ปริมาตรของปิระมิดสามเหลี่ยม พีระมิด

ปิระมิดคือรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยม ในทางกลับกัน ใบหน้าทั้งหมดจะก่อตัวเป็นรูปสามเหลี่ยมที่มาบรรจบกันที่จุดยอดหนึ่ง ปิรามิดมีทั้งแบบสามเหลี่ยม สี่เหลี่ยม และอื่นๆ เพื่อจะรู้ว่าปิรามิดใดอยู่ตรงหน้าคุณ ก็เพียงพอที่จะนับจำนวนมุมที่ฐานของมันแล้ว คำจำกัดความของ "ความสูงของปิรามิด" มักพบบ่อยมากในปัญหาทางเรขาคณิต หลักสูตรของโรงเรียน- ในบทความนี้เราจะพยายามพิจารณา วิธีการที่แตกต่างกันตำแหน่งของเธอ

ส่วนของปิรามิด

ปิรามิดแต่ละอันประกอบด้วยองค์ประกอบดังต่อไปนี้:

• ใบหน้าด้านข้างซึ่งมีสามมุมและมาบรรจบกันที่จุดยอด
• เส้นกึ่งกลางแสดงถึงความสูงที่ลงมาจากยอด
• ด้านบนของปิรามิดเป็นจุดที่เชื่อมซี่โครงด้านข้าง แต่ไม่อยู่ในระนาบของฐาน
• ฐานเป็นรูปหลายเหลี่ยมที่จุดยอดไม่ได้อยู่
• ความสูงของปิรามิดคือส่วนที่ตัดด้านบนของปิรามิดและสร้างมุมฉากกับฐาน

วิธีค้นหาความสูงของปิรามิดหากทราบปริมาตร

จากสูตร V = (S*h)/3 (ในสูตร V คือปริมาตร, S คือพื้นที่ฐาน, h คือความสูงของปิรามิด) เราพบว่า h = (3*V)/ ส. เพื่อรวมวัสดุให้มาแก้ไขปัญหาทันที ฐานสามเหลี่ยมคือ 50 ซม. 2 โดยปริมาตรคือ 125 ซม. 3 ความสูงที่ไม่รู้จัก ปิรามิดสามเหลี่ยมซึ่งเป็นสิ่งที่เราต้องหา ทุกอย่างเป็นเรื่องง่ายที่นี่: เราแทรกข้อมูลลงในสูตรของเรา เราได้ h = (3*125)/50 = 7.5 ซม.

วิธีค้นหาความสูงของปิรามิดหากทราบความยาวของเส้นทแยงมุมและขอบของมัน

อย่างที่เราจำได้ ความสูงของปิรามิดสร้างมุมฉากกับฐานของมัน ซึ่งหมายความว่าความสูง ขอบ และครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมรวมกันเป็นหลายๆ อัน แน่นอนว่า จำทฤษฎีบทพีทาโกรัสได้ เมื่อรู้สองมิติแล้ว การหาปริมาณที่สามก็ไม่ใช่เรื่องยาก ให้เรานึกถึงทฤษฎีบทที่รู้จักกันดี a² = b² + c² โดยที่ a คือด้านตรงข้ามมุมฉาก และในกรณีของเราคือขอบของปิรามิด b - ขาแรกหรือครึ่งหนึ่งของเส้นทแยงมุมและ c - ตามลำดับ, ขาที่สองหรือความสูงของปิรามิด จากสูตรนี้ c² = a² - b²

ตอนนี้ปัญหา: ในปิรามิดปกติ เส้นทแยงมุมคือ 20 ซม. เมื่อความยาวของขอบคือ 30 ซม. คุณต้องหาความสูง เราแก้โจทย์ได้: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500 ดังนั้น c = √ 500 = ประมาณ 22.4

วิธีค้นหาความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอน

เป็นรูปหลายเหลี่ยมที่มีหน้าตัดขนานกับฐาน ความสูงของปิรามิดที่ถูกตัดทอนคือส่วนที่เชื่อมต่อฐานทั้งสองเข้าด้วยกัน สามารถดูความสูงได้ที่ ปิรามิดปกติถ้าทราบความยาวของเส้นทแยงมุมของฐานทั้งสองและขอบของปิรามิด ให้เส้นทแยงมุมของฐานที่ใหญ่กว่าเป็น d1 ในขณะที่เส้นทแยงมุมของฐานที่เล็กกว่าคือ d2 และขอบมีความยาว l หากต้องการค้นหาความสูง คุณสามารถลดความสูงจากจุดตรงข้ามด้านบนของแผนภาพ 2 จุดลงไปที่ฐานได้ เราเห็นว่าเรามีสอง สามเหลี่ยมมุมฉากยังคงต้องหาความยาวของขา เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ลบอันที่เล็กกว่าออกจากเส้นทแยงมุมที่ใหญ่กว่าแล้วหารด้วย 2 เราจะได้ขาข้างหนึ่ง: a = (d1-d2)/2 หลังจากนั้นตามทฤษฎีบทของพีทาโกรัส สิ่งที่เราต้องทำคือหาขาที่สองซึ่งเป็นความสูงของปิรามิด

ทีนี้มาดูเรื่องทั้งหมดนี้ในทางปฏิบัติกัน เรามีงานรออยู่ข้างหน้า พีระมิดที่ถูกตัดทอนจะมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส ความยาวแนวทแยงของฐานที่ใหญ่กว่าคือ 10 ซม. ในขณะที่ปิรามิดที่เล็กกว่าคือ 6 ซม. และขอบคือ 4 ซม. คุณต้องหาความสูง ขั้นแรก เราหาขาข้างหนึ่ง: a = (10-6)/2 = 2 ซม. ขาข้างหนึ่งเท่ากับ 2 ซม. และด้านตรงข้ามมุมฉากคือ 4 ซม. ปรากฎว่าขาที่สองหรือความสูงจะเท่ากับ 16- 4 = 12 นั่นคือ h = √12 = ประมาณ 3.5 ซม.

ลักษณะสำคัญของข้อใดข้อหนึ่ง รูปทรงเรขาคณิตในอวกาศคือปริมาตรของมัน ในบทความนี้ เราจะดูว่าพีระมิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมคืออะไร และเราจะแสดงวิธีหาปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมด้วย โดยให้เต็มปกติและตัดทอน

นี่คืออะไร - ปิรามิดสามเหลี่ยม?

ทุกคนเคยได้ยินเรื่องสมัยก่อน ปิรามิดอียิปต์อย่างไรก็ตาม พวกมันเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสปกติ ไม่ใช่สามเหลี่ยม เรามาอธิบายวิธีรับปิรามิดสามเหลี่ยมกันดีกว่า

ลองหารูปสามเหลี่ยมตามใจชอบแล้วเชื่อมต่อจุดยอดทั้งหมดด้วยจุดเดียวที่อยู่นอกระนาบของรูปสามเหลี่ยมนี้ ผลลัพธ์ที่ได้จะเรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยม ดังแสดงในรูปด้านล่าง

อย่างที่คุณเห็น ตัวเลขที่เป็นปัญหานั้นประกอบด้วยสามเหลี่ยมสี่รูป ซึ่งโดยทั่วไปจะแตกต่างกัน สามเหลี่ยมแต่ละอันคือด้านข้างของปิรามิดหรือหน้าพีระมิด ปิรามิดนี้มักเรียกว่าจัตุรมุขซึ่งก็คือรูปทรงสามมิติจัตุรมุข

นอกจากด้านข้างแล้ว ปิรามิดยังมีขอบ (มี 6 อัน) และจุดยอด (จาก 4 อัน)

มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

ตัวเลขที่ได้รับโดยใช้สามเหลี่ยมตามอำเภอใจและจุดในอวกาศจะเป็นปิรามิดที่เอียงผิดปกติในกรณีทั่วไป ตอนนี้ ลองจินตนาการว่ารูปสามเหลี่ยมดั้งเดิมมีด้านที่เหมือนกัน และมีจุดหนึ่งในอวกาศอยู่เหนือจุดศูนย์กลางเรขาคณิตพอดีที่ระยะ h จากระนาบของรูปสามเหลี่ยม ปิระมิดที่สร้างขึ้นโดยใช้ข้อมูลเริ่มต้นเหล่านี้จะถูกต้อง

แน่นอนว่าจำนวนขอบ ด้านข้าง และจุดยอดของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติจะเท่ากับจำนวนปิรามิดที่สร้างจากสามเหลี่ยมใดๆ ก็ตาม

อย่างไรก็ตามตัวเลขที่ถูกต้องก็มีอยู่บ้าง คุณสมบัติที่โดดเด่น:

• ความสูงที่ดึงมาจากจุดยอดจะตัดกับฐานที่ศูนย์กลางทางเรขาคณิตอย่างแน่นอน (จุดตัดของค่ามัธยฐาน)
• พื้นผิวด้านข้างปิรามิดดังกล่าวประกอบด้วยสามเหลี่ยมที่เหมือนกันสามรูปซึ่งเป็นหน้าจั่วหรือด้านเท่ากันหมด

ปิรามิดสามเหลี่ยมปกติไม่ได้เป็นเพียงวัตถุทางเรขาคณิตเชิงทฤษฎีเท่านั้น โครงสร้างบางอย่างในธรรมชาติมีรูปร่าง เช่น ตาข่ายคริสตัลของเพชร ซึ่งมีอะตอมของคาร์บอนเชื่อมต่อกับอะตอมที่คล้ายกันสี่อะตอม พันธะโควาเลนต์หรือโมเลกุลมีเทน โดยที่ยอดปิรามิดเกิดจากอะตอมไฮโดรเจน

ปิรามิดสามเหลี่ยม

คุณสามารถกำหนดปริมาตรของปิรามิดใดๆ ก็ได้โดยใช้ n-gon ใดๆ ที่ฐานโดยใช้นิพจน์ต่อไปนี้:

ที่นี่สัญลักษณ์ S o หมายถึงพื้นที่ของฐาน h คือความสูงของรูปที่ลากไปยังฐานที่ทำเครื่องหมายไว้จากด้านบนของปิรามิด

เนื่องจากพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยมใดๆ เท่ากับครึ่งหนึ่งของผลคูณของความยาวของด้าน a และจุดกึ่งกลางของด้าน a ตกลงไปทางด้านนี้ สูตรสำหรับปริมาตรของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมจึงสามารถเขียนได้ในรูปแบบต่อไปนี้:

V = 1/6 × ก × ส × ส

สำหรับ ประเภททั่วไปการกำหนดความสูงไม่ใช่เรื่องง่าย วิธีแก้ที่ง่ายที่สุดคือใช้สูตรหาระยะห่างระหว่างจุด (จุดยอด) กับระนาบ (ฐานสามเหลี่ยม) แทนด้วยสมการ มุมมองทั่วไป.

สำหรับที่ถูกต้องนั้นก็จะมีลักษณะเฉพาะ พื้นที่ฐาน (ของสามเหลี่ยมด้านเท่า) สำหรับมันเท่ากับ:

เมื่อแทนลงในนิพจน์ทั่วไปของ V เราจะได้:

V = √3/12 × ก 2 × ชม

กรณีพิเศษคือสถานการณ์ที่ทุกด้านของจัตุรมุขกลายเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่าที่เหมือนกัน ในกรณีนี้ ปริมาตรสามารถกำหนดได้โดยอาศัยความรู้เกี่ยวกับพารามิเตอร์ของขอบ a เท่านั้น นิพจน์ที่สอดคล้องกันดูเหมือนว่า:

ปิรามิดที่ถูกตัดทอน

หากส่วนบนที่มีจุดยอดถูกตัดออกจากปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ คุณจะได้รูปทรงที่ถูกตัดทอน ต่างจากเดิม โดยจะประกอบด้วยฐานสามเหลี่ยมด้านเท่าสองฐาน และสี่เหลี่ยมคางหมูหน้าจั่วสามอัน

ภาพด้านล่างแสดงให้เห็นว่าปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอนตามปกติซึ่งทำจากกระดาษมีลักษณะอย่างไร

ในการกำหนดปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่ถูกตัดทอน คุณจำเป็นต้องรู้ปริมาตรสามอย่าง ลักษณะเชิงเส้น: ฐานแต่ละด้านและความสูงของรูปเท่ากับระยะห่างระหว่างฐานบนและล่าง สูตรที่สอดคล้องกันสำหรับปริมาตรเขียนดังนี้:

V = √3/12 × สูง × (A 2 + a 2 + A × a)

โดยที่ h คือความสูงของรูป A และ a คือความยาวของด้านข้างของสามเหลี่ยมด้านเท่าขนาดใหญ่ (ด้านล่าง) และเล็ก (บน) ตามลำดับ

การแก้ปัญหา

เพื่อให้ข้อมูลในบทความชัดเจนยิ่งขึ้นแก่ผู้อ่านเราจะแสดงตัวอย่างที่ชัดเจนถึงวิธีใช้สูตรที่เขียนไว้บางส่วน

ให้ปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมเท่ากับ 15 ซม. 3 . เป็นที่รู้กันว่าตัวเลขนั้นถูกต้อง จำเป็นต้องค้นหาจุดกึ่งกลาง a b ของขอบด้านข้างหากรู้ว่าความสูงของปิรามิดคือ 4 ซม.

เนื่องจากทราบปริมาตรและความสูงของรูปนี้แล้ว คุณสามารถใช้สูตรที่เหมาะสมในการคำนวณความยาวของด้านข้างของฐานได้ เรามี:

V = √3/12 × a 2 × h =>

a = 12 × V / (√3 × h) = 12 × 15 / (√3 × 4) = 25.98 ซม.

a b = √(h 2 + a 2 / 12) = √(16 + 25.98 2 / 12) = 8.5 ซม.

ความยาวที่คำนวณได้ของจุดกึ่งกลางของรูปนั้นมากกว่าความสูงซึ่งเป็นจริงสำหรับปิรามิดทุกประเภท

ปิรามิดสี่เหลี่ยมเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีฐานเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส และด้านข้างทั้งหมดมีรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วเหมือนกัน

รูปทรงหลายเหลี่ยมนี้มีคุณสมบัติที่แตกต่างกันมากมาย:

• ขอบด้านข้างและมุมไดฮีดรัลที่อยู่ติดกันมีค่าเท่ากัน
• พื้นที่ของใบหน้าด้านข้างเหมือนกัน
• ที่ฐานที่ถูกต้อง ปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส
• ความสูงที่ตกลงมาจากด้านบนของปิรามิดตัดกับจุดที่เส้นทแยงมุมของฐานตัดกัน

คุณสมบัติทั้งหมดนี้ช่วยให้ค้นหาได้ง่าย อย่างไรก็ตามบ่อยครั้งที่นอกเหนือจากนี้จำเป็นต้องคำนวณปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมด้วย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้ใช้สูตรหาปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม:

นั่นคือปริมาตรของปิรามิดเท่ากับหนึ่งในสามของผลคูณของความสูงของปิรามิดและพื้นที่ฐาน เพราะมันเท่ากับผลคูณของมัน ด้านที่เท่ากันจากนั้นเราจะใส่สูตรสำหรับพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสลงในนิพจน์ปริมาตรทันที
ลองพิจารณาตัวอย่างการคำนวณปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยม

ให้พีระมิดทรงสี่เหลี่ยมซึ่งมีฐานเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส โดยด้าน a = 6 ซม. ด้านด้านข้างของพีระมิดคือ b = 8 ซม. จงหาปริมาตรของพีระมิด

ในการหาปริมาตรของรูปทรงหลายเหลี่ยมที่กำหนด เราต้องการความยาวของความสูง ดังนั้นเราจึงหามันได้จากการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทพีทาโกรัส ขั้นแรก เรามาคำนวณความยาวของเส้นทแยงมุมกันก่อน ในสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน มันจะเป็นด้านตรงข้ามมุมฉาก นอกจากนี้ยังควรจำไว้ว่าเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนั้นเท่ากันและแบ่งครึ่งที่จุดตัดกัน:


ตอนนี้จากสามเหลี่ยมสีแดง เราพบความสูงที่ต้องการแล้ว มันจะเท่ากับ:

ลองแทนค่าที่จำเป็นแล้วค้นหาความสูงของปิรามิด:

ตอนนี้เมื่อทราบความสูงแล้วเราสามารถแทนค่าทั้งหมดลงในสูตรปริมาตรของปิรามิดและคำนวณค่าที่ต้องการได้:

ด้วยวิธีนี้ เมื่อรู้สูตรง่ายๆ ไม่กี่สูตร เราก็สามารถคำนวณปริมาตรของปิรามิดรูปสี่เหลี่ยมปกติได้ อย่าลืมว่า มูลค่าที่กำหนดวัดเป็นลูกบาศก์หน่วย

หนึ่งในตัวเลขสามมิติที่ง่ายที่สุดคือปิรามิดสามเหลี่ยมเนื่องจากประกอบด้วยใบหน้าจำนวนน้อยที่สุดซึ่งสามารถสร้างร่างในอวกาศได้ ในบทความนี้ เราจะดูสูตรที่ใช้หาปริมาตรของปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติได้

ปิรามิดสามเหลี่ยม

ตาม คำจำกัดความทั่วไปปิรามิดคือรูปหลายเหลี่ยม ซึ่งจุดยอดทั้งหมดเชื่อมต่อกับจุดเดียวซึ่งไม่ได้อยู่บนระนาบของรูปหลายเหลี่ยมนี้ หากอันหลังเป็นรูปสามเหลี่ยม รูปร่างทั้งหมดจะเรียกว่าปิรามิดสามเหลี่ยม

ปิระมิดดังกล่าวประกอบด้วยฐาน (สามเหลี่ยม) และหน้าด้านทั้งสาม (สามเหลี่ยม) จุดที่ใบหน้าทั้งสามด้านเชื่อมต่อกันเรียกว่าจุดยอดของรูป เส้นตั้งฉากจากจุดยอดที่ตกลงไปที่ฐานคือความสูงของปิรามิด หากจุดตัดกันของเส้นตั้งฉากกับฐานตรงกับจุดตัดกันของค่ามัธยฐานของสามเหลี่ยมที่ฐาน เราก็จะพูดถึงปิรามิดปกติ ไม่งั้นมันจะเอียง

ตามที่กล่าวไว้ ฐานของปิรามิดรูปสามเหลี่ยมสามารถเป็นรูปสามเหลี่ยมประเภททั่วไปได้ อย่างไรก็ตาม หากเป็นด้านเท่ากันหมดและปิรามิดนั้นตั้งตรง แสดงว่าเป็นรูปสามมิติปกติ

พีระมิดรูปสามเหลี่ยมใดๆ มี 4 หน้า 6 ขอบ และ 4 จุดยอด หากความยาวของขอบทั้งหมดเท่ากัน รูปร่างดังกล่าวจะเรียกว่าจัตุรมุข

ประเภททั่วไป

ก่อนที่จะเขียนปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ เราจะแสดงสำนวนนี้ก่อน ปริมาณทางกายภาพสำหรับปิรามิดชนิดทั่วไป นิพจน์นี้ดูเหมือนว่า:

โดยที่ S o คือพื้นที่ของฐาน h คือความสูงของรูป ความเท่าเทียมกันนี้จะใช้ได้กับฐานรูปหลายเหลี่ยมพีระมิดทุกประเภท รวมถึงกรวยด้วย ถ้าที่ฐานมีรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน a และความสูง h o ลดลงอยู่ สูตรของปริมาตรจะเขียนได้ดังนี้:

สูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติ

ปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติจะมีรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าอยู่ที่ฐาน เป็นที่ทราบกันว่าความสูงของสามเหลี่ยมนี้สัมพันธ์กับความยาวของด้านด้วยความเท่ากัน:

เราได้รับสมการแทนนิพจน์นี้เป็นสูตรปริมาตรของปิรามิดสามเหลี่ยมที่เขียนในย่อหน้าก่อนหน้า:

V = 1/6*a*h โอ *h = √3/12*a 2 *h

ปริมาตรของปิรามิดปกติที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยมคือฟังก์ชันของความยาวของด้านข้างของฐานและความสูงของรูปนั้น

ตั้งแต่ใด รูปหลายเหลี่ยมปกติสามารถเขียนเป็นวงกลมได้ โดยรัศมีจะกำหนดความยาวของด้านข้างของรูปหลายเหลี่ยมโดยไม่ซ้ำกัน จากนั้นสูตรนี้สามารถเขียนผ่านรัศมีที่สอดคล้องกัน r:

สูตรนี้สามารถหาได้ง่ายจากสูตรก่อนหน้า หากเราคำนึงว่ารัศมี r ของวงกลมที่มีเส้นรอบวงถึงความยาวของด้าน a ของสามเหลี่ยมถูกกำหนดโดยนิพจน์:

ปัญหาการหาปริมาตรของจัตุรมุข

เราจะแสดงวิธีใช้สูตรข้างต้นเพื่อแก้โจทย์ งานเฉพาะเรขาคณิต.

เป็นที่ทราบกันว่าจัตุรมุขมีความยาวขอบ 7 ซม. ค้นหาปริมาตรของปิรามิดจัตุรมุขทรงสามเหลี่ยมปกติ

โปรดจำไว้ว่าจัตุรมุขเป็นแบบปกติโดยที่ฐานทั้งหมดเท่ากัน หากต้องการใช้สูตรปริมาตรสามเหลี่ยม คุณต้องคำนวณปริมาณสองปริมาณ:

• ความยาวของด้านของรูปสามเหลี่ยม
• ความสูงของรูป

ปริมาณแรกทราบจากเงื่อนไขของปัญหา:

หากต้องการกำหนดความสูง ให้พิจารณาจากรูปที่แสดงในรูป

สามเหลี่ยมที่ทำเครื่องหมาย ABC นั้นเป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก โดยที่มุม ABC คือ 90 o ด้าน AC คือด้านตรงข้ามมุมฉากและความยาวของมันคือ a เมื่อใช้เหตุผลทางเรขาคณิตอย่างง่าย เราสามารถแสดงได้ว่าด้าน BC มีความยาว:

โปรดทราบว่าความยาว BC คือรัศมีของวงกลมที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยม

h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2/3) = a*√(2/3)

ตอนนี้คุณสามารถแทนที่ h และ a ลงในสูตรสำหรับปริมาตรที่เกี่ยวข้องได้:

วี = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3

ดังนั้นเราจึงได้สูตรปริมาตรของจัตุรมุข จะเห็นได้ว่าปริมาตรขึ้นอยู่กับความยาวของขอบเท่านั้น หากเราแทนค่าจากเงื่อนไขของปัญหาลงในนิพจน์ เราจะได้คำตอบ:

V = √2/12*7 3 data 40.42 ซม. 3

หากเราเปรียบเทียบค่านี้กับปริมาตรของลูกบาศก์ที่มีขอบเท่ากัน เราจะพบว่าปริมาตรของจัตุรมุขนั้นน้อยกว่า 8.5 เท่า สิ่งนี้บ่งชี้ว่าจัตุรมุขนั้นมีรูปทรงกะทัดรัดซึ่งเกิดขึ้นในสารธรรมชาติบางชนิด ตัวอย่างเช่น โมเลกุลมีเทนมีรูปร่างเป็นจัตุรมุข และอะตอมของคาร์บอนแต่ละอะตอมในเพชรเชื่อมต่อกับอะตอมอื่นอีกสี่อะตอมเพื่อสร้างจัตุรมุข

ปัญหาปิรามิดโฮโมเทติก

ลองแก้ปัญหาเรขาคณิตที่น่าสนใจอย่างหนึ่งกัน สมมติว่ามีปิรามิดทรงสามเหลี่ยมปกติซึ่งมีปริมาตร V 1 อยู่จำนวนหนึ่ง ควรลดขนาดของตัวเลขนี้กี่ครั้งเพื่อให้ได้ปิรามิดแบบโฮโมเธติกที่มีปริมาตรเล็กกว่าของเดิมถึงสามเท่า?

มาเริ่มแก้ปัญหาด้วยการเขียนสูตรสำหรับปิรามิดปกติดั้งเดิม:

V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .

ให้ปริมาตรของตัวเลขที่ต้องการตามเงื่อนไขของปัญหาได้มาโดยการคูณพารามิเตอร์ด้วยสัมประสิทธิ์ k เรามี:

V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1

เนื่องจากทราบอัตราส่วนของปริมาตรของตัวเลขจากเงื่อนไข เราจึงได้ค่าสัมประสิทธิ์ k:

k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) กลับไปยัง 0.693.

โปรดทราบว่าเราจะได้ค่าสัมประสิทธิ์ k ที่ใกล้เคียงกันสำหรับปิรามิดประเภทใดก็ตาม และไม่ใช่แค่ค่าสามเหลี่ยมปกติเท่านั้น