วิธีการแก้สมการต่างๆ แก้สมการกำลังสองออนไลน์ การตรวจสอบการแก้สมการ

ในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นประถมศึกษาปีที่ 7 ที่เราเผชิญหน้ากันเป็นครั้งแรก สมการที่มีตัวแปรสองตัวแต่มีการศึกษาเฉพาะในบริบทของระบบสมการที่ไม่ทราบค่าสองตัวเท่านั้น ด้วยเหตุนี้มันจึงหลุดไปจากสายตา ทั้งซีรีย์ปัญหาที่มีเงื่อนไขบางประการมาใช้กับสัมประสิทธิ์ของสมการที่จำกัดเงื่อนไขเหล่านั้น นอกจากนี้ วิธีการแก้ปัญหาเช่น “แก้สมการในจำนวนธรรมชาติหรือจำนวนเต็ม” ก็จะถูกละเว้นเช่นกัน แม้ว่าใน สื่อการสอบ Unified Stateและในการสอบเข้าก็เจอปัญหาประเภทนี้บ่อยขึ้น

สมการใดจะเรียกว่าสมการที่มีตัวแปรสองตัว

ตัวอย่างเช่น สมการ 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 หรือ xy = 12 เป็นสมการที่อยู่ในตัวแปรสองตัว

พิจารณาสมการ 2x – y = 1 มันจะเป็นจริงเมื่อ x = 2 และ y = 3 ดังนั้นค่าตัวแปรคู่นี้จึงเป็นคำตอบของสมการที่เป็นปัญหา

ดังนั้นการแก้สมการใด ๆ ที่มีตัวแปรสองตัวคือชุดของคู่อันดับ (x; y) ซึ่งเป็นค่าของตัวแปรที่เปลี่ยนสมการนี้ให้กลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

สมการที่มีไม่ทราบค่าสองตัวสามารถ:

ก) มีทางออกหนึ่งทางตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + 5y 2 = 0 มีคำตอบเฉพาะ (0; 0)

ข) มีหลายโซลูชั่นตัวอย่างเช่น (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 มีคำตอบ 4 แบบ: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2); - 2);

วี) ไม่มีวิธีแก้ปัญหาตัวอย่างเช่น สมการ x 2 + y 2 + 1 = 0 ไม่มีคำตอบ

ช) มีทางแก้มากมายนับไม่ถ้วนเช่น x + y = 3 ผลเฉลยของสมการนี้จะเป็นตัวเลขที่ผลรวมเท่ากับ 3 ชุดของคำตอบ สมการที่กำหนดสามารถเขียนได้ในรูป (k; 3 – k) โดยที่ k คือค่าใดๆ จำนวนจริง.

วิธีการหลักในการแก้สมการที่มีตัวแปรสองตัวคือวิธีการที่ใช้นิพจน์การแยกตัวประกอบ การแยกกำลังสองสมบูรณ์ โดยใช้คุณสมบัติของสมการกำลังสอง นิพจน์ที่จำกัด และวิธีการประมาณค่า โดยปกติสมการจะถูกแปลงเป็นรูปแบบที่สามารถหาระบบในการค้นหาสิ่งที่ไม่ทราบได้

การแยกตัวประกอบ

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ: xy – 2 = 2x – y

สารละลาย.

เราจัดกลุ่มคำศัพท์ตามวัตถุประสงค์ของการแยกตัวประกอบ:

(xy + y) – (2x + 2) = 0 จากแต่ละวงเล็บ เราจะหาตัวประกอบร่วมออกมา:

y(x + 1) – 2(x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0 เรามี:

y = 2, x – จำนวนจริงใดๆ หรือ x = -1, y – จำนวนจริงใดๆ

ดังนั้น, คำตอบคือทุกคู่ของแบบฟอร์ม (x; 2), x € R และ (-1; y), y € R

ความเท่าเทียมกันของจำนวนที่ไม่เป็นลบเป็นศูนย์

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y)

สารละลาย.

การจัดกลุ่ม:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0 ตอนนี้แต่ละวงเล็บสามารถพับได้โดยใช้สูตรผลต่างกำลังสอง

(3x – 2) 2 + (2y – 3) 2 = 0

ผลรวมของนิพจน์ที่ไม่ใช่เชิงลบสองตัวจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ 3x – 2 = 0 และ 2y – 3 = 0

ซึ่งหมายความว่า x = 2/3 และ y = 3/2

คำตอบ: (2/3; 3/2)

วิธีการประมาณค่า

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการ: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2

สารละลาย.

ในแต่ละวงเล็บเราเลือกสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2 ลองประมาณกัน ความหมายของสำนวนในวงเล็บ

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 และ (y – 2) 2 + 2 ≥ 2 ดังนั้นด้านซ้ายของสมการจะมีค่าอย่างน้อย 2 เสมอ ความเท่าเทียมกันจะเกิดขึ้นได้หาก:

(x + 1) 2 + 1 = 1 และ (y – 2) 2 + 2 = 2 ซึ่งหมายถึง x = -1, y = 2

คำตอบ: (-1; 2)

มาทำความรู้จักกับวิธีอื่นในการแก้สมการด้วยตัวแปรสองตัวในระดับที่สอง วิธีนี้ประกอบด้วยการรักษาสมการดังนี้ กำลังสองเทียบกับตัวแปรบางตัว.

ตัวอย่างที่ 4

แก้สมการ: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0

สารละลาย.

ลองแก้สมการเป็นสมการกำลังสองของ x กัน เรามาค้นหาความแตกต่างกัน:

ง = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . สมการจะมีคำตอบก็ต่อเมื่อ D = 0 นั่นคือถ้า y = 4 เราแทนค่า y ลงในสมการดั้งเดิมแล้วพบว่า x = 3

คำตอบ: (3; 4)

บ่อยครั้งอยู่ในสมการที่มีสิ่งไม่รู้สองตัวที่ระบุ ข้อจำกัดเกี่ยวกับตัวแปร.

ตัวอย่างที่ 5

แก้สมการด้วยจำนวนเต็ม: x 2 + 5y 2 = 20x + 2

สารละลาย.

ลองเขียนสมการใหม่ในรูปแบบ x 2 = -5y 2 + 20x + 2 ทางด้านขวาของสมการเมื่อหารด้วย 5 จะได้เศษเป็น 2 ดังนั้น x 2 จึงหารด้วย 5 ไม่ลงตัว แต่กำลังสองของ a จำนวนที่หารด้วย 5 ไม่ลงตัวจะให้เศษเป็น 1 หรือ 4 ดังนั้น ความเท่าเทียมกันจึงเป็นไปไม่ได้และไม่มีวิธีแก้

คำตอบ: ไม่มีราก

ตัวอย่างที่ 6

แก้สมการ: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3

สารละลาย.

เรามาเน้นสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สมบูรณ์ในแต่ละวงเล็บ:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3 ทางด้านซ้ายของสมการมักจะมากกว่าหรือเท่ากับ 3 เสมอ หากมีความเท่าเทียมกัน |x| – 2 = 0 และ y + 3 = 0 ดังนั้น x = ± 2, y = -3

คำตอบ: (2; -3) และ (-2; -3)

ตัวอย่างที่ 7

สำหรับจำนวนเต็มลบทุกคู่ (x;y) จะเป็นไปตามสมการ
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, คำนวณผลรวม (x + y) โปรดระบุจำนวนเงินที่น้อยที่สุดในคำตอบของคุณ

สารละลาย.

มาเลือกกำลังสองที่สมบูรณ์:

(x 2 – 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37 เนื่องจาก x และ y เป็นจำนวนเต็ม กำลังสองของมันจึงเป็นจำนวนเต็มด้วย เราจะได้ผลรวมของกำลังสองของจำนวนเต็มสองตัวเท่ากับ 37 ถ้าเราบวก 1 + 36 ดังนั้น:

(x – y) 2 = 36 และ (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 และ (y + 2) 2 = 36

เมื่อแก้ระบบเหล่านี้และพิจารณาว่า x และ y เป็นลบ เราจะพบวิธีแก้ปัญหา: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)

คำตอบ: -17

อย่าสิ้นหวังหากคุณมีปัญหาในการแก้สมการที่ไม่ทราบค่าสองตัว ด้วยการฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณก็จะจัดการกับสมการต่างๆ ได้

ยังมีคำถามอยู่ใช่ไหม? ไม่ทราบวิธีแก้สมการในตัวแปรสองตัวใช่ไหม?
หากต้องการความช่วยเหลือจากครูสอนพิเศษ ให้ลงทะเบียน
บทเรียนแรกฟรี!

เว็บไซต์ เมื่อคัดลอกเนื้อหาทั้งหมดหรือบางส่วน จำเป็นต้องมีลิงก์ไปยังแหล่งที่มา

เราให้คุณสะดวกสบายฟรี เครื่องคิดเลขออนไลน์สำหรับการแก้สมการกำลังสองคุณสามารถรับและทำความเข้าใจวิธีการแก้ไขได้อย่างรวดเร็วโดยใช้ตัวอย่างที่ชัดเจน
เพื่อผลิต แก้สมการกำลังสองออนไลน์ขั้นแรกให้ลดสมการลงเป็น ลักษณะทั่วไป:
ขวาน 2 + bx + c = 0
กรอกแบบฟอร์มตามนี้:

วิธีแก้สมการกำลังสอง

วิธีแก้ปัญหา สมการกำลังสอง:	ประเภทของราก:
1. ลดสมการกำลังสองให้อยู่ในรูปแบบทั่วไป: มุมมองทั่วไป Аx 2 +Bx+C=0 ตัวอย่าง: 3x - 2x 2 +1=-1 ลดเหลือ -2x 2 +3x+2=0 2. ค้นหาผู้เลือกปฏิบัติ D. D=B 2 -4*A*C สำหรับตัวอย่างของเรา D= 9-(4*(-2)*2)=9+16=25 3. การหารากของสมการ x1=(-B+D 1/2)/2A. สำหรับกรณีของเรา x1=(-3+5)/(-4)=-0.5 x2=(-B-D 1/2)/2A. สำหรับตัวอย่างของเรา x2=(-3-5)/(-4)=2 ถ้าข- เลขคู่แล้วจะสะดวกกว่าในการคำนวณจำแนกและรูทโดยใช้สูตร: ง=К 2 -เอซี x1=(-K+D 1/2)/A x2=(-K-D 1/2)/A, โดยที่ K=B/2	1. รากที่แท้จริง นอกจากนี้. x1 ไม่เท่ากับ x2 สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อ D>0 และ A ไม่เท่ากับ 0 2. รากที่แท้จริงก็เหมือนกัน x1 เท่ากับ x2 สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อ D=0 อย่างไรก็ตาม ทั้ง A หรือ B และ C ไม่ควรเท่ากับ 0 3. รากที่ซับซ้อนสองอัน x1=d+ei, x2=d-ei โดยที่ i=-(1) 1/2 สถานการณ์เกิดขึ้นเมื่อ D 4. สมการนี้มีคำตอบเดียว A=0, B และ C ไม่เท่ากับศูนย์ สมการจะกลายเป็นเส้นตรง 5. สมการนี้มีคำตอบมากมายนับไม่ถ้วน ก=0, ข=0, ค=0 6. สมการนี้ไม่มีคำตอบ A=0, B=0, C ไม่เท่ากับ 0

หากต้องการรวมอัลกอริทึม ต่อไปนี้เป็นข้อมูลเพิ่มเติมบางส่วน ตัวอย่างภาพประกอบคำตอบของสมการกำลังสอง.

ตัวอย่างที่ 1 การแก้สมการกำลังสองสามัญที่มีรากจำนวนจริงต่างกัน
x 2 + 3x -10 = 0
ในสมการนี้
ก=1, ข=3, ค=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
เราจะแทนรากที่สองเป็นเลข 1/2!
x1=(-B+D 1/2)/2A = (-3+7)/2 = 2
x2=(-B-D 1/2)/2A = (-3-7)/2 = -5

หากต้องการตรวจสอบ ให้ใช้แทน:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10

ตัวอย่างที่ 2 การแก้สมการกำลังสองด้วยรากจริงที่ตรงกัน
x 2 – 8x + 16 = 0
ก=1, ข = -8, ค=16
ง = k 2 – เอซี = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4

มาทดแทนกัน
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16

ตัวอย่างที่ 3 การแก้สมการกำลังสองด้วยรากที่ซับซ้อน
13x 2 – 4x + 1 = 0
ก=1, ข = -4, ค=9
ง = ข 2 – 4เอซี = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
การเลือกปฏิบัติเป็นลบ – รากมีความซับซ้อน

X1=(-B+D 1/2)/2A = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-B-D 1/2)/2A = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
โดยที่ i คือสแควร์รูทของ -1

ต่อไปนี้เป็นกรณีที่เป็นไปได้ทั้งหมดของการแก้สมการกำลังสอง
เราหวังว่าของเรา เครื่องคิดเลขออนไลน์จะมีประโยชน์มากสำหรับคุณ
หากวัสดุมีประโยชน์คุณก็สามารถทำได้

มีการศึกษาสมการกำลังสองในชั้นประถมศึกษาปีที่ 8 ดังนั้นจึงไม่มีอะไรซับซ้อนที่นี่ ความสามารถในการแก้ไขปัญหาเหล่านี้มีความจำเป็นอย่างยิ่ง

สมการกำลังสองคือสมการที่มีรูปแบบ ax 2 + bx + c = 0 โดยที่สัมประสิทธิ์ a, b และ c เป็นตัวเลขใดๆ และ a ≠ 0

ก่อนที่จะศึกษาวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะ โปรดทราบว่าสมการกำลังสองทั้งหมดสามารถแบ่งออกเป็นสามประเภท:

1. ไม่มีราก
2. มีรากเพียงอันเดียว
3. พวกเขามีสองรากที่แตกต่างกัน

นี่เป็นข้อแตกต่างที่สำคัญระหว่างสมการกำลังสองกับสมการเชิงเส้น โดยที่รากนั้นมีอยู่เสมอและไม่ซ้ำกัน จะทราบได้อย่างไรว่าสมการหนึ่งมีกี่ราก? มีสิ่งที่ยอดเยี่ยมสำหรับสิ่งนี้ - เลือกปฏิบัติ.

เลือกปฏิบัติ

ให้สมการกำลังสอง ax 2 + bx + c = 0 จากนั้นตัวแยกแยะก็เป็นเพียงตัวเลข D = b 2 − 4ac

คุณต้องรู้สูตรนี้ด้วยใจ มาจากไหนไม่สำคัญตอนนี้ อีกสิ่งหนึ่งที่สำคัญ: ด้วยเครื่องหมายของการแบ่งแยก คุณสามารถระบุได้ว่าสมการกำลังสองมีรากกี่ราก กล่าวคือ:

1. ถ้า D< 0, корней нет;
2. ถ้า D = 0 แสดงว่ามีรากเดียวเท่านั้น
3. ถ้า D > 0 จะมีราก 2 อัน

โปรดทราบ: ผู้จำแนกระบุจำนวนรากและไม่ใช่สัญญาณเลยเนื่องจากหลายคนเชื่อด้วยเหตุผลบางประการ ดูตัวอย่างแล้วคุณจะเข้าใจทุกอย่างด้วยตัวเอง:

งาน. สมการกำลังสองมีกี่ราก:

1. x 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 - 6x + 9 = 0

ลองเขียนสัมประสิทธิ์สำหรับสมการแรกแล้วหาค่าจำแนก:
a = 1, b = −8, c = 12;
ง = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

การแบ่งแยกเป็นบวก สมการจึงมีรากที่ต่างกัน 2 ราก เราวิเคราะห์สมการที่สองในลักษณะเดียวกัน:
ก = 5; ข = 3; ค = 7;
ง = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131

การเลือกปฏิบัติเป็นลบไม่มีราก สมการสุดท้ายที่เหลืออยู่คือ:
ก = 1; ข = −6; ค = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0

การแบ่งแยกเป็นศูนย์ - รูทจะเป็นหนึ่ง

โปรดทราบว่ามีการเขียนค่าสัมประสิทธิ์สำหรับแต่ละสมการแล้ว ใช่ มันยาว ใช่ มันน่าเบื่อ แต่คุณจะไม่ปะปนโอกาสและทำผิดพลาดโง่ๆ เลือกด้วยตัวคุณเอง: ความเร็วหรือคุณภาพ

อย่างไรก็ตาม หากคุณเข้าใจแล้ว คุณไม่จำเป็นต้องจดค่าสัมประสิทธิ์ทั้งหมดหลังจากผ่านไประยะหนึ่ง คุณจะดำเนินการดังกล่าวในหัวของคุณ คนส่วนใหญ่เริ่มทำสิ่งนี้หลังจากแก้สมการไปแล้ว 50-70 ข้อ โดยทั่วไปแล้วไม่มากขนาดนั้น

รากของสมการกำลังสอง

ตอนนี้เรามาดูวิธีแก้ปัญหากันดีกว่า หากจำแนก D > 0 คุณสามารถค้นหารากได้โดยใช้สูตร:

สูตรพื้นฐานสำหรับรากของสมการกำลังสอง

เมื่อ D = 0 คุณสามารถใช้สูตรใดก็ได้เหล่านี้ - คุณจะได้ตัวเลขเดียวกันซึ่งจะเป็นคำตอบ สุดท้ายนี้ถ้า D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 − 2x - x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0

สมการแรก:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ a = 1; ข = −2; ค = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16

D > 0 ⇒ สมการมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ:

สมการที่สอง:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; ข = −2; ค = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64

D > 0 ⇒ สมการอีกครั้งมีสองราก มาหาพวกเขากันเถอะ

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3 \\ \end(จัดแนว)\]

ในที่สุดสมการที่สาม:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ a = 1; ข = 12; ค = 36;
ง = 12 2 − 4 1 36 = 0

D = 0 ⇒ สมการมีหนึ่งรูท ใช้สูตรไหนก็ได้ ตัวอย่างเช่นอันแรก:

อย่างที่คุณเห็นจากตัวอย่างทุกอย่างนั้นง่ายมาก ถ้ารู้สูตรและนับได้ก็ไม่มีปัญหา บ่อยครั้งที่ข้อผิดพลาดเกิดขึ้นเมื่อแทนที่ค่าสัมประสิทธิ์ลบลงในสูตร อีกครั้งเทคนิคที่อธิบายไว้ข้างต้นจะช่วยได้: ดูสูตรตามตัวอักษรจดบันทึกแต่ละขั้นตอน - และในไม่ช้าคุณก็จะกำจัดข้อผิดพลาด

สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์

มันเกิดขึ้นที่สมการกำลังสองแตกต่างจากที่ให้ไว้ในคำจำกัดความเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 - 16 = 0

สังเกตได้ง่ายว่าสมการเหล่านี้ขาดคำศัพท์ข้อใดข้อหนึ่งไป สมการกำลังสองดังกล่าวแก้ได้ง่ายกว่าสมการมาตรฐาน โดยไม่จำเป็นต้องคำนวณการแบ่งแยกด้วยซ้ำ ขอแนะนำแนวคิดใหม่:

สมการ ax 2 + bx + c = 0 เรียกว่าสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ถ้า b = 0 หรือ c = 0 กล่าวคือ ค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x หรือองค์ประกอบอิสระเท่ากับศูนย์

แน่นอนว่าเป็นกรณีที่ยากมากเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับศูนย์: b = c = 0 ในกรณีนี้ สมการจะอยู่ในรูปแบบ ax 2 = 0 เห็นได้ชัดว่าสมการดังกล่าวมีรากเดียว: x = 0.

ลองพิจารณากรณีที่เหลือ ให้ b = 0 จากนั้นเราจะได้สมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ของรูปแบบ ax 2 + c = 0 ให้เราแปลงมันสักหน่อย:

เนื่องจากรากที่สองทางคณิตศาสตร์มีอยู่เฉพาะจำนวนที่ไม่เป็นลบ ความเท่าเทียมกันสุดท้ายจึงสมเหตุสมผลสำหรับ (−c /a) ≥ 0 เท่านั้น สรุป:

1. หากสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ในรูปแบบ ax 2 + c = 0 เป็นไปตามสมการ (−c /a) ≥ 0 ก็จะได้ราก 2 อัน สูตรที่ให้ไว้ข้างต้น
2. ถ้า (−c /a)< 0, корней нет.

อย่างที่คุณเห็น ไม่จำเป็นต้องแยกแยะ เนื่องจากไม่มีการคำนวณที่ซับซ้อนเลยในสมการกำลังสองที่ไม่สมบูรณ์ ที่จริงแล้ว ไม่จำเป็นต้องจำความไม่เท่าเทียมกัน (−c /a) ≥ 0 ด้วยซ้ำ การแสดงค่า x 2 และดูว่าอีกด้านของเครื่องหมายเท่ากับมีอะไรอยู่ก็เพียงพอแล้ว ถ้ามี จำนวนบวก- จะมีสองราก ถ้าเป็นลบก็จะไม่มีรากเลย

ตอนนี้เรามาดูสมการของรูปแบบ ax 2 + bx = 0 ซึ่งองค์ประกอบอิสระมีค่าเท่ากับศูนย์ ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่: จะมีสองรากเสมอ ก็เพียงพอแล้วที่จะแยกตัวประกอบพหุนาม:

นำตัวประกอบร่วมออกจากวงเล็บ

ผลคูณจะเป็นศูนย์เมื่อมีปัจจัยอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ นี่คือที่มาของราก โดยสรุป ลองดูที่สมการเหล่านี้บางส่วน:

งาน. แก้สมการกำลังสอง:

1. x 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6 ไม่มีรากเพราะว่า สี่เหลี่ยมจัตุรัสไม่สามารถเท่ากับจำนวนลบได้

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; x 2 = −1.5

( (3 * x – 1) = 0;

-(3 * x – 1) = 0;

จากตรงนี้เราจะเห็นว่ามีสมการหนึ่งคือ 3 * x – 1 = 0

เราได้รับสมการเชิงเส้นในรูปแบบ 3 * x – 1 = 0

ในการแก้สมการ เราจะพิจารณาว่าสมการมีคุณสมบัติใด:

• สมการเป็นเชิงเส้น และเขียนเป็น a * x + b = 0 โดยที่ a และ b เป็นตัวเลขใดๆ
• เมื่อ a = b = 0 สมการจะมี ชุดอนันต์การตัดสินใจ;
• ถ้า a = 0, b ≠ 0 สมการนี้ไม่มีคำตอบ
• ถ้า a ≠ 0, b = 0 สมการจะมีคำตอบ: x = 0;
• ถ้า a และ b เป็นตัวเลขใดๆ ที่ไม่ใช่ 0 ก็จะหารากได้โดยใช้สูตรต่อไปนี้ x = - b/a

จากตรงนี้เราจะได้ว่า a = 3, b = - 1 ซึ่งหมายความว่าสมการนี้มีรากเดียว

การตรวจสอบผลเฉลยของสมการ

ลองแทนค่าที่พบ x = 1/3 ลงในนิพจน์เดิม |3 * x - 1| = 0 แล้วเราจะได้:

|3 * 1/3 - 1| = 0;

ในการค้นหาค่าของนิพจน์ อันดับแรกเราต้องคำนวณการคูณหรือการหารตามลำดับ จากนั้นจึงบวกหรือลบ นั่นคือเราได้รับ:

ซึ่งหมายความว่า x = 1/3 เป็นรากของสมการ |3 * x - 1| = 0.

|3 * x - 1| = 0;

โมดูลจะเปิดขึ้นโดยมีเครื่องหมายบวกและลบ เราได้ 2 สมการ:

1) 3 * x - 1 = 0;

เราถ่ายโอนค่าที่ทราบไปด้านหนึ่ง และค่าที่ไม่รู้จักไปอีกด้านหนึ่ง เมื่อถ่ายโอนค่า เครื่องหมายจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือเราได้รับ:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;

2) - (3 * x - 1) = 0;

การเปิดวงเล็บ เนื่องจากมีเครื่องหมายลบอยู่หน้าวงเล็บ เมื่อขยายออก เครื่องหมายของค่าจะเปลี่ยนเป็นเครื่องหมายตรงกันข้าม นั่นคือเราได้รับ:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
คำตอบ: x = 1/3

ลองพิจารณาสมการ x^2=a โดยที่ a สามารถเป็นตัวเลขใดก็ได้ การแก้สมการนี้มีสามกรณี ขึ้นอยู่กับค่าที่ a (a0) รับไป

ลองพิจารณาแต่ละกรณีแยกกัน

ตัวอย่างกรณีต่างๆ ของสมการ x^2=a

x^2=a สำหรับ a<0

เนื่องจากกำลังสองของจำนวนจริงใดๆ ไม่สามารถเป็นจำนวนลบได้ สมการ x^2=a สำหรับ a

x^2=a โดยที่ a=0

ในกรณีนี้ สมการจะมีรากเดียว รากนี้คือเลข 0 เนื่องจากสมการสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปแบบ x*x=0 บางครั้งจึงกล่าวได้ว่าสมการนี้มีสองรากที่เท่ากันและเท่ากับ 0

x^2=a สำหรับ a>0

ในกรณีนี้ สมการ x^2=a สำหรับ a จะแก้ได้ดังนี้ ก่อนอื่นเราเลื่อน a ไปทางซ้าย

จากคำนิยาม รากที่สองตามมาว่า a สามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้: a=(√a)^2 จากนั้นสมการสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

x^2 - (√ก)^2 = 0

ทางด้านซ้ายเราจะเห็นสูตรสำหรับผลต่างของกำลังสอง

(x+√a)*(x-√a)=0;

ผลคูณของสองวงเล็บมีค่าเท่ากับศูนย์ ถ้าอย่างน้อยหนึ่งวงเล็บมีค่าเท่ากับศูนย์ เพราะฉะนั้น,

ดังนั้น x1=√a x2=-√a

สามารถตรวจสอบวิธีแก้ปัญหานี้ได้โดยการพล็อตกราฟ

ตัวอย่างเช่น ลองทำสมการ x^2 = 4

ในการดำเนินการนี้ คุณจะต้องสร้างกราฟ 2 กราฟ y=x^2 และ y=4 และดูพิกัด x ของจุดตัดกัน รากควรเป็น 2 และ -2 ทุกอย่างมองเห็นได้ชัดเจนในรูป

ต้องการความช่วยเหลือในการศึกษาของคุณหรือไม่?

หัวข้อก่อนหน้า: