กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันทุกทิศทางเพราะเหตุใด ข้อเท็จจริงที่น่าสนใจเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส: เรียนรู้สิ่งใหม่เกี่ยวกับทฤษฎีบทที่มีชื่อเสียง (15 ภาพ)
สถาปนิกชาวโรมัน วิทรูเวียส กล่าวถึงทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยเฉพาะ “ของการค้นพบมากมายที่ช่วยในการพัฒนาชีวิตมนุษย์” และเรียกร้องให้ปฏิบัติต่อทฤษฎีนี้ด้วยความเคารพอย่างสูงสุด สิ่งนี้เกิดขึ้นในศตวรรษที่ 1 ก่อนคริสต์ศักราช จ. ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 16-17 นักดาราศาสตร์ชาวเยอรมันผู้โด่งดัง โยฮันเนส เคปเลอร์ เรียกที่นี่ว่าเป็นหนึ่งในสมบัติทางเรขาคณิตซึ่งเทียบได้กับการวัดด้วยทองคำ ไม่น่าเป็นไปได้ที่คณิตศาสตร์ทั้งหมดจะมีข้อความที่มีน้ำหนักและสำคัญกว่านี้ เนื่องจากในแง่ของจำนวนการประยุกต์ใช้ทางวิทยาศาสตร์และการปฏิบัติ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสไม่เท่ากัน
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับกรณีของสามเหลี่ยมมุมฉากหน้าจั่ว
วิทยาศาสตร์กับชีวิต // ภาพประกอบ
ภาพประกอบของทฤษฎีบทพีทาโกรัสจากบทความเกี่ยวกับเสาวัด (จีน ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) และการพิสูจน์ที่สร้างขึ้นใหม่โดยใช้ทฤษฎีบทดังกล่าว
วิทยาศาสตร์กับชีวิต // ภาพประกอบ
เอส. เพอร์กินส์. พีทาโกรัส
การวาดภาพเพื่อพิสูจน์ความเป็นไปได้ของพีทาโกรัส
“โมเสกพีทาโกรัส” และการแบ่งสี่เหลี่ยมจัตุรัสสามช่องของอัล-ไนริซีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
พี. เดอ ฮูช. นายหญิงและแม่บ้านในลานบ้าน ประมาณปี 1660
เจ. ออชเทอร์เวลท์. นักดนตรีเร่ร่อนที่ประตูบ้านเศรษฐี 1665
กางเกงพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจเป็นทฤษฎีบทที่เป็นที่รู้จักมากที่สุดและมีชื่อเสียงที่สุดในประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์อย่างไม่ต้องสงสัย ในทางเรขาคณิตจะใช้ในทุกขั้นตอนอย่างแท้จริง แม้ว่าสูตรจะเรียบง่าย แต่ทฤษฎีบทนี้ก็ไม่ชัดเจนนัก นั่นคือการดูสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้าน a< b < c, усмотреть соотношение a 2 + b 2 = c 2 невозможно. Однажды известный американский логик и популяризатор науки Рэймонд Смаллиан, желая подвести учеников к открытию теоремы Пифагора, начертил на доске прямоугольный треугольник и по квадрату на каждой его стороне и сказал: «Представьте, что эти квадраты сделаны из кованого золота и вам предлагают взять себе либо один สี่เหลี่ยมใหญ่หรือตัวเล็กสองตัว คุณจะเลือกอะไร? ความคิดเห็นถูกแบ่งครึ่ง และการอภิปรายที่มีชีวิตชีวาก็เกิดขึ้น ลองนึกภาพความประหลาดใจของนักเรียนเมื่อครูอธิบายให้พวกเขาฟังว่าไม่มีความแตกต่าง! แต่เราต้องเรียกร้องให้ขาเท่ากันเท่านั้น แล้วประโยคของทฤษฎีบทก็จะชัดเจน (รูปที่ 1) แล้วใครจะสงสัยว่า “กางเกงพีทาโกรัส” มีความเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง? แต่นี่คือ "กางเกง" ตัวเดียวกันในรูปแบบ "พับ" เท่านั้น (รูปที่ 2) ภาพวาดนี้ถูกใช้โดยฮีโร่ในบทสนทนาหนึ่งของเพลโตที่เรียกว่า "เมโน" นักปรัชญาที่มีชื่อเสียงโสกราตีสพูดคุยกับเด็กทาสเกี่ยวกับปัญหาในการสร้างจัตุรัสซึ่งมีพื้นที่เป็นสองเท่าของพื้นที่ที่กำหนด. โดยพื้นฐานแล้ว เหตุผลของเขาต้มลงไปเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส แม้ว่าจะเป็นรูปสามเหลี่ยมเฉพาะก็ตาม
ตัวเลขที่แสดงในรูปที่. เลข 1 และ 2 มีลักษณะคล้ายเครื่องประดับสี่เหลี่ยมที่ง่ายที่สุดและของเหล่านั้น ส่วนที่เท่ากัน- ลวดลายเรขาคณิตที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยโบราณ พวกเขาสามารถครอบคลุมเครื่องบินได้อย่างสมบูรณ์ นักคณิตศาสตร์จะเรียกการปูกระเบื้องด้วยไม้ปาร์เก้รูปหลายเหลี่ยมหรือการปูกระเบื้อง พีธากอรัสเกี่ยวอะไรกับมัน? ปรากฎว่าเขาเป็นคนแรกที่แก้ปัญหาไม้ปาร์เก้ทั่วไปซึ่งเริ่มการศึกษาการปูกระเบื้องของพื้นผิวต่างๆ ดังนั้น พีทาโกรัสแสดงให้เห็นว่าระนาบรอบจุดหนึ่งสามารถถูกปกคลุมได้โดยไม่มีช่องว่างด้วยรูปหลายเหลี่ยมปกติที่เท่ากันซึ่งมีเพียงสามประเภทเท่านั้น ได้แก่ สามเหลี่ยมหกรูป สี่เหลี่ยมจัตุรัสสี่รูป และรูปหกเหลี่ยมสามรูป
4,000 ปีต่อมา
ประวัติความเป็นมาของทฤษฎีบทพีทาโกรัสย้อนกลับไปในสมัยโบราณ การกล่าวถึงเรื่องนี้มีอยู่ในตำรารูปแบบอักษรบาบิโลนตั้งแต่สมัยกษัตริย์ฮัมมูราบี (ศตวรรษที่ 18 ก่อนคริสต์ศักราช) นั่นคือ 1,200 ปีก่อนการประสูติของพีทาโกรัส ทฤษฎีบทถูกใช้เป็นกฎสำเร็จรูปในปัญหาต่างๆ มากมาย วิธีที่ง่ายที่สุดคือการค้นหาเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่อยู่ด้านข้าง เป็นไปได้ว่าชาวบาบิโลนได้รับความสัมพันธ์ a 2 + b 2 = c 2 สำหรับสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ โดยเพียงแค่ "สรุป" ความเท่าเทียมกัน a 2 + a 2 = c 2 แต่สิ่งนี้สามารถให้อภัยได้สำหรับพวกเขา - สำหรับเรขาคณิตเชิงปฏิบัติของคนสมัยก่อนซึ่งรวมไปถึงการวัดและการคำนวณไม่จำเป็นต้องให้เหตุผลที่เข้มงวด
บัดนี้ เกือบ 4,000 ปีต่อมา เรากำลังเผชิญกับทฤษฎีบทที่ทำลายสถิติจำนวนข้อพิสูจน์ต่างๆ อย่างไรก็ตามการรวบรวมพวกมันถือเป็นประเพณีที่มีมายาวนาน จุดสูงสุดที่น่าสนใจในทฤษฎีบทพีทาโกรัสเกิดขึ้นในวินาที ครึ่งหนึ่งของ XIX- ต้นศตวรรษที่ 20 และถ้าคอลเลกชันแรกมีหลักฐานไม่เกินสองหรือสามสิบชิ้นล่ะก็ ปลายศตวรรษที่ 19ศตวรรษ จำนวนของพวกเขาเข้าใกล้ 100 และครึ่งศตวรรษต่อมาก็เกิน 360 และนี่เป็นเพียงผู้ที่รวบรวมโดย แหล่งที่มาที่แตกต่างกัน- ใครก็ตามที่แก้ไขปัญหางานเหนือกาลเวลานี้ - ตั้งแต่นักวิทยาศาสตร์ผู้มีชื่อเสียงและผู้เผยแพร่วิทยาศาสตร์ไปจนถึงสมาชิกสภาผู้แทนราษฎรและเด็กนักเรียน และสิ่งที่น่าทึ่งคือด้วยความคิดริเริ่มและความเรียบง่ายของโซลูชัน มือสมัครเล่นคนอื่นๆ ก็ไม่ด้อยกว่ามืออาชีพ!
หลักฐานที่เก่าแก่ที่สุดของทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่มาถึงเรานั้นมีอายุประมาณ 2,300 ปี หนึ่งในนั้น - สัจพจน์ที่เข้มงวด - เป็นของนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกโบราณ Euclid ซึ่งอาศัยอยู่ในศตวรรษที่ 4-3 ก่อนคริสต์ศักราช จ. ในเล่มที่ 1 ขององค์ประกอบ ทฤษฎีบทพีทาโกรัสถูกระบุเป็น “ข้อเสนอ 47” หลักฐานที่เห็นได้ชัดเจนและสวยงามที่สุดนั้นมาจากการปรับเปลี่ยนรูปร่างของ “กางเกงพีทาโกรัส” พวกมันดูเหมือนปริศนาตัดสี่เหลี่ยมอันชาญฉลาด แต่ทำให้ชิ้นส่วนต่างๆ เคลื่อนที่ได้อย่างถูกต้อง แล้วพวกมันจะเปิดเผยความลับของทฤษฎีบทอันโด่งดังให้คุณทราบ
นี่เป็นข้อพิสูจน์อันงดงามที่ได้รับจากภาพวาดจากบทความจีนโบราณ (รูปที่ 3) และการเชื่อมต่อกับปัญหาการเพิ่มพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นสองเท่านั้นชัดเจนในทันที
นี่เป็นข้อพิสูจน์อย่างชัดเจนว่า Guido วัย 7 ขวบซึ่งเป็นฮีโร่ผู้ชาญฉลาดเกินวัยของเรื่องสั้นเรื่อง Little Archimedes โดย Aldous Huxley นักเขียนชาวอังกฤษพยายามอธิบายให้เพื่อนรุ่นน้องของเขาฟัง เป็นเรื่องน่าแปลกที่ผู้บรรยายที่เห็นภาพนี้ตั้งข้อสังเกตถึงความเรียบง่ายและความน่าเชื่อถือของข้อพิสูจน์ ดังนั้นเขาจึงให้เหตุผลว่า... เป็นฝีมือของพีธากอรัสเอง แต่ ตัวละครหลักเรื่องราวอันน่าอัศจรรย์ของ Evgeniy Veltistov เรื่อง "นักอิเล็กทรอนิกส์ - เด็กชายจากกระเป๋าเดินทาง" รู้ข้อพิสูจน์ 25 ข้อเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส รวมถึงข้อพิสูจน์ที่ Euclid มอบให้ด้วย อย่างไรก็ตามเขาเรียกมันว่าง่ายที่สุดโดยไม่ได้ตั้งใจแม้ว่าในความเป็นจริงแล้วใน "หลักการ" ฉบับสมัยใหม่จะใช้เวลาหนึ่งหน้าครึ่ง!
นักคณิตศาสตร์คนแรก
พีทาโกรัสแห่งซามอส (570-495 ปีก่อนคริสตกาล) ซึ่งมีชื่อที่เชื่อมโยงกับทฤษฎีบทที่น่าทึ่งมายาวนานในแง่หนึ่งสามารถเรียกได้ว่าเป็นนักคณิตศาสตร์คนแรก สำหรับเขาแล้วคณิตศาสตร์เริ่มต้นในฐานะวิทยาศาสตร์ที่แน่นอน โดยที่ความรู้ใหม่ไม่ได้เป็นผลมาจากการนำเสนอด้วยภาพและกฎเกณฑ์ที่เรียนรู้จากประสบการณ์ แต่เป็นผลมาจากการใช้เหตุผลและข้อสรุปเชิงตรรกะ นี่เป็นวิธีเดียวที่จะสร้างความจริงของประพจน์ทางคณิตศาสตร์ใดๆ เพียงครั้งเดียวและสำหรับความจริงทั้งหมด ก่อนพีทาโกรัสจะใช้วิธีนิรนัยเท่านั้น นักปรัชญาชาวกรีกโบราณและนักวิทยาศาสตร์ Thales of Miletus ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วงเปลี่ยนศตวรรษที่ 7-6 ก่อนคริสต์ศักราช จ. เขาแสดงแนวคิดของการพิสูจน์ แต่ตามกฎแล้วไม่ได้ประยุกต์ใช้มันอย่างเป็นระบบโดยเลือกสรรกับข้อความทางเรขาคณิตที่ชัดเจนเช่น "เส้นผ่านศูนย์กลางแบ่งครึ่งวงกลม" พีทาโกรัสไปได้ไกลกว่านั้นมาก เชื่อกันว่าเขาได้แนะนำคำจำกัดความ สัจพจน์ และวิธีการพิสูจน์แบบแรก และยังได้สร้างหลักสูตรแรกในเรขาคณิต ซึ่งชาวกรีกโบราณรู้จักภายใต้ชื่อ "ประเพณีของพีทาโกรัส" เขายังอยู่ที่จุดกำเนิดของทฤษฎีจำนวนและสามมิติด้วย
ข้อดีที่สำคัญอีกประการหนึ่งของพีทาโกรัสคือการก่อตั้งโรงเรียนนักคณิตศาสตร์อันรุ่งโรจน์ซึ่งเป็นเวลากว่าศตวรรษได้กำหนดการพัฒนาวิทยาศาสตร์นี้ในสมัยกรีกโบราณ คำว่า "คณิตศาสตร์" นั้นเกี่ยวข้องกับชื่อของเขา (จาก คำภาษากรีกμαθημa - การสอน วิทยาศาสตร์) รวมสี่สาขาวิชาที่เกี่ยวข้องกับระบบความรู้ที่สร้างขึ้นโดยพีทาโกรัสและผู้ติดตามของเขา - พีทาโกรัส: เรขาคณิต เลขคณิต ดาราศาสตร์ และฮาร์โมนิกส์
เป็นไปไม่ได้ที่จะแยกความสำเร็จของพีทาโกรัสออกจากความสำเร็จของนักเรียน: ตามธรรมเนียม พวกเขาถือว่าความคิดและการค้นพบของตนเองเป็นของครู ชาวพีทาโกรัสยุคแรกไม่ได้ทิ้งงานเขียนใด ๆ ไว้ พวกเขาส่งข้อมูลทั้งหมดให้กันด้วยวาจา ดังนั้น 2,500 ปีต่อมา นักประวัติศาสตร์จึงไม่มีทางเลือกนอกจากต้องสร้างความรู้ที่สูญหายไปขึ้นมาใหม่โดยอาศัยการถอดความของผู้เขียนคนอื่นๆ ในเวลาต่อมา ให้เรามอบสิ่งที่ควรแก่ชาวกรีก: แม้ว่าพวกเขาจะล้อมรอบชื่อของพีทาโกรัสด้วยตำนานมากมาย แต่พวกเขาไม่ได้ถือว่าเขามีสิ่งใดก็ตามที่เขาไม่สามารถค้นพบหรือพัฒนาเป็นทฤษฎีได้ และทฤษฎีบทที่เป็นชื่อของเขาก็ไม่มีข้อยกเว้น
หลักฐานง่ายๆ แบบนี้
ไม่ทราบว่าพีธากอรัสค้นพบความสัมพันธ์ระหว่างความยาวของด้านต่างๆ ในรูปสามเหลี่ยมมุมฉากหรือยืมความรู้นี้มาหรือไม่ นักเขียนโบราณอ้างว่าตัวเขาเองและชอบที่จะเล่าตำนานอีกครั้งว่าพีทาโกรัสเสียสละวัวเพื่อเป็นเกียรติแก่การค้นพบของเขาอย่างไร นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่มีแนวโน้มที่จะเชื่อว่าเขาได้เรียนรู้เกี่ยวกับทฤษฎีบทนี้ผ่านการทำความคุ้นเคยกับคณิตศาสตร์ของชาวบาบิโลน นอกจากนี้เรายังไม่ทราบในรูปแบบใดของพีทาโกรัสในการกำหนดทฤษฎีบท: ในทางคณิตศาสตร์ตามธรรมเนียมในปัจจุบันกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของขาหรือทางเรขาคณิตในจิตวิญญาณของสมัยโบราณสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้น ด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากจะเท่ากับผลรวมของกำลังสองที่สร้างบนขาของเขา
เชื่อกันว่าเป็นพีทาโกรัสผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทแรกตามชื่อของเขา แน่นอนว่ามันไม่รอด ตามฉบับหนึ่ง พีทาโกรัสอาจใช้หลักคำสอนเรื่องสัดส่วนที่พัฒนาขึ้นในโรงเรียนของเขา โดยเฉพาะอย่างยิ่งทฤษฎีความคล้ายคลึงซึ่งเป็นพื้นฐานของการให้เหตุผลนั้นขึ้นอยู่กับทฤษฎีนี้ ให้เราวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากโดยมีขา a และ b ระดับความสูงถึงด้านตรงข้ามมุมฉาก c เราได้รูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกันสามรูป รวมถึงรูปสามเหลี่ยมด้วย ด้านที่สมนัยกันเป็นสัดส่วน a: c = m: a และ b: c = n: b โดยที่ a 2 = c · m และ b 2 = c · n จากนั้น 2 + b 2 = = c (m + n) = c 2 (รูปที่ 4)
นี่เป็นเพียงการบูรณะใหม่ที่เสนอโดยนักประวัติศาสตร์วิทยาศาสตร์คนหนึ่ง แต่ข้อพิสูจน์ที่คุณเห็นนั้นง่ายมาก: ใช้เวลาเพียงไม่กี่บรรทัด ไม่จำเป็นต้องทำอะไรให้เสร็จสิ้น ปรับรูปร่างใหม่ คำนวณ... ไม่น่าแปลกใจเลย ว่ามีการค้นพบซ้ำแล้วซ้ำเล่า ตัวอย่างเช่นมีอยู่ใน "Practice of Geometry" โดย Leonardo of Pisa (1220) และยังคงมีการอ้างอิงในตำราเรียน
การพิสูจน์ดังกล่าวไม่ได้ขัดแย้งกับแนวคิดของชาวพีทาโกรัสเกี่ยวกับการเทียบเคียงได้ ในตอนแรกพวกเขาเชื่อว่าอัตราส่วนของความยาวของสองส่วนใดๆ และด้วยเหตุนี้จึงสามารถแสดงพื้นที่ของร่างที่เป็นเส้นตรงได้โดยใช้ ตัวเลขธรรมชาติ- พวกเขาไม่ได้พิจารณาตัวเลขอื่นใด พวกเขาไม่อนุญาตให้มีเศษส่วนโดยแทนที่ด้วยอัตราส่วน 1: 2, 2: 3 เป็นต้น อย่างไรก็ตาม น่าแปลกที่มันเป็นทฤษฎีบทพีทาโกรัสที่นำชาวพีทาโกรัสไปสู่การค้นพบความไม่สามารถเทียบเคียงได้ของ เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสและด้านข้าง ความพยายามทั้งหมดในการแสดงความยาวของเส้นทแยงมุมนี้ด้วยตัวเลข - สำหรับหน่วยกำลังสองซึ่งเท่ากับ √2 - ไม่ได้นำไปสู่ที่ไหนเลย การพิสูจน์ว่าปัญหาไม่สามารถแก้ไขได้ง่ายกว่า ในกรณีเช่นนี้ นักคณิตศาสตร์มีวิธีการที่ได้รับการพิสูจน์แล้ว - พิสูจน์ด้วยความขัดแย้ง โดยวิธีการนี้ก็มีสาเหตุมาจากพีทาโกรัสด้วย
การมีอยู่ของอัตราส่วนที่ไม่สามารถแสดงได้ด้วยจำนวนธรรมชาติทำให้แนวคิดหลายประการของชาวพีทาโกรัสสิ้นสุดลง เห็นได้ชัดว่าตัวเลขที่พวกเขารู้ไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาง่ายๆ นับประสาอะไรกับเรขาคณิตทั้งหมด! การค้นพบนี้เป็นจุดเปลี่ยนในการพัฒนาคณิตศาสตร์กรีกซึ่งเป็นปัญหาสำคัญของคณิตศาสตร์ ประการแรกนำไปสู่การพัฒนาหลักคำสอนเรื่องปริมาณที่เทียบไม่ได้ - ความไม่มีเหตุผลและจากนั้นจึงขยายแนวคิดเรื่องจำนวน กล่าวอีกนัยหนึ่ง ประวัติศาสตร์อันยาวนานหลายศตวรรษของการค้นคว้าเกี่ยวกับเซตของจำนวนจริงเริ่มต้นจากเขา
โมเสกแห่งพีทาโกรัส
หากคุณปูระนาบด้วยสี่เหลี่ยมสองขนาดที่แตกต่างกัน โดยล้อมรอบสี่เหลี่ยมเล็กๆ แต่ละอันด้วยสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่สี่อัน คุณจะได้ปาร์เก้ “โมเสกพีทาโกรัส” การออกแบบนี้มีพื้นหินที่ตกแต่งเป็นแนวยาว ชวนให้นึกถึงข้อพิสูจน์โบราณเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส (จึงเป็นที่มาของชื่อ) ด้วยการใช้ตารางสี่เหลี่ยมกับไม้ปาร์เก้ในรูปแบบต่างๆ เป็นไปได้ที่จะได้พาร์ติชั่นของสี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเสนอไว้ นักคณิตศาสตร์ที่แตกต่างกัน- ตัวอย่างเช่น หากคุณจัดเรียงตารางเพื่อให้โหนดทั้งหมดตรงกับจุดยอดขวาบนของสี่เหลี่ยมเล็กๆ ชิ้นส่วนของภาพวาดเพื่อพิสูจน์ของนักคณิตศาสตร์ชาวเปอร์เซียในยุคกลาง อัน-ไนริซี ซึ่งเขาระบุไว้ในความคิดเห็นต่อองค์ประกอบของยุคลิด จะปรากฏขึ้น ง่ายที่จะเห็นว่าผลรวมของพื้นที่ของสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่และเล็กซึ่งเป็นองค์ประกอบดั้งเดิมของไม้ปาร์เก้นั้นเท่ากับพื้นที่ของตารางหนึ่งของตารางที่ซ้อนทับอยู่ ซึ่งหมายความว่าการแบ่งส่วนที่ระบุนั้นเหมาะสมมากสำหรับการวางไม้ปาร์เก้: โดยการเชื่อมต่อรูปหลายเหลี่ยมที่เกิดขึ้นเป็นสี่เหลี่ยมดังแสดงในรูปคุณสามารถเติมทั้งระนาบโดยไม่มีช่องว่างหรือทับซ้อนกัน
» โดยศาสตราจารย์เกียรติคุณสาขาคณิตศาสตร์แห่งมหาวิทยาลัย Warwick ผู้มีชื่อเสียงด้านวิทยาศาสตร์ Ian Stewart ซึ่งอุทิศให้กับบทบาทของตัวเลขในประวัติศาสตร์ของมนุษยชาติและความเกี่ยวข้องของการศึกษาในยุคของเรา
ด้านตรงข้ามมุมฉากของพีทาโกรัส
สามเหลี่ยมพีทาโกรัสมีมุมฉากและด้านจำนวนเต็ม ด้านที่ง่ายที่สุดมีด้านยาวที่สุด 5 ด้าน ส่วนที่เหลือคือ 3 และ 4 มีทั้งหมด 5 ด้าน รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ- สมการระดับที่ 5 ไม่สามารถแก้ไขได้โดยใช้รากที่ 5 หรือรากอื่นใด โครงตาข่ายบนระนาบและในพื้นที่สามมิติไม่มีสมมาตรในการหมุนแบบห้าแฉก ดังนั้นจึงไม่มีความสมมาตรดังกล่าวในผลึก อย่างไรก็ตาม พวกมันสามารถพบได้ในโครงตาข่ายในพื้นที่สี่มิติและในโครงสร้างที่น่าสนใจที่เรียกว่าควอซิคริสตัล
ด้านตรงข้ามมุมฉากของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสที่เล็กที่สุด
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสระบุว่าด้านที่ยาวที่สุดของสามเหลี่ยมมุมฉาก (ด้านตรงข้ามมุมฉากฉาวโฉ่) สัมพันธ์กับอีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้ด้วยวิธีที่เรียบง่ายและสวยงามมาก กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับผลรวมของกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก อีกสองด้าน
ตามเนื้อผ้า เราเรียกทฤษฎีบทนี้ว่าพีธากอรัส แต่ในความเป็นจริงแล้ว ประวัติของมันค่อนข้างคลุมเครือ แผ่นจารึกดินเหนียวแนะนำว่าชาวบาบิโลนโบราณรู้จักทฤษฎีบทของพีทาโกรัสมานานก่อนพีทาโกรัสเอง ชื่อเสียงของผู้ค้นพบถูกนำมาหาเขาโดยลัทธิทางคณิตศาสตร์ของชาวพีทาโกรัสซึ่งผู้สนับสนุนเชื่อว่าจักรวาลนั้นมีพื้นฐานมาจากกฎตัวเลข ผู้เขียนสมัยโบราณกล่าวถึงทฤษฎีบททางคณิตศาสตร์ที่หลากหลายว่าเป็นของพีทาโกรัส - และดังนั้นจึงเป็นของพีทาโกรัส แต่ในความเป็นจริงเราไม่รู้ว่าพีทาโกรัสทางคณิตศาสตร์ประเภทใดเกี่ยวข้องกับอะไร เราไม่รู้ด้วยซ้ำว่าชาวพีทาโกรัสสามารถพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้หรือไม่ หรือแค่เชื่อว่าทฤษฎีนั้นเป็นจริง หรือเป็นไปได้มากว่าพวกเขามีหลักฐานที่น่าเชื่อถือเกี่ยวกับความจริงซึ่งยังคงไม่เพียงพอสำหรับสิ่งที่เราพิจารณาเป็นหลักฐานในปัจจุบัน
ข้อพิสูจน์ของพีทาโกรัส
หลักฐานแรกที่ทราบเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสพบได้ในองค์ประกอบของยุคลิด นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่ค่อนข้างซับซ้อน โดยใช้ภาพวาดที่เด็กนักเรียนชาววิกตอเรียจะจำได้ทันทีว่าเป็น "กางเกงพีทาโกรัส" ภาพวาดนี้ดูคล้ายกับกางเกงในที่แห้งเป็นเส้นจริงๆ มีหลักฐานอื่นๆ อีกหลายร้อยข้อ ซึ่งส่วนใหญ่ทำให้ข้อยืนยันชัดเจนยิ่งขึ้น
// ข้าว. 33. กางเกงพีทาโกรัส
การพิสูจน์ที่ง่ายที่สุดอย่างหนึ่งคือปริศนาทางคณิตศาสตร์ชนิดหนึ่ง นำสามเหลี่ยมมุมฉากมาทำสำเนาสี่ชุดแล้วประกอบเข้าในจัตุรัส ในการจัดเรียงครั้งหนึ่ง เราเห็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสบนด้านตรงข้ามมุมฉาก กับอีกอัน - สี่เหลี่ยมที่อีกสองด้านของรูปสามเหลี่ยม เป็นที่ชัดเจนว่าพื้นที่ในทั้งสองกรณีเท่ากัน
// ข้าว. 34. ซ้าย: ยกกำลังสองบนด้านตรงข้ามมุมฉาก (บวกสามเหลี่ยมสี่อัน) ขวา: ผลรวมของกำลังสองบนอีกสองด้าน (บวกสามเหลี่ยมสี่อันที่เหมือนกัน) ตอนนี้กำจัดสามเหลี่ยมออก
การผ่าของ Perigal เป็นอีกหนึ่งข้อพิสูจน์ปริศนา
// ข้าว. 35. การผ่าของ Perigal
นอกจากนี้ยังมีข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทโดยใช้การจัดเรียงสี่เหลี่ยมบนระนาบอีกด้วย บางทีนี่อาจเป็นวิธีที่ชาวพีทาโกรัสหรือบรรพบุรุษที่ไม่รู้จักค้นพบทฤษฎีบทนี้ ถ้าคุณดูว่าสี่เหลี่ยมเอียงซ้อนทับกับสี่เหลี่ยมอีกสองอันอย่างไร คุณสามารถดูวิธีตัดสี่เหลี่ยมขนาดใหญ่เป็นชิ้นๆ แล้วนำมาต่อกันเป็นสี่เหลี่ยมเล็กๆ สองอัน คุณยังสามารถเห็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งด้านข้างบอกขนาดของสี่เหลี่ยมทั้งสามที่เกี่ยวข้อง
// ข้าว. 36. พิสูจน์ด้วยการปู
มีข้อพิสูจน์ที่น่าสนใจโดยใช้สามเหลี่ยมที่คล้ายกันในตรีโกณมิติ ทราบหลักฐานที่แตกต่างกันอย่างน้อยห้าสิบข้อ
พีทาโกรัสสามเท่า
ในทฤษฎีจำนวน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสกลายเป็นที่มาของแนวคิดที่ได้ผล นั่นคือ การค้นหาคำตอบจำนวนเต็มของสมการพีชคณิต ทริปเปิลพีทาโกรัสคือเซตของจำนวนเต็ม a, b และ c ในลักษณะนั้น
ในเชิงเรขาคณิต ทริปเปิลดังกล่าวกำหนดสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านจำนวนเต็ม
ด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็กที่สุดของค่าสามเท่าของพีทาโกรัสคือ 5
อีกสองด้านของสามเหลี่ยมนี้คือ 3 และ 4 ตรงนี้
32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52.
ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดถัดไปคือ 10 เพราะว่า
62 + 82 = 36 + 64 = 100 = 102.
อย่างไรก็ตาม นี่คือสามเหลี่ยมอันเดียวกันที่มีด้านสองด้าน ด้านตรงข้ามมุมฉากที่ใหญ่ที่สุดและแตกต่างอย่างแท้จริงรองลงมาคือ 13 ซึ่งในกรณีนี้
52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132.
ยุคลิดรู้ว่าแฝดพีทาโกรัสมีรูปแบบต่างๆ มากมายนับไม่ถ้วน และเขาได้ให้สิ่งที่เรียกว่าสูตรในการค้นหาพวกมันทั้งหมด ต่อมา ไดโอแฟนทัสแห่งอเล็กซานเดรียเสนอสูตรอาหารง่ายๆ ซึ่งโดยพื้นฐานแล้วจะเหมือนกับสูตรในยุคลิด
นำจำนวนธรรมชาติสองตัวมาคำนวณ:
ผลิตภัณฑ์คู่ของพวกเขา
ความแตกต่างของกำลังสอง;
ผลรวมของกำลังสองของพวกเขา
ตัวเลขผลลัพธ์ทั้งสามตัวจะเป็นด้านข้างของสามเหลี่ยมพีทาโกรัส
ยกตัวอย่างเช่น ตัวเลข 2 และ 1 มาคำนวณกัน:
ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 2 × 1 = 4;
ผลต่างของกำลังสอง: 22 - 12 = 3;
ผลรวมของกำลังสอง: 22 + 12 = 5,
และเราได้สามเหลี่ยม 3-4-5 อันโด่งดัง หากเราใช้ตัวเลข 3 และ 2 แทน เราจะได้:
ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 3 × 2 = 12;
ผลต่างของกำลังสอง: 32 - 22 = 5;
ผลรวมของกำลังสอง: 32 + 22 = 13,
และเราจะได้สามเหลี่ยมที่มีชื่อเสียงที่สุดถัดไป 5 - 12 - 13 ลองหาตัวเลข 42 และ 23 และรับ:
ผลิตภัณฑ์คู่: 2 × 42 × 23 = 1932;
ผลต่างของกำลังสอง: 422 - 232 = 1235;
ผลรวมของกำลังสอง: 422 + 232 = 2293
ไม่มีใครเคยได้ยินเกี่ยวกับสามเหลี่ยม 1235–1932–2293 มาก่อน
แต่ตัวเลขเหล่านี้ก็ใช้ได้เช่นกัน:
12352 + 19322 = 1525225 + 3732624 = 5257849 = 22932.
มีคุณลักษณะอีกอย่างหนึ่งของกฎไดโอแฟนไทน์ที่ได้รับการบอกเป็นนัยแล้ว: เมื่อได้รับตัวเลขสามตัว เราก็สามารถนำตัวเลขอื่นมาคูณกันเองได้ ดังนั้น สามเหลี่ยมขนาด 3–4–5 สามารถแปลงเป็นสามเหลี่ยมขนาด 6–8–10 ได้โดยการคูณทุกด้านด้วย 2 หรือให้เป็นสามเหลี่ยมขนาด 15–20–25 โดยคูณทั้งหมดด้วย 5
หากเราเปลี่ยนมาเป็นภาษาพีชคณิต กฎจะอยู่ในรูปแบบต่อไปนี้ ให้ u, v และ k เป็นตัวเลขธรรมชาติ จากนั้นเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านข้าง
2kuv และ k (u2 - v2) มีด้านตรงข้ามมุมฉาก
มีวิธีอื่นในการนำเสนอแนวคิดหลัก แต่ทั้งหมดก็เหลือเพียงแนวคิดที่อธิบายไว้ข้างต้น วิธีนี้ช่วยให้คุณได้รับเลขสามเท่าของพีทาโกรัสทั้งหมด
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
มีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบพอดี รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ (หรือรูปทรงหลายเหลี่ยม) คือ รูปปริมาตรมีหน้าแบนจำนวนจำกัด ใบหน้าพบกันบนเส้นที่เรียกว่าขอบ ขอบมาบรรจบกันที่จุดที่เรียกว่าจุดยอด
จุดสุดยอดของปรินชิเปียแบบยุคลิดเป็นข้อพิสูจน์ว่าสามารถมีรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติได้เพียงห้ารูปทรงเท่านั้น กล่าวคือ รูปทรงหลายเหลี่ยมที่แต่ละหน้าเป็นตัวแทน รูปหลายเหลี่ยมปกติ(ด้านเท่ากัน มุมเท่ากัน) ใบหน้าทั้งหมดเหมือนกัน และจุดยอดทั้งหมดล้อมรอบด้วยใบหน้าที่มีระยะห่างเท่ากันในจำนวนเท่ากัน นี่คือรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบ:
จัตุรมุขที่มีหน้าสามเหลี่ยมสี่หน้า จุดยอดสี่จุดและขอบหกด้าน
ลูกบาศก์หรือหกเหลี่ยม มีหน้าสี่เหลี่ยม 6 หน้า จุดยอด 8 จุด และขอบ 12 ด้าน
ทรงแปดหน้ามีหน้าสามเหลี่ยม 8 หน้า 6 จุดยอดและ 12 ขอบ
สิบสองหน้าที่มีหน้าห้าเหลี่ยม 12 หน้า จุดยอด 20 จุด และขอบ 30 ด้าน
รูปทรงสามมิติที่มีหน้าสามเหลี่ยม 20 หน้า จุดยอด 12 จุด และขอบ 30 ด้าน
// ข้าว. 37. ห้ารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
รูปทรงหลายเหลี่ยมปกติสามารถพบได้ในธรรมชาติ ในปี 1904 Ernst Haeckel ตีพิมพ์ภาพวาดของสิ่งมีชีวิตเล็กๆ ที่เรียกว่า radiolarians; หลายอันมีรูปร่างเหมือนรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติห้าแบบเดียวกัน อย่างไรก็ตาม บางทีเขาอาจจะแก้ไขธรรมชาติเล็กน้อย และภาพวาดก็ไม่ได้สะท้อนรูปร่างของสิ่งมีชีวิตที่เฉพาะเจาะจงได้ครบถ้วน โครงสร้างสามตัวแรกนั้นพบได้ในผลึกเช่นกัน คุณจะไม่พบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนในผลึก แม้ว่าบางครั้งจะพบรูปทรงสิบสองหน้าและไอโคซาฮีดรอนที่ไม่สม่ำเสมอก็ตาม รูปทรงสิบสองหน้าที่แท้จริงสามารถเกิดขึ้นได้ในรูปของผลึกควอซิกคริสตัล ซึ่งคล้ายกับผลึกในทุกด้าน ยกเว้นว่าอะตอมของพวกมันจะไม่ก่อตัวเป็นโครงตาข่ายเป็นระยะ
// ข้าว. 38. ภาพวาดของ Haeckel: radiolarians ในรูปแบบของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
// ข้าว. 39. การพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยมปกติ
อาจเป็นเรื่องที่น่าสนใจที่จะสร้างแบบจำลองของรูปทรงหลายเหลี่ยมปกติจากกระดาษโดยการตัดชุดของใบหน้าที่เชื่อมต่อถึงกันออกก่อน ซึ่งเรียกว่าการพัฒนารูปทรงหลายเหลี่ยม การพัฒนาจะพับไปตามขอบและขอบที่เกี่ยวข้องจะติดกาวเข้าด้วยกัน การเพิ่มแผ่นกาวเพิ่มเติมที่ซี่โครงด้านใดด้านหนึ่งของแต่ละคู่นั้นมีประโยชน์ ดังแสดงในรูปที่ 1 39. หากไม่มีแพลตฟอร์มดังกล่าว คุณสามารถใช้เทปกาวได้
สมการระดับที่ห้า
ไม่มีสูตรพีชคณิตในการแก้สมการขั้นที่ 5
ใน มุมมองทั่วไปสมการระดับที่ห้ามีลักษณะดังนี้:
ax5 + bx4 + cx3 + dx2 + อดีต + f = 0
ปัญหาคือการหาสูตรสำหรับการแก้สมการดังกล่าว (สามารถมีได้ถึงห้าคำตอบ) ประสบการณ์กับสมการกำลังสองและลูกบาศก์ตลอดจนสมการระดับที่สี่แสดงให้เห็นว่าสูตรดังกล่าวควรมีอยู่ในสมการระดับที่ห้าด้วย และในทางทฤษฎีแล้ว รากของระดับที่ห้า สาม และสองควรปรากฏอยู่ในนั้น อีกครั้ง เราสามารถสรุปได้อย่างปลอดภัยว่าสูตรดังกล่าว ถ้ามีอยู่ จะซับซ้อนมาก
ในที่สุดสมมติฐานนี้กลับกลายเป็นว่าผิด ในความเป็นจริงไม่มีสูตรดังกล่าวอยู่ อย่างน้อยที่สุดก็ไม่มีสูตรใดที่ประกอบด้วยสัมประสิทธิ์ a, b, c, d, e และ f โดยใช้การบวก ลบ การคูณหาร และการหยั่งราก มีบางสิ่งที่พิเศษมากเกี่ยวกับหมายเลข 5 สาเหตุของพฤติกรรมที่ผิดปกติของทั้งห้านั้นลึกซึ้งมากและต้องใช้เวลามากในการทำความเข้าใจพวกเขา
สัญญาณแรกของปัญหาก็คือ ไม่ว่านักคณิตศาสตร์จะพยายามค้นหาสูตรดังกล่าวอย่างหนักเพียงใด ไม่ว่าพวกเขาจะฉลาดแค่ไหน พวกเขาก็ล้มเหลวอยู่เสมอ ในบางครั้ง ทุกคนเชื่อว่าเหตุผลนั้นเกิดจากความซับซ้อนอันเหลือเชื่อของสูตร เชื่อกันว่าไม่มีใครสามารถเข้าใจพีชคณิตนี้ได้อย่างถูกต้อง อย่างไรก็ตาม เมื่อเวลาผ่านไป นักคณิตศาสตร์บางคนเริ่มสงสัยว่าสูตรดังกล่าวมีอยู่จริง และในปี 1823 Niels Hendrik Abel ก็สามารถพิสูจน์สิ่งที่ตรงกันข้ามได้ ไม่มีสูตรดังกล่าว หลังจากนั้นไม่นาน เอวาริสต์ กาลัวส์ก็พบวิธีที่จะระบุได้ว่าสมการระดับหนึ่งหรืออีกระดับหนึ่ง เช่น ระดับที่ 5, 6, 7 หรือแบบใดๆ สามารถแก้ไขได้โดยใช้สูตรประเภทนี้
ข้อสรุปทั้งหมดนี้ง่ายมาก: เลข 5 นั้นพิเศษ คุณสามารถตัดสินใจได้ สมการพีชคณิต(โดยใช้ราก ระดับที่ nสำหรับค่าต่าง ๆ ของ n) สำหรับยกกำลัง 1, 2, 3 และ 4 แต่ไม่ใช่สำหรับยกกำลังที่ 5 นี่คือจุดที่รูปแบบที่ชัดเจนสิ้นสุดลง
ไม่มีใครแปลกใจที่สมการขององศาที่มากกว่า 5 จะมีพฤติกรรมแย่ลงไปอีก โดยเฉพาะพวกเขามีปัญหาเดียวกัน: ไม่ สูตรทั่วไปเพื่อแก้ปัญหาพวกเขา นี่ไม่ได้หมายความว่าสมการไม่มีคำตอบ นี่ไม่ได้หมายความว่าเป็นไปไม่ได้ที่จะค้นหาค่าตัวเลขที่แม่นยำมากสำหรับวิธีแก้ปัญหาเหล่านี้ มันคือทั้งหมดที่เกี่ยวกับข้อจำกัดของเครื่องมือพีชคณิตแบบเดิมๆ สิ่งนี้ชวนให้นึกถึงความเป็นไปไม่ได้ของการตัดมุมโดยใช้ไม้บรรทัดและเข็มทิศ คำตอบมีอยู่ แต่วิธีการที่ระบุไว้ยังไม่เพียงพอและไม่อนุญาตให้เราระบุได้ว่าคืออะไร
ข้อจำกัดทางผลึกศาสตร์
คริสตัลในสองและสามมิติไม่มีความสมมาตรในการหมุนแบบ 5 รังสี
อะตอมในคริสตัลก่อตัวเป็นโครงตาข่ายซึ่งก็คือโครงสร้างที่ทำซ้ำเป็นระยะ ๆ ในทิศทางอิสระหลายทิศทาง ตัวอย่างเช่นลวดลายบนวอลเปเปอร์ถูกทำซ้ำตามความยาวของม้วน นอกจากนี้ มักจะทำซ้ำในแนวนอน บางครั้งอาจมีการเปลี่ยนจากวอลเปเปอร์ชิ้นหนึ่งไปยังอีกชิ้นหนึ่ง โดยพื้นฐานแล้ววอลเปเปอร์เป็นคริสตัลสองมิติ
รูปแบบวอลเปเปอร์บนเครื่องบินมี 17 แบบ (ดูบทที่ 17) พวกมันต่างกันในประเภทของความสมมาตร กล่าวคือ ในวิธีการเคลื่อนย้ายรูปแบบอย่างเข้มงวดเพื่อให้มันวางอยู่บนตัวมันเองในตำแหน่งดั้งเดิม ประเภทของความสมมาตรรวมถึงรูปแบบต่างๆ ของสมมาตรแบบหมุน โดยที่รูปแบบควรหมุนเป็นมุมที่กำหนดรอบจุดใดจุดหนึ่ง ซึ่งก็คือจุดศูนย์กลางของสมมาตร
ลำดับของสมมาตรในการหมุนคือจำนวนครั้งที่ร่างกายสามารถหมุนเป็นวงกลมได้ เพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดของรูปแบบกลับสู่ตำแหน่งเดิม ตัวอย่างเช่น การหมุน 90° คือสมมาตรการหมุนลำดับที่ 4* รายการประเภทสมมาตรในการหมุนที่เป็นไปได้ในโครงตาข่ายคริสตัลชี้ให้เห็นถึงความผิดปกติของหมายเลข 5 อีกครั้ง: ไม่มีอยู่ตรงนั้น มีตัวเลือกที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 2, 3, 4 และ 6 แต่ไม่มีรูปแบบวอลเปเปอร์ใดที่มีสมมาตรการหมุนลำดับที่ 5 ความสมมาตรในการหมุนของลำดับที่มากกว่า 6 ยังไม่มีอยู่ในผลึก แต่การละเมิดลำดับครั้งแรกยังคงเกิดขึ้นที่หมายเลข 5
สิ่งเดียวกันนี้เกิดขึ้นกับระบบผลึกศาสตร์ในพื้นที่สามมิติ ตรงนี้โครงตาข่ายจะซ้ำตัวเองในสามทิศทางที่เป็นอิสระ มี 219 ประเภทต่างๆสมมาตรหรือ 230 ถ้าเราพิจารณาการสะท้อนของกระจกของภาพวาดเป็นตัวแปรที่แยกจากกัน - แม้ว่าในกรณีนี้จะไม่มีความสมมาตรของกระจกก็ตาม ขอย้ำอีกครั้งว่ามีความสมมาตรในการหมุนของอันดับ 2, 3, 4 และ 6 ที่ถูกสังเกต แต่ไม่ใช่ 5 ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าการกักขังผลึกศาสตร์
ในพื้นที่สี่มิติ มีโครงตาข่ายที่มีความสมมาตรลำดับที่ 5 อยู่ โดยทั่วไป สำหรับโครงตาข่ายที่มีมิติสูงเพียงพอ ลำดับสมมาตรในการหมุนที่กำหนดไว้ล่วงหน้าใดๆ ก็เป็นไปได้
// ข้าว. 40. ตาข่ายคริสตัลเกลือแกง ลูกบอลสีเข้มเป็นตัวแทนของอะตอมโซเดียม ลูกบอลแสงเป็นตัวแทนของอะตอมของคลอรีน
ควอซิคริสตัล
แม้ว่าสมมาตรในการหมุนลำดับที่ 5 จะไม่สามารถทำได้ในโครงตาข่าย 2 มิติหรือ 3 มิติ แต่ก็สามารถมีอยู่ในโครงสร้างปกติน้อยกว่าเล็กน้อยที่เรียกว่าควอซิคริสตัล โรเจอร์ เพนโรสค้นพบระบบแบนๆ ด้วยการใช้ภาพร่างของเคปเลอร์ ประเภททั่วไปสมมาตรห้าเท่า พวกมันถูกเรียกว่าควอซิคริสตัล
Quasicrystal มีอยู่ในธรรมชาติ ในปี 1984 Daniel Shechtman ค้นพบว่าโลหะผสมของอลูมิเนียมและแมงกานีสสามารถก่อตัวเป็นผลึกควอซิกได้ ในขั้นต้น นักผลึกศาสตร์ทักทายข้อความของเขาด้วยความสงสัย แต่ต่อมาการค้นพบนี้ได้รับการยืนยัน และในปี 2011 Shekhtman ได้รับรางวัล รางวัลโนเบลในวิชาเคมี ในปี 2009 ทีมนักวิทยาศาสตร์ที่นำโดย Luca Bindi ค้นพบควอซิคริสตัลในแร่ธาตุจากที่ราบสูง Koryak ของรัสเซีย ซึ่งเป็นสารประกอบของอะลูมิเนียม ทองแดง และเหล็ก ปัจจุบันแร่นี้เรียกว่า icosahedrite นักวิทยาศาสตร์ได้แสดงให้เห็นว่าแร่ธาตุนี้ไม่ได้กำเนิดบนโลกด้วยการวัดปริมาณไอโซโทปออกซิเจนต่างๆ ในแร่โดยใช้แมสสเปกโตรมิเตอร์ มันก่อตัวขึ้นเมื่อประมาณ 4.5 พันล้านปีก่อน ซึ่งเป็นช่วงเวลาที่ ระบบสุริยะยังอยู่ในช่วงเริ่มต้น และใช้เวลาส่วนใหญ่อยู่ในแถบดาวเคราะห์น้อย โคจรรอบดวงอาทิตย์ จนกระทั่งสิ่งรบกวนบางอย่างเปลี่ยนวงโคจรของมันและนำมันมายังโลกในที่สุด
// ข้าว. 41. ซ้าย: หนึ่งในสองโครงตาข่ายควอซิคริสตัลไลน์ที่มีความสมมาตรห้าเท่าพอดี ขวา: แบบจำลองอะตอมของควอซิคริสตัลอะลูมิเนียม-แพลเลเดียม-แมงกานีสแบบไอโคซาฮีดรัล
การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างตลกขบขัน เป็นเรื่องตลกเกี่ยวกับกางเกงหลวมของเพื่อนด้วย
- - สามอัน ตัวเลขบวก x, y, z, เป็นไปตามสมการ x2+y 2=z2...
สารานุกรมคณิตศาสตร์
- - แฝดของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยมซึ่งมีความยาวของด้านเป็นสัดส่วนกับตัวเลขเหล่านี้ จะเป็นสี่เหลี่ยม เป็นต้น เลขสามตัว: 3, 4, 5...
วิทยาศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม
- - ดูจรวดกู้ภัย...
- - แฝดของจำนวนธรรมชาติ เช่น สามเหลี่ยมที่ความยาวด้านเป็นสัดส่วนกับตัวเลขเหล่านี้จะเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า...
สารานุกรมผู้ยิ่งใหญ่แห่งสหภาพโซเวียต
- - ล้าน เอกภาพ สำนวนที่ใช้เมื่อแสดงรายการหรือเปรียบเทียบข้อเท็จจริง สองประการ ปรากฏการณ์ สถานการณ์...
พจนานุกรมวลีทางการศึกษา
- - จากนวนิยายดิสโทเปียเรื่อง Animal Farm โดยนักเขียนชาวอังกฤษ จอร์จ ออร์เวลล์...
- - พบครั้งแรกในถ้อยคำ "Diary of a Liberal in St. Petersburg" โดย Mikhail Evgrafovich Saltykov-Shchedrin ผู้ซึ่งบรรยายเป็นรูปเป็นร่างถึงจุดยืนที่สับสนและขี้ขลาดของพวกเสรีนิยมรัสเซีย - ของพวกเขาเอง...
พจนานุกรมคำศัพท์และสำนวนยอดนิยม
- - ว่ากันว่าเมื่อคู่สนทนาพยายามสื่อบางสิ่งเป็นเวลานานและไม่ชัดเจน โดยเกะกะแนวคิดหลักด้วยรายละเอียดรอง...
พจนานุกรมวลีพื้นบ้าน
- - ทราบจำนวนปุ่มแล้ว ทำไมจู๋ถึงแน่นล่ะ? - เกี่ยวกับกางเกงและอวัยวะสืบพันธุ์ชาย - เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องลบและแสดง 1) เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส; 2)เรื่องกางเกงขากว้าง...
คำพูดสด พจนานุกรม การแสดงออกทางภาษา
- - พ. จิตวิญญาณไม่มีความเป็นอมตะดังนั้นจึงไม่มีคุณธรรม "นั่นหมายความว่าทุกสิ่งได้รับอนุญาต" ... ทฤษฎีที่เย้ายวนใจสำหรับคนโกง ... คนอวดดี แต่ประเด็นทั้งหมดคือ: ในด้านหนึ่งไม่มีใครช่วยได้ สารภาพ และอีกอย่างก็อดไม่ได้ที่จะสารภาพ...
พจนานุกรมอธิบายและวลีของมิเคลสัน
- -กางเกงพีทาโกรัสของพระภิกษุ เกี่ยวกับคนที่มีพรสวรรค์ พ. ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่คือปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาคงจะประดิษฐ์กางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรหลากสี...
- - ในอีกด้านหนึ่ง - ในอีกด้านหนึ่ง พ. จิตวิญญาณไม่มีความเป็นอมตะ ดังนั้นจึงไม่มีคุณธรรม “นั่นหมายความว่าทุกสิ่งได้รับอนุญาต”... ทฤษฎีอันเย้ายวนใจสำหรับคนวายร้าย.....
พจนานุกรมอธิบายและวลีของ Michelson (ต้นฉบับ orf.)
- - ชื่อการ์ตูนของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งเกิดขึ้นจากการที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างขึ้นด้านข้างของสี่เหลี่ยมผืนผ้าและแยกไปในทิศทางที่ต่างกัน มีลักษณะคล้ายกับรอยตัดของกางเกง...
- - ในมือข้างหนึ่ง... อีกด้านหนึ่ง หนังสือ...
หนังสือวลีภาษารัสเซีย ภาษาวรรณกรรม
- - ดูอันดับ -...
วี.ไอ. ดาห์ล. สุภาษิตของคนรัสเซีย
- - จาร์ก. โรงเรียน ล้อเล่น. พีทาโกรัส -
พจนานุกรมคำพูดภาษารัสเซียขนาดใหญ่
"กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง" ในหนังสือ
11. กางเกงพีทาโกรัส
จากหนังสือฟรีเดล ผู้เขียน มาคาโรวา เอเลน่า กริกอรีฟนา11. กางเกงพีทาโกรัส เด็กดีของฉัน ก่อนอื่น - ความกตัญญูที่กระตือรือร้นที่สุดสำหรับ Dvorak; มันน่าสนใจมาก อ่านไม่ง่ายนัก แต่ฉันก็พอใจกับมันมาก ฉันจะเขียนถึงคุณอย่างละเอียดมากขึ้นเมื่อฉันได้อ่านบทสองสามบทแล้ว คุณไม่สามารถจินตนาการได้ว่าคุณมีความสุขแค่ไหน
III "สถานที่ทั้งหมดไม่เท่ากันหรือ?"
จากหนังสือของ Batyushkov ผู้เขียน เซอร์เกวา-เคลียติส แอนนา ยูริเยฟนาIII "สถานที่ทั้งหมดไม่เท่ากันหรือ?" ในตอนท้ายของเทศกาลเข้าพรรษาโดยไม่ต้องรออีสเตอร์ซึ่งในปี 1815 ตรงกับวันที่ 18 เมษายน Batyushkov ออกจากเซนต์ปีเตอร์สเบิร์กไปยังที่ดินของ Danilovskoye พ่อของเขาในช่วงสัปดาห์ศักดิ์สิทธิ์ อย่างไรก็ตาม ก่อนหน้านี้ มีเหตุการณ์อื่นเกิดขึ้นซึ่งไม่ได้กล่าวถึงในจดหมายของ Batyushkov
กางเกงพีทาโกรัส
จากหนังสือจากโดเบอร์แมนถึงฮูลิแกน จากชื่อเฉพาะไปจนถึงคำนามทั่วไป ผู้เขียน เบลา มาร์ก กริกอรีวิชกางเกงพีทาโกรัส แม้แต่นักเรียนมัธยมปลายก่อนการปฏิวัติก็รู้ว่า “กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกด้าน” และพวกเขาเป็นผู้แต่งผ้าปูที่นอนบทกวีนี้ นักเรียนมัธยมปลายว่าไง! อาจเป็นของ Lomonosov ผู้ยิ่งใหญ่แล้วซึ่งศึกษาเรขาคณิตในภาษาสลาฟ - กรีก - ละตินของเขา
1.16. มาตรการชั่วคราวจากทั้งหน่วยงานภาษีและผู้เสียภาษี
จากหนังสือการตรวจสอบภาษี จะทนต่อการมาเยือนของผู้ตรวจอย่างมีศักดิ์ศรีได้อย่างไร ผู้เขียน เซเมนิคิน วิทาลี วิคโตโรวิช1.16. มาตรการชั่วคราวในส่วนของทั้งหน่วยงานด้านภาษีและผู้เสียภาษี ผู้เสียภาษีไม่ค่อยเห็นด้วยกับข้อสรุปของหน่วยงานด้านภาษีที่ทำขึ้นจากผลการตรวจสอบภาษี และในขณะเดียวกัน ข้อพิพาทส่วนใหญ่ในศาลก็ได้รับการแก้ไขไปในทางที่เป็นประโยชน์
ทุกคนเท่าเทียมกันก่อนที่จะยืมตัว
จากหนังสือเงิน เครดิต. ธนาคาร: บันทึกการบรรยาย ผู้เขียน เชฟชุก เดนิส อเล็กซานโดรวิชทุกคนเท่าเทียมกันก่อนกู้ยืม ประวัติอย่างเป็นทางการของการให้กู้ยืมฉุกเฉินในอเมริกาย้อนกลับไปในปี 1968 เมื่อมีการนำพระราชบัญญัติสินเชื่อผู้บริโภคมาใช้ที่นั่น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง กำหนดกฎเกณฑ์การให้กู้ยืมที่เป็นธรรม อัตราดอกเบี้ยสูงสุด
การวิเคราะห์ SWOT (จุดแข็ง จุดอ่อน โอกาส ภัยคุกคาม)
จากหนังสือการฝึกอบรม คู่มือโค้ช โดย ธอร์น เคย์การวิเคราะห์ SWOT (จุดแข็ง จุดอ่อน โอกาส ภัยคุกคาม) วิธีการนี้เป็นส่วนเสริมของโครงสร้างการระดมความคิด แบ่งแผ่นฟลิปชาร์ตออกเป็นสี่ส่วนและระบุจุดแข็ง จุดอ่อน โอกาส และภัยคุกคาม ให้กลุ่มสามารถวิเคราะห์ธุรกิจ
ผู้ซื้อทุกคนไม่เท่าเทียมกัน
จากหนังสือวิธีทำงานสี่ชั่วโมงต่อสัปดาห์ โดย เฟอร์ริส ทิโมธีผู้ซื้อบางรายไม่เท่ากัน เมื่อคุณไปถึงขั้นตอนที่สามและกระแสเงินทุนมีความมั่นคงไม่มากก็น้อย ก็ถึงเวลาประเมินองค์ประกอบของผู้ซื้อและกำจัดวัชพืชนั้น ทุกสิ่งในโลกนี้แบ่งออกเป็นดีและไม่ดี อาหาร ภาพยนตร์ เซ็กส์มีทั้งดีและไม่ดี เอาล่ะ
บทที่ 7 “กางเกงพีทาโกรัส” - การค้นพบนักคณิตศาสตร์ชาวอัสซีโร-บาบิโลน
จากหนังสือเมื่อ Cuneiform Spoke ผู้เขียน มัตวีฟ คอนสแตนติน เปโตรวิชบทที่ 7 “ กางเกงพีทาโกรัส” - การค้นพบนักคณิตศาสตร์ชาวอัสซีโร - บาบิโลน คณิตศาสตร์ในหมู่ชาวอัสซีเรียและบาบิโลนตลอดจนดาราศาสตร์มีความจำเป็นเป็นหลักในชีวิตจริง - ในการก่อสร้างบ้านพระราชวังถนนการจัดทำปฏิทินการวางคลอง
“ภายใต้หน้ากาก ทุกระดับเท่าเทียมกัน”
จากหนังสือ St. Petersburg Arabesques ผู้เขียน แอสปิดอฟ อัลเบิร์ต ปาฟโลวิช“ ภายใต้หน้ากากทุกอันดับเท่าเทียมกัน” ในบรรดาการซื้อปีใหม่ - ของประดับตกแต่งต้นคริสต์มาสและสิ่งอื่น ๆ - อาจมีหน้ากาก เมื่อสวมใส่แล้ว เราก็จะแตกต่างออกไปทันที เทพนิยาย- และใครบ้างที่ไม่อยากสัมผัสเวทมนตร์อย่างน้อยปีละครั้ง - ด้านที่สนุกสนานและไม่เป็นอันตราย?
ตัวเลขพีทาโกรัส
จากหนังสือบิ๊ก สารานุกรมโซเวียต(PI) ของผู้เขียน ทีเอสบีทุกคนเท่าเทียมกัน แต่บางคนก็เท่าเทียมกันมากกว่าคนอื่นๆ
จากหนังสือพจนานุกรมสารานุกรมคำที่จับใจและสำนวน ผู้เขียน เซรอฟ วาดิม วาซิลีวิชทุกคนเท่าเทียมกัน แต่บางคนก็เท่าเทียมกันมากกว่าคนอื่นๆ จากนวนิยายดิสโทเปียเรื่อง Animal Farm (1945) โดยนักเขียนชาวอังกฤษ George Orwell (นามแฝงของ Eric Blair, 1903-1950) สัตว์ในฟาร์มแห่งหนึ่งเคยโค่นล้มเจ้านายที่โหดร้ายของพวกเขาและสถาปนาสาธารณรัฐขึ้นโดยประกาศหลักการ: "ทุกสิ่ง
การมีส่วนร่วมในการเจรจาในฐานะฝ่ายหรือผู้ช่วยฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง
จากหนังสือ A Reader of Alternative Dispute Resolution ผู้เขียน ทีมนักเขียนการมีส่วนร่วมเจรจาในฐานะพรรคหรือผู้ช่วยพรรค การเจรจาอีกรูปแบบหนึ่งที่เกิดจากการไกล่เกลี่ยคือการมีส่วนร่วมของผู้ไกล่เกลี่ยร่วมกับฝ่ายใดฝ่ายหนึ่ง (หรือไม่มีฝ่ายใดเลย) ในการเจรจาในฐานะตัวแทนของฝ่าย วิธีการนี้มีพื้นฐานแตกต่างไปจาก
กองกำลังก็เท่าเทียมกัน
จากหนังสือ มหาสงครามยังไม่เสร็จ ผลลัพธ์ของสงครามโลกครั้งที่หนึ่ง ผู้เขียน มเลชิน เลโอนิด มิคาอิโลวิชกองกำลังมีความเท่าเทียมกัน ไม่มีใครคาดหวังว่าสงครามจะยืดเยื้อ แต่แผนการที่เจ้าหน้าที่ทั่วไปพัฒนาขึ้นอย่างรอบคอบก็พังทลายลงในช่วงเดือนแรกๆ กองกำลังของฝ่ายตรงข้ามมีค่าเท่ากันโดยประมาณ การเพิ่มขึ้นของอุปกรณ์ทางทหารใหม่ทำให้จำนวนผู้เสียชีวิตเพิ่มขึ้น แต่ไม่อนุญาตให้ศัตรูถูกบดขยี้และ
สัตว์ทุกตัวเท่าเทียมกัน แต่บางตัวก็เท่าเทียมกันมากกว่าตัวอื่นๆ
จากหนังสือ Faschizophrenia ผู้เขียน Sysoev Gennady Borisovichสัตว์ทุกตัวเท่าเทียมกัน แต่บางตัวก็เท่าเทียมกันมากกว่าตัวอื่นๆ สุดท้ายนี้ ฉันอยากจะจดจำคนที่คิดว่าโคโซโวสามารถเป็นแบบอย่างได้ เช่น หากประชากรโคโซโวได้รับสิทธิจาก “ประชาคมโลก” (เช่น สหรัฐฯ และสหภาพยุโรป) ในการตัดสินใจชะตากรรมของตนเองใน
เกือบจะเท่ากัน
จากหนังสือหนังสือพิมพ์วรรณกรรม 6282 (ฉบับที่ 27 2553) ผู้เขียน หนังสือพิมพ์วรรณกรรมสโมสรที่มีเก้าอี้ 12 ตัวเกือบเท่ากัน เกือบเท่ากัน ร้อยแก้วเชิงเปรียบเทียบ ความตายมาเยือนชายยากจนคนหนึ่ง และเขาค่อนข้างหูหนวก ธรรมดามาก แต่หูหนวกเล็กน้อย... และเขามองเห็นได้ไม่ดี ฉันแทบไม่เห็นอะไรเลย - โอ้ เรามีแขก! กรุณาเข้ามา ความตายกล่าวว่า: “รอที่จะชื่นชมยินดี”
กางเกง - รับคูปองใช้งานได้เพื่อรับส่วนลด Paper Shop ที่ Akademika หรือซื้อกางเกงที่ทำกำไรพร้อมจัดส่งฟรีที่ Paper Shop
จาร์ก. โรงเรียน ล้อเล่น. ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างบนด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก รถไฟฟ้า 835… พจนานุกรมคำพูดภาษารัสเซียขนาดใหญ่
กางเกงพีทาโกรัส- ชื่อการ์ตูนสำหรับทฤษฎีบทพีทาโกรัสซึ่งเกิดขึ้นเนื่องจากการที่สี่เหลี่ยมที่สร้างขึ้นที่ด้านข้างของสี่เหลี่ยมและแยกไปในทิศทางที่ต่างกันคล้ายกับการตัดกางเกง ฉันชอบเรขาคณิต... และในการสอบเข้ามหาวิทยาลัย ฉันยังได้รับ... พจนานุกรมวลีของภาษาวรรณกรรมรัสเซีย
กางเกงพีทาโกรัส- ชื่อตลกๆ ของทฤษฎีบทพีทาโกรัส ซึ่งกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสที่สร้างจากด้านตรงข้ามมุมฉากกับขาของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งในภาพดูเหมือนการตัดกางเกง... พจนานุกรมสำนวนมากมาย
พระภิกษุ : เกี่ยวกับชายผู้มีพรสวรรค์ พ. ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่คือปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาคงจะประดิษฐ์กางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรที่แตกต่างกัน กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับกำลังสองของขา (สอน ... ... พจนานุกรมอธิบายและวลีขนาดใหญ่ของ Michelson
กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน- ทราบจำนวนปุ่มแล้ว ทำไมจู๋ถึงแน่นล่ะ? (หยาบคาย) เรื่องกางเกงกับอวัยวะเพศชาย กางเกงพีทาโกรัสเท่ากันทุกด้าน เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ จำเป็นต้องลบและแสดง 1) เกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัส; 2)เรื่องกางเกงขากว้าง... คำพูดสด พจนานุกรมสำนวนภาษาพูด
กางเกงพีทาโกรัส (ประดิษฐ์) พระภิกษุ เกี่ยวกับคนที่มีพรสวรรค์ พ. ไม่ต้องสงสัยเลยว่านี่คือปราชญ์ ในสมัยโบราณเขาคงจะประดิษฐ์กางเกงพีทาโกรัสขึ้นมา... ซอลตีคอฟ ตัวอักษรหลากสี กางเกงพีทาโกรัส (geom.): ในสี่เหลี่ยมผืนผ้าจะมีด้านตรงข้ามมุมฉากเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส... ... พจนานุกรมอธิบายและวลีขนาดใหญ่ของ Michelson (การสะกดต้นฉบับ)
กางเกงพีทาโกรัสมีความเท่าเทียมกันในทุกทิศทาง- การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างตลกขบขัน แถมยังเป็นเรื่องตลกเรื่องกางเกงขาบานของเพื่อนอีกด้วย... พจนานุกรมวลีพื้นบ้าน
ว.,หยาบคาย...
กางเกงพีทาโกรัสมีค่าเท่ากันทุกด้าน (รู้จำนวนกระดุมแล้วทำไมถึงรัดแน่น / เพื่อพิสูจน์สิ่งนี้ คุณต้องถอดมันออกแล้วแสดง)- คำวิเศษณ์ หยาบคาย... พจนานุกรมหน่วยวลีและสุภาษิตภาษาพูดสมัยใหม่
คำนามพหูพจน์ใช้ เปรียบเทียบ มักจะ สัณฐานวิทยา: pl. อะไร กางเกง (ไม่) อะไร? กางเกงอะไร? กางเกง (ฉันเห็น) อะไร? กางเกงอะไร? กางเกง แล้วไง? เกี่ยวกับกางเกง 1. กางเกง คือ เสื้อผ้าที่มีขาสั้นหรือขายาว 2 ขา และคลุมส่วนล่าง... ... พจนานุกรมอธิบายของ Dmitriev
หนังสือ
- กางเกงพีทาโกรัส ในหนังสือเล่มนี้คุณจะได้พบกับแฟนตาซีและการผจญภัย ปาฏิหาริย์และนิยาย ตลกและเศร้า ธรรมดาและลึกลับ... คุณต้องการอะไรอีกเพื่อการอ่านเพื่อความบันเทิง? สิ่งสำคัญคือมี...
- ปาฏิหาริย์บนล้อ Markusha Anatoly ล้อนับล้านหมุนไปทั่วโลก - รถหมุนไป, วัดเวลาในนาฬิกา, แตะใต้รถไฟ, ทำงานนับไม่ถ้วนในเครื่องจักรและกลไกต่างๆ พวกเขา…
สิ่งหนึ่งที่คุณมั่นใจได้เต็มร้อยเปอร์เซ็นต์ก็คือ เมื่อถามว่ากำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากคืออะไร ผู้ใหญ่คนใดก็ตามจะตอบอย่างกล้าหาญว่า "ผลรวมของกำลังสองของขา" ทฤษฎีบทนี้ฝังแน่นอยู่ในจิตใจของทุกคน ผู้มีการศึกษาแต่สิ่งที่คุณต้องทำคือขอให้ใครสักคนพิสูจน์ และอาจเกิดปัญหาได้ ดังนั้นเรามาจำและพิจารณากัน วิธีการที่แตกต่างกันการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ประวัติโดยย่อ
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นที่คุ้นเคยของเกือบทุกคน แต่ด้วยเหตุผลบางอย่างชีวประวัติของบุคคลที่นำมันมาสู่โลกจึงไม่ได้รับความนิยมมากนัก สิ่งนี้สามารถแก้ไขได้ ดังนั้น ก่อนที่จะสำรวจวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของพีทาโกรัส คุณต้องมาทำความรู้จักกับบุคลิกภาพของเขาโดยย่อ
พีทาโกรัส - นักปรัชญานักคณิตศาสตร์นักคิดที่มีพื้นเพมาจาก วันนี้ เป็นเรื่องยากมากที่จะแยกแยะชีวประวัติของเขาจากตำนานที่พัฒนาขึ้นในความทรงจำของชายผู้ยิ่งใหญ่คนนี้ แต่ดังต่อไปนี้จากผลงานของผู้ติดตามของเขา Pythagoras of Samos เกิดบนเกาะ Samos พ่อของเขาเป็นคนตัดหินธรรมดา แต่แม่ของเขามาจากตระกูลขุนนาง
เมื่อพิจารณาจากตำนานแล้ว การกำเนิดของพีธากอรัสนั้นถูกทำนายโดยผู้หญิงชื่อไพเธียซึ่งมีชื่อว่าเด็กชายเพื่อเป็นเกียรติแก่ ตามคำทำนายของเธอ เด็กชายที่เกิดควรจะนำผลประโยชน์และดีมาสู่มนุษยชาติมากมาย ซึ่งเป็นสิ่งที่เขาทำ
กำเนิดของทฤษฎีบท
ในวัยเด็ก พีทาโกรัสย้ายไปอียิปต์เพื่อพบกับปราชญ์ชาวอียิปต์ที่มีชื่อเสียงที่นั่น หลังจากพบปะกับพวกเขาแล้ว เขาก็ได้รับอนุญาตให้ศึกษา ซึ่งเขาได้เรียนรู้ความสำเร็จอันยิ่งใหญ่ทั้งหมดของปรัชญา คณิตศาสตร์ และการแพทย์ของอียิปต์
อาจเป็นที่อียิปต์ว่าพีทาโกรัสได้รับแรงบันดาลใจจากความสง่างามและความงามของปิรามิด และสร้างทฤษฎีอันยิ่งใหญ่ของเขาขึ้นมา สิ่งนี้อาจทำให้ผู้อ่านตกใจ แต่นักประวัติศาสตร์สมัยใหม่เชื่อว่าพีทาโกรัสไม่ได้พิสูจน์ทฤษฎีของเขา แต่เขาเพียงถ่ายทอดความรู้ของเขาให้กับผู้ติดตามของเขาเท่านั้น ซึ่งต่อมาได้เสร็จสิ้นการคำนวณทางคณิตศาสตร์ที่จำเป็นทั้งหมดแล้ว
อาจเป็นไปได้ว่าทุกวันนี้ไม่มีใครรู้จักวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เพียงวิธีเดียว แต่มีหลายวิธีในคราวเดียว วันนี้เราทำได้แค่เดาว่าชาวกรีกโบราณคำนวณได้อย่างไร ดังนั้นเราจะมาดูวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ทฤษฎีบทพีทาโกรัส
ก่อนที่คุณจะเริ่มคำนวณ คุณต้องหาทฤษฎีที่คุณต้องการพิสูจน์เสียก่อน ทฤษฎีบทพีทาโกรัสเป็นดังนี้: “ในรูปสามเหลี่ยมซึ่งมีมุมหนึ่งเป็น 90° ผลรวมของกำลังสองของขาจะเท่ากับกำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉาก”
มีทั้งหมด 15 วิธีในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส นี่เป็นจำนวนที่ค่อนข้างมากดังนั้นเราจะให้ความสนใจกับจำนวนที่ได้รับความนิยมมากที่สุด
วิธีที่หนึ่ง
ก่อนอื่น มากำหนดสิ่งที่เราได้รับมากันก่อน ข้อมูลเหล่านี้จะนำไปใช้กับวิธีอื่นๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสด้วย ดังนั้นจึงควรจดจำสัญลักษณ์ทั้งหมดที่มีอยู่ทันที
สมมติว่าเราได้รับสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีขา a, b และด้านตรงข้ามมุมฉากเท่ากับ c วิธีการพิสูจน์วิธีแรกนั้นขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงที่ว่าคุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสจากสามเหลี่ยมมุมฉาก
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องเพิ่มส่วนที่เท่ากับขา b เข้ากับความยาวของขา a และในทางกลับกัน นี่จะส่งผลให้มีด้านเท่ากันสองด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัส สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดเส้นขนานสองเส้นแล้วสี่เหลี่ยมก็พร้อม
ภายในรูปที่ได้ออกมา คุณจะต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสอีกอันโดยมีด้านเท่ากับด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมเดิม ในการทำเช่นนี้ จากจุดยอด ас และ св คุณต้องวาดส่วนคู่ขนานสองส่วนเท่ากับ с ดังนั้นเราจึงได้ด้านทั้งสามของสี่เหลี่ยมจัตุรัส หนึ่งในนั้นคือด้านตรงข้ามมุมฉากของสามเหลี่ยมมุมฉากดั้งเดิม สิ่งที่เหลืออยู่คือการวาดส่วนที่สี่
จากรูปที่ได้ เราสามารถสรุปได้ว่าพื้นที่ของสี่เหลี่ยมจัตุรัสด้านนอกเท่ากับ (a + b) 2 หากคุณมองเข้าไปในรูป คุณจะเห็นว่านอกจากสี่เหลี่ยมด้านในแล้วยังมีอีกสี่อันอีกด้วย สามเหลี่ยมมุมฉาก- พื้นที่แต่ละแห่งคือ 0.5av.
ดังนั้น พื้นที่จึงเท่ากับ: 4 * 0.5ab + c 2 = 2av + c 2
ดังนั้น (a+c) 2 =2ab+c 2
ดังนั้น c 2 =a 2 +b 2
ทฤษฎีบทได้รับการพิสูจน์แล้ว
วิธีที่สอง: สามเหลี่ยมที่คล้ายกัน
สูตรในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ได้มาจากข้อความในส่วนเรขาคณิตเกี่ยวกับรูปสามเหลี่ยมที่คล้ายกัน โดยระบุว่าขาของสามเหลี่ยมมุมฉากคือสัดส่วนเฉลี่ยของด้านตรงข้ามมุมฉากและส่วนของด้านตรงข้ามมุมฉากที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดของมุม 90°
ข้อมูลเริ่มต้นยังคงเหมือนเดิม ดังนั้นเรามาเริ่มด้วยการพิสูจน์กันดีกว่า ให้เราวาดส่วน CD ตั้งฉากกับด้าน AB จากข้อความข้างต้น ด้านของรูปสามเหลี่ยมจะเท่ากัน:
เอซี=√AB*โฆษณา, SV=√AB*DV.
ในการตอบคำถามว่าจะพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้อย่างไร การพิสูจน์จะต้องเสร็จสิ้นโดยการยกกำลังสองของอสมการทั้งสอง
เอซี 2 = AB * AD และ CB 2 = AB * DV
ตอนนี้เราต้องบวกผลลัพธ์ความไม่เท่าเทียมกันเข้าด้วยกัน
เอซี 2 + CB 2 = AB * (AD * DV) โดยที่ AD + DV = AB
ปรากฎว่า:
เอซี 2 + CB 2 =AB*AB
ดังนั้น:
เอซี 2 + CB 2 = เอบี 2
การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและ วิธีต่างๆการแก้ปัญหาต้องใช้แนวทางแก้ไขปัญหานี้ในหลายแง่มุม อย่างไรก็ตาม ตัวเลือกนี้เป็นหนึ่งในวิธีที่ง่ายที่สุด
วิธีการคำนวณอื่น
คำอธิบายของวิธีการต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอาจไม่มีความหมายใดๆ จนกว่าคุณจะเริ่มฝึกด้วยตนเอง เทคนิคหลายอย่างไม่เพียงเกี่ยวข้องกับการคำนวณทางคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังรวมถึงการสร้างตัวเลขใหม่จากสามเหลี่ยมดั้งเดิมด้วย
ในกรณีนี้ จำเป็นต้องสร้าง VSD สามเหลี่ยมมุมฉากอีกอันจากด้าน BC ดังนั้น ตอนนี้จึงมีรูปสามเหลี่ยมสองรูปที่มีขาร่วม BC
เมื่อรู้ว่าพื้นที่ของตัวเลขที่คล้ายกันมีอัตราส่วนเป็นกำลังสองของมิติเชิงเส้นที่เหมือนกัน ดังนั้น:
S avs * c 2 - S avd * ใน 2 = S avd * a 2 - S กับ * a 2
S avs *(จาก 2 - ถึง 2) = a 2 *(S avd -S vsd)
จาก 2 - ถึง 2 = a 2
ค 2 =ก 2 +ข 2
เนื่องจากวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสำหรับเกรด 8 มีวิธีต่างๆ มากมาย ตัวเลือกนี้จึงไม่ค่อยเหมาะสม คุณสามารถใช้วิธีต่อไปนี้
วิธีที่ง่ายที่สุดในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส รีวิว
ตามที่นักประวัติศาสตร์กล่าวไว้ วิธีนี้ถูกใช้ครั้งแรกเพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบทกลับเข้ามา กรีกโบราณ- เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดเนื่องจากไม่จำเป็นต้องมีการคำนวณใดๆ เลย หากคุณวาดภาพอย่างถูกต้องก็จะมองเห็นหลักฐานของข้อความที่ว่า a 2 + b 2 = c 2 ได้ชัดเจน
เงื่อนไขสำหรับ วิธีนี้จะแตกต่างจากครั้งก่อนเล็กน้อย เพื่อพิสูจน์ทฤษฎีบท สมมติว่าสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC คือหน้าจั่ว
เราใช้ด้านตรงข้ามมุมฉาก AC เป็นด้านของสี่เหลี่ยมจัตุรัสแล้ววาดทั้งสามด้าน นอกจากนี้จำเป็นต้องวาดเส้นทแยงมุมสองเส้นในช่องสี่เหลี่ยมผลลัพธ์ ข้างในนั้นคุณจะได้สามเหลี่ยมหน้าจั่วสี่อัน
คุณต้องวาดรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่ขา AB และ CB แล้ววาดเส้นตรงแนวทแยงหนึ่งเส้นในแต่ละอัน เราลากเส้นแรกจากจุดยอด A เส้นที่สองจาก C
ตอนนี้คุณต้องดูภาพวาดผลลัพธ์อย่างรอบคอบ เนื่องจากบนด้านตรงข้ามมุมฉาก AC มีสามเหลี่ยมสี่รูปเท่ากับสามเหลี่ยมดั้งเดิม และด้านข้างมีสองรูป ซึ่งบ่งบอกถึงความจริงของทฤษฎีบทนี้
อย่างไรก็ตาม ต้องขอบคุณวิธีการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสนี้ วลีที่มีชื่อเสียง: “กางเกงพีทาโกรัสเท่าเทียมกันทุกทิศทุกทาง”
พิสูจน์โดยเจ. การ์ฟิลด์
เจมส์ การ์ฟิลด์เป็นประธานาธิบดีคนที่ 20 ของสหรัฐอเมริกา นอกเหนือจากการสร้างชื่อเสียงให้กับประวัติศาสตร์ในฐานะผู้ปกครองของสหรัฐอเมริกาแล้ว เขายังเป็นผู้ที่มีความสามารถพิเศษอีกด้วย
ในช่วงเริ่มต้นอาชีพของเขาเขาเป็นครูธรรมดาในโรงเรียนรัฐบาล แต่ในไม่ช้าก็กลายเป็นผู้อำนวยการของหนึ่งในครูที่สูงที่สุด สถาบันการศึกษา- ความปรารถนาที่จะพัฒนาตนเองทำให้เขาเสนอได้ ทฤษฎีใหม่การพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ทฤษฎีบทและตัวอย่างการแก้ปัญหามีดังนี้
ก่อนอื่นคุณต้องวาดรูปสามเหลี่ยมมุมฉากสองอันบนกระดาษแผ่นหนึ่งเพื่อให้ขาของหนึ่งในนั้นต่อจากอันที่สอง จุดยอดของสามเหลี่ยมเหล่านี้จำเป็นต้องเชื่อมต่อกันจนกลายเป็นสี่เหลี่ยมคางหมูในที่สุด
ดังที่คุณทราบ พื้นที่ของสี่เหลี่ยมคางหมูเท่ากับผลคูณของผลรวมของฐานและความสูงของผลรวมครึ่งหนึ่ง
S=ก+ข/2 * (ก+ข)
หากเราพิจารณาสี่เหลี่ยมคางหมูที่เกิดขึ้นเป็นรูปที่ประกอบด้วยสามเหลี่ยมสามรูป ก็จะสามารถหาพื้นที่ได้ดังนี้:
S=av/2 *2 + วิ 2 /2
ตอนนี้เราต้องทำให้สำนวนดั้งเดิมทั้งสองเท่ากัน
2ab/2 + ค/2=(ก+ข) 2 /2
ค 2 =ก 2 +ข 2
สามารถเขียนได้มากกว่าหนึ่งเล่มเกี่ยวกับทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์มัน อุปกรณ์ช่วยสอน- แต่มีประเด็นใดบ้างที่ความรู้นี้ไม่สามารถนำไปใช้ในทางปฏิบัติได้?
