ค้นหาช่องว่างของฟังก์ชั่น "เพิ่มและลดฟังก์ชั่น"

ฟังก์ชั่นที่เรียกว่า เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา
ถ้าสำหรับจุดใด ๆ

ความไม่เท่าเทียมถือ
(ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่มากกว่าของฟังก์ชัน)

ในทำนองเดียวกันฟังก์ชั่น
มันเรียกว่า ลดลงในช่วงเวลา
ถ้าสำหรับจุดใด ๆ
จากช่วงเวลานี้ภายใต้เงื่อนไข
ความไม่เท่าเทียมถือ
(ค่าที่มากกว่าของอาร์กิวเมนต์สอดคล้องกับค่าที่ต่ำกว่าของฟังก์ชัน)

เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา
และลดลงในช่วงเวลา
ฟังก์ชั่นที่เรียกว่า monotonic ในช่วงเวลา
.

การรู้อนุพันธ์ของฟังก์ชั่น differentiable ช่วยให้คุณค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อ

ทฤษฎีบท (สภาพเพียงพอสำหรับการเพิ่มฟังก์ชั่น)
ฟังก์ชั่น
บวกกับช่วงเวลา
จากนั้นฟังก์ชั่น
เพิ่มขึ้นอย่างน่าเบื่อในช่วงเวลานี้

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการลดลงของฟังก์ชั่น)   หากอนุพันธ์มีความแตกต่างในช่วงเวลา
ฟังก์ชั่น
ลบในช่วงเวลา
จากนั้นฟังก์ชั่น
ลดลงอย่างน่าเบื่อหน่ายในช่วงเวลานี้

ความหมายทางเรขาคณิต   ของทฤษฎีบทเหล่านี้ประกอบด้วยข้อเท็จจริงที่ว่าในช่วงเวลาของการลดฟังก์ชั่นแทนเจนต์กับกราฟของรูปแบบการทำงานกับแกน
ป้านมุมและในช่วงเพิ่ม - คม (ดูรูปที่ 1)

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับฟังก์ชั่นโมโนฟังก์ชัน)หากฟังก์ชั่น
differentiable และ
(
) ในช่วงเวลา
แล้วมันจะไม่ลดลง (ไม่เพิ่มขึ้น) ในช่วงเวลานี้

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน
:

ตัวอย่าง   ค้นหาช่วงเวลาของความน่าเบื่อของฟังก์ชัน
.

จุด มันเรียกว่า ฟังก์ชั่นจุดสูงสุด

เช่นนั้นสำหรับทุกคน พึงพอใจเงื่อนไข
ความไม่เท่าเทียม
.

ฟังก์ชั่นสูงสุด   คือค่าของฟังก์ชั่นที่จุดสูงสุด

รูปที่ 2 แสดงตัวอย่างของกราฟของฟังก์ชันที่มี maxima ที่จุด
.

จุด มันเรียกว่า ฟังก์ชั่นจุดต่ำสุด
ถ้ามีจำนวน
เช่นนั้นสำหรับทุกคน พึงพอใจเงื่อนไข
ความไม่เท่าเทียม
. นริศ 2 ฟังก์ชั่นมีขั้นต่ำที่จุด .

สำหรับเสียงสูงและต่ำมีชื่อสามัญคือ - คะแนนมาก . ดังนั้นคะแนนสูงสุดและต่ำสุดจึงถูกเรียก คะแนน extremum .

ฟังก์ชั่นที่กำหนดไว้ในส่วนสามารถมีสูงสุดและต่ำสุดที่จุดภายในส่วนนี้ นอกจากนี้ยังเป็นไปไม่ได้ที่จะสร้างความสับสนสูงสุดและต่ำสุดของฟังก์ชั่นที่มีค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดในส่วน - เหล่านี้เป็นแนวคิดที่แตกต่างกันโดยพื้นฐาน

ที่จุดต่อมาอนุพันธ์มีคุณสมบัติพิเศษ

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับอาการแสดง)   ขอที่จุด ฟังก์ชัน
มีอาการปวดหัว จากนั้นทั้ง
ไม่มีอยู่อย่างใดอย่างหนึ่ง
.

คะแนนเหล่านั้นจากโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชันที่
ไม่มีอยู่หรือที่
ถูกเรียกว่า ฟังก์ชั่นจุดวิกฤติ .

