การปกครองที่สมบูรณ์และไม่สมบูรณ์โดยย่อ อัลลีล
ระบบตัวเลขคือชุดวิธีการบันทึก (บันทึก) ตัวเลข หรือโดยทั่วไปสิ่งนี้ ภาษาพิเศษตัวอักษรซึ่งเป็นสัญลักษณ์ที่เรียกว่าตัวเลขและไวยากรณ์เป็นกฎที่ช่วยให้คุณสามารถสร้างบันทึกตัวเลขได้โดยไม่ซ้ำกัน การบันทึกตัวเลขในระบบตัวเลขใดระบบหนึ่งเรียกว่ารหัสตัวเลข ตัวเลขสั้นๆ เขียนไว้ดังนี้!
ตำแหน่งแต่ละตำแหน่งในภาพของตัวเลขมักเรียกว่าตัวเลข และหมายเลขตำแหน่งเรียกว่าหมายเลขหลัก จำนวนหลักในตัวเลขเรียกว่าความลึกบิตและสอดคล้องกับความยาวของมัน ในแง่เทคนิค ความยาวของตัวเลขจะถูกตีความว่าเป็นความยาวของตารางบิต หากตัวอักษรมีความหมายต่างกัน ตัวเลขในตัวเลขจะถือเป็นตัวเลข -ary ซึ่งแต่ละความหมายสามารถกำหนดได้
ตัวเลขแต่ละหลักของตัวเลข A ที่กำหนดจะสอดคล้องกับค่าที่เทียบเท่าในเชิงปริมาณ (ตัวเลข) โดยไม่ซ้ำกัน - ค่าเทียบเท่าเชิงปริมาณของตัวเลข A ที่ให้ไว้ในระบบตัวเลขจำนวนหนึ่ง เป็นฟังก์ชันหนึ่งของค่าเทียบเท่าตัวเลขของตัวเลขทั้งหมด
เห็นได้ชัดว่าสำหรับตารางหลักจำกัดใด ๆ การเทียบเท่าเชิงปริมาณของตัวเลข A จะใช้เวลาขึ้นอยู่กับการเทียบเท่าเชิงปริมาณของตัวเลขแต่ละหลัก ค่าตั้งแต่ ถึง
ช่วงของการแทนตัวเลขในระบบตัวเลขที่กำหนดคือช่วงของแกนตัวเลข ซึ่งอยู่ระหว่างตัวเลขสูงสุดและต่ำสุดที่แสดงโดยความลึกบิตที่กำหนด (ความยาวของตารางบิต):
มีหลายวิธีในการเขียนตัวเลขโดยใช้สัญลักษณ์ดิจิทัล อย่างไรก็ตาม ระบบตัวเลขใดๆ ที่มีไว้สำหรับ การใช้งานจริงจะต้องระบุ:
1) ความสามารถในการแสดงตัวเลขใด ๆ ในช่วงตัวเลขที่กำหนด
2) ความคลุมเครือในการนำเสนอ;
3) ความกะทัดรัดและความเรียบง่ายในการเขียนตัวเลข
4) ความง่ายในการเรียนรู้ระบบตลอดจนความเรียบง่ายและความสะดวกในการใช้งาน
ใช้ระบบต่างๆ ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ของการใช้งาน เช่น บุคคลใช้ระบบเลขฐานสิบในการนับและดำเนินการกับตัวเลข การคำนวณเวลา - ระบบตัวเลขเวลา สำหรับการนับ - ระบบเลขโรมัน ในเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์มักใช้ระบบเลขฐานสอง เป็นต้น ทั้งนี้ขึ้นอยู่กับ วิธีการเขียนตัวเลข และวิธีการคำนวณเชิงปริมาณเทียบเท่ากับระบบตัวเลข สามารถจำแนกได้ดังนี้ (รูปที่ 2.1)
โดยพื้นฐานแล้ว ระบบตัวเลขถูกสร้างขึ้นตามหลักการต่อไปนี้:
โดยที่การบันทึกตัวเลขในระบบที่มีพื้นฐาน - ฐานหรือลำดับตัวเลขของระบบตัวเลขที่มีตัวอักษร -ary - พื้นฐานของระบบตัวเลข (ชุดน้ำหนักของตัวเลขแต่ละตัวของระบบ)
ฐานของระบบตัวเลขสามารถเป็นค่าบวกได้ จากนั้นระบบจะใช้ชุดตัวเลขเป็นค่าหลัก
มันสามารถผสมกันได้ แล้วบวกกับจำนวนลบด้วย ตัวอย่างเช่น สำหรับฐานสมมาตรที่มีศูนย์ จำนวนค่าหลักบวกจะเท่ากับจำนวนค่าลบ ค่าของตัวเลขของตัวอักษรในกรณีนี้ด้วย (เช่นฐานคี่) ประกอบขึ้นเป็นชุดต่อไปนี้:
ฐานของระบบตัวเลขคือจำนวนสัญลักษณ์ (หลัก) ต่างๆ ที่ใช้ในแต่ละหลักของตัวเลขเพื่อแสดงในระบบตัวเลขที่กำหนด
ระบบตัวเลขที่มีฐานผสมสามารถเป็นฐานคู่ได้ แต่ก็เป็นไปได้ที่จะใช้ตัวอักษรสมมาตรที่ไม่มีศูนย์ (เช่นด้วยตัวอักษรหรือตัวอักษรที่เป็นไปได้ซึ่งจำนวนค่าตัวเลขลบไม่เท่ากับ จำนวนค่าบวก (ตัวอย่างเช่น ด้วยตัวอักษรที่เป็นไปได้ -1, 0 , 1,2)
พื้นฐานของระบบตัวเลขคือชุดน้ำหนักของตัวเลขแต่ละตัวของระบบตัวเลข เช่น ฐานทศนิยม
เป็นลำดับ: น้ำหนักของตัวเลขในระบบตัวเลขใด ๆ ก็คืออัตราส่วน ดังนั้น ตัวเลขของตัวเลขที่ใหญ่กว่าจึงเรียกว่ามีนัยสำคัญมากกว่าตัวเลขของตัวเลขที่เล็กกว่า
ไม่ใช่ตำแหน่งคือระบบตัวเลขที่ตัวอักษรมีจำนวนอักขระได้ไม่จำกัด (ตัวเลข) และการเทียบเท่าเชิงปริมาณของหลักใดๆ จะเป็นค่าคงที่และขึ้นอยู่กับโครงร่างเท่านั้น แต่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลข ระบบดังกล่าวสร้างขึ้นบนหลักการบวก กล่าวคือ การเทียบเท่าเชิงปริมาณของตัวเลขถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของตัวเลขที่อยู่ติดกัน!
สัญลักษณ์ที่สร้างพื้นฐานของระบบอยู่ที่ไหน
ตัวแทนที่มีชื่อเสียงที่สุดของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งคืออักษรอียิปต์โบราณและตัวอักษร อักษรอียิปต์โบราณคือระบบตัวเลขซึ่งแต่ละตัวเลขจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ ไอคอน หรืออักษรอียิปต์โบราณของตัวเอง สิ่งที่มีชื่อเสียงที่สุดคือระบบเลขโรมัน
ค่าของตัวเลขที่เขียนในระบบโรมันถูกกำหนดให้เป็นผลรวมของตัวเลขที่เขียนเรียงกันเป็นแถว และหากมีค่าที่น้อยกว่าทางด้านซ้ายของตัวเลข ค่าของตัวเลขหลังจะถูกลบด้วยเครื่องหมายลบ สำหรับ เช่น มีการเบี่ยงเบนไปจากกฎที่ว่าค่าของตัวเลขไม่ขึ้นกับตำแหน่งในตัวเลข ปัจจุบันระบบโรมันใช้เพื่อวัตถุประสงค์ในการนับเป็นหลัก การเขียนตัวเลขในระบบตัวอักษรก็มีหลักการเดียวกัน
ข้อเสียเปรียบหลักของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ได้แก่:
1) ไม่มีศูนย์;
2) ความจำเป็นในการมีจำนวนอักขระไม่สิ้นสุด
3) ความซับซ้อนของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลข
ระบบตัวเลข - คืออะไร? แม้จะไม่รู้คำตอบสำหรับคำถามนี้ แต่เราแต่ละคนก็ใช้ระบบตัวเลขในชีวิตอย่างหลีกเลี่ยงไม่ได้และไม่ตระหนักถึงมัน ถูกต้องค่ะ อิน พหูพจน์- นั่นคือไม่ใช่หนึ่งเดียว แต่หลาย ๆ อย่าง ก่อนจะยกตัวอย่างระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่ง มาทำความเข้าใจปัญหานี้และพูดถึงระบบตำแหน่งกันก่อน
ต้องการบัญชี
ตั้งแต่สมัยโบราณผู้คนจำเป็นต้องนับนั่นคือพวกเขาตระหนักโดยสัญชาตญาณว่าพวกเขาจำเป็นต้องแสดงวิสัยทัศน์เชิงปริมาณของสิ่งต่าง ๆ และเหตุการณ์ต่างๆ สมองบอกฉันว่าจำเป็นต้องใช้วัตถุในการนับ วิธีที่สะดวกที่สุดคือการใช้นิ้วมาโดยตลอดและเป็นสิ่งที่เข้าใจได้เนื่องจากสามารถใช้ได้เสมอ (โดยมีข้อยกเว้นที่หายาก)
ดังนั้นตัวแทนโบราณของเผ่าพันธุ์มนุษย์จึงต้องงอนิ้วตามความหมายที่แท้จริง - เพื่อระบุจำนวนแมมมอ ธ ที่ถูกฆ่าเป็นต้น องค์ประกอบดังกล่าวของบัญชียังไม่มีชื่อ แต่เป็นเพียงภาพการเปรียบเทียบ
ระบบตัวเลขตำแหน่งสมัยใหม่
ระบบตัวเลขเป็นวิธี (วิธี) ในการนำเสนอค่าเชิงปริมาณและปริมาณโดยใช้เครื่องหมายบางอย่าง (สัญลักษณ์หรือตัวอักษร)
จำเป็นต้องเข้าใจว่าการนับตำแหน่งและการไม่มีตำแหน่งคืออะไรก่อนที่จะยกตัวอย่างระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง มีระบบตัวเลขตำแหน่งมากมาย ปัจจุบันมีการใช้ข้อมูลต่อไปนี้ในสาขาความรู้ต่างๆ: ไบนารี่ (มีเพียงสององค์ประกอบที่สำคัญ: 0 และ 1), เลขฐานสิบหก (จำนวนอักขระ - 6), ฐานแปด (8 ตัวอักษร), เลขฐานสอง (สิบสองอักขระ), เลขฐานสิบหก (รวมอักขระสิบหกตัว) ). ยิ่งไปกว่านั้น อักขระแต่ละชุดในระบบจะเริ่มต้นจากศูนย์ ขึ้นอยู่กับการใช้รหัสไบนารี่ - ระบบเลขฐานสองตำแหน่ง
ระบบเลขทศนิยม
ตำแหน่งคือการมีอยู่ของตำแหน่งสำคัญที่แตกต่างกันซึ่งมีสัญลักษณ์ของตัวเลขอยู่ สิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ดีที่สุดโดยใช้ระบบเลขทศนิยมเป็นตัวอย่าง ท้ายที่สุดนี่คือสิ่งที่เราคุ้นเคยกับการใช้มาตั้งแต่เด็ก มีสิบสัญญาณในระบบนี้: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ลองใช้หมายเลข 327 มีสามสัญญาณ: 3, 2, 7 แต่ละตัวตั้งอยู่ ในตำแหน่งของตัวเอง ( สถานที่). เซเว่นครองตำแหน่งที่สงวนไว้สำหรับค่าเดียว (หน่วย) สอง - สิบ และสาม - ร้อย เนื่องจากตัวเลขเป็นตัวเลขสามหลักจึงมีเพียงสามตำแหน่งเท่านั้น
จากที่กล่าวมาข้างต้น เลขทศนิยมสามหลักดังกล่าวสามารถอธิบายได้ดังนี้ สามร้อย สองสิบ และเจ็ด ยิ่งไปกว่านั้น ความสำคัญ (ความสำคัญ) ของตำแหน่งจะถูกนับจากซ้ายไปขวา จากตำแหน่งที่อ่อนแอ (หนึ่ง) ไปยังตำแหน่งที่แข็งแกร่งกว่า (หลายร้อย)
เรารู้สึกสบายใจมากกับระบบเลขตำแหน่งทศนิยม เรามีนิ้วสิบนิ้วอยู่บนมือและเท้าก็เหมือนกัน ห้าบวกห้า - ต้องขอบคุณนิ้วของเราตั้งแต่วัยเด็กเราสามารถจินตนาการถึงสิบได้อย่างง่ายดาย ด้วยเหตุนี้จึงเป็นเรื่องง่ายสำหรับเด็กที่จะเรียนรู้ตารางสูตรคูณห้าและสิบ นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องง่ายมากที่จะเรียนรู้วิธีนับธนบัตร ซึ่งส่วนใหญ่มักเป็นทวีคูณ (นั่นคือ หารลงตัวโดยไม่มีเศษ) ด้วย 5 และ 10
ระบบเลขตำแหน่งอื่นๆ
สร้างความประหลาดใจให้กับหลาย ๆ คน คงจะเรียกได้ว่าไม่ใช่แค่ใน ระบบทศนิยมสมองของเราใช้ในการคำนวณบางอย่าง จนถึงขณะนี้มนุษยชาติใช้ระบบเลขหกและเลขฐานสอง นั่นคือในระบบดังกล่าวมีเพียงหกอักขระ (ใน sixex): 0, 1, 2, 3, 4, 5 ใน duodecimal มีสิบสองตัว: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 , 7, 8, 9 , A, B โดยที่ A - หมายถึงหมายเลข 10, B - หมายเลข 11 (เนื่องจากต้องมีเครื่องหมายเดียว)
ตัดสินด้วยตัวคุณเอง เรานับเวลาเป็นหกโมงใช่ไหม? หนึ่งชั่วโมงคือหกสิบนาที (หกสิบ) หนึ่งวันคือยี่สิบสี่ชั่วโมง (สองครั้งสิบสอง) หนึ่งปีคือสิบสองเดือน และอื่นๆ... ช่วงเวลาทั้งหมดจะพอดีกับอนุกรมเลขฐานสิบหกและเลขฐานสองได้อย่างง่ายดาย แต่เราคุ้นเคยกับมันมากจนเราไม่คิดถึงมันเมื่อนับเวลาถอยหลัง
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง อูนารี
มีความจำเป็นต้องตัดสินใจว่ามันคืออะไร - ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง นี่คือระบบสัญญาณที่ไม่มีตำแหน่งสำหรับป้ายตัวเลขหรือหลักการ “อ่าน” ตัวเลขไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่ง นอกจากนี้ยังมีกฎในการบันทึกหรือการคำนวณของตัวเองด้วย
ให้เรายกตัวอย่างระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ย้อนกลับไปสมัยโบราณกันเถอะ ผู้คนจำเป็นต้องนับและเกิดสิ่งประดิษฐ์ที่ง่ายที่สุดขึ้นมานั่นคือปม ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งเป็นแบบกลม ตัวอย่างเช่นเมื่อซื้อหรือขายจะมีการนับหนึ่งรายการ (ถุงข้าว วัว ฯลฯ ) และผูกปมไว้บนเชือก
ส่งผลให้เชือกมีปมมากพอๆ กับถุงข้าวที่ซื้อ (ตามตัวอย่าง) แต่สิ่งเหล่านี้อาจเป็นรอยหยักบนแท่งไม้ บนแผ่นหิน ฯลฯ ระบบตัวเลขนี้กลายเป็นที่รู้จักในนามระบบปม มีชื่อที่สอง - เอกนารีหรือหน่วย ("uno" ในภาษาละตินแปลว่า "หนึ่ง")
เห็นได้ชัดว่าระบบตัวเลขนี้ไม่ใช่ระบบตำแหน่ง แล้วตำแหน่งไหนล่ะที่เราจะพูดถึงในเมื่อมีเพียงตำแหน่งเดียว (ตำแหน่ง)! น่าแปลกที่ในบางมุมของโลกยังคงใช้ระบบเลขยูนินารีที่ไม่ใช่ตำแหน่งอยู่
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งยังรวมถึง:
- โรมัน (ตัวอักษร - สัญลักษณ์ละตินใช้สำหรับเขียนตัวเลข);
- อียิปต์โบราณ (คล้ายกับโรมันก็ใช้สัญลักษณ์ด้วย)
- ตามตัวอักษร (ใช้ตัวอักษร);
- ชาวบาบิโลน (แบบฟอร์ม - พวกเขาใช้ "ลิ่ม" แบบตรงและคว่ำ);
- กรีก (จัดเป็นตัวอักษรด้วย)
ระบบเลขโรมัน
จักรวรรดิโรมันโบราณและวิทยาศาสตร์มีความก้าวหน้าอย่างมาก ชาวโรมันมอบสิ่งประดิษฐ์ทางวิทยาศาสตร์และศิลปะที่เป็นประโยชน์มากมายแก่โลก รวมถึงระบบการนับของพวกเขาด้วย เมื่อสองร้อยปีก่อน มีการใช้เลขโรมันเพื่อระบุจำนวนเงินในเอกสารทางธุรกิจ (จึงหลีกเลี่ยงการปลอมแปลง)
ตัวอย่างของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งที่เราทราบกันดีอยู่แล้ว นอกจากนี้ ระบบโรมันยังถูกนำมาใช้อย่างแข็งขัน แต่ไม่ใช่สำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์ แต่สำหรับการกระทำที่กำหนดเป้าหมายอย่างแคบ ตัวอย่างเช่น การใช้ตัวเลขโรมัน เป็นเรื่องปกติที่จะระบุ วันที่ทางประวัติศาสตร์ศตวรรษ จำนวนเล่ม ส่วนและบทในสิ่งพิมพ์หนังสือ สัญลักษณ์โรมันมักใช้ในการออกแบบหน้าปัดนาฬิกา และการนับเลขโรมันเป็นตัวอย่างของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง
ชาวโรมันกำหนดตัวเลขโดยใช้ตัวอักษรละติน นอกจากนี้พวกเขายังจดตัวเลขตามกฎเกณฑ์บางประการอีกด้วย มีรายการ ตัวละครหลักในระบบเลขโรมัน ใช้ในการบันทึกตัวเลขทั้งหมดโดยไม่มีข้อยกเว้น
กฎการเขียนตัวเลข
ได้รับจำนวนที่ต้องการโดยการเพิ่มเครื่องหมาย (ตัวอักษรละติน) และคำนวณผลรวม เรามาดูกันว่าสัญญาณต่างๆ ถูกเขียนเชิงสัญลักษณ์ในระบบโรมันอย่างไร และจะ "อ่าน" สัญญาณเหล่านั้นได้อย่างไร ให้เราแสดงรายการกฎพื้นฐานของการสร้างตัวเลขในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งแบบโรมัน
- หมายเลขสี่ - IV ประกอบด้วยสองสัญญาณ (I, V - หนึ่งและห้า) ได้มาจากการลบเครื่องหมายที่เล็กกว่าออกจากเครื่องหมายที่ใหญ่กว่าหากอยู่ทางซ้าย เมื่อป้ายเล็ก ๆ อยู่ทางขวา คุณต้องบวก จากนั้นคุณจะได้เลขหก - VI
- คุณต้องเพิ่มเครื่องหมายที่เหมือนกันสองอันติดกัน ตัวอย่างเช่น SS คือ 200 (C คือ 100) หรือ XX คือ 20
- หากตัวเลขตัวแรกน้อยกว่าตัวที่สอง ดังนั้นตัวที่สามในแถวนี้อาจเป็นสัญลักษณ์ที่มีค่าน้อยกว่าตัวแรกด้วยซ้ำ เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน ให้เรายกตัวอย่าง: CDX - 410 (เป็นทศนิยม)
- อาจแสดงตัวเลขจำนวนมากได้ ในรูปแบบที่แตกต่างกันซึ่งเป็นข้อเสียอย่างหนึ่งของระบบการนับแบบโรมัน นี่คือตัวอย่างบางส่วน: MVM (ระบบโรมัน) = 1,000 + (1,000 - 5) = 1995 (ระบบทศนิยม) หรือ MDVD = 1,000 + 500 + (500 - 5) = 1995 และนี่ไม่ใช่วิธีการทั้งหมด
เทคนิคทางคณิตศาสตร์
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งบางครั้งเป็นชุดกฎที่ซับซ้อนสำหรับการสร้างตัวเลข การประมวลผล (การกระทำกับตัวเลข) การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งไม่ใช่เรื่องง่าย คนสมัยใหม่- เราไม่อิจฉานักคณิตศาสตร์ชาวโรมันโบราณ!
ตัวอย่างการบวก ลองเพิ่มตัวเลขสองตัว: XIX + XXVI = XXXV,งานนี้ดำเนินการในสองขั้นตอน:
- ขั้นแรก เราใช้และเพิ่มเศษส่วนเล็กๆ ของตัวเลข: IX + VI = XV (I หลังจาก V และ Iก่อน X พวกเขาจะ "ทำลาย" กัน)
- ประการที่สอง เราบวกเศษส่วนจำนวนมากของตัวเลขสองตัว: X + XX = XXX
การลบจะซับซ้อนกว่าเล็กน้อย จำนวนที่ลดต้องแบ่งเป็น องค์ประกอบที่เป็นส่วนประกอบและหลังจากนั้นในส่วน minuend และ subtrahenend ให้ลดอักขระที่ซ้ำกัน จากหมายเลข 500 เราลบ 263:
D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIIII - CCLXIII = CCXXXVII
การคูณเลขโรมัน อย่างไรก็ตามจำเป็นต้องพูดถึงว่าชาวโรมันไม่มีเครื่องหมายสำหรับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ พวกเขาเพียงแสดงแทนด้วยคำพูด
ตัวคูณจะต้องคูณด้วยสัญลักษณ์ตัวคูณแต่ละตัว ส่งผลให้มีผลิตภัณฑ์หลายอย่างที่ต้องเพิ่ม นี่คือวิธีการคูณพหุนาม
สำหรับการหาร กระบวนการนี้ในระบบเลขโรมันเป็นและยังคงซับซ้อนที่สุด ลูกคิดโรมันโบราณถูกใช้ที่นี่ - ลูกคิด ในการทำงานกับมัน ผู้คนได้รับการฝึกฝนมาเป็นพิเศษ (และไม่ใช่ทุกคนที่สามารถเชี่ยวชาญวิทยาศาสตร์ดังกล่าวได้)
เกี่ยวกับข้อเสียของระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง
ตามที่กล่าวไว้ข้างต้น ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งมีข้อเสียและความไม่สะดวกในการใช้งานในตัวเอง Unary นั้นง่ายพอสำหรับการคำนวณอย่างง่าย แต่สำหรับการคำนวณทางคณิตศาสตร์และการคำนวณที่ซับซ้อนนั้นไม่เหมาะเลย
ในภาษาโรมันไม่มีกฎเกณฑ์แบบเดียวกันสำหรับการจัดขบวน จำนวนมากและมีความสับสนและการคำนวณก็ยากมากเช่นกัน นอกจากนี้ จำนวนสูงสุดที่ชาวโรมันโบราณสามารถเขียนโดยใช้วิธีการของพวกเขาได้คือ 100,000 ฉบับ
ระบบตัวเลขเป็นวิธีการเขียนตัวเลขในรูปแบบที่สะดวกสำหรับการอ่านและการดำเนินการทางคณิตศาสตร์
ในยุคหินเก่า ผู้คนพยายามจัดกลุ่มจุด ลายทาง และรอยบากเป็น 3,4,5 หรือ 7 การจัดกลุ่มดังกล่าวทำให้การนับง่ายขึ้น ในสมัยโบราณ ผู้คนนับนิ้ว ดังนั้นสิ่งของต่างๆ จึงเริ่มถูกจัดกลุ่มเป็น 5 หรือ 10 ต่อมา สิบสิบได้รับชื่อพิเศษ สิบร้อยก็มีชื่อเป็นของตัวเอง เพื่อความสะดวกในการบันทึกจึงเริ่มกำหนดตัวเลขด้วยสัญลักษณ์พิเศษ เนื่องจากตำแหน่งของเครื่องหมายไม่ได้มีบทบาทในสัญลักษณ์ดังกล่าว ระบบตัวเลขดังกล่าวจึงเริ่มถูกเรียกว่าไม่ใช่ตำแหน่ง ชาวอียิปต์โบราณ ชาวกรีก และโรมันใช้ระบบตัวเลขแบบไม่มีตำแหน่ง ระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่งมีความเหมาะสมสำหรับการบวกและการลบ แต่ไม่มากก็น้อยสำหรับการคูณและการหาร
เพื่อให้ทำงานได้ง่ายขึ้น พวกเขาใช้กระดานนับ - abaci
ระบบตัวเลขตำแหน่ง ระบบเลขทศนิยม
ในระบบตัวเลขตำแหน่ง เครื่องหมายตัวเลข (หลัก) เดียวกันในสัญลักษณ์ของตัวเลขจะมีความหมายที่แตกต่างกันขึ้นอยู่กับสถานที่ (หลัก) ที่ตัวเลขนั้นตั้งอยู่
ชาวบาบิโลนเปลี่ยนมาใช้ระบบการระบุตำแหน่งทางเพศ เป็นเวลานานแล้วที่ระบบการนับของชาวบาบิโลนไม่มีศูนย์นั่นคือสัญญาณของตัวเลขที่หายไป ในตอนแรกสิ่งนี้ไม่ได้สร้างความไม่สะดวกแต่อย่างใด แต่เมื่อเริ่มรวบรวมตารางทางคณิตศาสตร์และดาราศาสตร์ที่กว้างขวาง ความจำเป็นในการต้องมีเครื่องหมายดังกล่าวก็เกิดขึ้น ร่องรอยของระบบเลขบาบิโลนยังคงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ตามลำดับเวลาการนับ (1 ชั่วโมง = 60 นาที, 1 นาที = 60 วินาที)
ในศตวรรษที่ V1 แม่นยำยิ่งขึ้นใน 595 ชาวอินเดียสร้างวิธีการบันทึกโดยใช้ตัวเลขเพียง 9 หลัก แทนที่จะเป็นศูนย์ กลับกลายเป็นพื้นที่ว่าง และต่อมาก็เพิ่มจุดหรือวงกลมเล็กๆ สัญลักษณ์พิเศษสำหรับศูนย์ปรากฏในศตวรรษที่ 1 กฎได้รับการพัฒนาขึ้นเพื่อดำเนินการเลขคณิตกับตัวเลขในระบบเลขฐานสิบซึ่งไม่จำเป็นต้องใช้ลูกคิดและวิธีการบันทึกนี้แพร่หลายไปทั่วโลก อัล-โคเรซมี นักคณิตศาสตร์ชาวเอเชียกลางพูดโดยละเอียดเกี่ยวกับระบบเลขฐานสิบ ตั้งแต่เขาเขียนผลงานของเขาใน ภาษาอาหรับจากนั้นระบบในยุโรปก็ได้รับชื่อผิด - "อาหรับ"
ระบบตำแหน่งที่มีฐานตามอำเภอใจ
เราคุ้นเคยกับระบบเลขทศนิยม ระบบไบนารี่เหมาะกับคอมพิวเตอร์ที่สุด แต่บางครั้งพวกเขาก็อาจกลายเป็น ระบบที่สะดวกด้วยเหตุผลอื่น การนับหลายสิบเป็นตัวอย่างที่ดีในเรื่องนี้ โดยที่ฐานตัวเลขคือเลขยกกำลัง 12
ในกรณีทั่วไป การแสดงตัวเลข N ใดๆ ในระบบตัวเลขที่มีฐาน d ที่กำหนด หมายถึงการเขียนในรูปแบบโดยที่ d คือจำนวนเต็มใดๆ ที่มากกว่า 1 ค่าสัมประสิทธิ์ a0, a1, аn เรียกว่าตัวเลขใน d - สัญกรณ์ N ซึ่งสามารถรับได้เฉพาะค่า d: 0 หรือ 1 หรือ 2 หรือ d-1 โปรดทราบว่าในกรณีของ d > 10 เราจะต้องสร้างสัญลักษณ์ใหม่สำหรับตัวเลขนั้น
หากต้องการค้นหาตัวเลขของตัวเลขที่กำหนดด้วยตัวเลข N และฐาน d คุณสามารถใช้วิธีการต่อไปนี้ ขั้นแรก หาเลขฐานที่ใหญ่ที่สุดที่ไม่เกิน N จากนั้นตัวเลข N จะถูกหารด้วย d ส่งผลให้ผลหารย่อย an และ ส่วนที่เหลือ r n-1 เช่น อี
เศษ r n-1 น้อยกว่าเลขฐานอยู่แล้ว ดังนั้นให้หาร r n-1 ด้วย d! และเราได้ผลหารที่ไม่สมบูรณ์ an-1 และส่วนที่เหลือ r n-2:
ในทางปฏิบัติ การระบุหลัก d-ary ของ N โดยเริ่มจากหลักสูงสุดนั้นไม่สะดวกนัก เพื่อจุดประสงค์นี้มักจะใช้วิธีอื่น ให้เราแทนหมายเลข N เป็นนิพจน์ที่ไม่มีเลขยกกำลัง:
นี่แสดงให้เห็นว่าตัวเลข an-1, a1 a0 สามารถหาได้ตามลำดับ โดยเริ่มจากหลักที่มีนัยสำคัญน้อยที่สุด ซึ่งเป็นผลมาจากกระบวนการหลายขั้นตอนต่อไปนี้: a0 เท่ากับส่วนที่เหลือของการหาร N ด้วย d; a1 เท่ากับส่วนที่เหลือของการหารด้วย d ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ได้รับในขั้นตอนที่แล้ว a เท่ากับส่วนที่เหลือของการหารด้วย d ของผลหารที่ไม่สมบูรณ์ที่ได้รับในขั้นตอนที่แล้ว
ที่. ตัวเลข N ในระบบตัวเลข d-ary แสดงด้วยตัวเลข an-1, a1 a0 เขียนได้ดังนี้:
ตัวอย่างเช่น: 26700 = (110100001001100)2 = (1323300)5
เชิงบวก จำนวนตรรกยะ(เศษส่วนบวกสามัญ) คือจำนวนที่เขียนได้เป็น
ที่ไหนพี q-ตัวเลขธรรมชาติ- เลข p เรียกว่าตัวเศษของเศษส่วน และเลข q เป็นตัวส่วน
เรารู้ว่าเศษส่วนจะไม่เปลี่ยนแปลงหากตัวเศษและส่วนคูณด้วยจำนวนธรรมชาติ n ที่เท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับจำนวนธรรมชาติใดๆ n ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริง
ถ้าตัวเลข p และ q ไม่มีตัวประกอบเฉพาะร่วม เศษส่วนนั้นเรียกว่าลดไม่ได้หรือเหมาะสม
หากตัวส่วน q ของเศษส่วนคือ 10 หรือ 100 หรือ 1,000 เป็นต้น เศษส่วนร่วมสามารถเขียนเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ ซึ่งแต่ละตัวเรียกว่าการขยายทศนิยมของเศษส่วนที่สอดคล้องกัน เศษส่วนทั่วไป.
เห็นได้ชัดว่าเศษส่วนทศนิยมจำกัดใดๆ สามารถเขียนเป็นเศษส่วนธรรมดาได้ โดยที่ p-จำนวนธรรมชาติและ q คือกำลังของ 10
หากตัวส่วน q ของเศษส่วนร่วมมีค่ายกกำลัง 10 เศษส่วนนี้สามารถแปลงเป็นเศษส่วนทศนิยมสุดท้ายได้ ในทางกลับกัน เศษส่วนทศนิยมสุดท้ายคือส่วนขยายทศนิยมของเศษส่วนธรรมดาซึ่งมีตัวส่วนเป็นกำลัง 10
ระบบเลขฐานแปด
ระบบเลขฐานแปดคือระบบเลขจำนวนเต็มตำแหน่งที่มีฐาน 8 ซึ่งใช้ตัวเลข 0 ถึง 7 แทนตัวเลข
ระบบฐานแปดมักใช้ในพื้นที่ที่เกี่ยวข้องกับอุปกรณ์ดิจิทัล โดดเด่นด้วยการแปลงเลขฐานแปดเป็นเลขฐานสองและในทางกลับกันอย่างง่ายดาย โดยการแทนที่เลขฐานแปดด้วยเลขฐานสอง ก่อนหน้านี้มีการใช้กันอย่างแพร่หลายในการเขียนโปรแกรมและเอกสารคอมพิวเตอร์โดยทั่วไป แต่ปัจจุบันถูกแทนที่ด้วยเลขฐานสิบหกเกือบทั้งหมดแล้ว
หากเราอ้างอิงถึงระบบเลขฐานแปดก็หมายความว่าเราสามารถใช้หลักได้มากกว่าเลขฐานสองตามปกติแต่น้อยกว่าเลขทศนิยม กล่าวคือ เราสามารถดำเนินการได้แปดหลักคือ 0, 1, 2, 3, 4, 5 , 6, 7 - และไม่มากไปกว่านี้
ตรรกะในการแปลงเลขทศนิยมเป็นฐานแปด (การเข้ารหัสในระบบเลขฐานแปด) จะเหมือนกับตรรกะข้างต้นโดยสิ้นเชิง
ข้อมูลรายละเอียดเพิ่มเติมอยู่ในส่วน “การเขียนจำนวนเต็มในระบบเลขฐานสอง” ของบทนี้
แน่นอนว่าเมื่อถึงจุดหนึ่งตัวเลขก็หมดลง ("วิกฤตแห่งช่วงการเปลี่ยนแปลง" เริ่มต้นขึ้น)
เลขทศนิยม "8" จะกลายเป็นเลขฐานแปด "10" ("สิบแปด") เลข "9" จะเป็นเลขฐานแปด "11" เลข "10" จะเป็นเลขฐานแปด "12" ไปเรื่อยๆ จนถึงเลขทศนิยม “15” ซึ่งอยู่ในรูปฐานแปดจะเท่ากับเลข “17” อะไรต่อไป?
ตัวเลขหมดอีกแล้ว เลขทศนิยม "16" จะแสดงในระบบเลขฐานแปดได้อย่างไร?
178 + 1 =. แต่ผลรวม "78 + 1" เท่ากับ "10" ในระบบเลขฐานแปด ดังนั้นจึงต้องบวก "สิบ" ฐานแปดด้วย "สิบ" ที่มีอยู่แล้ว นั่นคือ ผลรวมที่มีอยู่ในระบบฐานแปด ได้รับ: “1 + 1 = 2" ผลลัพธ์ก็คือว่า
เรามานำเสนอข้อมูลนี้ในรูปแบบของตาราง (ตารางที่ 4.4)
ตารางที่ 4. 4. ความสอดคล้องระหว่างเลขทศนิยมและเลขฐานแปด
เลขทศนิยม เลขฐานแปด เลขฐานสิบ เลขฐานแปด
0-7 0-7 25-63 31-77
9-15 11-17 128 200
17-23 21-27 512 1000
แต่ถึงแม้ตัวเลขดังกล่าวก็ยังไม่ประหยัดมากนักอย่างน้อยความจุหลักก็ไม่ด้อยไปกว่าระบบทศนิยมดังนั้นใน เทคโนโลยีคอมพิวเตอร์มีการใช้ระบบตัวเลขอื่นซึ่งเรียกว่าเลขฐานสิบหก
ระบบตัวเลขเป็นวิธีการเขียนตัวเลขโดยเฉพาะและกฎที่เกี่ยวข้องสำหรับตัวเลขปฏิบัติการ
ระบบตัวเลขอาจเป็นแบบมีตำแหน่งหรือไม่มีตำแหน่งก็ได้
ในระบบตัวเลขตำแหน่ง ค่าที่ตัวเลขแสดงเป็นตัวเลขจะขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขในตัวเลขนั้น ชุดตัวเลขต่างๆ ที่ใช้ในระบบตัวเลขตำแหน่งในการเขียนตัวเลข เรียกว่า ตัวอักษรของระบบตัวเลข เพื่อแสดงตัวเลขที่มากกว่า 10 จะใช้ตัวอักษรละติน (A=10, B=11) ฐานของระบบตัวเลขคือขนาดของตัวอักษร ตัวเลขในระบบตำแหน่งสามารถแสดงเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์ของตัวเลขที่เป็นส่วนประกอบด้วยกำลังที่สอดคล้องกันของฐานของระบบ
มีการแนะนำระบบตำแหน่งใด ๆ ดังต่อไปนี้ p ฐานเป็นจำนวนเต็มและเลือกตัวอักษรที่มีตัวเลข p: O, 1, 2, , p-1. จากนั้นเลข X ใดๆ ในระบบนี้จะแสดงเป็นผลรวมของผลิตภัณฑ์:
Е = аn*рn + an-1*pn-1 + + a0*p0
โดยที่ X คือตัวเลขในระบบที่มีฐาน p โดยมีเลขจำนวน n+1 หลัก ซึ่งเป็นตัวเลขจากตัวอักษรของระบบ
การแปลงตัวเลขจากระบบตำแหน่งหนึ่งไปอีกระบบหนึ่ง
เมื่อแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมเป็นระบบ p-ary คุณต้องแยกเลขทศนิยมออกเป็นพจน์ที่มีกำลังของตัวเลข p การแปลงเลขฐานสิบจำนวนเต็มจะดำเนินการโดยการหารตัวเลขตามลำดับด้วยฐาน p โดยแยกเศษออกจากการหารจนกว่าผลหารจะน้อยกว่าตัวหาร โดยการเขียนเศษการหารจากขวาไปซ้าย เราจะได้สัญลักษณ์ p-rich สำหรับเลขทศนิยม
ในระบบตำแหน่ง ค่าของการเขียนจำนวนเต็มถูกกำหนดตามกฎต่อไปนี้ ให้ na n-1a n-2a 1a 0 เป็นการเขียนเลข A และ i เป็นตัวเลข จากนั้น
A = n·pn+a n-1·pn-1 +a n-2·pn-2+ +a 1·p1+ a0·p0 (1) โดยที่ p เป็นจำนวนเต็มที่มากกว่า 1 ซึ่งเรียกว่าฐานของระบบตัวเลข
เพื่อให้สำหรับ p ที่กำหนด จำนวนเต็มที่ไม่ใช่ลบใดๆ สามารถเขียนตามสูตร (1) และยิ่งไปกว่านั้น ในลักษณะเฉพาะ ค่าตัวเลขของตัวเลขต่างๆ จะต้องเป็นจำนวนเต็มที่แตกต่างกันที่อยู่ในกลุ่มจาก 0 ถึง p-1
1) ระบบทศนิยม p = 10 หลัก : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 จำนวน 5735 = 5·103+7·102+3·101+8·100
2) ระบบไตรภาค p = 3 หลัก: 0,1,2 หมายเลข 2013 = 2·32+0·31+1·30
หมายเหตุ: ตัวห้อยในตัวเลขแสดงถึงฐานของระบบตัวเลขที่ใช้เขียนตัวเลข สำหรับระบบเลขฐานสิบไม่จำเป็นต้องเขียนดัชนี
การแสดงจำนวนลบและเศษส่วน:
ในระบบตำแหน่งทั้งหมด เครื่องหมาย '–' ใช้เพื่อเขียนจำนวนลบ เช่นเดียวกับในระบบทศนิยม เครื่องหมายจุลภาคใช้เพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขออกจากส่วนที่เป็นเศษส่วน ค่าของรายการ a na n-1a n-2a 1a 0, a -1 a -2a m-2 a m-1a m ของตัวเลข A ถูกกำหนดโดยสูตรซึ่งเป็นลักษณะทั่วไปของสูตร (1):
A = พีเอ็น+เอ n-1 p n-1+a n-2 p n-2++a1 p1+a0 p0+a-1 p-1+a -2 p-2 ++am-2·p –(ม–2)+น–1·พี–(ม–1)+แอมป์–ม (2),
75.6 = 7 101+5 100+6 10–1
–2.3145 = –(2·50+3·5–1+1·5–2+4·5–3)
การแปลงตัวเลขจาก ระบบโดยพลการตัวเลขเป็นทศนิยม:
ควรเข้าใจว่าเมื่อแปลตัวเลขจากระบบตัวเลขหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่งค่าเชิงปริมาณของตัวเลขจะไม่เปลี่ยนแปลง แต่จะมีเพียงรูปแบบการเขียนตัวเลขเท่านั้นที่เปลี่ยนแปลงเช่นเดียวกับเมื่อแปลชื่อของตัวเลขเช่นจาก รัสเซียเป็นภาษาอังกฤษ
การแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขใดๆ ไปเป็นทศนิยมทำได้โดยการคำนวณโดยตรงโดยใช้สูตร (1) สำหรับจำนวนเต็ม และสูตร (2) สำหรับเศษส่วน
การแปลงตัวเลขจากระบบเลขทศนิยมให้เป็นระบบตัวเลขตามอำเภอใจ
การแปลงตัวเลขจากระบบทศนิยมให้เป็นระบบที่มีฐาน p หมายถึงการหาค่าสัมประสิทธิ์ในสูตร (2) บางครั้งก็ทำได้ง่ายด้วยการเลือกง่ายๆ ตัวอย่างเช่น สมมติว่าคุณต้องแปลงตัวเลข 23.5 เป็นระบบฐานแปด เห็นได้ง่ายว่า 23.5 = 16+7+0.5 = 2·8+7+4/8 = 2·81+7·80+4·8–1 = 27.48 เป็นที่ชัดเจนว่าคำตอบไม่ได้ชัดเจนเสมอไป โดยทั่วไปจะใช้วิธีการแปลงจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขแยกกัน
ในการแปลงจำนวนเต็ม จะใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้ (ได้มาจากสูตร (1)):
1. ค้นหาผลหารและเศษเมื่อหารตัวเลขด้วย p ส่วนที่เหลือจะเป็นตัวเลขหลักถัดไป ai (j=0,1,2) ของตัวเลขใน ระบบใหม่การคำนวณ
2. หากผลหารเท่ากับศูนย์ การแปลตัวเลขจะเสร็จสิ้น มิฉะนั้น เราจะใช้จุดที่ 1 กับผลหาร
หมายเหตุ 1 ตัวเลข ai ในรูปแบบตัวเลขจะเรียงจากขวาไปซ้าย
หมายเหตุ 2. ถ้า p>10 จำเป็นต้องแนะนำสัญลักษณ์สำหรับตัวเลขที่มีค่าตัวเลขมากกว่าหรือเท่ากับ 10
แปลงเลข 165 เป็นระบบเลขผนังกั้นช่องจมูก
165:7 = 23 (เหลือ 4) => a0 = 4
23:7 = 3 (เหลือ 2) => a1 = 2
3:7 = 0 (เหลือ 3) => a2 = 3
ลองเขียนผลลัพธ์: a2a1a0 เช่น 3247
เมื่อตรวจสอบโดยใช้สูตร (1) เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าการแปลถูกต้อง:
3247=3·72+2·71+4·70=3·49+2·7+4 = 147+14+4 = 165
ในการแปลงเศษส่วนของตัวเลขจะใช้อัลกอริทึมที่ได้รับตามสูตร (2):
1. คูณเศษส่วนของตัวเลขด้วย p
2. ส่วนจำนวนเต็มของผลลัพธ์จะเป็นเลขหลักถัดไป am (m = –1, –2, –3) ของตัวเลขที่เขียนในระบบตัวเลขใหม่ หากเศษส่วนของผลลัพธ์เป็นศูนย์ การแปลตัวเลขจะเสร็จสมบูรณ์ มิฉะนั้น เราจะใช้ขั้นตอนที่ 1 กับผลลัพธ์
หมายเหตุ 1 ตัวเลข am ในรูปแบบตัวเลขจะจัดเรียงจากซ้ายไปขวาโดยเรียงลำดับจากน้อยไปมากของค่าสัมบูรณ์ของ m
หมายเหตุ 2 โดยปกติแล้วจำนวนเศษส่วนในการป้อนตัวเลขใหม่จะถูกจำกัดไว้ล่วงหน้า สิ่งนี้ทำให้คุณสามารถดำเนินการแปลโดยประมาณด้วยความแม่นยำที่กำหนด ในกรณีของเศษส่วนอนันต์ ข้อจำกัดดังกล่าวทำให้มั่นใจถึงความจำกัดของอัลกอริทึม
แปลงตัวเลข 0.625 เป็นระบบเลขฐานสอง
0.625 2 = 1.25 (จำนวนเต็มส่วนที่ 1) => a-1 =1
0.25 2 = 0.5 (จำนวนเต็มส่วนที่ 0) => a-2 = 0
0.5 2 = 1.00 (จำนวนเต็มส่วนที่ 1) => a-3 = 1
ดังนั้น 0.62510 = 0.1012
เมื่อตรวจสอบโดยใช้สูตร (2) เราจะตรวจสอบให้แน่ใจว่าการแปลถูกต้อง:
0.1012=1·2-1+0·2-2+1·2-3=1/2+1/8 = 0.5+0.125 = 0.625
แปลงตัวเลข 0.165 เป็นระบบเลขควอเทอร์นารี โดยจำกัดไว้เพียงสี่หลัก
0.165 4 = 0.66 (จำนวนเต็มส่วนที่ 0) => a-1=0
0.66 4 = 2.64 (จำนวนเต็มส่วนที่ 2) => a-2= 2
0.64 4 = 2.56 (จำนวนเต็มส่วนที่ 2) => a-3= 2
0.56 4 = 2.24 (จำนวนเต็มส่วนที่ 2) => a-4= 2
ดังนั้น 0.16510" 0.02224
เรามาแปลย้อนหลังเพื่อให้แน่ใจว่าข้อผิดพลาดที่แน่นอนไม่เกิน 4–4:
0.02224 = 0·4-1+2·4-2+2·4-3+2·4-4= 2/16+2/64+2/256 = 1/8+1/32+1/ 128 = 21/128 = 0.1640625
0,1640625–0,165 = 0,00094
การแปลงตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง
ในกรณีนี้ คุณต้องแปลงตัวเลขเป็นระบบทศนิยมก่อน จากนั้นจึงแปลงจากระบบทศนิยมเป็นระบบที่ต้องการ
ใช้วิธีการพิเศษในการแปลงตัวเลขสำหรับระบบที่มีหลายฐาน
ให้ p และ q เป็นฐานของระบบจำนวนสองระบบ เราจะเรียกระบบตัวเลขเหล่านี้ว่ามีหลายฐาน ถ้า p = qn หรือ q = pn โดยที่ n เป็นจำนวนธรรมชาติ ตัวอย่างเช่น ระบบจำนวนที่มีฐาน 2 และ 8 เป็นระบบจำนวนฐานหลายระบบ
ให้ p = qn และคุณต้องแปลงตัวเลขจากระบบตัวเลขที่มีฐาน q เป็นระบบตัวเลขที่มีฐาน p ลองแบ่งจำนวนเต็มและเศษส่วนของตัวเลขออกเป็นกลุ่มๆ โดยมีตัวเลข n หลักที่เขียนตามลำดับทางซ้ายและขวาของจุดทศนิยม หากจำนวนหลักในส่วนจำนวนเต็มของตัวเลขไม่ใช่จำนวนทวีคูณของ n คุณจะต้องเพิ่มจำนวนศูนย์ที่สอดคล้องกันทางด้านซ้าย หากจำนวนหลักในส่วนที่เป็นเศษส่วนของตัวเลขไม่เป็นจำนวนทวีคูณของ n เลขศูนย์จะถูกบวกทางด้านขวา แต่ละกลุ่มของตัวเลขในระบบตัวเลขเดิมจะตรงกับตัวเลขหนึ่งหลักของตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่
ลองแปลง 1100001.1112 เป็นระบบเลขควอเทอร์นารีกัน
เมื่อบวกศูนย์และเลือกคู่ตัวเลข เราจะได้ 01100001.11102
ตอนนี้เรามาแปลตัวเลขแต่ละคู่แยกกัน โดยใช้ส่วน การแปลตัวเลขจากระบบหนึ่งไปยังอีกระบบหนึ่ง
ดังนั้น 1100001.1112 = 01100001.11102 = 1201.324
สมมติว่าตอนนี้จำเป็นต้องดำเนินการถ่ายโอนจากระบบที่มีฐาน q มากกว่า ไปยังระบบที่มีฐาน p น้อยกว่า นั่นคือ q = pn ในกรณีนี้ หนึ่งหลักของตัวเลขในระบบตัวเลขเก่าจะสัมพันธ์กับ n หลักของตัวเลขในระบบตัวเลขใหม่
ตัวอย่าง: เรามาตรวจสอบการแปลตัวเลขครั้งก่อนกัน
1201,324 = 1100001,11102=1100001,1112
ในระบบเลขฐานสิบหกจะมีตัวเลขที่มีค่าตัวเลข 10,11,12, 13,14,15 หากต้องการระบุให้ใช้ตัวอักษรหกตัวแรกของตัวอักษรละติน A, B, C, D, E, F
นี่คือตารางตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 16 ซึ่งเขียนด้วยระบบตัวเลขที่มีฐาน 10, 2, 8 และ 16
ตัวเลขในระบบเลขฐานสิบ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 16 16 ในรูปแปดเหลี่ยม 0 1 2 3 4 5 6 7 10 11 12 13 14 15 16 20 ในรูปแบบไบนารี 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 10000 ในรูปแบบเลขฐานสิบหก 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 10 หากต้องการเขียนเลขฐานสิบหก คุณสามารถใช้ตัวอักษรละตินตัวพิมพ์เล็ก a-f ได้เช่นกัน
ตัวอย่าง: ลองแปลงตัวเลข 110101001010101010100.112 เป็นระบบเลขฐานสิบหก
ลองใช้ฐานหลายหลากของระบบตัวเลข (16=24) มาจัดกลุ่มตัวเลขด้วยสี่ โดยบวกจำนวนศูนย์ที่ต้องการทางซ้ายและขวา
000110101001010101010100,11002 และเมื่อตรวจสอบตารางเราได้รับ: 1A9554,C16
ระบบตัวเลขใดที่ดีที่สุดในการเขียนตัวเลขนั้นเป็นเรื่องของความสะดวกและประเพณี จากมุมมองทางเทคนิค การใช้ระบบไบนารี่ในคอมพิวเตอร์สะดวก เนื่องจากใช้เพียงตัวเลข 0 และ 1 สองหลักในการบันทึกตัวเลข ซึ่งสามารถแสดงด้วยสถานะที่แยกแยะได้ง่ายสองสถานะ "ไม่มีสัญญาณ" และ "มี สัญญาณ”
ในทางตรงกันข้าม บุคคลจะไม่สะดวกในการจัดการกับสัญกรณ์เลขฐานสองเนื่องจากมีความยาวมากกว่าทศนิยมและมีตัวเลขซ้ำกันจำนวนมาก ดังนั้น หากจำเป็น ให้ทำงานกับการแสดงตัวเลขโดยใช้ระบบเลขฐานแปดหรือฐานสิบหก ฐานของระบบเหล่านี้เป็นเลขยกกำลังของสอง ดังนั้นตัวเลขจึงสามารถแปลงจากระบบเหล่านี้เป็นเลขฐานสองได้อย่างง่ายดายและในทางกลับกัน
ระบบเลขฐานสอง บิตและไบต์ การแบ่งส่วนหน่วยความจำ
มาดูกันว่าข้อมูลถูกเก็บไว้ในหน่วยความจำคอมพิวเตอร์อย่างไร
โดยทั่วไปคอมพิวเตอร์จะจัดเก็บคำว่า "ดิสก์" ได้อย่างไร หลักการสำคัญคือการดึงดูดและการล้างอำนาจแม่เหล็กของแทร็กเดียว (ขอเรียกมันว่า) ชิปหน่วยความจำตัวหนึ่งมีแทร็กจำนวนมาก ทีนี้ลองหามันดู ตัวอย่างเช่น: ศูนย์จะถูกกำหนดให้เป็น 0000 (ศูนย์สี่ตัว), หนึ่ง 0001, สอง 0010,
(เช่น เราแทนที่อันที่ถูกต้องด้วย 0 และตั้งค่าอันที่สองเป็น 1)
เข้าใจหลักการมั้ย? "0" และ "1" เป็นสิ่งที่เรียกว่า บิต อย่างที่คุณสังเกตเห็นแล้วเล็กน้อยอาจเป็นศูนย์หรือหนึ่งก็ได้ เช่น แทร็กใดแทร็กหนึ่งถูกล้างอำนาจแม่เหล็กหรือถูกทำให้เป็นแม่เหล็ก ("0" และ "1" เป็นสัญลักษณ์) หากคุณพิจารณาอย่างละเอียด คุณจะสังเกตเห็นว่าบิตชุดถัดไป (เริ่มจากด้านขวา) จะเพิ่มตัวเลขเป็นสองเท่า: 0001 ในตัวอย่างของเรา = 1; 0010 สอง; 0100 สี่; 1,000 แปด เป็นต้น นี่เรียกว่า รูปแบบไบนารีของการแสดงข้อมูล
ที่. เพื่อแสดงตัวเลขตั้งแต่ 0 ถึง 9 เราจำเป็นต้องมีสี่บิต (แม้ว่าจะยังใช้ไม่หมดก็ตาม เราสามารถดำเนินการต่อได้: สิบ 1,010, สิบเอ็ด 1,011, สิบห้า 1111)
นี่คือวิธีที่คอมพิวเตอร์เก็บข้อมูลไว้ในหน่วยความจำ ในการกำหนดอักขระ (ตัวเลข ตัวอักษร จุลภาค จุด) คอมพิวเตอร์จะใช้บิตจำนวนหนึ่ง คอมพิวเตอร์ "รู้จัก" อักขระที่แตกต่างกัน 256 ตัว (ตั้งแต่ 0 ถึง 255) ตามรหัส ซึ่งเพียงพอที่จะรองรับตัวเลขทั้งหมด (0 - 9) ตัวอักษรของอักษรละติน (a - z, A - Z) รัสเซีย (a - z, A - Z) รวมถึงอักขระอื่น ๆ หากต้องการแสดงอักขระด้วยรหัสสูงสุดที่เป็นไปได้ (255) จำเป็นต้องใช้ 8 บิต 8 บิตเหล่านี้เรียกว่าไบต์ ที่. อักขระตัวใดตัวหนึ่งจะมีขนาด 1 ไบต์เสมอ
ที่. คำว่า "disk" จะมีขนาด 4 ไบต์ หรือ 4*8 = 32 บิต ดังที่คุณเข้าใจแล้ว คอมพิวเตอร์จะเก็บอยู่ในหน่วยความจำ ไม่ใช่ตัวอักษรของคำ แต่เป็นลำดับของ "อัน" และ "ศูนย์" “ ทำไมเราถึงเห็นข้อความบนหน้าจอไม่ใช่ "อันและเลขศูนย์" - คุณถาม เพื่อสนองความอยากรู้อยากเห็นของคุณ ฉันจะวิ่งไปข้างหน้าเล็กน้อยแล้วบอกว่างานทั้งหมดที่แสดงตัวละครนั้นอยู่บนหน้าจอ ( และไม่ใช่บิต) ทำโดยการ์ดแสดงผล (อะแดปเตอร์วิดีโอ) ซึ่งอยู่ในคอมพิวเตอร์ของคุณ และหากไม่มีอยู่ตรงนั้น เราก็จะไม่เห็นสิ่งใด ๆ ที่เกิดขึ้นบนหน้าจอของเรา
ในแอสเซมเบลอร์ เลขฐานสองจะต้องตามหลังด้วยตัวอักษร "b" เสมอ นี่เป็นสิ่งจำเป็นเพื่อที่เมื่อประกอบโปรแกรมของเรา แอสเซมเบลอร์สามารถแยกแยะระหว่างเลขฐานสิบ เลขฐานสิบหก และเลขฐานสองได้ ตัวอย่างเช่น 10 คือ "สิบ", 10h คือ "สิบหก" และ 10b คือ "สอง" ในระบบทศนิยม
ที่. รีจิสเตอร์สามารถโหลดด้วยเลขฐานสอง ทศนิยม และเลขฐานสิบหก
ตัวอย่างเช่น: mov ขวาน,20 mov bh,10100b mov cl,14h
ด้วยเหตุนี้ รีจิสเตอร์ AX, BH และ CL จะมีหมายเลขเดียวกัน แต่เราโหลดบนระบบที่ต่างกันเท่านั้น คอมพิวเตอร์จะจัดเก็บในรูปแบบไบนารี่ (เช่นเดียวกับในการลงทะเบียน BH)
เอาล่ะ เรามาสรุปกัน ในคอมพิวเตอร์ ข้อมูลทั้งหมดจะถูกจัดเก็บในรูปแบบไบนารี (ระบบไบนารี่) โดยประมาณในรูปแบบต่อไปนี้: 10101110 10010010 01111010 11100101 (แน่นอน ไม่มีการเว้นวรรค เพื่อความสะดวกฉันจึงแบ่งบิตออกเป็นกลุ่ม) แปดบิตเป็นหนึ่งไบต์ อักขระหนึ่งตัวใช้พื้นที่หนึ่งไบต์ นั่นคือ แปดบิต ในความคิดของฉันไม่มีอะไรซับซ้อน การทำความเข้าใจหัวข้อนี้เป็นสิ่งสำคัญมากเนื่องจากเราจะใช้อย่างต่อเนื่อง ระบบไบนารี่และคุณต้องรู้ให้ครบถ้วน
เหตุใดจึงจำเป็นต้องมีระบบกำหนดตำแหน่งที่แตกต่างกัน
ระบบตำแหน่งที่มีฐานต่างๆ ถูกนำมาใช้เพื่อศึกษาคุณสมบัติของตัวเลขมาหลายร้อยปีแล้ว เช่น การเขียนจำนวนเต็มลงไป ระบบต่างๆสามารถรับสัญญาณของการแบ่งแยกได้ การพิจารณาประเด็นอื่นๆ ในทฤษฎีการหารลงตัวยังอำนวยความสะดวกโดยการใช้ระบบตำแหน่งที่ไม่ใช่ทศนิยม
อย่างไรก็ตาม คำถามนี้มีคนกลุ่มเล็กๆ เท่านั้น ซึ่งส่วนใหญ่เป็นผู้เชี่ยวชาญในสาขาที่เรียกว่าทฤษฎีเลขคณิตขั้นสูง - จำนวน แต่สถานการณ์ได้เปลี่ยนไปตั้งแต่การเกิดขึ้นและการใช้คอมพิวเตอร์อย่างแพร่หลาย
การออกแบบคอมพิวเตอร์ดิจิทัลมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับระบบตัวเลขที่นำมาใช้
อุปกรณ์คอมพิวเตอร์
อุปกรณ์คอมพิวเตอร์ดิจิทัลที่ง่ายที่สุดคือลูกคิดรัสเซียที่รู้จักกันดี ในนั้นจะใช้เข็มถักที่มีกระดูกติดอยู่เพื่อพรรณนาตัวเลข จำนวนซี่สอดคล้องกับจำนวนหลักที่จัดสรรเพื่อแสดงหมายเลข เข็มถักแต่ละอันสามารถมีสถานะต่างกันได้ โดยพิจารณาจากจำนวนกระดูกที่ลดลง เนื่องจากในระบบทศนิยมมีตัวเลขที่แตกต่างกันสิบหลัก ดังนั้นคุณจึงต้องมีสถานะที่แตกต่างกันสิบหลักเพื่อเป็นตัวแทน เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ในแต่ละเข็มจะใส่กระดูกสิบชิ้น
ลูกคิดรัสเซีย
อีกตัวอย่างหนึ่งของคอมพิวเตอร์ดิจิทัลคือเครื่องบวก ในที่นี้ เกียร์จะใช้แทนตัวเลขที่แตกต่างกันในแต่ละหลัก เส้นรอบวงของล้อที่ใช้ทำเฟืองนี้แบ่งออกเป็น 10 ส่วน แต่ละส่วนมีฟันเฟือง การหมุนรอบแกน เกียร์สามารถหยุดในตำแหน่งดังกล่าวได้เมื่อมีการติดตั้งฟันซี่ใดๆ ไว้กับหน้าต่างในตัวเครื่องจักรที่เพิ่มเข้าไป ฟันเฟืองแต่ละซี่จะมีหมายเลขกำกับอยู่บนนั้น
ตัวอย่างที่พิจารณาแสดงให้เห็นว่าระบบหมายเลขตำแหน่งที่ใช้ในการบันทึกตัวเลขกำหนดข้อกำหนดของตัวเองในการออกแบบคอมพิวเตอร์: กระดูกสิบอันบนซี่ล้อ, ฟันสิบซี่บนเฟืองและสิบขั้นบนลูกกลิ้งนั้นอธิบายได้จากข้อเท็จจริงที่ว่าตัวเลขนั้นถูกแทน ในระบบเลขฐานสิบ
ระบบเลขหน่วย
ความจำเป็นในการเขียนตัวเลขเริ่มเกิดขึ้นในหมู่คนในสมัยโบราณหลังจากที่พวกเขาเรียนรู้ที่จะนับ หลักฐานนี้คือการค้นพบทางโบราณคดีในบริเวณแคมป์ คนดึกดำบรรพ์ซึ่งมีอายุย้อนกลับไปถึงยุคหินเก่า ($10$-$11$ พันปีก่อนคริสต์ศักราช) ในขั้นต้น จำนวนของวัตถุถูกพรรณนาโดยใช้เครื่องหมายบางอย่าง: ขีดกลาง, รอยบาก, วงกลมที่ทำเครื่องหมายไว้บนหิน, ไม้หรือดินเหนียว เช่นเดียวกับปมบนเชือก
รูปที่ 1.
นักวิทยาศาสตร์เรียกระบบการเขียนตัวเลขนี้ว่า หน่วย (เอกนารี)เนื่องจากตัวเลขในนั้นถูกสร้างขึ้นโดยการทำซ้ำของเครื่องหมายเดียวซึ่งเป็นสัญลักษณ์ของหนึ่ง
ข้อเสียของระบบ:
เมื่อเขียนจำนวนมากจำเป็นต้องใช้แท่งจำนวนมาก
อาจเป็นเรื่องง่ายที่จะทำผิดพลาดเมื่อใช้แท่งไม้
ต่อมาเพื่อให้การนับง่ายขึ้น ผู้คนเริ่มรวมสัญญาณเหล่านี้เข้าด้วยกัน
ตัวอย่างที่ 1
ตัวอย่างการใช้ระบบเลขหน่วยสามารถพบได้ในชีวิตของเรา ตัวอย่างเช่น เด็กเล็กพยายามแสดงว่าตนเองอายุเท่าไหร่ หรือใช้ไม้นับเพื่อสอนการนับในชั้นประถมศึกษาปีที่ 1
ระบบหน่วยไม่สะดวกเลย เนื่องจากรายการดูยาวมากและการเขียนค่อนข้างน่าเบื่อ ดังนั้นเมื่อเวลาผ่านไป ระบบตัวเลขเชิงปฏิบัติมากขึ้นจึงเริ่มปรากฏขึ้น
นี่คือตัวอย่างบางส่วน
ระบบเลขฐานสิบที่ไม่ใช่ตำแหน่งของอียิปต์โบราณ
ระบบตัวเลขนี้ปรากฏขึ้นประมาณ 3,000 ปีก่อนคริสตกาล อันเป็นผลมาจากการที่ชาวบ้าน อียิปต์โบราณมีระบบตัวเลขของตัวเองขึ้นมาซึ่งเมื่อกำหนดหมายเลขหลัก $1$, $10$, $100$ เป็นต้น ใช้อักษรอียิปต์โบราณซึ่งสะดวกเมื่อเขียนบนแผ่นดินเหนียวที่ใช้แทนกระดาษ ตัวเลขอื่นๆ ถูกสร้างขึ้นโดยใช้การบวก ขั้นแรกให้เขียนจำนวนลำดับสูงสุดลงไปแล้วตามด้วยลำดับล่าง ชาวอียิปต์ทวีคูณและแบ่งจำนวนเพิ่มขึ้นเป็นสองเท่าอย่างต่อเนื่อง แต่ละหลักสามารถทำซ้ำได้สูงสุด $9$ เท่า ตัวอย่างตัวเลขของระบบนี้มีดังต่อไปนี้
รูปที่ 2.
ระบบเลขโรมัน
โดยพื้นฐานแล้วระบบนี้ไม่ได้แตกต่างจากระบบก่อนหน้ามากนักและยังคงอยู่มาจนถึงทุกวันนี้ มันขึ้นอยู่กับสัญญาณต่อไปนี้:
$I$ (หนึ่งนิ้ว) สำหรับหมายเลข $1$;
$V$ (เปิดฝ่ามือ) สำหรับหมายเลข $5$;
$X$ (พับสองฝ่ามือ) ในราคา $10$;
เพื่อแสดงถึงตัวเลข $100$, $500$ และ $1,000$ มีการใช้ตัวอักษรตัวแรกของคำละตินที่เกี่ยวข้อง ( เซนตุม- หนึ่งร้อย เดมิมิลล์- ครึ่งพัน มิลล์- พัน)
เมื่อเขียนตัวเลข ชาวโรมันใช้กฎต่อไปนี้:
ตัวเลขเท่ากับผลรวมของค่าของ "ตัวเลข" ที่เหมือนกันหลายตัวที่อยู่ในแถวโดยสร้างกลุ่มประเภทแรก
ตัวเลขจะเท่ากับความแตกต่างระหว่างค่าของ "ตัวเลข" สองหลักหากตัวเลขที่เล็กกว่าอยู่ทางด้านซ้ายของตัวเลขที่ใหญ่กว่า ในกรณีนี้ ค่าของค่าที่น้อยกว่าจะถูกลบออกจากค่าที่มากกว่า พวกเขารวมตัวกันเป็นกลุ่มประเภทที่สอง ในกรณีนี้ “หลัก” ทางซ้ายสามารถน้อยกว่าหลักทางขวาได้ด้วยคำสั่งซื้อสูงสุด $1$: มีเพียง $X(10$) เท่านั้นที่สามารถอยู่หน้า $L(50)$ และ $C(100$) ในบรรดารายการที่ "ต่ำที่สุด" มีเพียง $X(10$) เท่านั้นที่สามารถอยู่หน้า $D(500$ ) และ $M(1000$) – เพียง $C(100$) ก่อน $V(5) – I( 1)$.
ตัวเลขจะเท่ากับผลรวมของค่ากลุ่มและ "ตัวเลข" ที่ไม่รวมอยู่ในกลุ่ม $1$ หรือ $2$
รูปที่ 3.
เลขโรมันมีการใช้มาตั้งแต่สมัยโบราณ โดยระบุวันที่ จำนวนเล่ม ส่วนต่างๆ และบทต่างๆ ฉันเคยคิดว่าตัวเลขอารบิกธรรมดาสามารถปลอมแปลงได้ง่าย
ระบบตัวเลขตามตัวอักษร
ระบบตัวเลขเหล่านี้มีความก้าวหน้ามากขึ้น ซึ่งรวมถึงภาษากรีก สลาฟ ฟินีเซียน ยิว และอื่นๆ ในระบบเหล่านี้ ตัวเลขตั้งแต่ $1$ ถึง $9$ รวมถึงจำนวนหลักสิบ (ตั้งแต่ $10$ ถึง $90$) หลายร้อย (จาก $100$ ถึง $900$) ถูกกำหนดด้วยตัวอักษร
ในระบบตัวเลขตามตัวอักษรกรีกโบราณ ตัวเลข $1, 2, ..., 9$ จะแสดงด้วยตัวอักษรเก้าตัวแรกของอักษรกรีก ฯลฯ ตัวอักษร $9$ ต่อไปนี้ใช้เพื่อระบุตัวเลข $10, 20, ..., 90$ และตัวอักษร $9$ สุดท้ายใช้เพื่อระบุตัวเลข $100, 200, ..., 900$
คุณ ชาวสลาฟค่าตัวเลขของตัวอักษรถูกสร้างขึ้นตามลำดับของอักษรสลาฟซึ่งเริ่มแรกใช้อักษรกลาโกลิติกแล้วตามด้วยอักษรซีริลลิก
รูปที่ 4.
หมายเหตุ 1
ระบบตัวอักษรก็ถูกนำมาใช้เช่นกัน มาตุภูมิโบราณ- จนถึงปลายศตวรรษที่ 17 มีการใช้ตัวอักษรซีริลลิกมูลค่า 27 ดอลลาร์เป็นตัวเลข
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งมีข้อเสียที่สำคัญหลายประการ:
มีความจำเป็นต้องแนะนำสัญลักษณ์ใหม่สำหรับการบันทึกตัวเลขจำนวนมากอย่างต่อเนื่อง
เป็นไปไม่ได้ที่จะแสดงจำนวนเศษส่วนและจำนวนลบ
เป็นการยากที่จะดำเนินการทางคณิตศาสตร์เนื่องจากไม่มีอัลกอริธึมในการดำเนินการ
ทีวี ซาราปูโลวา I.E. โทรฟิมอฟ
ไม่ใช่ตำแหน่งและแบบผสม
ระบบตัวเลข
ทิศทาง 230700.62" วิทยาการคอมพิวเตอร์ประยุกต์» เพื่อเป็นแนวทางในการ งานอิสระ
ในระเบียบวินัย” ระบบสารสนเทศและเทคโนโลยี"
เคเมโรโว 2012
ผู้วิจารณ์:
1. Prokopenko Evgenia Viktorovna ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์กายภาพและคณิตศาสตร์รองศาสตราจารย์ภาควิชาประยุกต์ เทคโนโลยีสารสนเทศ.
2. Sokolov Igor Aleksandrovich ผู้สมัครสาขาวิทยาศาสตร์เทคนิครองศาสตราจารย์หัวหน้าภาควิชาเทคโนโลยีสารสนเทศประยุกต์ประธานคณะกรรมการการศึกษาและการฝึกอบรมทิศทาง 230700.62“ สารสนเทศประยุกต์”
Sarapulova Tatyana Viktorovna, Trofimov Ivan Evgenievich ระบบจำนวนไม่ระบุตำแหน่งและจำนวนผสม: วิธีการ คำแนะนำสำหรับงานอิสระในสาขาวิชา “ระบบสารสนเทศและเทคโนโลยี” [ทรัพยากรอิเล็กทรอนิกส์]: สำหรับนักศึกษาในสาขาวิชาฝึกอบรมระดับปริญญาตรี 230700.62 “สารสนเทศประยุกต์” / T. V. Sarapulova, I. E. Trofimov - อิเล็กตรอน แดน. – เคเมโรโว: KuzGTU, 2012. – 1 อิเล็กตรอน ขายส่ง ดิสก์ (ซีดีรอม); เสียง - สี - 12 ซม. – ระบบ ข้อกำหนด: RAM 64 MB; Windows XP/วิสต้า/7 ; (ไดรฟ์ซีดีรอม) - หมวก จากหน้าจอ
แนวทางมีไว้สำหรับ การศึกษาด้วยตนเองระบบจำนวนไม่ระบุตำแหน่งและจำนวนผสม แนวทางประกอบด้วยกรอบทางทฤษฎีและคำถามทดสอบ
Ó Sarapulova T.V., Trofimov I.E.
บทนำ.. 4
1. ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง... 5
1.1. ระบบเลขโรมัน 6
1.2. ระบบชั้นคงเหลือ (RSS) 6
1.3. ระบบตัวเลขสเติร์น-โบรคอว์ 8
2. ระบบเลขผสม... 9
2.1. ระบบตัวเลขของชาวมายัน 10
2.2. ระบบเลขแฟกทอเรียล 10
2.3. ระบบเลขฟีโบนัชชี 11
วัตถุประสงค์ของงานอิสระนี้คือการศึกษาระบบจำนวนไม่ตำแหน่งและระบบจำนวนคละ
การแนะนำ
ข้อกำหนดบังคับประการหนึ่งสำหรับผู้เชี่ยวชาญในสาขาเทคโนโลยีสารสนเทศคือความรู้เกี่ยวกับหลักการทำงานกับตัวเลข ในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาสังคม ผู้คนแทบไม่รู้วิธีนับเลย พวกเขาแยกแยะความแตกต่างระหว่างมวลรวมของวัตถุสองและสามชิ้น คอลเลกชันใด ๆ ที่มีวัตถุจำนวนมากจะรวมกันเป็นแนวคิด "มากมาย" เมื่อนับ วัตถุมักจะถูกเปรียบเทียบด้วยนิ้วและนิ้วเท้า เมื่ออารยธรรมพัฒนาขึ้น ความต้องการของมนุษย์ในการนับก็กลายเป็นสิ่งจำเป็น ในขั้นต้น ตัวเลขธรรมชาติถูกแสดงโดยใช้เครื่องหมายขีดหรือแท่งจำนวนหนึ่ง จากนั้นจึงเริ่มใช้ตัวอักษรหรือเครื่องหมายพิเศษเพื่อพรรณนาตัวเลขเหล่านั้น
ลองลากเส้นระหว่างตัวเลขและตัวเลขกัน ตัวเลขคือเอนทิตีเชิงนามธรรมที่ใช้อธิบายปริมาณ ตัวเลขเป็นเครื่องหมายที่ใช้เขียนตัวเลข มีตัวเลขที่แตกต่างกัน ที่พบบ่อยที่สุดคือตัวเลขอารบิก ซึ่งแสดงด้วยเครื่องหมายที่เรารู้จักตั้งแต่ศูนย์ (0) ถึงเก้า (9) เลขโรมันนั้นพบได้น้อย บางครั้งเราสามารถพบได้บนหน้าปัดนาฬิกาหรือในการกำหนดศตวรรษ (ศตวรรษที่ XIX)
ดังนั้น จำไว้ว่า: ตัวเลข – นี่เป็นการวัดปริมาณเชิงนามธรรม, ตัวเลข – นี่คือเครื่องหมาย (รูปวาด) สำหรับการเขียนตัวเลข.
หลายวิธีในการเขียนตัวเลขโดยใช้ตัวเลขสามารถแบ่งออกเป็นสามส่วน:
1. ระบบตัวเลขตำแหน่ง
2. ระบบจำนวนคละ
3. ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง
ธนบัตรเป็นตัวอย่างที่ชัดเจนของระบบเลขผสม ปัจจุบันในรัสเซียมีการใช้เหรียญและธนบัตรของนิกายต่อไปนี้: 1 kopeck, 5 kopeck, 10 kopeck, 50 kopeck, 1 รูเบิล, 2 รูเบิล, 5 รูเบิล, 10 รูเบิล, 50 รูเบิล, 100 รูเบิล, 500 rub., 1,000 rub. . และ 5,000 ถู ในการรับรูเบิลจำนวนหนึ่งเราจำเป็นต้องใช้ธนบัตรจำนวนหนึ่งจากนิกายต่างๆ สมมติว่าเราซื้อเครื่องดูดฝุ่นราคา 6,379 รูเบิล ในการจ่ายเงิน เราจำเป็นต้องมีธนบัตรหกพันรูเบิล ธนบัตรสามร้อยรูเบิล ธนบัตรห้าสิบรูเบิลหนึ่งใบ สิบสองเหรียญ เหรียญห้ารูเบิลหนึ่งเหรียญ และเหรียญสองรูเบิลสองเหรียญ หากเราจดจำนวนธนบัตรหรือเหรียญเริ่มต้นที่ 1,000 รูเบิล และลงท้ายด้วยหนึ่ง kopeck แทนที่หน่วยที่หายไปด้วยศูนย์ เราจะได้ตัวเลขที่แสดงในระบบจำนวนคละ ในกรณีของเรา - 603121200000
ในระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง ขนาดของตัวเลขไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งของตัวเลขในการแทนตัวเลข ตัวอย่างที่ชัดเจนของระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งคือระบบโรมัน แม้จะอายุมากแล้ว แต่ระบบนี้ก็ยังคงใช้งานอยู่แม้ว่าจะไม่ได้ใช้งานโดยทั่วไปก็ตาม
ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่ง
ในระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่งค่าที่ตัวเลขแสดงไม่ได้ขึ้นอยู่กับตำแหน่งในตัวเลขในกรณีนี้ระบบสามารถกำหนดข้อจำกัดเกี่ยวกับตำแหน่งของตัวเลขได้
ตั้งแต่สมัยโบราณ ผู้คนใช้ระบบตัวเลขที่ไม่ใช่ตำแหน่งกันอย่างแพร่หลาย ในการนับสัตว์ ประชากร หุ้น ตัวอักษรต่างๆ รูปสัญลักษณ์ และอื่นๆ ถูกนำมาใช้ รูปทรงเรขาคณิต- เมื่อเวลาผ่านไป ระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งเริ่มได้รับความนิยมน้อยลง โลกสมัยใหม่เราพบกับตัวแทนทั่วไปของระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่ง - ระบบเลขโรมัน เหมือนกับตัวอักษรแปลกใหม่มากกว่าระบบที่ใช้งานได้จริง เหตุผลในการละทิ้งระบบจำนวนที่ไม่ใช่ตำแหน่งเป็นการเกิดขึ้นของระบบตำแหน่งซึ่งทำให้สามารถใช้ตัวอักษรดิจิทัลที่มีขนาดเล็กลงอย่างมากเพื่อแสดงถึงตัวเลขที่มีขนาดใหญ่มากและที่สำคัญกว่านั้นคือรับประกันประสิทธิภาพที่เรียบง่ายของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับตัวเลข
ระบบเลขโรมัน
ตัวอย่างมาตรฐานของระบบตัวเลขที่ไม่มีตำแหน่งคือระบบโรมัน ซึ่งใช้ตัวอักษรละตินเป็นตัวเลข:
ฉันหมายถึง 1, V คือ 5, X คือ 10, L คือ 50, C คือ 100, D คือ 500, M คือ 1,000
ตัวอย่างเช่น II = 1 + 1 = 2 ในที่นี้สัญลักษณ์ I หมายถึง 1 โดยไม่คำนึงถึงตำแหน่งของตัวเลข
โปรดทราบว่าสัญลักษณ์ศูนย์ในระบบตัวเลขนี้ เช่นเดียวกับในระบบที่ไม่ใช่ตำแหน่งอื่นๆ จะหายไปเนื่องจากไม่จำเป็น
ไม่มีข้อมูลที่เชื่อถือได้เกี่ยวกับที่มาของเลขโรมัน เดิมทีหมายเลข V สามารถใช้เป็นรูปมือได้ และหมายเลข X สามารถประกอบด้วยห้าสองตัวได้ ในการนับเลขโรมันมีร่องรอยของระบบเลขห้าเท่าอย่างชัดเจน
ในความเป็นจริง, ระบบโรมันไม่ใช่ระบบที่ไม่มีตำแหน่งอย่างสมบูรณ์เนื่องจากหลักที่เล็กกว่าที่อยู่ข้างหน้าหลักที่ใหญ่กว่าจะถูกลบออก ตัวอย่างเช่น:
VI = 6 เช่น 5 + 1 ในขณะที่ IV = 4 เช่น 5 – 1;
XL = 40 เช่น 50 – 10 ในขณะที่ LX = 60 เช่น 50 + 10.
หมายเลขเดียวกันในระบบโรมันวางไม่เกินสามครั้งติดต่อกัน: LXX = 70; LXXX = 80; หมายเลข 90 เขียนว่า XC (ไม่ใช่ LXXXX)
ตัวเลข 12 ตัวแรกเขียนด้วยเลขโรมันดังนี้ I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII, IX, X, XI, XII
ตัวเลขอื่นๆ ให้เขียนเป็น: XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818
เมื่อเราถามตัวเองว่าสามารถเขียนตัวเลขในระบบโรมันได้กี่จำนวน เราจะค้นพบอย่างรวดเร็วว่าช่วงของตัวเลขนั้นขยายตั้งแต่ 1 (I) ถึง 3999 (MMMCMXCIX) ช่วงตัวเลขที่แคบเช่นนี้เป็นการจำกัดการใช้ระบบอย่างจริงจัง ชีวิตสมัยใหม่โดยที่การนับเป็นล้าน
ปัจจุบันระบบเลขโรมันใช้ในการระบุวันครบรอบ การนับหน้าหนังสือบางหน้า (เช่น หน้าคำนำ) บทในหนังสือ บทในบทกวี เป็นต้น
ข้อมูลที่เกี่ยวข้อง.
