แก้ความไม่เท่าเทียมกันออนไลน์ด้วยราก การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
ตัวอย่างเช่น อสมการคือนิพจน์ \(x>5\)
ประเภทของความไม่เท่าเทียมกัน:
ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นตัวเลข หรือ จะเรียกว่าอสมการ ตัวเลข- จริงๆ แล้วมันเป็นแค่การเปรียบเทียบตัวเลขสองตัวเท่านั้น ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวจะแบ่งออกเป็น ซื่อสัตย์และ ไม่ซื่อสัตย์.
ตัวอย่างเช่น:
\(-5<2\) - верное числовое неравенство, ведь \(-5\) действительно меньше \(2\);
\(17+3\geq 115\) เป็นอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง เนื่องจาก \(17+3=20\) และ \(20\) น้อยกว่า \(115\) (และไม่เกินหรือเท่ากับ) .
ถ้า \(a\) และ \(b\) เป็นนิพจน์ที่มีตัวแปร เราก็จะได้ ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปร- ความไม่เท่าเทียมกันดังกล่าวแบ่งออกเป็นประเภทต่างๆ ตามเนื้อหา:
|
\(2x+1\geq4(5-x)\) |
แปรผันเฉพาะยกกำลังแรกเท่านั้น |
|||
|
\(3x^2-x+5>0\) |
มีตัวแปรอยู่ในยกกำลังที่สอง (กำลังสอง) แต่ไม่มีกำลังที่สูงกว่า (ที่สาม สี่ ฯลฯ) |
|||
|
\(\log_(4)((x+1))<3\) |
||||
|
\(2^(x)\leq8^(5x-2)\) |
วิธีแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกันคืออะไร?
หากคุณแทนที่ตัวเลขแทนตัวแปรให้เป็นอสมการ มันจะเปลี่ยนเป็นตัวเลข
หากค่าที่กำหนดสำหรับ x เปลี่ยนอสมการดั้งเดิมให้เป็นค่าตัวเลขจริง ก็จะเรียกว่าค่านั้น การแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน- ถ้าไม่เช่นนั้น ค่านี้ก็จะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหา และเป็นเช่นนั้น แก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน– คุณต้องค้นหาวิธีแก้ปัญหาทั้งหมด (หรือแสดงว่าไม่มีเลย)
ตัวอย่างเช่น,ถ้าเราแทนที่ตัวเลข \(7\) ลงในความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น \(x+6>10\) เราจะได้อสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้อง: \(13>10\) และถ้าเราแทน \(2\) จะเกิดอสมการเชิงตัวเลขที่ไม่ถูกต้อง \(8>10\) นั่นคือ \(7\) เป็นวิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม แต่ \(2\) ไม่ใช่
อย่างไรก็ตาม อสมการ \(x+6>10\) มีวิธีแก้ปัญหาอื่น อันที่จริง เราจะได้ค่าอสมการเชิงตัวเลขที่ถูกต้องเมื่อแทน \(5\) และ \(12\) และ \(138\)... แล้วเราจะหาวิธีแก้ปัญหาที่เป็นไปได้ทั้งหมดได้อย่างไร สำหรับสิ่งนี้ พวกเขาใช้ สำหรับกรณีของเรา เรามี:
\(x+6>10\) \(|-6\)
\(x>4\)
นั่นคือจำนวนใด ๆ ที่มากกว่าสี่จะเหมาะกับเรา ตอนนี้คุณต้องเขียนคำตอบ คำตอบของอสมการมักจะเขียนเป็นตัวเลข โดยทำเครื่องหมายเพิ่มเติมบนแกนตัวเลขด้วยการแรเงา สำหรับกรณีของเรา เรามี:
คำตอบ:
\(x\in(4;+\infty)\)
สัญญาณของความไม่เท่าเทียมกันจะเปลี่ยนไปเมื่อใด?
มีกับดักใหญ่ประการหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่นักเรียน “ชอบ” จริงๆ ที่จะตกเข้าไป:
เมื่อคูณ (หรือหาร) อสมการด้วยจำนวนลบ จะกลับรายการ ("มากกว่า" ด้วย "น้อยกว่า" "มากกว่าหรือเท่ากับ" ด้วย "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" เป็นต้น)
ทำไมสิ่งนี้ถึงเกิดขึ้น? เพื่อให้เข้าใจสิ่งนี้ มาดูการเปลี่ยนแปลงกัน ความไม่เท่าเทียมกันเชิงตัวเลข\(3>1\) ถูกต้องแล้ว สามย่อมยิ่งใหญ่กว่าหนึ่งแน่นอน ก่อนอื่น ลองคูณมันด้วยค่าใดๆ กันก่อน จำนวนบวกตัวอย่างเช่น สอง:
\(3>1\) \(|\cdot2\)
\(6>2\)
ดังที่เราเห็น หลังจากการคูณแล้ว อสมการยังคงเป็นจริง และไม่ว่าเราจะคูณจำนวนบวกเท่าใด เราก็จะได้อสมการที่ถูกต้องเสมอ ทีนี้ลองคูณด้วยจำนวนลบ เช่น ลบ 3:
\(3>1\) \(|\cdot(-3)\)
\(-9>-3\)
ผลลัพธ์คืออสมการที่ไม่ถูกต้อง เพราะลบเก้าน้อยกว่าลบสาม! นั่นคือ เพื่อให้อสมการเป็นจริง (ดังนั้น การแปลงการคูณด้วยลบจึงถือเป็น "กฎหมาย") คุณต้องกลับเครื่องหมายการเปรียบเทียบ ดังนี้: \(−9<− 3\).
ด้วยการหารก็จะได้ผลเช่นเดียวกัน คุณสามารถตรวจสอบได้ด้วยตัวเอง
กฎที่เขียนไว้ข้างต้นใช้กับความไม่เท่าเทียมกันทุกประเภท ไม่ใช่แค่ตัวเลขเท่านั้น
ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(2(x+1)-1<7+8x\)สารละลาย:
|
\(2x+2-1<7+8x\) |
ลองย้าย \(8x\) ไปทางซ้าย และ \(2\) และ \(-1\) ไปทางขวา อย่าลืมเปลี่ยนเครื่องหมาย |
|
\(2x-8x<7-2+1\) |
|
|
\(-6x<6\) \(|:(-6)\) |
ลองหารอสมการทั้งสองข้างด้วย \(-6\) อย่าลืมเปลี่ยนจาก “น้อย” เป็น “มาก” |
|
เรามาทำเครื่องหมายช่วงเวลาตัวเลขบนแกนกัน ความไม่เท่าเทียมกันดังนั้นเราจึง "ทิ่ม" ค่า \(-1\) ออกมาเองและไม่ได้ถือเป็นคำตอบ |
|
|
ลองเขียนคำตอบเป็นช่วง |
คำตอบ: \(x\in(-1;\infty)\)
ความไม่เท่าเทียมกันและความพิการ
อสมการก็เหมือนกับสมการที่สามารถมีข้อจำกัดได้ นั่นคือค่าของ x ดังนั้นค่าเหล่านั้นที่ไม่สามารถยอมรับได้ตาม DZ ควรแยกออกจากช่วงของโซลูชัน
ตัวอย่าง: แก้อสมการ \(\sqrt(x+1)<3\)
สารละลาย: เห็นได้ชัดว่าเพื่อให้ทางด้านซ้ายมีค่าน้อยกว่า \(3\) นิพจน์รากจะต้องน้อยกว่า \(9\) (ท้ายที่สุด จาก \(9\) เพียง \(3\)) เราได้รับ:
\(x+1<9\) \(|-1\)
\(x<8\)
ทั้งหมด? ค่า x ที่น้อยกว่า \(8\) ใดจะเหมาะกับเรา เลขที่! เพราะหากเรานำค่า \(-5\) ที่ดูเหมือนจะตรงกับข้อกำหนดมาใช้ มันจะไม่ใช่วิธีแก้ปัญหาของอสมการเดิม เนื่องจากจะทำให้เราต้องคำนวณรากของจำนวนลบ
\(\sqrt(-5+1)<3\)
\(\sqrt(-4)<3\)
ดังนั้นเราจึงต้องคำนึงถึงข้อจำกัดของค่า X ด้วย - ไม่สามารถเป็นจำนวนลบใต้รูตได้ ดังนั้นเราจึงมีข้อกำหนดที่สองสำหรับ x:
\(x+1\geq0\)
\(x\geq-1\)
และเพื่อให้ x เป็นคำตอบสุดท้าย มันจะต้องเป็นไปตามข้อกำหนดทั้งสองพร้อมกัน: มันจะต้องน้อยกว่า \(8\) (เป็นคำตอบ) และมากกว่า \(-1\) (เป็นที่ยอมรับในหลักการ) เมื่อเขียนลงบนเส้นจำนวน เราก็จะได้คำตอบสุดท้าย:
คำตอบ: \(\ซ้าย[-1;8\ขวา)\)
ความไม่เท่าเทียมกันคือนิพจน์ที่มี ≤ หรือ ≥ ตัวอย่างเช่น 3x - 5 การแก้อสมการหมายถึงการค้นหาค่าทั้งหมดของตัวแปรที่อสมการเป็นจริง จำนวนแต่ละจำนวนนี้คือคำตอบของอสมการ และเซตของคำตอบทั้งหมดก็เป็นค่าของมัน โซลูชั่นมากมาย- อสมการที่มีคำตอบชุดเดียวกันเรียกว่า ความไม่เท่าเทียมกันที่เท่าเทียมกัน.
อสมการเชิงเส้น
หลักการแก้อสมการก็คล้ายกับหลักการแก้สมการหลักการแก้ปัญหาความไม่เท่าเทียมกัน
สำหรับจำนวนจริงใดๆ a, b และ c:
หลักการเพิ่มความไม่เท่าเทียมกัน: ถ้าก หลักการคูณของอสมการ: ถ้า 0 เป็นจริง แล้ว ac ถ้า bc เป็นจริงด้วย
ข้อความที่คล้ายกันนี้ใช้กับ a ≤ b เช่นกัน
เมื่อคูณทั้งสองด้านของอสมการด้วยจำนวนลบ เครื่องหมายของอสมการจะต้องกลับด้าน
เรียกว่าอสมการระดับแรกดังตัวอย่างที่ 1 (ด้านล่าง) อสมการเชิงเส้น.
ตัวอย่างที่ 1แก้สมการแต่ละข้อต่อไปนี้ จากนั้นจึงวาดชุดวิธีแก้ปัญหา
ก) 3x - 5 ข) 13 - 7x ≥ 10x - 4
สารละลาย
จำนวนใดๆ ที่น้อยกว่า 11/5 คือคำตอบ
ชุดของคำตอบคือ (x|x
ในการตรวจสอบ เราสามารถวาดกราฟของ y 1 = 3x - 5 และ y 2 = 6 - 2x แล้วชัดเจนว่าสำหรับ x 
ชุดวิธีแก้ปัญหาคือ (x|x ≤ 1) หรือ (-∞, 1] กราฟของชุดวิธีแก้ปัญหาแสดงไว้ด้านล่าง 
ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า
เมื่อความเหลื่อมล้ำสองประการเชื่อมโยงกันด้วยคำเดียว และ, หรือแล้วมันก็ก่อตัวขึ้นมา ความไม่เท่าเทียมกันสองเท่า- ความไม่เท่าเทียมสองเท่า
-3
และ 2x + 5 ≤ 7
เรียกว่า เชื่อมต่อแล้วเพราะว่ามันใช้ และ- รายการ -3 อสมการสองเท่าสามารถแก้ไขได้โดยใช้หลักการบวกและการคูณอสมการ
ตัวอย่างที่ 2แก้ -3 สารละลายเรามี
ชุดของคำตอบ (x|x ≤ -1 หรือ x > 3) นอกจากนี้เรายังสามารถเขียนคำตอบโดยใช้เครื่องหมายช่วงเวลาและสัญลักษณ์สำหรับ สมาคมหรือรวมทั้งสองชุด: (-∞ -1] (3, ∞) กราฟของชุดโซลูชันแสดงไว้ด้านล่าง 
ในการตรวจสอบ ลองพลอต y 1 = 2x - 5, y 2 = -7 และ y 3 = 1 โปรดทราบว่า for (x|x ≤ -1 หรือ x > 3) y 1 ≤ y 2 หรือปี 1 > ปี 3 
อสมการกับค่าสัมบูรณ์ (โมดูลัส)
ความไม่เท่าเทียมกันบางครั้งอาจมีโมดูลัส คุณสมบัติต่อไปนี้ใช้ในการแก้ปัญหาเหล่านี้
สำหรับ a > 0 และนิพจน์พีชคณิต x:
|x| |x| > a เทียบเท่ากับ x หรือ x > a
ข้อความที่คล้ายกันสำหรับ |x| ≤ a และ |x| ≥ก
ตัวอย่างเช่น,
|x| |y| ≥ 1 เทียบเท่ากับ y ≤ -1 หรือใช่ ≥ 1;
และ |2x + 3| ≤ 4 เทียบเท่ากับ -4 ≤ 2x + 3 ≤ 4
ตัวอย่างที่ 4แก้สมการแต่ละข้อต่อไปนี้ วาดกราฟชุดของคำตอบ
ก) |3x + 2| ข) |5 - 2x| ≥ 1
สารละลาย
ก) |3x + 2|
ข) |5 - 2x| ≥ 1
เซตคำตอบคือ (x|x ≤ 2 หรือ x ≥ 3) หรือ (-∞, 2] )