ดังนั้นคะแนน extremum จึงอยู่ในจุดวิกฤติ โดยทั่วไปแล้วจุดวิกฤติไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุด หากอนุพันธ์ของฟังก์ชั่นในบางจุดเท่ากับศูนย์ดังนั้นนี่ไม่ได้หมายความว่าฟังก์ชั่นจะมีอาการสุดขั้วที่จุดนี้

ตัวอย่าง   พิจารณา
. เรามี
แต่ประเด็น
ไม่ใช่จุดต่อ (ดูรูปที่ 3)

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับความคลั่งไคล้)   ขอที่จุด ฟังก์ชัน
ต่อเนื่องและอนุพันธ์
เมื่อข้ามจุด การเปลี่ยนแปลงเข้าสู่ระบบ แล้วก็ - จุดต่อสุด: สูงสุดหากเครื่องหมายเปลี่ยนจาก "+" เป็น "-" และต่ำสุดหากจาก "-" ถึง "+"

หากเมื่อข้ามจุด อนุพันธ์ไม่เปลี่ยนแปลงเครื่องหมายแล้วที่ ไม่มีความรุนแรง

ทฤษฎีบท (เงื่อนไขที่สองเพียงพอสำหรับความคลั่งไคล้)   ขอที่จุด อนุพันธ์ของฟังก์ชั่น differentiable สองครั้ง
เท่ากับศูนย์ (
) และอนุพันธ์อันดับสองของมัน ณ จุดนี้ไม่ใช่ศูนย์ (
) และต่อเนื่องในบางพื้นที่ของจุด . แล้วก็ - จุดสูงสุด
; ที่
นี่คือจุดต่ำสุดและเมื่อ
นี่คือจุดสูงสุด

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา extrema ของฟังก์ชันโดยใช้เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับ extremum:

ค้นหาอนุพันธ์

ค้นหาจุดสำคัญของฟังก์ชั่น

ตรวจสอบสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ทางซ้ายและขวาของแต่ละจุดวิกฤติและสรุปว่ามี extrema

ค้นหาค่าสุดขีดของฟังก์ชั่น

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา extrema ของฟังก์ชันโดยใช้เงื่อนไขที่สองเพียงพอสำหรับ extremum:

ตัวอย่าง   ค้นหาฟังก์ชั่นพิเศษ
.

1. ค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน

2. หาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน

3. ตั้งค่าอนุพันธ์เป็นศูนย์และค้นหาจุดวิกฤติของฟังก์ชัน

4. ทำเครื่องหมายจุดวิกฤติบนพื้นที่นิยาม

5. คำนวณสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลาที่ได้รับ

6. ค้นหาพฤติกรรมของฟังก์ชันในแต่ละช่วงเวลา

ตัวอย่าง: ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่นฉ(x) = และจำนวนศูนย์ของฟังก์ชันนี้ในช่วงเวลา

วิธีการแก้ปัญหา:

1. D ( ฉ) \u003d R

2. ฉ"(x) =

D ( ฉ") \u003d D ( ฉ) \u003d R

3. ค้นหาจุดวิกฤติของฟังก์ชันโดยการแก้สมการ ฉ"(x) = 0.

x(x – 10) = 0

จุดวิกฤติของการทำงาน x   \u003d 0 และ x = 10.

4. กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์

ฉ"(x) + – +

ฉ(x) 0 10   x

ในช่วงเวลา (-∞; 0) และ (10; + ∞) อนุพันธ์ของฟังก์ชันจะเป็นบวกที่จุด x   \u003d 0 และ x \u003d 10 ฟังก์ชั่น ฉ(x) จึงต่อเนื่องดังนั้นฟังก์ชั่นนี้จะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลา: (-∞; 0];

เรากำหนดสัญลักษณ์ของค่าของฟังก์ชั่นที่ส่วนท้ายของกลุ่ม

ฉ(0) = 3, ฉ(0) > 0

ฉ(10) = , ฉ(10) < 0.

เนื่องจากฟังก์ชั่นลดลงในช่วงเวลาและสัญญาณของค่าของการเปลี่ยนแปลงการทำงานแล้วในช่วงเวลานี้หนึ่งศูนย์ของฟังก์ชั่น

คำตอบ: ฟังก์ชั่น f (x) เพิ่มขึ้นในช่วงเวลา: (-∞; 0] ;;

ในช่วงเวลาฟังก์ชั่นมีฟังก์ชั่นหนึ่งศูนย์

2. คะแนน extremum Function: คะแนนสูงสุดและต่ำสุด เงื่อนไขที่จำเป็นและเพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของความแข็งแรงของฟังก์ชั่น กฎของการวิจัยฟังก์ชั่นเกี่ยวกับ Extremum .

คำจำกัดความ 1:คะแนนที่อนุพันธ์เท่ากับศูนย์จะเรียกว่าสำคัญหรือคงที่

คำจำกัดความ 2.   จุดที่เรียกว่าจุดต่ำสุด (สูงสุด) ของฟังก์ชันถ้าค่าของฟังก์ชัน ณ จุดนี้น้อยกว่า (มากกว่า) ของฟังก์ชันที่ใกล้ที่สุด

โปรดทราบว่าจำนวนสูงสุดและต่ำสุดในกรณีนี้เป็นของท้องถิ่น

ในรูป 1. แสดงค่าสูงสุดและต่ำสุดในท้องถิ่น

ฟังก์ชั่นสูงสุดและต่ำสุดจะรวมกันโดยชื่อสามัญ: extremum ของฟังก์ชัน

ทฤษฎีบท 1   (เครื่องหมายที่จำเป็นของการมีอยู่ของความแข็งแรงของฟังก์ชั่น) ถ้าฟังก์ชั่น differentiable ณ จุดนั้นมีค่าสูงสุดหรือต่ำสุด ณ จุดนี้อนุพันธ์ของมันจะหายไปที่

ทฤษฎีบท 2   (เครื่องหมายที่เพียงพอของการดำรงอยู่ของความสุดขีดของฟังก์ชั่น) หากฟังก์ชั่นต่อเนื่องมีอนุพันธ์ที่จุดใดช่วงหนึ่งที่มีจุดวิกฤติ (ยกเว้นจุดนี้เอง) และ ถ้าการเปลี่ยนแปลงอนุพันธ์เข้าสู่ระบบจากบวกเป็นลบเมื่อผ่านการโต้แย้งจากซ้ายไปขวาผ่านจุดวิกฤติจากนั้นฟังก์ชั่นจะมีค่าสูงสุด ณ จุดนี้และเมื่อผ่านเครื่องหมายจากลบเป็นบวกจะมีค่าน้อยที่สุด

ข้อมูลที่สำคัญมากเกี่ยวกับพฤติกรรมของฟังก์ชั่นมีให้โดยช่วงเวลาของการเพิ่มและลด การค้นพบของพวกเขาเป็นส่วนหนึ่งของกระบวนการค้นคว้าฟังก์ชั่นและการวางแผน นอกจากนี้จุดสูงสุดที่การเปลี่ยนแปลงเกิดขึ้นจากการเพิ่มเป็นลดลงหรือจากการลดลงเป็นการเพิ่มจะได้รับความสนใจเป็นพิเศษเมื่อค้นหาค่าที่ใหญ่ที่สุดและเล็กที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลาหนึ่ง

ในบทความนี้เราให้คำจำกัดความที่จำเป็นกำหนดสัญญาณเพียงพอของการเพิ่มและลดฟังก์ชันในช่วงเวลาและเงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของ extremum และใช้ทฤษฎีทั้งหมดนี้เพื่อแก้ปัญหาตัวอย่างและปัญหา

การนำทางหน้า

การเพิ่มและลดของฟังก์ชั่นในช่วงเวลา

ความหมายของฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้น

ฟังก์ชั่น y \u003d f (x) จะเพิ่มขึ้นตามช่วงเวลา X หากสำหรับใด ๆ และ   ความไม่เท่าเทียมถือ กล่าวอีกนัยหนึ่งอาร์กิวเมนต์ที่มีค่ามากกว่าจะสอดคล้องกับค่าที่มากกว่าของฟังก์ชัน

นิยามของฟังก์ชันที่ลดลง

ฟังก์ชั่น y \u003d f (x) จะลดลงในช่วงเวลา X ถ้าสำหรับใด ๆ และ   ความไม่เท่าเทียมถือ . กล่าวอีกนัยหนึ่งอาร์กิวเมนต์ที่มีค่ามากกว่าจะสอดคล้องกับค่าที่ต่ำกว่าของฟังก์ชัน

หมายเหตุ: ถ้าฟังก์ชั่นถูกกำหนดและต่อเนื่องในตอนท้ายของช่วงเวลาของการเพิ่มหรือลด (a; b) นั่นคือด้วย x \u003d a และ x \u003d b ดังนั้นจุดเหล่านี้จะรวมอยู่ในช่วงของการเพิ่มหรือลดลง นี่ไม่ได้ขัดแย้งกับคำจำกัดความของการเพิ่มและการลดฟังก์ชันในช่วงเวลา X

ตัวอย่างเช่นจากคุณสมบัติของฟังก์ชันพื้นฐานเบื้องต้นเรารู้ว่า y \u003d sinx ถูกกำหนดและต่อเนื่องสำหรับค่าจริงทั้งหมดของการโต้แย้ง ดังนั้นจากการเพิ่มขึ้นของการทำงานของไซน์ในช่วงเวลาเราสามารถระบุเกี่ยวกับการเพิ่มขึ้นของช่วงเวลา

จุดต่าง ๆ สุดยอดของฟังก์ชั่น

จุดที่เรียกว่า จุดสูงสุด   ฟังก์ชั่น y \u003d f (x), ถ้าสำหรับ x ทั้งหมดจากย่านนั้นความไม่เท่าเทียมถือ ค่าของฟังก์ชั่นที่จุดสูงสุดเรียกว่า ฟังก์ชั่นสูงสุด   และแสดงว่า

จุดที่เรียกว่า จุดต่ำสุด   ฟังก์ชั่น y \u003d f (x), ถ้าสำหรับ x ทั้งหมดจากย่านนั้นความไม่เท่าเทียมถือ ค่าของฟังก์ชั่นที่จุดต่ำสุดที่เรียกว่า ฟังก์ชั่นขั้นต่ำ   และแสดงว่า

ตามพื้นที่ใกล้เคียงคะแนนหมายถึงช่วงเวลา โดยที่เป็นจำนวนบวกเล็กน้อยที่เพียงพอ

คะแนนขั้นต่ำและสูงสุดเรียกว่า จุดสุดยอดและค่าของฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องกับจุดต่าง ๆ ของ extremum จะถูกเรียก ฟังก์ชั่น extrema.

อย่าสับสนส่วนเกินของฟังก์ชันด้วยค่าที่ใหญ่ที่สุดและน้อยที่สุดของฟังก์ชัน

ในรูปแรกค่าที่มากที่สุดของฟังก์ชันในช่วงเวลานั้นจะมาถึงจุดสูงสุดและเท่ากับจำนวนสูงสุดของฟังก์ชันและในรูปที่สองค่าที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของฟังก์ชันจะถึงที่จุด x \u003d b ซึ่งไม่ใช่จุดสูงสุด

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

ขึ้นอยู่กับเงื่อนไขที่เพียงพอ (เครื่องหมาย) ของการเพิ่มและการลดลงของฟังก์ชั่นพบช่วงเวลาของการเพิ่มและลดของฟังก์ชั่น

นี่คือคำพูดของสัญญาณของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่นในช่วงเวลา:

• ถ้าอนุพันธ์ของฟังก์ชัน y \u003d f (x) เป็นค่าบวกสำหรับ x ใด ๆ จากช่วงเวลา X จากนั้นฟังก์ชันจะเพิ่มขึ้นบน X;
• หากอนุพันธ์ของฟังก์ชั่น y \u003d f (x) เป็นลบสำหรับ x ใด ๆ จากช่วงเวลา X จากนั้นฟังก์ชันจะลดลงบน X

ดังนั้นเพื่อกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและลดของฟังก์ชั่นจึงมีความจำเป็น:

ลองพิจารณาตัวอย่างของการค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชันเพื่อชี้แจงขั้นตอนวิธี

ตัวอย่าง

ค้นหาช่วงเวลาของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

การตัดสิน

ในขั้นตอนแรกคุณต้องค้นหาขอบเขตของฟังก์ชัน ในตัวอย่างของเราการแสดงออกในตัวส่วนไม่ควรหายไป

เราดำเนินการค้นหาฟังก์ชันอนุพันธ์:

ในการกำหนดช่วงเวลาของการเพิ่มและการลดฟังก์ชันโดยเกณฑ์ที่เพียงพอเราจะแก้ไขความไม่เท่าเทียมกันในขอบเขตของคำจำกัดความ เราใช้การวางนัยของวิธีการช่วงเวลา รากที่ถูกต้องเพียงตัวเดียวของตัวเศษคือ x \u003d 2 และตัวส่วนหายไปที่ x \u003d 0 จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนออกเป็นช่วง ๆ ซึ่งอนุพันธ์ของฟังก์ชันยังคงมีเครื่องหมาย เราทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้ในบรรทัดหมายเลข ข้อดีและข้อเสียจะแสดงช่วงเวลาโดยพลการซึ่งอนุพันธ์นั้นมีค่าเป็นบวกหรือลบ ลูกศรด้านล่างแสดงแผนผังแสดงการเพิ่มหรือลดของฟังก์ชันในช่วงเวลาที่สอดคล้องกัน

ด้วยวิธีนี้   และ .

ตรงประเด็น x \u003d 2 ฟังก์ชันถูกกำหนดและต่อเนื่องดังนั้นควรเพิ่มทั้งการเพิ่มและการลดลง ณ จุด x \u003d 0 ฟังก์ชันจะไม่ถูกกำหนดดังนั้นจุดนี้จึงไม่รวมอยู่ในช่วงเวลาที่ต้องการ

เราให้กราฟของฟังก์ชันเพื่อเปรียบเทียบผลลัพธ์ที่ได้กับมัน

คำตอบคือ:

ฟังก์ชั่นจะเพิ่มขึ้นเมื่อ ลดลงในช่วงเวลา (0; 2]

เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการสิ้นสุดของฟังก์ชั่น

ในการหาค่าสูงสุดและค่าต่ำสุดของฟังก์ชันคุณสามารถใช้สัญลักษณ์ใด ๆ ของสัญลักษณ์สามอันใดอันหนึ่งได้ถ้าฟังก์ชั่นตรงตามเงื่อนไข สิ่งที่พบได้บ่อยและสะดวกที่สุดคือสิ่งแรกของพวกเขา

เงื่อนไขที่เพียงพอครั้งแรกสำหรับการ extremum

ปล่อยให้ฟังก์ชั่น y \u003d f (x) สามารถหาอนุพันธ์ได้ในย่านของจุดและต่อเนื่องที่จุดนั้น

ในคำอื่น ๆ :

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหาคะแนน extremum โดยสัญญาณแรกของ extremum ของฟังก์ชัน

• เราค้นหาโดเมนของคำจำกัดความของฟังก์ชัน
• เราหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันบนโดเมนของนิยาม
• เรากำหนดค่าศูนย์ของตัวเศษศูนย์ค่าของตัวส่วนของอนุพันธ์และจุดของโดเมนที่ไม่มีอนุพันธ์ (จุดทั้งหมดที่แสดงรายการเรียกว่า จุดที่เป็นไปได้มากผ่านจุดเหล่านี้อนุพันธ์สามารถเปลี่ยนเครื่องหมาย)
• จุดเหล่านี้แบ่งโดเมนของฟังก์ชั่นเป็นช่วงเวลาที่อนุพันธ์ยังคงรักษาสัญญาณ เราพิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา (ตัวอย่างเช่นการคำนวณค่าของอนุพันธ์ของฟังก์ชันที่จุดใด ๆ ในช่วงเวลาที่กำหนด)
• เราเลือกจุดที่ฟังก์ชั่นนั้นต่อเนื่องและผ่านซึ่งการเปลี่ยนแปลงของอนุพันธ์เข้าสู่ระบบ - พวกมันคือจุดของความคลั่งไคล้

มีคำมากเกินไปเราจะพิจารณาตัวอย่างสองสามตัวอย่างของการค้นหาจุดสุดยอดและปลายสุดของฟังก์ชั่นโดยใช้เงื่อนไขแรกที่เพียงพอสำหรับการยืดระยะของฟังก์ชัน

ตัวอย่าง

ค้นหา extrema ของฟังก์ชัน

การตัดสิน

โดเมนของฟังก์ชันนั้นเป็นจำนวนจริงทั้งชุดยกเว้น x \u003d 2

เราพบอนุพันธ์:

ศูนย์ของตัวเศษคือคะแนน x \u003d -1 และ x \u003d 5, ตัวส่วนหายไปที่ x \u003d 2 ทำเครื่องหมายจุดเหล่านี้บนแกนตัวเลข

เราพิจารณาสัญญาณของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลาสำหรับสิ่งนี้เราคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใด ๆ ของแต่ละช่วงเวลาเช่นที่จุด x \u003d -2, x \u003d 0, x \u003d 3 และ x \u003d 6

ดังนั้นอนุพันธ์จึงเป็นบวกในช่วงเวลา (ในภาพเราใส่เครื่องหมายบวกในช่วงเวลานี้) เหมือนกับ

ดังนั้นเราจึงใส่เครื่องหมายลบในช่วงเวลาที่สอง, ลบส่วนที่สามและ a บวกส่วนที่สี่

มันยังคงที่จะเลือกจุดที่ฟังก์ชั่นต่อเนื่องและการเปลี่ยนแปลงของอนุพันธ์เข้าสู่ระบบ นี่คือจุดที่สำคัญที่สุด

ตรงประเด็น x \u003d -1 ฟังก์ชันต่อเนื่องและอนุพันธ์เปลี่ยนเครื่องหมายจากบวกเป็นลบดังนั้นตามเครื่องหมายแรกของ extremum x \u003d -1 คือจุดสูงสุดสูงสุดของฟังก์ชันที่สอดคล้องกับมัน .

ตรงประเด็น x \u003d 5 ฟังก์ชั่นต่อเนื่องและอนุพันธ์เปลี่ยนสัญญาณจากลบเป็นบวกดังนั้น x \u003d -1 คือจุดต่ำสุดฟังก์ชั่นขั้นต่ำสอดคล้องกับมัน .

ภาพประกอบ

คำตอบคือ:

PAY ATTENTION: สัญญาณเพียงพอแรกของ extremum ไม่ต้องการความแตกต่างของฟังก์ชั่น ณ จุดนั้น

ตัวอย่าง

ค้นหาจุดสุดยอดและสุดยอดของฟังก์ชั่น .

การตัดสิน

โดเมนของฟังก์ชันคือชุดของจำนวนจริงทั้งหมด ฟังก์ชั่นของตัวเองสามารถเขียนได้เป็น:

ค้นหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน:

ตรงประเด็น x \u003d 0 อนุพันธ์ไม่มีอยู่เนื่องจากค่าของข้อ จำกัด ด้านเดียวไม่ตรงเมื่ออาร์กิวเมนต์มีค่าเป็นศูนย์:

ในเวลาเดียวกันฟังก์ชั่นดั้งเดิมจะต่อเนื่องที่ x \u003d 0 (ดูหัวข้อการตรวจสอบฟังก์ชั่นเพื่อความต่อเนื่อง):

ค้นหาค่าของการโต้แย้งที่อนุพันธ์หายไป:

เราทำเครื่องหมายคะแนนทั้งหมดที่ได้รับในบรรทัดจำนวนและกำหนดเครื่องหมายของอนุพันธ์ในแต่ละช่วงเวลา สำหรับสิ่งนี้เราคำนวณค่าของอนุพันธ์ที่จุดใด ๆ ของแต่ละช่วงเวลาตัวอย่างเช่นสำหรับ x \u003d -6, x \u003d -4, x \u003d -1, x \u003d 1, x \u003d 4, x \u003d 6.

นั่นคือ

ดังนั้นตามสัญญาณแรกของ Extremum จุดต่ำสุดคือ คะแนนสูงสุดคือ .

เราคำนวณฟังก์ชันขั้นต่ำที่สอดคล้องกัน

เราคำนวณฟังก์ชันสูงสุดที่สอดคล้องกัน

ภาพประกอบ

คำตอบคือ:

.

เครื่องหมายที่สองของ extremum ของฟังก์ชัน

อย่างที่คุณเห็นสัญญาณของความสุดโต่งของฟังก์ชันนี้ต้องการการมีอยู่ของอนุพันธ์อย่างน้อยสูงสุดถึงลำดับที่สอง ณ จุดหนึ่ง

ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

ฟังก์ชัน y = ฉ(x) เรียกว่าเพิ่มขึ้นในส่วน [ , ข] หากคะแนนคู่ใด ๆ x   และ x ", และ≤ x ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ(x) ≤ ฉ (x ") และเพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัด - หากความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) f(x ") การลดและลดการเข้มงวดของฟังก์ชั่นจะถูกกำหนดในลักษณะที่คล้ายกัน ตัวอย่างเช่นฟังก์ชั่น ที่ = x 2 (มะเดื่อ a) เพิ่มเซ็กเมนต์อย่างเข้มงวดและ

(มะเดื่อ , b) ลดเซ็กเมนต์นี้อย่างเคร่งครัด ฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นจะแสดงโดย ฉ (x) และลดลง ฉ (x) ↓ เพื่อให้ฟังก์ชั่น differentiable ฉ (x) เพิ่มขึ้นในส่วน [ และ, ข] มันเป็นสิ่งที่จำเป็นและเพียงพอที่อนุพันธ์ ฉ"(x) ไม่ใช่ค่าลบใน [ และ, ข].

พร้อมกับการเพิ่มและลดลงของฟังก์ชั่นในส่วนที่เพิ่มขึ้นและลดลงของฟังก์ชั่นที่จุดได้รับการพิจารณา ฟังก์ชัน ที่ = ฉ (x) เรียกว่าการเพิ่มที่จุด x   0 ถ้ามีช่วงเวลาดังกล่าว (α, β) ที่มีจุด x   0 สำหรับทุกจุด x   จาก (α, β) x\u003e x   0 ความไม่เท่าเทียม ฉ (x 0) ≤ ฉ (x) และสำหรับจุดใด ๆ x   จาก (α, β) x 0, ความไม่เท่าเทียมกัน ฉ (x) ≤ f (x   0) ในทำนองเดียวกันการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชั่นที่จุด x   0 ถ้า ฉ"(x 0) >   0 จากนั้นฟังก์ชั่น ฉ(x) เพิ่มขึ้นที่จุดอย่างเคร่งครัด x   0 ถ้า ฉ (x) เพิ่มขึ้นในแต่ละช่วงเวลา ( , ข) จากนั้นจะเพิ่มขึ้นในช่วงเวลานี้

  S. B. Stechkin

สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่ - ม.: สารานุกรมโซเวียต. 1969-1978 .

ดูสิ่งที่ "เพิ่มและลดฟังก์ชั่น" ในพจนานุกรมอื่น ๆ :

แนวคิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชัน f (x) เรียกว่าอัตราส่วนของจำนวนกลุ่มอายุที่แตกต่างกันของประชากรที่เพิ่มขึ้นในโครงสร้างอายุประชากรส่วน ขึ้นอยู่กับความอุดมสมบูรณ์และระดับการตายอายุขัยของผู้คน ... พจนานุกรมสารานุกรมขนาดใหญ่

แนวคิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ฟังก์ชั่น f (x) เรียกว่าเพิ่มขึ้นในส่วนถ้าคู่ใด ๆ ของจุด x1 และ x2, a≤x1 ... พจนานุกรมสารานุกรม

แนวคิดของคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์ ฟังก์ชั่น f (x) เรียกว่า เพิ่มขึ้นในส่วน [a, b] ถ้าสำหรับคู่ของคะแนน x1 และ x2 ใด ๆ และ<или=х1 <х<или=b, выполняется неравенство f(x1)ประวัติศาสตร์ธรรมชาติ พจนานุกรมสารานุกรม

สาขาคณิตศาสตร์ที่ศึกษาอนุพันธ์และอนุพันธ์ของฟังก์ชันและการประยุกต์เพื่อการศึกษาหน้าที่ ออกแบบ D. และ เป็นวินัยทางคณิตศาสตร์อิสระที่เกี่ยวข้องกับชื่อของ I. นิวตันและ G. Leibniz (ครึ่งหลังของ 17 ... สารานุกรมแห่งสหภาพโซเวียตผู้ยิ่งใหญ่

ส่วนของคณิตศาสตร์ที่ศึกษาเกี่ยวกับแนวคิดของอนุพันธ์และอนุพันธ์และวิธีการประยุกต์ใช้ในการศึกษาหน้าที่ D. การพัฒนาและ เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการพัฒนาแคลคูลัสหนึ่ง อย่างแยกไม่ออกและเนื้อหาของพวกเขา พวกเขาช่วยกันสร้างพื้นฐาน ... ... สารานุกรมคณิตศาสตร์

คำนี้มีความหมายอื่นดูฟังก์ชัน คำขอ "แสดงผล" ถูกเปลี่ยนเส้นทางที่นี่ ดูความหมายอื่นด้วย ... Wikipedia

อริสโตเติลและ peripatetics   - คำถามของอริสโตเติลชีวิตของอริสโตเติลอริสโตเติลเกิดในปี พ.ศ. 384/383 ก่อนคริสต์ศักราช อี ใน Stagira บนชายแดนกับมาซิโดเนีย พ่อของเขาคือนิโคโมนัสเป็นแพทย์ในการรับใช้ของมาซิโดเนียกษัตริย์อามินโตสพ่อของฟิลิป หนุ่มสาวอริสโตเติลกับครอบครัว ... ปรัชญาตะวันตกตั้งแต่กำเนิดจนถึงปัจจุบัน

  - (QCD), ทฤษฎีสนามควอนตัมของการกระทำที่แข็งแกร่งของควาร์กและกลูออนที่สร้างขึ้นในภาพของควอนตัม ไฟฟ้ากระแส (QED) ขึ้นอยู่กับ "สี" วัดความสมมาตร ซึ่งแตกต่างจาก QED, fermions ใน QCD มีส่วนประกอบ ระดับของควอนตัมอิสระ หมายเลข ... ... สารานุกรมทางกายภาพ

I Heart หัวใจ (lat. Cor, กรีก cardia) เป็นอวัยวะ fibro- กล้ามเนื้อกลวงซึ่งทำหน้าที่เป็นเครื่องสูบน้ำให้การเคลื่อนไหวของเลือดในระบบไหลเวียนเลือด กายวิภาคศาสตร์หัวใจอยู่ในเมดิแอสตินัมล่วงหน้า (Mediastinum) ในเยื่อหุ้มหัวใจระหว่าง ... สารานุกรมทางการแพทย์

ชีวิตของพืชเช่นเดียวกับสิ่งมีชีวิตอื่น ๆ คือกระบวนการที่เชื่อมโยงกันอย่างซับซ้อน ที่สำคัญที่สุดของพวกเขาเป็นที่รู้จักกันว่าจะเผาผลาญกับสิ่งแวดล้อม สภาพแวดล้อมเป็นแหล่งที่มาจากที่ ... ... สารานุกรมชีวภาพ

ฟังก์ชั่นสุดยอด

คำจำกัดความ 2

จุด $ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น $ f (x) $ หากมีละแวกใกล้เคียงของจุดนี้เช่นนั้นสำหรับ $ x $ ทั้งหมดจากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน $ f (x) \\ le f (x_0) $ ถือ

คำจำกัดความ 3

จุด $ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดสูงสุดของฟังก์ชั่น $ f (x) $ หากมีละแวกใกล้เคียงของจุดนี้เช่นนั้นสำหรับ $ x $ ทั้งหมดจากละแวกนี้ความไม่เท่าเทียมกัน $ f (x) \\ ge f (x_0) $ ถือ

แนวคิดของหน่วยสุดยอดของฟังก์ชั่นที่เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับแนวคิดของจุดวิกฤติของฟังก์ชั่น เราแนะนำความหมายของมัน

คำจำกัดความ 4

$ x_0 $ ถูกเรียกว่าจุดวิกฤติของฟังก์ชั่น $ f (x) $ ถ้า:

1) $ x_0 $ เป็นจุดภายในของโดเมนคำจำกัดความ

2) $ f "\\ left (x_0 \\ right) \u003d 0 $ หรือไม่มีอยู่

สำหรับแนวคิดของ extremum เราสามารถกำหนดทฤษฎีบทเกี่ยวกับเงื่อนไขที่เพียงพอและจำเป็นสำหรับการดำรงอยู่ของมัน

ทฤษฎีบท 2

สภาพที่เพียงพอสำหรับอาการปวดหัว

ปล่อยให้จุด $ x_0 $ มีความสำคัญสำหรับฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ และอยู่ในช่วง $ (a, b) $ สมมติว่าในแต่ละช่วง $ \\ left (a, x_0 \\ right) \\ และ \\ (x_0, b) $ the อนุพันธ์ $ f "(x) $ มีอยู่และคงเครื่องหมายคงที่จากนั้น:

1) ถ้าในช่วง $ (a, x_0) $ อนุพันธ์คือ $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ และในช่วง $ (x_0, b) $ อนุพันธ์คือ $ f" \\ left (x \\ right)

2) ถ้าในช่วง $ (a, x_0) $ อนุพันธ์คือ $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ดังนั้นจุด $ x_0 $ คือจุดต่ำสุดของฟังก์ชั่นนี้

3) ถ้าทั้งช่วง $ (a, x_0) $ และช่วง $ (x_0, b) $ อนุพันธ์ $ f "\\ left (x \\ right)\u003e 0 $ หรืออนุพันธ์ $ f" \\ left (x \\ right)

ทฤษฎีบทนี้มีภาพประกอบในรูปที่ 1

รูปที่ 1 เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับการดำรงอยู่ของ extrema

ตัวอย่างของสุดขั้ว (รูปที่ 2)

รูปที่ 2 ตัวอย่างของคะแนนมาก

  กฎของการวิจัยฟังก์ชั่นเกี่ยวกับ Extremum

2) ค้นหาอนุพันธ์ $ f "(x) $;

7) วาดข้อสรุปเกี่ยวกับการปรากฏตัวของ maxima และ minima ในแต่ละช่วงเวลาโดยใช้ทฤษฎีบท 2

  ฟังก์ชั่นการเพิ่มและลด

เราแนะนำสำหรับคำว่า starters คำจำกัดความของการเพิ่มและลดฟังก์ชั่น

นิยาม 5

ฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา $ X $ เรียกว่าเพิ่มขึ้นหากคะแนนใด ๆ $ x_1, x_2 \\ in X $ สำหรับ $ x_1

นิยาม 6

ฟังก์ชัน $ y \u003d f (x) $ ที่กำหนดไว้ในช่วงเวลา $ X $ เรียกว่าลดลงหากมีคะแนน $ x_1, x_2 \\ in X $ สำหรับ $ x_1f (x_2) $

  การตรวจสอบการทำงานของการเพิ่มและลด

คุณสามารถสำรวจฟังก์ชั่นของการเพิ่มและลดลงโดยใช้อนุพันธ์

ในการตรวจสอบฟังก์ชั่นสำหรับช่วงการเพิ่มและลดจำเป็นต้องทำสิ่งต่อไปนี้:

1) ค้นหาโดเมนของฟังก์ชัน $ f (x) $;

2) ค้นหาอนุพันธ์ $ f "(x) $;

3) ค้นหาคะแนนที่เท่าเทียมกัน $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $ ถือ;

4) ค้นหาจุดที่ $ f "(x) $ ไม่มีอยู่;

5) ทำเครื่องหมายบนเส้นพิกัดทุกจุดที่พบและโดเมนของฟังก์ชันนี้

6) กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ $ f "(x) $ ในแต่ละช่วงเวลา

7) เพื่อสรุป: ในช่วงเวลาที่ $ f "\\ left (x \\ right) 0 $ ฟังก์ชั่นเพิ่มขึ้น

  ตัวอย่างของงานเพื่อศึกษาหน้าที่ของการเพิ่มการลดและการปรากฏตัวของจุดที่รุนแรง

ตัวอย่างที่ 1

ตรวจสอบฟังก์ชันการเพิ่มและลดและการมีอยู่ของคะแนนสูงสุดและต่ำสุด: $ f (x) \u003d (2x) ^ 3-15x ^ 2 + 36x + 1 $

ตั้งแต่ 6 คะแนนแรกเหมือนกันเริ่มด้วยกันเลย

1) ขอบเขต - จำนวนจริงทั้งหมด

2) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 6x ^ 2-30x + 36 $;

3) $ f "\\ left (x \\ right) \u003d 0 $;

\ \ \

4) $ f "(x) $ มีอยู่ทุกจุดในโดเมนของการกำหนด;

5) ประสานงานสาย:

รูปที่ 3

6) กำหนดสัญลักษณ์ของอนุพันธ์ $ f "(x) $ ในแต่ละช่วงเวลา:

\ \}