วิชาว่าด้วยวัตถุ. ช่วงเวลาแห่งพลัง

เมื่อแก้ปัญหาเกี่ยวกับวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ ในบางกรณี มิติเชิงพื้นที่ของวัตถุเหล่านั้นจะถูกละเลย โดยนำเสนอแนวคิดของจุดสำคัญ สำหรับปัญหาอีกประเภทหนึ่งซึ่งพิจารณาวัตถุที่อยู่นิ่งหรือวัตถุที่หมุน สิ่งสำคัญคือต้องทราบค่าพารามิเตอร์และจุดที่ใช้แรงภายนอก ในกรณีนี้เรากำลังพูดถึงโมเมนต์ของแรงรอบแกนหมุน ลองพิจารณาปัญหานี้ในบทความ

แนวคิดของช่วงเวลาแห่งพลัง

ก่อนที่จะนำมาเกี่ยวกับแกนหมุนคงที่จำเป็นต้องชี้แจงว่าปรากฏการณ์ใดที่จะกล่าวถึง ด้านล่างนี้คือรูปที่แสดงประแจความยาว d โดยออกแรง F ที่ปลายประแจ นึกภาพง่ายๆ ว่าผลของการกระทำคือการหมุนประแจทวนเข็มนาฬิกาและคลายเกลียวน็อต

ตามคำจำกัดความ โมเมนต์ของแรงเป็นผลคูณของไหล่ (d ในกรณีนี้) และแรง (F) นั่นคือสามารถเขียนนิพจน์ต่อไปนี้: M = d * F ควรสังเกตทันทีว่าสูตรข้างต้นเขียนในรูปแบบสเกลาร์ นั่นคือ ช่วยให้คุณคำนวณค่าสัมบูรณ์ของโมเมนต์ M ดังที่เห็นได้จากสูตร หน่วยวัดของปริมาณที่พิจารณาคือนิวตันต่อ เมตร (N * m)

- ปริมาณเวกเตอร์

ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น โมเมนต์ M เป็นเวกเตอร์ เพื่อชี้แจงข้อความนี้ ให้พิจารณาตัวเลขอื่น

ที่นี่เราเห็นคันโยกยาว L ซึ่งยึดกับแกน (แสดงโดยลูกศร) แรง F กระทำต่อจุดสิ้นสุดที่มุม Φ ไม่ยากที่จะจินตนาการว่าแรงนี้จะทำให้คันโยกสูงขึ้น สูตรสำหรับโมเมนต์ในรูปแบบเวกเตอร์ในกรณีนี้จะเขียนดังนี้: M¯ = L¯*F¯ เส้นที่อยู่เหนือสัญลักษณ์นี้หมายความว่าปริมาณที่เป็นปัญหาคือเวกเตอร์ ควรชี้แจงว่า L¯ ถูกชี้นำจากแกนหมุนไปยังจุดที่ใช้แรง F¯

นิพจน์ด้านบนเป็นผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ เวกเตอร์ผลลัพธ์ (M¯) จะตั้งฉากกับระนาบที่เกิดจาก L¯ และ F¯ ในการกำหนดทิศทางของโมเมนต์ M¯ มีกฎหลายข้อ (มือขวา, สว่าน) เพื่อไม่ให้จำและไม่สับสนในลำดับการคูณของเวกเตอร์ L¯ และ F¯ (ทิศทางของ M¯ ขึ้นอยู่กับมัน) คุณควรจำสิ่งง่ายๆ อย่างหนึ่ง: โมเมนต์ของแรงจะถูกนำไปในลักษณะดังกล่าว วิธีที่ถ้าคุณมองจากปลายเวกเตอร์ แรงกระทำ F ¯ จะหมุนคันโยกทวนเข็มนาฬิกา ทิศทางของช่วงเวลานี้ถือว่ามีเงื่อนไขเป็นบวก หากระบบหมุนตามเข็มนาฬิกา โมเมนต์ของแรงที่เกิดขึ้นจะมีค่าเป็นลบ

ดังนั้น ในกรณีที่ใช้คันโยก L ค่าของ M¯ จะชี้ขึ้น (จากรูปถึงเครื่องอ่าน)

ในรูปแบบสเกลาร์ สูตรสำหรับโมเมนต์เขียนเป็น: M = L*F*sin(180-Φ) หรือ M = L*F*sin(Φ) (sin(180-Φ) = sin(Φ)) ตามนิยามของไซน์ เราสามารถเขียนความเท่ากันได้: M = d*F โดยที่ d = L*sin(Φ) (ดูรูปและสามเหลี่ยมมุมฉากที่สอดคล้องกัน) สูตรสุดท้ายคล้ายกับสูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

การคำนวณข้างต้นแสดงให้เห็นถึงวิธีการทำงานกับปริมาณเวกเตอร์และปริมาณสเกลาร์ของโมเมนต์ของแรงเพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาด

ความหมายทางกายภาพของ M¯

เนื่องจากทั้งสองกรณีที่พิจารณาในย่อหน้าก่อนหน้านี้เกี่ยวข้องกับการเคลื่อนที่แบบหมุน เราจึงสามารถเดาได้ว่าโมเมนต์ของแรงกระทำนั้นหมายถึงอะไร หากแรงที่กระทำต่อจุดวัสดุเป็นตัววัดการเพิ่มขึ้นของความเร็วของการกระจัดเชิงเส้นของส่วนหลัง โมเมนต์ของแรงก็คือการวัดความสามารถในการหมุนของมันที่สัมพันธ์กับระบบที่กำลังพิจารณา

ลองมาเป็นตัวอย่าง บุคคลใดเปิดประตูโดยจับที่จับ นอกจากนี้ยังสามารถทำได้โดยการผลักประตูในบริเวณที่จับ ทำไมไม่มีใครเปิดโดยการดันบริเวณบานพับ? ง่ายมาก: ยิ่งใช้แรงกดกับบานพับมากเท่าไหร่ การเปิดประตูก็จะยิ่งยากขึ้นเท่านั้น และในทางกลับกัน รากศัพท์ของประโยคก่อนหน้ามาจากสูตรสำหรับช่วงเวลา (M = d*F) ซึ่งแสดงว่าเมื่อ M = const ปริมาณ d และ F มีความสัมพันธ์แบบผกผัน

โมเมนต์ของแรง - ปริมาณการบวก

ในทุกกรณีที่พิจารณาข้างต้น มีกองกำลังรักษาการเพียงหน่วยเดียว เมื่อแก้ปัญหาจริงสถานการณ์จะซับซ้อนกว่านี้มาก โดยปกติแล้ว ระบบที่หมุนหรืออยู่ในสภาวะสมดุลจะต้องรับแรงบิดหลายแรง ซึ่งแต่ละแรงจะสร้างโมเมนต์ของมันเอง ในกรณีนี้การแก้ปัญหาจะลดลงเพื่อค้นหาโมเมนต์รวมของแรงที่สัมพันธ์กับแกนหมุน

โมเมนต์ทั้งหมดหาได้จากผลรวมปกติของโมเมนต์แต่ละโมเมนต์สำหรับแต่ละแรง อย่างไรก็ตาม อย่าลืมใช้เครื่องหมายที่ถูกต้องสำหรับแต่ละโมเมนต์

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

เพื่อรวบรวมความรู้ที่ได้รับ ขอเสนอให้แก้ปัญหาต่อไปนี้: จำเป็นต้องคำนวณโมเมนต์รวมของแรงสำหรับระบบที่แสดงในรูปด้านล่าง

เราเห็นว่าแรงสามแรง (F1, F2, F3) กระทำกับคันโยกยาว 7 ม. และมีจุดใช้งานต่างกันเมื่อเทียบกับแกนหมุน เนื่องจากทิศทางของแรงตั้งฉากกับคันโยก จึงไม่จำเป็นต้องใช้การแสดงออกแบบเวกเตอร์สำหรับช่วงเวลาของการบิด เป็นไปได้ที่จะคำนวณโมเมนต์ M ทั้งหมดโดยใช้สูตรสเกลาร์และจำการตั้งค่าเครื่องหมายที่ต้องการ เนื่องจากแรง F1 และ F3 มักจะหมุนคันโยกทวนเข็มนาฬิกาและ F2 - ตามเข็มนาฬิกา ช่วงเวลาของการหมุนสำหรับอันแรกจะเป็นบวกและสำหรับอันที่สอง - เป็นค่าลบ เรามี: M \u003d F1 * 7-F2 * 5 + F3 * 3 \u003d 140-50 + 75 \u003d 165 N * m นั่นคือช่วงเวลารวมเป็นบวกและชี้ขึ้น (ที่ผู้อ่าน)

คำนิยาม

ผลคูณเวกเตอร์ของรัศมี - เวกเตอร์ () ซึ่งดึงจากจุด O (รูปที่ 1) ไปยังจุดที่แรงกระทำกับเวกเตอร์นั้นเรียกว่า โมเมนต์ของแรง () เทียบกับจุด O :

ในรูปที่ 1 จุด O และเวกเตอร์แรง () และรัศมี - เวกเตอร์อยู่ในระนาบของรูป ในกรณีนี้ เวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรง () ตั้งฉากกับระนาบของรูปและมีทิศทางห่างจากเรา เวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงอยู่ในแนวแกน ทิศทางของเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงถูกเลือกในลักษณะที่การหมุนรอบจุด O ในทิศทางของแรงและเวกเตอร์สร้างระบบสกรูที่ถูกต้อง ทิศทางของโมเมนต์ของแรงและความเร่งเชิงมุมจะเหมือนกัน

ค่าของเวกเตอร์คือ:

โดยที่มุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์รัศมีและเวกเตอร์แรง คือแขนของแรงที่สัมพันธ์กับจุด O

โมเมนต์ของแรงรอบแกน

โมเมนต์ของแรงที่เกี่ยวกับแกนเป็นปริมาณทางกายภาพเท่ากับการฉายของเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับจุดของแกนที่เลือกไปยังแกนที่กำหนด ในกรณีนี้ การเลือกจุดไม่สำคัญ

ช่วงเวลาหลักของกองกำลัง

โมเมนต์หลักของผลรวมของแรงที่สัมพันธ์กับจุด O เรียกว่าเวกเตอร์ (โมเมนต์ของแรง) ซึ่งเท่ากับผลรวมของโมเมนต์ของแรงทั้งหมดที่กระทำในระบบเทียบกับจุดเดียวกัน:

ในกรณีนี้จุด O เรียกว่าศูนย์กลางของการลดลงของระบบกองกำลัง

หากมีช่วงเวลาหลักสองจุด ( และ ) สำหรับระบบแรงหนึ่งสำหรับจุดศูนย์กลางการลดแรงสองจุดที่แตกต่างกัน (O และ O ') แสดงว่าพวกมันเกี่ยวข้องกันด้วยนิพจน์:

โดยที่เวกเตอร์รัศมีซึ่งลากจากจุด O ไปยังจุด O’ เป็นเวกเตอร์หลักของระบบแรง

ในกรณีทั่วไป ผลของการกระทำบนร่างกายที่แข็งกระด้างของระบบกองกำลังตามอำเภอใจจะเหมือนกับการกระทำบนร่างกายของช่วงเวลาหลักของระบบของแรงและเวกเตอร์หลักของระบบของแรง ซึ่งก็คือ นำไปใช้ที่จุดศูนย์กลางของการลด (จุด O)

กฎพื้นฐานของพลศาสตร์ของการเคลื่อนที่แบบหมุน

โมเมนตัมเชิงมุมของตัวหมุนอยู่ที่ไหน

สำหรับร่างกายที่เข้มงวด กฎหมายนี้สามารถแสดงเป็น:

โดยที่ I คือโมเมนต์ความเฉื่อยของร่างกาย คือความเร่งเชิงมุม

หน่วยของโมเมนต์ของแรง

หน่วยพื้นฐานของการวัดโมเมนต์ของแรงในระบบ SI คือ: [M]=N m

ถึง CGS: [M]=dyn ซม

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.รูปที่ 1 แสดงเนื้อหาที่มีแกนหมุน OO" โมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อร่างกายรอบแกนที่กำหนดจะเท่ากับศูนย์ แกนและเวกเตอร์แรงจะอยู่ในระนาบของรูป

สารละลาย.เป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาเราใช้สูตรที่กำหนดช่วงเวลาแห่งแรง:

ในผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ (ดูได้จากรูป) มุมระหว่างเวกเตอร์แรงและรัศมี - เวกเตอร์จะแตกต่างจากศูนย์ (หรือ ) ดังนั้น ผลคูณของเวกเตอร์ (1.1) จึงไม่เท่ากับศูนย์ ซึ่งหมายความว่าโมเมนต์ของแรงแตกต่างจากศูนย์

คำตอบ.

ตัวอย่าง

ออกกำลังกาย.ความเร็วเชิงมุมของวัตถุแข็งที่หมุนจะเปลี่ยนไปตามกราฟ ซึ่งแสดงในรูปที่ 2 จุดใดที่ระบุบนกราฟคือโมเมนต์ของแรงที่กระทำต่อร่างกายเท่ากับศูนย์

แสดงถึงโมเมนต์ของแรงที่สัมพันธ์กับแกน และ เราสามารถเขียน:

ที่ไหน และโมดูลของเส้นโครงของแรงบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกนที่สัมพันธ์กับช่วงเวลาที่กำหนด ล. -ไหล่ยาวเท่ากัน

ตั้งฉากจากจุดตัดแกนกับระนาบไปยังเส้นโครงหรือความต่อเนื่อง เครื่องหมายบวกหรือลบขึ้นอยู่กับทิศทางที่ไหล่หัน ลเวกเตอร์การฉายภาพ หากคุณดูระนาบการฉายภาพจากทิศทางบวกของแกน เมื่อเวกเตอร์การฉายภาพมีแนวโน้มที่จะหมุนแขนทวนเข็มนาฬิกา เราตกลงที่จะพิจารณาช่วงเวลานั้นเป็นบวก และในทางกลับกัน

เพราะฉะนั้น, โมเมนต์ของแรงรอบแกนเรียกว่าปริมาณเชิงพีชคณิต (สเกลาร์) เท่ากับโมเมนต์ของการฉายของแรงบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกน เทียบกับจุดตัดของแกนกับระนาบ

รูปก่อนหน้าแสดงลำดับการกำหนดโมเมนต์ของแรงรอบแกน Z หากกำหนดแรงและแกนถูกเลือก (หรือระบุ) ดังนั้น: ก) ระนาบจะถูกเลือกในแนวตั้งฉากกับแกน (ระนาบ XOY) ; b) แรง F ถูกฉายลงบนระนาบนี้และกำหนดโมดูลของเส้นโครงนี้ c) จากจุด 0 ของจุดตัดของแกนกับระนาบ OS ตั้งฉากกับเส้นโครงจะลดลงและกำหนดไหล่ l = OS; d) ดูระนาบ XOU จากทิศทางบวกของแกน Z (เช่น ในกรณีนี้ จากด้านบน) เราจะเห็นว่า OS หมุนโดยเวกเตอร์เทียบกับนาฬิกา ซึ่งหมายความว่า

โมเมนต์ของแรงรอบแกนจะเป็นศูนย์หากแรงและแกนอยู่ในระนาบเดียวกัน: a) แรงตัดแกน (ในกรณีนี้ ล = 0);

b) แรงขนานกับแกน ();

c) แรงที่กระทำตามแนวแกน ( ล=0 และ ).

ระบบพื้นที่ของกองกำลังที่ตั้งโดยพลการ

สภาพสมดุล

ก่อนหน้านี้มีการอธิบายกระบวนการของการนำกองกำลังไปยังจุดหนึ่งอย่างละเอียดและได้รับการพิสูจน์ว่าระบบแรงแบบแบนใด ๆ จะถูกลดขนาดลงเป็นแรง - เวกเตอร์หลักและคู่ซึ่งเรียกว่าช่วงเวลาหลักและแรง และคู่ที่เทียบเท่ากับระบบแรงนี้กระทำในระนาบเดียวกับระบบที่กำหนด ซึ่งหมายความว่าหากโมเมนต์หลักแสดงเป็นเวกเตอร์ เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของระบบระนาบของแรงจะตั้งฉากกันเสมอ

