ปริมาตรของจัตุรมุข จัตุรมุขธรรมดา (ปิรามิด)

จากสูตรพื้นฐานสำหรับปริมาตรของจัตุรมุข

ที่ไหน สคือบริเวณใบหน้าใดๆ และ ชม– ความสูงที่ลดลง คุณยังสามารถแสดงได้ ทั้งซีรีย์สูตรที่แสดงปริมาตรผ่านองค์ประกอบต่างๆ ของจัตุรมุข ให้เรานำเสนอสูตรเหล่านี้สำหรับจัตุรมุข เอบีซีดี.

(2) ,

ที่ไหน ∠ ( ค.ศ,เอบีซี) – มุมระหว่างขอบ ค.ศและระนาบของใบหน้า เอบีซี;

(3) ,

ที่ไหน ∠ ( เอบีซี,เอบีดี) – มุมระหว่างใบหน้า เอบีซีและ เอบีดี;

ที่ไหน | เอบี,ซีดี- – ระยะห่างระหว่างซี่โครงด้านตรงข้าม เอบีและ ซีดี, ∠ (เอบี,ซีดี) คือมุมระหว่างขอบเหล่านี้

สามารถใช้สูตร (2)–(4) เพื่อหามุมระหว่างเส้นตรงและระนาบ สูตร (4) มีประโยชน์อย่างยิ่ง ซึ่งคุณสามารถค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นตัดกัน เอบีและ ซีดี.

สูตร (2) และ (3) คล้ายกับสูตร ส = (1/2)เกี่ยวกับบาป คสำหรับพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม สูตร ส = รพีสูตรที่คล้ายกัน

ที่ไหน รคือรัศมีของทรงกลมที่ถูกจารึกไว้ของจัตุรมุข Σ คือพื้นผิวทั้งหมด (ผลรวมของพื้นที่ของใบหน้าทั้งหมด) นอกจากนี้ยังมีสูตรสวยงามที่เชื่อมโยงปริมาตรของจัตุรมุขกับรัศมี รทรงกลมที่อธิบายไว้ ( สูตรครีเลท):

โดยที่ Δ คือพื้นที่ของสามเหลี่ยมที่มีด้านเป็นตัวเลขเท่ากับผลคูณของขอบด้านตรงข้าม ( เอบี× ซีดี, เอ.ซี.× บีดี,ค.ศ× บี.ซี.- จากสูตร (2) และทฤษฎีบทโคไซน์สำหรับมุมสามเหลี่ยม (ดูตรีโกณมิติทรงกลม) เราสามารถได้สูตรที่คล้ายกับสูตรของเฮรอนสำหรับสามเหลี่ยม

บันทึก- นี่เป็นส่วนหนึ่งของบทเรียนเกี่ยวกับปัญหาเรขาคณิต (หมวด Stereometry ปัญหาเกี่ยวกับปิรามิด) หากคุณต้องการแก้ไขปัญหาเรขาคณิตที่ไม่มีอยู่ที่นี่ โปรดเขียนเกี่ยวกับปัญหานั้นในฟอรัม ในงาน แทนที่จะใช้สัญลักษณ์ "สแควร์รูท" จะใช้ฟังก์ชัน sqrt() โดยที่ sqrt เป็นสัญลักษณ์ รากที่สองและนิพจน์รากจะแสดงอยู่ในวงเล็บ.สำหรับนิพจน์รากอย่างง่าย สามารถใช้เครื่องหมาย "√" ได้. จัตุรมุขปกติ- นี่ถูกต้อง ปิรามิดสามเหลี่ยมโดยที่หน้าทุกหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า

ในทรงจัตุรมุขปกติ มุมไดฮีดรัลทั้งหมดที่ขอบและมุมตรีฮีดรัลทั้งหมดที่จุดยอดจะเท่ากัน

จัตุรมุขมี 4 หน้า 4 จุดยอด และ 6 ขอบ

สูตรพื้นฐานสำหรับจัตุรมุขปกติแสดงอยู่ในตาราง

ที่ไหน:
S - พื้นที่ผิวของจัตุรมุขปกติ
วี - ปริมาตร
h - ความสูงลดลงถึงฐาน
r - รัศมีของวงกลมที่ถูกจารึกไว้ในจัตุรมุข
R - เส้นรอบวง
เอ - ความยาวขอบ

ตัวอย่างการปฏิบัติ

งาน.
ค้นหาพื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยมโดยแต่ละขอบเท่ากับ √3

สารละลาย.
เนื่องจากขอบทั้งหมดของปิรามิดสามเหลี่ยมเท่ากัน จึงเป็นเรื่องปกติ พื้นที่ผิวของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติคือ S = a 2 √3
แล้ว
ส = 3√3

คำตอบ: 3√3

งาน.
ขอบทั้งหมดของปิรามิดสามเหลี่ยมปกติมีค่าเท่ากับ 4 ซม. จงหาปริมาตรของปิรามิด

สารละลาย.
เนื่องจากในปิรามิดรูปสามเหลี่ยมปกติ ความสูงของปิรามิดจะถูกฉายไปที่ศูนย์กลางของฐาน ซึ่งเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่มีเส้นรอบวงด้วย ดังนั้น

AO = R = √3 / 3 ก
เอโอ = 4√3 / 3

ดังนั้น ความสูงของพีระมิด OM จึงหาได้จาก สามเหลี่ยมมุมฉากออม

อ่าว 2 + อ้อม 2 = AM 2
โอม 2 = AM 2 - AO 2
โอม 2 = 4 2 - (4√3 / 3) 2
โอม 2 = 16 - 16/3
โอม = √(32/3)
โอเอ็ม = 4√2 / √3

เราค้นหาปริมาตรของปิรามิดโดยใช้สูตร V = 1/3 Sh
ในกรณีนี้ เราจะหาพื้นที่ฐานโดยใช้สูตร S = √3/4 a 2

วี = 1/3 (√3 / 4 * 16) (4√2 / √3)
วี = 16√2/3

คำตอบ: 16√2 / 3 ซม

พิจารณาสามเหลี่ยม ABC และจุด D ที่ไม่อยู่ในระนาบของสามเหลี่ยมนี้ ลองเชื่อมโยงจุดนี้กับจุดยอดของสามเหลี่ยม ABC โดยใช้ส่วนต่างๆ ผลลัพธ์ที่ได้คือสามเหลี่ยม ADC, CDB, ABD พื้นผิวที่ล้อมรอบด้วยสามเหลี่ยมสี่อัน ABC, ADC, CDB และ ABD เรียกว่าจัตุรมุข และถูกกำหนดให้เป็น DABC
สามเหลี่ยมที่ประกอบเป็นจัตุรมุขเรียกว่าใบหน้า
ด้านข้างของรูปสามเหลี่ยมเหล่านี้เรียกว่าขอบของจัตุรมุข และจุดยอดของพวกมันคือจุดยอดของจัตุรมุข

จัตุรมุขก็มี 4 ใบหน้า, 6 ซี่โครงและ 4 ยอดเขา.
ขอบสองด้านที่ไม่มีจุดยอดร่วมเรียกว่าด้านตรงข้าม
บ่อยครั้งเพื่อความสะดวกจึงเรียกว่าใบหน้าด้านหนึ่งของจัตุรมุข พื้นฐานและอีกสามหน้าที่เหลือเป็นหน้าด้านข้าง

ดังนั้น จัตุรมุขจึงเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุดซึ่งมีใบหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมสี่อัน

แต่ก็เป็นความจริงเช่นกันที่ปิรามิดสามเหลี่ยมตามอำเภอใจนั้นเป็นจัตุรมุข ถ้าอย่างนั้นมันก็เป็นเรื่องจริงเช่นกันที่เรียกว่าจัตุรมุข ปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

ความสูงของจัตุรมุขเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดที่อยู่ด้านตรงข้ามและตั้งฉากกับจุดนั้น
ค่ามัธยฐานของจัตุรมุขเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดยอดกับจุดตัดของค่ามัธยฐานของใบหน้าด้านตรงข้าม
Bimedian ของจัตุรมุขเรียกว่าส่วนที่เชื่อมต่อจุดกึ่งกลางของขอบที่ตัดกันของจัตุรมุข

เนื่องจากจัตุรมุขเป็นปิรามิดที่มีฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม ปริมาตรของจัตุรมุขใดๆ จึงสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

• ส– บริเวณใบหน้าใด ๆ
• ชม– ความสูงลดลงเหลือเพียงใบหน้านี้

จัตุรมุขปกติ - จัตุรมุขชนิดพิเศษ

จัตุรมุขที่ใบหน้าทุกด้านมีด้านเท่ากันหมดเรียกว่าสามเหลี่ยม ถูกต้อง.
คุณสมบัติของจัตุรมุขปกติ:

• ขอบทั้งหมดเท่ากัน
• มุมระนาบทั้งหมดของจัตุรมุขธรรมดาคือ 60°
• เนื่องจากจุดยอดแต่ละจุดคือจุดยอดของสามเหลี่ยมปกติ 3 รูป ผลรวมของมุมระนาบที่จุดยอดแต่ละจุดคือ 180°
• จุดยอดใดๆ ของจัตุรมุขปกติจะถูกฉายไปที่ออร์โธเซนเตอร์ของด้านตรงข้าม (ที่จุดตัดของความสูงของรูปสามเหลี่ยม)

ให้เราได้รับ ABCD จัตุรมุขธรรมดาที่มีขอบเท่ากับ a DH คือส่วนสูง
ขอให้เราสร้างโครงสร้างเพิ่มเติม BM - ความสูงของสามเหลี่ยม ABC และ DM - ความสูงของสามเหลี่ยม ACD
ความสูงของ BM เท่ากับ BM และเท่ากับ
พิจารณาสามเหลี่ยม BDM โดยที่ DH ซึ่งเป็นความสูงของทรงจัตุรมุข ก็เป็นความสูงของสามเหลี่ยมนี้เช่นกัน
ความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ตกไปทางด้าน MB สามารถหาได้จากสูตร

, ที่ไหน
บีเอ็ม=, DM=, BD=ก,
p=1/2 (บีเอ็ม+บีดี+ดีเอ็ม)=
ลองแทนค่าเหล่านี้เป็นสูตรความสูง เราได้รับ


ลองเอา 1/2a ออกมา. เราได้รับ

ลองใช้ผลต่างของสูตรกำลังสองกัน

หลังจากการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อยที่เราได้รับ


ปริมาตรของจัตุรมุขใดๆ สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร
,
ที่ไหน ,

แทนที่ค่าเหล่านี้เราจะได้

ดังนั้น สูตรปริมาตรของจัตุรมุขปกติคือ

ที่ไหน ก–ขอบจัตุรมุข

การคำนวณปริมาตรของจัตุรมุขหากทราบพิกัดของจุดยอด

ให้เราทราบพิกัดของจุดยอดของจัตุรมุข

จากจุดยอดเราวาดเวกเตอร์ , , .
หากต้องการค้นหาพิกัดของเวกเตอร์แต่ละตัว ให้ลบพิกัดเริ่มต้นที่สอดคล้องกันออกจากพิกัดสิ้นสุด เราได้รับ

ความหมายของจัตุรมุข

จัตุรมุข– รูปทรงหลายเหลี่ยมที่ง่ายที่สุด ใบหน้าและฐานเป็นรูปสามเหลี่ยม

เครื่องคิดเลขออนไลน์

จัตุรมุขมีสี่หน้า แต่ละหน้าประกอบด้วยสามด้าน จัตุรมุขมีจุดยอดสี่จุด โดยมีขอบสามอันยื่นออกมาจากแต่ละจุด

ร่างกายนี้แบ่งออกเป็นหลายประเภท ด้านล่างนี้คือการจำแนกประเภท

1. จัตุรมุข Isohedral- ใบหน้าทั้งหมดเป็นรูปสามเหลี่ยมที่เหมือนกัน
2. จัตุรมุขออร์โธเซนตริก- ความสูงทั้งหมดที่ดึงจากจุดยอดแต่ละจุดไปยังด้านตรงข้ามจะมีความยาวเท่ากัน
3. จัตุรมุขสี่เหลี่ยม- ขอบที่เล็ดลอดออกมาจากจุดยอดหนึ่งมีมุม 90 องศาซึ่งกันและกัน
4. กรอบ;
5. ได้สัดส่วน;
6. เป็นศูนย์กลาง.

สูตรปริมาตรจัตุรมุข

ปริมาตรของร่างกายที่กำหนดสามารถพบได้หลายวิธี ลองดูรายละเอียดเพิ่มเติม

ผ่านผลคูณของเวกเตอร์

หากจัตุรมุขถูกสร้างขึ้นบนเวกเตอร์สามตัวที่มีพิกัด:

A ⃗ = (a x , a y , a z) \vec(a)=(a_x, a_y, a_z)ก= (ก x​ , ก ย​ , ก z​ )
b ⃗ = (b x , by , b z) \vec(b)=(b_x, b_y, b_z)ข= (ข x​ , ข ย​ , ข z​ )
ค ⃗ = (c x , cy , c z) \vec(c)=(c_x, c_y, c_z)ค= (ค x​ , ค ย​ , ค z​ ) ,

ปริมาตรของจัตุรมุขนี้คือผลคูณผสมของเวกเตอร์เหล่านี้ ซึ่งก็คือปัจจัยกำหนดต่อไปนี้:

ปริมาตรของจัตุรมุขผ่านดีเทอร์มิแนนต์

V = 1 6 ⋅ ∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ V=\frac(1)(6)\cdot\begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix )วี=6 1 ​ ⋅ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ก x​ ข x​ ค x​ ​ ก ย​ ข ย​ ค ย​ ​ ก z​ ข z​ ค z​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​

ปัญหาที่ 1

ทราบพิกัดของจุดยอดทั้งสี่ของทรงแปดหน้า เอ(1, 4, 9) เอ(1,4,9) เอ(1, 4, 9), บี (8, 7, 3) บี(8,7,3) บี(8, 7, 3), ค (1 , 2 , 3) ​​​​ค (1,2,3) ค(1, 2, 3), ง(7, 12, 1) ง(7,12,1) ง(7, 1 2, 1)- ค้นหาปริมาตรของมัน

สารละลาย

เอ(1, 4, 9) เอ(1,4,9) เอ(1, 4, 9)
บี (8, 7, 3) บี(8,7,3) บี(8, 7, 3)
ค (1 , 2 , 3) ​​​​ค (1,2,3) ค(1, 2, 3)
ง(7, 12, 1) ง(7,12,1) ง(7, 1 2, 1)

ขั้นตอนแรกคือการกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ที่ใช้สร้างส่วนนี้
ในการทำเช่นนี้ คุณต้องค้นหาพิกัดเวกเตอร์แต่ละจุดโดยการลบพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดทั้งสอง ตัวอย่างเช่น พิกัดเวกเตอร์ AB → \overrightarrow(AB) เอบีนั่นคือเวกเตอร์ที่พุ่งจากจุด เอ เอ กตรงประเด็น บีบี บีนี่คือความแตกต่างระหว่างพิกัดที่สอดคล้องกันของจุดต่างๆ บีบี บีและ เอ เอ ก:

AB → = (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9) = (7 , 3 , − 6) \overrightarrow(AB)=(8-1, 7-4, 3-9)=(7, 3, -6)เอบี= (8 − 1 , 7 − 4 , 3 − 9 ) = (7 , 3 , − 6 )

AC → = (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9) = (0 , − 2 , − 6) \overrightarrow(AC)=(1-1, 2-4, 3-9)=(0, - 2, -6)เอ ซี= (1 − 1 , 2 − 4 , 3 − 9 ) = (0 , − 2 , − 6 )
AD → = (7 − 1 , 12 − 4 , 1 − 9) = (6 , 8 , − 8) \overrightarrow(AD)=(7-1, 12-4, 1-9)=(6, 8, -8)เอ ดี= (7 − 1 , 1 2 − 4 , 1 − 9 ) = (6 , 8 , − 8 )

ตอนนี้เราจะพบผลคูณของเวกเตอร์เหล่านี้ สำหรับสิ่งนี้ เราจะเขียนดีเทอร์มิแนนต์ลำดับที่สามในขณะที่ยอมรับสิ่งนั้น AB → = a ⃗ \overrightarrow(AB)=\vec(a)เอบี= ก, AC → = b ⃗ \overrightarrow(AC)=\vec(b)เอ ซี= ข, AD → = c ⃗ \overrightarrow(AD)=\vec(c)เอ ดี= ค.

∣ a x a y a z b x b y b z c x c y c z ∣ = ∣ 7 3 − 6 0 − 2 − 6 6 8 − 8 ∣ = 7 ⋅ (− 2) ⋅ (− 8) + 3 ⋅ (− 6) ⋅ 6 + (− 6) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6) ⋅ (− 2) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8) = 112 − 108 − 0 − 72 + 336 + 0 = 268 \begin(vmatrix) a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \\ c_x & c_y & c_z \\ \end(vmatrix)= \begin(vmatrix) 7 & 3 & -6 \\ 0 & -2 & -6 \\ 6 & 8 & -8 \\ \end(vmatrix)=7\cdot(-2)\cdot(-8) + 3\cdot(-6)\cdot6 + (-6)\cdot0\cdot8 - (-6)\cdot (-2)\cdot6 - 7\cdot(-6)\cdot8 - 3\cdot0\cdot(-8) = 112 - 108 - 0 - 72 + 336 + 0 = 268∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ ก x​ ข x​ คx​ ​ กย​ ขย​ คย​ ​ กz​ ขz​ คz​ ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ 7 0 6 ​ 3 − 2 8 ​ − 6 − 6 − 8 ​ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ∣ ​ = 7 ⋅ (− 2 ) ⋅ (− 8 ) + 3 ⋅ (− 6 ) ⋅ 6 + (− 6 ) ⋅ 0 ⋅ 8 − (− 6 ) ⋅ (− 2 ) ⋅ 6 − 7 ⋅ (− 6 ) ⋅ 8 − 3 ⋅ 0 ⋅ (− 8 ) = 1 1 2 − 1 0 8 − 0 − 7 2 + 3 3 6 + 0 = 2 6 8

นั่นคือปริมาตรของจัตุรมุขเท่ากับ:

$วี=61\cdot |$

คำตอบ

$44.8\text{ซม3 .}$

สูตรหาปริมาตรของจัตุรมุขมีด้านเท่ากันทุกด้าน

สูตรนี้ใช้ได้เฉพาะกับการคำนวณปริมาตรของทรงสี่หน้ามีด้านเท่าซึ่งก็คือทรงสี่หน้าซึ่งแต่ละหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยมปกติที่เหมือนกัน

ปริมาตรของจัตุรมุขหน้าด้าน

$วี=12\sqrt{2\cdot {ก}^3}$

กก- ความยาวของขอบจัตุรมุข

ปัญหาที่ 2

หาปริมาตรของจัตุรมุขโดยให้ด้านเท่ากัน $11\text{ซม.}$

สารละลาย

$ก=11$

มาทดแทนกัน กกลงในสูตรหาปริมาตรของจัตุรมุข:

$วี=12\sqrt{2\cdot {ก}^{3=12\sqrt{2\cdot 11^{3\approx 156.8\text{ซม3}}}}}$

คำตอบ

$156.8\text{ซม3 .}$