การขยายตัวยกกำลัง x การแก้ขีดจำกัดโดยใช้ซีรีย์ Taylor

ในเดือนกรกฎาคม 2020 NASA ออกเดินทางสู่ดาวอังคาร ยานอวกาศจะส่งสื่ออิเล็กทรอนิกส์ไปยังดาวอังคารพร้อมชื่อของผู้เข้าร่วมการสำรวจทั้งหมดที่ลงทะเบียนไว้

เปิดลงทะเบียนผู้เข้าร่วมแล้ว ซื้อตั๋วไปดาวอังคารโดยใช้ลิงก์นี้

หากโพสต์นี้แก้ปัญหาของคุณได้หรือคุณเพียงแค่ชอบ ให้แชร์ลิงก์ไปยังเพื่อน ๆ ของคุณบนโซเชียลเน็ตเวิร์ก

หนึ่งในตัวเลือกโค้ดเหล่านี้จำเป็นต้องคัดลอกและวางลงในโค้ดของหน้าเว็บของคุณ โดยควรอยู่ระหว่างแท็กและหรืออยู่หลังแท็ก ตามตัวเลือกแรก MathJax จะโหลดเร็วขึ้นและทำให้หน้าช้าลงน้อยลง แต่ตัวเลือกที่สองจะตรวจสอบและโหลด MathJax เวอร์ชันล่าสุดโดยอัตโนมัติ หากคุณใส่รหัสแรก จะต้องได้รับการอัปเดตเป็นระยะ หากคุณใส่โค้ดที่สอง หน้าเว็บจะโหลดช้าลง แต่คุณไม่จำเป็นต้องติดตามการอัปเดต MathJax อย่างต่อเนื่อง

วิธีที่ง่ายที่สุดในการเชื่อมต่อ MathJax คือใน Blogger หรือ WordPress: ในแผงควบคุมไซต์ ให้เพิ่มวิดเจ็ตที่ออกแบบมาเพื่อแทรกโค้ด JavaScript บุคคลที่สาม คัดลอกโค้ดดาวน์โหลดเวอร์ชันแรกหรือเวอร์ชันที่สองที่แสดงด้านบนลงไป และวางวิดเจ็ตไว้ใกล้ยิ่งขึ้น ไปที่จุดเริ่มต้นของเทมเพลต (โดยวิธีนี้ไม่จำเป็นเลย เนื่องจากสคริปต์ MathJax ถูกโหลดแบบอะซิงโครนัส) นั่นคือทั้งหมดที่ ตอนนี้เรียนรู้ไวยากรณ์มาร์กอัปของ MathML, LaTeX และ ASCIIMathML แล้วคุณก็พร้อมที่จะแทรกสูตรทางคณิตศาสตร์ลงในหน้าเว็บของเว็บไซต์ของคุณแล้ว

วันส่งท้ายปีเก่าอีกครั้ง... อากาศหนาวจัดและเกล็ดหิมะบนกระจกหน้าต่าง... ทั้งหมดนี้ทำให้ฉันต้องเขียนอีกครั้งเกี่ยวกับ... เศษส่วน และสิ่งที่ Wolfram Alpha รู้เกี่ยวกับมัน ในโอกาสนี้ก็มี บทความที่น่าสนใจซึ่งมีตัวอย่างโครงสร้างแฟร็กทัลสองมิติ เราจะดูตัวอย่างเศษส่วนสามมิติที่ซับซ้อนยิ่งขึ้น

เศษส่วนสามารถแสดงด้วยสายตา (อธิบาย) เป็นรูปทรงเรขาคณิตหรือร่างกาย (ซึ่งหมายความว่าทั้งสองเป็นเซตในกรณีนี้คือเซตของจุด) ซึ่งมีรายละเอียดที่มีรูปร่างเหมือนกันกับรูปดั้งเดิม คือเป็นโครงสร้างคล้ายตัวเอง เมื่อพิจารณารายละเอียด ซึ่งเมื่อขยายใหญ่ขึ้นเราจะเห็นรูปทรงเดียวกันกับเมื่อไม่มีการขยาย ในขณะที่ในกรณีธรรมดา รูปทรงเรขาคณิต(ไม่ใช่แฟร็กทัล) เมื่อขยายเข้าไปเราจะเห็นรายละเอียดที่มีรูปร่างเรียบง่ายกว่าร่างเดิมนั่นเอง ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้กำลังขยายที่สูงเพียงพอ ส่วนหนึ่งของวงรีจะดูเหมือนส่วนของเส้นตรง สิ่งนี้จะไม่เกิดขึ้นกับแฟร็กทัล: เมื่อมีการเพิ่มขึ้น เราจะเห็นรูปร่างที่ซับซ้อนเหมือนเดิมอีกครั้ง ซึ่งจะเกิดขึ้นซ้ำแล้วซ้ำอีกทุกครั้งที่เพิ่มขึ้น

เบอนัวต์ แมนเดลโบรต์ ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์แห่งแฟร็กทัลเขียนไว้ในบทความของเขาเรื่องแฟร็กทัลและศิลปะในนามของวิทยาศาสตร์ว่า “แฟร็กทัลเป็น รูปทรงเรขาคณิตซึ่งมีรายละเอียดที่ซับซ้อนเช่นเดียวกับในรูปแบบทั่วไป กล่าวคือ ถ้าส่วนหนึ่งของแฟร็กทัลถูกขยายให้ใหญ่ขึ้นจนมีขนาดทั้งหมด มันก็จะปรากฏเป็นภาพรวมอย่างแน่นอน หรืออาจจะมีรูปร่างผิดรูปเล็กน้อยก็ได้”

เทย์เลอร์ซีรีส์. การขยายฟังก์ชันชุดเทย์เลอร์

ปรากฎว่าฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่สามารถแสดงด้วยความแม่นยำใดๆ ในบริเวณใกล้เคียงกับจุดใดจุดหนึ่งในรูปแบบของอนุกรมกำลังที่ประกอบด้วยกำลังของตัวแปรในลำดับที่เพิ่มขึ้น ตัวอย่างเช่น ใกล้กับจุด x=1:

เมื่อใช้อนุกรมที่เรียกว่าอนุกรมเทย์เลอร์ ฟังก์ชันผสมที่มีฟังก์ชันพูด พีชคณิต ตรีโกณมิติ และเอ็กซ์โปเนนเชียลสามารถแสดงเป็นฟังก์ชันพีชคณิตล้วนๆ ได้ เมื่อใช้ซีรีส์ คุณจะสามารถสร้างความแตกต่างและบูรณาการได้อย่างรวดเร็ว

ซีรีส์ Taylor ในบริเวณใกล้จุด a มีรูปแบบดังนี้:

1) โดยที่ f(x) คือฟังก์ชันที่มีอนุพันธ์ของลำดับทั้งหมดที่ x=a R n - เทอมที่เหลือในชุด Taylor ถูกกำหนดโดยนิพจน์

2)

ค่าสัมประสิทธิ์ k-th (ที่ x k) ของอนุกรมถูกกำหนดโดยสูตร

3) (การขยายตัวเกิดขึ้นรอบๆ จุด a = 0)

ที่ = 0

สมาชิกของซีรีส์ถูกกำหนดโดยสูตร

เงื่อนไขการใช้ซีรีย์ Taylor

1. เพื่อให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกขยายเป็นอนุกรม Taylor ในช่วงเวลา (-R;R) จำเป็นอย่างยิ่งและเพียงพอที่เทอมที่เหลือในสูตร Taylor (Maclaurin (=McLaren)) สำหรับสิ่งนี้ ฟังก์ชั่นมีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์เมื่อ k →∞ในช่วงเวลาที่ระบุ (-R;R)

2. จำเป็นต้องมีอนุพันธ์สำหรับฟังก์ชันที่กำหนด ณ จุดที่เรากำลังจะสร้างอนุกรม Taylor

คุณสมบัติของซีรีย์เทย์เลอร์

ถ้า f เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ อนุกรมเทย์เลอร์ของมัน ณ จุดใดๆ ในโดเมนของนิยามของ f จะบรรจบกับ f ในย่านใกล้เคียงของ a

มีฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ไม่สิ้นสุดซึ่งอนุกรมเทย์เลอร์มาบรรจบกัน แต่ในขณะเดียวกันก็แตกต่างจากฟังก์ชันในย่านใกล้เคียงใดๆ ของ a ตัวอย่างเช่น:

ซีรีย์ Taylor ใช้ในการประมาณ (ประมาณ - วิธีการทางวิทยาศาสตร์ซึ่งประกอบด้วยการแทนที่วัตถุบางอย่างด้วยวัตถุอื่น ในความหมายหนึ่งหรืออีกนัยหนึ่งที่ใกล้เคียงกับวัตถุดั้งเดิม แต่ง่ายกว่า) ฟังก์ชันด้วยพหุนาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การทำให้เป็นเชิงเส้น ((จาก linearis - เชิงเส้น) หนึ่งในวิธีการสำหรับการประมาณค่าของระบบไม่เชิงเส้นแบบปิด ซึ่งการศึกษาไม่ได้ ระบบเชิงเส้นถูกแทนที่ด้วยการวิเคราะห์ระบบเชิงเส้น ในความหมายที่เทียบเท่ากับระบบดั้งเดิม) ของสมการเกิดขึ้นโดยการขยายเป็นอนุกรมเทย์เลอร์และตัดพจน์ทั้งหมดที่อยู่เหนือลำดับแรกออก

ดังนั้น ฟังก์ชันเกือบทุกฟังก์ชันจึงสามารถแสดงเป็นพหุนามได้ด้วยความแม่นยำที่กำหนด

สำหรับนักศึกษา คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นควรทราบว่าผลรวมของอนุกรมกำลังหนึ่งซึ่งอยู่ในช่วงของการบรรจบกันของอนุกรมที่มอบให้เรากลายเป็นฟังก์ชันที่สร้างความแตกต่างอย่างต่อเนื่องและไม่จำกัดจำนวนครั้ง คำถามเกิดขึ้น: เป็นไปได้ไหมที่จะบอกว่าฟังก์ชันใดฟังก์ชันหนึ่งที่กำหนด f(x) คือผลรวมของอนุกรมกำลังจำนวนหนึ่ง นั่นคือ ฟังก์ชัน f(x) สามารถแสดงภายใต้เงื่อนไขใดได้บ้าง ซีรีย์พาวเวอร์- ความสำคัญของคำถามนี้อยู่ที่ว่า มีความเป็นไปได้ที่จะแทนที่ฟังก์ชัน f(x) โดยประมาณด้วยผลรวมของสองสามเทอมแรกของอนุกรมกำลัง ซึ่งก็คือพหุนาม การเปลี่ยนฟังก์ชั่นนี้ค่อนข้างมาก การแสดงออกที่เรียบง่าย- พหุนาม - ยังสะดวกในการแก้ไขปัญหาบางอย่างเช่น: เมื่อแก้ปริพันธ์เมื่อคำนวณ ฯลฯ

ได้รับการพิสูจน์แล้วว่าสำหรับฟังก์ชันบางอย่าง f(x) ซึ่งเป็นไปได้ที่จะคำนวณอนุพันธ์จนถึงลำดับที่ (n+1) รวมถึงลำดับสุดท้ายในย่านใกล้เคียงของ (α - R; x 0 + R ) บางจุด x = α มันเป็นความจริงที่สูตร:

สูตรนี้ตั้งชื่อตามนักวิทยาศาสตร์ชื่อดัง Brooke Taylor ชุดที่ได้มาจากชุดที่แล้วเรียกว่าชุด Maclaurin:

กฎที่ทำให้สามารถขยายซีรีส์ Maclaurin ได้:

กำหนดอนุพันธ์ของลำดับที่หนึ่ง สอง สาม...

คำนวณว่าอนุพันธ์ที่ x=0 เท่ากับเท่าใด

เขียนอนุกรม Maclaurin สำหรับฟังก์ชันนี้ แล้วหาช่วงของการลู่เข้ากัน

กำหนดช่วงเวลา (-R;R) โดยที่ส่วนที่เหลือของสูตร Maclaurin

R n (x) -> 0 ที่ n -> อนันต์ หากมีอยู่แล้ว ฟังก์ชัน f(x) ในนั้นจะต้องตรงกับผลรวมของอนุกรม Maclaurin

ตอนนี้เรามาดูซีรีส์ Maclaurin สำหรับแต่ละฟังก์ชันกัน

1. อันแรกจะเป็น f(x) = e x แน่นอนว่าตามคุณลักษณะแล้ว ฟังก์ชันดังกล่าวมีอนุพันธ์ของลำดับที่แตกต่างกันมาก และ f (k) (x) = e x โดยที่ k เท่ากับทั้งหมด การแทนที่ x = 0 เราได้ f (k) (0) = e 0 =1, k = 1,2... จากข้อมูลข้างต้น ซีรีส์ e x จะมีลักษณะดังนี้:

2. อนุกรม Maclaurin สำหรับฟังก์ชัน f(x) = sin x ให้เราชี้แจงทันทีว่าฟังก์ชันของสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมดจะมีอนุพันธ์ นอกจากนี้ f "(x) = cos x = sin(x+n/2), f "" (x) = -sin x = sin(x + 2*n/2)..., f (k) (x) = sin(x+k*n/2) โดยที่ k เท่ากับค่าใดๆ จำนวนธรรมชาติ- นั่นคือ หลังจากคำนวณง่ายๆ แล้ว เราก็สรุปได้ว่าอนุกรมของ f(x) = sin x จะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้:

3. ทีนี้ลองพิจารณาฟังก์ชัน f(x) = cos x สำหรับสิ่งที่ไม่ทราบทั้งหมด มันมีอนุพันธ์ของลำดับตามอำเภอใจ และ |f (k) (x)| = |cos(x+k*n/2)|