พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม 2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

บางครั้งในชีวิตมีสถานการณ์ที่คุณต้องเจาะลึกความทรงจำเพื่อค้นหาความรู้ในโรงเรียนที่ถูกลืมไปนาน ตัวอย่างเช่นคุณต้องกำหนดพื้นที่ของที่ดินรูปสามเหลี่ยมหรือถึงเวลาที่ต้องปรับปรุงอีกครั้งในอพาร์ทเมนต์หรือบ้านส่วนตัวและคุณต้องคำนวณว่าจะต้องใช้วัสดุจำนวนเท่าใดสำหรับพื้นผิวด้วย รูปสามเหลี่ยม มีครั้งหนึ่งที่คุณสามารถแก้ไขปัญหาดังกล่าวได้ภายในไม่กี่นาที แต่ตอนนี้คุณกำลังพยายามอย่างยิ่งที่จะจำวิธีกำหนดพื้นที่ของสามเหลี่ยม?

ไม่ต้องกังวลเกี่ยวกับมัน! ท้ายที่สุดแล้ว มันค่อนข้างปกติเมื่อสมองของบุคคลตัดสินใจที่จะถ่ายโอนความรู้ที่ไม่ได้ใช้มานานไปยังมุมที่ห่างไกล ซึ่งบางครั้งก็ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะดึงออกมา เพื่อที่คุณจะได้ไม่ต้องดิ้นรนกับการค้นหาความรู้ในโรงเรียนที่ถูกลืมเพื่อแก้ไขปัญหาดังกล่าว บทความนี้ประกอบด้วย วิธีการต่างๆซึ่งทำให้ง่ายต่อการค้นหาพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยม

เป็นที่ทราบกันดีว่ารูปสามเหลี่ยมคือรูปหลายเหลี่ยมประเภทหนึ่งซึ่งจำกัดจำนวนด้านให้น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ ตามหลักการแล้ว รูปหลายเหลี่ยมใดๆ สามารถแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมหลายๆ รูปได้โดยการเชื่อมต่อจุดยอดกับส่วนที่ไม่ตัดกันด้านข้าง ดังนั้นเมื่อรู้รูปสามเหลี่ยมแล้วคุณก็สามารถคำนวณพื้นที่ของรูปได้เกือบทุกรูป

ในบรรดารูปสามเหลี่ยมที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่เกิดขึ้นในชีวิตสามารถแยกแยะประเภทเฉพาะต่อไปนี้ได้: และรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า

วิธีที่ง่ายที่สุดในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือเมื่อมุมใดมุมหนึ่งของมันถูกต้อง นั่นคือในกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉาก เห็นได้ง่ายว่าเป็นสี่เหลี่ยมครึ่งวงกลม ดังนั้นพื้นที่ของมันจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งผลคูณของด้านที่ทำมุมฉากกัน

ถ้าเรารู้ความสูงของรูปสามเหลี่ยมซึ่งลดลงจากจุดยอดด้านหนึ่งไปทางด้านตรงข้าม และความยาวของด้านนี้ซึ่งเรียกว่าฐาน พื้นที่จะคำนวณเป็นครึ่งหนึ่งของผลคูณของความสูงและฐาน สิ่งนี้เขียนโดยใช้สูตรต่อไปนี้:

S = 1/2*b*h โดยที่

S คือพื้นที่ที่ต้องการของสามเหลี่ยม

b, h - ตามลำดับคือความสูงและฐานของรูปสามเหลี่ยม

คำนวณพื้นที่ได้ง่ายมาก สามเหลี่ยมหน้าจั่วเนื่องจากความสูงจะแบ่งเป็นด้านตรงข้ามและสามารถวัดได้ง่าย หากกำหนดพื้นที่แล้ว จะสะดวกในการนำความยาวของด้านใดด้านหนึ่งมาเป็นมุมฉากเป็นความสูง

แน่นอนว่าทั้งหมดนี้เป็นสิ่งที่ดี แต่จะทราบได้อย่างไรว่ามุมหนึ่งของสามเหลี่ยมนั้นถูกต้องหรือไม่? หากรูปร่างของเรามีขนาดเล็ก เราก็สามารถใช้มุมในการก่อสร้าง รูปสามเหลี่ยมรูปวาด ไปรษณียบัตร หรือวัตถุอื่นที่มีรูปร่างเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าได้

แต่ถ้าเรามีที่ดินรูปสามเหลี่ยมล่ะ? ในกรณีนี้ ให้ดำเนินการดังนี้ นับจากด้านบนของที่คาดไว้ มุมขวาด้านหนึ่งระยะทางเป็นผลคูณของ 3 (30 ซม. 90 ซม. 3 ม.) และอีกด้านหนึ่งระยะทางเป็นผลคูณของ 4 (40 ซม. 160 ซม. 4 ม.) วัดในสัดส่วนเดียวกัน ตอนนี้คุณต้องวัดระยะห่างระหว่างจุดสิ้นสุดของทั้งสองส่วนนี้ หากผลลัพธ์คือผลคูณของ 5 (50 ซม., 250 ซม., 5 ม.) เราก็บอกได้ว่ามุมนั้นถูกต้อง

หากทราบความยาวของด้านทั้งสามด้านของร่างของเรา พื้นที่ของสามเหลี่ยมก็สามารถกำหนดได้โดยใช้สูตรของเฮรอน เพื่อให้มีรูปแบบที่เรียบง่ายขึ้น จะใช้ค่าใหม่ซึ่งเรียกว่ากึ่งปริมณฑล นี่คือผลรวมของด้านทั้งหมดของสามเหลี่ยมโดยหารครึ่ง หลังจากคำนวณกึ่งปริมณฑลแล้ว คุณสามารถเริ่มกำหนดพื้นที่ได้โดยใช้สูตร:

S = sqrt(p(p-a)(p-b)(p-c)) โดยที่

ตารางวา - รากที่สอง;

p - ค่ากึ่งปริมณฑล (p = (a+b+c)/2);

a, b, c - ขอบ (ด้านข้าง) ของรูปสามเหลี่ยม

แต่จะเกิดอะไรขึ้นถ้าสามเหลี่ยมมี รูปร่างไม่สม่ำเสมอ- มีสองวิธีที่เป็นไปได้ที่นี่ ประการแรกคือพยายามแบ่งตัวเลขดังกล่าวออกเป็นสองส่วน สามเหลี่ยมมุมฉากผลรวมของพื้นที่ซึ่งคำนวณแยกกันแล้วบวกเพิ่ม หรือถ้าทราบมุมระหว่างสองด้านกับขนาดของด้านเหล่านี้ ให้ใช้สูตร:

S = 0.5 * ab * sinC โดยที่

ก,ข - ด้านของสามเหลี่ยม;

c คือขนาดของมุมระหว่างด้านเหล่านี้

กรณีหลังนี้พบได้น้อยมากในทางปฏิบัติ แต่ถึงกระนั้นทุกสิ่งก็เป็นไปได้ในชีวิต ดังนั้นสูตรข้างต้นจะไม่ฟุ่มเฟือย ขอให้โชคดีกับการคำนวณของคุณ!

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ในปัญหาเรขาคณิตหลายอย่างที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณพื้นที่จะใช้สูตรสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม มีหลายอย่างที่นี่เราจะดูที่หลัก ๆการแสดงรายการสูตรเหล่านี้จะง่ายเกินไปและไม่มีประโยชน์ เราจะวิเคราะห์ที่มาของสูตรพื้นฐานที่ใช้บ่อยที่สุด

ก่อนที่คุณจะอ่านที่มาของสูตรโปรดอ่านบทความเกี่ยวกับหลังจากศึกษาเนื้อหาแล้ว คุณสามารถคืนค่าสูตรในหน่วยความจำของคุณได้อย่างง่ายดาย (หากจู่ๆ พวกมัน "บินออกไป" ในเวลาที่คุณต้องการ)

สูตรแรก

เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนานแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมสองรูปที่มีพื้นที่เท่ากัน:

ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน:

พื้นที่ของสูตรสามเหลี่ยม

*นั่นคือ ถ้าเรารู้ด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมและความสูงลดลงมาทางด้านนี้ เราก็จะสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ได้เสมอ

สูตรสอง

ตามที่ระบุไว้แล้วในบทความเกี่ยวกับพื้นที่ของสี่เหลี่ยมด้านขนานสูตรจะมีลักษณะดังนี้:

พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่ซึ่งหมายถึง:

*นั่นคือ หากทราบสองด้านใดๆ ของสามเหลี่ยมและมุมระหว่างสองด้านนั้น เราก็สามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวได้เสมอ

สูตรของนกกระสา (ที่สาม)

สูตรนี้ได้มายากและไม่มีประโยชน์สำหรับคุณ ดูสิว่าเธอสวยแค่ไหนบอกได้เลยว่าเธอเองก็น่าจดจำ

*หากให้ด้านสามด้านของรูปสามเหลี่ยม การใช้สูตรนี้จะทำให้เราสามารถคำนวณพื้นที่ของมันได้ตลอดเวลา

สูตรสี่

ที่ไหน ร– รัศมีของวงกลมที่ขีดไว้

*หากทราบด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ เราก็จะสามารถหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมนี้ได้เสมอ

สูตรห้า

ที่ไหน ร– รัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ

*หากทราบด้านทั้งสามของรูปสามเหลี่ยมและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมนั้น เราก็จะสามารถหาพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมดังกล่าวได้เสมอ

คำถามเกิดขึ้น: ถ้ารู้ด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมแล้ว การหาพื้นที่โดยใช้สูตรของเฮรอนจะง่ายกว่าไหม

ใช่ มันอาจจะง่ายกว่า แต่ก็ไม่เสมอไป บางครั้งความซับซ้อนก็เกิดขึ้น สิ่งนี้เกี่ยวข้องกับการแยกราก นอกจากนี้สูตรเหล่านี้ยังสะดวกมากที่จะใช้ในการแก้ปัญหาโดยให้พื้นที่ของสามเหลี่ยมและด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมและคุณจำเป็นต้องค้นหารัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้หรือวงกลมที่ล้อมรอบไว้ งานดังกล่าวมีให้เป็นส่วนหนึ่งของการสอบ Unified State

ลองดูสูตรแยกกัน:

เป็นกรณีพิเศษของสูตรสำหรับพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมที่วงกลมถูกจารึกไว้:

ลองพิจารณาโดยใช้ตัวอย่างรูปห้าเหลี่ยม:

ให้เราเชื่อมต่อจุดศูนย์กลางของวงกลมกับจุดยอดของรูปห้าเหลี่ยมนี้และตั้งฉากล่างจากจุดศูนย์กลางไปทางด้านข้าง เราได้สามเหลี่ยมห้ารูป โดยเส้นตั้งฉากที่ตกลงเป็นรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้:

พื้นที่ของรูปห้าเหลี่ยมคือ:

ตอนนี้ก็ชัดเจนว่าถ้าเราจะพูดถึงรูปสามเหลี่ยมแล้ว สูตรนี้ใช้แบบฟอร์ม:

สูตรหก

สูตรพื้นที่จำเป็นในการกำหนดพื้นที่ของรูปซึ่งเป็นฟังก์ชันมูลค่าจริงที่กำหนดไว้ในประเภทของตัวเลขบางประเภทในระนาบยุคลิดและเป็นไปตามเงื่อนไข 4 ข้อ:

1. แง่บวก - พื้นที่ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์
2. การทำให้เป็นมาตรฐาน - สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีหน่วยด้านข้างมีพื้นที่ 1
3. ความสอดคล้อง - ตัวเลขที่เท่ากันมีพื้นที่เท่ากัน
4. บวก - พื้นที่ของการรวมกันของ 2 ตัวเลขที่ไม่มีจุดภายในร่วมจะเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของตัวเลขเหล่านี้

