สูตรคาบการเลี้ยวเบนเกรตติง ตะแกรงเลี้ยวเบน

เมื่อวิเคราะห์การกระทำของเพลตโซน เราพบว่าโครงสร้างคาบทำงานได้ดีที่สุดในการเลี้ยวเบน และนี่ก็ไม่น่าแปลกใจเลย ท้ายที่สุดแล้ว การเลี้ยวเบนคือเอฟเฟกต์ของคลื่น และตัวคลื่นเองก็มีโครงสร้างเป็นคาบ ดังนั้นจึงสามารถคาดหวังได้ว่าในบางกรณีชุดของกรีดที่มีระยะห่างเท่ากันควรให้ประสิทธิภาพและมีประโยชน์มากกว่า การใช้งานจริงรูปแบบการเลี้ยวเบน

ในเรื่องนี้ ลองพิจารณาอุปกรณ์ออปติคัลที่มีความแม่นยำ - ตะแกรงเลี้ยวเบน ที่ง่ายที่สุด ตะแกรงเลี้ยวเบนเรียกว่ารวมกรีดแคบขนานกันจำนวนมากมีระยะห่างเท่ากัน ตะแกรงนี้ทำงานในแสงที่ส่องผ่าน บางครั้งตะแกรงเลี้ยวเบนจะถูกนำมาใช้ในแสงสะท้อน ซึ่งเกิดขึ้นจากการใช้สิ่งกีดขวางที่แคบ ขนาน เท่ากัน และมีระยะห่างเท่ากันจำนวนมากกับกระจก บ่อยครั้งที่ขัดแตะทำโดยใช้ลายเส้นทึบแสงกับกระจกใสหรือกระจกเงา ดังนั้นจึงไม่ได้มีลักษณะเฉพาะด้วยจำนวนรอยกรีด แต่ด้วยจำนวนจังหวะที่แยกรอยกรีด เขาสร้างตะแกรงเลี้ยวเบนที่ทำงานครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์ชาวสก็อต James Gregory ผู้ใช้ขนนกเพื่อสิ่งนี้ ในตะแกรงสมัยใหม่ จำนวนเส้นถึงหนึ่งล้านเส้นบนพื้นผิวที่สูงถึงหลายสิบเซนติเมตร

คำอธิบายของการเลี้ยวเบนบนตะแกรงการเลี้ยวเบนจะคล้ายกับคำอธิบายของการเลี้ยวเบนในรังสีคู่ขนานบนช่อง (รูปที่ 27.4) ผลรวมของความกว้างของช่อง กและช่องว่างระหว่างช่อง (จังหวะ) ขเรียกว่า ช่วงเวลาของขัดแตะ"

ปล่อยให้ลำแสงคู่ขนานตกลงบนตะแกรงตั้งฉากกับระนาบของมันซึ่งจากนั้น ข้าว. 27.4ตามหลักการของไฮเกนส์-เฟรสเนลจะสร้างคลื่นรบกวนทุติยภูมิ ให้เราเลือกทิศทางที่แน่นอนของการผ่านของคลื่นทุติยภูมิเหล่านี้ ซึ่งกำหนดโดยมุม a หากความแตกต่างในเส้นทางคลื่นระหว่างจุดศูนย์กลางของช่องที่อยู่ติดกันเท่ากับจำนวนคลื่นจำนวนเต็ม การขยายซึ่งกันและกันจะเกิดขึ้น:

แน่นอนว่า ความแตกต่างของเส้นทางเดียวกันนั้นอยู่ที่ขอบด้านซ้ายของรอยกรีด และสำหรับขอบด้านขวา และสำหรับเครื่องหมายอื่นๆ ที่อยู่ห่างจากกัน ง.ยิ่งไปกว่านั้น หากรอยกรีดไม่ได้อยู่ติดกันและระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางจะเท่ากับ ง,ก 2d, 3d, รหัส,... จากการพิจารณาทางเรขาคณิต เห็นได้ชัดว่าผลต่างของเส้นทางจะเพิ่มจำนวนเต็มครั้งและยังคงเท่ากับจำนวนเต็มของคลื่น ซึ่งหมายถึงการขยายคลื่นร่วมกันหลายครั้งจากช่องตะแกรงทั้งหมด และนำไปสู่การปรากฏของความสว่างสูงสุดบนหน้าจอ ที่เรียกว่า คนหลักให้ตำแหน่งของจุดสูงสุดหลักตามสูตร (27.21) สูตรพื้นฐานของตะแกรงเลี้ยวเบน:

ที่ไหน เสื้อ = 0, 1, 2, 3,... - ลำดับของจุดสูงสุดหลัก พวกมันอยู่ในตำแหน่งที่สัมพันธ์กันอย่างสมมาตรกับค่าสูงสุดตรงกลาง ต = 0.

นอกเหนือจากจุดสูงสุดหลักแล้ว ยังมีจุดสูงสุดเพิ่มเติมอีกเมื่อคานจากช่องบางช่องเสริมกำลังซึ่งกันและกัน และจากคานอื่นจะหักล้างกัน จุดสูงสุดเพิ่มเติมเหล่านี้มักจะอ่อนแอและไม่มีความสนใจ

ตอนนี้เรามาดูการกำหนดตำแหน่งของขั้นต่ำกัน เห็นได้ชัดว่าในทิศทางเหล่านั้นที่แสงไม่ได้ไปจากช่องเดียว แสงจะไม่ไปที่นั่นแม้แต่จากหลายช่องก็ตาม ดังนั้นเงื่อนไข (27.16) จึงกำหนดตำแหน่ง ค่าต่ำสุดหลักของตะแกรงเลี้ยวเบน:

ยิ่งไปกว่านั้น หากตำแหน่งของจุดต่ำสุดหลักตรงกับตำแหน่งของจุดสูงสุดหลัก ค่าสูงสุดหลักก็จะหายไป

อย่างไรก็ตาม นอกจากค่าขั้นต่ำเหล่านี้แล้ว ค่าขั้นต่ำเพิ่มเติมจะปรากฏขึ้นเนื่องจากการมาถึงของแสงในแอนติเฟสจากสลิตต่างๆ ให้เราทำการประมาณตำแหน่งอย่างง่ายโดยละเลยบทบาทของจังหวะ ในการประมาณนี้ โครงตาข่ายทั้งหมดดูเหมือนจะเป็นช่องเดียว ซึ่งมีความกว้างเท่ากับ ไม่,ที่ไหน น-จำนวนช่องตะแกรง โดยการเปรียบเทียบกับสูตร (27.23) ที่เรามี

เป็นที่ชัดเจนในทันทีว่าการประมาณการนี้รวมตำแหน่งที่คำนวณอย่างเคร่งครัดมากขึ้น (โดยคำนึงถึงบทบาทของจำนวนเฉพาะ) จุดสูงสุดหลัก (27.22) เห็นได้ชัดว่าตำแหน่งเท็จเหล่านี้จะต้องถูกกำจัด หลังจากนั้นก็เพียงพอแล้ว สูตรที่แน่นอนเพื่อกำหนดตำแหน่งของจำนวนมาก ค่าขั้นต่ำเพิ่มเติมของตะแกรงเลี้ยวเบน:

การวิเคราะห์สูตรแสดงให้เห็นว่าระหว่างจุดสูงสุดหลักสองจุดแต่ละจุด น-ขั้นต่ำเพิ่มอีก 1 รายการ ยิ่งไปกว่านั้น ยิ่งมีรอยกรีดมากเท่าใด ค่าสูงสุดระหว่างค่าสูงสุดหลักและค่าสูงสุดหลักก็จะยิ่งคมชัดและสว่างมากขึ้นเท่านั้น เมื่อเทียบกับพื้นหลังที่สลัวระหว่างค่าสูงสุด หากตะแกรงเลี้ยวเบนถูกส่องสว่างด้วยลำแสงสองลำที่มีความยาวคลื่นใกล้เคียงกัน ตะแกรงที่มีช่องจำนวนมากจะทำให้ความยาวคลื่นเหล่านี้ถูกแยกและกำหนดอย่างชัดเจนในรูปแบบการเลี้ยวเบน และถ้าคุณส่องตะแกรงด้วยแสงสีขาว ค่าสูงสุดหลักแต่ละค่า ยกเว้นค่าที่อยู่ตรงกลาง จะกลายเป็นสเปกตรัมที่เรียกว่า สเปกตรัมการเลี้ยวเบน

คุณภาพของตะแกรงเลี้ยวเบนในฐานะอุปกรณ์ออพติคัลถูกกำหนดโดยการกระจายเชิงมุมและความละเอียด การกระจายตัวเชิงมุม Dกำหนดลักษณะความกว้างเชิงมุมของสเปกตรัมและแสดงช่วงของมุมที่ตกอยู่ในช่วงความยาวคลื่นหนึ่งหน่วย:

เราได้ค่าส่วนต่างจากความสัมพันธ์ (27.22)

เมื่อทำงานกับตะแกรงเลี้ยวเบน มักจะใช้มุมเล็กๆ ดังนั้น cos a ~ 1 ดังนั้น ในที่สุดเราก็พบว่าการกระจายตัวเชิงมุม (และระยะห่างเชิงมุมระหว่างศูนย์กลางของเส้นสเปกตรัมใกล้) จะยิ่งใหญ่ขึ้น ลำดับของ สเปกตรัมและระยะเวลาตะแกรงที่เล็กลง:

ความสามารถในการแยกแยะเส้นสเปกตรัมใกล้นั้นไม่เพียงแต่ขึ้นอยู่กับระยะห่างระหว่างศูนย์กลางของเส้นเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับความกว้างของเส้นด้วย ดังนั้นจึงมีการแนะนำคุณสมบัติอีกประการหนึ่งในทัศนศาสตร์ - ความละเอียดของอุปกรณ์ออพติคัลซึ่งแสดงให้เห็นว่าอุปกรณ์แยกแยะรายละเอียดเล็ก ๆ ของวัตถุได้ดีเพียงใด สำหรับตะแกรงเลี้ยวเบนด้านล่าง ปณิธานเข้าใจอัตราส่วนของความยาวคลื่นต่อความแตกต่างระหว่างความยาวคลื่นใกล้เคียงที่ตะแกรงยังสามารถแยกแยะได้:

ข้าว. 27.5

โดยทั่วไป เกณฑ์การเลือกปฏิบัติของสายงานจะกำหนดโดยเกณฑ์ของ Rayleigh: อุปกรณ์ออพติคัลจะแก้ไขเส้นสเปกตรัมสองเส้นที่อยู่ติดกัน, หากค่าสูงสุดของหนึ่งในนั้นตกไปอยู่ในค่าต่ำสุดที่ใกล้ที่สุดของอีกบรรทัดหนึ่ง(รูปที่ 27.5) ในกรณีนี้ตรงกลางระหว่างความเข้มของจุดศูนย์กลางของเส้น / ยังมีค่าต่ำสุดด้วยความเข้มที่มักจะมองเห็นได้ด้วยตาหรือเครื่องมือ

ตำแหน่งของจุดสูงสุดหลักของคลื่นลูกแรกกำหนดโดยสมการ (27.22):

ตำแหน่งของจุดต่ำสุดเพิ่มเติมที่ใกล้ที่สุดของคลื่นลูกที่สองปิด เอ็กซ์ 2โดยคำนึงถึงสมการบัญชี (27.22) และ (27.25) ถูกกำหนดโดยผลรวม

ที่เกณฑ์ความละเอียด ตำแหน่งเหล่านี้ (และมุมมอง) จะตรงกัน:

ดังนั้น ยิ่งความละเอียดของตะแกรงมากเท่าใด เส้นก็จะยิ่งมีมากขึ้น และลำดับของสเปกตรัมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

เอฟเฟกต์ที่รู้จักกันดีบางประการที่ยืนยันลักษณะคลื่นของแสงคือการเลี้ยวเบนและการรบกวน ขอบเขตการใช้งานหลักคือสเปกโทรสโกปีเพื่อวิเคราะห์องค์ประกอบสเปกตรัม รังสีแม่เหล็กไฟฟ้าใช้ตะแกรงเลี้ยวเบน สูตรที่อธิบายตำแหน่งของจุดสูงสุดหลักที่กำหนดโดยโครงตาข่ายนี้จะกล่าวถึงในบทความนี้

ปรากฏการณ์ของการเลี้ยวเบนและการรบกวนคืออะไร?

ก่อนที่จะพิจารณาที่มาของสูตรตะแกรงเลี้ยวเบน ควรทำความคุ้นเคยกับปรากฏการณ์ที่ทำให้ตะแกรงมีประโยชน์ กล่าวคือ การเลี้ยวเบนและการรบกวน

คุณอาจสนใจ:

การเลี้ยวเบนเป็นกระบวนการในการเปลี่ยนการเคลื่อนที่ของหน้าคลื่น เมื่อกำลังเคลื่อนตัวไปพบสิ่งกีดขวางทึบแสงซึ่งมีขนาดเทียบได้กับความยาวคลื่น เช่น ถ้าคุณลอดผ่านรูเล็กๆ แสงแดดจากนั้นบนผนังเราไม่สามารถสังเกตเห็นจุดส่องสว่างเล็กๆ (ซึ่งควรจะเกิดขึ้นหากแสงแพร่กระจายเป็นเส้นตรง) แต่เป็นจุดส่องสว่างที่มีขนาดบางขนาด ข้อเท็จจริงข้อนี้บ่งบอกถึงลักษณะของคลื่นของแสง

การรบกวนเป็นอีกปรากฏการณ์หนึ่งที่มีลักษณะเฉพาะของคลื่น แก่นแท้ของมันอยู่ที่การซ้อนทับกันของคลื่นที่ทับซ้อนกัน หากการแกว่งของคลื่นจากหลายแหล่งมีความสอดคล้องกัน (สอดคล้องกัน) ก็จะสามารถสังเกตรูปแบบการสลับพื้นที่แสงและความมืดบนหน้าจอได้อย่างมั่นคง ค่าต่ำสุดในภาพนี้อธิบายได้จากการมาถึงของคลื่น จุดนี้ในแอนติเฟส (pi และ -pi) และค่าสูงสุดเป็นผลมาจากคลื่นกระทบจุดที่เป็นปัญหาในระยะเดียวกัน (pi และ pi)

ปรากฏการณ์ที่อธิบายไว้ทั้งสองนี้ได้รับการอธิบายครั้งแรกโดยโทมัส ยัง ชาวอังกฤษ เมื่อเขาศึกษาการเลี้ยวเบนของแสงเอกรงค์เดียวด้วยกรีดบางๆ สองอันในปี ค.ศ. 1801

หลักการของไฮเกนส์-เฟรสเนล และการประมาณสนามระยะไกลและใกล้

คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ของปรากฏการณ์การเลี้ยวเบนและการรบกวนเป็นงานที่ไม่สำคัญ การหาคำตอบที่แน่นอนต้องใช้การคำนวณที่ซับซ้อนซึ่งเกี่ยวข้องกับทฤษฎีแมกซ์เวลเลียน คลื่นแม่เหล็กไฟฟ้า- อย่างไรก็ตามในยุค 20 ปีที่ XIXศตวรรษ ชาวฝรั่งเศส ออกัสติน เฟรสเนล แสดงให้เห็นว่า ด้วยการใช้แนวคิดของไฮเกนส์เกี่ยวกับแหล่งกำเนิดคลื่นทุติยภูมิ ปรากฏการณ์เหล่านี้สามารถอธิบายได้สำเร็จ แนวคิดนี้นำไปสู่การกำหนดหลักการของไฮเกนส์-เฟรสเนล ซึ่งปัจจุบันเป็นที่มาของสูตรทั้งหมดสำหรับการเลี้ยวเบนโดยสิ่งกีดขวางที่มีรูปร่างไม่แน่นอน

อย่างไรก็ตาม แม้จะใช้หลักการไฮเกนส์-เฟรสเนลในการแก้ปัญหาการเลี้ยวเบนใน มุมมองทั่วไปล้มเหลว ดังนั้นเมื่อได้รับสูตร พวกเขาจึงใช้การประมาณค่าบางอย่าง หลักคือหน้าคลื่นเครื่องบิน เป็นรูปคลื่นนี้อย่างแน่นอนที่ต้องตกบนสิ่งกีดขวางเพื่อทำให้การคำนวณทางคณิตศาสตร์จำนวนหนึ่งง่ายขึ้น

การประมาณครั้งต่อไปอยู่ที่ตำแหน่งของจอภาพซึ่งมีการฉายรูปแบบการเลี้ยวเบนที่สัมพันธ์กับสิ่งกีดขวาง ตำแหน่งนี้อธิบายโดยหมายเลขเฟรสเนล คำนวณดังนี้:

โดยที่ a คือมิติทางเรขาคณิตของสิ่งกีดขวาง (เช่น ช่องหรือรูกลม) แลคือความยาวคลื่น D คือระยะห่างระหว่างตะแกรงและสิ่งกีดขวาง ถ้าสำหรับการทดลองเฉพาะ F

ความแตกต่างระหว่างการเลี้ยวเบนของฟรอนโฮเฟอร์และเฟรสเนลนั้นอยู่ในสภาวะที่แตกต่างกันสำหรับปรากฏการณ์การรบกวนที่เล็กและน้อย ระยะทางไกลจากอุปสรรค

ที่มาของสูตรสำหรับค่าสูงสุดหลักของตะแกรงการเลี้ยวเบน ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไปในบทความนี้ จะถือว่าการพิจารณาของการเลี้ยวเบนของฟรอนโฮเฟอร์

ตะแกรงเลี้ยวเบนและประเภทของมัน

ตาข่ายนี้เป็นแผ่นแก้วหรือพลาสติกใสขนาดหลายเซนติเมตรซึ่งมีลายเส้นทึบแสงที่มีความหนาเท่ากัน จังหวะจะอยู่ห่างจากกันคงที่ d ระยะนี้เรียกว่าคาบขัดแตะ คุณลักษณะที่สำคัญอีกสองประการของอุปกรณ์คือค่าคงที่แลตทิซ a และจำนวนของสลิตโปร่งใส N ค่าของ a กำหนดจำนวนสลิตต่อความยาว 1 มม. ดังนั้นจึงเป็นสัดส่วนผกผันกับระยะเวลา d

ตะแกรงเลี้ยวเบนมีสองประเภท:

• โปร่งใสซึ่งอธิบายไว้ข้างต้น รูปแบบการเลี้ยวเบนจากตะแกรงดังกล่าวเกิดขึ้นจากการที่หน้าคลื่นเคลื่อนผ่านตะแกรงดังกล่าว
• สะท้อนแสง ทำโดยการทาร่องเล็กๆ บนพื้นผิวเรียบ การเลี้ยวเบนและการรบกวนจากเพลตดังกล่าวเกิดขึ้นเนื่องจากการสะท้อนแสงจากยอดของแต่ละร่อง

ไม่ว่าตะแกรงประเภทใด แนวคิดเบื้องหลังผลกระทบต่อหน้าคลื่นก็คือการสร้างการรบกวนเป็นระยะๆ สิ่งนี้นำไปสู่การก่อตัวของแหล่งที่มาที่สอดคล้องกันจำนวนมากซึ่งเป็นผลมาจากการรบกวนซึ่งเป็นรูปแบบการเลี้ยวเบนบนหน้าจอ

สูตรพื้นฐานของตะแกรงเลี้ยวเบน

ที่มาของสูตรนี้เกี่ยวข้องกับการพิจารณาการพึ่งพาความเข้มของรังสีในมุมตกกระทบบนหน้าจอ ในการประมาณสนามไกล จะได้สูตรต่อไปนี้สำหรับความเข้ม I(θ):

I(θ) = I0*(sin(β)/β)2*2 โดยที่

α = pi*d/แล*(บาป(θ) - บาป(θ0));

β = pi*a/แล*(บาป(θ) - บาป(θ0))

ในสูตร ความกว้างของช่องตะแกรงเลี้ยวเบนจะแสดงด้วยสัญลักษณ์ a ดังนั้น ตัวประกอบในวงเล็บจึงต้องรับผิดชอบต่อการเลี้ยวเบนที่สลิตเดียว ค่า d คือคาบของตะแกรงการเลี้ยวเบน สูตรแสดงให้เห็นว่าปัจจัยในวงเล็บเหลี่ยมที่มีช่วงเวลานี้ปรากฏขึ้นอธิบายถึงการรบกวนจากชุดของกรีดตะแกรง

เมื่อใช้สูตรข้างต้น คุณสามารถคำนวณค่าความเข้มของมุมตกกระทบของแสงใดๆ ได้

หากเราค้นหาค่าของความเข้มสูงสุด I(θ) เราก็สามารถสรุปได้ว่าค่าดังกล่าวปรากฏโดยมีเงื่อนไขว่า α = m*pi โดยที่ m คือจำนวนเต็มใดๆ สำหรับเงื่อนไขสูงสุดที่เราได้รับ:

m*pi = pi*d/แล*(บาป(θm) - บาป(θ0)) =>

บาป(θm) - บาป(θ0) = m*λ/d

ผลลัพธ์ที่ได้เรียกว่าสูตรสูงสุดของเกรตติงการเลี้ยวเบน ตัวเลข m คือลำดับของการเลี้ยวเบน

วิธีอื่นในการเขียนสูตรพื้นฐานสำหรับขัดแตะ

โปรดทราบว่าสูตรที่ให้ไว้ในย่อหน้าก่อนหน้ามีคำว่า sin(θ0) ในที่นี้มุม θ0 สะท้อนทิศทางของการตกกระทบของส่วนหน้าของคลื่นแสงที่สัมพันธ์กับระนาบตะแกรง เมื่อส่วนหน้าขนานกับระนาบนี้ แล้ว θ0 = 0o จากนั้นเราจะได้นิพจน์สำหรับค่าสูงสุด:

บาป(θm) = ม*แลม/d

เนื่องจากค่าคงที่ของเกรตติง a (อย่าสับสนกับความกว้างของสลิต) แปรผกผันกับ d สูตรข้างต้นสามารถเขียนใหม่ได้ในรูปของค่าคงที่เกรตติงการเลี้ยวเบนเป็น:

บาป(θm) = m*แล*a

เพื่อหลีกเลี่ยงข้อผิดพลาดในการทดแทน หมายเลขเฉพาะแล, a และ d ในสูตรเหล่านี้ ควรใช้หน่วย SI ที่เหมาะสมเสมอ

แนวคิดเรื่องการกระจายตัวเชิงมุมของตะแกรง

เราจะแสดงปริมาณนี้ด้วยตัวอักษร D ตามคำจำกัดความทางคณิตศาสตร์เขียนได้ดังนี้:

ความหมายทางกายภาพของการกระจายตัวเชิงมุม D คือ มันแสดงให้เห็นด้วยมุมที่ dθm ซึ่งเป็นค่าสูงสุดสำหรับลำดับการเลี้ยวเบน m จะเปลี่ยนไป หากความยาวคลื่นตกกระทบถูกเปลี่ยนโดย dแล

หากเราใช้นิพจน์นี้กับสมการขัดแตะ เราจะได้สูตร:

D = ม./(d*คอส(θm))

การกระจายตัวเชิงมุมของตะแกรงเลี้ยวเบนถูกกำหนดโดยสูตรด้านบน จะเห็นได้ว่าค่าของ D ขึ้นอยู่กับลำดับ m และช่วงเวลา d

ยิ่งการกระจายตัว D ยิ่งมาก ความละเอียดของตะแกรงที่กำหนดก็จะยิ่งสูงขึ้น

ความละเอียดตะแกรง

ความละเอียดหมายถึง ปริมาณทางกายภาพซึ่งแสดงตามค่าต่ำสุดที่ความยาวคลื่นสองค่าสามารถแตกต่างกันได้ เพื่อให้ค่าสูงสุดปรากฏแยกกันในรูปแบบการเลี้ยวเบน

ความละเอียดถูกกำหนดโดยเกณฑ์ของ Rayleigh มันบอกว่า: สองจุดสูงสุดสามารถแยกออกจากกันในรูปแบบการเลี้ยวเบนได้ หากระยะห่างระหว่างจุดสูงสุดนั้นมากกว่าครึ่งหนึ่งของความกว้างของแต่ละจุด ความกว้างครึ่งเชิงมุมสูงสุดสำหรับตะแกรงถูกกำหนดโดยสูตร:

Δθ1/2 = แลม/(N*d*cos(θm))

ความละเอียดของตะแกรงตามเกณฑ์ของ Rayleigh เท่ากับ:

Δθm>Δθ1/2 หรือ D*Δแล>Δθ1/2

แทนค่าของ D และ Δθ1/2 เราจะได้:

Δแล*m/(d*cos(θm))>แลม/(N*d*cos(θm) =>

Δแล > แล/(m*N)

นี่คือสูตรสำหรับความละเอียดของตะแกรงเลี้ยวเบน ยังไง จำนวนที่มากขึ้นเส้น N บนเพลตและยิ่งลำดับการเลี้ยวเบนสูง ความละเอียดของความยาวคลื่นที่กำหนด แล ก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น

ตะแกรงเลี้ยวเบนในสเปกโทรสโกปี

ให้เราเขียนสมการพื้นฐานของค่าสูงสุดสำหรับขัดแตะอีกครั้ง:

บาป(θm) = ม*แลม/d

คุณจะเห็นได้ว่ายิ่งความยาวคลื่นตกบนจานที่มีเส้นริ้วนานเท่าไร มุมก็จะยิ่งมากขึ้นเท่านั้น จุดสูงสุดก็จะปรากฏบนหน้าจอ กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากแสงที่ไม่ใช่สีเดียว (เช่น สีขาว) ถูกส่งผ่านจาน คุณจะเห็นลักษณะของสีสูงสุดบนหน้าจอ เริ่มต้นจากค่าสูงสุดของสีขาวตรงกลาง (การเลี้ยวเบนตามลำดับเป็นศูนย์) ค่าสูงสุดเพิ่มเติมจะปรากฏขึ้นสำหรับความยาวคลื่นที่สั้นกว่า (สีม่วง, สีฟ้า) และสำหรับความยาวคลื่นที่ยาวกว่า (สีส้ม, สีแดง)

ข้อสรุปที่สำคัญอีกประการหนึ่งจากสูตรนี้คือการขึ้นอยู่กับมุม θm ในลำดับการเลี้ยวเบน ยิ่ง m มาก ค่า θm ก็จะยิ่งมากขึ้น ซึ่งหมายความว่าเส้นสีจะถูกแยกออกจากกันมากขึ้นที่จุดสูงสุดเพื่อให้มีลำดับการเลี้ยวเบนสูง ข้อเท็จจริงนี้ถูกเน้นไว้แล้วเมื่อพิจารณาความละเอียดของตะแกรง (ดูย่อหน้าก่อนหน้า)

ความสามารถที่อธิบายไว้ของตะแกรงเลี้ยวเบนทำให้สามารถใช้วิเคราะห์สเปกตรัมการแผ่รังสีของวัตถุเรืองแสงต่างๆ รวมถึงดาวฤกษ์และกาแลคซีที่อยู่ห่างไกล

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

มาดูวิธีใช้สูตรเกรตติงการเลี้ยวเบนกัน ความยาวคลื่นของแสงที่ตกบนตะแกรงคือ 550 นาโนเมตร มีความจำเป็นต้องกำหนดมุมที่การเลี้ยวเบนลำดับที่หนึ่งเกิดขึ้นหากคาบ d เท่ากับ 4 µm

θ1 = อาร์คซิน(แลม/d)

เราแปลงข้อมูลทั้งหมดเป็นหน่วย SI และแทนที่สมการนี้:

θ1 = อาร์คซิน(550*10-9/(4*10-6)) = 7.9o

หากตะแกรงอยู่ห่างจากตะแกรง 1 เมตร จากตรงกลางของจุดศูนย์กลางสูงสุด เส้นของการเลี้ยวเบนลำดับแรกสำหรับคลื่น 550 นาโนเมตรจะปรากฏขึ้นที่ระยะ 13.8 ซม. ซึ่งสอดคล้องกับ มุม 7.9o

คำนิยาม

ตะแกรงเลี้ยวเบน- เป็นอุปกรณ์สเปกตรัมที่ง่ายที่สุด ประกอบด้วยระบบกรีด (พื้นที่โปร่งใสต่อแสง) และช่องว่างทึบแสงที่เทียบเคียงได้กับความยาวคลื่น

ตะแกรงเลี้ยวเบนแบบหนึ่งมิติประกอบด้วยรอยกรีดขนานที่มีความกว้างเท่ากัน ซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกัน คั่นด้วยช่องว่างที่มีความกว้างเท่ากันซึ่งทึบแสง ตะแกรงเลี้ยวเบนแบบสะท้อนแสงถือว่าดีที่สุด ประกอบด้วยชุดของพื้นที่สะท้อนแสงและพื้นที่ที่กระจายแสง ตะแกรงเหล่านี้เป็นแผ่นโลหะขัดเงาซึ่งมีการใช้เครื่องตัดลายเส้นกระจายแสง

รูปแบบการเลี้ยวเบนบนตะแกรงเป็นผลมาจากการรบกวนซึ่งกันและกันของคลื่นที่มาจากทุกช่อง การใช้ตะแกรงเลี้ยวเบน ทำให้สามารถเกิดการรบกวนหลายลำแสงของลำแสงที่ต่อเนื่องกันซึ่งผ่านการเลี้ยวเบนและมาจากช่องทุกช่อง

ลักษณะของตะแกรงเลี้ยวเบนคือคาบของมัน คาบของตะแกรงเลี้ยวเบน (d) (ค่าคงที่) คือค่าเท่ากับ:

โดยที่ a คือความกว้างของช่อง b คือความกว้างของพื้นที่ทึบแสง

การเลี้ยวเบนโดยตะแกรงเลี้ยวเบนแบบหนึ่งมิติ

สมมติว่าคลื่นแสงที่มีความยาว 0 ตกกระทบในแนวตั้งฉากกับระนาบของตะแกรงการเลี้ยวเบน เนื่องจากช่องของตะแกรงอยู่ห่างจากกันเท่ากัน ความแตกต่างในเส้นทางของรังสี () ที่มาจากช่องสองช่องที่อยู่ติดกันเพื่อหาทิศทางจะเท่ากันสำหรับตะแกรงการเลี้ยวเบนทั้งหมดที่กำลังพิจารณา:

ความเข้มต่ำสุดหลักจะสังเกตได้ในทิศทางที่กำหนดโดยเงื่อนไข:

นอกเหนือจากค่าต่ำสุดหลักแล้ว อันเป็นผลมาจากการรบกวนซึ่งกันและกันของรังสีแสงที่มาจากช่องสองช่อง รังสีจะหักล้างกันในบางทิศทาง เป็นผลให้มีความเข้มข้นขั้นต่ำเพิ่มเติมเกิดขึ้น ปรากฏในทิศทางเหล่านั้นซึ่งเส้นทางของรังสีมีความแตกต่างกัน เลขคี่ครึ่งคลื่น เงื่อนไขสำหรับขั้นต่ำเพิ่มเติมคือสูตร:

โดยที่ N คือจำนวนรอยกรีดของตะแกรงเลี้ยวเบน — ค่าจำนวนเต็มอื่นที่ไม่ใช่ 0 หากตะแกรงมีรอยแยก N ดังนั้นระหว่างค่าสูงสุดหลักทั้งสองจะมีค่าขั้นต่ำเพิ่มเติมที่แยกค่าสูงสุดรอง

เงื่อนไขสำหรับค่าสูงสุดหลักของตะแกรงเลี้ยวเบนคือ:

ค่าของไซน์ต้องไม่มากกว่า 1 ดังนั้นจำนวนค่าสูงสุดหลักคือ:

ตัวอย่างการแก้ปัญหาในหัวข้อ “ตะแกรงเลี้ยวเบน”

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย	ลำแสงสีเอกรงค์ที่มีความยาวคลื่น θ ตกกระทบบนตะแกรงเลี้ยวเบน ซึ่งตั้งฉากกับพื้นผิว รูปแบบการเลี้ยวเบนจะถูกฉายลงบนจอแบนโดยใช้เลนส์ ระยะห่างระหว่างค่าสูงสุดของความเข้มอันดับหนึ่งคือ l ค่าคงที่ของเกรตการเลี้ยวเบนคือเท่าใด หากวางเลนส์ไว้ใกล้กับตะแกรงและระยะห่างจากตะแกรงถึงหน้าจอคือ L พิจารณาว่า
สารละลาย	เพื่อเป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหา เราใช้สูตรที่เกี่ยวข้องกับค่าคงที่ของตะแกรงการเลี้ยวเบน ความยาวคลื่นของแสง และมุมของการโก่งตัวของรังสี ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนการเลี้ยวเบนสูงสุด m: ตามเงื่อนไขของปัญหาเนื่องจากมุมโก่งของรังสีถือได้ว่าเล็ก () เราถือว่า: จากรูปที่ 1 มีดังนี้: ลองแทนที่นิพจน์ (1.3) ลงในสูตร (1.1) และคำนึงว่า เราได้รับ: จาก (1.4) เราแสดงคาบขัดแตะ:
คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย	ใช้เงื่อนไขของตัวอย่างที่ 1 และผลลัพธ์ของการแก้ปัญหา หาจำนวนสูงสุดที่โครงตาข่ายดังกล่าวจะให้ได้
สารละลาย	เพื่อที่จะหามุมโก่งสูงสุดของรังสีแสงในปัญหาของเรา เราจะหาจำนวนสูงสุดที่ตะแกรงการเลี้ยวเบนของเราจะให้ได้ เมื่อต้องการทำเช่นนี้ เราใช้สูตร: โดยที่เราสันนิษฐานว่าสำหรับ . จากนั้นเราจะได้รับ:

คำนิยาม

ตะแกรงเลี้ยวเบนเรียกว่าอุปกรณ์สเปกตรัม ซึ่งเป็นระบบของรอยกรีดจำนวนหนึ่งคั่นด้วยช่องว่างทึบแสง

บ่อยครั้งในทางปฏิบัติมีการใช้ตะแกรงเลี้ยวเบนแบบหนึ่งมิติซึ่งประกอบด้วยช่องขนานที่มีความกว้างเท่ากันซึ่งอยู่ในระนาบเดียวกันซึ่งคั่นด้วยช่องว่างทึบแสงที่มีความกว้างเท่ากัน ตะแกรงดังกล่าวทำขึ้นโดยใช้เครื่องแบ่งแบบพิเศษซึ่งใช้จังหวะแบบขนานกับแผ่นกระจก จำนวนจังหวะดังกล่าวอาจมากกว่าหนึ่งพันต่อมิลลิเมตร

ตะแกรงเลี้ยวเบนแบบสะท้อนแสงถือว่าดีที่สุด นี่คือกลุ่มของพื้นที่สะท้อนแสงกับบริเวณที่สะท้อนแสง ตะแกรงดังกล่าวเป็นแผ่นโลหะขัดเงาซึ่งมีการใช้เครื่องตัดลายเส้นแบบกระเจิงแสง

รูปแบบการเลี้ยวเบนบนตะแกรงเป็นผลมาจากการรบกวนซึ่งกันและกันของคลื่นที่มาจากกรีดทั้งหมด ด้วยเหตุนี้ ด้วยความช่วยเหลือของตะแกรงการเลี้ยวเบน การรบกวนหลายลำแสงของลำแสงที่ต่อเนื่องกันที่ได้รับการเลี้ยวเบนและมาจากช่องทุกช่องจึงเกิดขึ้น

สมมติว่าความกว้างของช่องบนตะแกรงเลี้ยวเบนคือ a ความกว้างของส่วนทึบแสงคือ b แล้วค่าจะเป็น:

เรียกว่าคาบของเกรตติงการเลี้ยวเบน (คงที่)

รูปแบบการเลี้ยวเบนบนตะแกรงเลี้ยวเบนแบบหนึ่งมิติ

ลองจินตนาการว่าปกติแล้วคลื่นเอกรงค์จะตกกระทบกับระนาบของตะแกรงการเลี้ยวเบน เนื่องจากความจริงที่ว่ากรีดนั้นอยู่ห่างจากกันเท่ากัน ความแตกต่างของเส้นทางของรังสี () ที่มาจากกรีดที่อยู่ติดกันคู่หนึ่งสำหรับทิศทางที่เลือกจะเท่ากันสำหรับตะแกรงการเลี้ยวเบนที่กำหนดทั้งหมด:

ความเข้มต่ำสุดหลักจะสังเกตได้ในทิศทางที่กำหนดโดยเงื่อนไข:

นอกเหนือจากค่าต่ำสุดหลักแล้ว อันเป็นผลมาจากการรบกวนซึ่งกันและกันของรังสีแสงที่ส่งมาจากกรีดคู่หนึ่ง ในบางทิศทางพวกมันจะหักล้างกัน ซึ่งหมายความว่าจะมีค่าขั้นต่ำเพิ่มเติมปรากฏขึ้น พวกมันเกิดขึ้นในทิศทางที่ความแตกต่างในเส้นทางของรังสีเป็นจำนวนคี่ของครึ่งคลื่น เงื่อนไขสำหรับขั้นต่ำเพิ่มเติมเขียนเป็น:

โดยที่ N คือจำนวนรอยกรีดของตะแกรงเลี้ยวเบน k’ ยอมรับค่าจำนวนเต็มใดๆ ยกเว้น 0, . หากโครงตาข่ายมีรอยกรีด N ช่อง ระหว่างจุดสูงสุดหลักทั้งสองจะมีค่าขั้นต่ำเพิ่มเติมที่แยกจุดสูงสุดรอง

เงื่อนไขสำหรับค่าสูงสุดหลักสำหรับตะแกรงเลี้ยวเบนคือนิพจน์:

เนื่องจากค่าไซน์ต้องไม่มากกว่า 1 จำนวนค่าสูงสุดหลักคือ:

หากแสงสีขาวส่องผ่านตะแกรง จุดสูงสุดทั้งหมด (ยกเว้นจุดศูนย์กลาง m = 0) จะสลายตัวเป็นสเปกตรัม ในกรณีนี้ บริเวณสีม่วงของสเปกตรัมนี้จะหันไปทางจุดศูนย์กลางของรูปแบบการเลี้ยวเบน คุณสมบัติของตะแกรงเลี้ยวเบนนี้ใช้เพื่อศึกษาองค์ประกอบของสเปกตรัมแสง หากทราบคาบเกรตติง การคำนวณความยาวคลื่นของแสงสามารถลดลงเพื่อหามุม ซึ่งสอดคล้องกับทิศทางไปยังค่าสูงสุด

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

ตัวอย่างที่ 1

ออกกำลังกาย	ข้อใดคือลำดับสเปกตรัมสูงสุดที่สามารถหาได้โดยใช้ตะแกรงเลี้ยวเบนที่มีค่าคงที่ m หากลำแสงสีเดียวที่มีความยาวคลื่น m ตกกระทบในแนวตั้งฉากกับพื้นผิว
สารละลาย	เราใช้สูตรเป็นพื้นฐานในการแก้ปัญหาซึ่งเป็นเงื่อนไขในการสังเกตค่าสูงสุดหลักของรูปแบบการเลี้ยวเบนที่ได้รับเมื่อแสงผ่านตะแกรงการเลี้ยวเบน: ค่าสูงสุดคือหนึ่ง ดังนั้น: จาก (1.2) เราแสดง เราได้รับ: เรามาคำนวณกัน:
คำตอบ

ตัวอย่างที่ 2

ออกกำลังกาย	แสงสีเดียวที่มีความยาวคลื่น . จะถูกส่งผ่านตะแกรงการเลี้ยวเบน ตะแกรงจะถูกวางไว้ที่ระยะ L จากตะแกรง การใช้เลนส์ที่อยู่ใกล้ตะแกรง การฉายภาพรูปแบบการเลี้ยวเบนจะถูกสร้างขึ้นบนตะแกรง ในกรณีนี้ ค่าสูงสุดของการเลี้ยวเบนแรกจะอยู่ที่ระยะห่าง l จากศูนย์กลาง ถ้าแสงตกกระทบตามปกติ ตะแกรงเลี้ยวเบน (N) จะมีจำนวนเส้นต่อหน่วยความยาวเป็นเท่าใด
สารละลาย	มาวาดรูปกันเถอะ

