การฉายภาพโปรไฟล์ของจุด a การฉายภาพจุดบนระนาบการฉายภาพ 3 อัน

ในการสร้างภาพของหลายส่วน คุณจะต้องสามารถค้นหาเส้นโครงของแต่ละจุดได้ ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องยากที่จะวาดมุมมองด้านบนของชิ้นส่วนที่แสดงในรูปที่ 1 139 โดยไม่ต้องสร้างเส้นโครงแนวนอนของจุด A, B, C, D, E, F ฯลฯ

ปัญหาในการค้นหาเส้นโครงของจุดทีละจุดบนพื้นผิวของวัตถุ ได้รับการแก้ไขดังนี้ ขั้นแรกให้พบการฉายภาพของพื้นผิวที่จุดนั้นตั้งอยู่ จากนั้น โดยการวาดเส้นเชื่อมต่อกับเส้นโครง โดยที่พื้นผิวถูกแทนด้วยเส้น เส้นก็จะพบเส้นโครงที่สองของจุดนั้น เส้นโครงที่สามอยู่ที่จุดตัดของสายสื่อสาร

ลองดูตัวอย่าง

มีการฉายภาพสามส่วน (รูปที่ 140, a) ให้ภาพฉายแนวนอนของจุด A ที่วางอยู่บนพื้นผิวที่มองเห็นได้ เราจำเป็นต้องหาเส้นโครงที่เหลือของจุดนี้

ก่อนอื่นคุณต้องวาดเส้นตรงเสริม หากได้รับสองมุมมอง ตำแหน่งของเส้นเสริมในภาพวาดจะถูกเลือกโดยพลการทางด้านขวาของมุมมองด้านบน เพื่อให้มุมมองทางด้านซ้ายอยู่ในระยะห่างที่ต้องการจากมุมมองหลัก (รูปที่ 141)

หากมีการสร้างมุมมองสามมุมมองแล้ว (รูปที่ 142, a) ตำแหน่งของเส้นเสริมจะไม่สามารถเลือกโดยพลการได้ คุณต้องหาจุดที่มันจะผ่านไป ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์ของแกนสมมาตรต่อไปจนกว่าพวกเขาจะตัดกันและผ่านจุดผลลัพธ์ k (รูปที่ 142, b) วาดส่วนของเส้นตรงที่มุม 45° ซึ่งจะ เป็นเส้นตรงเสริม

หากไม่มีแกนสมมาตร การฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์ของใบหน้าใด ๆ ที่ฉายในรูปแบบของส่วนตรงจะถูกดำเนินต่อไปจนกว่าจะตัดกันที่จุด k 1 (รูปที่ 142, b)

เมื่อวาดเส้นเสริมแล้ว พวกเขาก็เริ่มสร้างเส้นโครงของจุด (ดูรูปที่ 140, b)

เส้นโครงส่วนหน้า a" และโปรไฟล์ a" ของจุด A จะต้องอยู่ในตำแหน่งที่สอดคล้องกันของพื้นผิวที่จุด A อยู่ ในรูป 140, b โดยเน้นด้วยสี วาดเส้นสื่อสารตามลูกศรชี้ ที่จุดตัดของเส้นสื่อสารกับเส้นโครงพื้นผิว จะมีเส้นโครง a" และ a" ที่ต้องการอยู่

การสร้างเส้นโครงของจุด B, C, D แสดงในรูปที่ 1 140 ในสายการสื่อสารที่มีลูกศร เส้นโครงจุดที่กำหนดจะเป็นสี เส้นเชื่อมต่อถูกลากไปที่เส้นโครงโดยแสดงพื้นผิวเป็นเส้น ไม่ใช่เป็นรูปร่าง ดังนั้นอันดับแรกให้หาเส้นโครงส่วนหน้าจากจุด C ส่วนเส้นโครงโปรไฟล์จากจุด C ถูกกำหนดโดยจุดตัดของสายสื่อสาร

หากพื้นผิวไม่มีเส้นบนเส้นโครงใดๆ จะต้องใช้ระนาบเสริมเพื่อสร้างเส้นโครงของจุดต่างๆ ตัวอย่างเช่น เมื่อพิจารณาการฉายภาพด้านหน้า d ของจุด A ที่วางอยู่บนพื้นผิวของกรวย (รูปที่ 143, a) ระนาบเสริมถูกลากผ่านจุดที่ขนานกับฐานซึ่งจะตัดกรวยเป็นวงกลม การฉายภาพด้านหน้าเป็นส่วนตรงและการฉายภาพในแนวนอนเป็นวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับความยาวของส่วนนี้ (รูปที่ 143, b) เมื่อลากเส้นเชื่อมต่อกับวงกลมนี้จากจุด a จะได้เส้นโครงแนวนอนของจุด A

เส้นโครงโปรไฟล์ a" ของจุด A จะพบได้ตามปกติที่จุดตัดของสายสื่อสาร

เมื่อใช้เทคนิคเดียวกัน คุณจะพบเส้นโครงของจุดที่วางอยู่ เช่น บนพื้นผิวของปิรามิดหรือลูกบอล เมื่อพีระมิดตัดกันด้วยระนาบขนานกับฐานและผ่านจุดที่กำหนด จะเกิดรูปร่างที่คล้ายกับฐาน การประมาณการของรูปนี้คือการประมาณการของจุดที่กำหนด

ตอบคำถาม

1. เส้นตรงเสริมถูกลากที่มุมใด?

2. คุณจะวาดเส้นตรงเสริมที่ไหนหากได้รับมุมมองด้านหน้าและด้านบน แต่คุณต้องสร้างมุมมองทางด้านซ้าย?

3. จะระบุตำแหน่งของสายเสริมได้อย่างไรถ้ามีสามประเภท?

4. วิธีใดในการสร้างเส้นโครงของจุดตามจุดที่กำหนด หากพื้นผิวใดพื้นผิวหนึ่งของวัตถุแสดงด้วยเส้น

5. สำหรับวัตถุรูปทรงเรขาคณิตใดและในกรณีใดบ้างที่เส้นโครงของจุดที่กำหนดบนพื้นผิวของวัตถุนั้นพบโดยใช้ระนาบเสริม?

การมอบหมายสำหรับมาตรา 20

แบบฝึกหัดที่ 68

เขียนถึง สมุดงานสิ่งที่ประมาณการของจุดที่ระบุด้วยตัวเลขบนมุมมองนั้นสอดคล้องกับจุดที่ระบุในภาพด้วยตัวอักษรในตัวอย่างที่ครูแจ้งให้คุณทราบ (รูปที่ 144, a-d)

แบบฝึกหัดที่ 69

ในรูป 145, ตัวอักษร a-bแสดงโดยการฉายภาพจุดยอดบางส่วนเพียงครั้งเดียว ในตัวอย่างที่ครูมอบให้ ให้ค้นหาส่วนที่เหลืออยู่ของจุดยอดเหล่านี้แล้วเขียนกำกับด้วยตัวอักษร ในตัวอย่างใดตัวอย่างหนึ่ง ให้สร้างส่วนที่หายไปของจุดที่ระบุบนขอบของวัตถุ (รูปที่ 145, d และ e) เน้นสีที่ขอบซึ่งมีจุดอยู่ ทำงานให้เสร็จบนกระดาษโปร่งใสโดยวางไว้บนหน้าหนังสือเรียน ไม่จำเป็นต้องวาดรูปที่ 145 ใหม่

แบบฝึกหัดที่ 70

ค้นหาส่วนที่ขาดหายไปของจุดที่ถูกกำหนดโดยการฉายภาพหนึ่งครั้งบนพื้นผิวที่มองเห็นได้ของวัตถุ (รูปที่ 146) ติดป้ายกำกับด้วยตัวอักษร เน้นการฉายจุดสีที่กำหนด ภาพจะช่วยคุณแก้ปัญหาได้ สามารถทำงานให้เสร็จสิ้นได้ทั้งในสมุดงานหรือบนกระดาษโปร่งใส โดยวางซ้อนบนหน้าหนังสือเรียน ในกรณีหลัง ให้วาดรูปใหม่ 146 ไม่จำเป็น.

แบบฝึกหัดที่ 71

ในตัวอย่างที่คุณครูมอบให้ ให้วาดมุมมองทั้งสามใหม่ (รูปที่ 147) สร้างส่วนที่ขาดหายไปของจุดที่ระบุบนพื้นผิวที่มองเห็นได้ของวัตถุ เน้นการฉายจุดสีที่กำหนด ติดป้ายกำกับจุดฉายทั้งหมดด้วยตัวอักษร หากต้องการสร้างเส้นโครงของจุด ให้ใช้เส้นตรงเสริม กรอกแบบทางเทคนิคและทำเครื่องหมายจุดที่ระบุ

เป้าหมาย:

• ศึกษากฎเกณฑ์ในการสร้างเส้นโครงของจุดบนพื้นผิวของวัตถุและอ่านแบบ
• พัฒนาทักษะการคิดเชิงพื้นที่และการวิเคราะห์ รูปทรงเรขาคณิตเรื่อง.
• เพื่อปลูกฝังความขยัน ความสามารถในการร่วมมือเมื่อทำงานเป็นกลุ่ม และความสนใจในเรื่องนั้น

ความก้าวหน้าของบทเรียน

เวที I. แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้

ขั้นที่ 2 การก่อตัวของความรู้ ความสามารถ และทักษะ

หยุดชั่วคราวเพื่อรักษาสุขภาพ การสะท้อนกลับ (อารมณ์)

ขั้นที่ 3 งานส่วนบุคคล

เวที I. แรงจูงใจของกิจกรรมการเรียนรู้

1) ครู:ตรวจสอบของคุณ ที่ทำงาน, ทุกอย่างเข้าที่แล้วใช่ไหม? ทุกคนพร้อมลุยกันหรือยัง?

หายใจเข้าลึก ๆ กลั้นลมหายใจในขณะที่คุณหายใจออก หายใจออก

กำหนดอารมณ์ของคุณในช่วงเริ่มต้นบทเรียนตามแผนภาพ (แผนภาพนี้อยู่บนโต๊ะของทุกคน)

ฉันขอให้คุณโชคดี

2)ครู: การปฏิบัติงานในหัวข้อ “การฉายภาพจุดยอด ขอบ ใบหน้า” แสดงให้เห็นว่ามีคนที่ฉายภาพผิดพลาด พวกเขาสับสนว่าจุดใดจากสองจุดที่สอดคล้องกันในภาพวาดคือจุดยอดที่มองเห็นได้ และจุดใดคือจุดยอดที่มองไม่เห็น เมื่อขอบขนานกับระนาบ และเมื่อตั้งฉาก มันเหมือนกันกับขอบ

เพื่อหลีกเลี่ยงไม่ให้เกิดข้อผิดพลาดซ้ำ ให้ทำงานที่จำเป็นให้เสร็จสิ้นโดยใช้บัตรให้คำปรึกษาและแก้ไขข้อผิดพลาดในทางปฏิบัติ (ด้วยมือ) และในขณะที่คุณทำงาน โปรดจำไว้ว่า:

“ทุกคนสามารถทำผิดพลาดได้ มีเพียงคนบ้าเท่านั้นที่ยังอยู่กับข้อผิดพลาดของตัวเอง”

และผู้ที่เชี่ยวชาญหัวข้อนี้เป็นอย่างดีจะทำงานเป็นกลุ่มที่มีงานสร้างสรรค์ (ดู ภาคผนวก 1 ).

ขั้นที่ 2 การก่อตัวของความรู้ ความสามารถ และทักษะ

1)ครู:ในการผลิตมีหลายชิ้นส่วนที่ยึดติดกันในลักษณะใดลักษณะหนึ่ง
ตัวอย่างเช่น:
ฝาครอบเดสก์ท็อปติดอยู่กับเสาแนวตั้ง ให้ความสนใจกับโต๊ะที่คุณอยู่ ฝาและชั้นวางติดกันอย่างไรและอย่างไร?

คำตอบ:สายฟ้า.

ครู:สิ่งที่จำเป็นสำหรับสลักเกลียว?

คำตอบ:รู.

ครู:จริงหรือ. และหากต้องการเจาะรู คุณจำเป็นต้องทราบตำแหน่งของรูบนผลิตภัณฑ์ เมื่อทำโต๊ะช่างไม้จะไม่สามารถติดต่อกับลูกค้าได้ทุกครั้ง แล้วช่างไม้ต้องเตรียมอะไรบ้าง?

คำตอบ:ภาพวาด

ครู:การวาดภาพ!? เราเรียกภาพวาดว่าอะไร?

คำตอบ:การวาดภาพคือภาพของวัตถุที่ใช้เส้นโครงสี่เหลี่ยมในความสัมพันธ์ของการฉายภาพ เมื่อใช้ภาพวาดคุณสามารถจินตนาการถึงรูปทรงเรขาคณิตและการออกแบบของผลิตภัณฑ์ได้

ครู:เราได้ฉายภาพสี่เหลี่ยมเสร็จแล้ว จะทำอย่างไรต่อไป? เราจะสามารถระบุตำแหน่งของหลุมจากการฉายภาพครั้งเดียวได้หรือไม่? เราต้องรู้อะไรอีกบ้าง? สิ่งที่ต้องเรียนรู้?

คำตอบ:สร้างจุด. ค้นหาเส้นโครงของจุดเหล่านี้ในทุกมุมมอง

ครู:ทำได้ดี! นี่คือเป้าหมายของบทเรียนและหัวข้อของเรา: การสร้างเส้นโครงของจุดบนพื้นผิวของวัตถุเขียนหัวข้อบทเรียนลงในสมุดบันทึกของคุณ
คุณและฉันรู้ว่าจุดหรือส่วนใดๆ บนภาพของวัตถุเป็นการฉายภาพของจุดยอด ขอบ ใบหน้า เช่น แต่ละมุมมองไม่ใช่รูปภาพจากด้านเดียว (มุมมองส่วนหัว มุมมองด้านบน มุมมองด้านซ้าย) แต่เป็นภาพทั้งวัตถุ
เพื่อที่จะค้นหาเส้นโครงของแต่ละจุดที่อยู่บนใบหน้าได้อย่างถูกต้อง คุณต้องหาเส้นโครงของใบหน้านี้ก่อน จากนั้นจึงใช้เส้นเชื่อมต่อเพื่อค้นหาเส้นโครงของจุดต่างๆ

(เราดูรูปวาดบนกระดานทำงานในสมุดบันทึกโดยฉายภาพส่วนเดียวกัน 3 ภาพที่บ้าน)

– เปิดสมุดบันทึกที่มีภาพวาดเสร็จแล้ว (คำอธิบายการสร้างจุดบนพื้นผิวของวัตถุพร้อมคำถามชี้แนะบนกระดาน และนักเรียนแก้ไขลงในสมุดบันทึก)

ครู:พิจารณาประเด็น ใน. ใบหน้าของจุดนี้ขนานกับระนาบใด

คำตอบ:ขอบขนานกับระนาบส่วนหน้า

ครู:เรากำหนดเส้นโครงของจุด บี' ในการฉายภาพด้านหน้า ปัดลงจากจุดนั้น บี' สายสื่อสารแนวตั้งไปจนถึงการฉายภาพแนวนอน เส้นโครงแนวนอนของจุดจะอยู่ที่ไหน? ใน?

คำตอบ:ที่จุดตัดที่มีการฉายภาพแนวนอนของใบหน้าที่ฉายไปที่ขอบ และจะอยู่ที่ด้านล่างของเส้นโครง (วิว)

ครู:การฉายโปรไฟล์ของจุด ข'' มันจะอยู่ที่ไหน? เราจะพบเธอได้อย่างไร?

คำตอบ:ที่จุดตัดของสายสื่อสารแนวนอนจาก บี' โดยมีขอบแนวตั้งทางด้านขวา ขอบนี้เป็นการฉายภาพใบหน้าที่มีจุด ใน.

ผู้ที่ต้องการสร้างโครงการต่อไปของจุดนั้นจะถูกเรียกไปที่คณะกรรมการ

ครู:การฉายภาพแบบจุด กก็ตั้งอยู่โดยใช้สายสื่อสาร ใบหน้าที่มีจุดขนานกับระนาบใด ก?

คำตอบ:ขอบขนานกับระนาบโปรไฟล์ เรากำหนดจุดในการฉายภาพโปรไฟล์ เอ'' .

ครู:ใบหน้าฉายไปที่ขอบโดยใช้การฉายภาพแบบใด

คำตอบ:ที่ด้านหน้าและแนวนอน ลองวาดเส้นเชื่อมต่อแนวนอนจนกระทั่งมันตัดกับขอบแนวตั้งทางด้านซ้ายของการฉายภาพด้านหน้า เราได้จุด เอ' .

ครู:วิธีค้นหาเส้นโครงของจุด กในการฉายภาพแนวนอน? ท้ายที่สุดแล้วสายสื่อสารจากการฉายจุด เอ' และ เอ'' อย่าตัดส่วนที่ฉายของใบหน้า (ขอบ) กับการฉายภาพแนวนอนทางด้านซ้าย มีอะไรช่วยเราได้บ้าง?

คำตอบ:คุณสามารถใช้เส้นตรงคงที่ (กำหนดตำแหน่งของมุมมองทางด้านซ้าย) เอ'' ลากเส้นสื่อสารแนวตั้งจนตัดกับเส้นตรงคงที่ เส้นเชื่อมต่อแนวนอนจะถูกลากจากจุดตัดจนกระทั่งตัดกับขอบแนวตั้งทางด้านซ้าย (นี่คือใบหน้าที่มีจุด A) และแสดงถึงการฉายภาพด้วยจุด ก .

2) ครู:ทุกคนมีการ์ดงานบนโต๊ะพร้อมกระดาษลอกลายติดอยู่ ตรวจสอบภาพวาดตอนนี้ลองด้วยตัวเองโดยไม่ต้องวาดเส้นโครงใหม่เพื่อค้นหาเส้นโครงของจุดที่กำหนดในภาพวาด

– ค้นหารูปภาพในตำราเรียนหน้า 76 93. ทดสอบตัวเอง. ผู้ที่ทำถูกต้อง – คะแนน “5”; หนึ่งข้อผิดพลาด – ‘’4’’; สอง – ‘’3’’.

(นักเรียนจะให้คะแนนเองในใบควบคุมตนเอง)

– รวบรวมบัตรเพื่อตรวจสอบ

3)ทำงานเป็นกลุ่ม:จำกัดเวลา: 4 นาที + 2 นาที เช็ค (โต๊ะสองโต๊ะกับนักเรียนรวมกัน และเลือกผู้นำภายในกลุ่ม)

แต่ละกลุ่มจะได้รับงานใน 3 ระดับ นักเรียนเลือกงานตามระดับ (ตามต้องการ) แก้ไขปัญหาเกี่ยวกับการสร้างจุด หารือเกี่ยวกับการจัดขบวนภายใต้การดูแลของผู้นำ จากนั้นคำตอบที่ถูกต้องจะแสดงบนกระดานโดยใช้เครื่องฉายเหนือศีรษะ ทุกคนตรวจสอบว่าการฉายจุดทำอย่างถูกต้อง ด้วยความช่วยเหลือจากหัวหน้ากลุ่ม จะมีการให้คะแนนงานที่ได้รับมอบหมายและในใบควบคุมตนเอง (ดู ภาคผนวก 2 และ ภาคผนวก 3 ).

หยุดชั่วคราวเพื่อรักษาสุขภาพ การสะท้อนกลับ

“ท่าฟาโรห์”– นั่งบนขอบเก้าอี้ ยืดหลังตรง งอแขนไว้ที่ข้อศอก ไขว่ห้างแล้ววางลงบนนิ้วเท้า หายใจเข้า เกร็งกล้ามเนื้อทุกส่วนของร่างกายขณะกลั้นลมหายใจ หายใจออก ทำ 2-3 ครั้ง. หลับตาให้แน่น จนกระทั่งถึงดวงดาวและเปิดมันออก ทำเครื่องหมายอารมณ์ของคุณ

ขั้นที่ 3 ส่วนปฏิบัติ (งานส่วนบุคคล)

มีการ์ดงานให้เลือกในระดับต่างๆ นักเรียนเลือกตัวเลือกของตนเองตามความสามารถของตนเอง ค้นหาเส้นโครงของจุดบนพื้นผิวของวัตถุ มีการส่งผลงานและให้คะแนนสำหรับบทเรียนถัดไป (ซม. ภาคผนวก 4 , ภาคผนวก 5 , ภาคผนวก 6 ).

เวทีที่สี่ สุดท้าย

1) การบ้านที่ได้รับมอบหมาย (คำแนะนำ).ดำเนินการโดยระดับ:

B – ความเข้าใจที่ “3” แบบฝึกหัดที่ 1 94a หน้า 77 – ตามงานมอบหมายในตำราเรียน: กรอกเส้นโครงที่ขาดหายไปของเส้นโครงเหล่านี้

B – การสมัครที่ “4” แบบฝึกหัดที่ 1 มะเดื่อ 94 ก, ข. ทำเส้นโครงที่ขาดหายไปและทำเครื่องหมายจุดยอดบนภาพที่มองเห็นใน 94a และ 94b

เอ – การวิเคราะห์ “5” (เพิ่มความยาก)อดีต. 4 รูปที่ 97 – สร้างส่วนที่หายไปของจุดต่างๆ และติดป้ายกำกับด้วยตัวอักษร ไม่มีภาพที่มองเห็นได้

2)การวิเคราะห์แบบสะท้อนกลับ

1. กำหนดอารมณ์ในตอนท้ายของบทเรียน ทำเครื่องหมายด้วยป้ายใดๆ บนใบควบคุมตนเอง
2. วันนี้คุณเรียนรู้อะไรใหม่ในชั้นเรียน?
3. งานรูปแบบใดที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับคุณ: กลุ่ม, งานเดี่ยว และคุณต้องการให้ทำซ้ำในบทเรียนถัดไปหรือไม่?
4. รวบรวมแผ่นควบคุมตนเอง

3)“ครูผู้ผิดพลาด”

ครู:คุณได้เรียนรู้ที่จะสร้างเส้นโครงของจุดยอด ขอบ ใบหน้า และจุดบนพื้นผิวของวัตถุ โดยปฏิบัติตามกฎการก่อสร้างทั้งหมด แต่พวกเขาให้ภาพวาดที่มีข้อผิดพลาดแก่คุณ ตอนนี้ลองตัวเองเป็นครู ค้นหาข้อผิดพลาดด้วยตนเอง หากคุณพบข้อผิดพลาดทั้งหมด 8–6 ข้อ คะแนนจะเป็น "5" ข้อผิดพลาด 5–4 รายการ – “4”, ข้อผิดพลาด 3 รายการ – “3”

คำตอบ:

บทความนี้เป็นคำตอบสำหรับคำถามสองข้อ: "คืออะไร" และ "จะค้นหาได้อย่างไร พิกัดของการฉายภาพจุดบนระนาบ- ให้ครั้งแรก ข้อมูลที่จำเป็นเกี่ยวกับการฉายภาพและประเภทของมัน ต่อไปนี้เป็นคำจำกัดความของการฉายภาพจุดบนระนาบและภาพประกอบ หลังจากนั้นได้วิธีการหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนระนาบ โดยสรุป วิธีแก้ปัญหาสำหรับตัวอย่างที่คำนวณพิกัดของการฉายภาพจุดที่กำหนดบนระนาบที่กำหนด

การนำทางหน้า

การฉายภาพ ประเภทของภาพฉาย – ข้อมูลที่จำเป็น

เมื่อศึกษาตัวเลขเชิงพื้นที่จะสะดวกในการใช้รูปภาพในการวาดภาพ การวาดรูปเชิงพื้นที่เป็นสิ่งที่เรียกว่า การฉายภาพรูปนี้ขึ้นเครื่องบิน กระบวนการสร้างภาพอวกาศบนเครื่องบินเกิดขึ้นตามกฎเกณฑ์บางประการ ดังนั้นกระบวนการสร้างภาพของรูปร่างเชิงพื้นที่บนเครื่องบินพร้อมกับชุดของกฎที่ใช้กระบวนการนี้จึงเรียกว่า การฉายภาพตัวเลขบนเครื่องบินที่กำหนด ระนาบที่สร้างภาพนั้นเรียกว่า เครื่องบินฉายภาพ.

ขึ้นอยู่กับกฎที่ใช้ในการฉายภาพ ศูนย์กลางและ การฉายภาพแบบขนาน- เราจะไม่ลงรายละเอียดเนื่องจากอยู่นอกเหนือขอบเขตของบทความนี้

ในเรขาคณิต ส่วนใหญ่จะใช้กรณีพิเศษของการฉายภาพแบบขนาน - การฉายภาพตั้งฉากซึ่งเรียกอีกอย่างว่า ตั้งฉาก- ในนามของการฉายภาพประเภทนี้ มักละคำคุณศัพท์ "ตั้งฉาก" นั่นคือเมื่อในเรขาคณิตพวกเขาพูดถึงการฉายภาพบนเครื่องบินพวกเขามักจะหมายความว่าการฉายภาพนี้ได้มาโดยใช้การฉายภาพตั้งฉาก (เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น)

ควรสังเกตว่าการฉายภาพบนเครื่องบินเป็นชุดของการฉายภาพทุกจุดของภาพนี้บนระนาบการฉายภาพ กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อให้ได้เส้นโครงของรูปใดรูปหนึ่ง คุณจะต้องสามารถหาเส้นโครงของจุดของรูปนี้บนเครื่องบินได้ ย่อหน้าถัดไปของบทความจะแสดงวิธีการหาเส้นโครงของจุดบนระนาบอย่างชัดเจน

การฉายภาพจุดบนเครื่องบิน - ความหมายและภาพประกอบ

เราขอย้ำอีกครั้งว่าเราจะพูดถึงการฉายภาพในแนวตั้งฉากของจุดหนึ่งบนระนาบ

ขอให้เราดำเนินการก่อสร้างที่จะช่วยให้เรากำหนดการฉายจุดบนเครื่องบินได้

ให้เราได้รับจุด M 1 และระนาบในอวกาศสามมิติ ให้เราวาดเส้นตรงผ่านจุด M1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ หากจุด M 1 ไม่อยู่ในระนาบ เราจะแสดงว่าจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบเป็น H 1 ดังนั้นจุด H 1 โดยการก่อสร้างจึงเป็นฐานของแนวตั้งฉากที่ตกลงจากจุด M 1 ไปยังระนาบ

คำนิยาม.

การฉายภาพจุด M 1 ลงบนเครื่องบิน- นี่คือจุด M 1 เองถ้าหรือจุด H 1 ถ้า

คำจำกัดความนี้คำจำกัดความต่อไปนี้เทียบเท่ากับการฉายภาพจุดบนระนาบ

คำนิยาม.

การฉายภาพจุดบนเครื่องบิน- นี่คือจุดนั้นเอง ถ้ามันอยู่ในระนาบที่กำหนด หรือฐานของจุดตั้งฉากตกลงจากจุดนี้ไปยังระนาบที่กำหนด

ในรูปวาดด้านล่าง จุด H 1 คือเส้นโครงของจุด M 1 ลงบนระนาบ จุด M 2 อยู่ในระนาบ ดังนั้น M 2 จึงเป็นเส้นโครงของจุด M 2 เองบนเครื่องบิน

การค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดบนระนาบ - วิธีแก้ตัวอย่าง

ให้ Oxyz ได้รับการแนะนำในอวกาศสามมิติและให้คะแนน และเครื่องบิน ให้เรากำหนดภารกิจของตัวเอง: เพื่อกำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 บนเครื่องบิน

การแก้ปัญหาตามตรรกะเป็นไปตามคำจำกัดความของการฉายภาพจุดบนระนาบ

ให้เราแสดงเส้นโครงของจุด M 1 บนเครื่องบินเป็น H 1 . ตามคำจำกัดความของการฉายภาพจุดบนระนาบ H 1 คือจุดตัดของระนาบที่กำหนดและเป็นเส้นที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบ ดังนั้นพิกัดที่ต้องการของการฉายภาพจุด M 1 บนระนาบคือพิกัดของจุดตัดของเส้นตรง a และระนาบ

เพราะฉะนั้น, เพื่อค้นหาพิกัดเส้นโครงของจุด บนเครื่องบินที่คุณต้องการ:

ลองดูวิธีแก้ปัญหาของตัวอย่าง

ตัวอย่าง.

ค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุด ไปที่เครื่องบิน .

สารละลาย.

ในคำชี้แจงปัญหา เราจะได้สมการระนาบทั่วไปของแบบฟอร์ม ดังนั้นจึงไม่จำเป็นต้องเขียนมัน

เรามาเขียนสมการทางบัญญัติของเส้นตรง a ซึ่งผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราได้รับพิกัดของเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a เนื่องจากเส้นตรง a ตั้งฉากกับระนาบที่กำหนด เวกเตอร์ทิศทางของเส้นตรง a จึงเป็นเวกเตอร์ปกติของระนาบ - นั่นคือ - เวกเตอร์กำกับของเส้นตรง a ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการบัญญัติของเส้นตรงในอวกาศที่ผ่านจุดนั้นได้แล้ว และมีเวกเตอร์ทิศทาง :
.

เพื่อให้ได้พิกัดที่ต้องการของการฉายภาพจุดบนเครื่องบินนั้นยังคงต้องกำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น และเครื่องบิน - สำหรับสิ่งนี้จาก สมการบัญญัติเส้นตรงที่เราส่งผ่านไปยังสมการของระนาบที่ตัดกันสองอัน เราจะสร้างระบบสมการขึ้นมา และหาทางแก้ไขของมัน เราใช้:

ดังนั้นการฉายภาพจุด ไปที่เครื่องบิน มีพิกัด.

คำตอบ:

ตัวอย่าง.

ในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม Oxyz ในปริภูมิสามมิติ จุด และ - กำหนดพิกัดของการฉายภาพจุด M 1 ลงบนระนาบ ABC

สารละลาย.

ขั้นแรกให้เราเขียนสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด:

แต่ลองมาดูแนวทางอื่นกัน

เราได้สมการพาราเมตริกของเส้นตรง a ซึ่งผ่านจุดนั้น และตั้งฉากกับระนาบ ABC เวกเตอร์ปกติของเครื่องบินมีพิกัด ดังนั้นเวกเตอร์ คือเวกเตอร์ทิศทางของเส้น a ตอนนี้เราสามารถเขียนสมการพาราเมตริกของเส้นในปริภูมิได้ เนื่องจากเรารู้พิกัดของจุดของเส้น ( ) และพิกัดของเวกเตอร์ทิศทาง ( ):

ยังคงต้องกำหนดพิกัดของจุดตัดของเส้น และเครื่องบิน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้แทนที่สมการของระนาบ:
.

ทีนี้ตามสมการพาราเมตริก ลองคำนวณค่าของตัวแปร x, y และ z ที่:
.

ดังนั้น เส้นโครงของจุด M 1 ลงบนระนาบ ABC จึงมีพิกัด

คำตอบ:

โดยสรุป เรามาอภิปรายกันถึงการค้นหาพิกัดของการฉายภาพจุดใดจุดหนึ่งบนระนาบพิกัดและระนาบที่ขนานกับระนาบพิกัด

การคาดคะเนของจุด บนระนาบพิกัด Oxy, Oxz และ Oyz เป็นจุดที่มีพิกัด และตามนั้น และการคาดคะเนของจุด บนเครื่องบินและ ซึ่งขนานกับระนาบพิกัด Oxy, Oxz และ Oyz ตามลำดับ เป็นจุดที่มีพิกัด และ .

ให้เราแสดงให้เห็นว่าผลลัพธ์เหล่านี้ได้มาอย่างไร

ตัวอย่างเช่น ลองหาเส้นโครงของจุด ขึ้นเครื่องบิน (กรณีอื่นๆ คล้ายนี้)

ระนาบนี้ขนานกัน ประสานงานเครื่องบินออยซ์ และเป็นเวกเตอร์ปกติของมัน เวกเตอร์เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นตั้งฉากกับระนาบออยซ์ จากนั้นสมการพาราเมตริกของเส้นตรงที่ผ่านจุด M 1 ซึ่งตั้งฉากกับระนาบที่กำหนดจะมีรูปแบบ

ลองหาพิกัดของจุดตัดของเส้นตรงและระนาบกัน ในการทำเช่นนี้ ขั้นแรกเราจะแทนที่ความเท่าเทียมกันลงในสมการ: และเส้นโครงของจุด

Bugrov Ya.S. , Nikolsky S.M. คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้น- เล่มที่หนึ่ง: องค์ประกอบ พีชคณิตเชิงเส้นและเรขาคณิตวิเคราะห์

อิลยิน วี.เอ., พอซเนียค อี.จี. เรขาคณิตวิเคราะห์

เส้นตรงเสริมของภาพวาดที่ซับซ้อน

ในภาพวาดที่แสดงในรูปที่. 4.7, เอ,แกนฉายภาพจะถูกวาดขึ้นมา และภาพต่างๆ จะเชื่อมต่อถึงกันด้วยสายสื่อสาร การฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์เชื่อมต่อกันด้วยสายสื่อสารโดยใช้ส่วนโค้งที่อยู่ตรงกลางจุด เกี่ยวกับทางแยกของแกน อย่างไรก็ตามในทางปฏิบัติมีการใช้การวาดภาพที่ซับซ้อนแบบอื่น

ในภาพวาดที่ไม่ใช่แกน รูปภาพจะถูกวางในการเชื่อมต่อการฉายภาพด้วย อย่างไรก็ตาม สามารถวางเส้นโครงที่สามไว้ใกล้หรือไกลออกไปได้ ตัวอย่างเช่น สามารถวางโครงโปรไฟล์ไว้ทางด้านขวาได้ (รูปที่ 4.7, ข, II) หรือไปทางซ้าย (รูปที่ 4.7, ข ฉัน- นี่เป็นสิ่งสำคัญในการประหยัดพื้นที่และปรับขนาดได้ง่าย

ข้าว. 4.7.

หากในภาพวาดที่สร้างโดยใช้ระบบไร้แกน จำเป็นต้องวาดเส้นสื่อสารระหว่างมุมมองด้านบนและมุมมองด้านซ้าย จากนั้นจะใช้เส้นตรงเสริมของการวาดภาพที่ซับซ้อน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ที่ระดับมุมมองด้านบนโดยประมาณและไปทางขวาเล็กน้อย ให้ลากเส้นตรงที่มุม 45° ไปยังกรอบการวาดภาพ (รูปที่ 4.8, ก- เรียกว่าเส้นเสริมของการวาดแบบซับซ้อน ขั้นตอนการสร้างภาพวาดโดยใช้เส้นตรงนี้แสดงไว้ในรูปที่ 1 4.8, ข, ค.

หากมีการสร้างมุมมองสามมุมมองแล้ว (รูปที่ 4.8, d) ตำแหน่งของเส้นเสริมจะไม่สามารถเลือกโดยพลการได้ ก่อนอื่นคุณต้องค้นหาจุดที่จะผ่านไป ในการทำเช่นนี้ก็เพียงพอที่จะดำเนินการต่อไปจนถึงจุดตัดกันของแกนสมมาตรของการฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์และผ่านจุดผลลัพธ์ เควาดส่วนตรงที่มุม 45° (รูปที่ 4.8, ง- หากไม่มีแกนสมมาตร ให้ทำต่อไปจนกว่าจะตัดกันที่จุดนั้น เค 1 การฉายภาพแนวนอนและโปรไฟล์ของใบหน้าใดๆ ที่ฉายเป็นเส้นตรง (รูปที่ 4.8, ง).

ข้าว. 4.8.

ความจำเป็นในการวาดเส้นสื่อสารและเส้นตรงเสริมเกิดขึ้นเมื่อสร้างเส้นโครงที่ขาดหายไปและเมื่อทำการวาดภาพซึ่งจำเป็นต้องกำหนดเส้นโครงของจุดเพื่อชี้แจงการฉายภาพของแต่ละองค์ประกอบของแต่ละส่วน

ตัวอย่างของการใช้บรรทัดเสริมมีอยู่ในย่อหน้าถัดไป

การฉายภาพจุดที่อยู่บนพื้นผิวของวัตถุ

เพื่อที่จะสร้างการฉายภาพของแต่ละองค์ประกอบได้อย่างถูกต้องเมื่อทำการวาดภาพ คุณต้องสามารถค้นหาการฉายภาพของแต่ละจุดในภาพทั้งหมดของภาพวาดได้ ตัวอย่างเช่น เป็นเรื่องยากที่จะวาดเส้นโครงแนวนอนของชิ้นส่วนที่แสดงในรูปที่ 1 4.9 โดยไม่ใช้การคาดการณ์ของแต่ละจุด ( ก, บี, ซี, ดี, อีฯลฯ) ความสามารถในการค้นหาการฉายภาพของจุด ขอบ และใบหน้าทั้งหมดยังจำเป็นสำหรับการสร้างรูปร่างของวัตถุในจินตนาการขึ้นมาใหม่จากภาพแบนๆ ในภาพวาด ตลอดจนตรวจสอบความถูกต้องของภาพวาดที่เสร็จสมบูรณ์

ข้าว. 4.9.

ลองพิจารณาวิธีการหาเส้นโครงที่สองและสามของจุดที่ระบุบนพื้นผิวของวัตถุ

หากภาพวาดของวัตถุได้รับการฉายภาพจุดหนึ่ง อันดับแรกเราต้องค้นหาการฉายภาพพื้นผิวที่จุดนี้ตั้งอยู่ จากนั้นเลือกหนึ่งในสองวิธีที่อธิบายไว้ด้านล่างเพื่อแก้ไขปัญหา

วิธีแรก

วิธีการนี้ใช้เมื่อมีการแสดงพื้นผิวที่กำหนดเป็นเส้นบนเส้นโครงอย่างน้อยหนึ่งเส้น

ในรูป 4.10, กแสดงให้เห็นรูปทรงกระบอกบนส่วนหน้าซึ่งจะมีการฉายภาพ เอ"คะแนน เอ,นอนอยู่บนส่วนที่มองเห็นได้ของพื้นผิว (ส่วนที่ยื่นออกมาจะถูกทำเครื่องหมายด้วยวงกลมสองสี) เพื่อค้นหาเส้นโครงแนวนอนของจุด เอ,พวกเขาให้เหตุผลเช่นนี้: จุดหนึ่งอยู่บนพื้นผิวของทรงกระบอก ซึ่งเส้นโครงในแนวนอนเป็นวงกลม ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงของจุดที่อยู่บนพื้นผิวนี้จะอยู่บนวงกลมด้วย วาดเส้นเชื่อมต่อและทำเครื่องหมายจุดที่ต้องการที่จุดตัดกับวงกลม ก.การฉายภาพที่สาม เอ"

ข้าว. 4.10.

ถ้าตรงประเด็น ใน,นอนอยู่บนฐานด้านบนของทรงกระบอก ซึ่งกำหนดโดยเส้นโครงในแนวนอน ขจากนั้นลากเส้นสื่อสารจนกระทั่งตัดกันด้วยส่วนตรงที่แสดงถึงส่วนหน้าและโครงร่างของฐานด้านบนของกระบอกสูบ

ในรูป 4.10, b แสดงรายละเอียด - หยุด เพื่อสร้างเส้นโครงของจุด เอ,กำหนดโดยการฉายภาพในแนวนอน เอ,หาส่วนที่ยื่นออกมาของใบหน้าส่วนบนอีกสองอัน (ซึ่งจุดนั้นอยู่) ก) และวาดเส้นเชื่อมต่อจนกระทั่งตัดกับส่วนตรงที่แสดงใบหน้านี้ให้กำหนดเส้นโครงที่ต้องการ - จุด เอ"และ เอ".จุด ในอยู่บนใบหน้าแนวตั้งด้านข้างซ้าย ซึ่งหมายความว่าส่วนที่ยื่นออกมาจะอยู่บนส่วนที่ยื่นออกมาของใบหน้านี้ ดังนั้นจากจุดที่กำหนด ข"วาดเส้นสื่อสาร (ตามที่ระบุด้วยลูกศร) จนกระทั่งมาบรรจบกับส่วนตรงที่แสดงถึงใบหน้านี้ การฉายภาพด้านหน้า กับ"คะแนน กับ,นอนอยู่บนใบหน้าที่เอียง (ในอวกาศ) พบบนเส้นที่แสดงใบหน้านี้และโปรไฟล์ กับ"– ที่จุดตัดของสายสื่อสาร เนื่องจากการฉายโปรไฟล์ของใบหน้านี้ไม่ใช่เส้น แต่เป็นตัวเลข การประมาณการจุดก่อสร้าง ดีแสดงด้วยลูกศร

วิธีที่สอง

วิธีการนี้จะใช้เมื่อไม่สามารถใช้วิธีแรกได้ จากนั้นคุณควรทำสิ่งนี้:

• ผ่าน ได้รับการฉายภาพการฉายภาพแบบจุดของเส้นเสริมที่อยู่บนพื้นผิวที่กำหนด
• ค้นหาเส้นโครงที่สองของเส้นนี้
• ถ่ายโอนการฉายภาพที่กำหนดของจุดไปยังการฉายภาพที่พบของเส้น (ซึ่งจะเป็นตัวกำหนดการฉายภาพที่สองของจุด)
• หาเส้นโครงที่สาม (ถ้าจำเป็น) ที่จุดตัดของสายสื่อสาร

ในรูป 4.10 ให้ฉายภาพด้านหน้า เอ"คะแนน เอ,นอนอยู่บนส่วนที่มองเห็นได้ของพื้นผิวกรวย เพื่อค้นหาการฉายภาพแนวนอนผ่านจุดหนึ่ง เอ"ทำการฉายภาพด้านหน้าของเส้นตรงเสริมที่ผ่านจุดนั้น กและด้านบนของกรวย รับประเด็น วี– การฉายภาพจุดบรรจบของเส้นตรงที่วาดไว้กับฐานกรวย เมื่อมีการฉายภาพด้านหน้าของจุดที่วางอยู่บนเส้นตรง เราสามารถหาภาพฉายในแนวนอนได้ การฉายภาพแนวนอน สรู้จักยอดของกรวย จุด ขอยู่บนวงกลมของฐาน ส่วนของเส้นตรงจะถูกลากผ่านจุดเหล่านี้และจุดจะถูกถ่ายโอนไปยังจุดนั้น (ตามที่แสดงโดยลูกศร) เอ"ได้รับประเด็น ก.การฉายภาพที่สาม เอ"คะแนน กตั้งอยู่ที่สี่แยกสายสื่อสาร

ปัญหาเดียวกันสามารถแก้ไขได้แตกต่างกัน (รูปที่ 4.10, ช).

เป็นเส้นเสริมที่ผ่านจุดหนึ่ง เอ,อย่าใช้เส้นตรงเหมือนในกรณีแรก แต่เป็นวงกลม วงกลมนี้ก่อตัวขึ้นหากอยู่ที่จุดใดจุดหนึ่ง กตัดกรวยด้วยระนาบขนานกับฐาน ดังแสดงในภาพที่มองเห็น เส้นโครงด้านหน้าของวงกลมนี้จะแสดงด้วยส่วนของเส้นตรง เนื่องจากระนาบของวงกลมตั้งฉากกับระนาบส่วนหน้าของเส้นโครง เส้นโครงแนวนอนของวงกลมมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากับความยาวของส่วนนี้ เมื่ออธิบายวงกลมที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางที่ระบุแล้ว ให้วาดจากจุดนั้น เอ"สายสื่อสารจนตัดกับวงกลมเสริมตั้งแต่ฉายภาพในแนวนอน กคะแนน กอยู่บนสายเสริมเช่น บนวงกลมที่สร้างขึ้น การฉายภาพที่สาม เอซี"คะแนน กพบบริเวณสี่แยกสายสื่อสาร

เมื่อใช้เทคนิคเดียวกัน คุณจะพบเส้นโครงของจุดที่วางอยู่บนพื้นผิว เช่น ปิรามิด ความแตกต่างก็คือเมื่อมันตัดกับระนาบแนวนอน จะไม่เกิดวงกลมขึ้น แต่เป็นรูปร่างที่คล้ายกับฐาน

ลองพิจารณาการฉายภาพจุดบนระนาบสองระนาบ ซึ่งเราใช้ระนาบตั้งฉากสองระนาบ (รูปที่ 4) ซึ่งเราจะเรียกว่าส่วนหน้าแนวนอนและระนาบ เส้นตัดของระนาบเหล่านี้เรียกว่าแกนฉายภาพ เราฉายจุด A หนึ่งจุดลงบนระนาบที่พิจารณาโดยใช้การฉายภาพระนาบ ในการทำเช่นนี้ จำเป็นต้องลดเส้นตั้งฉาก Aa และ A จากจุดที่กำหนดลงบนระนาบที่พิจารณา

การฉายภาพบนระนาบแนวนอนเรียกว่า การฉายภาพแนวนอนคะแนน กและการฉายภาพ เอ?บนระนาบส่วนหน้าเรียกว่า การฉายภาพด้านหน้า.

จุดที่มีการฉายภาพมักจะแสดงเป็นเรขาคณิตเชิงพรรณนาโดยใช้ตัวพิมพ์ใหญ่ ก, บี, ซี- ตัวอักษรขนาดเล็กใช้เพื่อระบุการฉายจุดในแนวนอน ก ข ค... ส่วนยื่นด้านหน้าจะระบุด้วยตัวอักษรตัวเล็กโดยมีเส้นขีดอยู่ด้านบน ก?, ข?, ค?…

คะแนนยังถูกกำหนดด้วยเลขโรมัน I, II,... และสำหรับการฉายภาพ - ด้วยเลขอารบิค 1, 2... และ 1?, 2?...

ด้วยการหมุนระนาบแนวนอน 90° คุณจะได้ภาพวาดที่ระนาบทั้งสองอยู่ในระนาบเดียวกัน (รูปที่ 5) ภาพนี้มีชื่อว่า แผนภาพของจุด.

ผ่านเส้นตั้งฉาก อ่าและ ฮะ?มาวาดเครื่องบินกันเถอะ (รูปที่ 4) ระนาบที่ได้จะตั้งฉากกับระนาบส่วนหน้าและระนาบแนวนอน เนื่องจากมีระนาบตั้งฉากกับระนาบเหล่านี้ ดังนั้นระนาบนี้จึงตั้งฉากกับเส้นตัดของระนาบ เส้นตรงที่ได้จะตัดกับระนาบแนวนอนเป็นเส้นตรง อ่า x และระนาบส่วนหน้า – เป็นเส้นตรง ก?กเอ็กซ์ ตรงอ่าและ ก?ก x ตั้งฉากกับแกนของจุดตัดของระนาบ นั่นก็คือ อ่าฮะ?เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

เมื่อรวมระนาบการฉายภาพแนวนอนและแนวหน้าเข้าด้วยกัน กและ เอ?จะวางตัวตั้งฉากกับแกนของจุดตัดของระนาบเดียวกัน เนื่องจากเมื่อระนาบแนวนอนหมุน ความตั้งฉากของส่วนต่างๆ อ่า x และ ก?ก x จะไม่แตก

เราได้รับมันจากแผนภาพการฉายภาพ กและ เอ?บางจุด กนอนอยู่บนตั้งฉากเดียวกันกับแกนของจุดตัดของระนาบเสมอ

สองเส้นโครง a และ เอ?ของจุด A สามารถกำหนดตำแหน่งในอวกาศได้อย่างชัดเจน (รูปที่ 4) สิ่งนี้ได้รับการยืนยันจากข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อสร้างเส้นตั้งฉากจากการฉายภาพ a ไปยังระนาบแนวนอน มันจะผ่านจุด A ในทำนองเดียวกัน เส้นตั้งฉากจากการฉายภาพ เอ?ถึงระนาบส่วนหน้าจะผ่านจุดนั้นไป กนั่นคือจุด กอยู่บนเส้นตรงเฉพาะสองเส้นพร้อมกัน จุด A คือจุดตัดกัน นั่นคือเป็นจุดที่แน่นอน

พิจารณารูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า อ่า.เอ็กซ์ เอ?(รูปที่ 5) ซึ่งข้อความต่อไปนี้เป็นจริง:

1) ระยะทางชี้ กจากระนาบด้านหน้าเท่ากับระยะทางของการฉายภาพในแนวนอน a จากแกนของจุดตัดของระนาบคือ

ฮะ? = อ่าเอ็กซ์;

2) ระยะทางจุด กจากระนาบแนวนอนของเส้นโครงจะเท่ากับระยะห่างของเส้นโครงด้านหน้า เอ?จากแกนจุดตัดของระนาบเช่น

อ่า = ก?กเอ็กซ์

กล่าวอีกนัยหนึ่ง แม้ว่าจะไม่มีจุดอยู่บนแผนภาพ แต่เมื่อใช้เพียงสองเส้นโครง คุณก็จะสามารถทราบได้ว่าจุดที่กำหนดอยู่ห่างจากระนาบฉายภาพแต่ละระนาบเท่าใด

จุดตัดของระนาบฉายภาพสองอันแบ่งช่องว่างออกเป็นสี่ส่วนซึ่งเรียกว่า ในไตรมาส(รูปที่ 6)

แกนของจุดตัดของเครื่องบินแบ่งระนาบแนวนอนออกเป็นสองส่วน - ด้านหน้าและด้านหลังและระนาบด้านหน้า - ออกเป็นส่วนบนและส่วนล่าง ส่วนบนของระนาบส่วนหน้าและส่วนหน้าของระนาบแนวนอนถือเป็นขอบเขตของไตรมาสแรก

เมื่อได้รับแผนภาพ ระนาบแนวนอนจะหมุนและอยู่ในแนวเดียวกันกับระนาบส่วนหน้า (รูปที่ 7) ในกรณีนี้ ส่วนหน้าของระนาบแนวนอนจะตรงกับส่วนล่างของระนาบส่วนหน้า และส่วนหลังของระนาบแนวนอนจะตรงกับส่วนบนของระนาบส่วนหน้า

รูปที่ 8-11 แสดงจุด A, B, C, D ซึ่งตั้งอยู่ในส่วนต่างๆ ของพื้นที่ จุด A อยู่ในควอเตอร์ที่ 1 จุด B อยู่ในควอเตอร์ที่สอง จุด C อยู่ในควอเตอร์ที่สาม และจุด D อยู่ในควอเตอร์ที่สี่

เมื่อแต้มอยู่ในควอเตอร์แรกหรือควอเตอร์ที่สี่ การฉายภาพแนวนอนอยู่ที่ส่วนหน้าของระนาบแนวนอน และในแผนภาพ พวกมันจะอยู่ใต้แกนจุดตัดของระนาบ เมื่อจุดหนึ่งอยู่ในไตรมาสที่สองหรือสาม เส้นโครงในแนวนอนจะอยู่ที่ด้านหลังของระนาบแนวนอน และบนแผนภาพ จุดนั้นจะอยู่เหนือแกนจุดตัดของเครื่องบิน

การฉายภาพด้านหน้าจุดที่อยู่ในไตรมาสแรกหรือไตรมาสที่สองจะอยู่ที่ส่วนบนของระนาบหน้าผากและในแผนภาพจะอยู่เหนือแกนจุดตัดของเครื่องบิน เมื่อจุดหนึ่งอยู่ในไตรมาสที่สามหรือสี่ ส่วนยื่นด้านหน้าจะอยู่ใต้แกนของจุดตัดของระนาบ

ส่วนใหญ่แล้วในการก่อสร้างจริงตัวเลขจะถูกวางไว้ในไตรมาสแรกของพื้นที่

ในบางกรณีพิเศษ จุด ( อี) สามารถนอนบนระนาบแนวนอนได้ (รูปที่ 12) ในกรณีนี้การฉายภาพแนวนอน e และจุดนั้นจะตรงกัน การฉายภาพด้านหน้าของจุดดังกล่าวจะอยู่บนแกนของจุดตัดของระนาบ

ในกรณีที่เมื่อถึงจุด ถึงอยู่บนระนาบหน้าผาก (รูปที่ 13) ซึ่งเป็นการฉายภาพในแนวนอน เคอยู่บนแกนของจุดตัดของระนาบและส่วนหน้า เค?แสดงตำแหน่งที่แท้จริงของจุดนี้

สำหรับจุดดังกล่าว สัญญาณที่บ่งบอกว่ามันอยู่บนระนาบการฉายภาพอันใดอันหนึ่งก็คือว่าหนึ่งในการฉายภาพนั้นอยู่บนแกนของจุดตัดของระนาบ

หากจุดหนึ่งอยู่บนแกนของจุดตัดของระนาบการฉายภาพ จุดนั้นและเส้นโครงทั้งสองจะตรงกัน

เมื่อจุดไม่อยู่บนระนาบการฉายภาพ จะถูกเรียก จุด ตำแหน่งทั่วไป - ต่อไปนี้หากไม่มีเครื่องหมายพิเศษ ประเด็นที่เป็นปัญหาคือจุดที่อยู่ในตำแหน่งทั่วไป

2. ขาดแกนฉายภาพ

เพื่ออธิบายวิธีรับการฉายภาพจุดบนแบบจำลองที่ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพ (รูปที่ 4) จำเป็นต้องใช้กระดาษหนาแผ่นหนึ่งที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้ายาว ต้องโค้งงอระหว่างการฉายภาพ เส้นพับจะแสดงถึงแกนของจุดตัดของระนาบ หากหลังจากนี้ให้งอกระดาษให้ตรงอีกครั้ง เราจะได้แผนภาพที่คล้ายกับที่แสดงในภาพ

ด้วยการรวมระนาบการฉายภาพสองระนาบเข้ากับระนาบการวาด เป็นไปไม่ได้ที่จะไม่แสดงเส้นพับ กล่าวคือ ไม่ต้องวาดแกนของจุดตัดของระนาบบนแผนภาพ

เมื่อลงจุดบนไดอะแกรม คุณควรวางเส้นโครงไว้เสมอ กและ เอ?จุด A บนเส้นแนวตั้งเส้นเดียว (รูปที่ 14) ซึ่งตั้งฉากกับแกนของจุดตัดของระนาบ ดังนั้นแม้ว่าตำแหน่งของแกนจุดตัดของระนาบจะยังคงไม่แน่นอน แต่กำหนดทิศทางของมันแล้ว แกนของจุดตัดของระนาบสามารถวางอยู่บนแผนภาพที่ตั้งฉากกับเส้นตรงเท่านั้น ฮะ?.

หากไม่มีแกนฉายบนแผนภาพของจุด ดังเช่นในรูปที่ 14 a แรก คุณสามารถจินตนาการตำแหน่งของจุดนี้ในอวกาศได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้วาดตรงไหนก็ได้ตั้งฉากกับเส้นตรง ฮะ?แกนฉายภาพดังในรูปที่สอง (รูปที่ 14) และงอภาพวาดตามแกนนี้ ถ้าเราคืนค่าตั้งฉากที่จุด กและ เอ?ก่อนที่จะตัดกันคุณจะได้จุด ก- เมื่อเปลี่ยนตำแหน่งของแกนฉายภาพ จะได้ตำแหน่งที่แตกต่างกันของจุดที่สัมพันธ์กับระนาบฉายภาพ แต่ความไม่แน่นอนในตำแหน่งของแกนฉายภาพจะไม่ส่งผลกระทบต่อ ตำแหน่งสัมพัทธ์หลายจุดหรือตัวเลขในอวกาศ

3. การฉายภาพจุดบนระนาบการฉายภาพ 3 อัน

ลองพิจารณาระนาบโปรไฟล์ของการฉายภาพ การฉายภาพบนระนาบตั้งฉากสองระนาบมักจะกำหนดตำแหน่งของร่างและทำให้สามารถทราบขนาดและรูปร่างที่แท้จริงได้ แต่มีบางครั้งที่การคาดการณ์สองครั้งไม่เพียงพอ จากนั้นจึงใช้การก่อสร้างเส้นโครงที่สาม

ระนาบการฉายภาพที่สามถูกวาดเพื่อให้ตั้งฉากกับระนาบการฉายภาพทั้งสองพร้อมกัน (รูปที่ 15) ระนาบที่สามมักเรียกว่า ประวัติโดยย่อ.

ในการก่อสร้างดังกล่าวจะเรียกว่าเส้นตรงทั่วไปของระนาบแนวนอนและส่วนหน้า แกน เอ็กซ์ เส้นตรงร่วมของระนาบแนวนอนและระนาบโปรไฟล์ – แกน ที่ และเส้นตรงทั่วไปของระนาบส่วนหน้าและส่วนกำหนดค่าคือ แกน z - จุด เกี่ยวกับซึ่งอยู่ในระนาบทั้งสามนั้นเรียกว่าจุดกำเนิด

รูปที่ 15a แสดงจุด กและการคาดการณ์สามประการ การฉายภาพบนระนาบโปรไฟล์ ( เอ??) ถูกเรียก การฉายภาพโปรไฟล์และแสดงถึง เอ??.

เพื่อให้ได้แผนภาพของจุด A ซึ่งประกอบด้วยสามเส้นโครง ก, ก, กจำเป็นต้องตัดรูปทรงสามเหลี่ยมที่เกิดจากระนาบทั้งหมดตามแนวแกน y (รูปที่ 15b) และรวมระนาบเหล่านี้เข้ากับระนาบของการฉายภาพด้านหน้า ระนาบแนวนอนจะต้องหมุนรอบแกน เอ็กซ์และระนาบโปรไฟล์จะเกี่ยวกับแกน zในทิศทางที่ระบุโดยลูกศรในรูปที่ 15

รูปที่ 16 แสดงตำแหน่งของเส้นโครง ฮะฮะ?และ เอ??คะแนน กได้มาจากการรวมระนาบทั้งสามเข้ากับระนาบการวาด

จากผลของการตัด แกน y จะปรากฏในตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่งบนแผนภาพ บนระนาบแนวนอน (รูปที่ 16) จะใช้ตำแหน่งแนวตั้ง (ตั้งฉากกับแกน เอ็กซ์) และบนระนาบโปรไฟล์ – แนวนอน (ตั้งฉากกับแกน z).

มีการคาดการณ์สามประการในรูปที่ 16 ฮะฮะ?และ เอ??จุด A มีตำแหน่งที่กำหนดไว้อย่างเคร่งครัดบนแผนภาพและอยู่ภายใต้เงื่อนไขที่ชัดเจน:

กและ เอ?ควรอยู่บนเส้นแนวตั้งเดียวกันตั้งฉากกับแกนเสมอ เอ็กซ์;

เอ?และ เอ??ควรอยู่บนเส้นตรงแนวนอนเส้นเดียวกันตั้งฉากกับแกนเสมอ z;

3) เมื่อดำเนินการผ่านการฉายภาพแนวนอนและเส้นตรงแนวนอนและผ่านการฉายภาพโปรไฟล์ เอ??– เส้นตรงแนวตั้ง เส้นตรงที่สร้างขึ้นจะต้องตัดกันบนเส้นแบ่งครึ่งของมุมระหว่างแกนฉาย เนื่องจากรูป โอ้ที่ ก 0 ก n – สี่เหลี่ยม

เมื่อสร้างการฉายภาพสามจุด คุณต้องตรวจสอบว่าตรงตามเงื่อนไขทั้งสามประการสำหรับแต่ละจุดหรือไม่

4. พิกัดจุด

ตำแหน่งของจุดในอวกาศสามารถกำหนดได้โดยใช้ตัวเลขสามตัวที่เรียกว่าจุดนั้น พิกัด- แต่ละพิกัดสอดคล้องกับระยะห่างของจุดจากระนาบการฉายภาพบางจุด

ระยะทางจุดที่กำหนด กไปที่ระนาบโปรไฟล์คือพิกัด เอ็กซ์, ในขณะที่ เอ็กซ์ = ฮะ?(รูปที่ 15) ระยะห่างจากระนาบส่วนหน้าคือพิกัด y และ y = ฮะ?และระยะทางถึงระนาบแนวนอนคือพิกัด z, ในขณะที่ z = เอเอ.

ในรูปที่ 15 จุด A ตรงบริเวณความกว้าง เป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนานกันและการวัดของเส้นขนานนี้สอดคล้องกับพิกัดของจุดนี้ กล่าวคือ แต่ละพิกัดแสดงในรูปที่ 15 สี่ครั้ง กล่าวคือ:

x = a?A = Oa x = a y a = a z a?;

y = а?А = Оа y = а x а = а z а?;

z = aA = Oa z = axa? = ใช่หรือเปล่า?.

ในแผนภาพ (รูปที่ 16) พิกัด x และ z ปรากฏขึ้นสามครั้ง:

x = a z a?= Oa x = a y,

z = ก x ก? = โอ้ z = ใช่เหรอ?.

ทุกส่วนที่สอดคล้องกับพิกัด เอ็กซ์(หรือ z) ขนานกัน ประสานงาน ที่แสดงสองครั้งด้วยแกนที่อยู่ในแนวตั้ง:

y = โอ้ y = a x a

และสองครั้ง - ตั้งอยู่ในแนวนอน:

y = โอ้ y = a z a?.

ความแตกต่างนี้เกิดขึ้นเนื่องจากมีแกน y อยู่บนแผนภาพในตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่ง

ควรคำนึงว่าตำแหน่งของแต่ละเส้นโครงถูกกำหนดบนไดอะแกรมโดยพิกัดเพียงสองพิกัดเท่านั้น ได้แก่:

1) แนวนอน – พิกัด เอ็กซ์และ ที่,

2) หน้าผาก – พิกัด xและ z,

3) โปรไฟล์ – พิกัด ที่และ z.

การใช้พิกัด เอ็กซ์, ยและ zคุณสามารถสร้างเส้นโครงของจุดบนไดอะแกรมได้

หากกำหนดจุด A ตามพิกัด การบันทึกจะถูกกำหนดดังนี้: A ( เอ็กซ์; ใช่; z).

เมื่อสร้างการฉายภาพแบบจุด กต้องตรวจสอบเงื่อนไขต่อไปนี้:

1) การฉายภาพแนวนอนและด้านหน้า กและ เอ? เอ็กซ์ เอ็กซ์;

2) การฉายภาพด้านหน้าและโปรไฟล์ เอ?และ เอ?จะต้องอยู่ในแนวตั้งฉากกับแกนเดียวกัน zเนื่องจากมีพิกัดร่วมกัน z;

3) การฉายภาพแนวนอนและลบออกจากแกนด้วย เอ็กซ์เช่นการฉายภาพโปรไฟล์ กห่างจากแกน zตั้งแต่การคาดการณ์ ah? แล้วเอ๊ะ? มีพิกัดร่วมกัน ที่.

หากจุดใดจุดหนึ่งอยู่ในระนาบการฉายภาพ พิกัดจุดใดจุดหนึ่งจะเท่ากับศูนย์

เมื่อจุดหนึ่งอยู่บนแกนฉายภาพ พิกัดสองจุดจะเท่ากับศูนย์

หากจุดหนึ่งอยู่ที่จุดเริ่มต้น พิกัดทั้งสามจะเป็นศูนย์