สูตรหาพื้นที่ของรูปทรงเรขาคณิต

รูปทรงเรขาคณิต	สูตร	การวาดภาพ
ผลบวกระยะทางระหว่างจุดกึ่งกลาง ฝั่งตรงข้ามของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนจะเท่ากับกึ่งเส้นรอบรูป
ภาควงกลม พื้นที่ของเซกเตอร์ของวงกลมเท่ากับผลคูณของส่วนโค้งและรัศมีครึ่งหนึ่ง
ส่วนวงกลม. เพื่อให้ได้พื้นที่ของเซกเตอร์ ASB ก็เพียงพอที่จะลบพื้นที่ของสามเหลี่ยม AOB ออกจากพื้นที่ของเซกเตอร์ AOB	S = 1 / 2 R(s - AC)
พื้นที่ของวงรีเท่ากับผลคูณของความยาวของครึ่งแกนหลักและรองของวงรีและจำนวน pi
วงรี. อีกทางเลือกหนึ่งสำหรับการคำนวณพื้นที่ของวงรีคือผ่านรัศมีสองอัน
สามเหลี่ยม. ผ่านฐานและความสูง สูตรพื้นที่วงกลมโดยใช้รัศมีและเส้นผ่านศูนย์กลาง
สี่เหลี่ยม . ผ่านทางด้านข้างของเขา พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับกำลังสองของความยาวของด้าน
สี่เหลี่ยม. ผ่านเส้นทแยงมุม. พื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเท่ากับครึ่งหนึ่งของความยาวของเส้นทแยงมุม
รูปหลายเหลี่ยมปกติ. ในการกำหนดพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมปกติ จำเป็นต้องแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมเท่าๆ กัน ซึ่งจะมีจุดยอดร่วมอยู่ที่ศูนย์กลางของวงกลมที่ถูกจารึกไว้	S= r พี = 1/2 r n ก

สามเหลี่ยมเป็นแบบนี้ รูปทรงเรขาคณิตซึ่งประกอบด้วยเส้นสามเส้นที่เชื่อมต่อกัน ณ จุดที่ไม่อยู่บนเส้นเดียวกัน จุดเชื่อมต่อของเส้นคือจุดยอดของรูปสามเหลี่ยมซึ่งกำหนดด้วยตัวอักษรละติน (เช่น A, B, C) เส้นตรงที่เชื่อมต่อกันของรูปสามเหลี่ยมเรียกว่าส่วนต่างๆ ซึ่งโดยปกติจะเขียนแทนด้วยตัวอักษรละติน สามเหลี่ยมประเภทต่อไปนี้มีความโดดเด่น:

• สี่เหลี่ยม
• ป้าน.
• เชิงมุมเฉียบพลัน
• อเนกประสงค์
• ด้านเท่ากันหมด
• หน้าจั่ว.

สูตรทั่วไปในการคำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมตามความยาวและความสูง

S= a*h/2,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ h คือความยาวของความสูงที่ลากถึงฐาน

สูตรของนกกระสา

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
โดยที่ √ คือรากที่สอง, p คือกึ่งเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยม, a,b,c คือความยาวของด้านแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม เสี้ยวเส้นรอบรูปของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร p=(a+b+c)/2

สูตรพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากมุมและความยาวของส่วน

S = (a*b*บาป(α))/2,
ที่ไหน ข,ค คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยม sin(α) คือไซน์ของมุมระหว่างสองด้าน

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมกำหนดรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้และด้านทั้งสาม

ส=พี*อาร์,
โดยที่ p คือพื้นที่กึ่งเส้นรอบรูปของสามเหลี่ยมที่ต้องการหาพื้นที่ r คือรัศมีของวงกลมที่จารึกไว้ในสามเหลี่ยมนี้

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยพิจารณาจากด้านทั้งสามและรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบมัน

S= (ก*ข*ค)/4*ร
โดยที่ a,b,c คือความยาวของแต่ละด้านของรูปสามเหลี่ยม R คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้พิกัดคาร์ทีเซียนของจุด

พิกัดคาร์ทีเซียนของจุดคือพิกัดในระบบ xOy โดยที่ x คือ Abscissa และ y คือพิกัด ระบบพิกัดคาร์ทีเซียน xOy บนระนาบคือแกนตัวเลขตั้งฉากร่วมกันระหว่าง Ox และ Oy โดยมีจุดกำเนิดร่วมกันที่จุด O หากพิกัดของจุดบนระนาบนี้กำหนดไว้ในรูปแบบ A(x1, y1), B(x2, y2) ) และ C(x3, y3 ) จากนั้นคุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรต่อไปนี้ซึ่งได้มาจาก ผลิตภัณฑ์เวกเตอร์เวกเตอร์สองตัว
ส = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
ที่ไหน || ย่อมาจากโมดูล

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉาก

สามเหลี่ยมมุมฉากคือสามเหลี่ยมที่มีมุมหนึ่งมุมวัดได้ 90 องศา สามเหลี่ยมสามารถมีมุมดังกล่าวได้เพียงมุมเดียวเท่านั้น

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากสองด้าน

S= ก*ข/2,
โดยที่ a,b คือความยาวของขา ขาเป็นด้านที่อยู่ติดกันเป็นมุมฉาก

สูตรสำหรับพื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านตรงข้ามมุมฉากและมุมแหลม

S = a*b*บาป(α)/ 2,
โดยที่ a, b คือขาของสามเหลี่ยม และ sin(α) คือไซน์ของมุมที่เส้น a, b ตัดกัน

สูตรพื้นที่สามเหลี่ยมมุมฉากโดยพิจารณาจากด้านและมุมตรงข้าม

S = a*b/2*tg(β)
โดยที่ a, b คือขาของรูปสามเหลี่ยม, tan(β) คือแทนเจนต์ของมุมที่ขา a, b เชื่อมต่อกัน

วิธีการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

สามเหลี่ยมหน้าจั่วคือสามเหลี่ยมที่มีสอง ด้านที่เท่ากัน- ด้านเหล่านี้เรียกว่าด้านข้าง และอีกด้านเป็นฐาน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว คุณสามารถใช้สูตรใดสูตรหนึ่งต่อไปนี้

สูตรพื้นฐานในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

S=h*c/2,
โดยที่ c คือฐานของรูปสามเหลี่ยม h คือความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลดระดับลงถึงฐาน

สูตรของสามเหลี่ยมหน้าจั่วโดยพิจารณาจากด้านและฐาน

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
โดยที่ c คือฐานของสามเหลี่ยม a คือขนาดของด้านข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

วิธีหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สามเหลี่ยมด้านเท่าคือรูปสามเหลี่ยมที่มีด้านทุกด้านเท่ากัน ในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมด้านเท่า คุณสามารถใช้สูตรต่อไปนี้:
S = (√3*ก*ก)/4,
โดยที่ a คือความยาวของด้านของสามเหลี่ยมด้านเท่า

สูตรข้างต้นจะช่วยให้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ที่ต้องการของรูปสามเหลี่ยมได้ สิ่งสำคัญคือต้องจำไว้ว่าในการคำนวณพื้นที่สามเหลี่ยมคุณต้องพิจารณาประเภทของสามเหลี่ยมและข้อมูลที่มีอยู่ที่สามารถใช้ในการคำนวณได้

สามเหลี่ยมเป็นรูปที่ทุกคนคุ้นเคย และทั้งนี้ทั้งนั้น ความหลากหลายที่หลากหลายแบบฟอร์มของมัน สี่เหลี่ยม ด้านเท่ากันหมด แหลม หน้าจั่ว ป้าน แต่ละคนมีความแตกต่างกันในทางใดทางหนึ่ง แต่สำหรับใครก็ตามคุณต้องหาพื้นที่ของสามเหลี่ยม

สูตรทั่วไปสำหรับสามเหลี่ยมทั้งหมดที่ใช้ความยาวของด้านหรือความสูง

การกำหนดที่ใช้ในนั้น: ด้าน - a, b, c; ความสูงด้านที่สอดคล้องกันของ a, n in, n ด้วย

1. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมคำนวณเป็นผลคูณของ ½ ด้านหนึ่งและลบความสูงออกแล้ว S = ½ * ก * n ก สูตรสำหรับอีกสองด้านควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. สูตรของนกกระสาซึ่งปรากฏกึ่งเส้นรอบวง (โดยปกติจะแสดงด้วยตัวอักษรตัวเล็ก p ตรงกันข้ามกับเส้นรอบวงเต็ม) ต้องคำนวณครึ่งเส้นรอบวงดังนี้: เพิ่มด้านทั้งหมดแล้วหารด้วย 2 สูตรสำหรับครึ่งเส้นรอบวงคือ: p = (a+b+c) / 2 จากนั้นความเท่าเทียมกันของพื้นที่ของ ​​รูปมีลักษณะดังนี้: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с))

3. หากคุณไม่ต้องการใช้เส้นรอบรูปครึ่งวงกลม สูตรที่มีเฉพาะความยาวของด้านจะมีประโยชน์: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (ก + ค - ค) * (ก + ข - ค)) ยาวกว่าครั้งก่อนเล็กน้อย แต่จะช่วยได้หากคุณลืมวิธีหาเส้นรอบรูป

สูตรทั่วไปเกี่ยวกับมุมของสามเหลี่ยม

สัญลักษณ์ที่จำเป็นในการอ่านสูตร: α, β, γ - มุม พวกมันอยู่ตรงข้ามกับ a, b, c ตามลำดับ

1. จากข้อมูลดังกล่าว ครึ่งหนึ่งของผลคูณของสองด้านและไซน์ของมุมระหว่างทั้งสองจะเท่ากับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม นั่นคือ: S = ½ a * b * sin γ สูตรสำหรับอีกสองกรณีควรเขียนในลักษณะเดียวกัน

2. พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสามารถคำนวณได้จากด้านหนึ่งและสามมุมที่รู้จัก S = (a 2 * บาป β * บาป γ) / (2 บาป α)

3.ยังมีสูตรหนึ่งด้วย ฝ่ายที่รู้จักและมุมสองมุมที่อยู่ติดกัน ดูเหมือนว่านี้: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β))

สองสูตรสุดท้ายไม่ใช่สูตรที่ง่ายที่สุด มันค่อนข้างยากที่จะจดจำพวกเขา

สูตรทั่วไปสำหรับสถานการณ์ที่ทราบรัศมีของวงกลมภายในหรือวงกลมภายในเส้นรอบวง

การกำหนดเพิ่มเติม: r, R - รัศมี อันแรกใช้สำหรับรัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ ประการที่สองคือสิ่งที่อธิบายไว้

1. สูตรแรกที่คำนวณพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมสัมพันธ์กับกึ่งปริมณฑล ส = ร * ร. วิธีเขียนอีกวิธีหนึ่งคือ: S = ½ r * (a + b + c)

2. ในกรณีที่สอง คุณจะต้องคูณทุกด้านของสามเหลี่ยมแล้วหารด้วยสี่เท่าของรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบ ในการแสดงออกตามตัวอักษรจะมีลักษณะดังนี้: S = (a * b * c) / (4R)

3. สถานการณ์ที่สามช่วยให้คุณทำได้โดยไม่ต้องรู้ด้าน แต่คุณจะต้องมีค่าของทั้งสามมุม S = 2 R 2 * บาป α * บาป β * บาป γ

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมมุมฉาก

นี่เป็นสถานการณ์ที่ง่ายที่สุด เนื่องจากต้องใช้เพียงความยาวของขาทั้งสองข้างเท่านั้น ถูกกำหนดด้วยตัวอักษรละติน a และ b พื้นที่ของสามเหลี่ยมมุมฉากเท่ากับครึ่งหนึ่งของพื้นที่สี่เหลี่ยมที่บวกเข้าไป

ในทางคณิตศาสตร์จะมีลักษณะดังนี้: S = ½ a * b มันง่ายที่สุดที่จะจำ เนื่องจากดูเหมือนสูตรหาพื้นที่สี่เหลี่ยมจึงปรากฏเพียงเศษส่วนแสดงว่าเป็นครึ่งหนึ่ง

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมหน้าจั่ว

เนื่องจากมีด้านสองด้านเท่ากัน สูตรบางสูตรสำหรับพื้นที่จึงดูค่อนข้างง่าย ตัวอย่างเช่น สูตรของนกกระสาซึ่งคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมหน้าจั่วใช้รูปแบบต่อไปนี้:

S = ½ นิ้ว √((a + ½ นิ้ว)*(a - ½ นิ้ว))

ถ้าแปลงร่างจะสั้นลง ในกรณีนี้ สูตรของเฮรอนสำหรับสามเหลี่ยมหน้าจั่วเขียนได้ดังนี้:

S = ¼ ใน √(4 * a 2 - b 2)

สูตรพื้นที่ดูค่อนข้างง่ายกว่าสูตรสามเหลี่ยมใดๆ ถ้าคุณรู้ ด้านข้างและมุมระหว่างพวกเขา S = ½ a 2 * บาป β

กรณีพิเศษ: สามเหลี่ยมด้านเท่า

โดยปกติแล้วจะมีปัญหาด้านที่ทราบหรือสามารถพบได้ในทางใดทางหนึ่ง จากนั้นสูตรการหาพื้นที่ของสามเหลี่ยมดังกล่าวมีดังนี้

ส = (ก 2 √3) / 4

ปัญหาในการค้นหาพื้นที่หากแสดงรูปสามเหลี่ยมบนกระดาษตารางหมากรุก

สถานการณ์ที่ง่ายที่สุดคือเมื่อวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากเพื่อให้ขาของมันตรงกับเส้นกระดาษ จากนั้นคุณเพียงแค่ต้องนับจำนวนเซลล์ที่พอดีกับขา จากนั้นคูณและหารด้วยสอง

เมื่อรูปสามเหลี่ยมมีลักษณะแหลมหรือป้าน จะต้องลากเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า จากนั้นผลลัพธ์ที่ได้จะมีสามเหลี่ยม 3 อัน หนึ่งคือสิ่งที่ได้รับในปัญหา และอีกสองอันเป็นแบบเสริมและสี่เหลี่ยม ต้องกำหนดพื้นที่ของสองส่วนสุดท้ายโดยใช้วิธีที่อธิบายไว้ข้างต้น จากนั้นคำนวณพื้นที่ของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและลบออกจากพื้นที่ที่คำนวณไว้สำหรับพื้นที่เสริม กำหนดพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม

สถานการณ์ที่ไม่มีด้านใดด้านหนึ่งของสามเหลี่ยมตรงกับเส้นกระดาษจะซับซ้อนกว่ามาก จากนั้นจะต้องจารึกไว้ในสี่เหลี่ยมเพื่อให้จุดยอดของร่างต้นฉบับอยู่ด้านข้าง ในกรณีนี้จะมีสามเหลี่ยมมุมฉากเสริมสามรูป

ตัวอย่างปัญหาการใช้สูตรของเฮรอน

เงื่อนไข. สามเหลี่ยมบางอันรู้ด้านแล้ว มีค่าเท่ากับ 3, 5 และ 6 ซม. คุณต้องหาพื้นที่ของมัน

ตอนนี้คุณสามารถคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยมโดยใช้สูตรข้างต้นได้ ใต้รากที่สองเป็นผลคูณของตัวเลขสี่ตัว: 7, 4, 2 และ 1 นั่นคือ พื้นที่คือ √(4 * 14) = 2 √(14)

หากไม่ต้องการความแม่นยำมากกว่านี้ คุณสามารถหารากที่สองของ 14 ได้ ซึ่งจะเท่ากับ 3.74 จากนั้นพื้นที่จะเป็น 7.48

คำตอบ. S = 2 √14 ซม. 2 หรือ 7.48 ซม. 2

ตัวอย่างปัญหาสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. ขาข้างหนึ่งของสามเหลี่ยมมุมฉากมีขนาดใหญ่กว่าขาที่สอง 31 ซม. คุณต้องค้นหาความยาวของมันหากพื้นที่ของสามเหลี่ยมคือ 180 ซม. 2
สารละลาย. เราจะต้องแก้ระบบสมการสองสมการ ประการแรกเกี่ยวข้องกับพื้นที่ อย่างที่สองคืออัตราส่วนของขาซึ่งระบุไว้ในโจทย์
180 = ½ ก * ข;

ก = ข + 31
ขั้นแรก ต้องแทนที่ค่า "a" ในสมการแรก ปรากฎว่า: 180 = ½ (ใน + 31) * นิ้ว มีปริมาณที่ไม่รู้จักเพียงปริมาณเดียว ดังนั้นจึงแก้ได้ง่าย หลังจากเปิดวงเล็บแล้วเราจะได้ สมการกำลังสอง: ใน 2 + 31 ใน - 360 = 0 ให้ค่า "ใน" สองค่า: 9 และ - 40 ตัวเลขที่สองไม่เหมาะเป็นคำตอบเนื่องจากความยาวของด้านของสามเหลี่ยมไม่สามารถเป็นลบได้ ค่า.

ยังคงต้องคำนวณเลกที่สอง: เพิ่ม 31 เข้ากับตัวเลขผลลัพธ์ กลายเป็น 40 นี่คือปริมาณที่ต้องการในปัญหา

คำตอบ. ขาของรูปสามเหลี่ยมมีขนาด 9 และ 40 ซม.

ปัญหาการหาด้านผ่านพื้นที่ ด้าน และมุมของรูปสามเหลี่ยม

เงื่อนไข. พื้นที่ของสามเหลี่ยมบางรูปคือ 60 ซม. 2 จำเป็นต้องคำนวณด้านใดด้านหนึ่งหากด้านที่สองคือ 15 ซม. และมุมระหว่างด้านคือ30°

สารละลาย. ตามสัญกรณ์ที่ยอมรับ ด้านที่ต้องการคือ “a” ด้านที่ทราบคือ “b” มุมที่กำหนดคือ “γ” จากนั้นสูตรพื้นที่สามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้:

60 = ½ a * 15 * บาป 30° ตรงนี้ไซน์ของ 30 องศาคือ 0.5

หลังจากการแปลง "a" จะเท่ากับ 60 / (0.5 * 0.5 * 15) นั่นคือ 16

คำตอบ. ด้านที่ต้องการคือ 16 ซม.

ปัญหาเกี่ยวกับสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ถูกจารึกไว้ในสามเหลี่ยมมุมฉาก

เงื่อนไข. จุดยอดของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีด้านยาว 24 ซม. เกิดขึ้นพร้อมกับมุมฉากของรูปสามเหลี่ยม อีกสองคนนอนตะแคง อันที่สามเป็นของด้านตรงข้ามมุมฉาก. ความยาวของขาข้างหนึ่งคือ 42 ซม. สามเหลี่ยมมุมฉากมีพื้นที่เท่าไร?

สารละลาย. พิจารณาสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน อันแรกคืออันที่ระบุในงาน อันที่สองอิงตามขาที่รู้จักของสามเหลี่ยมดั้งเดิม พวกมันคล้ายกันเพราะมีมุมที่เหมือนกันและประกอบด้วยเส้นคู่ขนาน

อัตราส่วนของขาก็จะเท่ากัน ขาของสามเหลี่ยมเล็กกว่าจะเท่ากับ 24 ซม. (ด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส) และ 18 ซม. (ขาที่กำหนด 42 ซม. ลบด้านข้างของสี่เหลี่ยมจัตุรัส 24 ซม.) ขาที่สอดคล้องกันของสามเหลี่ยมขนาดใหญ่คือ 42 ซม. และ x ซม. นี่คือ "x" ที่จำเป็นในการคำนวณพื้นที่ของสามเหลี่ยม

18/42 = 24/x นั่นคือ x = 24 * 42/18 = 56 (ซม.)

จากนั้น พื้นที่จะเท่ากับผลคูณของ 56 และ 42 หารด้วย 2 นั่นคือ 1176 ซม. 2

คำตอบ. พื้นที่ที่ต้องการคือ 1176 ซม. 2