คุณสมบัติของความน่าจะเป็นทางสถิติ คำจำกัดความคลาสสิกและทางสถิติของความน่าจะเป็น

เพื่อที่จะเปรียบเทียบเหตุการณ์ในเชิงปริมาณตามระดับความเป็นไปได้ จำเป็นต้องเชื่อมโยงตัวเลขจำนวนหนึ่งกับแต่ละเหตุการณ์ ซึ่งยิ่งมากก็ยิ่งเป็นไปได้มากขึ้นเท่านั้น เราจะเรียกหมายเลขนี้ว่าความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ดังนั้น, ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เป็นการวัดเชิงตัวเลขของระดับความเป็นไปได้ตามวัตถุประสงค์ของเหตุการณ์นี้

คำจำกัดความแรกของความน่าจะเป็นควรได้รับการพิจารณาแบบคลาสสิกซึ่งเกิดขึ้นจากการวิเคราะห์การพนันและนำไปใช้อย่างสังหรณ์ใจในตอนแรก

วิธีการแบบดั้งเดิมในการพิจารณาความน่าจะเป็นนั้นขึ้นอยู่กับแนวคิดของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้อย่างเท่าเทียมกัน ซึ่งเป็นผลลัพธ์ของประสบการณ์ที่กำหนดและรวมกลุ่มของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้โดยสมบูรณ์

ตัวอย่างที่ง่ายที่สุดของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้เท่าเทียมกันซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์คือ การปรากฏตัวของลูกบอลหนึ่งหรืออีกลูกจากโกศที่บรรจุลูกบอลหลายลูกที่มีขนาด น้ำหนัก และลักษณะที่จับต้องได้อื่นๆ ที่เหมือนกัน โดยจะต่างกันเพียงสีเท่านั้น ผสมให้เข้ากันก่อนนำออก

ดังนั้น การทดสอบที่ผลลัพธ์กลายเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้และเป็นไปได้เท่าเทียมกัน กล่าวกันว่าสามารถลดรูปแบบของโกศ หรือรูปแบบของเคส หรือปรับให้เข้ากับรูปแบบคลาสสิกได้

เหตุการณ์ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกันและเข้ากันไม่ได้ซึ่งประกอบกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์จะเรียกว่ากรณีหรือโอกาส ยิ่งไปกว่านั้น ในการทดลองแต่ละครั้ง เหตุการณ์ที่ซับซ้อนมากขึ้นอาจเกิดขึ้นได้พร้อมกับกรณีต่างๆ ด้วย

ตัวอย่าง: เมื่อโยนลูกเต๋าพร้อมกับกรณี A i - การสูญเสีย i-point ที่ด้านบน เราสามารถพิจารณาเหตุการณ์เช่น B - การสูญเสียคะแนนเป็นจำนวนคู่ C - การสูญเสียจำนวน จุดที่เป็นผลคูณของสาม...

ในส่วนของแต่ละเหตุการณ์ที่อาจเกิดขึ้นระหว่างการทดลองจะแบ่งออกเป็นกรณีต่างๆ ดีซึ่งเหตุการณ์นี้เกิดขึ้น และเป็นผลเสียซึ่งเหตุการณ์นั้นไม่เกิดขึ้น ในตัวอย่างก่อนหน้านี้ เหตุการณ์ B ได้รับการสนับสนุนโดยกรณี A 2, A 4, A 6; เหตุการณ์ C - กรณี A 3, A 6

ความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกการเกิดขึ้นของเหตุการณ์บางอย่างเรียกว่าอัตราส่วนของจำนวนกรณีที่เอื้อต่อการเกิดเหตุการณ์นี้ต่อจำนวนรวมของกรณีที่เข้ากันไม่ได้และเป็นไปได้เท่ากันซึ่งประกอบกันเป็นกลุ่มทั้งหมดในการทดลองที่กำหนด:

ที่ไหน พี(เอ)- ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A; ม- จำนวนคดีที่เป็นผลดีต่อเหตุการณ์ A; n- จำนวนคดีทั้งหมด

ตัวอย่าง:

1) (ดูตัวอย่างด้านบน) พี(บี)= , ป(ค) =.

2) โกศประกอบด้วยลูกบอลสีแดง 9 ลูกและสีน้ำเงิน 6 ลูก ค้นหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลหนึ่งหรือสองลูกสุ่มขึ้นมาจะกลายเป็นสีแดง

ก- ลูกบอลสีแดงสุ่มขึ้นมา:

ม= 9, n= 9 + 6 = 15, พี(เอ)=

บี- ลูกบอลสีแดงสองลูกสุ่มจับ:

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น (แสดงด้วยตัวคุณ):

1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือ 0;

2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้คือ 1;

3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ อยู่ระหว่าง 0 ถึง 1;

4) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้ามกับเหตุการณ์ A

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นถือว่าจำนวนผลลัพธ์ของการทดลองมีจำกัด ในทางปฏิบัติมักมีการทดสอบ ซึ่งจำนวนกรณีที่เป็นไปได้นั้นไม่มีที่สิ้นสุด นอกจากนี้จุดอ่อนของคำจำกัดความแบบคลาสสิกคือบ่อยครั้งมากที่เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงผลการทดสอบในรูปแบบของชุดเหตุการณ์เบื้องต้น การระบุเหตุผลในการพิจารณาผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบให้เป็นไปได้เท่าเทียมกันนั้นยากยิ่งกว่า โดยปกติแล้ว ความเท่าเทียมกันของผลการทดสอบเบื้องต้นจะสรุปได้จากการพิจารณาเรื่องสมมาตร อย่างไรก็ตาม งานดังกล่าวมีน้อยมากในทางปฏิบัติ ด้วยเหตุผลเหล่านี้ ควบคู่ไปกับคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็น จึงมีการใช้คำจำกัดความอื่นๆ ของความน่าจะเป็นด้วย

ความน่าจะเป็นทางสถิติเหตุการณ์ A คือความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์นี้ในการทดสอบที่ดำเนินการ:

ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A คือที่ไหน

ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดเหตุการณ์ A;

จำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์ A ปรากฏ

จำนวนการทดลองทั้งหมด

ความน่าจะเป็นทางสถิติแตกต่างจากความน่าจะเป็นแบบคลาสสิกตรงที่เป็นลักษณะของความน่าจะเป็นเชิงทดลอง

ตัวอย่าง: เพื่อควบคุมคุณภาพของผลิตภัณฑ์จากแบทช์ จะมีการสุ่มเลือกผลิตภัณฑ์ 100 รายการ โดยในจำนวนนี้มีผลิตภัณฑ์ 3 รายการที่มีข้อบกพร่อง กำหนดความน่าจะเป็นของการแต่งงาน.

วิธีการทางสถิติในการพิจารณาความน่าจะเป็นใช้ได้กับเหตุการณ์ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้เท่านั้น:

เหตุการณ์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาควรเป็นผลลัพธ์ของการทดสอบเท่านั้นที่สามารถทำซ้ำได้ไม่จำกัดจำนวนครั้งภายใต้เงื่อนไขชุดเดียวกัน

เหตุการณ์จะต้องมีความเสถียรทางสถิติ (หรือความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์) ซึ่งหมายความว่าในการทดสอบชุดต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย

จำนวนการทดลองที่ส่งผลให้เหตุการณ์ A ต้องมีค่อนข้างมาก

ง่ายต่อการตรวจสอบว่าคุณสมบัติของความน่าจะเป็นที่เกิดจากคำจำกัดความแบบคลาสสิกนั้นยังคงอยู่ในคำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็นด้วย

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นถือว่าผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมด เป็นไปได้เท่าเทียมกัน- ความเท่าเทียมกันของผลลัพธ์ของการทดลองจะสรุปได้เนื่องจากการพิจารณาความสมมาตร (เช่นในกรณีของเหรียญหรือลูกเต๋า) ปัญหาในการพิจารณาเรื่องความสมมาตรนั้นหาได้ยากในทางปฏิบัติ ในหลายกรณี เป็นการยากที่จะให้เหตุผลที่เชื่อได้ว่าผลลัพธ์เบื้องต้นทั้งหมดเป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน ในเรื่องนี้ จำเป็นต้องแนะนำคำจำกัดความของความน่าจะเป็นอีกแบบหนึ่งที่เรียกว่า เชิงสถิติ- เพื่อให้คำนิยามนี้ แนวคิดเรื่องความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์จึงถูกนำมาใช้เป็นครั้งแรก

ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์, หรือ ความถี่คืออัตราส่วนของจำนวนการทดลองที่เกิดเหตุการณ์นี้กับจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการ ให้เราแสดงความถี่ของเหตุการณ์ด้วย จากนั้นตามคำจำกัดความ

(1.4.1)
โดยที่ คือจำนวนการทดลองที่เกิดเหตุการณ์ขึ้น และคือจำนวนการทดลองทั้งหมดที่ดำเนินการ

ความถี่ของเหตุการณ์มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้

การสังเกตทำให้สามารถระบุได้ว่าความถี่สัมพัทธ์มีคุณสมบัติของความเสถียรทางสถิติ: ในการทดสอบพหุนามหลายชุด (ซึ่งแต่ละเหตุการณ์นี้อาจปรากฏขึ้นหรือไม่ก็ได้) จะใช้ค่าค่อนข้างใกล้เคียงกับค่าคงที่บางส่วน ค่าคงที่ซึ่งเป็นลักษณะเชิงตัวเลขเชิงวัตถุของปรากฏการณ์ ถือเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่กำหนด

ความน่าจะเป็นเหตุการณ์คือตัวเลขที่ค่าความถี่ของเหตุการณ์ที่กำหนดถูกจัดกลุ่มในชุดการทดสอบต่างๆ จำนวนมาก

คำจำกัดความของความน่าจะเป็นนี้เรียกว่า เชิงสถิติ.

ในกรณีของคำจำกัดความทางสถิติ ความน่าจะเป็นจะมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:
1) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง
2) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์
3) ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มอยู่ระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง
4) ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์เท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้

ตัวอย่างที่ 1จากการสุ่มชิ้นส่วน 500 ชิ้น มีชิ้นส่วนชำรุด 8 ชิ้น ค้นหาความถี่ของชิ้นส่วนที่ชำรุด

สารละลาย.เนื่องจากในกรณีนี้ = 8, = 500 ดังนั้นตามสูตร (1.4.1) เราจึงพบ

ตัวอย่างที่ 2- ทอยลูกเต๋า 60 ครั้ง ในขณะที่ หกปรากฏ 10 ครั้ง ความถี่ของการเกิดขึ้นคืออะไร หก?

สารละลาย.จากเงื่อนไขของปัญหาจะได้ว่า = 60, = 10 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 3ในบรรดาทารกแรกเกิด 1,000 คน มีเด็กผู้ชาย 515 คน อัตราการเกิดของเด็กผู้ชายคือเท่าไร?
สารละลาย.เนื่องจากในกรณีนี้แล้ว .

ตัวอย่างที่ 4จากการยิงเข้าเป้า 20 นัดทำให้ได้รับ 15 ครั้ง อัตราการตีคืออะไร?

สารละลาย.เนื่องจาก = 20, = 15 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 5เมื่อยิงไปที่เป้าหมาย อัตราการยิง = 0.75 ค้นหาจำนวนครั้งที่โดน 40 นัด

สารละลาย.จากสูตร (1.4.1) จะได้ว่า . เนื่องจาก = 0.75, = 40 ดังนั้น . จึงได้รับการโจมตี 30 ครั้ง

ตัวอย่างที่ 6 www.. เพาะเมล็ดแล้ว 970 เมล็ด เพาะแล้วกี่เมล็ด?

สารละลาย.จากสูตร (1.4.1) จะได้ว่า . ตั้งแต่ , , แล้ว . ดังนั้น จึงหว่านเมล็ดพืชไว้ 1,000 เมล็ด

ตัวอย่างที่ 7ในส่วนของอนุกรมธรรมชาติตั้งแต่ 1 ถึง 20 ให้ค้นหาความถี่ของจำนวนเฉพาะ

สารละลาย.ในส่วนที่ระบุของชุดตัวเลขธรรมชาติจะมีจำนวนเฉพาะดังต่อไปนี้: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19; มีทั้งหมด 8 อัน เนื่องจาก = 20, = 8 ดังนั้นความถี่ที่ต้องการ

.

ตัวอย่างที่ 8มีการโยนเหรียญสมมาตรหลายชุดสามชุด จำนวนที่ปรากฏของแขนเสื้อคำนวณ: 1) = 4040, = 2048, 2) = 12000, = 6019; 3) = 24000, = 12012 ค้นหาความถี่ของการปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนในการทดสอบแต่ละชุด

สารละลาย- ตามสูตร (1.4.1) เราพบ:

ความคิดเห็นตัวอย่างเหล่านี้บ่งชี้ว่าจากการทดลองซ้ำๆ ความถี่ของเหตุการณ์แตกต่างจากความน่าจะเป็นเพียงเล็กน้อย ความน่าจะเป็นที่แขนเสื้อจะปรากฏเมื่อโยนเหรียญคือ p = 1/2 = 0.5 เนื่องจากในกรณีนี้ n = 2, m = 1

ตัวอย่างที่ 9ในบรรดาชิ้นส่วน 300 ชิ้นที่ผลิตด้วยเครื่องจักรอัตโนมัติ มี 15 ชิ้นที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน ค้นหาความถี่ของการเกิดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน

สารละลาย.ในกรณีนี้ n = 300, m = 15 ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 10ผู้ตรวจสอบตรวจสอบคุณภาพผลิตภัณฑ์ 400 รายการพบว่า 20 รายการเป็นของเกรดสองและที่เหลือเป็นของเกรดแรก ค้นหาความถี่ของผลิตภัณฑ์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 1 ความถี่ของผลิตภัณฑ์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 2

สารละลาย.ก่อนอื่น เรามาค้นหาจำนวนผลิตภัณฑ์ของเกรดแรกกันดีกว่า: 400 - 20 = 380 เนื่องจาก n = 400, = 380 ดังนั้นความถี่ของผลิตภัณฑ์ของเกรดแรก

ในทำนองเดียวกันเราพบความถี่ของผลิตภัณฑ์ของเกรดสอง:

งาน

1. แผนกควบคุมทางเทคนิคค้นพบผลิตภัณฑ์ที่ไม่ได้มาตรฐาน 10 รายการในชุดผลิตภัณฑ์ 1,000 รายการ ค้นหาความถี่ของการผลิตสินค้าที่มีข้อบกพร่อง
2. เพื่อกำหนดคุณภาพของเมล็ดพืช จึงได้คัดเลือกเมล็ดพันธุ์จำนวน 100 เมล็ดและหว่านในสภาพห้องปฏิบัติการ 95เมล็ดงอกตามปกติ ความถี่ในการงอกของเมล็ดปกติคือเท่าไร?
3. ค้นหาความถี่ของการเกิดขึ้นของจำนวนเฉพาะในส่วนต่อไปนี้ของอนุกรมธรรมชาติ: ก) จาก 21 ถึง 40; b) จาก 41 ถึง 50; ค) จาก 51 ถึง 70
4. ค้นหาความถี่ของการเกิดตัวเลขในการโยนเหรียญสมมาตร 100 ครั้ง (ดำเนินการทดลองด้วยตัวเอง)
5. ค้นหาความถี่ของการทอยลูกเต๋าหกใน 90 ครั้ง
6. โดยการสำรวจนักเรียนทุกคนในหลักสูตรของคุณ ให้กำหนดความถี่ของวันเกิดในแต่ละเดือนของปี
7. ค้นหาความถี่ของคำห้าตัวอักษรในข้อความหนังสือพิมพ์

คำตอบ

1. 0.01. 2. 0.95; 0.05. 3.ก) 0.2; ข) 0.3; ค) 0.2.

คำถาม

1. ความถี่ของเหตุการณ์คืออะไร?
2. เหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีความถี่เท่าใด
3. เหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้มีความถี่เท่าใด
4. อะไรคือขีดจำกัดของความถี่ของเหตุการณ์สุ่ม?
5. ความถี่ของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้สองเหตุการณ์คือเท่าใด
6. คำจำกัดความของความน่าจะเป็นใดเรียกว่าสถิติ
7. ความน่าจะเป็นทางสถิติมีคุณสมบัติอะไรบ้าง?

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น

ให้ผลลัพธ์เบื้องต้น (เหตุการณ์) ปรากฏขึ้นจากการทดสอบ: ω 1, ω 2, ω 3, …, ω ม, ω ม. +1, …, ωnซึ่งก่อให้เกิดกลุ่มที่สมบูรณ์ของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้ที่เข้ากันไม่ได้อย่างเท่าเทียมกัน

คำนิยาม:เราจะเรียกผลลัพธ์เบื้องต้นซึ่งเหตุการณ์ที่เราสนใจเกิดขึ้นอันเป็นผลดีต่อเหตุการณ์นี้

ให้งานที่เราสนใจ กสังเกตได้ว่าผลลัพธ์เบื้องต้นอย่างใดอย่างหนึ่งเกิดขึ้น: ω 1, ω 2, …, ω ม.

คำนิยาม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้ ต่อจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์:

โดยที่ m คือจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นที่เอื้ออำนวยต่อเหตุการณ์ A

n คือจำนวนผลการทดสอบเบื้องต้นที่เป็นไปได้ทั้งหมด

ตัวอย่าง:มีลูกบอลที่เหมือนกันหกลูกในโกศ โดยสองลูกเป็นสีแดง สามลูกเป็นสีน้ำเงิน และอีกหนึ่งลูกเป็นสีขาว เราสุ่มจับลูกบอล

ค้นหาความน่าจะเป็นว่าเขาไม่ขาว

สารละลาย:ผลลัพธ์เบื้องต้นเป็นไปได้ 6 ประการ:

ω 1- ลูกบอลสีขาวปรากฏขึ้น

ω 2, ω 3- ลูกบอลสีแดงปรากฏขึ้น

ω 4, ω 5, ω 6– ลูกบอลสีน้ำเงินปรากฏขึ้น

เราคำนวณความน่าจะเป็นในการจั่วลูกบอลที่ไม่ใช่สีขาว:

เพราะ ม = 5, n = 6.

คุณสมบัติต่อไปนี้เป็นไปตามคำจำกัดความของความน่าจะเป็น:

คุณสมบัติ 1: ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้มีค่าเท่ากับหนึ่ง

การพิสูจน์:เหตุการณ์นั้นแน่นอน ดังนั้น ผลการทดสอบเบื้องต้นทุกประการจึงสนับสนุนเหตุการณ์นั้น:

คุณสมบัติ 2:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือศูนย์

การพิสูจน์:เหตุการณ์นี้เป็นไปไม่ได้ ดังนั้นจึงไม่มีผลลัพธ์เบื้องต้นใดที่เป็นผลดีต่อเหตุการณ์:

คุณสมบัติ 3:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่มคือจำนวนบวกระหว่างศูนย์ถึงหนึ่ง

การพิสูจน์:เหตุการณ์สุ่มจะสนับสนุนเพียงส่วนหนึ่งของจำนวนผลลัพธ์เบื้องต้นของการทดสอบทั้งหมด เพราะฉะนั้น, 0 < m < n , แล้ว:

บทสรุป:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ เป็นไปตามความไม่เท่าเทียมกัน:

โปรดทราบว่าคำจำกัดความดั้งเดิมของความน่าจะเป็นนั้นมีข้อเสียอยู่ ตัวอย่างเช่น ถือว่าผลลัพธ์เบื้องต้นมีจำนวนจำกัด ในทางปฏิบัติ มักจะมีการทดสอบซึ่งจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ไม่มีที่สิ้นสุด นี่แสดงถึงข้อจำกัดของคำจำกัดความแบบคลาสสิก ข้อเสียเปรียบอีกประการหนึ่งของคำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น: มักเป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงผลการทดสอบในรูปแบบของชุดเหตุการณ์เบื้องต้น เป็นการยากยิ่งกว่าที่จะระบุเหตุผลในการพิจารณาเหตุการณ์เบื้องต้นให้เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกัน จำเป็นต้องมีการแนะนำคำจำกัดความอื่น ๆ ของความน่าจะเป็น

ก่อนจะนิยามความน่าจะเป็นทางสถิติ เรามานิยามความถี่สัมพัทธ์กันก่อน

คำนิยาม:ความถี่สัมพัทธ์ของเหตุการณ์คืออัตราส่วนของจำนวนการทดลอง m ซึ่งเหตุการณ์เกิดขึ้นกับจำนวนการทดลองทั้งหมด n ที่ได้ดำเนินการจริง:

โปรดทราบว่าความน่าจะเป็นจะคำนวณก่อนการทดสอบ และความถี่สัมพัทธ์ - หลังการทดสอบ

ตัวอย่าง:แผนกควบคุมคุณภาพ (แผนกควบคุมทางเทคนิค) ค้นพบชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐาน 3 ชิ้นในชุด 80 ชิ้นส่วนที่เลือกแบบสุ่ม

ในกรณีนี้ ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดชิ้นส่วนที่ไม่ได้มาตรฐานจะเท่ากับ:

คุณสมบัติความเสถียรของความถี่สัมพัทธ์:ในการทดลองต่างๆ ความถี่สัมพัทธ์เปลี่ยนแปลงเพียงเล็กน้อย (ยิ่งน้อย ยิ่งทำการทดสอบมากขึ้น) โดยจะผันผวนไปตามจำนวนคงที่ที่แน่นอน

ปรากฎว่าจำนวนคงที่นี้คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น:

ก(A) หยาบคาย ป(A)

ตัวอย่าง:ตามสถิติของสวีเดน ความถี่สัมพัทธ์ของการเกิดของเด็กผู้หญิงในปี 1935 ต่อเดือน (เริ่มตั้งแต่เดือนมกราคม) มีลักษณะเป็นตัวเลขต่อไปนี้:

0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

แล้ว ว(ก) µ 0,481หยาบคาย พี(เอ)– ค่าประมาณความน่าจะเป็นในการมีบุตรสาว

คำนิยาม:ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คือจำนวนรอบๆ ที่ความถี่สัมพัทธ์ W(A) ทำให้ (ชุด) คงที่ โดยเพิ่มจำนวนการทดลองได้อย่างไม่จำกัด

เห็นได้ชัดว่าคุณสมบัติทั้งหมดของความน่าจะเป็นที่ตามมาจากคำจำกัดความดั้งเดิมนั้นยังคงอยู่ในคำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นคือระดับ (การวัด การประเมินเชิงปริมาณ) ของความเป็นไปได้ในการเกิดเหตุการณ์บางอย่าง เมื่อสาเหตุของเหตุการณ์ที่เป็นไปได้บางอย่างที่จะเกิดขึ้นจริงมีมากกว่าเหตุผลที่ตรงกันข้าม เหตุการณ์นี้เรียกว่าเป็นไปได้ ไม่เช่นนั้น - เหลือเชื่อหรือไม่น่าเป็นไปได้ ความเหนือกว่าของเหตุผลเชิงบวกมากกว่าเหตุผลเชิงลบ และในทางกลับกัน อาจมีระดับที่แตกต่างกัน ซึ่งเป็นผลมาจากความน่าจะเป็น (และความไม่น่าจะเป็นไปได้) อาจมากหรือน้อยก็ได้ ดังนั้น ความน่าจะเป็นจึงมักถูกประเมินในระดับคุณภาพ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกรณีที่การประเมินเชิงปริมาณที่แม่นยำไม่มากก็น้อยเป็นไปไม่ได้หรือยากมาก สามารถไล่ระดับ "ระดับ" ของความน่าจะเป็นได้หลากหลาย

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นขึ้นอยู่กับแนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นที่เท่าเทียมกันของผลลัพธ์ ความน่าจะเป็นคืออัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่น่าพึงพอใจสำหรับเหตุการณ์หนึ่งๆ ต่อจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเท่ากัน ตัวอย่างเช่น ความน่าจะเป็นที่จะได้หัวหรือก้อยในการสุ่มเหรียญคือ 1/2 หากสันนิษฐานว่ามีเพียงความเป็นไปได้สองอย่างนี้เท่านั้นที่เกิดขึ้นและเป็นไปได้เท่ากัน "คำจำกัดความ" แบบคลาสสิกของความน่าจะเป็นนี้สามารถสรุปได้ในกรณีของค่าที่เป็นไปได้จำนวนอนันต์ - ตัวอย่างเช่น หากเหตุการณ์บางอย่างสามารถเกิดขึ้นได้ด้วยความน่าจะเป็นที่เท่ากันที่จุดใดก็ได้ (จำนวนจุดไม่มีที่สิ้นสุด) ของขอบเขตที่จำกัดของ พื้นที่ (ระนาบ) จากนั้นความน่าจะเป็นที่มันจะเกิดขึ้นในบางส่วนของบริเวณที่เป็นไปได้นี้เท่ากับอัตราส่วนของปริมาตร (พื้นที่) ของส่วนนี้ต่อปริมาตร (พื้นที่) ของบริเวณของจุดที่เป็นไปได้ทั้งหมด

คำอธิบายความน่าจะเป็นของปรากฏการณ์บางอย่างได้แพร่หลายในวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ โดยเฉพาะอย่างยิ่งในเศรษฐมิติ ฟิสิกส์เชิงสถิติของระบบมหภาค (อุณหพลศาสตร์) ซึ่งแม้แต่ในกรณีของคำอธิบายเชิงกำหนดแบบคลาสสิกของการเคลื่อนที่ของอนุภาค ก็เป็นคำอธิบายเชิงกำหนดของทั้งระบบ ของอนุภาคดูเหมือนจะเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติหรือเหมาะสม ในฟิสิกส์ควอนตัม กระบวนการที่อธิบายไว้มีความน่าจะเป็นในธรรมชาติ

