ไซน์ x หารด้วย 2 สูตรทั้งหมดในตรีโกณมิติ

ในการแก้ปัญหาบางอย่าง ตารางอัตลักษณ์ตรีโกณมิติจะมีประโยชน์ ซึ่งจะทำให้การแปลงฟังก์ชันง่ายขึ้นมาก:

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด

ผลหารของการหารไซน์ของมุมอัลฟาด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกันจะเท่ากับค่าแทนเจนต์ของมุมนี้ (สูตร 1) ดูเพิ่มเติมที่การพิสูจน์ความถูกต้องของการเปลี่ยนแปลงอัตลักษณ์ตรีโกณมิติที่ง่ายที่สุด
ผลหารของการหารโคไซน์ของมุมอัลฟาด้วยไซน์ของมุมเดียวกันจะเท่ากับโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกัน (สูตร 2)
เส้นตัดของมุมเท่ากับหนึ่งหารด้วยโคไซน์ของมุมเดียวกัน (สูตร 3)
ผลรวมของกำลังสองของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียวกันจะเท่ากับหนึ่ง (สูตร 4) โปรดดูการพิสูจน์ผลรวมของกำลังสองของโคไซน์และไซน์ด้วย
ผลรวมของหนึ่งและแทนเจนต์ของมุมเท่ากับอัตราส่วนของหนึ่งต่อกำลังสองของโคไซน์ของมุมนี้ (สูตร 5)
หนึ่งบวกโคแทนเจนต์ของมุมเท่ากับผลหารของหนึ่งหารด้วยไซน์กำลังสองของมุมนี้ (สูตร 6)
ผลคูณของแทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมเดียวกันจะเท่ากับหนึ่ง (สูตร 7)

การแปลงมุมลบของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (คู่และคี่)

เพื่อกำจัดค่าลบ การวัดระดับมุมเมื่อคำนวณไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ คุณสามารถใช้การแปลงตรีโกณมิติ (อัตลักษณ์) ต่อไปนี้ โดยยึดหลักการของเลขคู่หรือคี่ ฟังก์ชันตรีโกณมิติ.

อย่างที่คุณเห็น โคไซน์และซีแคนต์ก็คือ แม้กระทั่งฟังก์ชั่น, ไซน์ แทนเจนต์ และโคแทนเจนต์เป็นฟังก์ชันคี่.

ไซน์ของมุมลบเท่ากับค่าลบของไซน์ของมุมบวกเดียวกัน (ลบไซน์อัลฟ่า)
โคไซน์ลบอัลฟาจะให้ค่าเดียวกับโคไซน์ของมุมอัลฟา
แทนเจนต์ลบอัลฟา เท่ากับลบแทนเจนต์อัลฟา

สูตรลดมุมคู่ (ไซน์ โคไซน์ แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของมุมคู่)

หากคุณต้องการแบ่งมุมครึ่งหรือในทางกลับกัน ต้องย้ายจากมุมสองมุมเป็นมุมเดียว คุณสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้:

การแปลงมุมคู่ (ไซน์ของมุมคู่ โคไซน์ของมุมคู่ และแทนเจนต์ของมุมคู่) ในครั้งเดียวเกิดขึ้นตามกฎต่อไปนี้:

ไซน์ของมุมคู่เท่ากับสองเท่าของผลคูณของไซน์และโคไซน์ของมุมเดียว

โคไซน์ของมุมคู่เท่ากับความแตกต่างระหว่างกำลังสองของโคไซน์ของมุมหนึ่งกับกำลังสองของไซน์ของมุมนี้

โคไซน์ของมุมคู่เท่ากับสองเท่าของกำลังสองของโคไซน์ของมุมเดียวลบหนึ่ง

โคไซน์ของมุมคู่เท่ากับ 1 ลบ ไซน์คู่ กำลังสอง มุมเดียว

แทนเจนต์ของมุมคู่เท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นสองเท่าของแทนเจนต์ของมุมหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับ 1 ลบแทนเจนต์ยกกำลังสองของมุมเดียว

โคแทนเจนต์ของมุมคู่เท่ากับเศษส่วนโดยที่ตัวเศษคือกำลังสองของโคแทนเจนต์ของมุมเดียวลบด้วยหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับสองเท่าของโคแทนเจนต์ของมุมเดียว

สูตรสำหรับการทดแทนตรีโกณมิติสากล

สูตรการแปลงด้านล่างนี้มีประโยชน์เมื่อคุณต้องการหารอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin α, cos α, tan α) ด้วยสองและลดนิพจน์ให้เป็นค่าครึ่งมุม จากค่า α เราได้ α/2

สูตรเหล่านี้เรียกว่า สูตรการทดแทนตรีโกณมิติสากล- ค่าของพวกเขาอยู่ที่ความจริงที่ว่าด้วยความช่วยเหลือของพวกเขา การแสดงออกตรีโกณมิติจะลดลงเพื่อแสดงแทนเจนต์ของครึ่งมุม ไม่ว่าฟังก์ชันตรีโกณมิติ (sin cos tan ctg) เดิมจะอยู่ในนิพจน์ใดก็ตาม หลังจากนี้ สมการที่มีแทนเจนต์ของครึ่งมุมจะแก้ได้ง่ายกว่ามาก

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติสำหรับการแปลงครึ่งมุม

ต่อไปนี้เป็นสูตรสำหรับการแปลงตรีโกณมิติของครึ่งมุมเป็นค่าทั้งหมด
ค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ α/2 จะลดลงเหลือค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ α

สูตรตรีโกณมิติสำหรับการบวกมุม

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

บาป (α + β) = บาป α cos β + บาป β cos α

บาป (α - β) = บาป α cos β - บาป β cos α
cos (α + β) = cos α cos β - บาป α sin β

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์ของผลรวมของมุมอัลฟาและเบต้าสามารถแปลงได้โดยใช้กฎต่อไปนี้ในการแปลงฟังก์ชันตรีโกณมิติ:

แทนเจนต์ของผลรวมของมุมเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษคือผลรวมของแทนเจนต์ของมุมแรกและแทนเจนต์ของมุมที่สอง และตัวส่วนคือ 1 ลบด้วยผลคูณของแทนเจนต์ของมุมแรกกับแทนเจนต์ของมุมที่สอง

แทนเจนต์ของผลต่างมุมเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับผลต่างระหว่างแทนเจนต์ของมุมที่ถูกลดรูปกับแทนเจนต์ของมุมที่ถูกลบออก และตัวส่วนคือหนึ่งบวกผลคูณของแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้

โคแทนเจนต์ของผลรวมของมุมเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเท่ากับผลคูณของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้บวกหนึ่ง และตัวส่วนเท่ากับผลต่างระหว่างโคแทนเจนต์ของมุมที่สองกับโคแทนเจนต์ของมุมแรก

โคแทนเจนต์ของผลต่างมุมเท่ากับเศษส่วนที่ตัวเศษเป็นผลคูณของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้ลบด้วย 1 และตัวส่วนเท่ากับผลรวมของโคแทนเจนต์ของมุมเหล่านี้

ข้อมูลเฉพาะตัวเกี่ยวกับตรีโกณมิติเหล่านี้สะดวกต่อการใช้งานเมื่อคุณต้องการคำนวณ เช่น ค่าแทนเจนต์ของ 105 องศา (tg 105) หากคุณจินตนาการว่าเป็น tg (45 + 60) คุณสามารถใช้การแปลงแทนเจนต์ของผลรวมของมุมที่เหมือนกันที่กำหนดจากนั้นเพียงแค่แทนที่ค่าที่ทำเป็นตารางของแทนเจนต์ 45 และแทนเจนต์ 60 องศา

สูตรการแปลงผลรวมหรือผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

นิพจน์ที่แสดงผลรวมของรูปแบบ sin α + sin β สามารถแปลงได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้:

สูตรมุมสามมุม - การแปลง sin3α cos3α tan3α เป็น sinα cosα tanα

บางครั้งจำเป็นต้องแปลงค่าสามเท่าของมุมเพื่อให้อาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติกลายเป็นมุม α แทนที่จะเป็น 3α
ในกรณีนี้ คุณสามารถใช้สูตรการแปลงมุมสามมุม (ข้อมูลประจำตัว):

สูตรการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

หากจำเป็นต้องแปลงผลคูณของไซน์ของมุมต่างๆ โคไซน์ของมุมต่างๆ หรือแม้แต่ผลคูณของไซน์และโคไซน์ คุณสามารถใช้อัตลักษณ์ตรีโกณมิติต่อไปนี้:


ในกรณีนี้ ผลคูณของฟังก์ชันไซน์ โคไซน์ หรือแทนเจนต์ของมุมที่ต่างกันจะถูกแปลงเป็นผลรวมหรือผลต่าง

สูตรลดฟังก์ชันตรีโกณมิติ

คุณต้องใช้ตารางการลดดังนี้ ในบรรทัดเราเลือกฟังก์ชันที่เราสนใจ ในคอลัมน์มีมุม ตัวอย่างเช่น ไซน์ของมุม (α+90) ที่จุดตัดของแถวแรกและคอลัมน์แรก เราจะพบว่า sin (α+90) = cos α

ค่าไซน์จะอยู่ในช่วงเวลา [-1; 1] กล่าวคือ -1 ≤ sin α ≤ 1 ดังนั้น ถ้า |a| > 1 ดังนั้นสมการ sin x = a ไม่มีราก ตัวอย่างเช่น สมการ sin x = 2 ไม่มีราก

ลองดูปัญหาบางอย่าง

แก้สมการ sin x = 1/2

สารละลาย.

โปรดทราบว่า sin x คือพิกัดของจุดบนวงกลมหนึ่งหน่วย ซึ่งได้มาจากการหมุนจุด P (1; 0) เป็นมุม x รอบจุดกำเนิด

มีพิกัดเท่ากับ ½ อยู่ที่จุดสองจุดของวงกลม M 1 และ M 2

เนื่องจาก 1/2 = sin π/6 ดังนั้นจุด M 1 จะได้มาจากจุด P (1; 0) โดยการหมุนด้วยมุม x 1 = π/6 และด้วยมุม x = π/6 + 2πk โดยที่ k = +/-1, +/-2, …

จุด M 2 ได้มาจากจุด P (1; 0) ซึ่งเป็นผลมาจากการหมุนด้วยมุม x 2 = 5π/6 เช่นเดียวกับมุม x = 5π/6 + 2πk โดยที่ k = +/-1, + /-2, ... เช่น ที่มุม x = π – π/6 + 2πk โดยที่ k = +/-1, +/-2, ….

ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการ sin x = 1/2 สามารถพบได้โดยใช้สูตร x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk โดยที่ k € Z

สูตรเหล่านี้สามารถรวมกันเป็นสูตรเดียวได้: x = (-1) n π/6 + πn โดยที่ n € Z (1)

อันที่จริงถ้า n – เลขคู่, เช่น. n = 2k จากนั้นจากสูตร (1) เราจะได้ x = π/6 + 2πk และถ้า n – เลขคี่, เช่น. n = 2k + 1 จากนั้นจากสูตร (1) เราจะได้ x = π – π/6 + 2πk

คำตอบ. x = (-1) n π/6 + πn โดยที่ n € Z

แก้สมการ sin x = -1/2

สารละลาย.

พิกัด -1/2 มีจุดสองจุดของวงกลมหน่วย M 1 และ M 2 โดยที่ x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6 ดังนั้น รากทั้งหมดของสมการ sin x = -1/2 สามารถหาได้โดยใช้สูตร x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z

เราสามารถรวมสูตรเหล่านี้เป็นสูตรเดียวได้: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2)

อันที่จริง ถ้า n = 2k ดังนั้นโดยใช้สูตร (2) เราจะได้ x = -π/6 + 2πk และถ้า n = 2k – 1 ดังนั้นเมื่อใช้สูตร (2) เราจะพบ x = -5π/6 + 2πk

คำตอบ. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z

ดังนั้นแต่ละสมการ sin x = 1/2 และ sin x = -1/2 มี ชุดอนันต์ราก

ในส่วนของ -π/2 ≤ x ≤ π/2 แต่ละสมการจะมีรากเพียงรากเดียว:
x 1 = π/6 คือรากของสมการ sin x = 1/2 และ x 1 = -π/6 คือรากของสมการ sin x = -1/2

ตัวเลข π/6 เรียกว่าอาร์คไซน์ของตัวเลข 1/2 และเขียนว่า: อาร์คซิน 1/2 = π/6; ตัวเลข -π/6 เรียกว่าอาร์คไซน์ของตัวเลข -1/2 และเขียนว่า: อาร์คซิน (-1/2) = -π/6

โดยทั่วไป สมการ sin x = a โดยที่ -1 ≤ a ≤ 1 มีเพียงรากเดียวบนเซ็กเมนต์ -π/2 ≤ x ≤ π/2 ถ้า ≥ 0 แสดงว่ารูทนั้นอยู่ในช่วง ; ถ้าก< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

ดังนั้นอาร์คไซน์ของตัวเลข a € [–1; 1] จำนวนดังกล่าวเรียกว่า € [–π/2; π/2] ซึ่งมีไซน์เท่ากับ a

อาร์กซิน а = α ถ้า sin α = а และ -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3)

ตัวอย่างเช่น อาร์กซิน √2/2 = π/4 เนื่องจาก sin π/4 = √2/2 และ – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
อาร์กซิน (-√3/2) = -π/3 เนื่องจาก sin (-π/3) = -√3/2 และ – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2

เช่นเดียวกับที่ทำเมื่อแก้ไขปัญหา 1 และ 2 แสดงให้เห็นว่ารากของสมการ sin x = a โดยที่ |a| ≤ 1 แสดงโดยสูตร

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4)

นอกจากนี้เรายังสามารถพิสูจน์ได้ว่าสำหรับ € [-1; 1] สูตร аrcsin (-а) = -аrcsin а ถูกต้อง

จากสูตร (4) จะได้ว่ารากของสมการ
sin x = a สำหรับ a = 0, a = 1, a = -1 สามารถพบได้โดยใช้สูตรที่ง่ายกว่า:

บาป x = 0 x = πn, n € Z (5)

บาป x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

บาป x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

ออกกำลังกาย.
จงหาค่าของ x ที่

สารละลาย.
การค้นหาค่าของอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันซึ่งเท่ากับค่าใดๆ หมายถึงการกำหนดว่าอาร์กิวเมนต์ใดค่าของไซน์จะตรงตามที่ระบุไว้ในเงื่อนไขทุกประการ
ในกรณีนี้เราต้องค้นหาว่าค่าไซน์จะเท่ากับ 1/2 มีค่าเท่าใด ซึ่งสามารถทำได้หลายวิธี
ตัวอย่างเช่น ใช้ โดยที่จะพิจารณาว่าค่าของ x ฟังก์ชันไซน์จะเท่ากับ 1/2
อีกวิธีหนึ่งคือการใช้. ฉันขอเตือนคุณว่าค่าของไซน์อยู่บนแกนออย
วิธีที่พบบ่อยที่สุดคือการใช้ โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อต้องจัดการกับค่าที่เป็นมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันนี้ เช่น 1/2
ในทุกกรณี เราไม่ควรลืมเกี่ยวกับคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดประการหนึ่งของไซน์นั่นคือคาบของมัน
ลองหาค่า 1/2 ของไซน์ในตารางและดูว่าอาร์กิวเมนต์ใดที่สอดคล้องกับค่านั้น อาร์กิวเมนต์ที่เราสนใจคือ Pi / 6 และ 5Pi / 6
ลองเขียนรากทั้งหมดที่เป็นไปตามสมการที่กำหนดลงไป ในการทำเช่นนี้เราเขียนอาร์กิวเมนต์ที่ไม่รู้จัก x ที่เราสนใจและหนึ่งในค่าของอาร์กิวเมนต์ที่ได้รับจากตารางนั่นคือ Pi / 6 เราเขียนลงไปโดยคำนึงถึงระยะเวลาของไซน์ ค่าทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์:

ลองใช้ค่าที่สองแล้วทำตามขั้นตอนเดียวกันกับในกรณีก่อนหน้า:

คำตอบที่สมบูรณ์ของสมการดั้งเดิมคือ:
และ
ถามสามารถรับค่าของจำนวนเต็มใดๆ ได้

ในหน้านี้คุณจะพบกับหลักทั้งหมด สูตรตรีโกณมิติซึ่งจะช่วยคุณแก้แบบฝึกหัดต่างๆ มากมาย ทำให้สำนวนง่ายขึ้นอย่างมาก

สูตรตรีโกณมิติคือความเท่าเทียมกันทางคณิตศาสตร์สำหรับฟังก์ชันตรีโกณมิติที่พอใจกับค่าที่ถูกต้องทั้งหมดของอาร์กิวเมนต์

สูตรระบุความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติพื้นฐาน - ไซน์, โคไซน์, แทนเจนต์, โคแทนเจนต์

ไซน์ของมุมคือพิกัด y ของจุด (พิกัด) บนวงกลมหน่วย โคไซน์ของมุมคือพิกัด x ของจุด (abscissa)

แทนเจนต์และโคแทนเจนต์เป็นอัตราส่วนของไซน์ต่อโคไซน์และในทางกลับกัน
`ซิน\\อัลฟา,\คอส\\อัลฟา`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \n \in Z`

และสองอันที่ใช้ไม่บ่อย - เซแคนต์, โคซีแคนต์ พวกมันแทนอัตราส่วนของ 1 ต่อโคไซน์และไซน์

`sec \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

จากคำจำกัดความของฟังก์ชันตรีโกณมิติ จะเห็นได้ชัดว่ามีสัญญาณอะไรบ้างในแต่ละควอแดรนท์ เครื่องหมายของฟังก์ชันจะขึ้นอยู่กับว่าอาร์กิวเมนต์นั้นอยู่ในควอแดรนต์ใดเท่านั้น

เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์จาก "+" เป็น "-" เฉพาะฟังก์ชันโคไซน์เท่านั้นที่ไม่เปลี่ยนค่า เรียกว่าคู่กัน.. กราฟมีความสมมาตรเกี่ยวกับแกน y

ฟังก์ชันที่เหลือ (ไซน์ แทนเจนต์ โคแทนเจนต์) เป็นเลขคี่ เมื่อเปลี่ยนเครื่องหมายของอาร์กิวเมนต์จาก "+" เป็น "-" ค่าของพวกมันจะเปลี่ยนเป็นลบด้วย กราฟของพวกมันมีความสมมาตรเกี่ยวกับจุดกำเนิด

`บาป(-\อัลฟา)=-บาป \ \อัลฟา`
`cos(-\alpha)=cos \ \alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

อัตลักษณ์ตรีโกณมิติพื้นฐาน

ข้อมูลประจำตัวตรีโกณมิติพื้นฐานคือสูตรที่สร้างการเชื่อมโยงระหว่างฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมหนึ่ง (`sin\\\alpha,\cos\\alpha,\tg\\alpha,\ctg\\alpha`) และซึ่งช่วยให้คุณสามารถค้นหาค่าได้ ของแต่ละฟังก์ชันเหล่านี้ผ่านฟังก์ชันอื่นที่รู้จัก
`บาป^2 \อัลฟา+คอส^2 \อัลฟา=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \n \in Z`

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของมุมของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรสำหรับการบวกและการลบอาร์กิวเมนต์จะแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลรวมหรือผลต่างของมุมทั้งสองในแง่ของฟังก์ชันตรีโกณมิติของมุมเหล่านี้
`บาป(\อัลฟา+\เบต้า)=` `บาป \ \อัลฟา\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`บาป(\alpha-\beta)=` `บาป \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

สูตรมุมคู่

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \อัลฟา)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos\2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \sin^2 \alpha=2 \cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg \ \alpha+tg \ \alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2(\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ctg \ \alpha)=` `\frac (\ctg \ \alpha-tg \ \alpha)2`

สูตรมุมสามเท่า

`บาป \ 3\alpha=3 \ บาป \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \ \alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

สูตรครึ่งมุม

`บาป \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ อัลฟา)=\frac (1-cos \ \อัลฟา)(บาป \ \อัลฟา)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ อัลฟา)=\frac (1+cos \ \อัลฟา)(บาป \ \อัลฟา)`

สูตรสำหรับอาร์กิวเมนต์แบบครึ่ง สอง และสามแสดงฟังก์ชัน `sin, \cos, \tg, \ctg` ของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้ (`\frac(\alpha)2, \2\alpha, \3\alpha,... ` ) ผ่านอาร์กิวเมนต์ฟังก์ชันเหล่านี้ `\alpha`

สามารถรับข้อสรุปได้จากกลุ่มก่อนหน้า (การบวกและการลบข้อโต้แย้ง) ตัวอย่างเช่น รับข้อมูลประจำตัวแบบมุมคู่ได้อย่างง่ายดายโดยการแทนที่ `\beta` ด้วย `\alpha`

สูตรลดระดับ

สูตรของกำลังสอง (ลูกบาศก์ ฯลฯ) ของฟังก์ชันตรีโกณมิติทำให้คุณสามารถย้ายจาก 2,3,... องศาไปเป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติขององศาแรกได้ แต่มีหลายมุม (`\alpha, \3\alpha, \... ` หรือ `2\อัลฟา \ 4\อัลฟา \...`)
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`บาป^3 \อัลฟา=\frac(3ซิน \ \อัลฟา-ซิน \ 3\อัลฟา)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`บาป^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

สูตรสำหรับผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

สูตรคือการแปลงผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติของอาร์กิวเมนต์ต่างๆ ให้เป็นผลคูณ

`บาป \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`บาป \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \cos \frac(\alpha+\beta)2 \cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` ` `2 \ sin \frac(\alpha+\ เบต้า)2\บาป\frac(\เบต้า-\อัลฟา)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

ที่นี่การเปลี่ยนแปลงของการบวกและการลบฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์หนึ่งเป็นผลิตภัณฑ์เกิดขึ้น

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \ sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

สูตรต่อไปนี้จะแปลงผลรวมและผลต่างของฟังก์ชันตรีโกณมิติและฟังก์ชันตรีโกณมิติให้เป็นผลคูณ

`1+cos \ \alpha=2 \cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+บาป \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-บาป \ \alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \ \alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ctg \ \ เบต้า \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`

สูตรการแปลงผลคูณของฟังก์ชัน

สูตรสำหรับการแปลงผลคูณของฟังก์ชันตรีโกณมิติที่มีอาร์กิวเมนต์ `\alpha` และ `\beta` เป็นผลรวม (ผลต่าง) ของอาร์กิวเมนต์เหล่านี้
`บาป \ \อัลฟา \ บาป \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`บาป\อัลฟา \cos\เบตา =` `\frac(บาป(\อัลฟา - \เบต้า)+ซิน(\อัลฟา + \เบต้า))(2)`
`cos \ \alpha \cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ เบต้า)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ เบต้า)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ เบต้า))`

การทดแทนตรีโกณมิติสากล

สูตรเหล่านี้แสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติในรูปของแทนเจนต์ของครึ่งมุม
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ ไพ n, n \ใน Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \ใน Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

สูตรลด

สูตรการลดลงสามารถรับได้โดยใช้คุณสมบัติของฟังก์ชันตรีโกณมิติ เช่น ระยะเวลา สมมาตร คุณสมบัติการเลื่อน มุมที่กำหนด- อนุญาตให้แปลงฟังก์ชันของมุมใดก็ได้เป็นฟังก์ชันที่มีมุมอยู่ระหว่าง 0 ถึง 90 องศา

สำหรับมุม (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` บาป(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
สำหรับมุม (`\pi \pm \alpha`) หรือ (`180^\circ \pm \alpha`):
`บาป(\pi - \alpha)=บาป \ \alpha;` ` บาป(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
สำหรับมุม (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) หรือ (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
สำหรับมุม (`2\pi \pm \alpha`) หรือ (`360^\circ \pm \alpha`):
`บาป(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` บาป(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

การแสดงฟังก์ชันตรีโกณมิติบางอย่างในแง่ของฟังก์ชันอื่นๆ

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \อัลฟา))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \อัลฟา))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos\\alpha)=\frac 1(ctg\\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \อัลฟา))=\frac 1(tg \ \alpha)`

ตรีโกณมิติแปลตรงตัวว่า "การวัดรูปสามเหลี่ยม" เริ่มมีการศึกษาที่โรงเรียนและศึกษาต่อในรายละเอียดเพิ่มเติมในมหาวิทยาลัย ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีสูตรพื้นฐานในตรีโกณมิติตั้งแต่เกรด 10 และสำหรับ ผ่านการสอบ Unified State- พวกมันแสดงถึงการเชื่อมต่อระหว่างฟังก์ชัน และเนื่องจากมีการเชื่อมต่อเหล่านี้จำนวนมาก จึงมีสูตรมากมายในตัวมันเอง ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะจดจำทั้งหมดและไม่จำเป็น - หากจำเป็นก็สามารถแสดงทั้งหมดได้

สูตรตรีโกณมิติใช้ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ เช่นเดียวกับการลดความซับซ้อน การคำนวณ และการแปลงตรีโกณมิติ