เส้นกลางของสามเหลี่ยมมาจากเวลากลางคืน ทฤษฎีบทของทาเลส

1 โครงสร้างเพิ่มเติมที่นำไปสู่ทฤษฎีบทเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู และความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

และเธอ เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ข้อพิสูจน์ 1.
ข้อพิสูจน์ 2.

2 สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีมุมแหลมเท่ากันจะคล้ายกัน การดูฟังก์ชันตรีโกณมิติ

3 ตัวอย่างของการก่อสร้างเพิ่มเติมคือความสูงที่ลดลงจนถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

จากนี้ก็ชัดเจนว่า

1 สามเหลี่ยมมุมฉากทั้งหมดที่มีมุมแหลมเท่ากันจะคล้ายกัน การดูฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สามเหลี่ยมที่มีด้านฟักและด้านไม่ฟักจะคล้ายกันตรงที่มุมทั้งสองเท่ากัน ดังนั้นที่ไหน

ซึ่งหมายความว่าความสัมพันธ์ที่ระบุนั้นขึ้นอยู่กับมุมแหลมของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่านั้นและเป็นตัวกำหนดโดยพื้นฐานแล้ว นี่คือหนึ่งในสาเหตุของการปรากฏตัว ฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

การเขียนฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่คล้ายกันมักชัดเจนกว่าการเขียนความสัมพันธ์ที่คล้ายคลึงกัน!

2 ตัวอย่างของการก่อสร้างเพิ่มเติมคือความสูงที่ลดลงจนถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก ที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม

ลองลดความสูง CH ลงเหลือด้านตรงข้ามมุมฉาก AB เรามีสามเหลี่ยมสามอันที่คล้ายกัน ABC, AHC และ CHB มาเขียนนิพจน์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติกัน:

จากนี้ก็ชัดเจนว่า - นอกจากนี้ เราได้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เนื่องจาก:

หากต้องการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอีกประการหนึ่ง โปรดดูคำอธิบายของปัญหาที่ 4
3 ตัวอย่างที่สำคัญของการก่อสร้างเพิ่มเติมคือการสร้างมุมเท่ากับมุมหนึ่งของรูปสามเหลี่ยม

เราดำเนินการจากด้านบน มุมขวาส่วนตรงที่ทำให้มุมกับขา CA เท่ากับมุม CAB ของสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ที่กำหนด เป็นผลให้เราได้ ACM สามเหลี่ยมหน้าจั่วพร้อมมุมฐาน แต่สามเหลี่ยมอีกอันที่เกิดจากการก่อสร้างนี้จะเป็นหน้าจั่วเนื่องจากแต่ละมุมที่ฐานมีค่าเท่ากัน (โดยคุณสมบัติของมุมของสามเหลี่ยมมุมฉากและโดยการก่อสร้าง - มุมถูก "ลบ" ออกจากมุมขวา) เนื่องจากสามเหลี่ยม BMC และ AMC เป็นหน้าจั่วที่มีด้าน MC ร่วม เราจึงมีค่าเท่ากัน MB=MA=MC กล่าวคือ เอ็ม.ซี. ค่ามัธยฐานที่ลากไปทางด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากและเธอ เท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก.
ข้อพิสูจน์ 1.จุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่ล้อมรอบสามเหลี่ยมนี้ เนื่องจากปรากฎว่าจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นอยู่ห่างจากจุดยอดของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากัน
ข้อพิสูจน์ 2.เส้นกลางของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเชื่อมระหว่างกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากกับตรงกลางของขานั้นขนานกับขาตรงข้ามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ในรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว BMC และ AMC ขอให้เราลดความสูง MH และ MG ลงที่ฐาน ตั้งแต่ใน สามเหลี่ยมหน้าจั่วความสูงที่ลดลงถึงฐานจะเป็นค่ามัธยฐาน (และเส้นแบ่งครึ่ง) ด้วย จากนั้น MH และ MG จะเป็นเส้นของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากกับจุดกึ่งกลางของขา จากการก่อสร้างพวกมันจะขนานกับขาตรงข้ามและเท่ากับครึ่งหนึ่งเนื่องจากสามเหลี่ยมนั้นเท่ากัน MHC และ MGC เท่ากัน (และ MHCG เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า) ผลลัพธ์นี้เป็นพื้นฐานสำหรับการพิสูจน์ทฤษฎีบทบนเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมตามอำเภอใจ และยิ่งกว่านั้น เส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูและคุณสมบัติของสัดส่วนของส่วนต่างๆ ที่ถูกตัดออกด้วยเส้นคู่ขนานบนเส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน

งาน
การใช้คุณสมบัติความคล้ายคลึงกัน -1
การใช้คุณสมบัติพื้นฐาน - 2
ใช้รูปแบบเพิ่มเติม 3-4

1 2 3 4

ความสูงที่ตกลงมาจากจุดยอดของมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับรากที่สองของความยาวของส่วนที่นำมาหารด้านตรงข้ามมุมฉาก

วิธีแก้ปัญหาดูเหมือนชัดเจนหากคุณทราบที่มาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยม:

\(\mathrm(tg)\beta=\frac(h)(c_1)=\frac(c_2)(h)\),
จากไหน \(h^2=c_1c_2\)

ค้นหาตำแหน่งของจุด (GMT) ของจุดตัดของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมมุมฉากที่เป็นไปได้ทั้งหมดซึ่งมีด้านตรงข้ามมุมฉาก AB คงที่

จุดตัดกันของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมใดๆ จะตัดหนึ่งในสามจากค่ามัธยฐาน นับจากจุดตัดกับด้านที่ตรงกัน ใน สามเหลี่ยมมุมฉากค่ามัธยฐานที่ลากจากมุมขวาจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของด้านตรงข้ามมุมฉาก ดังนั้น GMT ที่ต้องการคือวงกลมที่มีรัศมีเท่ากับ 1/6 ของความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ตรงกลางของด้านตรงข้ามมุมฉากนี้ (คงที่)

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

คุณสมบัติ

• เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง
• เมื่อลากเส้นกลางทั้งสามเส้นออกมา จะเกิดรูปสามเหลี่ยมที่เท่ากัน 4 รูป ซึ่งคล้ายกัน (แม้จะเป็นโฮโมเทติก) กับรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมโดยมีค่าสัมประสิทธิ์ 1/2
• เส้นกลางตัดสามเหลี่ยมที่คล้ายกับอันนี้ออก และพื้นที่ของมันจะเท่ากับหนึ่งในสี่ของพื้นที่ของสามเหลี่ยมดั้งเดิม

เส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยม

เส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยม- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

คุณสมบัติ

บรรทัดแรกเชื่อมต่อ 2 ด้านตรงข้ามกัน ส่วนที่สองเชื่อมต่ออีก 2 ด้านตรงข้ามกัน เส้นที่สามเชื่อมต่อศูนย์กลางของเส้นทแยงมุมสองเส้น (รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนบางรูปไม่มีจุดศูนย์กลางที่ตัดกัน)

• หากในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนนูน เส้นกลางสร้างมุมเท่ากันกับเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เส้นทแยงมุมก็จะเท่ากัน
• ความยาวของเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของผลรวมของอีกสองด้านที่เหลือหรือเท่ากับความยาวถ้าด้านเหล่านี้ขนานกัน และในกรณีนี้เท่านั้น
• จุดกึ่งกลางของด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน พื้นที่ของมันเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนและศูนย์กลางอยู่ที่จุดตัดของเส้นกึ่งกลาง สี่เหลี่ยมด้านขนานนี้เรียกว่าสี่เหลี่ยมด้านขนานวาริญง
• จุดตัดของเส้นกึ่งกลางของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนคือจุดกึ่งกลางร่วมและแบ่งส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม นอกจากนี้ยังเป็นจุดศูนย์กลางของจุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนอีกด้วย
• ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนใดๆ เวกเตอร์ของเส้นกึ่งกลางจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของผลรวมของเวกเตอร์ของฐาน

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู- ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมูนี้ ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของฐานของสี่เหลี่ยมคางหมูเรียกว่าเส้นกึ่งกลางที่สองของสี่เหลี่ยมคางหมู

คุณสมบัติ

• เส้นกลางขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง

ดูเพิ่มเติม

หมายเหตุ

มูลนิธิวิกิมีเดีย

• 2010.
• ปริมาณอันตรายถึงตายโดยเฉลี่ย

เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู

ดูว่า "Midline" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:เส้นกลาง - (1) ส่วนสี่เหลี่ยมคางหมูที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูขนานกับฐานและเท่ากับผลรวมครึ่งหนึ่ง (2) ของรูปสามเหลี่ยม ซึ่งเป็นส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมนี้ ด้านที่ 3 ในกรณีนี้คือ... ...

ดูว่า "Midline" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:สารานุกรมโพลีเทคนิคขนาดใหญ่ - ของรูปสามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยมคางหมู) ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของทั้งสองด้านของรูปสามเหลี่ยม (ด้านของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) ...

พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่เส้นกึ่งกลาง - เส้นกึ่งกลาง 24 เส้น: เส้นสมมุติที่ลากผ่านหน้าเกลียวเพื่อให้ความหนาของบ่าเท่ากับความกว้างของร่อง แหล่งที่มา …

พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่หนังสืออ้างอิงพจนานุกรมเกี่ยวกับเอกสารเชิงบรรทัดฐานและทางเทคนิค - สามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยมคางหมู) ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของสองด้านของรูปสามเหลี่ยม (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมคางหมู) * * * MIDDLE LINE MIDDLE LINE ของรูปสามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยมคางหมู) ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของสองด้านของรูปสามเหลี่ยม (ด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมคางหมู) ...

พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่พจนานุกรมสารานุกรม

พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti fechtavimosi kovos takelį į dvi lygias dalis. ทัศนคติ: engl. เส้นกึ่งกลาง; สายกลาง vok. มิทเทลลินี, f rus. สายกลาง...Sporto terminų žodynas

พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่- vidurio linija statusas T sritis Kūno kultūra ir sportas apibrėžtis Linija, dalijanti sporto aikšt(el)ę pusiau ทัศนคติ: engl. เส้นกึ่งกลาง; สายกลาง vok. มิทเทลลินี, f rus. เส้นกลาง…Sporto terminų žodynas

สายกลาง- 1) ส.ล. สามเหลี่ยม ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยม (ด้านที่สามเรียกว่าฐาน) ส.ล. ของสามเหลี่ยมนั้นขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของฐาน พื้นที่ของส่วนของสามเหลี่ยมที่ c แบ่งมันออก ล.,... ... สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต

ดูว่า "Midline" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- ส่วนของรูปสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยม ด้านที่สามของสามเหลี่ยมเรียกว่า ฐานของรูปสามเหลี่ยม ส.ล. ของรูปสามเหลี่ยมขนานกับฐานและเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาว ในรูปสามเหลี่ยมใดๆ S. l. ตัดออกจาก...... สารานุกรมคณิตศาสตร์

ดูว่า "Midline" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:- สามเหลี่ยม (สี่เหลี่ยมคางหมู) ส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของสองด้านของรูปสามเหลี่ยม (ด้านของสี่เหลี่ยมคางหมู) ... วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

หนังสือ

• ปากกาลูกลื่น "Jotter Luxe K177 West M" (สีน้ำเงิน) (1953203) , . ปากกาลูกลื่นในกล่องของขวัญ สีตัวอักษร: สีฟ้า. เส้น : กลาง. ผลิตในประเทศฝรั่งเศส...

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดกึ่งกลางของด้านทั้ง 2 ด้าน ดังนั้น แต่ละสามเหลี่ยมจะมีเส้นกลาง 3 เส้น เมื่อทราบคุณภาพของเส้นกึ่งกลาง ตลอดจนความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมและมุมของสามเหลี่ยมแล้ว คุณก็สามารถกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลางได้

คุณจะต้อง

• ด้านของสามเหลี่ยม, มุมของสามเหลี่ยม

คำแนะนำ

1. ให้ในรูปสามเหลี่ยม ABC MN เป็นจุดกึ่งกลางที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้าน AB (จุด M) และ AC (จุด N) ตามคุณสมบัติ เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของด้าน 2 ด้านจะขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่งของ มัน. ซึ่งหมายความว่า เส้นกึ่งกลาง MN จะขนานกับด้าน BC และเท่ากับ BC/2 ดังนั้น เพื่อกำหนดความยาวของเส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ก็เพียงพอที่จะทราบความยาวของด้านของด้านที่สามนี้แล้ว

2. ให้เราทราบด้านต่างๆ โดยจุดกึ่งกลางที่เชื่อมต่อกันด้วยเส้นกลาง MN ซึ่งก็คือ AB และ AC รวมถึงมุม BAC ที่อยู่ระหว่างกัน เนื่องจาก MN คือเส้นกลาง ดังนั้น AM = AB/2 และ AN = AC/2 จากนั้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์ MN^2 = (AM^2)+(AN^2)-2*AM *AN*คอส (BAC) = (AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*คอส(BAC)/2 ดังนั้น MN = sqrt((AB^2/4)+(AC^2/4)-AB*AC*cos(BAC)/2)

3. หากทราบด้าน AB และ AC เส้นกึ่งกลาง MN สามารถพบได้โดยการรู้มุม ABC หรือ ACB สมมุติว่ามุม ABC มีชื่อเสียง เนื่องจากตามคุณสมบัติของเส้นกึ่งกลาง MN นั้นขนานกับ BC แล้วมุม ABC และ AMN จะสอดคล้องกัน และด้วยเหตุนี้ ABC = AMN จากนั้น ตามทฤษฎีบทโคไซน์: AN^2 = AC^2/4 = (AM^2)+(MN^2)-2*AM*MN*cos(AMN) จึงสามารถตรวจจับ MN ด้านข้างได้จาก สมการกำลังสอง(MN^2)-AB*MN*cos(ABC)-(AC^2/4) = 0

เคล็ดลับ 2: วิธีค้นหาด้านของสามเหลี่ยมจัตุรัส

สามเหลี่ยมจัตุรัสเรียกว่าสามเหลี่ยมมุมฉากอย่างถูกต้องมากกว่า ความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้จะมีการพูดคุยกันโดยละเอียดในสาขาวิชาคณิตศาสตร์ของวิชาตรีโกณมิติ

คุณจะต้อง

• – แผ่นกระดาษ
• - ปากกา;
• – โต๊ะแบรดิส;
• - เครื่องคิดเลข

คำแนะนำ

1. ค้นพบ ด้านข้างสี่เหลี่ยม สามเหลี่ยมด้วยการสนับสนุนของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ตามทฤษฎีบทนี้ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขา: c2 = a2+b2 โดยที่ c คือด้านตรงข้ามมุมฉาก สามเหลี่ยม, a และ b คือขาของมัน ในการใช้สมการนี้ คุณต้องรู้ความยาวของด้าน 2 ด้านใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม .

2. ถ้าเงื่อนไขระบุขนาดของขา ให้หาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉาก หากต้องการทำสิ่งนี้ ให้แยกไฟล์ด้วยการสนับสนุนเครื่องคิดเลข รากที่สองจากผลรวมของขาแต่ละอันต้องยกกำลังสองล่วงหน้า

3. คำนวณความยาวของขาข้างหนึ่งหากคุณทราบขนาดของด้านตรงข้ามมุมฉากและขาอีกข้างหนึ่ง ใช้เครื่องคิดเลข แยกรากที่สองของผลต่างระหว่างด้านตรงข้ามมุมฉากยกกำลังสองกับขานำยกกำลังสองด้วย

4. หากโจทย์กำหนดด้านตรงข้ามมุมฉากและด้านหนึ่งที่อยู่ติดกัน มุมที่คมชัดให้ใช้ตาราง Bradis พวกเขาให้ค่าของฟังก์ชันตรีโกณมิติสำหรับมุมจำนวนมาก ใช้เครื่องคิดเลขที่มีฟังก์ชันไซน์และโคไซน์ รวมถึงทฤษฎีบทตรีโกณมิติที่อธิบายความสัมพันธ์ระหว่างด้านและมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า สามเหลี่ยม .

5. ค้นหาขาโดยใช้ฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน: a = c*sin?, b = c*cos? โดยที่ a คือขาที่อยู่ตรงข้ามกับมุม?, b คือขาที่อยู่ติดกับมุม? คำนวณขนาดของด้านข้างด้วยวิธีเดียวกัน สามเหลี่ยม, ถ้าให้ด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลมอีกมุมหนึ่ง: b = c*sin?, a = c*cos? โดยที่ b คือขาตรงข้ามกับมุม? และขาอยู่ติดกับมุมนั้นหรือไม่

6. ในกรณีที่เราหาขา a และมุมแหลมที่อยู่ติดกัน อย่าลืมว่าในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของมุมแหลมจะเท่ากับ 90° เสมอ: ? - = 90°. จงหาค่าของมุมตรงข้ามขา a: ? = 90° – ?. หรือใช้ สูตรตรีโกณมิตินักแสดง : บาป ? = บาป (90° – ?) = cos ?; ใช่ไหม? = tg (90° – ?) = กะรัต ? = 1/tg?.

7. หากเรามีขา a และมีมุมแหลมตรงข้ามกับมัน? โดยใช้ตารางแบรดิส เครื่องคิดเลขและฟังก์ชันตรีโกณมิติ คำนวณด้านตรงข้ามมุมฉากโดยใช้สูตร: c=a*sin?, ขา: b=a*tg?

วิดีโอในหัวข้อ

หัวข้อบทเรียน

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

เพื่อรวบรวมความรู้ของเด็กนักเรียนเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม
แนะนำให้นักเรียนรู้จักแนวคิดเรื่องเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม
เพื่อพัฒนาความรู้ของนักเรียนเกี่ยวกับคุณสมบัติของรูปสามเหลี่ยม
สอนเด็ก ๆ ต่อไปถึงวิธีการใช้คุณสมบัติของรูปร่างเมื่อแก้ไขปัญหา
พัฒนา การคิดเชิงตรรกะความอุตสาหะและความเอาใจใส่ของนักเรียน

วัตถุประสงค์ของบทเรียน

เพื่อสร้างความรู้ของเด็กนักเรียนเกี่ยวกับเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม
ทดสอบความรู้ของนักเรียนในหัวข้อเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยม
ทดสอบทักษะการแก้ปัญหาของนักเรียน
เพื่อพัฒนาความสนใจของนักเรียนในด้านวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน
พัฒนาความสามารถของนักเรียนในการแสดงออกทางความคิดและภาษาทางคณิตศาสตร์อย่างเชี่ยวชาญ

แผนการสอน

1. เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยม แนวคิดพื้นฐาน
2. เส้นกึ่งกลางของสามเหลี่ยม ทฤษฎีบท และสมบัติ
3. การทำซ้ำเนื้อหาที่ศึกษาก่อนหน้านี้
4. เส้นหลักของรูปสามเหลี่ยมและคุณสมบัติของมัน
5. ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจจากสาขาคณิตศาสตร์
6. การบ้าน.

เส้นกลางของสามเหลี่ยม

เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมจุดกึ่งกลางของด้านทั้งสองของรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

สามเหลี่ยมแต่ละอันมีเส้นกลางสามเส้นที่ก่อตัวเป็นสามเหลี่ยมใหม่อีกอันหนึ่งอยู่ข้างใน

จุดยอดของรูปสามเหลี่ยมที่เพิ่งสร้างใหม่จะอยู่ที่จุดกึ่งกลางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมนี้

ในแต่ละสามเหลี่ยมสามารถลากเส้นกลางได้ 3 เส้น

ตอนนี้เรามาดูหัวข้อนี้ให้ละเอียดยิ่งขึ้น ดูรูปแบบสามเหลี่ยมด้านบน ข้างหน้าคุณคือสามเหลี่ยม ABC ซึ่งคุณลากเส้นตรงกลาง ส่วน MN, MP และ NP จะสร้าง MNP สามเหลี่ยมอีกอันภายในสามเหลี่ยมนี้

คุณสมบัติของเส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยม

เส้นกึ่งกลางแต่ละเส้นของสามเหลี่ยมที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางด้านข้างมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้:

1. เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมขนานกับด้านที่สามและเท่ากับครึ่งหนึ่ง

ดังนั้น เราจะเห็นว่าด้าน AC นั้นขนานกับ MN ซึ่งมีขนาดเพียงครึ่งหนึ่งของด้าน AC

2. เส้นกลางของรูปสามเหลี่ยมแบ่งออกเป็นสี่รูปสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน

หากเราดูสามเหลี่ยม ABC เราจะเห็นว่าเส้นกลาง MN, MP และ NP แบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสี่รูปเท่าๆ กัน ส่งผลให้เป็นรูปสามเหลี่ยม MBN, PMN, NCP และ AMP

3. เส้นกึ่งกลางของรูปสามเหลี่ยมตัดออกจากรูปสามเหลี่ยมที่กำหนดซึ่งคล้ายกันซึ่งมีพื้นที่เท่ากับหนึ่งในสี่ของรูปสามเหลี่ยมดั้งเดิม

ตัวอย่างเช่น ในรูปสามเหลี่ยม ABC นั้น MP กึ่งกลางจะตัดออกจากสามเหลี่ยมนี้ กลายเป็นสามเหลี่ยม AMP ซึ่งมีพื้นที่เท่ากับหนึ่งในสี่ของสามเหลี่ยม ABC

สามเหลี่ยม

ในชั้นเรียนก่อนหน้านี้ คุณได้ศึกษารูปทรงเรขาคณิตเช่นรูปสามเหลี่ยมแล้ว และคุณรู้ว่ามีรูปสามเหลี่ยมประเภทใด แตกต่างกันอย่างไร และมีคุณสมบัติอย่างไร

สามเหลี่ยมเป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด รูปทรงเรขาคณิตซึ่งมีสามด้าน สามมุม และพื้นที่ของพวกมันถูกจำกัดด้วยจุดสามจุดและสามส่วนที่เชื่อมต่อจุดเหล่านี้เป็นคู่กัน

ตอนนี้เราจำคำจำกัดความของสามเหลี่ยมได้แล้ว และตอนนี้เรามาทำซ้ำทุกสิ่งที่คุณรู้เกี่ยวกับรูปนี้โดยตอบคำถาม:

4. คุณเคยศึกษาสามเหลี่ยมประเภทใดบ้าง? รายชื่อพวกเขา
5. กำหนดรูปสามเหลี่ยมแต่ละประเภท
6. พื้นที่ของสามเหลี่ยมคือเท่าไร?
7. ผลรวมของมุมของรูปทรงเรขาคณิตนี้เป็นเท่าใด?
8. คุณรู้จักสามเหลี่ยมประเภทใดบ้าง? ตั้งชื่อพวกเขา
9. คุณรู้สามเหลี่ยมอะไรจากประเภทของด้านที่เท่ากัน?
10. กำหนดด้านตรงข้ามมุมฉาก
11. รูปสามเหลี่ยมมีมุมแหลมได้กี่มุม?

เส้นพื้นฐานของรูปสามเหลี่ยม

เส้นหลักของรูปสามเหลี่ยมประกอบด้วย: ค่ามัธยฐาน เส้นแบ่งครึ่ง ระดับความสูง และค่ามัธยฐานตั้งฉาก

ค่ามัธยฐาน

ค่ามัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมคือส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยม

1. แบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนโดยมีพื้นที่เท่ากัน
2. ค่ามัธยฐานทั้งหมดของรูปที่กำหนดตัดกันที่จุดหนึ่ง จุดนี้แบ่งพวกมันออกเป็นอัตราส่วนสองต่อหนึ่ง โดยเริ่มจากยอด และเรียกว่าจุดศูนย์ถ่วงของรูปสามเหลี่ยม
3. ค่ามัธยฐานแบ่งสามเหลี่ยมที่กำหนดออกเป็นหกส่วนเท่าๆ กัน

แบ่งครึ่ง

รังสีที่ออกจากจุดยอดและผ่านระหว่างด้านข้างของมุมแล้วแบ่งครึ่ง เรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งของมุมนี้

และถ้าส่วนของเส้นแบ่งครึ่งของมุมเชื่อมจุดยอดของมันกับจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยม ก็จะเรียกว่าเส้นแบ่งครึ่งของรูปสามเหลี่ยม

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งสามเหลี่ยม

1. เส้นแบ่งครึ่งของมุมคือตำแหน่งของจุดที่อยู่ห่างจากด้านข้างของมุมที่กำหนดเป็นระยะทางเท่ากัน
2. เส้นแบ่งครึ่งของมุมภายในของรูปสามเหลี่ยมจะแบ่งด้านตรงข้ามออกเป็นส่วนต่างๆ ที่เป็นสัดส่วนกับด้านที่อยู่ติดกันของรูปสามเหลี่ยม
3. จุดศูนย์กลางของวงกลมที่จารึกไว้ในรูปสามเหลี่ยมคือจุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งของรูปนี้

ความสูง

เส้นตั้งฉากซึ่งลากจากจุดยอด k ของรูปไปยังเส้นตรงซึ่งก็คือ ฝั่งตรงข้ามของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าส่วนสูง

คุณสมบัติของระดับความสูงรูปสามเหลี่ยม

1. ระดับความสูงที่ลากจากจุดยอดของมุมฉากจะแบ่งสามเหลี่ยมออกเป็นสองส่วนที่คล้ายกัน
2. ถ้ารูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลม ระดับความสูงทั้งสองของมันจะตัดสิ่งที่คล้ายกันออกจากรูปสามเหลี่ยมที่กำหนด

ค่ามัธยฐานตั้งฉาก

ค่ามัธยฐานตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยมคือเส้นที่ลากผ่านจุดกึ่งกลางของส่วนซึ่งตั้งฉากกับส่วนนี้

คุณสมบัติของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากของรูปสามเหลี่ยม

1. จุดใดๆ ของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากกับส่วนนั้นจะมีระยะห่างจากปลายของมันเท่ากัน ในกรณีนี้ ข้อความที่ตรงกันข้ามก็จะเป็นจริงเช่นกัน
2. จุดตัดของเส้นแบ่งครึ่งตั้งฉากที่ลากไปทางด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมคือจุดศูนย์กลางของวงกลมที่อธิบายไว้รอบๆ รูปสามเหลี่ยมนี้

ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจจากสาขาคณิตศาสตร์

จะเป็นข่าวสำหรับคุณไหมที่รู้ว่าพวกเขาต้องการส่ง François Vieta ไปที่เสาหลักเพื่อถอดรหัสจดหมายลับของรัฐบาลสเปน เพราะพวกเขาเชื่อว่ามีเพียงปีศาจเท่านั้นที่สามารถค้นพบรหัสได้ และคนๆ หนึ่งก็ไม่สามารถทำเช่นนั้นได้

คุณรู้ไหมว่าคนแรกที่เสนอเก้าอี้ลำดับเลข แถว และที่นั่งคือ Rene Descartes ขุนนางโรงละครถึงกับขอให้กษัตริย์แห่งฝรั่งเศสมอบรางวัลให้กับเดส์การตส์สำหรับเรื่องนี้ แต่อนิจจากษัตริย์ปฏิเสธเนื่องจากเขาเชื่อว่าการให้รางวัลแก่นักปรัชญานั้นอยู่ภายใต้ศักดิ์ศรีของเขา

เนื่องจากนักเรียนที่สามารถจดจำทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้แต่ไม่สามารถเข้าใจได้ ทฤษฎีบทจึงถูกเรียกว่า "สะพานลา" นั่นหมายความว่านักเรียนคนนั้นเป็น "ลา" ที่ไม่สามารถข้ามสะพานได้ ในกรณีนี้ สะพานถือเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัส

นักเขียนและนักเล่าเรื่องไม่เพียงอุทิศผลงานของตนให้กับวีรบุรุษในตำนาน ผู้คน และสัตว์ต่างๆ เท่านั้น แต่ยังรวมถึงสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างเช่น ผู้แต่ง "หนูน้อยหมวกแดง" ผู้โด่งดังได้เขียนเทพนิยายเกี่ยวกับความรักของเข็มทิศและไม้บรรทัด

การบ้าน

1. สามเหลี่ยมสามอันปรากฏอยู่ตรงหน้าคุณ จงตอบว่า เส้นที่ลากในรูปสามเหลี่ยมนั้นเฉลี่ยหรือไม่?
2. สามเหลี่ยมหนึ่งอันสามารถสร้างเส้นกึ่งกลางได้กี่เส้น?

3. กำหนดรูปสามเหลี่ยม ABC ค้นหาด้านของสามเหลี่ยม ABC หากเส้นกึ่งกลางของมันมีขนาดดังต่อไปนี้: OF = 5.5 ซม., FN = 8 ซม., ON = 7 ซม.

ในการแก้ปัญหาพลานิเมตริก นอกเหนือจากด้านข้างและมุมของรูปแล้ว ปริมาณอื่นๆ มักมีส่วนร่วมด้วย เช่น ค่ามัธยฐาน ความสูง เส้นทแยงมุม เส้นแบ่งครึ่ง และอื่นๆ ซึ่งรวมถึงเส้นกลางด้วย
หากรูปหลายเหลี่ยมดั้งเดิมเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมู เส้นกึ่งกลางของมันจะเป็นเท่าใด ส่วนนี้เป็นส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่ตัดด้านข้างของรูปที่อยู่ตรงกลางและขนานกับอีกสองด้าน - ฐาน

วิธีหาเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านเส้นกลางและฐาน

หากทราบค่าของฐานบนและล่างนิพจน์จะช่วยคำนวณค่าที่ไม่รู้จัก:

a, b – ฐาน, l – เส้นกึ่งกลาง

วิธีหาเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านพื้นที่

หากข้อมูลต้นฉบับมีพื้นที่ของรูป เมื่อใช้ค่านี้ คุณจะสามารถคำนวณความยาวของเส้นที่อยู่ตรงกลางของรูปสี่เหลี่ยมคางหมูได้ ลองใช้สูตร S = (a+b)/2*h
S – พื้นที่
ชั่วโมง – ความสูง
ก, ข – ฐาน
แต่เนื่องจาก l = (a+b)/2 ดังนั้น S = l*h ซึ่งหมายถึง l=S/h

วิธีหาเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูผ่านฐานและมุมของมัน

เมื่อพิจารณาจากความยาวของฐานที่ใหญ่กว่าของร่าง ความสูง และสิ่งที่ทราบด้วย มาตรการระดับมุมกับมัน สำนวนการหาเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูจะมีรูปแบบดังนี้

l=a – h*(ctgα+ctgβ)/2 ในขณะที่
l คือค่าที่ต้องการ
a – ฐานที่ใหญ่กว่า
α, β คือมุมของมัน
h คือความสูงของร่าง

หากทราบค่าของฐานที่เล็กกว่า (จากข้อมูลอื่นที่เหมือนกัน) ความสัมพันธ์ต่อไปนี้จะช่วยค้นหาเส้นกึ่งกลาง:

l=b+h*(ctgα+ctgβ)/2,

l คือค่าที่ต้องการ
b - ฐานเล็กกว่า
α, β คือมุมของมัน
h คือความสูงของร่าง

ค้นหาเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมูโดยใช้ความสูง เส้นทแยงมุม และมุม

ลองพิจารณาสถานการณ์ที่เงื่อนไขของปัญหารวมถึงค่าของเส้นทแยงมุมของรูปมุมที่เกิดขึ้นเมื่อตัดกันตลอดจนความสูง คุณสามารถคำนวณเส้นกึ่งกลางได้โดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

l=(d1*d2)/2h*sinγ หรือ l=(d1*d2)/2h*sinφ,

ล. - เส้นกึ่งกลาง
d1, d2 – เส้นทแยงมุม
φ, γ – มุมระหว่างพวกเขา
h คือความสูงของร่าง

วิธีหาเส้นกึ่งกลางของสี่เหลี่ยมคางหมู สำหรับรูปทรงหน้าจั่ว

หากตัวเลขพื้นฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่ว สูตรข้างต้นจะมีรูปแบบดังนี้

• หากมีค่าของฐานสี่เหลี่ยมคางหมู นิพจน์จะไม่มีการเปลี่ยนแปลง

l = (a+b)/2, a, b – ฐาน, l – เส้นกลาง

• หากทราบความสูง ฐาน และมุมที่อยู่ติดกัน ให้ทำดังนี้:

l=a-h*ctgα,
l=b+h*ctgα,

ล. - เส้นกึ่งกลาง
ก, ข – ฐาน (ข< a),
α คือมุมของมัน
h คือความสูงของร่าง

• ถ้ารู้แล้ว ด้านข้างสี่เหลี่ยมคางหมูและฐานใดฐานหนึ่ง จากนั้นคุณสามารถกำหนดค่าที่ต้องการได้โดยอ้างอิงถึงนิพจน์:

l=a-√(ค*ค-เอช*เอช)
l=b+√(ค*ค-เอช*เอช)
ล. - เส้นกึ่งกลาง
ก, ข – ฐาน (ข< a),
h คือความสูงของร่าง

• ที่ ค่านิยมที่ทราบความสูง เส้นทแยงมุม (และเท่ากัน) และมุมที่เกิดขึ้นจากจุดตัดกัน เส้นแบ่งสามารถพบได้ดังนี้:

l=(d*d)/2h*sinγ หรือ l=(d*d)/2h*sinφ,

ล. - เส้นกึ่งกลาง
d – เส้นทแยงมุม
φ, γ – มุมระหว่างพวกเขา
h คือความสูงของร่าง

• ทราบพื้นที่และความสูงของรูปแล้ว:

ลิตร=เอส/ชม.
S – พื้นที่
ชั่วโมง – ความสูง

• หากไม่ทราบความสูงตั้งฉาก สามารถกำหนดได้โดยใช้คำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

h=c*sinα ดังนั้น
l=S/c*ซินα,
ล. - เส้นกึ่งกลาง
S – พื้นที่
ค – ด้าน
α คือมุมที่ฐาน