การประยุกต์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในทางปฏิบัติ
น่าเสียดายที่ในยุคปัจจุบัน โปรแกรมของโรงเรียนทฤษฎีบทนี้มีไว้เพื่อใช้ในโจทย์เรขาคณิตเท่านั้น ผู้สำเร็จการศึกษาจะออกจากโรงเรียนในไม่ช้าโดยไม่รู้ว่าจะนำความรู้และทักษะไปใช้ในทางปฏิบัติได้อย่างไร
ที่จริงแล้ว ให้ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในตัวคุณ ชีวิตประจำวันทุกคนสามารถ และไม่ใช่แค่ในเท่านั้น กิจกรรมระดับมืออาชีพแต่ยังรวมถึงงานบ้านทั่วไปด้วย ลองพิจารณาหลายกรณีที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสและวิธีการพิสูจน์อาจมีความจำเป็นอย่างยิ่ง
ความสัมพันธ์ระหว่างทฤษฎีบทกับดาราศาสตร์
ดูเหมือนว่าดาวและสามเหลี่ยมบนกระดาษจะเชื่อมโยงกันได้อย่างไร ที่จริงแล้วดาราศาสตร์ก็คือ สาขาวิทยาศาสตร์ซึ่งใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสอย่างกว้างขวาง
ตัวอย่างเช่น พิจารณาการเคลื่อนที่ของลำแสงในอวกาศ เป็นที่รู้กันว่าแสงเคลื่อนที่ทั้งสองทิศทางด้วยความเร็วเท่ากัน ลองเรียกวิถี AB ที่รังสีแสงเคลื่อนที่ไป ล. และลองเรียกครึ่งหนึ่งของเวลาที่ต้องใช้แสงเพื่อเดินทางจากจุด A ไปยังจุด B ที- และความเร็วของลำแสง - ค. ปรากฎว่า: ค*t=ล
หากคุณดูรังสีเดียวกันนี้จากระนาบอื่น เช่น จากเรือโดยสารอวกาศที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ดังนั้นเมื่อสังเกตวัตถุในลักษณะนี้ ความเร็วของพวกมันจะเปลี่ยนไป ในกรณีนี้ แม้แต่องค์ประกอบที่อยู่นิ่งก็จะเริ่มเคลื่อนที่ด้วยความเร็ว v ในทิศทางตรงกันข้าม
สมมติว่าการ์ตูนไลเนอร์แล่นไปทางขวา จากนั้นจุด A และ B ซึ่งลำแสงวิ่งอยู่ระหว่างนั้นจะเริ่มเคลื่อนไปทางซ้าย ยิ่งไปกว่านั้น เมื่อลำแสงเคลื่อนที่จากจุด A ไปยังจุด B จุด A จะมีเวลาเคลื่อนที่ ดังนั้นแสงก็จะมาถึงจุด C ใหม่แล้ว หากต้องการค้นหาระยะทางครึ่งหนึ่งที่จุด A เคลื่อนที่ คุณต้องคูณ ความเร็วของสายการบินเป็นครึ่งหนึ่งของเวลาการเดินทางของลำแสง (t ")
และเพื่อหาว่ารังสีแสงสามารถเดินทางได้ไกลแค่ไหนในช่วงเวลานี้ คุณต้องทำเครื่องหมายครึ่งหนึ่งของเส้นทางด้วยตัวอักษร s ใหม่ และรับนิพจน์ต่อไปนี้:
ถ้าเราจินตนาการว่าจุดของแสง C และ B รวมถึงเส้นในอวกาศคือจุดยอดของสามเหลี่ยมหน้าจั่ว จากนั้นส่วนที่จากจุด A ถึงเส้นในจะแบ่งออกเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากสองอัน ดังนั้น ด้วยทฤษฎีบทพีทาโกรัส คุณจึงสามารถหาระยะทางที่รังสีแสงเดินทางได้
แน่นอนว่าตัวอย่างนี้ไม่ใช่ตัวอย่างที่ประสบความสำเร็จมากที่สุด เนื่องจากมีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่โชคดีพอที่จะลองใช้ในทางปฏิบัติ ดังนั้น ลองพิจารณาการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทนี้แบบธรรมดาๆ กัน
ระยะการส่งสัญญาณมือถือ
ชีวิตสมัยใหม่ไม่สามารถจินตนาการได้อีกต่อไปหากไม่มีสมาร์ทโฟน แต่จะมีประโยชน์มากแค่ไหนหากไม่สามารถเชื่อมต่อสมาชิกผ่านการสื่อสารเคลื่อนที่ได้!
คุณภาพของการสื่อสารเคลื่อนที่โดยตรงขึ้นอยู่กับความสูงของเสาอากาศของผู้ให้บริการโทรศัพท์มือถือ ในการคำนวณว่าโทรศัพท์สามารถรับสัญญาณได้ไกลแค่ไหนจากเสาสัญญาณมือถือ คุณสามารถใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้
สมมติว่าคุณต้องหาความสูงโดยประมาณของหอคอยที่อยู่นิ่งเพื่อที่จะสามารถกระจายสัญญาณภายในรัศมี 200 กิโลเมตร
AB (ความสูงของหอคอย) = x;
BC (รัศมีการส่งสัญญาณ) = 200 กม.;
OS (รัศมีของโลก) = 6380 กม.;
OB=OA+ABOB=r+x
จากการใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส เราพบว่าความสูงขั้นต่ำของหอคอยควรอยู่ที่ 2.3 กิโลเมตร
ทฤษฎีบทพีทาโกรัสในชีวิตประจำวัน
น่าแปลกที่ทฤษฎีบทพีทาโกรัสมีประโยชน์แม้ในชีวิตประจำวัน เช่น การกำหนดความสูงของตู้เสื้อผ้า เป็นต้น เมื่อมองแวบแรกไม่จำเป็นต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนเช่นนี้เพราะคุณสามารถทำการวัดโดยใช้สายวัดได้ แต่หลายคนสงสัยว่าเหตุใดปัญหาบางอย่างจึงเกิดขึ้นในระหว่างกระบวนการประกอบ หากการวัดทั้งหมดทำมากกว่าความแม่นยำ
ความจริงก็คือตู้เสื้อผ้าประกอบในแนวนอนแล้วยกและติดตั้งชิดผนังเท่านั้น ดังนั้นในระหว่างขั้นตอนการยกโครงสร้างด้านข้างของตู้จะต้องเคลื่อนที่ได้อย่างอิสระทั้งตามความสูงและแนวทแยงของห้อง
สมมติว่ามีตู้เสื้อผ้าที่มีความลึก 800 มม. ระยะห่างจากพื้นถึงเพดาน - 2,600 มม. ผู้ผลิตเฟอร์นิเจอร์ที่มีประสบการณ์จะบอกว่าความสูงของตู้ควรน้อยกว่าความสูงของห้อง 126 มม. แต่ทำไมถึง 126 มม. ล่ะ? ลองดูตัวอย่าง
ด้วยขนาดตู้ที่เหมาะสมที่สุด เรามาตรวจสอบการทำงานของทฤษฎีบทพีทาโกรัสกัน:
เอซี =√AB 2 +√BC 2
AC=√2474 2 +800 2 =2600 มม. - ทุกอย่างลงตัว
สมมติว่าความสูงของตู้ไม่ใช่ 2474 มม. แต่เป็น 2505 มม. แล้ว:
เอซี=√2505 2 +√800 2 =2629 มม.
ดังนั้นตู้นี้ไม่เหมาะกับการติดตั้งในห้องนี้ เนื่องจากการยกขึ้นในแนวตั้งอาจทำให้ร่างกายได้รับความเสียหายได้
บางที เมื่อพิจารณาวิธีต่างๆ ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทพีทาโกรัสโดยนักวิทยาศาสตร์หลายๆ คนแล้ว เราก็สามารถสรุปได้ว่าทฤษฎีบทดังกล่าวเป็นมากกว่าความจริง ตอนนี้คุณสามารถใช้ข้อมูลที่ได้รับในชีวิตประจำวันของคุณและมั่นใจได้เลยว่าการคำนวณทั้งหมดจะไม่เพียงมีประโยชน์เท่านั้น แต่ยังถูกต้องอีกด้วย