แพร่หลายใน การทดลองทางวิทยาศาสตร์และอุปกรณ์ที่ได้รับ ตะแกรงเลี้ยวเบนซึ่งเป็นชุดของรอยกรีดที่ขนานและเหมือนกันซึ่งมีระยะห่างเท่ากัน คั่นด้วยช่วงทึบแสงที่มีความกว้างเท่ากัน ตะแกรงเลี้ยวเบนถูกสร้างขึ้นโดยใช้เครื่องแบ่งที่ทำให้เส้น (รอยขีดข่วน) บนกระจกหรือวัสดุโปร่งใสอื่น ๆ ในกรณีที่เกิดรอยขีดข่วน วัสดุจะทึบแสง และช่องว่างระหว่างวัสดุทั้งสองจะยังคงโปร่งใสและทำหน้าที่เป็นรอยแตกจริงๆ

ก่อนอื่นให้เราพิจารณาการเลี้ยวเบนของแสงจากตะแกรงโดยใช้ตัวอย่างช่องสองช่อง (เมื่อจำนวนรอยกรีดเพิ่มขึ้น ยอดการเลี้ยวเบนจะแคบลง สว่างขึ้น และชัดเจนขึ้นเท่านั้น)

อนุญาต เอ -ความกว้างของช่อง ข - ความกว้างของช่องว่างทึบแสง (รูปที่ 5.6)

ข้าว. 5.6. การเลี้ยวเบนจากสองกรีด

คาบตะแกรงการเลี้ยวเบนคือระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของกรีดที่อยู่ติดกัน:

ความแตกต่างในเส้นทางของรังสีเอกซ์ทั้งสองมีค่าเท่ากับ

หากผลต่างเส้นทางเท่ากับจำนวนคี่ของครึ่งคลื่น

จากนั้นแสงที่ส่งมาจากช่องทั้งสองจะถูกยกเลิกร่วมกันเนื่องจากการรบกวนของคลื่น เงื่อนไขขั้นต่ำมีแบบฟอร์ม

ขั้นต่ำเหล่านี้เรียกว่า เพิ่มเติม.

หากผลต่างเส้นทางเท่ากับจำนวนครึ่งคลื่นคู่

จากนั้นคลื่นที่ส่งมาจากแต่ละช่องจะเสริมซึ่งกันและกัน เงื่อนไขของการรบกวนสูงสุดโดยคำนึงถึง (5.36) มีรูปแบบดังนี้

นี่คือสูตรสำหรับ ค่าสูงสุดหลักของตะแกรงเลี้ยวเบน.

นอกจากนี้ ในทิศทางที่ไม่มีช่องใดช่องหนึ่งสามารถแพร่แสงได้ ก็จะไม่แพร่กระจายแม้จะมีช่องสองช่อง กล่าวคือ ตาข่ายหลักขั้นต่ำ จะถูกสังเกตในทิศทางที่กำหนดโดยเงื่อนไข (5.21) สำหรับหนึ่งสลิต:

หากตะแกรงเลี้ยวเบนประกอบด้วย เอ็นกรีด (ตะแกรงสมัยใหม่ที่ใช้ในเครื่องมือสำหรับการวิเคราะห์สเปกตรัมมีมากถึง 200 000 จังหวะและระยะเวลา ง = 0.8 ไมโครเมตรนั่นคือตามลำดับ 12 000 จังหวะ คูณ 1 ซม) ดังนั้น เงื่อนไขสำหรับค่าสูงสุดหลักคือ ในกรณีของสองสลิต ความสัมพันธ์ (5.41) เงื่อนไขสำหรับค่าสูงสุดหลักคือความสัมพันธ์ (5.40) และ เงื่อนไขขั้นต่ำเพิ่มเติมดูเหมือนว่า

ที่นี่ เค"สามารถรับทุกอย่างได้ ค่าจำนวนเต็ม, ยกเว้น 0, ยังไม่มีข้อความ, 2N, ... .ดังนั้นในกรณี เอ็นมีช่องว่างระหว่างจุดสูงสุดหลักทั้งสอง ( น–1) จุดต่ำสุดเพิ่มเติม คั่นด้วยจุดสูงสุดรอง ทำให้เกิดพื้นหลังที่ค่อนข้างอ่อนแอ

ตำแหน่งของจุดสูงสุดหลักจะขึ้นอยู่กับความยาวคลื่น ล- ดังนั้นเมื่อผ่านตะแกรง แสงสีขาวจุดสูงสุดทั้งหมด ยกเว้นอันที่อยู่ตรงกลาง จะถูกแยกย่อยออกเป็นสเปกตรัม โดยปลายสีม่วงหันเข้าหาจุดศูนย์กลางของรูปแบบการเลี้ยวเบน และปลายสีแดงหันออกด้านนอก ดังนั้นตะแกรงเลี้ยวเบนจึงเป็นอุปกรณ์สเปกตรัม โปรดทราบว่าแม้ว่าปริซึมสเปกตรัมจะเบี่ยงเบนรังสีสีม่วงได้รุนแรงที่สุด แต่ตะแกรงการเลี้ยวเบนกลับจะสะท้อนรังสีสีแดงได้แรงกว่า

ลักษณะสำคัญของอุปกรณ์สเปกตรัมคือ ปณิธาน.

ความละเอียดของอุปกรณ์สเปกตรัมเป็นปริมาณไร้มิติ

โดยที่คือความแตกต่างขั้นต่ำของความยาวคลื่นของเส้นสเปกตรัมสองเส้นที่เส้นเหล่านี้ถูกรับรู้แยกกัน

ให้เราพิจารณาความละเอียดของตะแกรงเลี้ยวเบน ตำแหน่งกลาง kthสูงสุดสำหรับความยาวคลื่น

กำหนดโดยเงื่อนไข

ขอบ เค- ไทย สูงสุด (นั่นคือค่าต่ำสุดเพิ่มเติมที่ใกล้ที่สุด) สำหรับความยาวคลื่น ลอยู่ในมุมที่สนองความสัมพันธ์: