ลายตรงขนานกับฐานสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกัน

ปริซึมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือปริซึมสี่เหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ความสูงของเส้นขนานคือระยะห่างระหว่างระนาบของฐาน ในรูป ความสูงจะแสดงตามส่วน - Parallepiped มีสองประเภท: แบบตรงและแบบเอียง ตามกฎแล้ว ครูสอนคณิตศาสตร์จะต้องให้คำจำกัดความที่เหมาะสมสำหรับปริซึมก่อน แล้วจึงโอนไปยังปริซึมรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน เราก็จะทำเช่นเดียวกัน

ฉันขอเตือนคุณว่าปริซึมจะเรียกว่าตรงถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ถ้าไม่มีการตั้งฉาก ปริซึมจะเรียกว่าเอียง คำศัพท์นี้ยังสืบทอดมาจากคำว่า Parallelepiped อีกด้วย รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ถูกต้องนั้นไม่มีอะไรมากไปกว่าปริซึมตรงประเภทหนึ่ง ซึ่งขอบด้านข้างตรงกับความสูง คำจำกัดความของแนวคิดเช่นใบหน้า ขอบ และจุดยอด ซึ่งเป็นเรื่องปกติของตระกูลโพลีเฮดราทั้งหมดจะยังคงอยู่ แนวคิดเรื่องใบหน้าที่ตรงกันข้ามปรากฏขึ้น รูปขนานมีด้านตรงข้ามกัน 3 คู่ จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 ด้าน

เส้นทแยงมุมของรูปทรงหลายเหลี่ยม (เส้นทแยงมุมของปริซึม) คือส่วนที่เชื่อมระหว่างจุดยอดสองจุดของรูปทรงหลายเหลี่ยมและไม่ได้วางอยู่บนใบหน้าใดๆ

ส่วนในแนวทแยง - ส่วนของเส้นขนานที่ผ่านเส้นทแยงมุมและเส้นทแยงมุมของฐาน

คุณสมบัติของเส้นขนานที่มีความโน้มเอียง:
1) ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน และด้านตรงข้ามเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากัน
2)เส้นทแยงมุมของเส้นขนานที่ตัดกันที่จุดหนึ่งและแบ่งครึ่ง ณ จุดนี้
3)แต่ละอันที่ขนานกันประกอบด้วยปิรามิดสามเหลี่ยมหกอันที่มีปริมาตรเท่ากัน เพื่อแสดงให้นักเรียนดู ครูสอนคณิตศาสตร์จะต้องตัดครึ่งหนึ่งของส่วนที่ขนานกับเส้นทแยงมุมออกแล้วแบ่งออกเป็นปิรามิด 3 อันแยกกัน รากฐานของพวกเขาจะต้องอยู่ ใบหน้าที่แตกต่างกันขนานเดิม ครูสอนคณิตศาสตร์จะค้นหาการใช้คุณสมบัตินี้ใน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ใช้หาปริมาตรของปิรามิดจากผลคูณของเวกเตอร์

สูตรปริมาตรของทรงขนาน:
1) โดยที่คือพื้นที่ฐาน h คือความสูง
2) ปริมาตรของเส้นขนานเท่ากับผลคูณของพื้นที่หน้าตัดและขอบด้านข้าง
ครูสอนคณิตศาสตร์: ดังที่คุณทราบ สูตรนี้ใช้กันทั่วไปในปริซึมทุกอัน และหากผู้สอนได้พิสูจน์แล้ว ก็ไม่มีประโยชน์ที่จะทำซ้ำสิ่งเดียวกันสำหรับปริซึมที่ขนานกัน อย่างไรก็ตาม เมื่อทำงานกับนักเรียนระดับกลาง (สูตรนี้ไม่มีประโยชน์สำหรับนักเรียนที่อ่อนแอ) ขอแนะนำให้ครูทำตรงกันข้าม ปล่อยปริซึมไว้ตามลำพังและทำการพิสูจน์ปริซึมอย่างระมัดระวัง
3) โดยที่ปริมาตรของหนึ่งในหกนั้นอยู่ที่ไหน ปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานประกอบด้วย
4) ถ้า แล้ว

พื้นที่ของพื้นผิวด้านข้างของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด:
พื้นผิวทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด นั่นคือ พื้นที่ + พื้นที่สองแห่งของฐาน:

เกี่ยวกับงานของครูสอนพิเศษที่มีความโน้มเอียงขนานกัน:
ครูสอนคณิตศาสตร์มักไม่ค่อยแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการเอียงขนานกัน โอกาสที่จะปรากฏในการสอบ Unified State ค่อนข้างต่ำ และการสอนก็ไม่ดีนัก ปัญหาที่เหมาะสมไม่มากก็น้อยกับปริมาตรของขนานที่เอียงทำให้เกิดปัญหาร้ายแรงที่เกี่ยวข้องกับการกำหนดตำแหน่งของจุด H - ฐานของความสูง ในกรณีนี้ ครูสอนคณิตศาสตร์สามารถแนะนำให้ตัดปิรามิดคู่ขนานให้เป็นหนึ่งในปิรามิดทั้งหก (ซึ่งอธิบายไว้ในคุณสมบัติหมายเลข 3) พยายามหาปริมาตรแล้วคูณด้วย 6

หากขอบด้านข้างของรูปขนานมี มุมเท่ากันโดยที่ด้านข้างของฐาน แล้ว H อยู่บนเส้นแบ่งครึ่งของมุม A ของฐาน ABCD และถ้าตัวอย่างเช่น ABCD เป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนล่ะก็

งานครูสอนคณิต:
1) ใบหน้าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีด้านเท่ากัน 2 ซม. และ มุมแหลม- จงหาปริมาตรของทรงขนาน
2) ในแนวขนานที่เอียงขอบด้านข้างคือ 5 ซม. ส่วนที่ตั้งฉากกับมันคือรูปสี่เหลี่ยมที่มีเส้นทแยงมุมตั้งฉากกันซึ่งมีความยาว 6 ซม. และ 8 ซม. คำนวณปริมาตรของเส้นขนาน
3) ในรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนเป็นที่ทราบกันว่า และใน ABCD ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่มีด้านยาว 2 ซม. และมีมุม . หาปริมาตรของเส้นขนาน

อเล็กซานเดอร์ โคลปาคอฟ ครูสอนคณิตศาสตร์

หรือ (เทียบเท่า) รูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีหกหน้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน หกเหลี่ยม

สี่เหลี่ยมด้านขนานที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานนี้, ด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนานเหล่านี้คือ ขอบของรูปขนานและจุดยอดของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือ ยอดเขา ขนานกัน- ในรูปขนานกันแต่ละหน้าจะเป็น สี่เหลี่ยมด้านขนาน.

ตามกฎแล้ว จะมีการระบุและเรียกใบหน้าที่ตรงกันข้าม 2 ใบหน้า ฐานขนานกันและใบหน้าที่เหลือ - ใบหน้าด้านข้างของรูปขนาน- ขอบของเส้นขนานที่ไม่อยู่ในฐานคือ ซี่โครงด้านข้าง.

ใบหน้าคู่ขนาน 2 หน้าที่มีขอบร่วมกันคือ ที่อยู่ติดกันและผู้ที่ไม่มีขอบร่วมกัน - ตรงข้าม.

ส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอด 2 จุดที่ไม่อยู่ในใบหน้าที่ 1 คือ เส้นทแยงมุมขนานกัน.

ความยาวของขอบของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ไม่ขนานกันคือ มิติเชิงเส้น (การวัด) ขนานกัน รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีมิติเชิงเส้น 3 มิติ

ประเภทของขนาน

Parallepiped มีหลายประเภท:

โดยตรงเป็นรูปขนานที่มีขอบตั้งฉากกับระนาบของฐาน

เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันซึ่งทั้ง 3 มิติมีขนาดเท่ากันคือ ลูกบาศก์- ใบหน้าของลูกบาศก์แต่ละด้านเท่ากัน สี่เหลี่ยม .

ขนานใดๆปริมาตรและอัตราส่วนของเส้นขนานที่ลาดเอียงถูกกำหนดโดยใช้พีชคณิตเวกเตอร์เป็นหลัก ปริมาตรของเส้นขนานนั้นเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ 3 ตัว ซึ่งถูกกำหนดโดยด้านทั้ง 3 ของเส้นขนาน (ซึ่งมาจากจุดยอดเดียวกัน) ความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านของเส้นขนานและมุมระหว่างพวกมันแสดงให้เห็นว่าตัวกำหนดแกรมของเวกเตอร์ 3 ตัวที่ให้มานั้นเท่ากับกำลังสองของผลิตภัณฑ์ที่ผสมกัน

คุณสมบัติของรูปขนาน

• เส้นขนานนั้นมีความสมมาตรประมาณกึ่งกลางของเส้นทแยงมุม
• ส่วนใด ๆ ที่มีปลายที่เป็นของพื้นผิวของเส้นขนานและผ่านจุดกึ่งกลางของเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน. เส้นทแยงมุมทั้งหมดของเส้นขนานที่ตัดกันที่จุดที่ 1 และแบ่งออกเป็นสองส่วนเท่า ๆ กัน
• ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานกันและมีขนาดเท่ากัน
• กำลังสองของความยาวของเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานมีค่าเท่ากับ

ในบทเรียนนี้ ทุกคนจะสามารถศึกษาหัวข้อ “สี่เหลี่ยมด้านขนาน” ได้ ในตอนต้นของบทเรียนเราจะทำซ้ำสิ่งที่ขนานกันโดยพลการและตรงจำคุณสมบัติของใบหน้าตรงข้ามและเส้นทแยงมุมของเส้นขนาน จากนั้นเรามาดูกันว่าทรงลูกบาศก์คืออะไรและอภิปรายเกี่ยวกับคุณสมบัติพื้นฐานของมัน

หัวข้อ: ความตั้งฉากของเส้นและระนาบ

บทเรียน: ทรงลูกบาศก์

พื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนานสองอันที่เท่ากัน ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 และสี่เหลี่ยมด้านขนานสี่อัน ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 เรียกว่า ขนานกัน(รูปที่ 1)

ข้าว. 1 วางขนานกัน

นั่นคือ: เรามีสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD สองอันที่เท่ากัน และ A 1 B 1 C 1 D 1 (ฐาน) พวกมันอยู่ในนั้น ระนาบขนานเพื่อให้ขอบด้านข้าง AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ขนานกัน ดังนั้นจึงเรียกว่าพื้นผิวที่ประกอบด้วยสี่เหลี่ยมด้านขนาน ขนานกัน.

ดังนั้น พื้นผิวของสี่เหลี่ยมด้านขนานคือผลรวมของสี่เหลี่ยมด้านขนานทั้งหมดที่ประกอบเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

1. ด้านตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานนั้นขนานและเท่ากัน

(รูปร่างเท่ากันคือสามารถนำมารวมกันได้โดยการทับซ้อนกัน)

ตัวอย่างเช่น:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (สี่เหลี่ยมด้านขนานเท่ากันตามคำจำกัดความ)

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 B 1 B และ DD 1 C 1 C เป็นด้านตรงข้ามกันของเส้นขนาน)

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (เนื่องจาก AA 1 D 1 D และ BB 1 C 1 C เป็นหน้าตรงข้ามของเส้นขนาน)

2. เส้นทแยงมุมของจุดตัดด้านขนานที่จุดหนึ่งและถูกแบ่งครึ่งโดยจุดนี้

เส้นทแยงมุมของ AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B ตัดกันที่จุดหนึ่ง O และแต่ละเส้นทแยงมุมจะถูกแบ่งครึ่งตามจุดนี้ (รูปที่ 2)

ข้าว. 2 เส้นทแยงมุมของจุดตัดเส้นขนานและแบ่งครึ่งด้วยจุดตัด

3. มีสามสี่เท่ากันและ ซี่โครงขนานขนานกัน: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1

คำนิยาม. เส้นขนานเรียกว่าเส้นตรงหากขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน

ให้ขอบด้านข้าง AA 1 ตั้งฉากกับฐาน (รูปที่ 3) ซึ่งหมายความว่าเส้นตรง AA 1 ตั้งฉากกับเส้นตรง AD และ AB ซึ่งอยู่ในระนาบของฐาน ซึ่งหมายความว่าใบหน้าด้านข้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า และฐานมีสี่เหลี่ยมด้านขนานตามใจชอบ ให้เราแสดงว่า ∠BAD = φ มุม φ สามารถเป็นมุมใดก็ได้

ข้าว. 3 ขนานขนานกัน

ดังนั้น เส้นขนานด้านขวาคือเส้นขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐานของเส้นขนาน

คำนิยาม. ด้านขนานเรียกว่าสี่เหลี่ยมถ้าขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า (รูปที่ 4) ถ้า:

1. AA 1 ⊥ ABCD (ขอบด้านข้างตั้งฉากกับระนาบของฐาน นั่นคือ เส้นตรงขนานกัน)

2. ∠BAD = 90° เช่น ฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ข้าว. 4 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

รูปสี่เหลี่ยมด้านขนานมีคุณสมบัติทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานตามอำเภอใจแต่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ได้มาจากคำจำกัดความของทรงลูกบาศก์

ดังนั้น, ทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่ขอบด้านข้างตั้งฉากกับฐาน ฐานของทรงลูกบาศก์เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า.

1. ในรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ใบหน้าทั้งหกเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

ABCD และ A 1 B 1 C 1 D 1 เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าตามคำจำกัดความ

2. ซี่โครงด้านข้างตั้งฉากกับฐาน- แค่นั้นแหละ ใบหน้าด้านข้างสี่เหลี่ยมด้านขนาน - สี่เหลี่ยม

3. มุมไดฮีดรัลทั้งหมดของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณามุมไดฮีดรัลของสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีขอบ AB นั่นคือ มุมไดฮีดรัลระหว่างระนาบ ABC 1 และ ABC

AB คือขอบ โดยจุด A 1 อยู่ในระนาบเดียว - ในระนาบ ABB 1 และจุด D ในอีกระนาบ - ในระนาบ A 1 B 1 C 1 D 1 จากนั้นมุมไดฮีดรัลที่กำลังพิจารณาก็สามารถแสดงได้ดังนี้: ∠A 1 ABD

ลองหาจุด A บนขอบ AB กัน AA 1 ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ АВВ-1, AD ตั้งฉากกับขอบ AB ในระนาบ ABC ซึ่งหมายความว่า ∠A 1 AD คือมุมเชิงเส้นของมุมไดฮีดรัลที่กำหนด ∠A 1 AD = 90° ซึ่งหมายความว่ามุมไดฮีดรัลที่ขอบ AB คือ 90°

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°

ในทำนองเดียวกัน มีการพิสูจน์ว่ามุมไดฮีดรัลใดๆ ของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานนั้นถูกต้อง

กำลังสองของเส้นทแยงมุมของรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าด้านขนานมีค่าเท่ากับผลรวมของกำลังสองในสามมิติ

บันทึก. ความยาวของขอบทั้งสามที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งของทรงลูกบาศก์คือการวัดขนาดของทรงลูกบาศก์ บางครั้งเรียกว่าความยาว ความกว้าง ความสูง

ให้ไว้: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน (รูปที่ 5)

พิสูจน์: .

ข้าว. 5 สี่เหลี่ยมด้านขนาน

การพิสูจน์:

เส้นตรง CC 1 ตั้งฉากกับระนาบ ABC ดังนั้นกับเส้นตรง AC ซึ่งหมายความว่าสามเหลี่ยม CC 1 A เป็นมุมฉาก ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

ลองพิจารณาดู สามเหลี่ยมมุมฉากเอบีซี ตามทฤษฎีบทพีทาโกรัส:

แต่ BC และ AD - ฝั่งตรงข้ามสี่เหลี่ยมผืนผ้า. ดังนั้น BC = AD แล้ว:

เพราะ , ก , ที่. เนื่องจาก CC 1 = AA 1 นี่คือสิ่งที่จำเป็นต้องพิสูจน์

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานจะเท่ากัน

ให้เราแสดงขนาดของ ABC ที่ขนานกันเป็น a, b, c (ดูรูปที่ 6) จากนั้น AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =