นิยามของฟังก์ชันต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

คำจำกัดความของความต่อเนื่องตาม Heine

ฟังก์ชันของตัวแปรจริง \(f\left(x \right)\) กล่าวกันว่าเป็น อย่างต่อเนื่อง ที่จุด \(a \in \mathbb(R)\) (\(\mathbb(R)-\)เซตของจำนวนจริง) ถ้าสำหรับลำดับใดๆ \(\left\( ((x_n)) \right\ )\ ) โดยที่ \[\lim\limits_(n \to \infty ) (x_n) = a,\] ความสัมพันธ์ \[\lim\limits_(n \to \infty ) f\left(((x_n) ) \right) = f\left(a \right).\] ในทางปฏิบัติ สะดวกในการใช้เงื่อนไข \(3\) ต่อไปนี้เพื่อความต่อเนื่องของฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ณ จุด \(x = a\) ( ซึ่งจะต้องดำเนินการพร้อมกัน):

1. ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ถูกกำหนดไว้ที่จุด \(x = a\);
2. ขีดจำกัด \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right)\) มีอยู่;
3. ความเท่าเทียมกัน \(\lim\limits_(x \to a) f\left(x \right) = f\left(a \right)\) ยังคงอยู่

คำจำกัดความของความต่อเนื่องของ Cauchy (สัญกรณ์ \(\varepsilon - \delta\))

พิจารณาฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ที่จับคู่เซตของจำนวนจริง \(\mathbb(R)\) กับเซตย่อย \(B\) อีกเซตหนึ่งของจำนวนจริง ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) กล่าวคือ อย่างต่อเนื่อง ที่จุด \(a \in \mathbb(R)\) ถ้าสำหรับจำนวนใดๆ \(\varepsilon > 0\) จะมีจำนวน \(\delta > 0\) เช่นนั้นสำหรับ \(x \in \ ทั้งหมด mathbb (R)\) เป็นไปตามความสัมพันธ์ \[\left| (x - ก) \right| คำจำกัดความของความต่อเนื่องในแง่ของการเพิ่มอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน

คำจำกัดความของความต่อเนื่องสามารถกำหนดได้โดยใช้การเพิ่มอาร์กิวเมนต์และฟังก์ชัน ฟังก์ชันจะต่อเนื่องที่จุด \(x = a\) ถ้าความเท่าเทียมกัน \[\lim\limits_(\Delta x \to 0) \Delta y = \lim\limits_(\Delta x \to 0) \left[ ( f\left((a + \Delta x) \right) - f\left(a \right)) \right] = 0,\] โดยที่ \(\Delta x = x - a\)

คำจำกัดความข้างต้นของความต่อเนื่องของฟังก์ชันเทียบเท่ากับเซตของจำนวนจริง

ฟังก์ชั่นคือ อย่างต่อเนื่องในช่วงเวลาที่กำหนด ถ้ามันต่อเนื่องกันทุกจุดของช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบทความต่อเนื่อง

ทฤษฎีบท 1
ให้ฟังก์ชัน \(f\left(x \right)\) ต่อเนื่องกันที่จุด \(x = a\) และ \(C\) เป็นค่าคงที่ จากนั้นฟังก์ชัน \(Cf\left(x \right)\) ก็ต่อเนื่องกันสำหรับ \(x = a\)

ทฤษฎีบท 2
เมื่อกำหนดให้สองฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) และ \((g\left(x \right))\) ต่อเนื่องกันที่จุด \(x = a\) จากนั้นผลรวมของฟังก์ชันเหล่านี้ \((f\left(x \right)) + (g\left(x \right))\) ก็มีความต่อเนื่องที่จุด \(x = a\) เช่นกัน

ทฤษฎีบท 3
สมมติว่าสองฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) และ \((g\left(x \right))\) มีความต่อเนื่องที่จุด \(x = a\) จากนั้นผลคูณของฟังก์ชันเหล่านี้ \((f\left(x \right)) (g\left(x \right))\) ก็ต่อเนื่องที่จุด \(x = a\) เช่นกัน

ทฤษฎีบท 4
เมื่อกำหนดให้สองฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) และ \((g\left(x \right))\) ต่อเนื่องกันสำหรับ \(x = a\) จากนั้นอัตราส่วนของฟังก์ชันเหล่านี้ \(\large\frac((f\left(x \right)))((g\left(x \right)))\normalsize\) จะเป็นค่าต่อเนื่องสำหรับ \(x = a\ ) ขึ้นอยู่กับ , นั่น \((g\left(a \right)) \ne 0\)

ทฤษฎีบท 5
สมมติว่าฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) สามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุด \(x = a\) จากนั้นฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) จะต่อเนื่อง ณ จุดนี้ (นั่นคือ ความสามารถในการหาอนุพันธ์แสดงถึงความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น ตรงกันข้ามไม่เป็นความจริง)

ทฤษฎีบทที่ 6 (ทฤษฎีบทค่าจำกัด)
ถ้าฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) ต่อเนื่องกันในช่วงปิดและขอบเขต \(\left[ (a,b) \right]\) แล้วฟังก์ชันนั้นจะมีขอบเขตด้านบนและด้านล่างของฟังก์ชันนี้ ช่วงเวลา กล่าวอีกนัยหนึ่ง มีตัวเลข \(m\) และ \(M\) โดยที่ \ สำหรับทั้งหมด \(x\) ในช่วงเวลา \(\left[ (a,b) \right]\) (รูปที่ 1) .

รูปที่ 1		รูปที่ 2

ทฤษฎีบท 7 (ทฤษฎีบทค่ากลาง)
ปล่อยให้ฟังก์ชัน \((f\left(x \right))\) ต่อเนื่องในช่วงปิดและมีขอบเขต \(\left[ (a,b) \right]\) จากนั้น ถ้า \(c\) เป็นจำนวนที่มากกว่า \((f\left(a \right))\) และน้อยกว่า \((f\left(b \right))\) ก็จะมีตัวเลขอยู่ \(( x_0)\) โดยที่ \ ทฤษฎีบทนี้แสดงไว้ในรูปที่ 2

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันเบื้องต้น

ทั้งหมด ฟังก์ชั่นเบื้องต้น มีความต่อเนื่อง ณ จุดใดก็ได้ในขอบเขตของคำจำกัดความ

ฟังก์ชันนี้เรียกว่า ระดับประถมศึกษา ถ้ามันถูกสร้างขึ้นจากองค์ประกอบและการผสมผสานจำนวนจำกัด
(ใช้การดำเนินการ \(4\) - การบวก ลบ คูณหาร) - มากมาย ฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้น รวมถึง:

คำนิยาม.ให้นิยามฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x0 และบริเวณใกล้เคียงบางส่วน ฟังก์ชัน y = f(x) ถูกเรียก ต่อเนื่องที่จุด x0, ถ้า:

1. มีอยู่
2. ขีดจำกัดนี้เท่ากับค่าของฟังก์ชันที่จุด x0:

เมื่อกำหนดขีดจำกัด มีการเน้นย้ำว่า f(x) อาจไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุด x0 และหากมีการกำหนด ณ จุดนี้ ค่าของ f(x0) จะไม่มีส่วนร่วมในการกำหนดขีดจำกัดแต่อย่างใด เมื่อพิจารณาความต่อเนื่อง สิ่งสำคัญคือต้องมี f(x0) อยู่ และค่านี้จะต้องเท่ากับ lim f(x)

คำนิยาม.ให้นิยามฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x0 และบริเวณใกล้เคียงบางส่วน ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าต่อเนื่องที่จุด x0 ถ้าทุก ε>0 มีเลขบวก δ โดยที่สำหรับ x ทั้งหมดในพื้นที่ใกล้เคียงของจุด x0 (เช่น |x-x0|
ที่นี่พิจารณาว่าค่าของขีด จำกัด จะต้องเท่ากับ f(x0) ดังนั้นเมื่อเปรียบเทียบกับคำจำกัดความของขีด จำกัด เงื่อนไขของการเจาะของ δ-พื้นที่ใกล้เคียง 0 จะถูกลบออก
ให้เราให้คำจำกัดความอีกข้อหนึ่ง (เทียบเท่ากับคำก่อนหน้า) ในแง่ของการเพิ่มขึ้น สมมติว่าΔх = x - x0 เราจะเรียกค่านี้ว่าการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ ตั้งแต่ x->x0 จากนั้น Δx->0 เช่น Δx - b.m (ไม่สิ้นสุด) ปริมาณ ให้เราแสดงว่า Δу = f(x)-f(x0) เราจะเรียกค่านี้ว่าการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันเนื่องจาก |Δу| ควรเป็น (สำหรับขนาดเล็กเพียงพอ | Δх|) น้อยกว่าตัวเลขที่ต้องการ ε>0 ดังนั้น Δу- ก็คือ bm เช่นกัน คุณค่าดังนั้น

คำนิยาม.ให้นิยามฟังก์ชัน y = f(x) ที่จุด x0 และบริเวณใกล้เคียงบางส่วน ฟังก์ชัน f(x) ถูกเรียก ต่อเนื่องที่จุด x0ถ้าการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยในฟังก์ชัน

คำนิยาม.ฟังก์ชัน f(x) ซึ่งไม่ต่อเนื่องกันที่จุด x0 เรียกว่าไม่ต่อเนื่องณ จุดนี้

คำนิยาม.ฟังก์ชัน f(x) เรียกว่าต่อเนื่องบนเซต X ถ้าฟังก์ชัน f(x) มีความต่อเนื่องที่ทุกจุดของเซตนี้

ทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของผลบวก ผลหาร

ทฤษฎีบทเรื่องการผ่านไปยังลิมิตใต้เครื่องหมายของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของการซ้อนของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ปล่อยให้ฟังก์ชัน f(x) ถูกกำหนดในช่วงเวลาหนึ่งและเป็นโมโนโทนิกในช่วงเวลานี้ จากนั้น f(x) จะมีได้เฉพาะจุดที่ไม่ต่อเนื่องของประเภทแรกบนเซกเมนต์นี้

ทฤษฎีบทค่ากลางหากฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันบนเซกเมนต์และที่จุดสองจุด a และ b (a น้อยกว่า b) รับค่าที่ไม่เท่ากัน A = f(a) ≠ B = f(b) ดังนั้นสำหรับตัวเลข C ใด ๆ ซึ่งอยู่ระหว่าง A และ B จะมีจุด c ∈ ซึ่งค่าของฟังก์ชันเท่ากับ C: f(c) = C

ทฤษฎีบทเรื่องขอบเขตของฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งถ้าฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันนั้นจะถูกผูกไว้กับช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการบรรลุค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดถ้าฟังก์ชัน f(x) ต่อเนื่องกันในช่วงเวลาหนึ่ง ฟังก์ชันจะไปถึงขอบเขตล่างและบนของช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบทเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันผกผันปล่อยให้ฟังก์ชัน y=f(x) ต่อเนื่องและเพิ่ม (ลดลง) อย่างเคร่งครัดในช่วงเวลา [a,b] จากนั้นในส่วนนี้จะมีฟังก์ชันผกผัน x = g(y) และยังเพิ่ม (ลดลง) ซ้ำซากและต่อเนื่อง

การศึกษาฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งจะดำเนินการตามแผนงานประจำที่กำหนดไว้แล้ว ซึ่งประกอบด้วยการตรวจสอบเงื่อนไขความต่อเนื่องสามประการ:

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง กำหนดลักษณะของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน หากมี ดำเนินการวาดภาพ

สารละลาย:

1) จุดเดียวภายในขอบเขตคือตำแหน่งที่ไม่ได้กำหนดฟังก์ชัน

ขีดจำกัดด้านเดียวมีจำกัดและเท่ากัน

ดังนั้น ณ จุดที่ฟังก์ชันประสบปัญหาความไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้

กราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะอย่างไร

ฉันอยากจะทำให้มันง่ายขึ้น และดูเหมือนว่าจะได้พาราโบลาธรรมดามา แต่ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่ point ดังนั้นจึงจำเป็นต้องมีส่วนคำสั่งต่อไปนี้:

มาวาดรูปกันเถอะ:

คำตอบ: ฟังก์ชันจะต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุดที่เกิดการไม่ต่อเนื่องแบบถอดได้

ฟังก์ชั่นสามารถกำหนดเพิ่มเติมได้ในทางที่ดีหรือไม่ดีนัก แต่ตามเงื่อนไขนี้ไม่จำเป็น

คุณบอกว่านี่เป็นตัวอย่างที่ลึกซึ้งใช่ไหม? ไม่เลย. สิ่งนี้เกิดขึ้นหลายสิบครั้งในทางปฏิบัติ งานเกือบทั้งหมดของไซต์มาจากงานอิสระและการทดสอบจริง

กำจัดโมดูลที่เราชื่นชอบ:

ตัวอย่างที่ 2

สำรวจฟังก์ชัน เพื่อความต่อเนื่อง กำหนดลักษณะของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน หากมี ดำเนินการวาดภาพ

สารละลาย: ด้วยเหตุผลบางประการ นักเรียนจึงกลัวและไม่ชอบฟังก์ชันที่มีโมดูล แม้ว่าจะไม่มีอะไรซับซ้อนก็ตาม เราได้พูดถึงเรื่องดังกล่าวบ้างแล้วในบทเรียน การแปลงเรขาคณิตของกราฟ- เนื่องจากโมดูลไม่เป็นค่าลบ จึงมีการขยายดังนี้: โดยที่ "อัลฟ่า" คือสำนวนบางอย่าง ในกรณีนี้ และฟังก์ชันของเราควรจะเขียนเป็นชิ้นๆ:

แต่เศษส่วนของทั้งสองชิ้นจะต้องลดลง การลดลงตามตัวอย่างก่อนหน้านี้จะไม่เกิดขึ้นโดยไม่มีผลกระทบ ฟังก์ชันดั้งเดิมไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุดเนื่องจากตัวส่วนไปที่ศูนย์ ดังนั้น ระบบควรระบุเงื่อนไขเพิ่มเติม และทำให้อสมการแรกเข้มงวด:

ตอนนี้เกี่ยวกับเทคนิคการตัดสินใจที่มีประโยชน์มาก: ก่อนจบงานแบบร่าง จะเป็นประโยชน์ถ้าต้องเขียนแบบ (ไม่ว่าเงื่อนไขจะกำหนดหรือไม่ก็ตาม) สิ่งนี้จะช่วยให้มองเห็นจุดต่อเนื่องและจุดไม่ต่อเนื่องได้ทันที และประการที่สอง จะปกป้องคุณจากข้อผิดพลาด 100% เมื่อค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว

มาวาดรูปกันเถอะ ตามการคำนวณของเรา ทางด้านซ้ายของจุดจำเป็นต้องวาดส่วนของพาราโบลา (สีน้ำเงิน) และทางด้านขวา - ชิ้นส่วนของพาราโบลา (สีแดง) ในขณะที่ไม่ได้กำหนดฟังก์ชันไว้ที่ ชี้ตัวเอง:

หากมีข้อสงสัย ให้นำค่า x สองสามค่ามาเสียบเข้ากับฟังก์ชัน (จำไว้ว่าโมดูลทำลายเครื่องหมายลบที่เป็นไปได้) และตรวจสอบกราฟ

ให้เราตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องในเชิงวิเคราะห์:

1) ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุด ดังนั้นเราจึงบอกได้ทันทีว่ามันไม่ต่อเนื่องกันที่จุดนั้น

2) มากำหนดลักษณะของความไม่ต่อเนื่องกัน โดยคำนวณขีดจำกัดด้านเดียว:

ขีดจำกัดด้านเดียวมีจำกัดและแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะทนทุกข์ทรมานจากความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 1 ด้วยการกระโดดไปที่จุด โปรดทราบว่าไม่สำคัญว่าจะกำหนดฟังก์ชันที่จุดพักหรือไม่

ตอนนี้สิ่งที่เหลืออยู่คือการถ่ายโอนภาพวาดจากแบบร่าง (มันถูกสร้างขึ้นราวกับได้รับความช่วยเหลือจากการวิจัย ;-)) และทำงานให้เสร็จสิ้น:

คำตอบ: ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุดที่ฟังก์ชันดังกล่าวเกิดความไม่ต่อเนื่องแบบแรกด้วยการกระโดด

บางครั้งจำเป็นต้องมีข้อบ่งชี้เพิ่มเติมเกี่ยวกับการไม่ต่อเนื่องของการกระโดด คำนวณง่ายๆ - จากขีด จำกัด ด้านขวาคุณต้องลบขีด จำกัด ด้านซ้าย: นั่นคือที่จุดพักฟังก์ชันของเรากระโดดลงมา 2 หน่วย (ตามที่เครื่องหมายลบบอกเรา)

ตัวอย่างที่ 3

สำรวจฟังก์ชัน เพื่อความต่อเนื่อง กำหนดลักษณะของความไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน หากมี วาดรูป.

นี่เป็นตัวอย่างให้คุณแก้ด้วยตัวเอง ซึ่งเป็นตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาในตอนท้ายของบทเรียน

เรามาดูงานที่ได้รับความนิยมและแพร่หลายที่สุดกันดีกว่าเมื่อฟังก์ชันประกอบด้วยสามส่วน:

ตัวอย่างที่ 4

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องและวาดกราฟของฟังก์ชัน

.

สารละลาย: เห็นได้ชัดว่าฟังก์ชันทั้งสามส่วนมีความต่อเนื่องในช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน ดังนั้นจึงยังคงต้องตรวจสอบ "ทางแยก" เพียงสองจุดระหว่างส่วนต่างๆ ก่อนอื่นเรามาร่างแบบร่างกันก่อนฉันแสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับเทคนิคการก่อสร้างอย่างละเอียดในส่วนแรกของบทความ สิ่งเดียวคือเราต้องปฏิบัติตามจุดเอกพจน์ของเราอย่างระมัดระวัง: เนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน ค่าจึงเป็นของเส้นตรง (จุดสีเขียว) และเนื่องจากความไม่เท่าเทียมกัน ค่าจึงเป็นของพาราโบลา (จุดสีแดง):


โดยหลักการแล้วทุกอย่างชัดเจน =) สิ่งที่เหลืออยู่คือการตัดสินใจอย่างเป็นทางการ สำหรับแต่ละจุด "ร่วม" เราจะตรวจสอบเงื่อนไขความต่อเนื่อง 3 ประการตามมาตรฐาน:

ฉัน)

1)

ขีดจำกัดด้านเดียวมีจำกัดและแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะทนทุกข์ทรมานจากความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 1 ด้วยการกระโดดไปที่จุด

ให้เราคำนวณการกระโดดไม่ต่อเนื่องเนื่องจากความแตกต่างระหว่างขีดจำกัดด้านขวาและด้านซ้าย:
นั่นคือกราฟกระตุกขึ้นหนึ่งหน่วย

ครั้งที่สอง)เราตรวจสอบจุดเพื่อความต่อเนื่อง

1) - ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดที่กำหนด

2) ค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว:

- ขีดจำกัดด้านเดียวมีจำกัดและเท่ากัน ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัดทั่วไป

3)

ในขั้นตอนสุดท้าย เราถ่ายโอนภาพวาดไปยังเวอร์ชันสุดท้าย หลังจากนั้นเราใส่คอร์ดสุดท้าย:

คำตอบ: ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุดที่ฟังก์ชันดังกล่าวเกิดความไม่ต่อเนื่องแบบแรกด้วยการกระโดด

ตัวอย่างที่ 5

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องและสร้างกราฟ .

นี่คือตัวอย่างสำหรับวิธีแก้ปัญหาแบบอิสระ วิธีแก้ปัญหาสั้นๆ และตัวอย่างปัญหาโดยประมาณในตอนท้ายของบทเรียน

เราอาจรู้สึกว่า ณ จุดหนึ่งฟังก์ชันจะต้องต่อเนื่อง และอีกจุดหนึ่งจะต้องมีความไม่ต่อเนื่อง ในทางปฏิบัติสิ่งนี้ไม่ได้เป็นเช่นนั้นเสมอไป พยายามอย่าละเลยตัวอย่างที่เหลือ - จะมีคุณสมบัติที่น่าสนใจและสำคัญหลายประการ:

ตัวอย่างที่ 6

กำหนดให้มีฟังก์ชัน - ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องที่จุดต่างๆ สร้างกราฟ

สารละลาย: และดำเนินการวาดแบบร่างทันทีอีกครั้ง:

ลักษณะเฉพาะของกราฟนี้คือฟังก์ชันชิ้นเดียวได้มาจากสมการของแกนแอบซิสซา ที่นี่บริเวณนี้วาดด้วยสีเขียว แต่ในสมุดบันทึกมักจะเน้นด้วยดินสอธรรมดาตัวหนา และแน่นอนว่า อย่าลืมแกะของเราด้วย: ค่าเป็นของกิ่งแทนเจนต์ (จุดสีแดง) และค่าเป็นของเส้นตรง

ทุกอย่างชัดเจนจากการวาดภาพ - ฟังก์ชั่นต่อเนื่องตลอดเส้นจำนวนทั้งหมด สิ่งที่เหลืออยู่คือทำให้โซลูชันเป็นระเบียบซึ่งนำไปสู่ระบบอัตโนมัติเต็มรูปแบบอย่างแท้จริงหลังจาก 3-4 ตัวอย่างที่คล้ายกัน:

ฉัน)เราตรวจสอบจุดเพื่อความต่อเนื่อง

2) มาคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวกัน:

ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัดทั่วไป

มีเรื่องตลกเล็กน้อยเกิดขึ้นที่นี่ ความจริงก็คือฉันสร้างวัสดุมากมาย เกี่ยวกับขีดจำกัดของฟังก์ชันและหลายครั้งที่ฉันอยากจะทำ แต่หลายครั้งฉันก็ลืมคำถามง่ายๆ คำถามหนึ่งไป ดังนั้นด้วยความพยายามอย่างเหลือเชื่อฉันจึงบังคับตัวเองไม่ให้เสียความคิด =) เป็นไปได้มากว่าผู้อ่าน "หุ่นเชิด" บางคนสงสัย: ขีดจำกัดของค่าคงที่คือเท่าไร?ขีดจำกัดของค่าคงที่เท่ากับค่าคงที่นั้นเอง ในกรณีนี้ ขีดจำกัดของศูนย์จะเท่ากับศูนย์เอง (ขีดจำกัดทางซ้าย)

3) - ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเท่ากับค่าของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนด

ดังนั้นฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่องที่จุดหนึ่งโดยนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

ครั้งที่สอง)เราตรวจสอบจุดเพื่อความต่อเนื่อง

1) - ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดที่กำหนด

2) ค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว:

และตรงนี้ ที่ขีดจำกัดทางขวา ขีดจำกัดของความสามัคคี เท่ากับตัวมันเอง

- มีข้อจำกัดทั่วไป

3) - ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเท่ากับค่าของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนด

ดังนั้นฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่องที่จุดหนึ่งโดยนิยามของความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดหนึ่ง

ตามปกติหลังจากการวิจัย เราจะโอนภาพวาดของเราไปยังเวอร์ชันสุดท้าย

คำตอบ: ฟังก์ชันมีความต่อเนื่องที่จุดต่างๆ

โปรดทราบว่าในสภาวะที่เราไม่ได้ถามอะไรเกี่ยวกับการศึกษาฟังก์ชันทั้งหมดเพื่อความต่อเนื่องและถือเป็นรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีในการกำหนด แม่นยำและชัดเจนคำตอบสำหรับคำถามที่ถูกโพสต์ อย่างไรก็ตาม หากเงื่อนไขไม่ต้องการให้คุณสร้างกราฟ คุณมีสิทธิ์ที่จะไม่สร้างกราฟนั้น (แม้ว่าครูจะบังคับให้คุณทำเช่นนี้ในภายหลังก็ตาม)

"ลิ้นบิด" ทางคณิตศาสตร์ขนาดเล็กสำหรับการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 7

กำหนดให้มีฟังก์ชัน .

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องที่จุดต่างๆ จำแนกเบรกพอยต์ ถ้ามี ดำเนินการวาดภาพ

พยายาม "ออกเสียง" "คำ" ทั้งหมดให้ถูกต้อง =) และวาดกราฟได้แม่นยำยิ่งขึ้นแม่นยำจะไม่ฟุ่มเฟือยทุกที่ ;-)

ดังที่คุณจำได้ฉันแนะนำให้วาดรูปเป็นแบบร่างทันที แต่ในบางครั้งคุณจะพบตัวอย่างที่คุณไม่สามารถทราบได้ทันทีว่ากราฟมีลักษณะอย่างไร ดังนั้นในบางกรณี การหาขีดจำกัดด้านเดียวก่อนจึงเป็นประโยชน์ จากนั้นจึงแสดงภาพกิ่งก้านตามการศึกษา ในสองตัวอย่างสุดท้าย เราจะเรียนรู้เทคนิคในการคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวด้วย:

ตัวอย่างที่ 8

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องและสร้างกราฟแผนผัง

สารละลาย: จุดเสียนั้นชัดเจน: (ลดตัวส่วนของเลขชี้กำลังให้เป็นศูนย์) และ (ลดตัวส่วนของเศษส่วนทั้งหมดให้เหลือศูนย์) ยังไม่ชัดเจนว่ากราฟของฟังก์ชันนี้มีลักษณะอย่างไร ซึ่งหมายความว่าควรหาข้อมูลก่อนดีกว่า:

ฉัน)เราตรวจสอบจุดเพื่อความต่อเนื่อง

2) ค้นหาขีดจำกัดด้านเดียว:

โปรดทราบ วิธีทั่วไปในการคำนวณขีดจำกัดด้านเดียว: แทน "x" เราแทน . ไม่มีอาชญากรรมในตัวส่วน: "การบวก" "ลบศูนย์" ไม่มีบทบาทและผลลัพธ์คือ "สี่" แต่ในตัวเศษมีเรื่องระทึกขวัญเล็กน้อยเกิดขึ้น: ก่อนอื่นเราฆ่า -1 และ 1 ในตัวส่วนของตัวบ่งชี้ ส่งผลให้ หน่วยหารด้วย เท่ากับ “ลบอนันต์” ดังนั้น: และในที่สุด "สอง" ก็เข้ามา ระดับลบขนาดใหญ่อนันต์เท่ากับศูนย์: . หรือเพื่อให้เจาะจงยิ่งขึ้น: .

มาคำนวณขีดจำกัดทางขวากัน:

และที่นี่ - แทนที่จะเป็น "X" เราแทนที่ . ในตัวส่วน “สารเติมแต่ง” จะไม่มีบทบาทอีกครั้ง: ในตัวเศษจะมีการดำเนินการคล้ายกับขีด จำกัด ก่อนหน้า: เราทำลายตัวเลขตรงข้ามแล้วหารหนึ่งด้วย :

ขีดจำกัดทางขวามือนั้นไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะประสบกับความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 2 ที่จุด

ครั้งที่สอง)เราตรวจสอบจุดเพื่อความต่อเนื่อง

1) ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ ณ จุดนี้

2) มาคำนวณขีดจำกัดด้านซ้าย:

วิธีการก็เหมือนกัน: เราแทนที่ "X" ลงในฟังก์ชัน ตัวเศษไม่มีอะไรน่าสนใจ - มันกลายเป็นจำนวนบวกจำกัด และในตัวส่วนเราจะเปิดวงเล็บลบ "สาม" ออกและ "สารเติมแต่ง" มีบทบาทชี้ขาด

เป็นผลให้จำนวนบวกสุดท้ายหารด้วย จำนวนบวกที่น้อยที่สุดให้ “บวกอนันต์”: .

ลิมิตทางขวามือก็เหมือนกับพี่น้องฝาแฝด ยกเว้นที่ปรากฏในตัวส่วนเท่านั้น จำนวนลบที่น้อยที่สุด:

ขีดจำกัดด้านเดียวไม่มีที่สิ้นสุด ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะประสบกับความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 2 ที่จุด

ดังนั้นเราจึงมีจุดพักสองจุด และเห็นได้ชัดว่ามีสามสาขาของกราฟ สำหรับแต่ละสาขา ขอแนะนำให้ดำเนินการก่อสร้างแบบจุดต่อจุด เช่น ใช้ค่า "x" หลายค่าแล้วแทนที่เป็น . โปรดทราบว่าเงื่อนไขดังกล่าวอนุญาตให้มีการสร้างแผนผังได้ และการผ่อนคลายดังกล่าวเป็นเรื่องปกติสำหรับงานด้วยตนเอง ฉันสร้างกราฟโดยใช้โปรแกรม ดังนั้นฉันจึงไม่มีปัญหาดังกล่าว นี่คือภาพที่ค่อนข้างแม่นยำ:

โดยตรงคือ เส้นกำกับแนวตั้งสำหรับกราฟของฟังก์ชันนี้

คำตอบ: ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุดที่ประสบปัญหาความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 2

ฟังก์ชั่นที่ง่ายกว่าในการแก้ปัญหาด้วยตัวเอง:

ตัวอย่างที่ 9

ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องและจัดทำแผนผัง

สารละลายตัวอย่างโดยประมาณในตอนท้ายซึ่งพุ่งขึ้นมาโดยไม่มีใครสังเกตเห็น

แล้วพบกันใหม่!

แนวทางแก้ไขและคำตอบ:

ตัวอย่างที่ 3:สารละลาย : แปลงฟังก์ชัน: - พิจารณากฎการเปิดเผยโมดูล และความจริงที่ว่า เราเขียนฟังก์ชันใหม่ในรูปแบบทีละชิ้น:


เรามาตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องกัน

1) ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุด .

ขีดจำกัดด้านเดียวมีจำกัดและแตกต่างกัน ซึ่งหมายความว่าฟังก์ชันจะประสบกับความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 1 ด้วยการกระโดดที่จุด - มาวาดรูปกันเถอะ:

คำตอบ: ฟังก์ชันต่อเนื่องบนเส้นจำนวนทั้งหมด ยกเว้นจุด ซึ่งจะต้องทนทุกข์ทรมานจากความไม่ต่อเนื่องของประเภทแรกด้วยการกระโดด ช่องว่างกระโดด: (สองหน่วยขึ้นไป)

ตัวอย่างที่ 5:สารละลาย : แต่ละส่วนของฟังก์ชันทั้งสามส่วนจะต่อเนื่องกันตามช่วงเวลาของตัวเอง
ฉัน)
1)

2) มาคำนวณขีดจำกัดด้านเดียวกัน:

ซึ่งหมายความว่ามีขีดจำกัดทั่วไป
3) - ขีดจำกัดของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่งเท่ากับค่าของฟังก์ชันนี้ ณ จุดที่กำหนด
ดังนั้นฟังก์ชัน อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง โดยการกำหนดความต่อเนื่องของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง
ครั้งที่สอง) เราตรวจสอบจุดเพื่อความต่อเนื่อง

1) - ฟังก์ชั่นถูกกำหนด ณ จุดที่กำหนด ฟังก์ชั่นทนทุกข์ทรมานจากความไม่ต่อเนื่องของประเภทที่ 2 ณ จุดนั้น

จะค้นหาโดเมนของฟังก์ชันได้อย่างไร?

ตัวอย่างการแก้ปัญหา

หากมีสิ่งใดขาดหายไป แสดงว่ายังมีบางสิ่งอยู่ ณ ที่ใดที่หนึ่ง

เราศึกษาส่วน "ฟังก์ชันและกราฟ" ต่อไป และสถานีถัดไปในการเดินทางของเราคือ โดเมนฟังก์ชัน- การอภิปรายอย่างกระตือรือร้นเกี่ยวกับแนวคิดนี้เริ่มต้นในบทเรียนแรก เกี่ยวกับกราฟฟังก์ชันโดยที่ฉันดูฟังก์ชันเบื้องต้น และโดยเฉพาะอย่างยิ่ง โดเมนของคำจำกัดความ ดังนั้น ฉันขอแนะนำให้หุ่นเริ่มต้นจากพื้นฐานของหัวข้อ เนื่องจากฉันจะไม่พูดถึงประเด็นพื้นฐานบางประเด็นอีกต่อไป

สันนิษฐานว่าผู้อ่านรู้โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันพื้นฐาน: ฟังก์ชันเชิงเส้น กำลังสอง ฟังก์ชันลูกบาศก์ พหุนาม เลขชี้กำลัง ลอการิทึม ไซน์ โคไซน์ พวกมันถูกกำหนดไว้บน. สำหรับแทนเจนต์ อาร์คไซน์ ยังไงก็ขออภัย =) กราฟที่หายากจะไม่ถูกจดจำทันที

ขอบเขตของคำจำกัดความดูเหมือนจะเป็นเรื่องง่ายและมีคำถามเชิงตรรกะเกิดขึ้น: บทความนี้จะเกี่ยวกับอะไร? ในบทนี้ ผมจะดูปัญหาทั่วไปในการค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน ยิ่งกว่านั้นเราจะทำซ้ำ ความไม่เท่าเทียมกันกับตัวแปรเดียวทักษะการแก้ปัญหาซึ่งจำเป็นสำหรับปัญหาอื่น ๆ ของคณิตศาสตร์ชั้นสูงด้วย สื่อนี้เป็นสื่อของโรงเรียนทั้งหมด ดังนั้นมันจะมีประโยชน์ไม่เพียงแต่สำหรับนักเรียนเท่านั้น แต่ยังรวมถึงนักเรียนด้วย แน่นอนว่าข้อมูลนี้ไม่ได้แกล้งทำเป็นสารานุกรม แต่นี่ไม่ใช่ตัวอย่างที่ "ตายแล้ว" ที่เข้าใจยาก แต่เป็นเกาลัดคั่วซึ่งนำมาจากงานจริง

เริ่มต้นด้วยการดำน้ำอย่างรวดเร็วในหัวข้อ สั้นๆ เกี่ยวกับสิ่งสำคัญ: เรากำลังพูดถึงฟังก์ชันของตัวแปรตัวหนึ่ง ขอบเขตของคำจำกัดความคือ ความหมายมากมายของ "x"เพื่อที่ มีอยู่ความหมายของคำว่า "ผู้เล่น" ลองดูตัวอย่างสมมุติ:

โดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันนี้คือการรวมกันของช่วงเวลา:
(สำหรับผู้ที่ลืม: - ไอคอนการรวม) กล่าวอีกนัยหนึ่ง หากคุณนำค่าใดๆ ของ “x” จากช่วงเวลา หรือจาก หรือจาก ดังนั้นสำหรับ “x” แต่ละตัวดังกล่าว จะมีค่า “y”

พูดโดยคร่าวๆ เมื่อโดเมนของคำจำกัดความอยู่ ก็จะมีกราฟของฟังก์ชันอยู่ แต่ช่วงครึ่งเวลาและจุด "tse" จะไม่รวมอยู่ในพื้นที่คำจำกัดความ ดังนั้นจึงไม่มีกราฟอยู่ตรงนั้น

ใช่ครับ ยังไงก็ตามหากมีสิ่งใดไม่ชัดเจนจากคำศัพท์และ/หรือเนื้อหาของย่อหน้าแรกก็ควรกลับเข้าบทความดีกว่าครับ กราฟและคุณสมบัติของฟังก์ชันเบื้องต้น.

บทความนี้เกี่ยวกับฟังก์ชันจำนวนต่อเนื่อง สำหรับการแมปต่อเนื่องในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์ โปรดดูที่ การทำแผนที่ต่อเนื่อง

ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง- ฟังก์ชั่นที่ไม่มี "การกระโดด" นั่นคือสิ่งหนึ่งที่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในการโต้แย้งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในค่าของฟังก์ชัน

โดยทั่วไปแล้ว ฟังก์ชันต่อเนื่องมีความหมายเหมือนกันกับแนวคิดของการแมปต่อเนื่อง อย่างไรก็ตาม คำนี้มักใช้ในความหมายที่แคบกว่า สำหรับการแมประหว่างปริภูมิตัวเลข เช่น บนเส้นจริง บทความนี้เน้นเฉพาะเรื่องฟังก์ชันต่อเนื่องที่กำหนดบนเซตย่อยของจำนวนจริงและการรับค่าจริง

YouTube สารานุกรม

1 / 5

√ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันและจุดพักของฟังก์ชัน

√ 15 ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง

features คุณสมบัติต่อเนื่อง

➤ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ บทที่ 5 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน

√ ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง ฟังก์ชันการกระจาย

คำบรรยาย

คำนิยาม

หากคุณ “แก้ไข” ฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)ณ จุดที่ถอดออกและใส่ได้ f (a) = lim x → a f (x) (\displaystyle f(a)=\lim \limits _(x\to a)f(x))แล้วเราจะได้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่อง ณ จุดที่กำหนด การดำเนินการดังกล่าวในฟังก์ชันเรียกว่า ขยายฟังก์ชันให้ต่อเนื่องหรือ นิยามใหม่ของฟังก์ชันด้วยความต่อเนื่องซึ่งปรับชื่อของจุดเป็นจุด ถอดออกได้การแตกร้าว

จุดพัก "กระโดด"

ความไม่ต่อเนื่องของ "การกระโดด" จะเกิดขึ้นหาก

lim x → a − 0 f (x) ≠ lim x → a + 0 f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)\neq \lim \limits _(x \ถึง+0)ฉ(x)).

จุดพัก "เสา"

ช่องว่างระหว่างขั้วเกิดขึ้นหากขีดจำกัดด้านเดียวด้านใดด้านหนึ่งไม่มีที่สิ้นสุด

lim x → a − 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a-0)f(x)=\pm \infty )หรือ lim x → a + 0 f (x) = ± ∞ (\displaystyle \lim \limits _(x\to a+0)f(x)=\pm \infty ). [ ]

จุดแตกหักที่สำคัญ

เมื่อถึงจุดที่มีความไม่ต่อเนื่องอย่างมีนัยสำคัญ ขีดจำกัดด้านเดียวด้านใดด้านหนึ่งจะหายไปโดยสิ้นเชิง

การจำแนกประเภทของจุดเอกพจน์ที่แยกได้ใน Rn, n>1

สำหรับฟังก์ชั่น f: R n → R n (\displaystyle f:\mathbb (R) ^(n)\to \mathbb (R) ^(n))และ f: C → C (\displaystyle f:\mathbb (C) \to \mathbb (C) )ไม่จำเป็นต้องทำงานกับจุดพัก แต่บ่อยครั้งที่คุณต้องทำงานกับจุดเอกพจน์ (จุดที่ฟังก์ชันไม่ได้ถูกกำหนดไว้) การจำแนกประเภทก็คล้ายกัน

แนวคิดเรื่อง "ก้าวกระโดด" หายไป มีอะไรอยู่ใน R (\displaystyle \mathbb (R) )ถือเป็นการกระโดด ในช่องว่างที่มีมิติสูงกว่านั้นเป็นจุดเอกพจน์ที่สำคัญ

คุณสมบัติ

ท้องถิ่น

• ฟังก์ชั่นต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก), มีขอบเขตอยู่ในละแวกใกล้เคียงของจุดนี้
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก)และ f (a) > 0 (\displaystyle f(a)>0)(หรือ ฉ(ก)< 0 {\displaystyle f(a)<0} ), ที่ f (x) > 0 (\displaystyle f(x)>0)(หรือ ฉ(x)< 0 {\displaystyle f(x)<0} ) สำหรับทุกคน x (\รูปแบบการแสดงผล x), ค่อนข้างใกล้ ก (\displaystyle ก).
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)และ ก. (\displaystyle ก.)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก)แล้วตามด้วยฟังก์ชัน f + g (\displaystyle f+g)และ f ⋅ g (\displaystyle f\cdot g)ยังต่อเนื่องกันที่จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก).
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)และ ก. (\displaystyle ก.)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก)และในเวลาเดียวกัน g (a) ≠ 0 (\displaystyle g(a)\neq 0)จากนั้นฟังก์ชัน f / g (\รูปแบบการแสดงผล f/g)ก็ต่อเนื่องกัน ณ จุดหนึ่งเช่นกัน ก (\displaystyle ก).
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก)และฟังก์ชั่น ก. (\displaystyle ก.)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง b = f (a) (\displaystyle b=f(a))จากนั้นจึงจัดองค์ประกอบ h = g ∘ f (\displaystyle h=g\circ f)อย่างต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง ก (\displaystyle ก).

ทั่วโลก

• ชุดกะทัดรัด) มีความต่อเนื่องสม่ำเสมอ
• ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ (หรือชุดคอมแพคอื่น ๆ ) จะถูกผูกไว้และถึงค่าสูงสุดและต่ำสุดของมัน
• ช่วงฟังก์ชัน ฉ (\displaystyle f)ต่อเนื่องบนเซ็กเมนต์ , คือเซ็กเมนต์ [ นาที f , สูงสุด f ] , (\displaystyle [\min f,\ \max f],)โดยที่ค่าต่ำสุดและค่าสูงสุดจะถูกนำไปใช้ตามเซ็กเมนต์ [ a , b ] (\displaystyle ).
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)อย่างต่อเนื่องในส่วนนี้ [ a , b ] (\displaystyle )และ ฉ (ก) ⋅ ฉ (ข)< 0 , {\displaystyle f(a)\cdot f(b)<0,} แล้วมีจุดที่ f (ξ) = 0 (\displaystyle f(\xi)=0).
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)อย่างต่อเนื่องในส่วนนี้ [ a , b ] (\displaystyle )และหมายเลข φ (\displaystyle \varphi )ตอบสนองความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(ก)< φ < f (b) {\displaystyle f(a)<\varphi หรือความไม่เท่าเทียมกัน f (a) > φ > f (b) , (\displaystyle f(a)>\varphi >f(b),)ถ้าอย่างนั้นก็มีประเด็น ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)ซึ่งในนั้น f (ξ) = φ (\displaystyle f(\xi)=\varphi ).
• การแม็ปอย่างต่อเนื่องของเซกเมนต์กับเส้นจริงจะเป็นการฉีดก็ต่อเมื่อฟังก์ชันที่กำหนดบนเซกเมนต์เป็นแบบโมโนโทนิกอย่างเคร่งครัด
• ฟังก์ชันโมโนโทนิกบนเซ็กเมนต์ [ a , b ] (\displaystyle )จะต่อเนื่องหากช่วงของค่าเป็นส่วนที่มีจุดสิ้นสุด f (a) (\displaystyle f(a))และ f (b) (\displaystyle f(b)).
• ถ้าฟังก์ชั่น ฉ (\displaystyle f)และ ก. (\displaystyle ก.)อย่างต่อเนื่องในส่วนนี้ [ a , b ] (\displaystyle ), และ ฉ(ก)< g (a) {\displaystyle f(a)และ f (b) > g (b) , (\displaystyle f(b)>g(b),)ถ้าอย่างนั้นก็มีประเด็น ξ ∈ (a , b) , (\displaystyle \xi \in (a,b),)ซึ่งในนั้น ฉ (ξ) = ก. (ξ) .(\displaystyle f(\xi)=g(\xi).)

จากที่นี่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง จะตามมาว่าการแมปต่อเนื่องของเซ็กเมนต์ในตัวเองมีจุดคงที่อย่างน้อยหนึ่งจุด

ตัวอย่าง

ฟังก์ชันเบื้องต้น ฟังก์ชั่นนี้จะต่อเนื่องกันทุกจุด.

x ≠ 0 (\displaystyle x\neq 0) ประเด็นคือจุดแตกหักชนิดแรก

, และ,

lim x → 0 − f (x) = − 1 ≠ 1 = lim x → 0 + f (x) (\displaystyle \lim \limits _(x\to 0-)f(x)=-1\neq 1= \lim \ขีดจำกัด _(x\ถึง 0+)f(x))

ในขณะที่ถึงจุดนั้นเองฟังก์ชันก็หายไป

ฟังก์ชั่นขั้นตอน

ฟังก์ชั่นขั้นตอนที่กำหนดเป็น< 0 , x ∈ R {\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }

ฉ (x) = ( 1 , x ⩾ 0 0 , x มีความต่อเนื่องทุกที่ยกเว้นจุด x = 0 (\displaystyle x=0) มีความต่อเนื่องทุกที่ยกเว้นจุดโดยที่ฟังก์ชันประสบความไม่ต่อเนื่องของชนิดแรก อย่างไรก็ตาม ณ จุดนั้น มีลิมิตทางขวาซึ่งเกิดขึ้นพร้อมกับค่าของฟังก์ชัน ณ จุดที่กำหนด ฟังก์ชันนี้จึงเป็นตัวอย่างต่อเนื่องไปทางขวา ฟังก์ชั่น.

ตลอดทั้งพื้นที่คำจำกัดความ

ในทำนองเดียวกัน ฟังก์ชันขั้นตอนที่กำหนดเป็น

f (x) = ( 1 , x > 0 0 , x ⩽ 0 , x ∈ R (\displaystyle f(x)=(\begin(cases)1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end( กรณี)),\quad x\in \mathbb (R) ) เป็นตัวอย่างต่อเนื่องไปทางขวา ฟังก์ชั่น.

ต่อเนื่องทางด้านซ้าย

ฟังก์ชันไดริชเลต์

ในบทนี้ เราจะได้เรียนรู้วิธีสร้างความต่อเนื่องของฟังก์ชัน เราจะทำสิ่งนี้โดยใช้ขีด จำกัด ด้านเดียวที่อยู่ทางขวาและซ้ายซึ่งไม่น่ากลัวเลยแม้ว่าจะเขียนเป็น และ .

แต่ความต่อเนื่องของฟังก์ชันคืออะไรล่ะ? จนกว่าเราจะได้คำจำกัดความที่เข้มงวด จะง่ายที่สุดที่จะจินตนาการถึงเส้นที่สามารถวาดได้โดยไม่ต้องยกดินสอออกจากกระดาษ ถ้าลากเส้นแบบนี้แสดงว่าต่อเนื่องกัน เส้นนี้คือกราฟของฟังก์ชันต่อเนื่อง

ในทางกราฟิก ฟังก์ชันจะมีความต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่ง หากกราฟไม่ "ขาด" ณ จุดนี้ กราฟของฟังก์ชันต่อเนื่องดังกล่าวคือ แสดงในรูปด้านล่าง

การกำหนดความต่อเนื่องของฟังก์ชันผ่านขีดจำกัดฟังก์ชันจะต่อเนื่อง ณ จุดหนึ่งหากตรงตามเงื่อนไขสามประการ:

1. ฟังก์ชั่นถูกกำหนดไว้ที่จุด

หากไม่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุไว้อย่างน้อยหนึ่งรายการ ฟังก์ชันจะไม่ต่อเนื่องที่จุดนั้น ในกรณีนี้ พวกเขากล่าวว่าฟังก์ชันมีความไม่ต่อเนื่อง และจุดบนกราฟที่กราฟถูกขัดจังหวะเรียกว่าจุดไม่ต่อเนื่องของฟังก์ชัน กราฟของฟังก์ชันที่ประสบความไม่ต่อเนื่องที่จุด x=2 อยู่ในรูปด้านล่าง

ตัวอย่างที่ 1การทำงาน ฉ(x) ถูกกำหนดไว้ดังนี้:

ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องกันที่จุดขอบเขตแต่ละจุดของกิ่งหรือที่จุดนั้นหรือไม่ x = 0 , x = 1 , x = 3 ?

สารละลาย. เราตรวจสอบทั้งสามเงื่อนไขเพื่อความต่อเนื่องของฟังก์ชันที่จุดขอบเขตแต่ละจุด ตรงตามเงื่อนไขแรกเพราะอะไร ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ที่จุดขอบเขตแต่ละจุดต่อจากนิยามของฟังก์ชัน ยังคงต้องตรวจสอบเงื่อนไขอีกสองข้อที่เหลือ

จุด x= 0 . มาหาลิมิตทางซ้าย ณ จุดนี้:

.

มาหาขีดจำกัดทางขวากัน:

xจะต้องค้นหา = 0 สำหรับสาขาของฟังก์ชันนั้นที่มีจุดนี้ ซึ่งก็คือสาขาที่สอง เราพบพวกเขา:

อย่างที่เราเห็น ขีดจำกัดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น x= 0 เท่ากัน ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x = 0 .

จุด x= 1 . มาหาลิมิตทางซ้าย ณ จุดนี้:

มาหาขีดจำกัดทางขวากัน:

ขีดจำกัดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง xจะต้องค้นหา = 1 สำหรับสาขาของฟังก์ชันนั้นที่มีจุดนี้ ซึ่งก็คือสาขาที่สอง เราพบพวกเขา:

.

ขีดจำกัดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง x= 1 เท่ากัน ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x = 1 .

จุด x= 3 . มาหาลิมิตทางซ้าย ณ จุดนี้:

มาหาขีดจำกัดทางขวากัน:

ขีดจำกัดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง xจะต้องค้นหา = 3 สำหรับสาขาของฟังก์ชันนั้นที่มีจุดนี้ ซึ่งก็คือสาขาที่สอง เราพบพวกเขา:

.

ขีดจำกัดของฟังก์ชันและค่าของฟังก์ชัน ณ จุดหนึ่ง x= 3 เท่ากัน ดังนั้นฟังก์ชันจึงมีความต่อเนื่อง ณ จุดนั้น x = 3 .

ข้อสรุปหลัก: ฟังก์ชันนี้จะต่อเนื่องกันที่จุดขอบเขตแต่ละจุด

การเปลี่ยนแปลงฟังก์ชันอย่างต่อเนื่องคืออะไร?

การเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องในฟังก์ชันสามารถกำหนดเป็นการเปลี่ยนแปลงทีละน้อย โดยไม่มีการข้าม ซึ่งการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในอาร์กิวเมนต์จะทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยในฟังก์ชัน

ให้เราอธิบายการเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องของฟังก์ชันด้วยตัวอย่าง

ปล่อยให้น้ำหนักแขวนอยู่บนด้ายเหนือโต๊ะ ภายใต้อิทธิพลของภาระนี้ ด้ายจะยืดออก ดังนั้นระยะทาง ลโหลดจากจุดแขวนของด้ายเป็นฟังก์ชันของมวลของโหลด มนั่นคือ ล = ฉ(ม) , ม≥0 .

หากคุณเปลี่ยนมวลของโหลดเล็กน้อยก็จะเป็นระยะทาง ลจะเปลี่ยนเพียงเล็กน้อย: การเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย มการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยสอดคล้องกัน ล- อย่างไรก็ตาม หากมวลของโหลดอยู่ใกล้กับความต้านทานแรงดึงของด้าย มวลของโหลดที่เพิ่มขึ้นเล็กน้อยอาจทำให้ด้ายขาดได้: ระยะห่าง ลจะเพิ่มขึ้นอย่างกะทันหันและเท่ากับระยะห่างจากจุดแขวนถึงพื้นโต๊ะ กราฟของฟังก์ชัน ล = ฉ(ม) แสดงในรูป ที่ส่วนใดส่วนหนึ่ง กราฟนี้เป็นเส้นต่อเนื่อง (ทึบ) และ ณ จุดหนึ่งกราฟจะถูกขัดจังหวะ ผลลัพธ์ที่ได้คือกราฟที่ประกอบด้วยสองสาขา ทุกจุดยกเว้น ฟังก์ชัน ล = ฉ(ม) มีความต่อเนื่อง แต่เมื่อถึงจุดหนึ่งก็มีความไม่ต่อเนื่อง

การศึกษาฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่องอาจเป็นงานอิสระหรือขั้นตอนหนึ่งของการศึกษาฟังก์ชันที่สมบูรณ์และสร้างกราฟก็ได้

ความต่อเนื่องของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ให้ฟังก์ชัน ย = ฉ(x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา ] ก, ข[ และมีความต่อเนื่องในทุกจุดของช่วงเวลานี้ แล้วเรียกว่าต่อเนื่องในช่วงเวลา ] ก, ข- แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องของฟังก์ชันในช่วงเวลาของรูปแบบ ]- ∞ ถูกกำหนดในทำนองเดียวกัน ข[ , ]ก, + [ . ให้ฟังก์ชั่นตอนนี้ ย = ฉ(x) กำหนดไว้ในช่วงเวลา [ ก, ข- ความแตกต่างระหว่างช่วงเวลาและเซ็กเมนต์: จุดขอบเขตของช่วงเวลาจะไม่รวมอยู่ในช่วงเวลา แต่จุดขอบเขตของเซ็กเมนต์จะรวมอยู่ในเซ็กเมนต์ ในที่นี้เราควรพูดถึงสิ่งที่เรียกว่าความต่อเนื่องด้านเดียว: ณ จุดนั้น กเหลืออยู่ในส่วน [ ก, ข] เราทำได้แค่เข้าใกล้จากทางขวาและตรงจุดเท่านั้น ข- ทางซ้ายเท่านั้น ฟังก์ชันนี้เรียกว่าต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] หากต่อเนื่องกันที่จุดภายในทั้งหมดของเซกเมนต์นี้ ให้ต่อเนื่องทางด้านขวาที่จุดนั้น กและปล่อยให้ต่อเนื่องกันที่จุดนั้น ข.

ตัวอย่างของฟังก์ชันต่อเนื่องอาจเป็นฟังก์ชันพื้นฐานใดๆ ก็ได้ ฟังก์ชันพื้นฐานแต่ละฟังก์ชันจะต่อเนื่องกันตามช่วงเวลาที่กำหนดไว้ ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชัน และ ต่อเนื่องในช่วงเวลาใดๆ [ ก, ข] ฟังก์ชันจะต่อเนื่องในช่วงเวลา [ 0 , ข] ฟังก์ชันจะต่อเนื่องกับส่วนใดๆ ที่ไม่มีจุด ก = 2 .

ตัวอย่างที่ 4ตรวจสอบฟังก์ชันเพื่อความต่อเนื่อง

สารละลาย. เรามาตรวจสอบเงื่อนไขกันก่อน ฟังก์ชั่นไม่ได้ถูกกำหนดไว้ที่จุด - 3 และ 3 เงื่อนไขอย่างน้อยหนึ่งเงื่อนไขสำหรับความต่อเนื่องของฟังก์ชันตลอดเส้นจำนวนทั้งหมดไม่เป็นที่พอใจ ดังนั้นฟังก์ชันนี้จึงต่อเนื่องกันตามช่วงเวลา

.

ตัวอย่างที่ 5กำหนดว่าพารามิเตอร์มีค่าเท่าใด กอย่างต่อเนื่องตลอด ขอบเขตของคำจำกัดความการทำงาน

สารละลาย.

ลองหาลิมิตทางขวามือได้ที่:

.

แน่นอนว่าคุณค่า ณ จุดนั้น x= 2 ควรเท่ากัน ขวาน :

ก = 1,5 .

ตัวอย่างที่ 6กำหนดว่าค่าพารามิเตอร์ใด กและ ขอย่างต่อเนื่องตลอด ขอบเขตของคำจำกัดความการทำงาน

สารละลาย.
มาหาขีดจำกัดด้านซ้ายของฟังก์ชัน ณ จุดนั้น:

.

ดังนั้นค่า ณ จุดต้องเป็น 1:

ลองหาฟังก์ชันทางซ้ายตรงจุด:

แน่นอนว่าค่าของฟังก์ชันที่จุดหนึ่งๆ ควรเท่ากับ:

คำตอบ: ฟังก์ชันจะต่อเนื่องตลอดขอบเขตคำจำกัดความทั้งหมดเมื่อ ก = 1; ข = -3 .

คุณสมบัติพื้นฐานของฟังก์ชันต่อเนื่อง

คณิตศาสตร์มาถึงแนวคิดเรื่องฟังก์ชันต่อเนื่องโดยการศึกษากฎการเคลื่อนที่ต่างๆ พื้นที่และเวลาไม่มีที่สิ้นสุด และการพึ่งพาอาศัยกัน เช่น เส้นทาง สเป็นครั้งคราว ทีที่แสดงออกมาตามกฎหมาย ส = ฉ(ที) , ให้ตัวอย่างการต่อเนื่อง ฟังก์ชั่น ฉ(ที- อุณหภูมิของน้ำร้อนยังเปลี่ยนแปลงอย่างต่อเนื่องและเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องของเวลาด้วย: ต = ฉ(ที) .

ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คุณสมบัติบางอย่างที่ฟังก์ชันต่อเนื่องได้รับการพิสูจน์แล้ว ให้เรานำเสนอคุณสมบัติที่สำคัญที่สุดเหล่านี้

1. หากฟังก์ชันต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่งจะใช้ค่าของสัญญาณที่แตกต่างกันที่จุดสิ้นสุดของช่วงเวลา จากนั้น ณ จุดใดจุดหนึ่งของช่วงเวลานี้ จะใช้ค่าเท่ากับศูนย์ ในข้อความที่เป็นทางการมากขึ้น คุณสมบัตินี้ถูกกำหนดไว้ในทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชีข้อแรก

2. ฟังก์ชั่น ฉ(x) ต่อเนื่องในช่วงเวลา [ ก, ข] รับค่ากลางทั้งหมดระหว่างค่าที่จุดสิ้นสุดนั่นคือระหว่าง ฉ(ก) และ ฉ(ข- ในข้อความที่เป็นทางการมากขึ้น คุณสมบัตินี้ถูกกำหนดไว้ในทฤษฎีบทที่เรียกว่าทฤษฎีบทโบลซาโน-คอชีบทที่สอง