ตัวอย่าง. ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่ไม่รวมอยู่ในฐาน แล้วขยายตามฐาน

ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่ไม่รวมอยู่ในพื้นฐาน ขยายตามพื้นฐาน:

ก 1 = {5, 2, -3, 1}, ก 2 = {4, 1, -2, 3}, ก 3 = {1, 1, -1, -2}, ก 4 = {3, 4, -1, 2}, ก 5 = {13, 8, -7, 4}.

สารละลาย- พิจารณาระบบสมการเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน

ก 1 เอ็กซ์ 1 + ก 2 เอ็กซ์ 2 + ก 3 เอ็กซ์ 3 + ก 4 เอ็กซ์ 4 + ก 5 เอ็กซ์ 5 = 0

หรือในรูปแบบขยาย

เราจะแก้ระบบนี้ด้วยวิธีเกาส์เซียน โดยไม่ต้องสลับแถวและคอลัมน์ และนอกจากนั้น เรายังเลือก องค์ประกอบหลักไม่ใช่ที่มุมซ้ายบน แต่ตลอดทั้งเส้น ความท้าทายคือการ เลือกส่วนทแยงของระบบเวกเตอร์ที่ถูกแปลง.

~ ~

~ ~ ~ .

ระบบเวกเตอร์ที่อนุญาตซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิมนั้นมีรูปแบบ

ก 1 1 เอ็กซ์ 1 + ก 2 1 เอ็กซ์ 2 + ก 3 1 เอ็กซ์ 3 + ก 4 1 เอ็กซ์ 4 + ก 5 1 เอ็กซ์ 5 = 0 ,

ที่ไหน ก 1 1 = , ก 2 1 = , ก 3 1 = , ก 4 1 = , ก 5 1 = . (1)

เวกเตอร์ ก 1 1 , ก 3 1 , ก 4 1 สร้างระบบแนวทแยง ดังนั้นเวกเตอร์ ก 1 , ก 3 , ก 4 เป็นพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ ก 1 , ก 2 , ก 3 , ก 4 , ก 5 .

ทีนี้ลองขยายเวกเตอร์ดู ก 2 และ ก 5 บนพื้นฐาน ก 1 , ก 3 , ก 4. เมื่อต้องการทำสิ่งนี้ อันดับแรกเราขยายเวกเตอร์ที่เกี่ยวข้องกันก่อน ก 2 1 และ ก 5 1 ระบบแนวทแยง ก 1 1 , ก 3 1 , ก 4 1 โดยคำนึงว่าค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวของเวกเตอร์ตามระบบเส้นทแยงมุมคือพิกัดของมัน x ฉัน.

จาก (1) เรามี:

ก 2 1 = ก 3 1 · (-1) + ก 4 1 0 + ก 1 1 ·1 => ก 2 1 = ก 1 1 – ก 3 1 .

ก 5 1 = ก 3 1 0 + ก 4 1 1 + ก 1 1 ·2 => ก 5 1 = 2ก 1 1 + ก 4 1 .

เวกเตอร์ ก 2 และ ก 5 ขยายตามพื้นฐาน ก 1 , ก 3 , ก 4 ที่มีค่าสัมประสิทธิ์เดียวกันกับเวกเตอร์ ก 2 1 และ ก 5 1 ระบบแนวทแยง ก 1 1 , ก 3 1 , ก 4 1 (ค่าสัมประสิทธิ์เหล่านั้น x ฉัน- เพราะฉะนั้น,

ก 2 = ก 1 – ก 3 , ก 5 = 2ก 1 + ก 4 .

การมอบหมายงาน 1. ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์และเวกเตอร์ที่ไม่รวมอยู่ในพื้นฐาน ขยายตามพื้นฐาน:

1. ก 1 = { 1, 2, 1 }, ก 2 = { 2, 1, 3 }, ก 3 = { 1, 5, 0 }, ก 4 = { 2, -2, 4 }.

2. ก 1 = { 1, 1, 2 }, ก 2 = { 0, 1, 2 }, ก 3 = { 2, 1, -4 }, ก 4 = { 1, 1, 0 }.

3. ก 1 = { 1, -2, 3 }, ก 2 = { 0, 1, -1 }, ก 3 = { 1, 3, 0 }, ก 4 = { 0, -7, 3 }, ก 5 = { 1, 1, 1 }.

4. ก 1 = { 1, 2, -2 }, ก 2 = { 0, -1, 4 }, ก 3 = { 2, -3, 3 }.

2. ค้นหาฐานทั้งหมดของระบบเวกเตอร์:

1. ก 1 = { 1, 1, 2 }, ก 2 = { 3, 1, 2 }, ก 3 = { 1, 2, 1 }, ก 4 = { 2, 1, 2 }.

2. ก 1 = { 1, 1, 1 }, ก 2 = { -3, -5, 5 }, ก 3 = { 3, 4, -1 }, ก 4 = { 1, -1, 4 }.

การแสดงออกของแบบฟอร์ม เรียกว่า ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ ก 1 , 2 ,...,นด้วยอัตราต่อรอง แล 1, แล 2 ,..., แลม.

การหาค่าการพึ่งพาเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

ระบบเวกเตอร์ ก 1 , 2 ,...,นเรียกว่า ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น, หากมีชุดตัวเลขที่ไม่เป็นศูนย์ แล 1, แล 2 ,..., แลม, ซึ่งผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ แล 1 *A 1 +แล 2 *A 2 +...+แล n *A nเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์นั่นคือระบบสมการ: มีวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์
ชุดตัวเลข แล 1, แล 2 ,..., แลม ไม่เป็นศูนย์หากมีตัวเลขอย่างน้อยหนึ่งตัว แล 1, แล 2 ,..., แลม แตกต่างจากศูนย์

การหาค่าความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์

ระบบเวกเตอร์ ก 1 , 2 ,...,นเรียกว่า เป็นอิสระเชิงเส้นถ้าผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านี้ แล 1 *A 1 +แล 2 *A 2 +...+แล n *A nเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์สำหรับชุดตัวเลขศูนย์เท่านั้น แล 1, แล 2 ,..., แลม นั่นคือระบบสมการ: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θมีวิธีแก้ปัญหาเป็นศูนย์ที่ไม่เหมือนใคร

ตัวอย่างที่ 29.1

ตรวจสอบว่าระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรงหรือไม่

สารละลาย:

1. เราเขียนระบบสมการ:

2. เราแก้มันโดยใช้วิธีเกาส์- การแปลงระบบ Jordanano แสดงไว้ในตารางที่ 29.1 เมื่อคำนวณ ทางด้านขวามือของระบบจะไม่ถูกเขียนลงไป เนื่องจากมีค่าเท่ากับศูนย์ และไม่เปลี่ยนแปลงระหว่างการแปลงของจอร์แดน

3. จากสามแถวสุดท้ายของตาราง เขียนระบบที่แก้ไขแล้วซึ่งเทียบเท่ากับระบบดั้งเดิมระบบ:

4. เราได้รับ วิธีแก้ปัญหาทั่วไประบบ:

5. เมื่อตั้งค่าของตัวแปรอิสระ x 3 =1 ตามดุลยพินิจของคุณ เราได้รับวิธีแก้ปัญหาที่ไม่เป็นศูนย์โดยเฉพาะ X=(-3,2,1)

คำตอบ: ดังนั้น สำหรับชุดตัวเลขที่ไม่ใช่ศูนย์ (-3,2,1) ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์จะเท่ากับเวกเตอร์ศูนย์ -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ เพราะฉะนั้น, ระบบเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้น.