การโต้เถียงกันในทำนองเดียวกัน เราสามารถนำไปสู่จุดบังคับของระบบอวกาศได้อย่างต่อเนื่อง แต่ตอนนี้เวกเตอร์หลักคือเวกเตอร์ปิดของรูปหลายเหลี่ยมแรงเชิงพื้นที่ (แทนที่จะแบน) ไม่สามารถรับช่วงเวลาหลักได้อีกต่อไปโดยการบวกเชิงพีชคณิตของช่วงเวลาของกองกำลังเหล่านี้ด้วยความเคารพต่อจุดลด เมื่อลดลงถึงจุดหนึ่งของระบบแรงเชิงพื้นที่ คู่ที่แนบกันจะทำหน้าที่ในระนาบที่แตกต่างกัน และขอแนะนำให้แสดงช่วงเวลาในรูปแบบของเวกเตอร์และเพิ่มพวกมันทางเรขาคณิต ดังนั้นเวกเตอร์หลัก (ผลรวมทางเรขาคณิตของแรงของระบบ) และช่วงเวลาหลัก (ผลรวมทางเรขาคณิตของช่วงเวลาของแรงที่สัมพันธ์กับจุดลด) ที่ได้รับจากการลดลงของระบบแรงเชิงพื้นที่ โดยทั่วไปจะไม่ตั้งฉากกัน

ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์และแสดงเงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับความสมดุลของระบบเชิงพื้นที่ของกองกำลังที่ตั้งโดยพลการ

หากเวกเตอร์หลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ดังนั้นเส้นโครงบนแกนที่ตั้งฉากกันสามแกนก็จะเท่ากับศูนย์เช่นกัน หากโมเมนต์หลักมีค่าเท่ากับศูนย์ ส่วนประกอบสามส่วนบนแกนเดียวกันจะเท่ากับศูนย์

ซึ่งหมายความว่าระบบแรงเชิงพื้นที่โดยพลการนั้นสามารถกำหนดได้แบบคงที่ก็ต่อเมื่อจำนวนของสิ่งที่ไม่รู้จักไม่เกินหก

ในบรรดาปัญหาของสถิตยศาสตร์ มักจะมีระบบแรงเชิงพื้นที่ที่ขนานกันกระทำต่อร่างกาย

ในระบบเชิงพื้นที่ของแรงคู่ขนาน ไม่ควรมีสิ่งแปลกปลอมเกินสามตัว มิฉะนั้น ปัญหาจะไม่แน่นอน

บทที่ 6

แนวคิดพื้นฐานของจลนศาสตร์

สาขาของกลศาสตร์ที่ศึกษาการเคลื่อนที่ของวัตถุโดยไม่คำนึงถึงมวลและแรงที่กระทำต่อวัตถุนั้นเรียกว่า จลนศาสตร์.

ความเคลื่อนไหว- รูปแบบหลักของการดำรงอยู่ของโลกวัสดุทั้งหมด สันติภาพและความสมดุล- กรณีพิเศษ.

การเคลื่อนไหวใด ๆ รวมถึงการเคลื่อนไหวทางกลเกิดขึ้นในอวกาศและเวลา

ร่างกายทั้งหมดประกอบด้วยจุดวัสดุ เพื่อให้ได้แนวคิดที่ถูกต้องเกี่ยวกับการเคลื่อนไหวของร่างกาย คุณต้องเริ่มศึกษาเกี่ยวกับการเคลื่อนที่ของจุด การเคลื่อนที่ของจุดในอวกาศจะแสดงเป็นหน่วยเมตร เช่นเดียวกับหน่วยย่อยหลายหน่วย (ซม., มม.) หรือหลายหน่วย (กม.) ของความยาว เวลา - เป็นวินาที ในทางปฏิบัติหรือในสถานการณ์ชีวิต เวลามักจะแสดงเป็นนาทีหรือชั่วโมง เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของจุดใดจุดหนึ่ง เวลาจะนับจากช่วงเวลาเริ่มต้นที่กำหนดไว้ล่วงหน้า ( ที= 0).

ตำแหน่งของตำแหน่งของจุดเคลื่อนที่ในกรอบอ้างอิงภายใต้การพิจารณาเรียกว่า วิถี. ตามประเภทของเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดแบ่งออกเป็น เส้นตรงและ เส้นโค้ง. เส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดสามารถกำหนดและตั้งค่าล่วงหน้าได้ ตัวอย่างเช่น วิถีโคจรของดาวเทียมโลกเทียมและสถานีระหว่างดาวเคราะห์จะถูกคำนวณล่วงหน้า หรือถ้าเราใช้รถประจำทางที่เคลื่อนที่ไปรอบเมืองเป็นจุดสำคัญ ก็จะทราบวิถีโคจร (เส้นทาง) ของพวกมันด้วย ในกรณีเช่นนี้ ตำแหน่งของจุดในแต่ละช่วงเวลาจะถูกกำหนดโดยระยะทาง (พิกัดส่วนโค้ง) S นั่นคือ ความยาวของส่วนของวิถี นับจากจุดคงที่บางจุดที่เป็นจุดกำเนิด การนับระยะทางจากจุดเริ่มต้นของวิถีสามารถทำได้ทั้งสองทิศทาง ดังนั้นการนับในทิศทางเดียวจึงถือเป็นบวกแบบมีเงื่อนไขและใน

ตรงข้าม - สำหรับเชิงลบ , เหล่านั้น. ระยะทาง S เป็นปริมาณเชิงพีชคณิต อาจเป็นค่าบวก (S > 0) หรือค่าลบ (S<0).

เมื่อเคลื่อนที่ จุดใดจุดหนึ่งจะผ่านช่วงเวลาหนึ่งไป เส้นทาง L ซึ่งวัดตามเส้นทางในทิศทางการเดินทาง

หากจุดเริ่มเคลื่อนที่ไม่ได้มาจากจุดกำเนิด O แต่จากตำแหน่งที่ระยะเริ่มต้น S ดังนั้น

ปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะ ณ ช่วงเวลาใด ๆ ของทิศทางและความเร็วของการเคลื่อนที่ของจุด ๆ หนึ่งเรียกว่า ความเร็ว.

ความเร็วของจุด ณ ช่วงเวลาใด ๆ ของการเคลื่อนที่นั้นพุ่งตรงไปยังวิถีโคจร

โปรดทราบว่าความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์นี้แสดงเฉพาะตำแหน่ง และโมดูลของความเร็วเฉลี่ยเมื่อเวลาผ่านไป :

เส้นทางที่เดินทางโดยจุดในเวลาอยู่ที่ไหน

โมดูลของความเร็วเฉลี่ยเท่ากับระยะทางที่เดินทางหารด้วยเวลาที่เส้นทางนี้เดินทาง

ปริมาณเวกเตอร์ที่แสดงลักษณะความเร็วของการเปลี่ยนทิศทางและค่าตัวเลขของความเร็วเรียกว่า การเร่งความเร็ว.

ด้วยการเคลื่อนที่สม่ำเสมอตามวิถีโค้ง จุดนั้นมีความเร่งด้วย เนื่องจากในกรณีนี้ ทิศทางของความเร็วก็เปลี่ยนไปเช่นกัน

หน่วยของความเร่งมักจะใช้เป็น

6.2. วิธีการระบุการเคลื่อนที่ของจุด

มีสามวิธี: เป็นธรรมชาติ, ประสานงาน, เวกเตอร์.

วิธีธรรมชาติในการระบุการเคลื่อนที่ของจุด. หากนอกเหนือไปจากวิถีที่จุดกำเนิด O ถูกทำเครื่องหมาย การพึ่งพาอาศัยกัน

ระหว่างระยะทาง S กับเวลา t เรียกสมการนี้ว่า กฎการเคลื่อนที่ของจุดตามวิถีที่กำหนด.

ตัวอย่างเช่น ให้กำหนดเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดที่ถูกกำหนดโดยสมการ จากนั้นในเวลาเช่น จุดอยู่ที่จุดกำเนิด O; ณ เวลาใดเวลาหนึ่ง จุดนั้นอยู่ห่างออกไป ; ณ จุดใดจุดหนึ่งอยู่ห่างจากจุดกำเนิด O

วิธีพิกัดของการระบุการเคลื่อนที่ของจุด. เมื่อไม่ทราบเส้นทางการเคลื่อนที่ของจุดล่วงหน้า ตำแหน่งของจุดในอวกาศจะถูกกำหนดโดยพิกัดสามพิกัด: พิกัดเอกซิสซา X พิกัด Y และพิกัด Z

หรือไม่รวมเวลา.

สมการเหล่านี้แสดงออก กฎการเคลื่อนที่ของจุดในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม (OXYZ).

ในกรณีเฉพาะ ถ้าจุดเคลื่อนที่ในระนาบ กฎการเคลื่อนที่ของจุดจะแสดงด้วยสมการสองสมการ: หรือ .

ตัวอย่างเช่น. การเคลื่อนที่ของจุดในระบบพิกัดระนาบกำหนดโดยสมการและ ( เอ็กซ์และ วาย– ซม., เสื้อ – ค). จากนั้นในเวลา และ เช่น จุดอยู่ที่จุดกำเนิด ณ เวลาใดพิกัดของจุด , ; ณ เวลาใดพิกัดของจุด , เป็นต้น

รู้กฎการเคลื่อนที่ของจุดในระบบพิกัดรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า เราสามารถระบุได้ สมการวิถีจุด.

ตัวอย่างเช่น โดยการกำจัดเวลา t ออกจากสมการด้านบนและ เราจะได้สมการวิถีโคจร อย่างที่คุณเห็น ในกรณีนี้ จุดเคลื่อนที่ไปตามเส้นตรงที่ผ่านจุดกำเนิด

6.3. การกำหนดความเร็วของจุดด้วยวิธีธรรมชาติ
งานของการเคลื่อนไหวของเธอ

ให้จุด A เคลื่อนที่ไปตามวิถีที่กำหนดตามสมการ จำเป็นต้องกำหนดความเร็วของจุด ณ เวลา t

ในช่วงเวลาหนึ่งจุดได้เดินทางไปตามเส้นทาง , ค่าของความเร็วเฉลี่ยตามเส้นทางนี้เรียกว่า สัมผัสกัน, หรือ ความเร่งในแนวสัมผัส. โมดูลัสความเร่งสัมผัส

,

เท่ากับอนุพันธ์ของความเร็ว ณ ช่วงเวลาหนึ่ง หรือมิฉะนั้น อนุพันธ์อันดับสองของระยะทางในเวลา ระบุลักษณะความเร็วของการเปลี่ยนแปลงในค่าของความเร็ว

ได้รับการพิสูจน์ว่าเวกเตอร์นั้นตั้งฉากกับเส้นสัมผัส ณ เวลาใด ๆ ดังนั้นจึงเรียกว่า อัตราเร่งปกติ.

ซึ่งหมายความว่าโมดูลัสของความเร่งปกติเป็นสัดส่วนกับกำลังสองของโมดูลัสความเร็ว ณ ช่วงเวลาหนึ่ง แปรผกผันกับรัศมีความโค้งของวิถี ณ จุดที่กำหนด และแสดงลักษณะอัตราการเปลี่ยนแปลงในทิศทางของความเร็ว .

โมดูลการเร่งความเร็ว

โมเมนต์ของแรงรอบแกนคือ โมเมนต์ของการฉายของแรงบนระนาบที่ตั้งฉากกับแกน เทียบกับจุดตัดแกนกับระนาบนี้

โมเมนต์รอบแกนจะเป็นบวกหากแรงมีแนวโน้มที่จะหมุนระนาบตั้งฉากกับแกนทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองไปทางแกน

โมเมนต์ของแรงรอบแกนเป็น 0 ในสองกรณี:

ถ้าแรงขนานกับแกน

ถ้าแรงข้ามแกน

ถ้าแนวกระทำและแกนอยู่ในระนาบเดียวกัน โมเมนต์ของแรงรอบแกนจะเป็น 0

27. ความสัมพันธ์ระหว่างโมเมนต์ของแรงรอบแกนกับเวกเตอร์โมเมนต์ของแรงรอบจุด

Mz(F)=Mo(F)*cosαโมเมนต์ของแรง เทียบกับแกน เท่ากับการฉายเวกเตอร์ของโมเมนต์ของแรง เทียบกับจุดของแกน บนแกนนี้

28. ทฤษฎีบทหลักของสถิตยศาสตร์เกี่ยวกับการนำระบบของแรงไปสู่ศูนย์กลางที่กำหนด (ทฤษฎีบทของพอยน์ซอต) เวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลักของระบบแรง

ระบบแรงเชิงพื้นที่ใดๆ ในกรณีทั่วไปสามารถถูกแทนที่ด้วยระบบสมมูลที่ประกอบด้วยแรงหนึ่งแรงที่จุดใดจุดหนึ่งของร่างกาย (ศูนย์กลางของการลดขนาด) และเท่ากับเวกเตอร์หลักของระบบแรงนี้ และแรงคู่หนึ่ง ช่วงเวลาซึ่งเท่ากับช่วงเวลาหลักของกองกำลังทั้งหมดที่สัมพันธ์กับศูนย์อ้างอิงที่เลือก

เวกเตอร์หลักของระบบแรงเรียกว่าเวกเตอร์ รเท่ากับผลรวมเวกเตอร์ของแรงเหล่านี้:

ร = ฉ 1 + ฉ 2 + ... + ฉ n= ฉฉัน .

สำหรับระบบแรงแบบราบ เวกเตอร์หลักจะอยู่ในระนาบของแรงกระทำเหล่านี้

ช่วงเวลาหลักของระบบกองกำลังเกี่ยวกับจุดศูนย์กลาง O เรียกว่าเวกเตอร์ แอล O เท่ากับผลรวมของโมเมนต์เวกเตอร์ของแรงเหล่านี้เทียบกับจุด O:

แอล O= มโอ ( ฉ 1) + มโอ ( ฉ 2) + ... + มโอ ( ฉน) = มโอ ( ฉฉัน).

เวกเตอร์ รไม่ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของศูนย์ O และเวกเตอร์ แอล O เมื่อเปลี่ยนตำแหน่งของศูนย์ O โดยทั่วไปสามารถเปลี่ยนแปลงได้

ทฤษฎีบทของ Poinsot: ระบบแรงเชิงพื้นที่โดยพลการสามารถถูกแทนที่ด้วยแรงหนึ่งด้วยเวกเตอร์หลักของระบบแรงและแรงคู่หนึ่งกับช่วงเวลาหลักโดยไม่รบกวนสถานะของวัตถุแข็งเกร็ง เวกเตอร์หลักคือผลรวมทางเรขาคณิตของแรงทั้งหมดที่กระทำต่อวัตถุแข็งเกร็งและอยู่ในระนาบของแรงกระทำ เวกเตอร์หลักได้รับการพิจารณาผ่านเส้นโครงบนแกนพิกัด

ในการส่งแรงไปยังจุดศูนย์กลางที่กำหนด ณ จุดใดจุดหนึ่งของวัตถุแข็ง จำเป็น: 1) ถ่ายโอนแรงไปยังตัวเองในแนวขนานกับจุดศูนย์กลางที่กำหนดโดยไม่เปลี่ยนโมดูลัสของแรง 2) ในศูนย์ที่กำหนด ให้ใช้แรงคู่หนึ่ง ซึ่งโมเมนต์เวกเตอร์เท่ากับโมเมนต์เวกเตอร์ของแรงที่ถ่ายโอนของจุดศูนย์กลางใหม่สัมพัทธ์ คู่นี้เรียกว่าคู่แนบ

ขึ้นอยู่กับช่วงเวลาหลักในการเลือกศูนย์กลางการลด โมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับศูนย์การลดใหม่จะเท่ากับผลรวมทางเรขาคณิตของโมเมนต์หลักที่สัมพันธ์กับศูนย์ลดเก่าและผลคูณของเวกเตอร์รัศมีที่เชื่อมต่อศูนย์ลดใหม่กับเวกเตอร์เก่าและเวกเตอร์หลัก

29 กรณีพิเศษของการลดระบบกองกำลังเชิงพื้นที่

	ค่าของเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลัก	ผลการแคสต์
		ระบบของแรงจะลดลงเป็นคู่ของแรงซึ่งโมเมนต์นั้นเท่ากับโมเมนต์หลัก (โมเมนต์หลักของระบบแรงไม่ได้ขึ้นอยู่กับตัวเลือกของจุดศูนย์กลางของการลด O)
		ระบบของแรงจะลดลงเป็นผลลัพธ์เท่ากับผ่านศูนย์กลาง O
		ระบบของแรงจะลดลงเป็นผลลัพธ์เท่ากับเวกเตอร์หลักและขนานกับมันและแยกออกจากกันในระยะทาง ตำแหน่งของเส้นการกระทำของผลลัพธ์จะต้องเป็นเช่นนั้น ทิศทางของโมเมนต์ที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลางของการลดลง O ตรงกับทิศทางที่สัมพันธ์กับจุดศูนย์กลาง O
	และเวกเตอร์ไม่ตั้งฉาก	ระบบของแรงจะลดลงเป็นไดนาโม (สกรูกำลัง) ซึ่งเป็นการรวมกันของแรงและแรงคู่หนึ่งที่อยู่ในระนาบที่ตั้งฉากกับแรงนี้
		ระบบแรงที่ใช้กับร่างกายที่แข็งเกร็งมีความสมดุล

30. การลดพลวัตในกลศาสตร์ ไดนาโมคือชุดของแรงและคู่ของแรง () ที่กระทำกับวัตถุแข็ง ซึ่งแรงนั้นตั้งฉากกับระนาบการกระทำของคู่ของแรง ด้วยการใช้โมเมนต์เวกเตอร์ของแรงสองสามแรง เรายังสามารถนิยามไดนาโมว่าเป็นการรวมกันของแรงและแรงคู่หนึ่งที่มีแรงขนานกับโมเมนต์เวกเตอร์ของแรงสองสามแรง

สมการแกนขดลวดกลางสมมติว่าในจุดศูนย์กลางของการลดลงซึ่งเป็นจุดกำเนิดของพิกัดจะได้รับเวกเตอร์หลักพร้อมเส้นโครงบนแกนพิกัดและช่วงเวลาหลักพร้อมเส้นโครงเมื่อระบบของแรงลดลงไปที่จุดศูนย์กลางของการลด O 1 (รูปที่ 30), ไดนาโมได้มาจากเวกเตอร์หลักและโมเมนต์หลัก , เวกเตอร์ และเป็นรูปลินัม ขนานกัน ดังนั้นจึงสามารถแตกต่างกันได้ด้วยตัวประกอบสเกลาร์เท่านั้น k 0 เรามีตั้งแต่ ช่วงเวลาหลัก และ ตอบสนองความสัมพันธ์

แทนที่ เราได้รับ

พิกัดของจุด O 1 ที่ได้รับไดนาโม เราแสดงว่า x, y, z จากนั้นเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนพิกัดจะเท่ากับพิกัด x, y, z กำหนดสิ่งนี้ (*) สามารถแสดงในรูปแบบ

ที่ฉัน j ,k เป็นเวกเตอร์หน่วยของแกนพิกัด และผลคูณเวกเตอร์ * แทนด้วยดีเทอร์มิแนนต์ สมการเวกเตอร์ (**) เทียบเท่ากับสมการสเกลาร์สามสมการ ซึ่งหลังจากทิ้งแล้ว สามารถแสดงเป็น

สมการเชิงเส้นผลลัพธ์สำหรับพิกัด x, y, z คือสมการของเส้นตรง - แกนกลางแบบขดลวด ดังนั้นจึงมีเส้นตรงที่จุดที่ระบบของแรงลดลงเป็นไดนาโม

ในบทความเราจะพูดถึงโมเมนต์ของแรงเกี่ยวกับจุดและแกน คำจำกัดความ ภาพวาดและกราฟ หน่วยวัดโมเมนต์ของแรง งานและแรงในการเคลื่อนที่แบบหมุน ตลอดจนตัวอย่างและงานต่างๆ

ช่วงเวลาแห่งพลังเป็นเวกเตอร์ของปริมาณทางกายภาพเท่ากับผลคูณของเวกเตอร์ ความแข็งแรงของไหล่(รัศมีเวกเตอร์ของอนุภาค) และ ความแข็งแกร่งทำหน้าที่ในจุด คันบังคับเป็นเวกเตอร์ที่เชื่อมต่อจุดที่แกนหมุนของวัตถุแข็งผ่านกับจุดที่ออกแรง

โดยที่ r คือไหล่ของแรง F คือแรงที่กระทำกับร่างกาย

ทิศทางเวกเตอร์ แรงชั่วขณะตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดโดยเวกเตอร์ r และ F เสมอ

จุดหลัก- ระบบของกองกำลังใด ๆ บนระนาบที่เกี่ยวกับเสาที่ยอมรับเรียกว่าโมเมนต์พีชคณิตของโมเมนต์ของกองกำลังทั้งหมดของระบบนี้ที่เกี่ยวกับเสานี้

ในการเคลื่อนที่แบบหมุน ไม่เพียงแต่ปริมาณทางกายภาพเท่านั้นที่มีความสำคัญ แต่ยังรวมถึงตำแหน่งที่ตั้งของพวกมันเมื่อเทียบกับแกนของการหมุนด้วย นั่นคือ ช่วงเวลา. เรารู้แล้วว่าในการเคลื่อนที่แบบหมุน ไม่เพียงแต่มวลเท่านั้นที่มีความสำคัญ ในกรณีของแรง ประสิทธิภาพในการกระตุ้นความเร่งจะถูกกำหนดโดยวิธีที่แรงนั้นกระทำกับแกนของการหมุน

ความสัมพันธ์ระหว่างอำนาจและวิธีการใช้อธิบาย ช่วงเวลาแห่งพลังโมเมนต์ของแรงเป็นผลคูณเวกเตอร์ของแขนแรง รไปยังเวกเตอร์แรง ฉ:

เช่นเดียวกับผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ทุกตัว ดังนั้นที่นี่

ดังนั้นแรงจะไม่ส่งผลต่อการหมุนเมื่อมุมระหว่างเวกเตอร์แรง ฉและคันโยก รคือ 0 o หรือ 180 o ผลของการใช้แรงชั่วขณะคืออะไร ม?

เราใช้กฎการเคลื่อนที่ข้อที่สองของนิวตันและความสัมพันธ์ระหว่างเชือกกับความเร็วเชิงมุม v = Rโอในรูปแบบสเกลาร์จะใช้ได้เมื่อเวกเตอร์ รและ ω ตั้งฉากกัน

คูณทั้งสองข้างของสมการด้วย R เราจะได้

เนื่องจาก mR 2 = I เราจึงสรุปได้ว่า

การพึ่งพาข้างต้นยังใช้ได้ในกรณีของตัววัสดุ โปรดทราบว่าในขณะที่แรงภายนอกให้ความเร่งเชิงเส้น กโมเมนต์ของแรงภายนอกให้ความเร่งเชิงมุม ε.

หน่วยของโมเมนต์ของแรง

การวัดหลักสำหรับการวัดโมเมนต์ของแรงในพิกัดระบบ SI คือ: [M]=N m

ถึง CGS: [M]=dyn ซม

งานและแรงในการเคลื่อนที่แบบหมุน

การทำงานในการเคลื่อนที่เชิงเส้นถูกกำหนดโดยนิพจน์ทั่วไป

แต่เป็นการหมุนเวียน

และด้วยเหตุนี้

จากคุณสมบัติของผลคูณของเวกเตอร์สามตัว เราสามารถเขียนได้

ดังนั้นเราจึงมีนิพจน์สำหรับ งานโรตารี:

กำลังหมุน:

หา ช่วงเวลาแห่งพลัง,กระทำต่อร่างกายในสถานการณ์ที่แสดงในรูปด้านล่าง สมมติว่า r = 1m และ F = 2N

ก)เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์ r และ F คือ 90° ดังนั้น sin(a)=1:

M = r F = 1m 2N = 2Nm

ข)เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์ r และ F คือ 0° ดังนั้น sin(a)=0:

ม=0
ใช่ทิศทาง บังคับไม่สามารถให้จุด การเคลื่อนที่แบบหมุน.

ค)เนื่องจากมุมระหว่างเวกเตอร์ r และ F คือ 30° ดังนั้น sin(a)=0.5:

M = 0.5 r F = 1N m.

จึงจะเกิดแรงกำหนดทิศทาง การหมุนของร่างกายแต่ผลกระทบจะน้อยกว่าในกรณี ก).

โมเมนต์ของแรงรอบแกน

สมมติว่าข้อมูลเป็นจุด อ(ขั้ว) และกำลัง พี. ที่จุด อเรานำที่มาของระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ช่วงเวลาแห่งพลัง ร สัมพันธ์กับเสา อเป็นเวกเตอร์ ม. ออก (ร), (ภาพด้านล่าง) .

จุดใดก็ได้ กในบรรทัด พี มีพิกัด (xo, โย่, โซ).
เวกเตอร์แรง พี มีพิกัด Px, Py, Pz. จุดรวม เอ (xo, โย่, โซ)ที่จุดเริ่มต้นของระบบ เราได้เวกเตอร์ หน้า. พิกัดเวกเตอร์บังคับ พี สัมพันธ์กับเสา อทำเครื่องหมายด้วยสัญลักษณ์ Mx, มาย, Mz. พิกัดเหล่านี้สามารถคำนวณเป็นค่าต่ำสุดของดีเทอร์มิแนนต์ที่กำหนด โดยที่ ( ฉัน, เจ, เค) เป็นเวกเตอร์หน่วยบนแกนพิกัด (ตัวเลือก): ฉัน, เจ, เค

หลังจากแก้ดีเทอร์มีแนนต์แล้ว พิกัดของโมเมนต์จะเท่ากับ:

พิกัดเวกเตอร์โมเมนต์ โม (พี) เรียกว่า โมเมนต์ของแรงรอบแกนที่สัมพันธ์กัน เช่น โมเมนต์ของแรง พี เกี่ยวกับแกน ออนซ์ล้อมรอบแม่แบบ:

Mz = ปิกโซ - ปิโย

รูปแบบนี้ถูกตีความทางเรขาคณิตดังแสดงในรูปด้านล่าง

จากการตีความนี้ โมเมนต์ของแรงรอบแกน ออนซ์สามารถกำหนดเป็นโมเมนต์ของแรงฉายได้ พี ตั้งฉากกับแกน ออนซ์เทียบกับจุดเจาะของระนาบนี้ตามแกน บังคับการฉายภาพ พี บนแกนตั้งฉากจะถูกระบุ พีซี่ และจุดเจาะของระนาบ อ๊อกซี่- แกน ระบบปฏิบัติการเครื่องหมาย โอ้
จากนิยามข้างต้นของโมเมนต์แรงรอบแกน จะได้ว่าโมเมนต์แรงรอบแกนเป็นศูนย์เมื่อแรงและแกนเท่ากันในระนาบเดียวกัน (เมื่อแรงขนานกับแกนหรือเมื่อ แรงข้ามแกน)
โดยใช้สูตรบน Mx, มาย, Mz, เราสามารถคำนวณค่าโมเมนต์ของแรงได้ พี สัมพันธ์กับประเด็น อและกำหนดมุมที่อยู่ระหว่างเวกเตอร์ ม และแกนของระบบ:

ถ้าอำนาจอยู่ใน เครื่องบิน,ที่ โซ = 0 และ พีซ = 0 (ดูภาพด้านล่าง).

ช่วงเวลาแห่งพลัง พี สัมพันธ์กับจุด (ขั้ว) O คือ:
มx=0,
ของฉัน = 0
Mo (P) \u003d Mz \u003d Pyxo - Pxy.

เครื่องหมายแรงบิด:
บวก (+) - การหมุนของแรงรอบแกน O ตามเข็มนาฬิกา
ลบ (-) - การหมุนของแรงรอบแกน O ทวนเข็มนาฬิกา