3) ร < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < ร < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. ตัวเลขสามารถเป็นโมดูลัสของจำนวนเชิงซ้อนพร้อมกันได้หรือไม่? ร และ - ร ?