การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนใดๆ การฉายเวกเตอร์ลงบนแกนพิกัด

คำจำกัดความ 1. บนระนาบ เส้นโครงขนานของจุด A บนแกน l คือจุด - จุดตัดของแกน l โดยมีเส้นตรงลากผ่านจุด A ขนานกับเวกเตอร์ที่ระบุทิศทางการออกแบบ

คำจำกัดความ 2. เส้นโครงขนานของเวกเตอร์บนแกน l (กับเวกเตอร์) คือพิกัดของเวกเตอร์ที่สัมพันธ์กับฐาน แกน l โดยที่จุด และ เป็นเส้นโครงขนานของจุด A และ B ลงบนแกน l ตามลำดับ (รูปที่ 1)

ตามคำจำกัดความที่เรามี

คำจำกัดความ 3. ถ้า และพื้นฐานแกน l คาร์ทีเซียน นั่นคือ เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน l เรียกว่ามุมฉาก (รูปที่ 2)

ในอวกาศ คำจำกัดความ 2 ของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนยังคงมีผลใช้บังคับ เฉพาะทิศทางการฉายภาพเท่านั้นที่ถูกระบุโดยเวกเตอร์ที่ไม่ใช่แนวเส้นตรงสองตัว (รูปที่ 3)

จากคำจำกัดความของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน จะตามมาว่าแต่ละพิกัดของเวกเตอร์คือการฉายภาพของเวกเตอร์นี้บนแกนที่กำหนดโดยเวกเตอร์พื้นฐานที่สอดคล้องกัน ในกรณีนี้ ทิศทางการออกแบบจะถูกระบุโดยเวกเตอร์พื้นฐานอีกสองตัว หากการออกแบบถูกดำเนินการ (พิจารณา) ในอวกาศ หรือโดยเวกเตอร์พื้นฐานอื่น หากพิจารณาการออกแบบบนระนาบ (รูปที่ 4)

ทฤษฎีบท 1 การฉายภาพมุมฉากของเวกเตอร์บนแกน l เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางบวกของแกน l และเช่น

อีกด้านหนึ่ง

จากที่เราพบ

เราได้รับการแทนที่ AC ให้เป็นความเท่าเทียมกัน (2)

ตั้งแต่ตัวเลข xและเครื่องหมายเดียวกันในทั้งสองกรณีที่อยู่ระหว่างการพิจารณา ((รูปที่ 5, a) ; (รูปที่ 5, b) จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (4) ตามมา

ความคิดเห็น ต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะเส้นโครงมุมฉากของเวกเตอร์บนแกน ดังนั้นคำว่า "ort" (มุมฉาก) จะถูกละเว้นจากสัญลักษณ์

ให้เรานำเสนอสูตรต่างๆ ที่ใช้ในการแก้ปัญหาในภายหลัง

ก) การฉายภาพเวกเตอร์บนแกน

ถ้าหากการฉายภาพมุมฉากบนเวกเตอร์ตามสูตร (5) มีรูปแบบ

c) ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังระนาบ

ให้ b เป็นระนาบที่กำหนดพร้อมกับเวกเตอร์ตั้งฉาก, M คือจุดที่กำหนดให้

d คือระยะห่างจากจุด M ถึงระนาบ b (รูปที่ 6)

ถ้า N เป็นจุดใดๆ ของระนาบ b และเป็นเส้นโครงของจุด M และ N ลงบนแกน แล้ว

• ช) ระยะห่างระหว่างเส้นที่ตัดกัน

ให้ a และ b เป็นเส้นตัดกัน เป็นเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับพวกมัน A และ B เป็นจุดใดก็ได้ของเส้น a และ b ตามลำดับ (รูปที่ 7) และ เป็นเส้นโครงของจุด A และ B ลงบน จากนั้น

e) ระยะทางจากจุดหนึ่งไปยังอีกเส้นหนึ่ง

อนุญาต ล- เส้นตรงที่กำหนดพร้อมเวกเตอร์ทิศทาง, M - จุดที่กำหนด

N - การฉายภาพลงบนเส้น ลจากนั้น - ระยะทางที่ต้องการ (รูปที่ 8)

ถ้า A เป็นจุดใดๆ บนเส้นตรง ลแล้วเข้า สามเหลี่ยมมุมฉากสามารถหา MNA, ด้านตรงข้ามมุมฉาก MA และขาได้ วิธี,

f) มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ

อนุญาต เป็นเวกเตอร์ทิศทางของเส้นนี้ ล, - เวกเตอร์ปกติของระนาบที่กำหนด b - การฉายเส้นตรง ลไปยังระนาบ b (รูปที่ 9)

ดังที่ทราบกันดีว่ามุม μ ระหว่างเส้นตรง ลและการฉายภาพบนระนาบ b เรียกว่ามุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ เรามี

ให้เรายกตัวอย่างการแก้ปัญหาหน่วยเมตริกโดยใช้วิธีพิกัดเวกเตอร์

ก. เส้นโครงของจุด A ลงบนแกน PQ (รูปที่ 4) คือฐาน a ของเส้นตั้งฉากที่ตกลงจากจุดที่กำหนดไปยังแกนที่กำหนด แกนที่เราฉายภาพเรียกว่าแกนฉายภาพ

ข. ให้สองแกนและเวกเตอร์ A B ดังแสดงในรูปที่ 1 5.

เวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นเป็นเส้นโครงของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นเส้นโครงของจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์นี้ เรียกว่าเส้นโครงของเวกเตอร์ A B ลงบนแกน PQ

บางครั้งตัวบ่งชี้ PQ ไม่ได้เขียนไว้ที่ด้านล่าง ซึ่งจะทำในกรณีที่นอกเหนือจาก PQ แล้ว ไม่มีระบบปฏิบัติการอื่นใดที่สามารถออกแบบได้

กับ. ทฤษฎีบทที่ 1 ขนาดของเวกเตอร์ที่วางอยู่บนแกนหนึ่งมีความสัมพันธ์กันกับขนาดของเส้นโครงบนแกนใดๆ

ให้แกนและเวกเตอร์ที่ระบุในรูปที่ 6 จากความคล้ายคลึงกันของรูปสามเหลี่ยมเป็นที่ชัดเจนว่าความยาวของเวกเตอร์มีความสัมพันธ์กันตามความยาวของเส้นโครงของมัน กล่าวคือ

เนื่องจากเวกเตอร์ในภาพวาดมีทิศทางต่างกัน ขนาดของเวกเตอร์จึงมีเครื่องหมายต่างกัน ดังนั้น

เห็นได้ชัดว่าขนาดของเส้นโครงก็มีสัญญาณที่แตกต่างกันเช่นกัน:

แทน (2) ไปเป็น (3) ไปเป็น (1) เราจะได้

เราได้รับสัญญาณกลับด้าน

ถ้าเวกเตอร์มีทิศทางเท่ากัน เส้นโครงของเวกเตอร์ก็จะไปในทิศทางเดียวกันด้วย จะไม่มีเครื่องหมายลบในสูตร (2) และ (3) การแทนที่ (2) และ (3) ด้วยความเท่าเทียมกัน (1) เราจะได้ความเท่าเทียมกันทันที (4) ดังนั้นทฤษฎีบทนี้จึงได้รับการพิสูจน์แล้วในทุกกรณี

ง. ทฤษฎีบทที่ 2 ขนาดของเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนใดๆ เท่ากับขนาดของเวกเตอร์คูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างแกนของเส้นโครงกับแกนของเวกเตอร์ ให้กำหนดแกนเป็นเวกเตอร์ดังแสดงในรูปที่ 1 . 7. เรามาสร้างเวกเตอร์ที่มีทิศทางเดียวกันกับแกนของมันแล้วพล็อตจากจุดตัดของแกน เป็นต้น ปล่อยให้มันยาวเท่ากับหนึ่ง. แล้วขนาดของมัน

แกนคือทิศทาง ซึ่งหมายความว่าการฉายภาพบนแกนหรือบนเส้นกำกับจะถือว่าเหมือนกัน การฉายภาพอาจเป็นพีชคณิตหรือเรขาคณิตก็ได้ ในแง่เรขาคณิต การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนนั้นเข้าใจว่าเป็นเวกเตอร์ และในแง่พีชคณิตก็คือตัวเลข นั่นคือมีการใช้แนวคิดของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนและการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกน

หากเรามีแกน L และเวกเตอร์ A B ที่ไม่ใช่ศูนย์ เราก็สามารถสร้างเวกเตอร์ A 1 B 1 ⇀ ซึ่งแสดงถึงเส้นโครงของจุด A 1 และ B 1

A 1 B → 1 จะเป็นเส้นโครงของเวกเตอร์ A B → ลงบน L

คำจำกัดความ 1

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเป็นเวกเตอร์ที่มีจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดเป็นเส้นโครงของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่กำหนด n p L A B → → เป็นเรื่องปกติที่จะแสดงถึงการฉายภาพ A B →บน L ในการสร้างเส้นโครงบน L นั้น เส้นตั้งฉากจะถูกทิ้งลงบน L

ตัวอย่างที่ 1

ตัวอย่างของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกน

บนระนาบพิกัด O x y มีการระบุจุด M 1 (x 1, y 1) จำเป็นต้องสร้างเส้นโครงบน O x และ O y เพื่อสร้างภาพเวกเตอร์รัศมีของจุด M 1 เราได้รับพิกัดของเวกเตอร์ (x 1, 0) และ (0, y 1)

หากเรากำลังพูดถึงเส้นโครงของ a → ไปยัง b → ที่ไม่ใช่ศูนย์ หรือการฉายของ a → ไปยังทิศทาง b → เราก็หมายถึงเส้นโครงของ a → ลงบนแกนซึ่งมีทิศทาง b → เกิดขึ้นพร้อมกัน เส้นโครงของ a → ลงบนเส้นที่กำหนดโดย b → จะแสดงเป็น n p b → a → → เป็นที่ทราบกันดีว่าเมื่อมุมระหว่าง a → และ b → , n p b → a → → และ b → สามารถพิจารณาแบบมีทิศทางได้ ในกรณีที่มุมป้าน n p b → a → → และ b → อยู่ในทิศทางตรงกันข้าม ในสถานการณ์ที่ตั้งฉาก a → และ b → และ a → เป็นศูนย์ เส้นโครงของ a → ในทิศทาง b → จะเป็นเวกเตอร์ศูนย์

ลักษณะตัวเลขของการฉายภาพเวกเตอร์บนแกนคือการฉายภาพตัวเลขของเวกเตอร์บนแกนที่กำหนด

คำจำกัดความ 2

การฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์บนแกนคือตัวเลขที่เท่ากับผลคูณของความยาวของเวกเตอร์ที่กำหนดและโคไซน์ของมุมระหว่างเวกเตอร์ที่กำหนดกับเวกเตอร์ที่กำหนดทิศทางของแกน

เส้นโครงเชิงตัวเลขของ A B → ลงบน L แทนด้วย n p L A B → และ a → ไปยัง b → - n p b → a →

จากสูตร เราได้ n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ , จากที่ a → คือความยาวของเวกเตอร์ a → , a ⇀ , b → ^ คือมุมระหว่างเวกเตอร์ a → และ ข → .

เราได้รับสูตรในการคำนวณการฉายภาพเชิงตัวเลข: n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ . ใช้ได้กับความยาวที่ทราบ a → และ b → และมุมระหว่างความยาวเหล่านั้น สูตรนี้ใช้บังคับได้ก็ต่อเมื่อ พิกัดที่ทราบ a → และ b → แต่มีรูปแบบที่เรียบง่าย

ตัวอย่างที่ 2

จงหาเส้นโครงเชิงตัวเลขของ a → ลงบนเส้นตรงในทิศทาง b → โดยมีความยาว a → เท่ากับ 8 และมีมุมระหว่างพวกมัน 60 องศา ตามเงื่อนไขเรามี ⇀ = 8, a ⇀, b → ^ = 60 ° ซึ่งหมายความว่าเราแทนที่ค่าตัวเลขลงในสูตร n p b ⇀ a → = a → · cos a → , b → ^ = 8 · cos 60 ° = 8 · 1 2 = 4 .

คำตอบ: 4.

ด้วย cos ที่รู้จัก (a → , b → ^) = a ⇀ , b → a → · b → เรามี → , b → เป็นผลคูณสเกลาร์ของ a → และ b → ตามสูตร n p b → a → = a → · cos a ⇀ , b → ^ เราสามารถหาเส้นโครงเชิงตัวเลข a → กำกับไปตามเวกเตอร์ b → และรับ n p b → a → = a → , b → b → สูตรนี้เทียบเท่ากับคำจำกัดความที่ให้ไว้ตอนต้นย่อหน้า

คำจำกัดความ 3

เส้นโครงเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกนที่ตรงกันในทิศทางกับ b → คืออัตราส่วนของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ a → และ b → ต่อความยาว b → สูตร n p b → a → = a → , b → b → ใช้เพื่อค้นหาเส้นโครงเชิงตัวเลขของ a → ลงบนเส้นตรงที่สอดคล้องกับ b → โดยทราบพิกัด a → และ b →

ตัวอย่างที่ 3

ให้ ข → = (- 3 , 4) . ค้นหาเส้นโครงเชิงตัวเลข a → = (1, 7) ลงบน L

สารละลาย

บนระนาบพิกัด n p b → a → = a → , b → b → มีรูปแบบ n p b → a → = a → , b → b → = a x b x + a y b y b x 2 + b y 2 โดยมี a → = (a x , a y ) และ ข → = ข x , โดย y . ในการค้นหาเส้นโครงเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → บนแกน L คุณต้องมี: n p L a → = n p b → a → = a → , b → b → = a x · b x + a y · b y b x 2 + b y 2 = 1 · ( - 3) + 7 · 4 (- 3) 2 + 4 2 = 5

คำตอบ: 5.

ตัวอย่างที่ 4

จงหาเส้นโครงของ a → ลงบน L ซึ่งตรงกับทิศทาง b → โดยที่ a → = - 2, 3, 1 และ b → = (3, - 2, 6) มีการระบุช่องว่างสามมิติ

สารละลาย

เมื่อกำหนดให้ a → = a x , a y , a z และ b → = b x , b y , b z เราคำนวณผลคูณสเกลาร์: a ⇀ , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z เราค้นหาความยาว b → โดยใช้สูตร b → = b x 2 + b y 2 + b z 2 . เป็นไปตามสูตรในการพิจารณาการฉายภาพเชิงตัวเลข a → จะเป็น: n p b → a ⇀ = a → , b → b → = a x · b x + a y · by + a z · b z b x 2 + b y 2 + b z 2

แทนค่าตัวเลข: n p L a → = n p b → a → = (- 2) 3 + 3 (- 2) + 1 6 3 2 + (- 2) 2 + 6 2 = - 6 49 = - 6 7 .

คำตอบ: - 6 7.

ลองดูความสัมพันธ์ระหว่าง a → บน L และความยาวของเส้นโครง a → บน L ลองวาดแกน L โดยเพิ่ม → และ b → จากจุดบน L หลังจากนั้นเราวาดเส้นตั้งฉากจากปลาย a → ถึง L แล้ววาดเส้นโครงลงบน L รูปภาพมี 5 รูปแบบ:

อันดับแรกกรณีที่มี a → = n p b → a → → หมายถึง a → = n p b → a → → ดังนั้น n p b → a → = a → · cos (a , → b → ^) = a → · cos 0 ° = a → = n p ข → a → → .

ที่สองกรณีนี้แสดงถึงการใช้ n p b → a → ⇀ = a → · cos a → , b → ซึ่งหมายความว่า n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = n p b → a → →

ที่สามกรณีอธิบายว่าเมื่อ n p b → a → → = 0 → เราได้รับ n p b ⇀ a → = a → · cos (a → , b → ^) = a → · cos 90 ° = 0 แล้ว n p b → a → → = 0 และ n p b → a → = 0 = n p b → a → → .

ที่สี่กรณีแสดง n p b → a → = a → · cos (180 ° - a → , b → ^) = - a → · cos (a → , b → ^) ตาม n p b → a → = a → · cos ( ก → , ข → ^) = - n p b → a → → .

ประการที่ห้ากรณีนี้แสดง a → = n p b → a → → ซึ่งหมายความว่า a → = n p b → a → → ดังนั้นเราจึงมี n p b → a → = a → · cos a → , b → ^ = a → · cos 180° = - ก → = - n p ข → → .

คำจำกัดความที่ 4

เส้นโครงเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a → ไปยังแกน L ซึ่งมีทิศทางเดียวกับ b → มีค่าดังต่อไปนี้:

• ความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ a → ลงบน L โดยที่มุมระหว่าง a → และ b → น้อยกว่า 90 องศาหรือเท่ากับ 0: n p b → a → = n p b → a → → โดยมีเงื่อนไข 0 ≤ (a → , ข →) ^< 90 ° ;
• ศูนย์โดยมีเงื่อนไขว่า a → และ b → ตั้งฉาก: n p b → a → = 0 เมื่อ (a → , b → ^) = 90 °;
• ความยาวฉาย a → ลงบน L คูณด้วย -1 เมื่อมีมุมป้านหรือหมุนของเวกเตอร์ a → และ b →: n p b → a → = - n p b → a → → โดยมีเงื่อนไข 90 °< a → , b → ^ ≤ 180 ° .

ตัวอย่างที่ 5

เมื่อพิจารณาความยาวของเส้นโครง a → ลงบน L เท่ากับ 2 จงหาเส้นโครงเชิงตัวเลข a → โดยมีมุมเท่ากับ 5 π 6 เรเดียน

สารละลาย

จากสภาพที่เห็นได้ชัดเจนว่า มุมที่กำหนดป้าน: π 2< 5 π 6 < π . Тогда можем найти числовую проекцию a → на L: n p L a → = - n p L a → → = - 2 .

คำตอบ: - 2.

ตัวอย่างที่ 6

ให้ระนาบ O x y z ที่มีความยาวเวกเตอร์ a → เท่ากับ 6 3, b → (- 2, 1, 2) ด้วยมุม 30 องศา ค้นหาพิกัดของการฉายภาพ a → ลงบนแกน L

สารละลาย

ขั้นแรก เราคำนวณการฉายภาพเชิงตัวเลขของเวกเตอร์ a →: n p L a → = n p b → a → = a → · cos (a → , b →) ^ = 6 3 · cos 30 ° = 6 3 · 3 2 = 9 .

ตามเงื่อนไข มุมจะเป็นแบบเฉียบพลัน จากนั้นการฉายภาพเชิงตัวเลข a → = ความยาวของเส้นโครงของเวกเตอร์ a →: n p L a → = n p L a → → = 9 กรณีนี้แสดงว่าเวกเตอร์ n p L a → → และ b → มีทิศทางร่วม ซึ่งหมายความว่ามีจำนวน t ซึ่งความเท่าเทียมกันเป็นจริง: n p L a → → = t · b → จากตรงนี้เราจะเห็นว่า n p L a → → = t · b → ซึ่งหมายความว่าเราสามารถหาค่าของพารามิเตอร์ t: t = n p L a → → b → = 9 (- 2) 2 + 1 2 + 2 2 = 9 9 = 3 .

จากนั้น n p L a → → = 3 · b → ด้วยพิกัดของการฉายภาพของเวกเตอร์ a → บนแกน L เท่ากับ b → = (- 2 , 1 , 2) โดยที่จำเป็นต้องคูณค่าด้วย 3. เรามี n p L a → → = (- 6 , 3 , 6) . คำตอบ: (- 6, 3, 6)

จำเป็นต้องทำซ้ำข้อมูลที่เรียนรู้ก่อนหน้านี้เกี่ยวกับเงื่อนไขของความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนคือเวกเตอร์ที่ได้รับจากการคูณการฉายภาพสเกลาร์ของเวกเตอร์บนแกนนี้กับเวกเตอร์หน่วยของแกนนี้ เช่น ถ้า x – การฉายภาพสเกลาร์เวกเตอร์ กไปที่แกน X แล้วก็ a x ฉัน- การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนนี้

มาแสดงกันเถอะ การฉายภาพเวกเตอร์เช่นเดียวกับเวกเตอร์เอง แต่มีดัชนีของแกนที่ฉายเวกเตอร์ ดังนั้น เส้นโครงเวกเตอร์ของเวกเตอร์ กบนแกน X ที่เราแสดง กเอ็กซ์ ( อ้วนตัวอักษรที่แสดงถึงเวกเตอร์และตัวห้อยของชื่อแกน) หรือ (ตัวอักษรที่ไม่เป็นตัวหนาซึ่งแสดงถึงเวกเตอร์ แต่มีลูกศรอยู่ด้านบน (!) และตัวห้อยของชื่อแกน)

การฉายภาพสเกลาร์เรียกว่าเวกเตอร์ต่อแกน ตัวเลขค่าสัมบูรณ์ซึ่งเท่ากับความยาวของส่วนของแกน (ในระดับที่เลือก) ที่อยู่ระหว่างเส้นโครงของจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ มักจะแทนการแสดงออก การฉายภาพสเกลาร์พวกเขาแค่พูดว่า - การฉายภาพ- การฉายภาพจะแสดงด้วยตัวอักษรเดียวกับเวกเตอร์ที่ฉายภาพ (ในการเขียนปกติที่ไม่เป็นตัวหนา) โดยมีดัชนีต่ำกว่า (ตามกฎ) ของชื่อของแกนที่เวกเตอร์นี้ฉายภาพ ตัวอย่างเช่น หากฉายภาพเวกเตอร์บนแกน X เอ,จากนั้นเส้นโครงจะแสดงด้วย x เมื่อฉายเวกเตอร์เดียวกันไปยังแกนอื่น หากแกนเป็น Y เส้นโครงของเวกเตอร์นั้นจะแสดงเป็น y

เพื่อคำนวณการฉายภาพ เวกเตอร์บนแกน (เช่นแกน X) จำเป็นต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุดนั่นคือ
ax = xk - xn
เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นตัวเลขยิ่งไปกว่านั้น การฉายภาพอาจเป็นค่าบวกได้หากค่า xk มากกว่าค่า xn

เป็นลบถ้าค่า xk น้อยกว่าค่า xn

และเท่ากับศูนย์ถ้า xk เท่ากับ xn

การฉายภาพของเวกเตอร์บนแกนยังสามารถพบได้โดยการรู้โมดูลัสของเวกเตอร์และมุมที่เวกเตอร์ทำกับแกนนี้

จากรูปจะชัดเจนว่า a x = a Cos α

นั่นคือ เส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนเท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์และโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนและ ทิศทางเวกเตอร์- หากมุมแหลมแล้ว
Cos α > 0 และ a x > 0 และหากเป็นป้าน โคไซน์ของมุมป้านจะเป็นลบ และเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนจะเป็นลบด้วย

มุมที่วัดจากแกนทวนเข็มนาฬิกาถือเป็นมุมบวก และมุมที่วัดตามแกนจะเป็นลบ อย่างไรก็ตาม เนื่องจากโคไซน์เป็นฟังก์ชันคู่ กล่าวคือ Cos α = Cos (− α) เมื่อคำนวณเส้นโครงจึงสามารถนับมุมได้ทั้งตามเข็มนาฬิกาและทวนเข็มนาฬิกา

ในการค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกน โมดูลัสของเวกเตอร์นี้จะต้องคูณด้วยโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของแกนกับทิศทางของเวกเตอร์

พิกัดเวกเตอร์คือค่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นที่เป็นไปได้เพียงค่าเดียวของเวกเตอร์พื้นฐานในระบบพิกัดที่เลือก ซึ่งเท่ากับ เวกเตอร์นี้.

พิกัดของเวกเตอร์อยู่ที่ไหน

สินค้าดอทเวกเตอร์

ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์[- ในมิติอันจำกัด พื้นที่เวกเตอร์ หมายถึงผลบวกของผลคูณขององค์ประกอบที่เหมือนกันที่ถูกคูณ เวกเตอร์.

ตัวอย่างเช่น S.p.v. ก = (ก 1 , ..., หนึ่ง) และ ข = (ข 1 , ..., บีเอ็น):

(ก , ข ) = ก 1 ข 1 + ก 2 ข 2 + ... + อัง บี เอ็น

คำอธิบายเวกเตอร์ของการเคลื่อนไหวนั้นมีประโยชน์ เนื่องจากในภาพวาดหนึ่งภาพ คุณสามารถพรรณนาเวกเตอร์ต่างๆ ได้มากมาย และมองเห็น "ภาพ" ของการเคลื่อนไหวต่อหน้าต่อตาคุณ อย่างไรก็ตาม การใช้ไม้บรรทัดและไม้โปรแทรกเตอร์ทุกครั้งเพื่อดำเนินการกับเวกเตอร์นั้นต้องใช้แรงงานมาก ดังนั้นการกระทำเหล่านี้จึงลดลงเป็นการกระทำที่มีจำนวนบวกและลบ - การฉายภาพเวกเตอร์

การฉายภาพเวกเตอร์บนแกนเรียกว่าปริมาณสเกลาร์เท่ากับผลคูณของโมดูลัสของเวกเตอร์ที่ฉายและโคไซน์ของมุมระหว่างทิศทางของเวกเตอร์กับแกนพิกัดที่เลือก

ภาพวาดด้านซ้ายแสดงเวกเตอร์การกระจัด โมดูลคือ 50 กม. และรูปแบบทิศทาง มุมป้าน 150° ด้วยทิศทางของแกน X เราจะพบเส้นโครงของการกระจัดบนแกน X:

sx = s cos(α) = 50 กม. cos(150°) = –43 กม.

เนื่องจากมุมระหว่างแกนคือ 90° จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะคำนวณว่าทิศทางการเคลื่อนที่เกิดขึ้นพร้อมกับทิศทางของแกน Y มุมแหลม 60° เมื่อใช้คำจำกัดความ เราจะพบการฉายภาพของการกระจัดบนแกน Y:

sy = s cos(β) = 50 กม. cos(60°) = +25 กม

อย่างที่คุณเห็น หากทิศทางของเวกเตอร์สร้างมุมแหลมกับทิศทางของแกน การฉายภาพจะเป็นค่าบวก ถ้าทิศทางของเวกเตอร์สร้างมุมป้านกับทิศทางของแกน การฉายภาพจะเป็นลบ

ภาพวาดด้านขวาแสดงเวกเตอร์ความเร็ว โมดูลคือ 5 m/s และทิศทางสร้างมุม 30° กับทิศทางของแกน X เรามาค้นหาเส้นโครงกัน

υx = υ · cos(α) = 5 เมตร/วินาที · cos( 30°) = +4.3 เมตร/วินาที
υy = υ · cos(β) = 5 เมตร/วินาที · cos( 120°) = –2.5 เมตร/วินาที

การค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์บนแกนจะง่ายกว่ามากหากเวกเตอร์ที่ฉายนั้นขนานหรือตั้งฉากกับแกนที่เลือก โปรดทราบว่าในกรณีของการขนานนั้น เป็นไปได้สองตัวเลือก: เวกเตอร์มีทิศทางร่วมกับแกน และเวกเตอร์อยู่ตรงข้ามกับแกน และสำหรับกรณีตั้งฉากจะมีเพียงตัวเลือกเดียวเท่านั้น

เส้นโครงของเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับแกนจะเป็นศูนย์เสมอ (ดู sy และ ay ในรูปวาดด้านซ้าย และ sx และ ux ในรูปวาดด้านขวา) อันที่จริง สำหรับเวกเตอร์ที่ตั้งฉากกับแกน มุมระหว่างเวกเตอร์กับแกนคือ 90° ดังนั้นโคไซน์จึงเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าเส้นโครงเป็นศูนย์

เส้นโครงของเวกเตอร์โคทิศทางกับแกนเป็นบวกและเท่ากับค่าสัมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น sx = +s (ดูรูปวาดด้านซ้าย) แท้จริงแล้วสำหรับเวกเตอร์โคทิศทางกับแกน มุมระหว่างมันกับแกนจะเป็นศูนย์ และโคไซน์ของมันคือ "+1" นั่นคือการฉายภาพเท่ากับความยาวของเวกเตอร์: sx = x – xo = + ส 

เส้นโครงของเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับแกนนั้นเป็นลบและเท่ากับค่าสัมบูรณ์ของเวกเตอร์ โดยถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ เช่น sy = –s (ดูรูปวาดด้านขวา) อันที่จริง สำหรับเวกเตอร์ที่อยู่ตรงข้ามกับแกน มุมระหว่างมันกับแกนคือ 180° และโคไซน์ของมันคือ “–1” นั่นคือ เส้นโครงจะเท่ากับความยาวของเวกเตอร์ที่ถ่ายด้วยเครื่องหมายลบ: sy = ย – โย = –s .

ด้านขวามือของภาพวาดทั้งสองแสดงกรณีอื่นที่เวกเตอร์ขนานกับแกนพิกัดแกนใดแกนหนึ่งและตั้งฉากกับอีกแกนหนึ่ง เราขอเชิญชวนให้คุณตรวจสอบให้แน่ใจว่าในกรณีเหล่านี้ จะมีการปฏิบัติตามกฎที่กำหนดไว้ในย่อหน้าก่อนหน้านี้ด้วย