คุณสมบัติของระบบเวกเตอร์

ทรัพย์สิน (1)
ถ้าระบบของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเส้นตรง แล้วเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวจะถูกขยายในแง่ของเวกเตอร์อื่นๆ และในทางกลับกัน ถ้าเวกเตอร์ของระบบอย่างน้อยหนึ่งตัวถูกขยายในแง่ของเวกเตอร์อื่นๆ แล้วระบบของเวกเตอร์ จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ทรัพย์สิน (2)
หากระบบย่อยของเวกเตอร์ขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง ระบบทั้งหมดก็จะขึ้นต่อเชิงเส้นด้วย

ทรัพย์สิน (3)
ถ้าระบบเวกเตอร์เป็นอิสระเชิงเส้น ระบบย่อยใดๆ ของมันก็จะเป็นอิสระเชิงเส้นตรง

ทรัพย์สิน (4)
ระบบเวกเตอร์ใดๆ ที่มีเวกเตอร์เป็นศูนย์จะขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง

ทรัพย์สิน (5)
ระบบของเวกเตอร์มิติ m จะขึ้นอยู่กับจำนวนเวกเตอร์ n มากกว่ามิติของมัน (n>m)

พื้นฐานของระบบเวกเตอร์

พื้นฐานของระบบเวกเตอร์ A 1 , A 2 ,..., A n ระบบย่อย B 1 , B 2 ,...,B r เรียกว่า(เวกเตอร์แต่ละตัว B 1,B 2,...,B r เป็นหนึ่งในเวกเตอร์ A 1, A 2,..., A n) ซึ่งตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้:
1. บี 1 ,บี 2 ,...,บี อาร์ระบบเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น
2. เวกเตอร์ใดๆเอเจ ระบบ A 1 , A 2 ,..., A n แสดงเป็นเส้นตรงผ่านเวกเตอร์ B 1 , B 2 ,..., B r

ร— จำนวนเวกเตอร์ที่รวมอยู่ในฐาน

ทฤษฎีบท 29.1 บนพื้นฐานหน่วยของระบบเวกเตอร์

หากระบบของเวกเตอร์มิติ m มีเวกเตอร์หน่วยต่างกัน m E 1 E 2 ,..., E m แล้วเวกเตอร์เหล่านั้นจะสร้างพื้นฐานของระบบ

อัลกอริทึมในการค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์

เพื่อที่จะค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ A 1 ,A 2 ,...,A n จำเป็น:

• สร้างระบบสมการเอกพันธ์ที่สอดคล้องกับระบบเวกเตอร์ A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• นำระบบนี้มา.

บรรยายเรื่องพีชคณิตและเรขาคณิต ภาคเรียนที่ 1

การบรรยายครั้งที่ 9 พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

สรุป: ระบบเวกเตอร์ ผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ สัมประสิทธิ์ผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ พื้นฐานบนเส้น ระนาบและในปริภูมิ มิติของปริภูมิเวกเตอร์บนเส้น ระนาบและในปริภูมิ การสลายตัวของ เวกเตอร์ตามฐาน พิกัดของเวกเตอร์สัมพันธ์กับฐาน ทฤษฎีความเท่าเทียมกัน เวกเตอร์สองตัว การดำเนินการเชิงเส้นกับเวกเตอร์ใน แบบฟอร์มประสานงานสัญกรณ์ ทริปเปิลออร์โธนอร์มอลของเวกเตอร์ ทริปเปิลทางขวาและซ้ายของเวกเตอร์ พื้นฐานออร์โธนอร์มอล ทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิตเวกเตอร์

บทที่ 9 พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์และการสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

ข้อ 1. บนพื้นฐานเส้นตรง บนเครื่องบิน และในอวกาศ

คำนิยาม. เซตจำกัดของเวกเตอร์ใดๆ เรียกว่าระบบเวกเตอร์

คำนิยาม. การแสดงออกที่ไหน
เรียกว่าผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์
และตัวเลข
เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของผลรวมเชิงเส้นนี้

ให้ L, P และ S เป็นเส้นตรง ระนาบ และปริภูมิของจุด ตามลำดับ และ
- แล้ว
– ปริภูมิเวกเตอร์ของเวกเตอร์เป็นส่วนกำกับบนเส้นตรง L บนระนาบ P และในปริภูมิ S ตามลำดับ

เวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ จะถูกเรียก
, เช่น. เส้นตรงเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์ใดๆ ที่เส้นตรง L:
และ
.

การกำหนดพื้นฐาน
:
– พื้นฐาน
.

คำนิยาม. พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์
คือคู่ลำดับของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่คอลลิเนียร์ในอวกาศ
.

, ที่ไหน
,
– พื้นฐาน
.

คำนิยาม. พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์
คือเวกเตอร์ที่ไม่อยู่ในระนาบเดียวกันที่มีการเรียงลำดับสามเท่า (นั่นคือ ไม่อยู่ในระนาบเดียวกัน)
.

– พื้นฐาน
.

ความคิดเห็น พื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ต้องไม่มีเวกเตอร์เป็นศูนย์: ในปริภูมิ
ตามคำนิยามในอวกาศ
เวกเตอร์สองตัวจะเรียงกันถ้าในอวกาศอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์
เวกเตอร์สามตัวจะเป็นระนาบเดียวกัน นั่นคือ พวกมันจะอยู่ในระนาบเดียวกัน ถ้าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งในสามตัวเป็นศูนย์

ข้อ 2. การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน

คำนิยาม. อนุญาต – เวกเตอร์โดยพลการ
– ระบบโดยพลการเวกเตอร์ หากมีความเท่าเทียมกัน

แล้วเขาบอกว่าเวกเตอร์ นำเสนอเป็นผลรวมเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ที่กำหนด ถ้าเป็นระบบเวกเตอร์ที่กำหนด
เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ จากนั้นความเท่าเทียมกัน (1) เรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
- ค่าสัมประสิทธิ์การรวมเชิงเส้น
ในกรณีนี้เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
.

ทฤษฎีบท. (เกี่ยวกับการสลายตัวของเวกเตอร์เทียบกับพื้นฐาน)

เวกเตอร์ใดๆ ของปริภูมิเวกเตอร์สามารถขยายเป็นฐานของมันได้ และยิ่งไปกว่านั้น ด้วยวิธีที่ไม่เหมือนใคร

การพิสูจน์. 1) ให้ L เป็นเส้นตรง (หรือแกน) ตามอำเภอใจ และ
– พื้นฐาน
- ลองหาเวกเตอร์ใดๆ กัน
- เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งสอง และ collinear ไปยังเส้นเดียวกัน L แล้ว
- ขอให้เราใช้ทฤษฎีบทเกี่ยวกับความเป็นเชิงเส้นของเวกเตอร์สองตัว เพราะ
ก็จะมี(อยู่)จำนวนดังกล่าว
, อะไร
และด้วยเหตุนี้เราจึงได้รับการสลายตัวของเวกเตอร์ ตามพื้นฐาน
พื้นที่เวกเตอร์
.

ตอนนี้ให้เราพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของการสลายตัวดังกล่าว สมมติว่าตรงกันข้าม ปล่อยให้เวกเตอร์มีการสลายตัวสองครั้ง ตามพื้นฐาน
พื้นที่เวกเตอร์
:

และ
, ที่ไหน
- แล้ว
และเมื่อใช้กฎการกระจาย เราจะได้:

เพราะ
จากนั้นจากความเท่าเทียมกันครั้งล่าสุดจะเป็นไปตามนั้น
ฯลฯ

2) ให้ P เป็นระนาบใดก็ได้ และ
– พื้นฐาน
- อนุญาต
เวกเตอร์ใดๆ ของระนาบนี้ ให้เราพลอตเวกเตอร์ทั้งสามตัวจากจุดใดจุดหนึ่งของระนาบนี้ มาสร้างเส้นตรง 4 เส้นกัน มาทำไดเร็กกันเถอะ ซึ่งมีเวกเตอร์อยู่ , ตรง
ซึ่งมีเวกเตอร์อยู่ - ไปจนถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ วาดเส้นตรงขนานกับเวกเตอร์ และเส้นตรงที่ขนานกับเวกเตอร์ - เส้นตรงทั้ง 4 เส้นนี้สร้างเป็นรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ดูด้านล่างรูป 3. ตามกฎรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน
, และ
,
,
– พื้นฐาน ,
– พื้นฐาน
.

ทีนี้ตามที่พิสูจน์แล้วในส่วนแรกของข้อพิสูจน์นี้ก็มีตัวเลขดังกล่าวอยู่
, อะไร

และ
- จากที่นี่เราได้รับ:

และความเป็นไปได้ในการขยายฐานได้รับการพิสูจน์แล้ว

ตอนนี้เราได้พิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของการขยายตัวในแง่ของพื้นฐานแล้ว สมมติว่าตรงกันข้าม ปล่อยให้เวกเตอร์มีการสลายตัวสองครั้ง ตามพื้นฐาน
พื้นที่เวกเตอร์
:
และ
- เราได้รับความเท่าเทียมกัน

มันมาจากไหน?
- ถ้า
, ที่
และเพราะว่า
, ที่
และค่าสัมประสิทธิ์การขยายตัวเท่ากัน:
,
- ปล่อยให้มันตอนนี้
- แล้ว
, ที่ไหน
- ตามทฤษฎีบทเรื่องความสัมพันธ์เชิงเส้นของเวกเตอร์สองตัว มันจะเป็นไปตามนั้น
- เราได้รับความขัดแย้งกับเงื่อนไขของทฤษฎีบท เพราะฉะนั้น,
และ
ฯลฯ

3) เอาล่ะ
– พื้นฐาน
และปล่อยให้
เวกเตอร์โดยพลการ ให้เราดำเนินการก่อสร้างต่อไปนี้

ให้เราแยกเวกเตอร์พื้นฐานทั้งสามตัวออกไป
และเวกเตอร์ จากจุดหนึ่งและสร้างระนาบ 6 ระนาบ: ระนาบซึ่งมีเวกเตอร์พื้นฐานอยู่
, เครื่องบิน
และเครื่องบิน
- ต่อไปจนถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ ลองวาดระนาบสามลำขนานกับระนาบทั้งสามที่เพิ่งสร้างขึ้น ระนาบทั้ง 6 เหล่านี้แกะสลักเป็นรูปขนาน:

เมื่อใช้กฎในการบวกเวกเตอร์ เราจะได้ความเท่าเทียมกัน:

. (1)

โดยการก่อสร้าง
- จากตรงนี้ ตามทฤษฎีบทเรื่องความเป็นเชิงเส้นของเวกเตอร์สองตัว จะเป็นไปตามว่ามีจำนวนหนึ่ง
เช่นนั้น
- เช่นเดียวกัน,
และ
, ที่ไหน
- ทีนี้ เมื่อแทนความเท่าเทียมกันเหล่านี้ลงใน (1) เราจะได้:

และความเป็นไปได้ในการขยายฐานได้รับการพิสูจน์แล้ว

ให้เราพิสูจน์ความเป็นเอกลักษณ์ของการสลายตัวดังกล่าว สมมติว่าตรงกันข้าม ปล่อยให้เวกเตอร์มีการสลายตัวสองครั้ง ตามพื้นฐาน
:

และ . แล้ว

โปรดทราบว่าตามเงื่อนไขของเวกเตอร์
ไม่ใช่โคพลานาร์ ดังนั้นจึงไม่ใช่คอลลิเนียร์แบบคู่

มีสองกรณีที่เป็นไปได้:
หรือ
.

ก) เอาล่ะ
จากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (3) จะเป็นดังนี้:

. (4)

จากความเท่าเทียมกัน (4) มันจะเป็นไปตามเวกเตอร์ ขยายออกไปตามพื้นฐาน
, เช่น. เวกเตอร์ อยู่ในระนาบเวกเตอร์
และด้วยเหตุนี้เวกเตอร์
coplanar ซึ่งขัดแย้งกับเงื่อนไข

b) ยังมีกรณีอยู่
, เช่น.
- จากนั้นเราได้รับหรือจากความเท่าเทียมกัน (3)

เพราะ
เป็นพื้นฐานของปริภูมิของเวกเตอร์ที่วางอยู่บนระนาบและเราได้พิสูจน์เอกลักษณ์ของการขยายตัวบนพื้นฐานของเวกเตอร์ของระนาบแล้วจากนั้นจากความเท่าเทียมกัน (5) จึงตามมาว่า
และ
ฯลฯ

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ผลที่ตามมา

1) มีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์
และเซตของจำนวนจริง R

2) มีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์
และจตุรัสคาร์ทีเซียน

3) มีการติดต่อกันแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างเซตของเวกเตอร์ในปริภูมิเวกเตอร์
และลูกบาศก์คาร์ทีเซียน
เซตของจำนวนจริง R

การพิสูจน์. ให้เราพิสูจน์ข้อความที่สาม สองข้อแรกได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

เลือกและแก้ไขในพื้นที่
พื้นฐานบางอย่าง
และจัดวางจอแสดงผล
ตามกฎต่อไปนี้:

เหล่านั้น. สำหรับเวกเตอร์แต่ละตัว เราเชื่อมโยงชุดพิกัดที่เรียงลำดับกัน

เนื่องจากด้วยพื้นฐานคงที่ เวกเตอร์แต่ละตัวมีพิกัดชุดเดียว ความสอดคล้องที่ระบุตามกฎ (6) จึงถือเป็นการแมปอย่างแท้จริง

จากการพิสูจน์ทฤษฎีบทจะเป็นไปตามว่าเวกเตอร์ที่ต่างกันมีพิกัดที่แตกต่างกันโดยสัมพันธ์กับพื้นฐานเดียวกัน กล่าวคือ การทำแผนที่ (6) เป็นการฉีด

อนุญาต
ชุดของจำนวนจริงที่เรียงลำดับตามใจชอบ

พิจารณาเวกเตอร์
- จากการก่อสร้าง เวกเตอร์นี้มีพิกัด
- ดังนั้น การทำแผนที่ (6) จึงเป็นการผ่าตัด

การทำแผนที่ที่เป็นทั้งแบบ injective และ surjective นั้นเป็นแบบ bijective กล่าวคือ หนึ่งต่อหนึ่ง ฯลฯ

การสอบสวนได้รับการพิสูจน์แล้ว

ทฤษฎีบท. (ความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์สองตัว)

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันก็ต่อเมื่อพิกัดของพวกมันสัมพันธ์กับฐานเดียวกันเท่ากัน

หลักฐานตามมาทันทีจากข้อพิสูจน์ครั้งก่อน

ข้อ 3 มิติของปริภูมิเวกเตอร์

คำนิยาม. จำนวนเวกเตอร์บนพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์เรียกว่ามิติของมัน

การกำหนด:
– มิติของปริภูมิเวกเตอร์ V

ดังนั้นตามคำจำกัดความนี้และก่อนหน้านี้ เรามี:

1)
– สเปซเวกเตอร์ของเวกเตอร์ของเส้น L

– พื้นฐาน
,
,
,
– การสลายตัวของเวกเตอร์
ตามพื้นฐาน
,
– พิกัดเวกเตอร์ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
.

2)
– สเปซเวกเตอร์ของเวกเตอร์ของระนาบ R

– พื้นฐาน
,
,
,
– การสลายตัวของเวกเตอร์
ตามพื้นฐาน
,
– พิกัดเวกเตอร์ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
.

3)
– สเปซเวกเตอร์ของเวกเตอร์ในปริภูมิของจุด S

– พื้นฐาน
,
,
– การสลายตัวของเวกเตอร์
ตามพื้นฐาน
,
– พิกัดเวกเตอร์ สัมพันธ์กับพื้นฐาน
.

ความคิดเห็น ถ้า
, ที่
และคุณสามารถเลือกพื้นฐานได้
ช่องว่าง
ดังนั้น
– พื้นฐาน
และ
– พื้นฐาน
- แล้ว
, และ
, .

ดังนั้น เวกเตอร์ใดๆ ของเส้นตรง L ระนาบ P และปริภูมิ S สามารถขยายได้ตามพื้นฐาน
:

การกำหนด อาศัยทฤษฎีบทเรื่องความเท่าเทียมกันของเวกเตอร์ เราสามารถระบุเวกเตอร์ใด ๆ ที่มีจำนวนจริงเรียงลำดับเป็นสามเท่าแล้วเขียน:

สิ่งนี้เป็นไปได้หากเป็นพื้นฐานเท่านั้น
แก้ไขแล้วและไม่มีอันตรายจากการพันกัน

คำนิยาม. การเขียนเวกเตอร์ในรูปแบบของจำนวนจริงลำดับสามเรียกว่ารูปแบบพิกัดในการเขียนเวกเตอร์:
.

ข้อ 4. การดำเนินการเชิงเส้นด้วยเวกเตอร์ในรูปแบบพิกัด

อนุญาต
– พื้นฐานของพื้นที่
และ
คือเวกเตอร์อิสระสองตัวของมัน อนุญาต
และ
– การบันทึกเวกเตอร์เหล่านี้ในรูปแบบพิกัด ให้ต่อไป
– โดยพลการ จำนวนจริง- การใช้สัญกรณ์นี้จะมีทฤษฎีบทต่อไปนี้

ทฤษฎีบท. (เกี่ยวกับการดำเนินการเชิงเส้นโดยมีเวกเตอร์ในรูปแบบพิกัด)

2)
.

กล่าวอีกนัยหนึ่ง เพื่อที่จะเพิ่มเวกเตอร์สองตัว คุณต้องเพิ่มพิกัดที่สอดคล้องกันของพวกมัน และในการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข คุณจะต้องคูณแต่ละพิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดด้วยตัวเลขที่กำหนด

การพิสูจน์. เนื่องจากตามเงื่อนไขของทฤษฎีบท จากนั้นใช้สัจพจน์ของปริภูมิเวกเตอร์ซึ่งควบคุมการดำเนินการของการบวกเวกเตอร์และการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขเราจึงได้:

มันตามมาจากที่นี่

ความเท่าเทียมกันประการที่สองได้รับการพิสูจน์ในลักษณะเดียวกัน

ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว

ข้อ 5. เวกเตอร์ตั้งฉาก พื้นฐานออร์โธนอร์มอล

คำนิยาม. เวกเตอร์สองตัวถูกเรียกว่ามุมฉากหากมุมระหว่างพวกมันเท่ากับมุมฉากนั่นคือ
.

การกำหนด:
– เวกเตอร์ และ ตั้งฉาก

คำนิยาม. ทรอยกาของเวกเตอร์
เรียกว่ามุมฉากถ้าเวกเตอร์เหล่านี้ตั้งฉากกันเป็นคู่เช่น
,
.

คำนิยาม. ทรอยกาของเวกเตอร์
เรียกว่า orthonormal ถ้ามันเป็น orthogonal และความยาวของเวกเตอร์ทั้งหมดเท่ากับ 1:
.

ความคิดเห็น จากคำจำกัดความ จะเป็นไปตามว่าเวกเตอร์สามเท่าตั้งฉากและดังนั้นเวกเตอร์ออร์โธปกติไม่ใช่โคระนาบ

คำนิยาม. สั่งซื้อทริปเล็ตเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคพลานาร์
พล็อตจากจุดหนึ่งเรียกว่า ขวา (เชิงขวา) หากสังเกตจากจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์ที่สาม ไปยังระนาบที่เวกเตอร์สองตัวแรกอยู่ และ , การหมุนที่สั้นที่สุดของเวกเตอร์แรก ถึงวินาที เกิดขึ้นทวนเข็มนาฬิกา มิฉะนั้น เรียกว่าเวกเตอร์สามเท่าทางซ้าย (ทางซ้าย)

ที่นี่ในรูปที่ 6 เวกเตอร์สามตัวทางด้านขวาจะแสดงขึ้น
- รูปที่ 7 ต่อไปนี้แสดงเวกเตอร์สามตัวทางซ้าย
:

คำนิยาม. พื้นฐาน
พื้นที่เวกเตอร์
เรียกว่า ออร์โธนอร์มอล ถ้า
เวกเตอร์สามเท่าของ orthonormal

การกำหนด ต่อไปนี้เราจะใช้พื้นฐานออร์โธนอร์มอลที่ถูกต้อง
ดูรูปต่อไปนี้

ในบทความเกี่ยวกับเวกเตอร์ n มิติ เรามาถึงแนวคิดนี้ พื้นที่เชิงเส้นสร้างโดยเซตของเวกเตอร์ n มิติ ตอนนี้เราต้องพิจารณาแนวคิดที่สำคัญไม่แพ้กัน เช่น มิติและพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ พวกมันเกี่ยวข้องโดยตรงกับแนวคิดของระบบเวกเตอร์เชิงเส้นตรงดังนั้นจึงแนะนำให้เตือนตัวเองเพิ่มเติมเกี่ยวกับพื้นฐานของหัวข้อนี้

ให้เราแนะนำคำจำกัดความบางอย่าง

คำจำกัดความ 1

มิติของปริภูมิเวกเตอร์– ตัวเลขที่สอดคล้องกับจำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดในปริภูมินี้

คำจำกัดความ 2

พื้นฐานปริภูมิเวกเตอร์– เซตของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้น เรียงลำดับและมีจำนวนเท่ากับมิติของปริภูมิ

ลองพิจารณาปริภูมิหนึ่งของ n -เวกเตอร์ มิติของมันเท่ากับ n ตามลำดับ ลองใช้ระบบเวกเตอร์ n หน่วย:

อี (1) = (1, 0, . . . 0) อี (2) = (0, 1, . . , 0) อี (น) = (0, 0, . . , 1)

เราใช้เวกเตอร์เหล่านี้เป็นส่วนประกอบของเมทริกซ์ A: มันจะเป็นหน่วยที่มีมิติ n คูณ n อันดับของเมทริกซ์นี้คือ n ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ e (1) , e (2) , . - - , e(n) มีความเป็นอิสระเชิงเส้น ในกรณีนี้ เป็นไปไม่ได้ที่จะเพิ่มเวกเตอร์ตัวเดียวเข้าสู่ระบบโดยไม่ละเมิดความเป็นอิสระเชิงเส้นของมัน

เนื่องจากจำนวนเวกเตอร์ในระบบคือ n ดังนั้น มิติของปริภูมิของเวกเตอร์ n มิติจึงเป็น n และเวกเตอร์หน่วยคือ e (1), e (2), - - , e (n) เป็นพื้นฐานของช่องว่างที่ระบุ

จากคำจำกัดความผลลัพธ์ เราสามารถสรุปได้ว่า: ระบบใดๆ ของเวกเตอร์ n มิติที่จำนวนเวกเตอร์น้อยกว่า n ไม่ใช่พื้นฐานของปริภูมิ

หากเราสลับเวกเตอร์ตัวแรกและตัวที่สอง เราจะได้ระบบเวกเตอร์ e (2) , e (1) , . - - , อี (น) . มันจะยังเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติด้วย มาสร้างเมทริกซ์โดยนำเวกเตอร์ของระบบผลลัพธ์มาเป็นแถวกัน เมทริกซ์สามารถรับได้จากเมทริกซ์เอกลักษณ์โดยการสลับสองแถวแรก อันดับของมันจะเป็น n ระบบ อี (2) , อี (1) , . - - , e(n) มีความเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ

โดยการจัดเรียงเวกเตอร์อื่นๆ ในระบบเดิม เราจะได้พื้นฐานอีกอย่างหนึ่ง

เราสามารถใช้ระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ที่ไม่ใช่หน่วย และมันจะแทนพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติด้วย

คำจำกัดความ 3

ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีมิติ n มีฐานมากพอๆ กับการมีระบบอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์มิติ n ของจำนวน n

ระนาบเป็นปริภูมิสองมิติ - พื้นฐานของมันจะเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่เส้นตรงสองตัว พื้นฐานของปริภูมิสามมิติจะเป็นเวกเตอร์ที่ไม่ใช่โคระนาบสามตัวใดๆ

ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีนี้โดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 1

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก = (3 , - 2 , 1) ข = (2 , 1 , 2) ค = (3 , - 1 , - 2)

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าเวกเตอร์ที่ระบุเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สามมิติหรือไม่

สารละลาย

เพื่อแก้ไขปัญหา เราตรวจสอบ ระบบที่กำหนดเวกเตอร์ให้เป็นความสัมพันธ์เชิงเส้น มาสร้างเมทริกซ์กัน โดยที่แถวเป็นพิกัดของเวกเตอร์ เรามากำหนดอันดับของเมทริกซ์กันดีกว่า

ก = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 ก = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

ดังนั้นเวกเตอร์ที่ระบุโดยเงื่อนไขของปัญหาจึงมีความเป็นอิสระเชิงเส้น และจำนวนเวกเตอร์จะเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ - เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

คำตอบ:เวกเตอร์ที่ระบุเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์

ตัวอย่างที่ 2

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) ค = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

มีความจำเป็นต้องพิจารณาว่าระบบเวกเตอร์ที่ระบุสามารถเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติได้หรือไม่

สารละลาย

ระบบเวกเตอร์ที่ระบุในคำสั่งปัญหานั้นขึ้นอยู่กับเชิงเส้นตรง เนื่องจาก จำนวนเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นสูงสุดคือ 3 ดังนั้น ระบบเวกเตอร์ที่ระบุจึงไม่สามารถใช้เป็นพื้นฐานสำหรับปริภูมิเวกเตอร์สามมิติได้ แต่เป็นที่น่าสังเกตว่าระบบย่อยของระบบดั้งเดิม a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) เป็นพื้นฐาน

คำตอบ:ระบบเวกเตอร์ที่ระบุไม่ใช่พื้นฐาน

ตัวอย่างที่ 3

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก = (1, 2, 3, 3) ข = (2, 5, 6, 8) ค = (1, 3, 2, 4) ง = (2, 5, 4, 7)

พวกมันสามารถเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติได้หรือไม่?

สารละลาย

เรามาสร้างเมทริกซ์โดยใช้พิกัดของเวกเตอร์ที่กำหนดเป็นแถวกันดีกว่า

ก = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

เมื่อใช้วิธีเกาส์เซียน เราจะกำหนดอันดับของเมทริกซ์:

ก = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ที่กำหนดจึงเป็นอิสระเชิงเส้น และจำนวนของเวกเตอร์นั้นเท่ากับมิติของปริภูมิเวกเตอร์ - พวกมันเป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์สี่มิติ

คำตอบ:เวกเตอร์ที่กำหนดเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติ

ตัวอย่างที่ 4

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์

ก (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) ก (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) ก (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

พวกมันสร้างพื้นฐานของปริภูมิมิติ 4 หรือไม่?

สารละลาย

ระบบเวกเตอร์ดั้งเดิมมีความเป็นอิสระเชิงเส้น แต่จำนวนเวกเตอร์ในนั้นไม่เพียงพอที่จะกลายเป็นพื้นฐานของปริภูมิสี่มิติ

คำตอบ:ไม่ พวกเขาไม่ได้ทำ

การสลายตัวของเวกเตอร์ให้เป็นพื้นฐาน

ให้เราสมมติว่าเวกเตอร์ที่กำหนดเอง e (1) , e (2) , . - - , e (n) เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ ลองเพิ่มเวกเตอร์ n มิติ x →: ระบบผลลัพธ์ของเวกเตอร์จะกลายเป็นเส้นตรง คุณสมบัติของการพึ่งพาเชิงเส้นระบุว่าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวของระบบดังกล่าวสามารถแสดงเชิงเส้นตรงผ่านเวกเตอร์อื่นได้ การปรับเปลี่ยนข้อความนี้ใหม่ เราสามารถพูดได้ว่าเวกเตอร์อย่างน้อยหนึ่งตัวของระบบที่ขึ้นต่อเชิงเส้นสามารถขยายเป็นเวกเตอร์ที่เหลือได้

ดังนั้นเราจึงมาถึงการกำหนดทฤษฎีบทที่สำคัญที่สุด:

คำจำกัดความที่ 4

เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติสามารถแยกย่อยเป็นฐานได้โดยไม่ซ้ำกัน

หลักฐานที่ 1

มาพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้กัน:

มากำหนดพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ - e (1) , e (2) , . - - , อี (น) . มาทำให้ระบบขึ้นอยู่กับเชิงเส้นโดยการเพิ่มเวกเตอร์ n มิติ x → เข้าไป เวกเตอร์นี้สามารถแสดงเป็นเส้นตรงในรูปของเวกเตอร์ดั้งเดิม e:

x = x 1 · อี (1) + x 2 · อี (2) + . - - + xn · e (n) โดยที่ x 1 , x 2 , . - - , xn - ตัวเลขบางตัว

ตอนนี้เราได้พิสูจน์ว่าการสลายตัวดังกล่าวมีลักษณะเฉพาะ สมมติว่าไม่เป็นเช่นนั้นและมีการสลายตัวที่คล้ายกันอีกอย่างหนึ่ง:

x = x ~ 1 อี (1) + x 2 ~ อี (2) + . - - + x ~ n e (n) โดยที่ x ~ 1 , x ~ 2 , . - - , x ~ n - ตัวเลขบางตัว

ให้เราลบออกจากด้านซ้ายและด้านขวาของความเท่าเทียมกันนี้ ตามลำดับ ด้านซ้ายและขวาของความเท่าเทียมกัน x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . - - + xn · อี (n) . เราได้รับ:

0 = (x ~ 1 - x 1) · อี (1) + (x ~ 2 - x 2) · อี (2) + . - - (x ~ n - xn) จ (2)

ระบบเวกเตอร์พื้นฐาน e (1) , e (2) , . - - , e(n) เป็นอิสระเชิงเส้น; ตามคำจำกัดความของความเป็นอิสระเชิงเส้นของระบบเวกเตอร์ ความเท่าเทียมกันข้างต้นจะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อสัมประสิทธิ์ทั้งหมดคือ (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . - - , (x ~ n - xn) จะเท่ากับศูนย์ ซึ่งมันจะยุติธรรม: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . - - , x n = x ~ n . และนี่เป็นการพิสูจน์ทางเลือกเดียวในการแยกเวกเตอร์ให้เป็นฐาน

ในกรณีนี้สัมประสิทธิ์ x 1, x 2, . - - , x n เรียกว่าพิกัดของเวกเตอร์ x → ในรูปแบบพื้นฐาน e (1) , e (2) , . - - , อี (น) .

ทฤษฎีที่ได้รับการพิสูจน์แล้วทำให้นิพจน์ "ที่กำหนดเป็นเวกเตอร์ n มิติ x = (x 1 , x 2 , . . . , xn)" มีการพิจารณาเวกเตอร์ x → ปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ และพิกัดของเวกเตอร์ถูกระบุใน พื้นฐานที่แน่นอน เป็นที่ชัดเจนว่าเวกเตอร์เดียวกันในอีกฐานหนึ่งของปริภูมิ n มิติจะมีพิกัดต่างกัน

ลองพิจารณาตัวอย่างต่อไปนี้ สมมติว่าในบางพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ ระบบของเวกเตอร์อิสระเชิงเส้นจำนวน n ตัวถูกให้มา

และเวกเตอร์ x = (x 1 , x 2 , . . . , x n) จะได้รับ

เวกเตอร์ อี 1 (1) , อี 2 (2) , . - - , e n (n) ในกรณีนี้ก็เป็นพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์นี้เช่นกัน

สมมติว่ามีความจำเป็นต้องกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ x → บนพื้นฐานของ e 1 (1) , e 2 (2) , . - - , e n (n) , แสดงเป็น x ~ 1 , x ~ 2 , . - - , x ~ น.

เวกเตอร์ x → จะแสดงดังนี้:

x = x ~ 1 อี (1) + x ~ 2 อี (2) + . - - + x ~ n อี (n)

ลองเขียนนิพจน์นี้ในรูปแบบพิกัด:

(x 1 , x 2 , . . . , xn) = x ~ 1 (จ (1) 1 , จ (1) 2 , . . , จ (1) n) + x ~ 2 (จ (2 ) 1 , อี (2) 2 , . - - + + x ~ n · (อี (เอ็น) 1 , อี (n) 2 , . . . , อี (n) n) = = (x ~ 1 อี 1 (1) + x ~ 2 อี 1 (2) + . . + x ~ n e 2 (n) , . n (1) + x ~ 2 e n (2) + .

ความเท่าเทียมกันที่เกิดขึ้นนั้นเทียบเท่ากับระบบของนิพจน์พีชคณิตเชิงเส้น n รายการที่มีตัวแปรเชิงเส้นที่ไม่รู้จัก n ตัว x ~ 1, x ~ 2, - - , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 อี 1 1 + x ~ 2 อี 1 2 + . - - + x ~ n อี 1 n x 2 = x ~ 1 อี 2 1 + x ~ 2 อี 2 2 + . - - + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 en 1 + x ~ 2 en 2 + . - - + x ~ ไม่มี

เมทริกซ์ของระบบนี้จะมีรูปแบบดังต่อไปนี้:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

ให้นี่คือเมทริกซ์ A และคอลัมน์ของมันคือเวกเตอร์ของระบบเวกเตอร์เชิงเส้นตรงของเวกเตอร์ e 1 (1), e 2 (2), . - - , และ (n) . อันดับของเมทริกซ์คือ n และดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ไม่ใช่ศูนย์ สิ่งนี้บ่งชี้ว่าระบบสมการมีวิธีการแก้ปัญหาเฉพาะตัว ซึ่งกำหนดโดยวิธีที่สะดวก เช่น วิธีแครมเมอร์หรือวิธีเมทริกซ์ วิธีนี้เราสามารถกำหนดพิกัด x ~ 1, x ~ 2, . - - , x ~ n เวกเตอร์ x → อยู่ในพื้นฐาน อี 1 (1) , อี 2 (2) , . - - , และ (n) .

ลองใช้ทฤษฎีที่พิจารณาแล้วกับตัวอย่างที่เฉพาะเจาะจง

ตัวอย่างที่ 6

ข้อมูลเริ่มต้น:เวกเตอร์ถูกระบุบนพื้นฐานของปริภูมิสามมิติ

อี (1) = (1 , - 1 , 1) อี (2) = (3 , 2 , - 5) อี (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

มีความจำเป็นต้องยืนยันความจริงที่ว่าระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) ยังทำหน้าที่เป็นพื้นฐานของปริภูมิที่กำหนดและเพื่อกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ x บนพื้นฐานที่กำหนดด้วย

สารละลาย

ระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) จะเป็นพื้นฐานของปริภูมิสามมิติถ้ามันเป็นอิสระเชิงเส้น เรามาค้นหาความเป็นไปได้นี้โดยการกำหนดอันดับของเมทริกซ์ A ซึ่งแถวนั้นเป็นเวกเตอร์ที่กำหนด e (1), e (2), e (3)

เราใช้วิธีเกาส์เซียน:

ก = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R อังเค (A) = 3 . ดังนั้น ระบบของเวกเตอร์ e (1), e (2), e (3) จึงเป็นอิสระเชิงเส้นและเป็นพื้นฐาน

ปล่อยให้เวกเตอร์ x → มีพิกัด x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 เป็นฐาน ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดเหล่านี้ถูกกำหนดโดยสมการ:

x 1 = x ~ 1 อี 1 (1) + x ~ 2 อี 1 (2) + x ~ 3 อี 1 (3) x 2 = x ~ 1 อี 2 (1) + x ~ 2 อี 2 (2) + x ~ 3 อี 2 (3) x 3 = x ~ 1 อี 3 (1) + x ~ 2 อี 3 (2) + x ~ 3 อี 3 (3)

ลองใช้ค่าตามเงื่อนไขของปัญหา:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

ลองแก้ระบบสมการโดยใช้วิธีของแครเมอร์:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

ดังนั้น เวกเตอร์ x → ในฐาน e (1), e (2), e (3) มีพิกัด x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1

คำตอบ: x = (1 , 1 , 1)

ความสัมพันธ์ระหว่างฐาน

สมมติว่าในบางพื้นฐานของปริภูมิเวกเตอร์ n มิติ ระบบเวกเตอร์ที่เป็นอิสระเชิงเส้นสองระบบจะได้รับ:

ค (1) = (ค 1 (1) , ค 2 (1) , . . . , c n (1)) ค (2) = (ค 1 (2) , ค 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ ค (n) = (ค 1 (n) , จ 2 (n) , . . . , ค n (n))

อี (1) = (อี 1 (1) , อี 2 (1) , . . . , อี n (1)) อี (2) = (อี 1 (2) , อี 2 (2) , . . . , อี n (2)) ⋮ อี (n) = (อี 1 (n) , อี 2 (n) , . . . , อี n (n))

ระบบเหล่านี้เป็นฐานของพื้นที่ที่กำหนดด้วย

ให้ ค ~ 1 (1) , ค ~ 2 (1) , . - - , c ~ n (1) - พิกัดของเวกเตอร์ c (1) ในพื้นฐาน อี (1) , อี (2) , . - - , อี (3) จากนั้นความสัมพันธ์ของพิกัดจะได้รับจากระบบสมการเชิงเส้น:

ค 1 (1) = ค ~ 1 (1) อี 1 (1) + ค ~ 2 (1) อี 1 (2) + . - - + ค ~ n (1) อี 1 (n) ค 2 (1) = ค ~ 1 (1) อี 2 (1) + ค ~ 2 (1) อี 2 (2) + . - - + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . - - + ค ~ n (1) และ (n)

ระบบสามารถแสดงเป็นเมทริกซ์ได้ดังนี้:

(ค 1 (1) , ค 2 (1) , . . . , c n (1)) = (ค ~ 1 (1) , ค ~ 2 (1) , . . , ค ~ n (1)) จ 1 (1) อี 2 (1) … อี n (1) อี 1 (2) อี 2 (2) … อี n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ อี 1 (n) อี 2 (น) … อี n (n)

ให้เราสร้างค่าเดียวกันสำหรับเวกเตอร์ c (2) โดยการเปรียบเทียบ:

(ค 1 (2) , ค 2 (2) , . . , c n (2)) = (ค ~ 1 (2) , ค ~ 2 (2) , . . , ค ~ n (2)) จ 1 (1) อี 2 (1) … อี n (1) อี 1 (2) อี 2 (2) … อี n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ อี 1 (n) อี 2 (น) … อี n (n)

(ค 1 (n) , ค 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) จ 1 (1) อี 2 (1) … อี n (1) อี 1 (2) อี 2 (2) … อี n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

มารวมความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์เป็นนิพจน์เดียว:

ค 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) จ 2 (n) ⋯ e n (n)

มันจะกำหนดการเชื่อมต่อระหว่างเวกเตอร์ของฐานสองฐานที่แตกต่างกัน

เมื่อใช้หลักการเดียวกัน ก็เป็นไปได้ที่จะแสดงเวกเตอร์พื้นฐานทั้งหมด e(1), e(2), . - - , อี (3) ผ่านพื้นฐาน ค (1) , ค (2) , . - - , ค (น) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) ค 2 (n) ⋯ c n (n)

ให้เราให้คำจำกัดความต่อไปนี้:

คำจำกัดความที่ 5

เมทริกซ์ c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน e (1) , e (2) , . - - , อี (3)

ถึงพื้นฐาน ค (1) , ค (2) , . - - , ค (น) .

คำนิยาม 6

เมทริกซ์ e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) คือเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากฐาน c (1) , c (2) , . - - , ค(เอ็น)

ถึงพื้นฐาน อี (1) , อี (2) , . - - , จ (3) .

จากความเสมอภาคเหล่านี้จะเห็นได้ชัดเจนว่า

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (น) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

เหล่านั้น. เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงเป็นแบบกลับกัน

ลองดูทฤษฎีโดยใช้ตัวอย่างเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 7

ข้อมูลเริ่มต้น:จำเป็นต้องค้นหาเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลงจากพื้นฐาน

ค (1) = (1 , 2 , 1) ค (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​ค (3) = (3 , 7 , 1)

อี (1) = (3 , 1 , 4) อี (2) = (5 , 2 , 1) อี (3) = (1 , 1 , - 6)

คุณต้องระบุความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานที่กำหนดด้วย

สารละลาย

1. ให้ T เป็นเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง จากนั้นความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = ต 1 2 1 2 3 3 3 7 1

คูณทั้งสองข้างของความเท่ากันด้วย

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

และเราได้รับ:

ต = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. กำหนดเมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง:

ต = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. ให้เรากำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → :

ให้เราสมมติว่าในพื้นฐาน ค (1) , ค (2) , . - - , c (n) เวกเตอร์ x → มีพิกัด x 1 , x 2 , x 3 แล้ว:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

และบนพื้นฐาน อี (1) , อี (2) , . - - , e (3) มีพิกัด x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 จากนั้น:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

เพราะ หากด้านซ้ายมือของค่าเท่ากันเหล่านี้ เราสามารถเทียบด้านขวามือได้เช่นกัน:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

คูณทั้งสองข้างทางขวาด้วย

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

และเราได้รับ:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

อีกด้านหนึ่ง

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

ความเสมอภาคสุดท้ายแสดงความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานทั้งสอง

คำตอบ:เมทริกซ์การเปลี่ยนแปลง

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

พิกัดของเวกเตอร์ x → ในฐานที่กำหนดมีความสัมพันธ์กันโดยความสัมพันธ์:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter

ผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์คือเวกเตอร์
โดยที่ แลมบ์ดา 1, ..., แลมบ์ เป็นสัมประสิทธิ์ตามอำเภอใจ

ระบบเวกเตอร์
เรียกว่าขึ้นอยู่กับเชิงเส้นถ้ามีผลรวมเชิงเส้นของมันเท่ากับ ซึ่งมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่เป็นศูนย์อย่างน้อยหนึ่งตัว

ระบบเวกเตอร์
เรียกว่าเป็นอิสระเชิงเส้นหากในชุดค่าผสมเชิงเส้นใดๆ เท่ากับ , สัมประสิทธิ์ทั้งหมดเป็นศูนย์

พื้นฐานของระบบเวกเตอร์
เรียกว่าระบบย่อยอิสระเชิงเส้นที่ไม่ว่างเปล่า ซึ่งสามารถแสดงเวกเตอร์ใดๆ ของระบบได้

ตัวอย่างที่ 2 ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์ = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) และเขียนเวกเตอร์ที่เหลือผ่านฐาน

วิธีแก้ไข: เราสร้างเมทริกซ์ซึ่งพิกัดของเวกเตอร์เหล่านี้จัดเรียงเป็นคอลัมน์ เรานำมาสู่รูปแบบขั้นตอน

~
~
~
.

พื้นฐานของระบบนี้ประกอบด้วยเวกเตอร์ ,,ซึ่งสอดคล้องกับองค์ประกอบนำหน้าของเส้น โดยเน้นเป็นวงกลม เพื่อแสดงเวกเตอร์ แก้สมการ x 1 +x2 +x4 =- มันลดเหลือระบบสมการเชิงเส้นซึ่งเมทริกซ์ได้มาจากการเรียงสับเปลี่ยนดั้งเดิมของคอลัมน์ที่ตรงกัน แทนที่คอลัมน์คำศัพท์อิสระ

ดังนั้น ในการแก้ปัญหาระบบ เราใช้เมทริกซ์ผลลัพธ์ในรูปแบบขั้นตอน ทำการจัดเรียงใหม่ที่จำเป็น

เราพบอย่างต่อเนื่อง:

= -+2.

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

หมายเหตุ 2 ในการแสดงเวกเตอร์ใดๆ ก็เพียงพอแล้วที่จะใช้เฉพาะเวกเตอร์พื้นฐานของระบบที่อยู่ข้างหน้าเท่านั้น ในกรณีนี้ไม่จำเป็นต้องฟอร์แมตเมทริกซ์ใหม่ แค่วางเส้นแนวตั้งในตำแหน่งที่ถูกต้องก็เพียงพอแล้ว

แบบฝึกหัดที่ 2 ค้นหาพื้นฐานของระบบเวกเตอร์และแสดงเวกเตอร์ที่เหลือผ่านฐาน:

ก) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

ข) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

วี) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. ระบบการแก้ปัญหาขั้นพื้นฐาน

ระบบสมการเชิงเส้นเรียกว่าระบบเอกพันธ์ถ้าเงื่อนไขอิสระทั้งหมดมีค่าเท่ากับศูนย์

ระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา ระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันสมการเชิงเส้นเรียกว่าพื้นฐานของเซตของคำตอบ

ขอให้เราได้รับระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่เหมือนกัน ระบบเอกพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับระบบที่กำหนดคือระบบที่ได้รับจากระบบที่กำหนดโดยการแทนที่พจน์อิสระทั้งหมดด้วยศูนย์

หากระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันมีความสอดคล้องและไม่แน่นอน ดังนั้นวิธีแก้ปัญหาโดยพลการของมันจะมีรูปแบบ f n +  1 f o1 + ... +  k f o k โดยที่ f n คือคำตอบเฉพาะของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันและ f o1, ... , f o k คือ การแก้ปัญหาระบบพื้นฐานของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้อง

ตัวอย่างที่ 3 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันจากตัวอย่างที่ 1 และระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหากับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้อง

วิธีแก้ปัญหา ลองเขียนวิธีแก้ปัญหาที่ได้รับในตัวอย่างที่ 1 ในรูปแบบเวกเตอร์และแยกย่อยเวกเตอร์ผลลัพธ์เป็นผลรวมของพารามิเตอร์อิสระที่มีอยู่ในนั้นและค่าตัวเลขคงที่:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = ก(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

เราได้ f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1)

ความคิดเห็น ปัญหาในการค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันก็ได้รับการแก้ไขในทำนองเดียวกัน

แบบฝึกหัด 3.1 ค้นหาระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาของระบบที่เป็นเนื้อเดียวกัน:

ก)

ข)

ค) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0

แบบฝึกหัดที่ 3.2 ค้นหาวิธีแก้ปัญหาเฉพาะสำหรับระบบที่ไม่เหมือนกันและระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหาสำหรับระบบที่เป็นเนื้อเดียวกันที่เกี่ยวข้อง:

ก)

ข)