ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุด ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบเครื่องกล

ลองพิจารณาระบบที่ประกอบด้วยจุดวัสดุ ให้เราเขียนสมการเชิงอนุพันธ์ของการเคลื่อนที่ (13) สำหรับระบบนี้และเพิ่มเข้าไปทีละเทอม แล้วเราก็ได้

จำนวนเงินสุดท้ายตามทรัพย์สิน กองกำลังภายในเท่ากับศูนย์ นอกจาก,

ในที่สุดเราก็พบ

สมการ (20) เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล: อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมของระบบเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบ ในการฉายภาพบน แกนประสานงานจะ:

ลองหานิพจน์อื่นสำหรับทฤษฎีบทนี้กัน ปล่อยให้ ณ เวลานั้น ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบเท่ากัน และในขณะนั้นก็จะเท่ากับ . จากนั้นเราจะคูณความเท่ากันทั้งสองข้าง (20) ด้วยและปริพันธ์ เราก็จะได้มา

เนื่องจากอินทิกรัลทางด้านขวาทำให้เกิดแรงกระตุ้นจากภายนอก

สมการ (21) เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบในรูปแบบอินทิกรัล: การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของแรงกระตุ้นที่กระทำต่อระบบของแรงภายนอกเหนือ ช่วงเวลาเดียวกัน

ในการฉายภาพลงบนแกนพิกัดจะมี:

ให้เราชี้ให้เห็นความเชื่อมโยงระหว่างทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วกับทฤษฎีบทเรื่องการเคลื่อนที่ ศูนย์กลางของมวล- เนื่องจาก ดังนั้น แทนที่ค่านี้ด้วยความเท่าเทียมกัน (20) และคำนึงถึงสิ่งที่เราได้รับ คือ สมการ (16)

ดังนั้น ทฤษฎีบทการเคลื่อนที่ของจุดศูนย์กลางมวลและทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบจึงเป็นทฤษฎีบทเดียวกันที่มีรูปแบบต่างกันสองรูปแบบ กรณีที่มีการศึกษาความเคลื่อนไหว แข็ง(หรือระบบต่างๆ ของตัววัตถุ) คุณสามารถใช้รูปแบบใดๆ เหล่านี้ได้เท่าๆ กัน และโดยปกติแล้วสมการ (16) จะสะดวกกว่าในการใช้งาน สำหรับตัวกลางที่ต่อเนื่อง (ของเหลว ก๊าซ) เมื่อแก้ไขปัญหามักจะใช้ทฤษฎีบทเรื่องการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบ ทฤษฎีบทนี้ยังมีการประยุกต์ใช้ที่สำคัญในทฤษฎีการกระแทก (ดูบทที่ XXXI) และในการศึกษาระบบขับเคลื่อนด้วยไอพ่น (ดูมาตรา 114)

ปริมาณการเคลื่อนไหวของระบบเรียกผลรวมเรขาคณิตของปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดวัสดุทั้งหมดของระบบ

เพื่อชี้แจงความหมายทางกายภาพของ (70) ให้เราคำนวณอนุพันธ์ของ (64)

. (71)

เราได้การแก้ (70) และ (71) เข้าด้วยกัน

. (72)

ดังนั้น, เวกเตอร์ของโมเมนตัมของระบบกลไกถูกกำหนดโดยผลคูณของมวลของระบบและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล.

ลองคำนวณอนุพันธ์ของ (72) กัน

. (73)

เราได้การแก้ (73) และ (67) เข้าด้วยกัน

. (74)

สมการ (74) เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท: อนุพันธ์ของเวลาของเวกเตอร์โมเมนตัมของระบบเท่ากับผลรวมเรขาคณิตของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบ

เมื่อแก้ปัญหา จะต้องฉายสมการ (74) ลงบนแกนพิกัด:

. (75)

จากการวิเคราะห์ตามข้อ (74) และ (75) จะได้ดังนี้ กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบ: หากผลรวมของแรงทั้งหมดของระบบเป็นศูนย์ เวกเตอร์โมเมนตัมของมันจะยังคงรักษาขนาดและทิศทางไว้

ถ้า
, ที่
,ถาม = ค่าคงที่ . (76)

ในบางกรณี กฎนี้สามารถปฏิบัติตามแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่งได้

ถ้า
, ที่, ถาม z = ค่าคงที่. (77)

ขอแนะนำให้ใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในกรณีที่ระบบรวมถึงวัตถุของเหลวและก๊าซด้วย

ทฤษฎีบทการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมของระบบเครื่องกล

จำนวนการเคลื่อนไหวเป็นเพียงองค์ประกอบการแปลของการเคลื่อนไหวเท่านั้น

เพื่อระบุลักษณะการเคลื่อนที่แบบหมุนของร่างกาย จึงได้มีการนำแนวคิดเรื่องโมเมนตัมเชิงมุมหลักของระบบสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่กำหนด (โมเมนต์จลน์)โมเมนต์จลนศาสตร์ของระบบ

. (78)

สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางที่กำหนดคือผลรวมทางเรขาคณิตของโมเมนต์ของปริมาณการเคลื่อนที่ของจุดทั้งหมดสัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางเดียวกัน

. (79)

โดยการฉายภาพ (22) บนแกนพิกัด เราจะได้นิพจน์สำหรับโมเมนต์จลน์ที่สัมพันธ์กับแกนพิกัดโมเมนต์จลน์ของร่างกายสัมพันธ์กับแกน

. (80)

เท่ากับผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกายสัมพันธ์กับแกนนี้และความเร็วเชิงมุมของวัตถุ

จาก (80) เป็นไปตามที่โมเมนต์จลน์แสดงเฉพาะองค์ประกอบการหมุนของการเคลื่อนที่เท่านั้น

ลักษณะของการกระทำในการหมุนของแรงคือโมเมนต์ของมันสัมพันธ์กับแกนของการหมุน

ทฤษฎีบท: ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมเชิงมุมกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างลักษณะของการเคลื่อนที่แบบหมุนกับแรงที่ทำให้เกิดการเคลื่อนที่นี้อนุพันธ์ของเวลาของเวกเตอร์ของโมเมนตัมเชิงมุมของระบบที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางบางแห่งเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดของระบบที่สัมพันธ์กับ

. (81)

ศูนย์เดียวกัน

เมื่อแก้ไขปัญหาทางวิศวกรรม (81) จำเป็นต้องออกแบบบนแกนพิกัด การวิเคราะห์ (81) และ (82) ของพวกเขาบอกเป็นนัย: กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม

,

หากผลรวมของโมเมนต์ของแรงภายนอกทั้งหมดที่สัมพันธ์กับศูนย์กลาง (หรือแกน) เท่ากับศูนย์ โมเมนต์จลน์ของระบบที่สัมพันธ์กับศูนย์กลาง (หรือแกน) นี้จะยังคงขนาดและทิศทางของมันไว้

หรือ ความเร็วเชิงมุม.

ปริมาณการเคลื่อนไหวเป็นการวัดการเคลื่อนไหวทางกล หากการเคลื่อนไหวทางกลกลายเป็นกลไก ตัวอย่างเช่น การเคลื่อนไหวทางกลของลูกบิลเลียด (รูปที่ 22) ก่อนการกระแทก จะกลายเป็นการเคลื่อนไหวทางกลของลูกหลังจากการกระแทก จุดหนึ่ง โมเมนตัมเท่ากับผลคูณ

การวัดแรงในกรณีนี้คือแรงกระตุ้น

. (9.1)

โมเมนตัมเป็นตัวกำหนดการกระทำของแรง ในช่วงเวลาหนึ่ง - สำหรับจุดวัสดุ ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมสามารถใช้ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลได้
(9.2) หรือรูปแบบอินทิกรัล (จำกัด)
. (9.3)

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดวัตถุในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับแรงกระตุ้นของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อจุดในช่วงเวลาเดียวกัน

รูปที่ 22

ในการแก้ปัญหา ทฤษฎีบท (9.3) มักใช้ในการฉายภาพบนแกนพิกัด
;

; (9.4)

.

การใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุด มีความเป็นไปได้ที่จะแก้ปัญหาที่จุดหรือวัตถุเคลื่อนที่ในเชิงแปลถูกกระทำโดยแรงคงที่หรือแรงแปรผันที่ขึ้นอยู่กับเวลา และปริมาณที่กำหนดและที่ต้องการจะรวมเวลาของ การเคลื่อนไหวและความเร็วที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของการเคลื่อนไหว ปัญหาในการใช้ทฤษฎีบทได้รับการแก้ไขตามลำดับต่อไปนี้:

1. เลือกระบบพิกัด

2. พรรณนาถึงแรง (แอคทีฟ) และปฏิกิริยาที่ได้รับทั้งหมดซึ่งกระทำต่อจุดหนึ่ง

3. เขียนทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดในการฉายภาพลงบนแกนพิกัดที่เลือก

4.กำหนดปริมาณที่ต้องการ

ตัวอย่างที่ 12

ค้อนที่มีน้ำหนัก G=2t ตกลงจากความสูง h=1m ลงบนชิ้นงานในเวลา t=0.01s และประทับตราชิ้นส่วน (รูปที่ 23) กำหนดแรงกดเฉลี่ยของค้อนบนชิ้นงาน

สารละลาย.

1. ชิ้นงานขึ้นอยู่กับแรงโน้มถ่วงของค้อน และปฏิกิริยาภาคพื้นดิน - ขนาดของปฏิกิริยาแนวรับเปลี่ยนแปลงไปตามกาลเวลา ดังนั้น ลองพิจารณาค่าเฉลี่ยของมันดู
.

2. กำหนดแกนพิกัด y ในแนวตั้งลงในแนวตั้ง และใช้ทฤษฎีบทกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดในการฉายภาพบนแกนนี้:
, (1) ที่ไหน - ความเร็วของค้อนเมื่อสิ้นสุดการตี;

- ความเร็วเริ่มต้นของค้อน ณ เวลาที่สัมผัสกับชิ้นงาน

3. การกำหนดความเร็ว มาแต่งหน้ากันเถอะ สมการเชิงอนุพันธ์การเคลื่อนที่ของค้อนในการฉายภาพบนแกน y:

. (2)

แยกตัวแปรและรวมสมการ (2) สองครั้ง:
;

;

- เราพบค่าคงที่การรวม C 1, C 2 จาก เงื่อนไขเริ่มต้น- ที่ t=0 V y =0 จากนั้น C 1 =0; y=0 จากนั้น C 2 =0 ดังนั้นค้อนจึงเคลื่อนที่ตามกฎหมาย
, (3) และความเร็วของค้อนเปลี่ยนแปลงไปตามกฎหมาย
- (4) ให้เราแสดงเวลาการเคลื่อนที่ของค้อนจาก (3) และแทนลงใน (4)
;
. (5)

4. เราค้นหาการฉายภาพของแรงกระตุ้นภายนอกบนแกน y โดยใช้สูตร:
- (6) แทน (5) และ (6) ลงใน (1):
จากจุดที่เราพบปฏิกิริยาของส่วนรองรับและด้วยเหตุนี้ความดันที่ต้องการของค้อนบนชิ้นงาน
ต.

รูปที่ 24

ถึง

โดยที่ M คือมวลของระบบ V c คือความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลไกสามารถเขียนได้ในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลและไฟไนต์ (อินทิกรัล):
;

. (9.7)

ปริมาณการเคลื่อนที่ของระบบกลไกสามารถกำหนดเป็นผลรวมของจำนวนการเคลื่อนที่ของจุดต่างๆ ของระบบ
- (9.5) โมเมนตัมของระบบหรือวัตถุเกร็งสามารถกำหนดได้โดยการรู้มวลของระบบและความเร็วของจุดศูนย์กลางมวล
, (9.6)

การเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลไกในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของแรงกระตุ้นภายนอกที่กระทำในช่วงเวลาเดียวกัน บางครั้งการใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมในการฉายภาพบนแกนพิกัดจะสะดวกกว่า
; (9.8)
. (9.9)

กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมระบุว่าในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอก โมเมนตัมของระบบกลไกจะคงที่ การกระทำของแรงภายในไม่สามารถเปลี่ยนโมเมนตัมของระบบได้ จากสมการ (9.6) จะเห็นได้ว่าเมื่อใด
,
.

ถ้า
, ที่
หรือ
.

ดี

ใบพัดหรือใบพัด, เครื่องขับเคลื่อนด้วยไอพ่น ปลาหมึกเคลื่อนไหวกระตุกโดยพ่นน้ำออกจากถุงกล้ามเนื้อเหมือนปืนฉีดน้ำ (รูปที่ 25) น้ำที่ถูกขับไล่จะมีการเคลื่อนไหวย้อนกลับจำนวนหนึ่ง ปลาหมึกได้รับความเร็วที่สอดคล้องกัน การเคลื่อนที่ไปข้างหน้าเนื่องจากแรงดึงปฏิกิริยา เนื่องจากก่อนที่ปลาหมึกจะกระโดดออกแรง .

สมดุลด้วยแรงโน้มถ่วง

ผลกระทบของกฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบกลไกสามารถแสดงให้เห็นได้จากตัวอย่างของปรากฏการณ์การหดตัวหรือการย้อนกลับเมื่อถ่ายภาพทำงาน

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมช่วยให้เราสามารถแยกแรงภายในทั้งหมดออกจากการพิจารณาได้

ตัวอย่างที่ 13
กว้าน A พร้อมดรัมรัศมี r ได้รับการติดตั้งบนชานชาลารถไฟแบบตั้งพื้นบนราง (รูปที่ 26) กว้านถูกออกแบบมาเพื่อเคลื่อนย้ายโหลด B ที่มีมวล m 1 ไปตามแท่น น้ำหนักของแพลตฟอร์มพร้อมกว้าน m 2 ดรัมกว้านหมุนได้ตามกฎหมาย

- ในช่วงเวลาเริ่มต้นระบบเป็นแบบเคลื่อนที่ ละเลยแรงเสียดทาน ค้นหากฎแห่งการเปลี่ยนแปลงความเร็วของแท่นหลังจากเปิดเครื่องกว้าน ร

สารละลาย. 1. พิจารณาแพลตฟอร์ม กว้าน และน้ำหนักบรรทุกเป็นระบบกลไกเดียว ซึ่งถูกกระทำโดยแรงภายนอก: แรงโน้มถ่วงของน้ำหนักบรรทุก และแพลตฟอร์ม และปฏิกิริยา
.

และ
2. เนื่องจากแรงภายนอกทั้งหมดตั้งฉากกับแกน x นั่นคือ
เราใช้กฎการอนุรักษ์โมเมนตัมของระบบกลไกในการฉายภาพบนแกน x:

ให้เราแสดงจำนวนการเคลื่อนไหวของระบบในช่วงเวลาใดก็ได้ แพลตฟอร์มเคลื่อนไปข้างหน้าด้วยความเร็ว โหลดจะผ่านการเคลื่อนไหวที่ซับซ้อนซึ่งประกอบด้วยการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ไปตามแท่นด้วยความเร็ว และ การเคลื่อนไหวแบบพกพาพร้อมกับแพลตฟอร์มด้วยความเร็ว ., ที่ไหน
- แท่นจะเคลื่อนที่ไปในทิศทางตรงกันข้ามกับการเคลื่อนที่สัมพัทธ์ของน้ำหนักบรรทุก

ตัวอย่างที่ 14

ม

สารละลาย.

1. ให้เราใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลไกในการฉายภาพบนแกน x เนื่องจากแรงภายนอกทั้งหมดที่กระทำต่อระบบอยู่ในแนวตั้ง ดังนั้น
, แล้ว
, ที่ไหน
. (1)

2. ขอให้เราแสดงการฉายภาพโมเมนตัมลงบนแกน x สำหรับระบบกลไกที่กำลังพิจารณา
,

ระบบกลไกประกอบด้วยแผ่นแนวตั้งสี่เหลี่ยม 1 ที่มีมวล m 1 = 18 กก. เคลื่อนที่ไปตามรางแนวนอนและโหลด D ที่มีมวล m 2 = 6 กก. ในช่วงเวลา t 0 =0 เมื่อแผ่นเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว u 0 =2m/s ภาระเริ่มเคลื่อนที่ไปตามร่องลึกก้นสมุทรตามสมการ S=AD=0.4sin( เสื้อ 2) (S-เป็นเมตร, t-เป็นวินาที), (รูปที่ 26) หาความเร็วของเพลต ณ เวลา t 1 = 1 วินาที โดยใช้ทฤษฎีบทเรื่องการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของระบบกลไก

ที่ไหน ,
-- ปริมาณการเคลื่อนที่ของเพลตและน้ำหนักตามลำดับ

;
, ที่ไหน - ความเร็วสัมบูรณ์ของโหลด D จากความเท่าเทียมกัน (1) จะตามมาว่า K 1x + K 2x =C 1 หรือ m 1 u x +m 2 V Dx =C 1
, (3)
(2) ในการหาค่า V Dx ให้พิจารณาการเคลื่อนที่ของโหลด D ว่าซับซ้อน โดยพิจารณาการเคลื่อนที่สัมพันธ์กับเพลต และการเคลื่อนที่ของเพลตเองแบบพกพา จากนั้น ; หรือฉายภาพลงบนแกน x:
- (4) แทน (4) ลงใน (2):

- (5) เรากำหนดค่าคงที่การรวม C 1 จากเงื่อนไขเริ่มต้น: ที่ t=0 u=u 0 ;

(ม. 1 +ม. 2)คุณ 0 =C 1.

(6) เราได้ค่าคงที่ C 1 มาเป็นสมการ (5)

เมตร/วินาที(เศษของซิมโฟนีทางคณิตศาสตร์)ความเชื่อมโยงระหว่างแรงกระตุ้นและสมการพื้นฐานของไดนามิกของนิวตันแสดงออกมาโดยทฤษฎีบทว่าด้วยการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดวัสดุ

ทฤษฎีบท.

(129)

ทฤษฎีบทนี้ได้รับการพิสูจน์แล้วและนักคณิตศาสตร์พิจารณาว่าภารกิจของพวกเขาเสร็จสิ้นแล้ว แต่วิศวกรซึ่งมีโชคชะตาที่จะเชื่อในนักคณิตศาสตร์อย่างศักดิ์สิทธิ์ มีคำถามเมื่อใช้สมการที่พิสูจน์แล้ว (129) แต่พวกมันถูกขัดขวางอย่างแน่นหนาด้วยลำดับและความสวยงามของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ (128 และ 129) ซึ่งน่าหลงใหลและกระตุ้นให้เราเรียกพวกมันว่าชิ้นส่วนของซิมโฟนีทางคณิตศาสตร์ มีวิศวกรกี่ชั่วอายุคนที่เห็นด้วยกับนักคณิตศาสตร์และทึ่งกับความลึกลับของสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของพวกเขา! แต่แล้วก็มีวิศวกรคนหนึ่งที่ไม่เห็นด้วยกับนักคณิตศาสตร์และถามคำถามพวกเขา

นักคณิตศาสตร์ที่รัก!ทำไมไม่มีในตำราเรียนของคุณเลย กลศาสตร์เชิงทฤษฎีกระบวนการนำผลซิมโฟนิกของคุณ (129) ไปใช้ในทางปฏิบัติหรือไม่ เช่น เมื่ออธิบายกระบวนการเร่งความเร็วรถ ไม่ถือเป็น? ด้านซ้ายของสมการ (129) มีความชัดเจนมาก รถเริ่มเร่งความเร็วจากความเร็วและสิ้นสุดความเร็ว เช่น ที่ความเร็ว ค่อนข้างเป็นธรรมชาติที่สมการ (129) จะกลายเป็น

และคำถามแรกก็เกิดขึ้นทันที: เราจะทราบจากสมการ (130) แรงภายใต้อิทธิพลที่รถเร่งความเร็วเป็น 10 เมตร/วินาที ได้อย่างไร ไม่พบคำตอบสำหรับคำถามนี้ในหนังสือเรียนเกี่ยวกับกลศาสตร์เชิงทฤษฎีเล่มใดเล่มหนึ่งนับไม่ถ้วน เดินหน้าต่อไป หลังจากการเร่งความเร็ว รถจะเริ่มเคลื่อนที่อย่างสม่ำเสมอด้วยความเร็ว 10 เมตร/วินาที แรงอะไรทำให้รถเคลื่อนตัว ???????????? ฉันไม่มีทางเลือกนอกจากต้องหน้าแดงพร้อมกับนักคณิตศาสตร์ กฎข้อแรกของพลศาสตร์ของนิวตันระบุว่าเมื่อรถเคลื่อนที่สม่ำเสมอ ไม่มีแรงกระทำใดๆ และหากพูดโดยนัยแล้ว รถจะจามกฎนี้ กินน้ำมันเบนซินและทำงาน เช่น เคลื่อนที่ในระยะทาง 100 กม. แรงที่ทำงานเพื่อเคลื่อนย้ายรถ 100 กม. อยู่ที่ไหน? สมการทางคณิตศาสตร์ซิมโฟนิก (130) เงียบงัน แต่ชีวิตดำเนินต่อไปและต้องการคำตอบ เราเริ่มมองหาเขา

เนื่องจากรถเคลื่อนที่เป็นเส้นตรงและสม่ำเสมอ แรงที่เคลื่อนที่จึงมีขนาดและทิศทางคงที่ และสมการ (130) จะกลายเป็น

(131)

ดังนั้น สมการ (131) ในกรณีนี้จึงอธิบายการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งของร่างกาย แรงเท่ากับอะไร? จะแสดงการเปลี่ยนแปลงเมื่อเวลาผ่านไปได้อย่างไร? นักคณิตศาสตร์ชอบที่จะข้ามคำถามนี้และปล่อยให้เป็นหน้าที่ของวิศวกร โดยเชื่อว่าพวกเขาจะต้องค้นหาคำตอบสำหรับคำถามนี้ วิศวกรเหลือทางเลือกเดียวเท่านั้น - โดยคำนึงว่าหากหลังจากการเคลื่อนไหวด้วยความเร่งของร่างกายเสร็จสิ้นแล้ว ระยะของการเคลื่อนที่สม่ำเสมอเริ่มต้นขึ้น ซึ่งมาพร้อมกับการกระทำของแรงคงที่ ให้สมการปัจจุบัน (131) สำหรับ ช่วงเวลาแห่งการเปลี่ยนจากการเคลื่อนไหวแบบเร่งไปสู่การเคลื่อนไหวที่สม่ำเสมอในรูปแบบนี้

(132)

ลูกศรในสมการนี้ไม่ได้หมายถึงผลลัพธ์ของการรวมสมการนี้ แต่เป็นกระบวนการเปลี่ยนจากรูปแบบอินทิกรัลไปเป็นรูปแบบที่เรียบง่าย แรงในสมการนี้เทียบเท่ากับแรงเฉลี่ยที่เปลี่ยนโมเมนตัมของร่างกายจากศูนย์เป็นค่าสุดท้าย ดังนั้น นักคณิตศาสตร์และนักฟิสิกส์เชิงทฤษฎีที่รัก การไม่มีวิธีการของคุณในการกำหนดขนาดของแรงกระตุ้นของคุณ ทำให้เราต้องลดความซับซ้อนของขั้นตอนในการกำหนดแรง และการไม่มีวิธีการในการกำหนดเวลาของการกระทำของแรงนี้ โดยทั่วไปจะทำให้เราอยู่ใน ตำแหน่งที่สิ้นหวังและเราถูกบังคับให้ใช้การแสดงออกเพื่อวิเคราะห์กระบวนการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของร่างกาย ผลก็คือ ยิ่งแรงกระทำนานเท่าใด แรงกระตุ้นก็ยิ่งมากขึ้นเท่านั้น สิ่งนี้ขัดแย้งอย่างชัดเจนกับแนวคิดที่มีมายาวนานว่ายิ่งแรงกระตุ้นมากเท่าไรก็ยิ่งมีมากขึ้นเท่านั้น เวลาน้อยลงการกระทำของเขา

ขอให้เราให้ความสนใจกับความจริงที่ว่าการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมของจุดวัสดุ (แรงกระตุ้น) ในระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งนั้นเกิดขึ้นภายใต้การกระทำของแรงนิวตันและแรงต้านทานต่อการเคลื่อนที่ในรูปแบบของแรงที่เกิดจากความต้านทานทางกลและ พลังแห่งความเฉื่อย แต่ไดนามิกของนิวตันในปัญหาส่วนใหญ่มองข้ามแรงเฉื่อย และกลศาสตร์ระบุว่าการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมของร่างกายในระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งนั้นเกิดขึ้นเนื่องจากแรงที่มากเกินไปของแรงนิวตันเหนือแรงต้านทานต่อการเคลื่อนไหว รวมถึง พลังแห่งความเฉื่อย

เมื่อร่างกายเคลื่อนที่แบบสโลว์โมชัน เช่น รถยนต์ที่ปิดเกียร์ ก็ไม่มีแรงแบบนิวตัน และการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของรถเกิดขึ้นเนื่องจากแรงต้านทานการเคลื่อนที่ที่มากเกินไปเหนือแรงเฉื่อยที่เคลื่อนที่ รถเมื่อมันเคลื่อนที่ช้าๆ

ตอนนี้เราจะคืนผลลัพธ์ของการกระทำทางคณิตศาสตร์ "ไพเราะ" ที่ระบุไว้ (128) กลับสู่กระแสหลักของความสัมพันธ์ระหว่างเหตุและผลได้อย่างไร มีทางเดียวเท่านั้นที่จะหาคำจำกัดความใหม่ของแนวคิด "แรงกระตุ้น" และ "แรงกระแทก" เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้หารทั้งสองข้างของสมการ (132) ด้วยเวลา t ส่งผลให้เรานั้นได้

. (133)

ขอให้เราสนใจความจริงที่ว่านิพจน์ mV/t คืออัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม (mV/t) ของจุดวัสดุหรือวัตถุ หากเราพิจารณาว่า V/t คือความเร่ง ดังนั้น mV/t คือแรงที่เปลี่ยนปริมาณการเคลื่อนที่ของร่างกาย มิติเดียวกันทางซ้ายและขวาของเครื่องหมายเท่ากับทำให้เรามีสิทธิ์เรียกแรง F ว่าเป็นแรงสั่นสะเทือนและแสดงด้วยสัญลักษณ์ และแรงกระตุ้น S - แรงกระตุ้นกระแทกและแสดงด้วยสัญลักษณ์ สิ่งนี้นำไปสู่คำจำกัดความใหม่ของแรงกระแทก แรงกระแทกที่กระทำต่อจุดวัสดุหรือวัตถุจะเท่ากับอัตราส่วนของการเปลี่ยนแปลงในโมเมนตัมของจุดวัตถุหรือวัตถุต่อเวลาของการเปลี่ยนแปลงนี้

ให้เราให้ความสนใจเป็นพิเศษกับความจริงที่ว่ามีเพียงแรงของนิวตันเท่านั้นที่มีส่วนร่วมในการก่อตัวของแรงกระตุ้นแรงกระแทก (134) ซึ่งเปลี่ยนความเร็วของรถจากศูนย์เป็นสูงสุด - ดังนั้นสมการ (134) จึงเป็นของไดนามิกของนิวตันทั้งหมด เนื่องจากการหาขนาดของความเร็วจากการทดลองทำได้ง่ายกว่าการหาความเร่ง ดังนั้นสูตร (134) จึงสะดวกมากในการคำนวณ

ผลลัพธ์ที่ผิดปกตินี้ตามมาจากสมการ (134)

ให้เราใส่ใจกับความจริงที่ว่าตามกฎใหม่ของกลศาสตร์กลศาสตร์เครื่องกำเนิดแรงกระตุ้นระหว่างการเคลื่อนที่ด้วยความเร่งของจุดวัสดุหรือวัตถุคือแรงของนิวตัน มันสร้างความเร่งในการเคลื่อนที่ของจุดหรือวัตถุ ซึ่งแรงเฉื่อยเกิดขึ้นโดยอัตโนมัติ ซึ่งตรงข้ามกับแรงของนิวตัน และการกระแทก แรงของนิวตันจะต้องเอาชนะการกระทำของแรงเฉื่อย ดังนั้น แรงเฉื่อยจึงต้องแสดงใน สมดุลของแรงทางด้านซ้ายของสมการ (134) เนื่องจากแรงเฉื่อยเท่ากับมวลของจุดหรือวัตถุคูณด้วยความหน่วงที่เกิดขึ้น สมการ (134) จึงกลายเป็น

(136)

นักคณิตศาสตร์ที่รัก!ดูสิว่ามันมาในรูปแบบไหน แบบจำลองทางคณิตศาสตร์อธิบายแรงกระตุ้นแรงกระแทกซึ่งเร่งการเคลื่อนที่ของร่างกายที่ได้รับผลกระทบจากความเร็วเป็นศูนย์ถึงสูงสุด V (11) ทีนี้มาตรวจสอบการทำงานของมันในการกำหนดแรงกระตุ้นการกระแทกซึ่งเท่ากับแรงกระแทกที่ยิงหน่วยกำลังที่ 2 ของ SShG (รูปที่ 120) และเราจะปล่อยให้คุณอยู่กับสมการที่ไร้ประโยชน์ของคุณ (132) เพื่อไม่ให้การนำเสนอซับซ้อน เราจะทิ้งสูตร (134) ไว้เพียงอย่างเดียวในตอนนี้ และใช้สูตรที่ให้ค่าแรงเฉลี่ย คุณจะเห็นว่าตำแหน่งใดที่คุณให้วิศวกรพยายามแก้ไขปัญหาเฉพาะเจาะจง

เริ่มจากไดนามิกของนิวตันกันก่อน ผู้เชี่ยวชาญพบว่าหน่วยกำลังที่ 2 เพิ่มขึ้นเป็นความสูง 14 ม. เนื่องจากมันลอยขึ้นในสนามแรงโน้มถ่วง ที่ความสูง h = 14 m พลังงานศักย์จึงเท่ากับ

และค่าเฉลี่ย พลังงานจลน์มีความเท่าเทียมกัน

ข้าว. 120.ภาพถ่ายห้องกังหันก่อนเกิดภัยพิบัติ

จากความเท่าเทียมกันของพลังงานจลน์ (138) และพลังงานศักย์ (137) ตามมา ความเร็วเฉลี่ยการยกชุดจ่ายไฟ (รูปที่ 121, 122)

ข้าว. 121. โฟตอนของห้องกังหันหลังเกิดภัยพิบัติ

ตามกฎหมายใหม่ของกลศาสตร์การเพิ่มขึ้นของหน่วยกำลังประกอบด้วยสองเฟส (รูปที่ 123): เฟสแรก OA - การเพิ่มขึ้นแบบเร่ง และเฟสที่สอง AB - การเพิ่มขึ้นอย่างช้าๆ , , .

เวลาและระยะทางของการกระทำจะเท่ากันโดยประมาณ () จากนั้นสมการจลนศาสตร์ของเฟสเร่งของการยกหน่วยกำลังจะถูกเขียนดังนี้:

. (140)

ข้าว. 122. มุมมองของบ่อน้ำของหน่วยพลังงานและหน่วยพลังงานเองหลังเกิดภัยพิบัติ

กฎการเปลี่ยนแปลงอัตราการเพิ่มขึ้นของหน่วยกำลังในระยะแรกมีรูปแบบ

. (141)

ข้าว. 123. ความสม่ำเสมอของการเปลี่ยนแปลงความเร็วในการบิน V ของหน่วยกำลัง

เราได้แทนเวลาจากสมการ (140) ลงในสมการ (141)

. (142)

ระยะเวลาการยกบล็อกในระยะแรกพิจารณาจากสูตร (140)

. (143)

จากนั้นเวลารวมในการยกหน่วยจ่ายไฟให้สูง 14 ม. จะเท่ากับ . มวลของหน่วยกำลังและฝาครอบอยู่ที่ 2,580 ตัน ตามไดนามิกของนิวตัน แรงที่ยกหน่วยกำลังมีค่าเท่ากับ

นักคณิตศาสตร์ที่รัก!เราติดตามผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์ซิมโฟนิกของคุณและจดสูตรของคุณ (129) ตามมาจากไดนามิกของนิวตัน เพื่อกำหนดพัลส์ช็อตที่ยิงหน่วยกำลังที่ 2

และถามคำถามพื้นฐาน: จะกำหนดระยะเวลาของช็อตพัลส์ที่ยิงหน่วยกำลังที่ 2 ได้อย่างไร????????????

ที่รัก!!!โปรดจำไว้ว่าเพื่อนร่วมงานของคุณเขียนชอล์กจำนวนเท่าใดบนกระดานดำ สอนนักเรียนอย่างลึกซึ้งถึงวิธีระบุแรงกระตุ้นไฟฟ้าช็อต และไม่มีใครอธิบายวิธีกำหนดระยะเวลาของแรงกระตุ้นไฟฟ้าช็อตในแต่ละกรณี คุณจะบอกว่าระยะเวลาของพัลส์ช็อตเท่ากับช่วงเวลาของการเปลี่ยนแปลงความเร็วของหน่วยกำลังจากศูนย์ถึง เราจะถือว่าค่าสูงสุดคือ 16.75 m/s (139) อยู่ในสูตร (143) และเท่ากับ 0.84 วินาที เราเห็นด้วยกับคุณในตอนนี้และกำหนดค่าเฉลี่ยของแรงกระตุ้นไฟฟ้า

คำถามเกิดขึ้นทันที: เหตุใดขนาดของแรงกระตุ้นการกระแทก (146) จึงน้อยกว่าแรงนิวตันที่ 50600 ตัน คุณ นักคณิตศาสตร์ที่รัก ไม่มีคำตอบ เดินหน้าต่อไป

ตามพลศาสตร์ของนิวตัน แรงหลักที่ต่อต้านการเพิ่มขึ้นของหน่วยกำลังคือแรงโน้มถ่วง เนื่องจากแรงนี้มุ่งตรงต่อการเคลื่อนที่ของหน่วยกำลัง จึงทำให้เกิดการชะลอตัวซึ่งเท่ากับความเร่งของการตกอย่างอิสระ จากนั้นแรงโน้มถ่วงที่กระทำต่อหน่วยกำลังที่ลอยขึ้นไปจะเท่ากับ

พลศาสตร์ของนิวตันไม่ได้คำนึงถึงแรงอื่นๆ ที่ขัดขวางการกระทำของแรงของนิวตันจำนวน 50,600 ตัน (144) และกลไกกลศาสตร์ระบุว่าการเพิ่มขึ้นของหน่วยกำลังก็ถูกต้านทานด้วยแรงเฉื่อยที่เท่ากับ

คำถามเกิดขึ้นทันที: จะหาปริมาณการชะลอตัวในการเคลื่อนที่ของหน่วยกำลังได้อย่างไร? พลศาสตร์ของนิวตันนั้นเงียบ แต่กลศาสตร์ตอบ: ในขณะที่การกระทำของแรงของนิวตันซึ่งยกหน่วยกำลังนั้นถูกต่อต้านโดย: แรงโน้มถ่วงและพลังของความเฉื่อย ดังนั้นสมการของแรงที่กระทำต่อ หน่วยกำลังในขณะนั้นเขียนดังนี้

เนื่องจากมวลของจุดคงที่และความเร่งสมการ (2) ซึ่งแสดงกฎพื้นฐานของพลศาสตร์สามารถแสดงได้ในรูปแบบ

สมการ (32) แสดงออกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงโมเมนตัมของจุดในรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียลพร้อมกัน: อนุพันธ์ของเวลาของโมเมนตัมของจุดเท่ากับผลรวมของแรงที่กระทำต่อจุด

ปล่อยให้จุดที่เคลื่อนที่มีความเร็วในขณะนั้นและด้วยความเร็วในขณะนั้น จากนั้นเราคูณความเท่าเทียมกันทั้งสองด้าน (32) แล้วหาอินทิกรัลจำกัดจำนวนจากจุดเหล่านั้น ในกรณีนี้ ทางด้านขวาซึ่งอินทิกรัลเกิดขึ้นเมื่อเวลาผ่านไป ขีดจำกัดของอินทิกรัลจะเป็น และทางด้านซ้ายซึ่งมีความเร็วรวมอยู่ ขีดจำกัดของอินทิกรัลจะเป็นค่าความเร็วที่สอดคล้องกัน

เนื่องจากอินทิกรัลของเท่ากัน ผลลัพธ์จึงเป็น

อินทิกรัลทางด้านขวา ดังต่อไปนี้จากสูตร (30) แสดงถึงแรงกระตุ้นของแรงกระทำ ดังนั้นในที่สุดมันก็จะเป็น

สมการ (33) เป็นการแสดงออกถึงทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของจุดในรูปแบบสุดท้าย: การเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมของจุดในช่วงเวลาหนึ่งจะเท่ากับผลรวมของแรงกระตุ้นของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อจุดเหนือ ช่วงเวลาเดียวกัน

เมื่อแก้ปัญหาแทนที่จะใช้สมการเวกเตอร์ (33) มักใช้สมการในการฉายภาพ เราได้ฉายภาพทั้งสองด้านของความเท่าเทียมกัน (33) ไปยังแกนพิกัด

ในกรณีที่ การเคลื่อนไหวเป็นเส้นตรงที่เกิดขึ้นตามแนวแกนของทฤษฎีบทจะแสดงด้วยสมการแรกของสมการเหล่านี้

การแก้ปัญหา สมการ (33) หรือ (34) อนุญาตให้รู้ว่าความเร็วของจุดเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อจุดเคลื่อนที่ เพื่อกำหนดแรงกระตุ้นของแรงกระทำ (ปัญหาแรกของไดนามิก) หรือเมื่อรู้แรงกระตุ้นของแรงกระทำ เพื่อกำหนด ความเร็วของจุดเปลี่ยนแปลงอย่างไรเมื่อเคลื่อนที่ (ปัญหาที่สองของไดนามิก) เมื่อแก้ไขปัญหาที่สอง เมื่อได้รับแรง จำเป็นต้องคำนวณแรงกระตุ้น ดังที่เห็นได้จากความเท่าเทียมกัน (30) หรือ (31) ซึ่งสามารถทำได้เฉพาะเมื่อแรงคงที่หรือขึ้นอยู่กับเวลาเท่านั้น

ดังนั้น สมการ (33), (34) จึงสามารถนำมาใช้โดยตรงในการแก้ปัญหาที่สองของไดนามิก เมื่อข้อมูลและปริมาณที่ต้องการในปัญหาประกอบด้วย: แรงกระทำ เวลาการเคลื่อนที่ของจุด และความเร็วเริ่มต้นและความเร็วสุดท้าย (เช่น ปริมาณ) และแรงจะต้องคงที่หรือขึ้นอยู่กับเวลาเท่านั้น

ปัญหาที่ 95 จุดที่มีมวลกิโลกรัมเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่เป็นตัวเลข จงหาแรงกระตุ้นที่กระทำต่อจุดในช่วงเวลาที่จุดผ่านหนึ่งในสี่ของวงกลม

สารละลาย. ตามทฤษฎีบทเกี่ยวกับการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัม การสร้างความแตกต่างทางเรขาคณิตระหว่างปริมาณการเคลื่อนที่เหล่านี้ (รูปที่ 222) เราพบจากผลลัพธ์ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

แต่ตามเงื่อนไขของปัญหาจึงทำให้

สำหรับการคำนวณเชิงวิเคราะห์ เราสามารถหาได้จากสมการสองตัวแรก (34)

ปัญหาที่ 96 โหลดที่มีมวลและอยู่บนระนาบแนวนอนจะได้รับความเร็วเริ่มต้น (โดยการกด) การเคลื่อนที่ครั้งต่อไปของโหลดจะช้าลงด้วยแรงคงที่ F พิจารณาว่าจะใช้เวลานานเท่าใดในการบรรทุก หยุด

สารละลาย. จากข้อมูลปัญหา เป็นที่ชัดเจนว่าเพื่อกำหนดเวลาของการเคลื่อนไหว คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทที่พิสูจน์แล้วได้ เราพรรณนาถึงภาระในตำแหน่งโดยพลการ (รูปที่ 223) มันถูกกระทำโดยแรงโน้มถ่วง P ปฏิกิริยาของระนาบ N และแรงเบรก F โดยการกำหนดทิศทางแกนไปในทิศทางการเคลื่อนที่ เราจะเขียนสมการแรกของ (34)

ในกรณีนี้คือความเร็วขณะหยุดรถ) ก. ในบรรดาแรงนั้น มีเพียงแรง F เท่านั้นที่ให้การฉายภาพบนแกน เนื่องจากมีค่าคงที่ ซึ่งก็คือเวลาในการเบรก เมื่อแทนข้อมูลทั้งหมดนี้ลงในสมการ (a) เราจะได้เวลาที่ต้องการ