การเกิดขึ้นของแนวคิดและทฤษฎีความน่าจะเป็น

ผลงานชิ้นแรกเกี่ยวกับหลักคำสอนเรื่องความน่าจะเป็นมีอายุย้อนไปถึงศตวรรษที่ 17 เช่นจดหมายโต้ตอบของนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส B. Pascal, P. Fermat (1654) และนักวิทยาศาสตร์ชาวดัตช์ H. Huygens (1657) ซึ่งเป็นผู้ให้การตีความความน่าจะเป็นทางวิทยาศาสตร์ที่รู้จักกันเร็วที่สุด] โดยพื้นฐานแล้ว ฮอยเกนส์ดำเนินการโดยใช้แนวคิดเรื่องความคาดหวังทางคณิตศาสตร์อยู่แล้ว เจ. เบอร์นูลลี นักคณิตศาสตร์ชาวสวิสได้กำหนดกฎจำนวนมากสำหรับการออกแบบการทดลองอิสระโดยมีผลลัพธ์สองประการ (มรณกรรมในปี 1713) ในศตวรรษที่ 18 - ต้นศตวรรษที่ 19 ทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการพัฒนาในงานของ A. Moivre (อังกฤษ) (1718), P. Laplace (ฝรั่งเศส), C. Gauss (เยอรมนี) และ S. Poisson (ฝรั่งเศส) ทฤษฎีความน่าจะเป็นเริ่มนำมาใช้ในทฤษฎีข้อผิดพลาดในการสังเกต ซึ่งพัฒนาตามความต้องการด้านมาตรศาสตร์และดาราศาสตร์ และในทฤษฎีการยิง ควรสังเกตว่ากฎการกระจายข้อผิดพลาดนั้นถูกเสนอโดย Laplace โดยพื้นฐานแล้วเป็นการเสนอแบบเอ็กซ์โปเนนเชียลต่อข้อผิดพลาดโดยไม่คำนึงถึงเครื่องหมาย (ในปี 1774) จากนั้นเป็นฟังก์ชันเอ็กซ์โปเนนเชียลของข้อผิดพลาดกำลังสอง (ในปี 1778) กฎข้อหลังนี้มักเรียกว่าการแจกแจงแบบเกาส์เซียนหรือการแจกแจงแบบปกติ Bernoulli (1778) ได้แนะนำหลักการของผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกัน เอเดรียน มารี เลเจนเดร (1805) พัฒนาวิธีกำลังสองน้อยที่สุด

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 การพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับงานของนักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซีย P. L. Chebyshev, A. M. Lyapunov และ A. A. Markov (อาวุโส) รวมถึงงานสถิติทางคณิตศาสตร์โดย A. Quetelet (เบลเยียม) และ F. Galton (อังกฤษ) และนักฟิสิกส์เชิงสถิติ L Boltzmann (ในออสเตรีย) ผู้สร้างพื้นฐานสำหรับการขยายปัญหาทฤษฎีความน่าจะเป็นอย่างมีนัยสำคัญ รูปแบบตรรกะ (สัจพจน์) ที่ใช้กันทั่วไปที่สุดในปัจจุบันสำหรับการสร้างรากฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นได้รับการพัฒนาในปี 1933 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต A. N. Kolmogorov

คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็น:

ตามคำจำกัดความดั้งเดิม ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สุ่ม P(A) เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนผลลัพธ์ที่เป็นที่ชื่นชอบของ A ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่ประกอบเป็นพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น กล่าวคือ

ความน่าจะเป็นของทฤษฎีคลาสสิกแบบคงที่

การคำนวณความน่าจะเป็นในกรณีนี้ขึ้นอยู่กับการนับองค์ประกอบของเซตใดเซตหนึ่ง และมักจะกลายเป็นงานที่ต้องผสมผสานเพียงอย่างเดียว ซึ่งบางครั้งก็ยากมาก

คำจำกัดความแบบคลาสสิกจะมีเหตุผลเมื่อมีความเป็นไปได้ที่จะทำนายความน่าจะเป็นโดยพิจารณาจากความสมมาตรของเงื่อนไขที่เกิดขึ้นในการทดลอง และด้วยเหตุนี้ ความสมมาตรของผลลัพธ์ของการทดสอบ ซึ่งนำไปสู่แนวคิดเรื่อง "ความเป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน" ของผลลัพธ์ .

ตัวอย่างเช่น. หากโยนแม่พิมพ์ธรรมดาทางเรขาคณิตที่ทำจากวัสดุที่เป็นเนื้อเดียวกันเพื่อให้สามารถหมุนรอบได้เป็นจำนวนมากก่อนที่จะตกลงมา การสูญเสียใบหน้าใด ๆ ของมันจะถือเป็นผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ที่เท่าเทียมกัน

ด้วยเหตุผลเดียวกันของความสมมาตร ผลลัพธ์ของการทดลอง เช่น การเอาลูกบอลสีขาวและสีดำที่ผสมกันอย่างละเอียดและแยกไม่ออกออกจากลูกบอลสีขาวและสีดำที่สัมผัสได้ ถือว่าเป็นไปได้เท่าเทียมกัน ดังนั้น หลังจากลงทะเบียนสีแล้ว แต่ละลูกบอลจะถูกส่งกลับไปยังภาชนะ และหลังจากทำการลงทะเบียนสีอย่างละเอียดแล้ว ผสมลูกถัดไปจะถูกลบออก

บ่อยครั้งที่ความสมมาตรดังกล่าวพบได้ในการทดลองที่จัดขึ้นอย่างไม่ตั้งใจเช่นการพนัน

ดังนั้น คำจำกัดความคลาสสิกของความน่าจะเป็นจึงเกี่ยวข้องกับแนวคิดเรื่องโอกาสที่เท่าเทียมกัน และใช้สำหรับการทดลองที่ลดขนาดลงเป็นรูปแบบกรณีและปัญหา ในการทำเช่นนี้ จำเป็นที่เหตุการณ์ e1, e2, en เข้ากันไม่ได้ นั่นคือไม่สามารถปรากฏพร้อมกันได้ โดยที่พวกเขารวมตัวกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ กล่าวคือ พวกเขาใช้ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดจนหมดสิ้น (ไม่สามารถเป็นไปได้ว่าผลลัพธ์จากประสบการณ์จะไม่เกิดขึ้นเลย) เป็นไปได้อย่างเท่าเทียมกันโดยมีเงื่อนไขว่าการทดลองนั้นให้ความเป็นไปได้ที่เหมือนกันในการปรากฏตัวของแต่ละรายการ

ไม่ใช่ว่าทุกการทดลองจะเป็นไปตามแผนกรณี หากเงื่อนไขสมมาตรถูกละเมิดแสดงว่าไม่มีกรณีใดเกิดขึ้น

สูตร (1.1) ซึ่งเป็น "สูตรคลาสสิก" ถูกนำมาใช้เพื่อคำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตั้งแต่เริ่มต้นของการเกิดขึ้นของศาสตร์แห่งปรากฏการณ์สุ่ม

การทดลองที่ไม่มีความสมมาตรถูก "ปรับ" ให้เหมาะสมกับรูปแบบของกรณีต่างๆ ปัจจุบัน นอกจาก "สูตรคลาสสิก" แล้ว ยังมีวิธีคำนวณความน่าจะเป็นเมื่อการทดลองไม่ได้ลดลงเป็นกรณีๆ ไป เพื่อจุดประสงค์นี้ จะใช้คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น

แนวคิดเรื่องความน่าจะเป็นทางสถิติจะถูกนำมาใช้ในภายหลัง แต่ตอนนี้เรากลับมาที่สูตรดั้งเดิมกันดีกว่า

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 1 การทดลองประกอบด้วยการโยนเหรียญสองเหรียญ ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะมีตราอาร์มอย่างน้อยหนึ่งอันปรากฏ

สารละลาย. เหตุการณ์สุ่ม A - การปรากฏตัวของเสื้อคลุมแขนอย่างน้อยหนึ่งอัน

พื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้นในการทดลองนี้ถูกกำหนดโดยผลลัพธ์ต่อไปนี้: E = (GG, GR, RG, RR) ซึ่งถูกกำหนดตามลำดับ e1, e2, e3, e4 ดังนั้น,

อี=อี1, อี2, อี3, อี4; n=4.

มีความจำเป็นต้องกำหนดจำนวนผลลัพธ์จาก E ที่สนับสนุนการเกิดขึ้นของ A ซึ่งได้แก่ e1, e2, e3; หมายเลขของพวกเขาคือ m=3

เรามีสูตรดั้งเดิมในการพิจารณาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A

ตัวอย่างที่ 2 ในโกศมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 4 ลูก ลูกบอลหนึ่งลูกถูกดึงออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ลูกบอลลูกนี้เป็นสีขาว

สารละลาย. เหตุการณ์สุ่ม A - มีลักษณะเป็นลูกบอลสีขาว สเปซของเหตุการณ์เบื้องต้น E รวมถึงผลลัพธ์ e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7 โดยที่ ei คือ ลักษณะที่ปรากฏของลูกบอลหนึ่งลูก (สีขาวหรือสีดำ)

E=(e1, e2, e3, e4, 5, e6, e7), n=7

เหตุการณ์สุ่ม A ในปริภูมิ E มีผลลัพธ์ 3 ประการที่สนับสนุน ม.=3. เพราะฉะนั้น,

ตัวอย่างที่ 3 ในโกศมีลูกบอลสีขาว 3 ลูกและสีดำ 4 ลูก ลูกบอลสองลูกถูกดึงออกมาจากโกศ จงหาความน่าจะเป็นที่ทั้งสองจะเป็นสีขาว

สารละลาย. เหตุการณ์สุ่ม A - ลูกบอลทั้งสองลูกจะเป็นสีขาว

ตัวอย่างที่ 3 แตกต่างจากตัวอย่างที่ 2 ในตัวอย่างที่ 3 ผลลัพธ์ที่ประกอบเป็นช่องว่างของผลลัพธ์เบื้องต้น E จะไม่ใช่ลูกบอลแต่ละลูก แต่รวมลูกบอล 7 ลูกเข้าด้วยกันด้วย 2 นั่นคือเพื่อกำหนดมิติของ E มันคือ จำเป็นในการกำหนดจำนวนชุดค่าผสมของ 7 คูณ 2 ในการทำเช่นนี้คุณต้องใช้สูตรเชิงผสมซึ่งระบุไว้ในส่วน "วิธีการเชิงผสม" ในกรณีนี้ เพื่อกำหนดจำนวนชุดค่าผสมตั้งแต่ 7 ถึง 2 จะใช้สูตรเพื่อกำหนดจำนวนชุดค่าผสม

เนื่องจากการเลือกทำโดยไม่ต้องส่งคืนและลำดับที่ลูกบอลปรากฏนั้นไม่สำคัญ ดังนั้น,

จำนวนชุดค่าผสมที่เอื้ออำนวยต่อการเกิดขึ้นของเหตุการณ์ A ถูกกำหนดเป็น

เพราะฉะนั้น, .

คำจำกัดความทางสถิติของความน่าจะเป็น

เมื่อดูผลการทดสอบแต่ละรายการ จะพบรูปแบบใดๆ ได้ยากมาก อย่างไรก็ตาม ในลำดับการทดสอบที่เหมือนกัน ก็เป็นไปได้ที่จะตรวจจับความเสถียรของคุณลักษณะโดยเฉลี่ยบางประการได้ ความถี่ของเหตุการณ์ใดๆ ในชุดการทดลอง n รายการที่กำหนดคืออัตราส่วน m/n ซึ่งเป็นจำนวน m ของการทดลองที่มีเหตุการณ์ A เกิดขึ้น ต่อจำนวนการทดลองทั้งหมด n รายการ ในการทดสอบเกือบทุกชุดที่มีความยาวเพียงพอ ความถี่ของเหตุการณ์ A จะถูกตั้งค่าไว้ประมาณค่าหนึ่ง ซึ่งถือเป็นความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ความเสถียรของค่าความถี่ได้รับการยืนยันโดยการทดลองพิเศษ รูปแบบทางสถิติประเภทนี้ถูกค้นพบครั้งแรกโดยใช้ตัวอย่างของการพนัน นั่นคือการใช้ตัวอย่างของการทดสอบที่มีความเป็นไปได้ที่จะเกิดผลลัพธ์ นี่เป็นการเปิดทางสำหรับแนวทางทางสถิติในการกำหนดตัวเลขของความน่าจะเป็นเมื่อเงื่อนไขสมมาตรของการทดสอบถูกละเมิด ความถี่ของเหตุการณ์ A เรียกว่าความน่าจะเป็นทางสถิติ ซึ่งระบุด้วย

โดยที่ mA คือจำนวนการทดลองที่มีเหตุการณ์ A ปรากฏขึ้น

n คือจำนวนการทดลองทั้งหมด

สูตร (1.1) และ (1.2) สำหรับการพิจารณาความน่าจะเป็นมีความคล้ายคลึงกันอย่างผิวเผิน แต่ต่างกันโดยพื้นฐานแล้ว สูตร (1.1) ทำหน้าที่คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตามทฤษฎีภายใต้เงื่อนไขการทดลองที่กำหนด สูตร (1.2) ทำหน้าที่ทดสอบความถี่ของเหตุการณ์ หากต้องการใช้สูตร (1.2) จำเป็นต้องมีเนื้อหาทางสถิติที่มีประสบการณ์

แนวทางเชิงสัจพจน์ในการพิจารณาความน่าจะเป็น

แนวทางที่สามในการพิจารณาความน่าจะเป็นคือแนวทางเชิงสัจพจน์ ซึ่งระบุความน่าจะเป็นโดยการแสดงรายการคุณสมบัติต่างๆ

คำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับของความน่าจะเป็นถูกกำหนดขึ้นในปี 1933 โดย A. N. Kolmogorov ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นจะถูกระบุเป็นฟังก์ชันตัวเลข P(A) บนเซตของเหตุการณ์ทั้งหมดที่กำหนดโดยการทดลองที่กำหนด ซึ่งเป็นไปตามสัจพจน์ต่อไปนี้:

P(A)=1 ถ้า A เป็นเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้

ถ้า A และ B ไม่สอดคล้องกัน

คุณสมบัติพื้นฐานของความน่าจะเป็น

สำหรับแต่ละเหตุการณ์สุ่ม A ความน่าจะเป็นจะถูกกำหนด และ

สำหรับเหตุการณ์ที่เชื่อถือได้ U ค่าความเท่าเทียมกัน P(U)=1 จะคงอยู่ตามนิยามของความน่าจะเป็น

หากเหตุการณ์ A และ B เข้ากันไม่ได้ ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็น คุณสมบัตินี้เรียกว่าสูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นในบางกรณี (สำหรับเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้)

สำหรับเหตุการณ์ตามอำเภอใจ A และ B

คุณสมบัตินี้เรียกว่าสูตรสำหรับการเพิ่มความน่าจะเป็นในกรณีทั่วไป

สำหรับเหตุการณ์ตรงข้าม A ความเท่าเทียมกันจะคงอยู่

นอกจากนี้ยังมีการแนะนำและกำหนดเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้ซึ่งไม่ได้รับการส่งเสริมโดยผลลัพธ์ใด ๆ จากพื้นที่ของเหตุการณ์เบื้องต้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เป็นไปไม่ได้คือ 0, P()=0

ตัวอย่าง. ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวสุ่มเลือกจากผลการสำรวจมีโทรทัศน์สี ขาวดำ หรือสีและขาวดำ คือ 0.86 ตามลำดับ 0.35; 0.29. ความน่าจะเป็นที่ครอบครัวหนึ่งจะมีทีวีสีหรือขาวดำเป็นเท่าใด

สารละลาย. ให้เหตุการณ์ A เป็นไปตามที่ครอบครัวมีโทรทัศน์สี

เหตุการณ์ B คือ ครอบครัวมีทีวีขาวดำ

เหตุการณ์ C คือ ครอบครัวมีโทรทัศน์สีหรือขาวดำ เหตุการณ์ C ถูกกำหนดผ่าน A และ B ในรูปแบบ ดังนั้น A และ B จึงเข้ากันได้

วิธีการผสมผสาน

ในปัญหาความน่าจะเป็นหลายๆ ปัญหา จำเป็นต้องแสดงรายการผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการทดลองหรือเหตุการณ์เบื้องต้นที่เป็นไปได้ในสถานการณ์ที่กำหนด หรือเพื่อคำนวณจำนวน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณสามารถใช้กฎต่อไปนี้

กฎข้อที่ 1 ถ้าการดำเนินการประกอบด้วยสองขั้นตอน โดยขั้นตอนแรกสามารถทำได้ n1 วิธี และขั้นตอนที่สองสามารถทำได้ n2 วิธี ดังนั้นการดำเนินการทั้งหมดสามารถทำได้ n1·n2 วิธี

คำว่า "การดำเนินการ" หมายถึงขั้นตอน กระบวนการ หรือวิธีการใดๆ ก็ตามที่เลือก

เพื่อยืนยันกฎนี้ ให้พิจารณาการดำเนินการที่ประกอบด้วยขั้นตอน xi และ yi ขั้นตอน x สามารถดำเนินการได้ n1 วิธี กล่าวคือ ขั้นตอน y สามารถดำเนินการได้ n2 วิธี กล่าวคือ จากนั้นอนุกรมของวิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมดสามารถแสดงด้วยคู่ n1n2 ต่อไปนี้:

ตัวอย่าง. มีผลลัพธ์ที่เป็นไปได้กี่ข้อในการทดลองที่มีการทอยลูกเต๋าสองลูก

สารละลาย. โดย x และ y ในกรณีนี้ เราหมายถึงการสูญเสียหน้าใดๆ ในลูกเต๋าตัวแรกและตายครั้งที่สอง การสูญเสียหน้าในการตายครั้งแรกเป็นไปได้หกวิธี xi, ; ใบหน้าของลูกเต๋าตัวที่สองสามารถหลุดออกมาได้หกวิธี xj,

วิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด 6.6=36

กฎข้อที่ 2 ถ้าการดำเนินการประกอบด้วย k ขั้นตอน โดยขั้นตอนแรกสามารถทำได้ด้วยวิธี n1 วิธี ขั้นตอนที่สองทำได้ด้วยวิธี n2 วิธีที่สามทำได้ด้วยวิธี n2 ฯลฯ วิธี k-th การดำเนินการทั้งหมดสามารถทำได้ใน n1·n2…nk ขั้นตอน

ตัวอย่าง. ผู้ตรวจสอบคุณภาพต้องการเลือกชิ้นส่วนจากแต่ละคอนเทนเนอร์ทั้งสี่ที่มี 4, 3, 5 และ 4 ส่วนตามลำดับ เขาสามารถทำได้กี่วิธี?

สารละลาย. จำนวนวิธีทั้งหมดถูกกำหนดเป็น 4·3·5·4=240

ตัวอย่าง. นักเรียนสามารถตอบคำถาม 20 ข้อได้หลายวิธีที่เป็นไปได้ โดยสามารถตอบ "ใช่" หรือ "ไม่" ในแต่ละคำถามได้กี่วิธี

สารละลาย. วิธีที่เป็นไปได้ทั้งหมด 2·2...2=220=1048576

บ่อยครั้งในทางปฏิบัติ สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อต้องเรียงลำดับวัตถุ

ตัวอย่างเช่น: คน 6 คนสามารถนั่งรอบโต๊ะได้กี่วิธี? การจัดเรียงที่แตกต่างกันเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยน

ตัวอย่าง. ตัวอักษร a, b, c สามารถเรียงสับเปลี่ยนได้กี่ครั้ง

สารละลาย. ตำแหน่งที่เป็นไปได้ abc, acb, bac, bca, cab, cba จำนวนสถานที่ที่เป็นไปได้คือหก

การสรุปตัวอย่างนี้ สำหรับวัตถุ n รายการจะมีเพียง n·(n-1)(n-2)…3 ·2 ·1 วิธีที่แตกต่างกันหรือ n! กล่าวคือ จำนวนการเรียงสับเปลี่ยน n!=1·2·3... · (n-2)(n-1)n โดยมี 0!=1

กฎข้อที่ 3 จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้นที่แตกต่างกันจะเท่ากับ n!

ตัวอย่าง. จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของตัวอักษรสี่ตัวคือ 4!=24 แต่จะได้รับจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนจำนวนเท่าใดหากคุณเลือกตัวอักษร 2 ตัวจากสี่ตัว

สารละลาย. เราต้องกรอกตัวอักษรสี่ตำแหน่งสองตัว สำหรับตำแหน่งแรก - 4 วิธี สำหรับตำแหน่งที่สอง - 3 วิธี ดังนั้นเมื่อใช้กฎข้อ 1 เราจะได้ 4·3=12

การสรุปตัวอย่างนี้กับอ็อบเจ็กต์ที่แตกต่างกัน n รายการ โดยที่อ็อบเจ็กต์ r ถูกเลือกโดยไม่ส่งคืนสำหรับ r > 0 โดยรวมแล้วจะมี n(n-1)...(n-r+1) เราแสดงตัวเลขนี้ และชุดค่าผสมที่ได้จะเรียกว่าตำแหน่ง

กฎข้อที่ 4 จำนวนตำแหน่งของวัตถุ n รายการด้วย r ถูกกำหนดเป็น

(สำหรับ r = 0,1,...,n)

การเรียงสับเปลี่ยนที่วัตถุถูกจัดเรียงเป็นวงกลมเรียกว่าการเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลม การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมสองครั้งไม่แตกต่างกัน (แต่นับเป็นหนึ่งเดียว) หากวัตถุที่สอดคล้องกันในการจัดเรียงทั้งสองมีวัตถุเหมือนกันทางซ้ายและขวา

ตัวอย่างเช่น หากคนสี่คนเล่นบริดจ์ เราจะไม่ได้รับการจัดการที่แตกต่างกันหากผู้เล่นทุกคนเลื่อนเก้าอี้ไปทางขวาหนึ่งตัว

ตัวอย่าง. การเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมที่เป็นไปได้จากคนสี่คนที่เล่นบริดจ์มีกี่วิธี? สารละลาย. หากเราเข้ารับตำแหน่งของผู้เล่นหนึ่งในสี่คนโดยพลการ เราสามารถวางตำแหน่งผู้เล่นอีกสามคนได้ 3 คน! กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามีการเรียงสับเปลี่ยนแบบวงกลมที่แตกต่างกันหกวิธี

เมื่อสรุปตัวอย่างนี้ เราจะได้กฎต่อไปนี้

กฎข้อที่ 5 จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n ชิ้นที่แตกต่างกันที่อยู่ในวงกลมคือ (n-1)!

จนถึงขณะนี้ มีการสันนิษฐานว่าวัตถุ n ที่เราเลือกวัตถุ r และสร้างการเรียงสับเปลี่ยนมีความแตกต่างกัน ดังนั้น สูตรที่กล่าวมาข้างต้นจึงไม่สามารถใช้เพื่อกำหนดจำนวนวิธีในการจัดเรียงตัวอักษรในคำว่า "หนังสือ" หรือจำนวนวิธีในการจัดเรียงโนเวลลา 3 ชุดและอีก 4 ชุดอย่างละ 1 ชุดจากโนเวลลาสอื่นๆ อีก 4 ชุด บนชั้นวาง

ตัวอย่าง. คำว่า "หนังสือ" มีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรต่างกันกี่แบบ?

สารละลาย. หากสิ่งสำคัญคือต้องแยกแยะตัวอักษร O เราจะแสดงว่าเป็น O1, O2 จากนั้นเราจะมีการเรียงสับเปลี่ยนตัวอักษรที่แตกต่างกัน 4!=24 ตัวใน O1, O2 และ K อย่างไรก็ตามหากเราละเว้นดัชนี O1 O2 และ O2 , O1 จะไม่แยกความแตกต่างอีกต่อไป ดังนั้นจำนวนการเรียงสับเปลี่ยนทั้งหมดจะเท่ากัน

ตัวอย่าง. โนเวลลาหนึ่งชุดและโนเวลลาอีกสี่ชุดสามารถจัดเรียงบนชั้นวางได้ด้วยวิธีที่แตกต่างกันกี่วิธี

สารละลาย. หากเรากำหนดสำเนาโนเวลลาแรกสามชุดเป็น a1, a2, a3 และโนเวลลาอีกสี่ชุด - b, c, d และ e ในกรณีนี้เรามี 7! วิธีที่แตกต่างและ 3! วิธีจัดเรียง a1,a2,a3

หากคุณละเว้นดัชนี จะมีวิธีต่างๆ มากมายในการจัดเรียงสำเนา

เมื่อสรุปข้อโต้แย้งเหล่านี้ เราได้รับกฎต่อไปนี้

กฎข้อ 6. จำนวนการเรียงสับเปลี่ยนของวัตถุ n โดยที่ n1 เป็นประเภทเดียว, n2 เป็นประเภทที่สอง, ..., nk เป็นประเภท k และ n1+n2+...+nk=n,

มีปัญหามากมายที่คุณต้องกำหนดจำนวนวิธีในการเลือกอ็อบเจ็กต์ r จากอ็อบเจ็กต์ที่แตกต่างกัน n ออบเจ็กต์ โดยไม่คำนึงถึงลำดับที่เลือก การรวมกันดังกล่าวเรียกว่าการรวมกัน

ตัวอย่าง. สามารถเลือกผู้สมัครสามคนจาก 20 คนสำหรับการสำรวจความคิดเห็นสาธารณะได้กี่วิธี?

สารละลาย. หากลำดับเป็นสิ่งสำคัญสำหรับเราในการเลือกผู้สมัคร จำนวนชุดค่าผสม แต่สามารถเลือกผู้สมัครทั้งสามแถวได้ 3 คน! ในทาง; ถ้าลำดับการเลือกไม่สำคัญก็ให้ใช้วิธีการเลือกทั้งหมด

ชุดค่าผสมโดยไม่ส่งคืนอ็อบเจ็กต์ r จากอ็อบเจ็กต์ที่แตกต่างกัน n อันที่แตกต่างกันในอ็อบเจ็กต์เอง แต่ไม่เรียงลำดับ เรียกว่าชุดค่าผสม

กฎข้อ 7 จำนวนการรวมกันของวัตถุ r จากวัตถุที่แตกต่างกัน n ชิ้นถูกกำหนดโดยจำนวน จำนวนชุดค่าผสมสามารถแสดงเป็น

ตัวอย่าง. คุณสามารถได้ 2 หัว 4 ก้อยด้วยการทอยเหรียญ 6 ครั้งด้วยวิธีที่แตกต่างกันกี่วิธี

สารละลาย. เนื่องจากลำดับการรับหัวและก้อยไม่สำคัญ ดังนั้นเมื่อใช้กฎข้อ 7 เราจึงได้

ตัวอย่าง. คณะของวิทยาลัยเล็กๆ แห่งหนึ่งที่มีนักเคมี 4 คน และนักฟิสิกส์ 3 คน สามารถตั้งคณะกรรมการที่แตกต่างกันได้กี่คณะ ซึ่งประกอบไปด้วยนักเคมี 2 คน และนักฟิสิกส์ 1 คน

สารละลาย. จำนวนการรวมกันของนักเคมี 4 คนจาก 2 คนสามารถหาได้ด้วยวิธี (หก) วิธี

สามารถเลือกหนึ่งในสามของนักฟิสิกส์ได้ (สาม) วิธี

จำนวนคณะกรรมการตามกฎข้อ 1 ถูกกำหนดเป็น 6·3=18

ตัวอย่าง. แถวที่มีวัตถุสี่ชิ้นสามารถแบ่งออกเป็นสามแถวที่มีวัตถุสองชิ้น หนึ่งชิ้น และหนึ่งชิ้น ตามลำดับได้กี่วิธี

สารละลาย. ให้เราแสดงวัตถุทั้งสี่นี้ด้วยตัวอักษร a, b, c, d จำนวนการแยกออกเป็นสอง หนึ่งและหนึ่งจะเป็น 12:

การแบ่งพาร์ติชันของวัตถุสองชิ้นสามารถหาได้ด้วยวิธีที่ให้ความเป็นไปได้ 6 แบบ จำนวนวิธีในการสร้างพาร์ติชันที่สอง และสำหรับพาร์ติชันที่สาม จำนวนวิธีคือ 1

ตามกฎข้อที่ 2 จำนวนวิธีการแบ่งพาร์ติชั่นทั้งหมดคือ (6·2·1)=12

เมื่อสรุปตัวอย่างนี้ เราได้รับกฎต่อไปนี้

กฎข้อที่ 8 จำนวนวิธีที่ชุดของวัตถุที่แตกต่างกัน n ชิ้นสามารถแบ่งออกเป็น k ส่วน โดยมีวัตถุ n1 ในส่วนที่ 1, n2 ในส่วนที่ 2, ... และ nk ใน kth จะได้จาก

ตัวอย่าง. นักธุรกิจ 7 คนจะสามารถรองรับนักธุรกิจ 7 คนในห้องพักโรงแรมแบบสามห้องหนึ่งห้องและสองห้องในโรงแรมได้กี่วิธี?

สารละลาย. ตามกฎข้อที่ 8 สามารถทำได้ (สองร้อย) วิธี

หลักฐานของกฎข้อ 8

เนื่องจากสามารถเลือกวัตถุ n1 ได้หลายวิธี จึงสามารถเลือก n2 ได้

ตามกฎข้อ 2 จำนวนวิธีทั้งหมดจะถูกกำหนดในรูปแบบ

การมอบหมายงานอิสระ

1. หนังสือสิบเล่มจะถูกสุ่มวางบนชั้นเดียว กำหนดความน่าจะเป็นที่หนังสือสามเล่มจะอยู่ใกล้ๆ

ตอบ: 0.066.

2. สุ่มหยิบไพ่สามใบจากสำรับไพ่ (52 ใบ) ค้นหาความน่าจะเป็นที่จะเป็นสาม เจ็ด และเอซ

คำตอบ: 0.0029.

3. มีตั๋วห้าใบมูลค่า 1 รูเบิลต่อใบ

ตั๋วสามใบราคาใบละ 3 รูเบิล

ตั๋วสองใบมีราคา 5 รูเบิลต่อใบ

ตั๋วสามใบจะถูกสุ่มเลือก กำหนดความน่าจะเป็นที่:

ก) ตั๋วอย่างน้อยสองใบมีราคาเท่ากัน

ตอบ: 0.75;

b) ตั๋วทั้งสามใบราคา 7 รูเบิล

ตอบ: 0.29.

4. กระเป๋าเงินประกอบด้วยเหรียญ 3 เหรียญ 20 kopeck และเหรียญ 7 เหรียญ 3 kopeck สุ่มหยิบเหรียญหนึ่งเหรียญจากนั้นนำเหรียญที่สองจำนวน 20 โกเปคออกมา

กำหนดความน่าจะเป็นที่เหรียญแรกจะมีราคา 20 โกเปคด้วย

คำตอบ: 0.22.

• 5. จากลอตเตอรี่สิบใบ มีสองถูกรางวัล กำหนดความน่าจะเป็นที่ตั๋วห้าใบจะถูกสุ่ม:
  • ก) คนหนึ่งชนะ;
  • b) ผู้ชนะสองคน;
  • c) ชนะอย่างน้อยหนึ่งครั้ง

ตอบ: 0.55, 0.22, 0.78

6. ในตะกร้ามีลูกบอล n ลูกที่มีตัวเลขตั้งแต่ 1 ถึง n โดยสุ่มลูกบอลออกทีละลูกโดยไม่คืนกลับมา ความน่าจะเป็นที่ในการจับสลาก k ครั้งแรก จำนวนลูกบอลจะตรงกับจำนวนการจับสลากเป็นเท่าใด

คำตอบ: (n - k)!/n!

วรรณกรรมที่ใช้

• 1. http://kurs.ido.tpu.ru/courses/theory_ver/tema2/tema2.html
• 2. http://free.megacampus.ru/xbookM0018/index.html?go=part-003*page.htm
• 3. http://www.testent.ru/publ/studenty/vysshaja_matematika/klassicheskoe_opredelenie_verojatnosti/35-1-0-1121
• 4. http://ru.wikipedia.org/
• 5. http://www.kolasc.net.ru/cdo/books/tv/page15.html

คำจำกัดความคลาสสิกและทางสถิติของความน่าจะเป็น ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิต

แนวคิดหลักของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิดเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่ม เหตุการณ์สุ่มคือเหตุการณ์ที่อาจหรืออาจไม่เกิดขึ้นหากตรงตามเงื่อนไขบางประการ ตัวอย่างเช่น การชนวัตถุบางอย่างหรือหายไปเมื่อยิงไปที่วัตถุนี้จากอาวุธที่กำหนดถือเป็นเหตุการณ์สุ่ม

เหตุการณ์จะเรียกว่าเชื่อถือได้หากเกิดขึ้นอย่างแน่นอนจากการทดสอบ เหตุการณ์ที่ไม่สามารถเกิดขึ้นได้เนื่องจากการทดสอบเรียกว่าเป็นไปไม่ได้

เหตุการณ์สุ่มกล่าวกันว่าไม่สอดคล้องกันในการทดลองหนึ่งๆ หากไม่มีเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งเกิดขึ้นพร้อมกันได้

เหตุการณ์สุ่มจะรวมกันเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์ หากในระหว่างการทดลองแต่ละครั้ง เหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งสามารถปรากฏขึ้นได้ และไม่มีเหตุการณ์อื่นใดที่ไม่สอดคล้องกับเหตุการณ์เหล่านั้นที่สามารถปรากฏได้

ให้เราพิจารณากลุ่มทั้งหมดของเหตุการณ์สุ่มที่เข้ากันไม่ได้ที่เป็นไปได้เท่าเทียมกัน เราจะเรียกเหตุการณ์ดังกล่าวว่าผลลัพธ์ กล่าวกันว่าผลลัพธ์สนับสนุนให้เกิดเหตุการณ์ A หากการเกิดขึ้นของเหตุการณ์นี้ก่อให้เกิดเหตุการณ์ A

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A คืออัตราส่วนของจำนวน m ของผลลัพธ์ที่เป็นประโยชน์ต่อเหตุการณ์นี้ ต่อจำนวนทั้งหมด n ของผลลัพธ์เบื้องต้นที่เข้ากันไม่ได้ทั้งหมดที่เป็นไปได้เท่ากันซึ่งก่อตัวเป็นกลุ่มที่สมบูรณ์

ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตเป็นวิธีหนึ่งในการระบุความน่าจะเป็น กำหนดให้ Ω เป็นเซตที่มีขอบเขตของปริภูมิแบบยุคลิดซึ่งมีปริมาตร แลมบ์ดา (Ω) (ความยาวหรือพื้นที่ตามลำดับในสถานการณ์หนึ่งหรือสองมิติ) ให้ ω เป็นจุดที่สุ่มมาจาก Ω ปล่อยให้ความน่าจะเป็นที่จุดหนึ่งจะถูกหยิบไป จากเซตย่อยให้เป็นสัดส่วนกับปริมาตร แลมบ์ดา (x) จากนั้นความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตของเซตย่อยจะถูกกำหนดเป็นอัตราส่วนของปริมาตร: คำจำกัดความทางเรขาคณิตของความน่าจะเป็นมักใช้ในวิธีมอนติคาร์โล เช่น เพื่อประมาณค่า ​​ของอินทิกรัลจำกัดจำนวนหลายตัว

ทฤษฎีบทการบวกและคูณความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบทการบวกและคูณความน่าจะเป็น

ผลรวมของสองเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A หรือ B เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์

ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของผลรวมของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ 2 เหตุการณ์จะเท่ากับผลรวมของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

P (A + B) = P (A) + P (B)

ในกรณีที่เหตุการณ์ A และ B เป็นเหตุการณ์ร่วมกัน ความแน่นอนของผลรวมจะแสดงด้วยสูตร

P (A + B) = P (A) + P (B) – P (AB)

โดยที่ AB เป็นผลคูณของเหตุการณ์ A และ B

เหตุการณ์สองเหตุการณ์เรียกว่าขึ้นอยู่กับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งขึ้นอยู่กับการเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นของอีกเหตุการณ์หนึ่ง ในกรณีของเหตุการณ์ที่ต้องพึ่งพา จะมีการแนะนำแนวคิดของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์

ความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไข P(A/B) ของเหตุการณ์ A คือความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ซึ่งคำนวณภายใต้เงื่อนไขที่เหตุการณ์ B เกิดขึ้น ในทำนองเดียวกัน P(B/A) แสดงถึงความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของเหตุการณ์ B โดยมีเงื่อนไขว่าเหตุการณ์ A จะต้องเกิดขึ้น

ผลคูณของสองเหตุการณ์ A และ B คือเหตุการณ์ C ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A และเหตุการณ์ B เกิดขึ้นร่วมกัน

ทฤษฎีบทการคูณความน่าจะเป็น

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์หนึ่งคูณด้วยความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของอีกเหตุการณ์หนึ่งต่อหน้าเหตุการณ์แรก:

P (AB) = P (A) · P (B/A) หรือ P (AB) = P (B) · P (A/B)

ผลที่ตามมา ความน่าจะเป็นที่จะเกิดขึ้นร่วมกันของเหตุการณ์อิสระสองเหตุการณ์ A และ B เท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์เหล่านี้:

พี (AB) = พี (A) · พี (B)

ผลที่ตามมา เมื่อทำการทดลองอิสระที่เหมือนกัน ในแต่ละเหตุการณ์ที่ A ปรากฏด้วยความน่าจะเป็น p ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ที่ปรากฏอย่างน้อยหนึ่งครั้งคือ 1 - (1 - p)n

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์อย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์ที่เกิดขึ้น ตัวอย่าง. สูตรเบย์

ความน่าจะเป็นที่จะทำผิดอย่างน้อยหนึ่งครั้งในหน้าสมุดบันทึกคือ p=0.1 สมุดบันทึกมี 7 หน้าเขียน ความน่าจะเป็น P ที่จะมีข้อผิดพลาดอย่างน้อยหนึ่งครั้งในสมุดบันทึกเป็นเท่าใด

ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ A ซึ่งประกอบด้วยเหตุการณ์ A1, A2,..., Аn ซึ่งเป็นอิสระจากผลรวม เท่ากับผลต่างระหว่างเอกภาพและผลคูณของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงข้าม Ġ1, Ǡ2, ... Ǡn.

P(A) = 1 - q1q2…qn

ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ตรงกันข้ามคือ q = 1 - p

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง หากเหตุการณ์ทั้งหมดมีความน่าจะเป็นเท่ากันเท่ากับ p ความน่าจะเป็นที่จะมีเหตุการณ์เหล่านี้เกิดขึ้นอย่างน้อยหนึ่งเหตุการณ์จะเท่ากับ:

Р(А) = 1 – qn = 1 – (1 – p)n = 1 – (1 – 0.1)7 = 0.522

ตอบ: 0.522

สูตรเบย์

สมมติว่ามีการทดลองบางอย่างเกิดขึ้น และสมมติฐานที่เป็นไปได้และเข้ากันไม่ได้กับความน่าจะเป็นสามารถแสดงเกี่ยวกับเงื่อนไขของการดำเนินการได้ ปล่อยให้เป็นผลมาจากเหตุการณ์การทดลอง A อาจเกิดขึ้นหรือไม่ก็ได้ และเป็นที่ทราบกันดีอยู่แล้ว หากการทดลองเกิดขึ้นเมื่อสมมติฐานสำเร็จแล้ว คำถามคือ ความน่าจะเป็นของสมมติฐานจะเป็นอย่างไร หากทราบว่าเหตุการณ์ A เกิดขึ้น กล่าวอีกนัยหนึ่ง เรามีความสนใจในค่าความน่าจะเป็น จากความสัมพันธ์ (4) และ (5) ที่เรามี แต่ตามสูตรความน่าจะเป็นรวม ดังนั้น สูตร (12) เรียกว่าสูตรของเบย์*

6.สูตรเบอร์นูลลี่ ตัวอย่าง.

สูตรของเบอร์นูลลีเป็นสูตรในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ช่วยให้คุณสามารถค้นหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ A ในระหว่างการทดลองอิสระ สูตรของเบอร์นูลลีช่วยให้คุณกำจัดการคำนวณจำนวนมาก - การบวกและการคูณความน่าจะเป็น - ด้วยการทดสอบจำนวนมากพอสมควร ตั้งชื่อตามนักคณิตศาสตร์ชาวสวิสผู้มีชื่อเสียง Jacob Bernoulli ซึ่งเป็นผู้คิดค้นสูตรนี้

สูตร

ทฤษฎีบท: หากความน่าจะเป็น p ของการเกิดเหตุการณ์ A ในการทดลองแต่ละครั้งมีค่าคงที่ ความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น k ครั้งในการทดลองอิสระ n ครั้งจะเท่ากับ: โดยที่ -

การพิสูจน์

เนื่องจากจากผลการทดสอบอิสระที่ดำเนินการภายใต้เงื่อนไขที่เหมือนกัน เหตุการณ์หนึ่งจึงเกิดขึ้นด้วยความน่าจะเป็น ดังนั้นเหตุการณ์ตรงกันข้ามกับความน่าจะเป็น ให้เราแสดงเหตุการณ์ในการทดลองด้วยตัวเลข เนื่องจากเงื่อนไขของการทดลองเหมือนกัน ความน่าจะเป็นเหล่านี้จึงเท่ากัน ปล่อยให้เหตุการณ์เกิดขึ้นหนึ่งครั้งจากการทดลอง จากนั้นในครั้งอื่นๆ จะไม่เกิดเหตุการณ์นี้ เหตุการณ์สามารถปรากฏได้ครั้งเดียวในการทดลองใช้ในชุดค่าผสมต่างๆ ซึ่งจำนวนจะเท่ากับจำนวนชุดค่าผสมขององค์ประกอบโดยสูตรจะพบจำนวนชุดค่าผสมนี้: ในกรณีนี้ ความน่าจะเป็นของแต่ละชุดค่าผสมจะเท่ากับผลคูณของความน่าจะเป็น: เมื่อใช้ทฤษฎีบทการบวกความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เข้ากันไม่ได้ เราจะได้สูตรเบอร์นูลลีสุดท้าย:

ทฤษฎีบทท้องถิ่นและทฤษฎีปริพันธ์ของลาปลาซ ตัวอย่าง.

ทฤษฎีบทท้องถิ่นและทฤษฎีปริพันธ์ของลาปลาซ

ทฤษฎีบทลาปลาซท้องถิ่น ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยในแต่ละการทดลองความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ p(0< р < 1), событие наступит ровно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n)
ในการกำหนดค่าของφ(x) คุณสามารถใช้ตารางพิเศษได้

ทฤษฎีบทอินทิกรัลของลาปลาซ ความน่าจะเป็นที่ในการทดลองอิสระ n การทดลอง โดยในแต่ละการทดลองความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นจะเท่ากับ p(0< р < 1), событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна

P(k1;k2)=Φ(x"") - Φ(x")

ที่นี่ -ฟังก์ชัน Laplace ค่าของฟังก์ชัน Laplace พบได้โดยใช้ตารางพิเศษ

ตัวอย่าง. จงหาความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้น 70 ครั้งพอดีในการทดลอง 243 ครั้ง ถ้าความน่าจะเป็นที่เหตุการณ์ A จะเกิดขึ้นในการทดลองแต่ละครั้งคือ 0.25

สารละลาย. ตามเงื่อนไข n=243; เค = 70; พี =0.25; ค= 0.75 เนื่องจาก n=243 เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมาก เราจึงใช้ทฤษฎีบทท้องถิ่นของลาปลาซ: โดยที่ x = (k-np)/ √npq

ลองหาค่าของ x จากตาราง n เราจะพบว่า f(1.37) = 0.1561 ความน่าจะเป็นที่ต้องการ

P(243)(70) = 1/6.75*0.1561 =0.0231

ลักษณะเชิงตัวเลขของปริมาณที่ไม่ต่อเนื่อง ตัวอย่าง

ลักษณะเชิงตัวเลขของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่อง

กฎการกระจายกำหนดลักษณะของตัวแปรสุ่มโดยสมบูรณ์ อย่างไรก็ตาม เมื่อไม่สามารถหากฎการแจกแจงได้หรือไม่จำเป็น คุณสามารถจำกัดตัวเองให้ค้นหาค่าที่เรียกว่าลักษณะตัวเลขของตัวแปรสุ่มได้ ค่าเหล่านี้จะกำหนดค่าเฉลี่ยบางส่วนซึ่งมีการจัดกลุ่มค่าของตัวแปรสุ่มและระดับที่กระจัดกระจายรอบค่าเฉลี่ยนี้

คำนิยาม. ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์ของตัวแปรสุ่มแบบไม่ต่อเนื่องคือผลรวมของผลคูณของค่าที่เป็นไปได้ทั้งหมดของตัวแปรสุ่มและความน่าจะเป็น

ความคาดหวังทางคณิตศาสตร์จะเกิดขึ้นหากอนุกรมที่อยู่ทางด้านขวาของความเสมอภาคมาบรรจบกันโดยสิ้นเชิง

จากมุมมองของความน่าจะเป็นเราสามารถพูดได้ว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์นั้นประมาณเท่ากับค่าเฉลี่ยเลขคณิตของค่าที่สังเกตได้ของตัวแปรสุ่ม

ประเด็นทางทฤษฎี ตัวอย่าง.

แนวคิดของวิธีนี้คือการเทียบคะแนนทางทฤษฎีและเชิงประจักษ์ ดังนั้นเราจะเริ่มต้นด้วยการพูดคุยถึงแนวคิดเหล่านี้

อนุญาต -- การสุ่มตัวอย่างอิสระจากการแจกแจงโดยขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก โมเมนต์ทางทฤษฎีของลำดับที่ - คือฟังก์ชัน โดยที่ตัวแปรสุ่มพร้อมฟังก์ชันการแจกแจง เราสังเกตเป็นพิเศษว่าโมเมนต์ทางทฤษฎีเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก เนื่องจากการแจกแจงขึ้นอยู่กับพารามิเตอร์เหล่านี้ เราจะถือว่าความคาดหวังทางคณิตศาสตร์มีอยู่จริง อย่างน้อยที่สุดก็เรียกว่าช่วงเวลาเชิงประจักษ์ของลำดับที่ th โปรดทราบว่าตามคำนิยาม โมเมนต์เชิงประจักษ์เป็นฟังก์ชันของกลุ่มตัวอย่าง โปรดทราบว่า -- นี่คือค่าเฉลี่ยตัวอย่างที่รู้จักกันดี

หากต้องการค้นหาค่าประมาณของพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักโดยใช้วิธีโมเมนต์ คุณควร:

คำนวณโมเมนต์ทางทฤษฎีอย่างชัดเจน และเขียนระบบสมการสำหรับตัวแปรที่ไม่รู้จักต่อไปนี้

ในระบบนี้ พารามิเตอร์จะถือว่าคงที่

ระบบแก้โจทย์ (35) เทียบกับตัวแปร เนื่องจากด้านขวาของระบบขึ้นอยู่กับตัวอย่าง ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นฟังก์ชันของ สิ่งเหล่านี้คือการประมาณค่าพารามิเตอร์ที่จำเป็นโดยใช้วิธีโมเมนต์

12. ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev กฎของจำนวนมาก

อสมการเชบีเชฟหรือที่รู้จักกันในชื่ออสมการบีไนเม-เชบีเชฟ เป็นความไม่เท่าเทียมกันทั่วไปในทฤษฎีการวัดและทฤษฎีความน่าจะเป็น ได้มาครั้งแรกโดย Bienaime (ฝรั่งเศส) ในปี 1853 และต่อมาโดย Chebyshev ความไม่เท่าเทียมกันที่ใช้ในทฤษฎีการวัดนั้นเป็นเรื่องทั่วไปมากกว่า ทฤษฎีความน่าจะเป็นใช้ข้อพิสูจน์ของมัน

ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟในทฤษฎีการวัด

ความไม่เท่าเทียมกันในทฤษฎีการวัดของเชบีเชฟ อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างอินทิกรัลเลอเบสกับการวัด ความคล้ายคลึงของความไม่เท่าเทียมกันในทฤษฎีความน่าจะเป็นนี้คือความไม่เท่าเทียมกันของมาร์คอฟ ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ยังใช้เพื่อพิสูจน์การฝังช่องว่างในพื้นที่ที่อ่อนแอ

สูตร

ให้เป็นพื้นที่ที่มีการวัด ให้ด้วย

สรุปตามฟังก์ชัน

จากนั้นความไม่เท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง:

โดยทั่วไปมากขึ้น:

ถ้า เป็นฟังก์ชันที่วัดได้จริงที่ไม่เป็นลบซึ่งไม่ลดลงในโดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้น ในแง่ของปริภูมิ ให้ จากนั้น

ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟในทฤษฎีความน่าจะเป็น

ความไม่เท่าเทียมกันของเชบีเชฟในทฤษฎีความน่าจะเป็นระบุว่าโดยทั่วไปตัวแปรสุ่มจะใช้ค่าที่ใกล้เคียงกับค่าเฉลี่ยของมัน แม่นยำยิ่งขึ้นคือให้ค่าประมาณความน่าจะเป็นที่ตัวแปรสุ่มจะนำค่าไปไกลจากค่าเฉลี่ย ความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev เป็นผลมาจากความไม่เท่าเทียมกันของ Markov

สูตร

ปล่อยให้ตัวแปรสุ่มถูกกำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็น และค่าคาดหวังและความแปรปรวนทางคณิตศาสตร์นั้นมีจำกัด แล้ว โดยที่ ถ้า , ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานอยู่ที่ไหน และ , แล้วเราจะได้ โดยเฉพาะตัวแปรสุ่มที่มีความแปรปรวนจำกัดเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยมากกว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยมีความน่าจะเป็นน้อยกว่า โดยเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยด้วยส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานที่มีความน่าจะเป็นน้อยกว่า

กฎแห่งตัวเลขขนาดใหญ่

แนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีความน่าจะเป็นคือแนวคิดเกี่ยวกับเหตุการณ์สุ่มและตัวแปรสุ่ม ในเวลาเดียวกัน เป็นไปไม่ได้ที่จะคาดการณ์ล่วงหน้าถึงผลลัพธ์ของการทดสอบซึ่งเหตุการณ์นี้หรือเหตุการณ์นั้นหรือค่าเฉพาะใดๆ ของตัวแปรสุ่มอาจปรากฏขึ้นหรือไม่ก็ได้ เนื่องจากผลลัพธ์ของการทดสอบขึ้นอยู่กับเหตุผลที่สุ่มหลายประการที่ไม่สามารถ จะถูกนำมาพิจารณา

อย่างไรก็ตาม เมื่อทำการทดสอบซ้ำหลายครั้ง จะสังเกตรูปแบบของปรากฏการณ์สุ่มขนาดใหญ่ รูปแบบเหล่านี้มีคุณสมบัติมีเสถียรภาพ สาระสำคัญของคุณสมบัตินี้คือ คุณลักษณะเฉพาะของปรากฏการณ์สุ่มแต่ละปรากฏการณ์แทบไม่มีผลกระทบต่อผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของปรากฏการณ์ที่คล้ายกันที่มีมวลจำนวนมาก และลักษณะของเหตุการณ์สุ่มและตัวแปรสุ่มที่สังเกตได้ในการทดสอบ โดยเพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัดใน จำนวนการทดสอบ กลายเป็นว่าไม่ใช่การสุ่ม

ให้มีการทดลองประเภทเดียวกันชุดใหญ่เกิดขึ้น ผลลัพธ์ของแต่ละประสบการณ์นั้นเป็นแบบสุ่มและไม่แน่นอน อย่างไรก็ตาม ถึงกระนั้นก็ตาม ผลลัพธ์โดยเฉลี่ยของการทดลองทั้งชุดจะสูญเสียลักษณะสุ่มและกลายเป็นธรรมชาติ

สำหรับการปฏิบัติ เป็นสิ่งสำคัญมากที่จะต้องทราบเงื่อนไขที่การกระทำที่รวมกันของสาเหตุสุ่มหลายอย่างนำไปสู่ผลลัพธ์ที่แทบไม่ขึ้นอยู่กับโอกาส เนื่องจากจะทำให้สามารถคาดการณ์ทิศทางของปรากฏการณ์ได้ เงื่อนไขเหล่านี้ระบุไว้ในทฤษฎีบท ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่ากฎจำนวนมาก

กฎแห่งจำนวนมากไม่ควรเข้าใจเหมือนกับกฎทั่วไปข้อใดข้อหนึ่งที่เกี่ยวข้องกับจำนวนมาก กฎของจำนวนมากเป็นชื่อทั่วไปสำหรับทฤษฎีบทหลาย ๆ ข้อ ซึ่งตามมาด้วยจำนวนการทดลองที่เพิ่มขึ้นอย่างไม่จำกัด ค่าเฉลี่ยมีแนวโน้มที่จะเป็นค่าคงที่ที่แน่นอน

ซึ่งรวมถึงทฤษฎีบทของ Chebyshev และ Bernoulli ทฤษฎีบทของเชบีเชฟเป็นกฎทั่วไปที่สุดของจำนวนจำนวนมาก ทฤษฎีบทของเบอร์นูลลีเป็นกฎที่ง่ายที่สุด

การพิสูจน์ทฤษฎีบทซึ่งรวมกันเป็นคำว่า "กฎของจำนวนมาก" นั้นขึ้นอยู่กับความไม่เท่าเทียมกันของ Chebyshev ซึ่งสร้างความน่าจะเป็นที่จะเบี่ยงเบนไปจากความคาดหวังทางคณิตศาสตร์:

สูตรทางคณิตศาสตร์

มีความจำเป็นต้องกำหนดค่าสูงสุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้น (รูปแบบเชิงเส้น) ภายใต้เงื่อนไข บางครั้งก็มีการกำหนดข้อ จำกัด บางชุดในรูปแบบของความเท่าเทียมกันด้วย แต่คุณสามารถกำจัดมันได้โดยการแสดงตัวแปรหนึ่งตามลำดับในแง่ของตัวแปรอื่น ๆ และแทนที่มันด้วยความเท่าเทียมกันและความไม่เท่าเทียมกันอื่น ๆ ทั้งหมด (เช่นเดียวกับในฟังก์ชัน) . ปัญหาดังกล่าวเรียกว่าปัญหา "พื้นฐาน" หรือ "มาตรฐาน" ในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น

วิธีเรขาคณิตสำหรับการแก้ปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นสำหรับตัวแปรสองตัว ตัวอย่าง.

โดเมนคำตอบสำหรับอสมการเชิงเส้นในตัวแปรสองตัว เป็นแบบครึ่งระนาบ เพื่อตรวจสอบว่าระนาบครึ่งใดในสองระนาบที่สอดคล้องกับความไม่เท่าเทียมกันนี้จำเป็นต้องลดให้อยู่ในรูปแบบหรือจากนั้นครึ่งระนาบที่ต้องการในกรณีแรกจะอยู่เหนือเส้นตรง a0 + a1x1 + a2x2 = 0 และในวินาที - ด้านล่าง ถ้า a2=0 แสดงว่าอสมการ (8) อยู่ในรูปแบบ - ในกรณีนี้ เราจะได้ระนาบครึ่งทางขวาหรือครึ่งระนาบทางซ้าย

ขอบเขตการแก้ปัญหาของระบบความไม่เท่าเทียมกันคือจุดตัดของระนาบครึ่งจำนวนที่มีจำกัด ซึ่งอธิบายโดยอสมการแต่ละตัว จุดตัดนี้แสดงถึงพื้นที่รูปหลายเหลี่ยม G อาจเป็นแบบมีขอบเขตหรือไม่มีขอบเขต และอาจว่างเปล่าก็ได้ (หากระบบความไม่เท่าเทียมกันไม่สอดคล้องกัน)
ข้าว. 2

โดเมนสารละลาย G มีคุณสมบัติที่สำคัญของการนูน ขอบเขตจะเรียกว่านูนหากจุดสองจุดใด ๆ สามารถเชื่อมต่อกันด้วยส่วนที่เป็นของขอบเขตที่กำหนดทั้งหมด ในรูป 2 แสดงบริเวณนูน G1 และบริเวณที่ไม่นูน G2 ในภูมิภาค G1 จุด A1 และ B1 สองจุดตามอำเภอใจสามารถเชื่อมต่อกันด้วยเซกเมนต์ โดยจุดทั้งหมดเป็นของขอบเขต G1 ในภูมิภาค G2 เราสามารถเลือกจุด A2 และ B2 ได้สองจุด โดยที่จุด A2B2 ทั้งหมดไม่ใช่ของภูมิภาค G2

เส้นอ้างอิงคือเส้นที่มีจุดร่วมกับขอบเขตอย่างน้อยหนึ่งจุด และขอบเขตทั้งหมดอยู่ที่ด้านหนึ่งของเส้นนี้ ในรูป รูปที่ 2 แสดงเส้นรองรับสองเส้น l1 และ l2 กล่าวคือ ในกรณีนี้ เส้นจะผ่านจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมและผ่านด้านใดด้านหนึ่งตามลำดับ

ในทำนองเดียวกัน เราสามารถตีความทางเรขาคณิตของระบบอสมการด้วยตัวแปรสามตัวได้ ในกรณีนี้ อสมการแต่ละรายการจะอธิบายครึ่งปริภูมิ และระบบทั้งหมดเป็นจุดตัดของครึ่งปริภูมิ กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีคุณสมบัตินูนเช่นกัน ในที่นี้ระนาบอ้างอิงจะผ่านจุดยอด ขอบ หรือหน้าของบริเวณรูปทรงหลายเหลี่ยม

จากแนวคิดที่นำเสนอ เราจะพิจารณาวิธีการทางเรขาคณิตสำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น ให้ฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้น f = c0 + c1x1 + c2x2 ของตัวแปรอิสระสองตัวที่ให้มา เช่นเดียวกับระบบร่วมของอสมการเชิงเส้นบางระบบที่อธิบายโดเมนโซลูชัน G จำเป็นต้องค้นหาหนึ่งในโซลูชันที่เป็นไปได้ซึ่งมีฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้น f รับค่าที่น้อยที่สุด

ให้เราตั้งค่าฟังก์ชัน f เท่ากับค่าคงที่ C: f = c0 + c1x1 + c2x2 = C ค่านี้จะเกิดขึ้นที่จุดของเส้นตรงที่เป็นไปตามสมการ เมื่อเส้นนี้ถูกถ่ายโอนแบบขนานในทิศทางบวกของเส้นปกติ เวกเตอร์ n(c1,c2) ​​ฟังก์ชันเชิงเส้น f จะเพิ่มขึ้น และเมื่อมันถูกถ่ายโอนไปในทิศทางตรงกันข้าม ก็จะลดลง

ให้เราสมมติว่าเส้นตรงที่เขียนในรูปแบบ (9) โดยมีการแปลแบบขนานในทิศทางบวกของเวกเตอร์ n ขั้นแรกจะพบกับพื้นที่ของคำตอบที่เป็นไปได้ G ที่จุดยอดบางจุด และค่าของฟังก์ชันวัตถุประสงค์จะเท่ากัน ถึง C1 และเส้นตรงจะกลายเป็นเส้นอ้างอิง จากนั้นค่าของ C1 จะน้อยที่สุด เนื่องจากการเคลื่อนตัวของเส้นไปในทิศทางเดียวกันต่อไปจะทำให้ค่า f เพิ่มขึ้น

ดังนั้น การหาค่าเหมาะที่สุดของฟังก์ชันวัตถุประสงค์เชิงเส้นบนรูปหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้จึงเกิดขึ้นที่จุดตัดกันของรูปหลายเหลี่ยมนี้พร้อมกับเส้นอ้างอิงที่สอดคล้องกับฟังก์ชันวัตถุประสงค์นี้ ในกรณีนี้ จุดตัดอาจอยู่ที่จุดหนึ่ง (ที่จุดยอดของรูปหลายเหลี่ยม) หรือที่จุดจำนวนอนันต์ (บนขอบของรูปหลายเหลี่ยม)

อัลกอริธึมวิธี Simplex สำหรับการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไป โต๊ะ.

อัลกอริธึมโซลูชัน

วิธีปฏิบัติที่มีชื่อเสียงและใช้กันอย่างแพร่หลายในการแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไป (LP) คือวิธีซิมเพล็กซ์ แม้ว่าวิธีซิมเพล็กซ์จะเป็นอัลกอริธึมที่มีประสิทธิผลพอสมควรซึ่งแสดงผลลัพธ์ที่ดีในการแก้ปัญหา LP ที่ประยุกต์ แต่ก็เป็นอัลกอริธึมที่มีความซับซ้อนแบบเอกซ์โปเนนเชียล เหตุผลก็คือลักษณะเชิงผสมของวิธีซิมเพล็กซ์ ซึ่งจะระบุจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมของคำตอบที่เป็นไปได้ตามลำดับเมื่อค้นหาวิธีแก้ปัญหาที่ดีที่สุด

อัลกอริธึมพหุนามวิธีแรกคือวิธีทรงรีถูกเสนอในปี 1979 โดยนักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียต แอล. คาชิยาน จึงเป็นการแก้ปัญหาที่ยังไม่ได้รับการแก้ไขมาเป็นเวลานาน วิธีทรงรีมีลักษณะที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิงและไม่รวมกันมากกว่าวิธีซิมเพล็กซ์ อย่างไรก็ตาม จากมุมมองด้านการคำนวณ วิธีการนี้กลับกลายเป็นว่าไม่มีท่าว่าจะดีนัก อย่างไรก็ตามความเป็นจริงของปัญหาที่ซับซ้อนพหุนามนำไปสู่การสร้างอัลกอริธึม LP ที่มีประสิทธิภาพทั้งระดับ - วิธีการจุดภายในซึ่งวิธีแรกคืออัลกอริทึมของ N. Karmarkar ที่เสนอในปี 1984 อัลกอริทึมประเภทนี้ใช้การตีความปัญหา LP อย่างต่อเนื่อง เมื่อแทนที่จะระบุจุดยอดของรูปทรงหลายเหลี่ยมเพื่อแก้ไขปัญหา LP การค้นหาจะดำเนินการไปตามวิถีในพื้นที่ของตัวแปรปัญหาที่ไม่ผ่านจุดยอดของ รูปทรงหลายเหลี่ยม วิธีจุดภายใน ซึ่งแตกต่างจากวิธีซิมเพล็กซ์ตรงที่ลัดเลาะผ่านจุดจากด้านในของภูมิภาคที่เป็นไปได้ โดยใช้วิธีการเขียนโปรแกรมแบบไม่เชิงเส้นที่กั้นด้วยล็อกซึ่งพัฒนาขึ้นในคริสต์ทศวรรษ 1960 โดย Fiacco และ McCormick

24. กรณีพิเศษในวิธีซิมเพล็กซ์: สารละลายเสื่อม, เซตของคำตอบไม่สิ้นสุด, ขาดสารละลาย ตัวอย่าง.

การใช้วิธีพื้นฐานเทียมเพื่อแก้ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไป ตัวอย่าง.

วิธีการพื้นฐานประดิษฐ์

วิธีพื้นฐานเทียมใช้เพื่อค้นหาวิธีแก้ไขพื้นฐานที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เมื่อเงื่อนไขมีข้อจำกัดประเภทความเท่าเทียมกัน พิจารณาปัญหา:

สูงสุด(F(x)=∑cixi|∑ajixi=bj, j=1,m; xi≥0)

สิ่งที่เรียกว่า "ตัวแปรเทียม" Rj ถูกนำมาใช้ในข้อจำกัดและฟังก์ชันเป้าหมายดังต่อไปนี้:

∑ajix+Rj=bj, j=1,m;F(x)=∑cixi-M∑Rj

เมื่อแนะนำตัวแปรเทียมในวิธีพื้นฐานเทียมเข้าไปในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ตัวแปรเหล่านั้นจะได้รับค่าสัมประสิทธิ์ M ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ ซึ่งมีความหมายเป็นบทลงโทษสำหรับการแนะนำตัวแปรเทียม ในกรณีของการย่อให้เล็กสุด ตัวแปรเทียมจะถูกเพิ่มเข้าไปในฟังก์ชันเป้าหมายด้วยสัมประสิทธิ์ M อนุญาตให้นำตัวแปรเทียมมาใช้ได้ หากตัวแปรเหล่านั้นหายไปอย่างต่อเนื่องในกระบวนการแก้ปัญหา

ตารางซิมเพล็กซ์ซึ่งรวบรวมระหว่างกระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้วิธีพื้นฐานเทียมเรียกว่าแบบขยาย มันแตกต่างจากบรรทัดปกติตรงที่ประกอบด้วยสองบรรทัดสำหรับฟังก์ชันเป้าหมาย: บรรทัดหนึ่งสำหรับองค์ประกอบ F = ∑cixi และอีกบรรทัดสำหรับองค์ประกอบ M ∑Rj ลองพิจารณาขั้นตอนในการแก้ปัญหาโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1 ค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชัน F(x) = -x1 + 2x2 - x3 ภายใต้ข้อจำกัด:

x1≥0, x2≥0, x3≥0

ลองใช้วิธีพื้นฐานประดิษฐ์ เรามาแนะนำตัวแปรเทียมในข้อจำกัดของปัญหากันดีกว่า

2x1 + 3x2 + x3 + R1 = 3;

x1 + 3x3 + R2 = 2 ;

ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์ F(x)-M ∑Rj= -x1 + 2x2 - x3 - M(R1+R2)

ลองแสดงผลรวม R1 + R2 จากระบบข้อจำกัด: R1 + R2 = 5 - 3x1 - 3x2 - 4x3 แล้ว F(x) = -x1 + 2x2 - x3 - M(5 - 3x1 - 3x2 - 4x3)

เมื่อรวบรวมตารางซิมเพล็กซ์แรก (ตารางที่ 1) เราจะถือว่าตัวแปรดั้งเดิม x1, x2, x3 ไม่ใช่ตัวแปรพื้นฐาน และตัวแปรเทียมที่แนะนำนั้นเป็นตัวแปรพื้นฐาน ในปัญหาการขยายใหญ่สุด เครื่องหมายของสัมประสิทธิ์สำหรับตัวแปรที่ไม่ใช่พื้นฐานในแถว F และ M จะกลับกัน เครื่องหมายของค่าคงที่ในเส้น M ไม่มีการเปลี่ยนแปลง การเพิ่มประสิทธิภาพจะดำเนินการก่อนตามแนว M-line การเลือกคอลัมน์และแถวนำหน้า การแปลงซิมเพล็กซ์ทั้งหมดเมื่อใช้วิธีการพื้นฐานเทียมจะดำเนินการเช่นเดียวกับวิธีซิมเพล็กซ์ปกติ ค่าสัมประสิทธิ์ลบสูงสุดในค่าสัมบูรณ์ (-4) จะกำหนดคอลัมน์นำหน้าและตัวแปร x3 ซึ่งจะเข้าสู่ฐาน อัตราส่วนซิมเพล็กซ์ขั้นต่ำ (2/3) สอดคล้องกับแถวที่สองของตาราง ดังนั้น ตัวแปร R2 จะต้องถูกแยกออกจากพื้นฐาน มีโครงร่างองค์ประกอบนำหน้าไว้
ในวิธีการพื้นฐานประดิษฐ์ ตัวแปรเทียมที่ถูกแยกออกจากพื้นฐานจะไม่ถูกส่งกลับมาอีกต่อไป ดังนั้นจึงละเว้นคอลัมน์ขององค์ประกอบของตัวแปรดังกล่าว โต๊ะ 2.ลดลง 1 คอลัมน์ ดำเนินการคำนวณตารางนี้ใหม่ เราจะไปที่ตาราง 3.ซึ่งเส้น M ที่ถูกรีเซ็ตแล้วก็สามารถลบออกได้ หลังจากกำจัดตัวแปรประดิษฐ์ทั้งหมดออกจากพื้นฐานแล้ว เราจะได้แนวทางแก้ไขพื้นฐานที่ยอมรับได้สำหรับปัญหาดั้งเดิม ซึ่งในตัวอย่างที่อยู่ระหว่างการพิจารณานั้นเหมาะสมที่สุด:

x1=0; x2=7/9; เอฟสูงสุด=8/9.

เมื่อกำจัด M-string หากวิธีแก้ปัญหาไม่เหมาะสมที่สุด ขั้นตอนการปรับให้เหมาะสมจะดำเนินต่อไปและดำเนินการโดยใช้วิธี simplex ตามปกติ ลองพิจารณาตัวอย่างที่มีข้อจำกัดทุกประเภท: ≤,=,≥

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแบบสมมาตรคู่ ตัวอย่าง.

คำจำกัดความของปัญหาคู่

ปัญหาการเขียนโปรแกรมเชิงเส้นแต่ละปัญหาสามารถเชื่อมโยงกับปัญหาอื่นๆ ด้วยวิธีใดวิธีหนึ่งได้ (การเขียนโปรแกรมเชิงเส้น) เรียกว่าแบบคู่หรือคอนจูเกตโดยคำนึงถึงปัญหาดั้งเดิมหรือปัญหาโดยตรง ให้เรานิยามปัญหาคู่ที่เกี่ยวข้องกับปัญหาการโปรแกรมเชิงเส้นทั่วไป ซึ่งดังที่เราทราบแล้วประกอบด้วยการค้นหาค่าสูงสุดของฟังก์ชันภายใต้เงื่อนไข

เรียกว่าปัญหาสองเท่า (32)–(34) ปัญหา (32) – (34) และ (35) – (37) ก่อให้เกิดปัญหาคู่หนึ่ง เรียกว่าคู่คู่ในการเขียนโปรแกรมเชิงเส้น เมื่อเปรียบเทียบปัญหาทั้งสองที่กำหนดขึ้นมา เราจะเห็นว่าปัญหาคู่นั้นประกอบขึ้นตามกฎต่อไปนี้:

1. ฟังก์ชั่นเป้าหมายของปัญหาเดิม (32) – (34) ถูกตั้งค่าไว้ที่สูงสุด และฟังก์ชั่นเป้าหมายของปัญหาคู่ (35) – (37) ถูกตั้งค่าไว้ที่ต่ำสุด

2. เมทริกซ์ ประกอบด้วยค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในระบบข้อจำกัด (33) ของปัญหาเดิม (32) – (34) และเมทริกซ์ที่คล้ายกัน ในปัญหาคู่ (35) – (37) ได้มาจากกันและกันโดยการขนย้าย (เช่น การแทนที่แถวด้วยคอลัมน์ และคอลัมน์ด้วยแถว)

3. จำนวนตัวแปรในปัญหาคู่ (35) – (37) เท่ากับจำนวนข้อจำกัดในระบบ (33) ของปัญหาเดิม (32) – (34) และจำนวนข้อจำกัดในระบบ (36) ของปัญหาคู่เท่ากับจำนวนตัวแปรในปัญหาเดิม

4. ค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (35) ของปัญหาคู่ (35) – (37) เป็นเงื่อนไขอิสระในระบบ (33) ของปัญหาเดิม (32) – (34) และสิทธิ์ ด้านมือในความสัมพันธ์ของระบบ (36) ของปัญหาคู่คือค่าสัมประสิทธิ์ของสิ่งที่ไม่ทราบในฟังก์ชันวัตถุประสงค์ (32) ของปัญหาเดิม

5. ถ้าตัวแปร xj ของปัญหาเดิม (32) – (34) สามารถรับค่าบวกได้เท่านั้น ดังนั้น เงื่อนไข j ในระบบ (36) ของปัญหาคู่ (35) – (37) จะเป็นความไม่เท่าเทียมกันของรูปแบบ “? - หากตัวแปร xj สามารถรับทั้งค่าบวกและค่าลบ ดังนั้น 1 – ความสัมพันธ์ในระบบ (54) จะเป็นสมการ การเชื่อมต่อที่คล้ายกันเกิดขึ้นระหว่างข้อจำกัด (33) ของปัญหาเดิม (32) – (34) และตัวแปรของปัญหาคู่ (35) – (37) ถ้า i – ความสัมพันธ์ในระบบ (33) ของปัญหาเดิมคือความไม่เท่าเทียมกัน ดังนั้นตัวแปร i-th ของปัญหาคู่ มิฉะนั้นตัวแปร уj สามารถใช้ทั้งค่าบวกและค่าลบ

ปัญหาคู่มักจะแบ่งออกเป็นสมมาตรและไม่สมมาตร ในคู่สมมาตรของปัญหาคู่ ข้อจำกัด (33) ของปัญหาโดยตรงและความสัมพันธ์ (36) ของปัญหาคู่คือความไม่เท่าเทียมกันในรูปแบบ “ ” ดังนั้นตัวแปรของปัญหาทั้งสองสามารถรับได้เฉพาะค่าที่ไม่เป็นลบเท่านั้น

ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปรของปัญหาโดยตรงและปัญหาคู่ ตัวอย่าง.

30.การตีความทางเศรษฐศาสตร์ของปัญหาสองประการ ความสำคัญของการประมาณการเป็นศูนย์ในการแก้ปัญหาเศรษฐกิจ ตัวอย่าง.

ปัญหาเดิมที่ฉันมีความหมายทางเศรษฐกิจเฉพาะ: ตัวแปรหลัก xi หมายถึงปริมาณของผลิตภัณฑ์ที่ผลิตในประเภท i-th, ตัวแปรเพิ่มเติมแสดงถึงปริมาณส่วนเกินของทรัพยากรประเภทที่เกี่ยวข้อง, ความไม่เท่าเทียมกันแต่ละรายการแสดงการบริโภคของ วัตถุดิบบางประเภทเมื่อเปรียบเทียบกับการจัดหาวัตถุดิบนี้ ฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์กำหนดกำไรจากการขายผลิตภัณฑ์ทั้งหมด ให้เราสมมติว่าองค์กรมีโอกาสที่จะขายวัตถุดิบภายนอก ควรกำหนดราคาขั้นต่ำสำหรับหน่วยของวัตถุดิบแต่ละประเภทโดยที่รายได้จากการขายทุนสำรองทั้งหมดจะต้องไม่น้อยกว่ารายได้จากการขายผลิตภัณฑ์ที่สามารถผลิตจากวัตถุดิบนี้ได้

ตัวแปร y1, y2, y3 จะแสดงราคาที่คาดหวังตามเงื่อนไขสำหรับทรัพยากรประเภท 1, 2, 3 ตามลำดับ จากนั้นรายได้จากการขายประเภทของวัตถุดิบที่ใช้ในการผลิตผลิตภัณฑ์หนึ่งหน่วย I จะเท่ากับ: 5y1 + 1·y3 เนื่องจากราคาของผลิตภัณฑ์ประเภทที่ 1 คือ 3 หน่วยดังนั้น 5y1 + y3 3 เนื่องจากข้อเท็จจริงที่ว่าผลประโยชน์ขององค์กรต้องการให้รายได้จากการขายวัตถุดิบไม่น้อยกว่าจากการขายผลิตภัณฑ์ เป็นเพราะการตีความทางเศรษฐกิจนี้เองที่ทำให้ระบบการจำกัดงานสองอย่างมีรูปแบบ: และฟังก์ชันวัตถุประสงค์ G = 400y1 + 300y2 + 100y3 คำนวณต้นทุนรวมตามเงื่อนไขของวัตถุดิบที่มีอยู่ทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าโดยอาศัยทฤษฎีบทความเป็นคู่ข้อแรก F(x*) = G(y*) ความเท่าเทียมกันหมายความว่ากำไรสูงสุดจากการขายผลิตภัณฑ์สำเร็จรูปทั้งหมดเกิดขึ้นพร้อมกับราคาทรัพยากรตามเงื่อนไขขั้นต่ำ ราคาที่เหมาะสมตามเงื่อนไข уi แสดงต้นทุนทรัพยากรต่ำสุดที่สามารถทำกำไรได้ในการแปลงทรัพยากรเหล่านี้เป็นผลิตภัณฑ์และผลิตผล

ขอให้เราใส่ใจอีกครั้งว่า yi เป็นเพียงราคาตามเงื่อนไข ประมาณการ และไม่ใช่ราคาจริงสำหรับวัตถุดิบ มิฉะนั้น ผู้อ่านอาจพบว่ามันแปลกที่ y1* = 0 ความจริงข้อนี้ไม่ได้หมายความว่าราคาที่แท้จริงของทรัพยากรแรกจะเป็นศูนย์ ไม่มีอะไรฟรีในโลกนี้ หากราคาตามเงื่อนไขเท่ากับศูนย์ หมายความว่าทรัพยากรนี้ยังไม่ได้ใช้จนหมด มีเหลือใช้เกิน และไม่มีขาดแคลน จริงๆ แล้ว ลองดูที่ความไม่เท่าเทียมกันประการแรกในระบบข้อจำกัดของปัญหา I ซึ่งคำนวณปริมาณการใช้ทรัพยากรแรก: 5x1* + 0.4x2* + 2x3* + 0.5x4* = 66< 400. его избыток составляет х5 = 334 ед. при данном оптимальном плане производства. Этот ресурс имеется в избытке, и поэтому для производителя он недефицитен, его условная цена равна 0, его не надо закупать. Наоборот, ресурс 2 и 3 используются полностью, причем у3 = 4 а у2 = 1, т. е. сырье третьего вида более дефицитно, чем второго, его условная цена больше. Если производитель продукции имел бы возможность приобретать дополнительно сырье к уже имеющемуся, с целью получения максимального дохода от производства, то увеличив сырье второго вида на единицу, он бы получил дополнительно доход в у2 денежных единиц, с увеличением на единицу сырья третьего вида, значение целевой функции увеличилось бы еще на у3 единицы.

หากผู้ผลิตต้องเผชิญกับคำถามว่า “การผลิตสินค้าใดๆ จะมีกำไรหรือไม่ โดยมีต้นทุนต่อหน่วยผลิตภัณฑ์เป็น 3, 1, 4 หน่วย ของวัตถุดิบ 1, 2, 3 ชนิด ตามลำดับ และกำไรจาก ยอดขายเท่ากับ 23 หน่วย” จากนั้นเนื่องจากการตีความปัญหาทางเศรษฐกิจจึงไม่ยากที่จะตอบคำถามนี้เนื่องจากทราบต้นทุนและราคาตามเงื่อนไขของทรัพยากร ต้นทุนเท่ากับ 3, 1, 4 และราคา y1* = 0, y2* = 1, y3* = 4 ซึ่งหมายความว่าเราสามารถคำนวณต้นทุนรวมตามเงื่อนไขของทรัพยากรที่จำเป็นในการผลิตผลิตภัณฑ์ใหม่นี้ได้: 3 0 + 1 1 + 4 · 4 = 17< 23. значит продукцию производить выгодно, т. к. прибыль от реализации превышает затраты на ресурсы, в противном случае ответ бы на этот вопрос был отрицательным.

31.การใช้แผนที่เหมาะสมที่สุดและตารางซิมเพล็กซ์เพื่อกำหนดช่วงความไวของข้อมูลเริ่มต้น

32.การใช้แผนที่เหมาะสมที่สุดและตารางซิมเพล็กซ์เพื่อวิเคราะห์ความอ่อนไหวของฟังก์ชันวัตถุประสงค์ ตัวอย่าง.

ปัญหาการขนส่งและคุณสมบัติของมัน ตัวอย่าง.