ค้นหารากของสมการระดับที่ 4 สมการระดับที่สี่

ในกรณีทั่วไป การแก้สมการระดับที่ 4 จะดำเนินการโดยใช้วิธีการแก้สมการระดับที่สูงกว่า เช่น วิธีเฟอร์รารี หรือใช้แผนฮอร์เนอร์ แต่สมการระดับ 4 บางสมการมีวิธีแก้ที่ง่ายกว่า

สมการระดับที่ 4 มีหลายประเภทพิเศษ วิธีการแก้ที่คุณจะได้เรียนรู้ด้านล่าง:

• สมการกำลังสอง $ax^4+bx^2+c=0$;
• สมการกลับกันในรูปแบบ $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$;
• สมการที่อยู่ในรูปแบบ $ax^4+b=0$

การแก้สมการกำลังสองระดับที่สี่

สมการกำลังสอง $ax^4+bx^2+c=0$ จะลดลงเป็นสมการกำลังสองโดยการแทนที่ตัวแปร $x^2$ ด้วยตัวแปรใหม่ เช่น $y$ หลังจากการแทนที่ สมการผลลัพธ์ใหม่จะถูกแก้ไข จากนั้นค่าของตัวแปรที่พบจะถูกแทนที่ลงในสมการ $x^2=y$ ผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาจะเป็นรากของสมการ $x^2=y$

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการ $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$:

ลองขยายวงเล็บในพหุนาม:

$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$

ในรูปแบบนี้ จะเห็นได้ชัดว่าเราสามารถเลือกนิพจน์ $y=x^2-3x$ เป็นตัวแปรใหม่ได้

$y\cdot (y+2)=24$

ทีนี้ลองแก้สองกัน สมการกำลังสอง$x^2-3x=-4$ และ $x^2-3x=-6$.

รากของสมการแรกคือ $x_1(1,2)=4;-1$ ส่วนอันที่สองไม่มีคำตอบ

การแก้สมการส่วนกลับของระดับ 4

สมการเหล่านี้ในรูปแบบ $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ ทำซ้ำกับสัมประสิทธิ์ของพวกมันสำหรับเงื่อนไขที่มีลำดับต่ำกว่า สัมประสิทธิ์สำหรับพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า หากต้องการแก้สมการ ให้หารด้วย $x^2$ ก่อน:

$ขวาน^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$

$ขวาน^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$

$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$

จากนั้นแทนที่ $(x+\frac(1)(x))$ ด้วยตัวแปรใหม่ จากนั้น $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$ หลังจากการแทนที่เราจะได้ สมการกำลังสองต่อไปนี้:

$a(y^2-2)+โดย+c=0$

หลังจากนี้ เราจะหารากของสมการ $x+\frac(1)(x)=y_1$ และ $x+\frac(1)(x)=y_2$

วิธีการที่คล้ายกันนี้ใช้ในการแก้สมการส่วนกลับในรูปแบบ $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$

ตัวอย่างที่ 2

แก้สมการ:

$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$

สมการนี้เป็นสมการกลับกันซึ่งมีรูปแบบ $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ ดังนั้นเราจึงหารสมการทั้งหมดด้วย $x^2$:

$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$

$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$

ลองแทนที่นิพจน์ $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$

มาคำนวณรากกัน สมการที่กำหนดจะเท่ากับ $y_1=3$ และ $y_2=-\frac(7)(3)$

ดังนั้น ตอนนี้จึงจำเป็นต้องแก้สมการสองสมการ $x+\frac(2)(x)=3$ และ $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ ผลเฉลยของสมการแรกคือ $x_1=1, x_2=2$ สมการที่สองไม่มีราก

ดังนั้น รากของสมการดั้งเดิมคือ $x_1=1, x_2=2$

สมการที่อยู่ในรูปแบบ $ax^4+b=0$

รากของสมการประเภทนี้หาได้โดยใช้สูตรการคูณแบบย่อ

สารละลายเดการ์ต-ออยเลอร์

เมื่อทำการทดแทนเราจะได้สมการในรูปแบบต่อไปนี้ (เรียกว่า "ไม่สมบูรณ์"):

ย 4 + พีย 2 + ถามย + ร = 0 .

ราก ย 1 , ย 2 , ย 3 , ยสมการ 4 ดังกล่าวเท่ากับหนึ่งในนิพจน์ต่อไปนี้:

โดยการเลือกชุดอักขระในลักษณะที่เป็นไปตามความสัมพันธ์ต่อไปนี้:

,

และ z 1 , z 2 และ z 3 คือรากของสมการลูกบาศก์

ทางออกของเฟอร์รารี

บทความหลัก: วิธีการของเฟอร์รารี

ให้เราแสดงสมการระดับที่สี่ในรูปแบบ:

กx 4 + บีx 3 + คx 2 + ดีx + อี = 0,

วิธีแก้ปัญหาสามารถพบได้จากนิพจน์ต่อไปนี้:

ถ้า β = 0 กำลังแก้ คุณ 4 + แอลฟา คุณ 2 + γ = 0และทำการทดแทน เรามาค้นหารากกันดีกว่า: . , (สัญญาณใด ๆ รากที่สองจะทำ) (รากที่ซับซ้อนสามอันซึ่งหนึ่งในนั้นจะทำ) สอง ± s ต้องมีเครื่องหมายเหมือนกัน ± t - เป็นอิสระจากกัน เพื่อที่จะหารากทั้งหมด คุณต้องหา x สำหรับชุดค่าผสมที่มีเครื่องหมาย ± s ,± t = +,+ สำหรับ +,− สำหรับ −,+ สำหรับ −,− รากคู่จะปรากฏสองครั้ง รากสามสามครั้ง สามครั้ง และรากสี่ครั้งสี่ครั้ง ลำดับของรากขึ้นอยู่กับรากที่สาม คุณเลือกแล้ว

ดูเพิ่มเติม

• ประเภทของสมการระดับที่ 4 ที่แก้ไขได้ง่าย: สมการกำลังสอง, สมการซึ่งกันและกันของระดับที่สี่

วรรณกรรม

• Korn G., Korn T. (1974) คู่มือคณิตศาสตร์.

ลิงค์

• การตัดสินใจของเฟอร์รารี

มูลนิธิวิกิมีเดีย

2010.

ดูว่า "สมการระดับที่สี่" ในพจนานุกรมอื่น ๆ คืออะไร:สมการระดับที่สี่ - - [แอล.จี. ซูเมนโก พจนานุกรมภาษาอังกฤษเป็นภาษารัสเซียเกี่ยวกับเทคโนโลยีสารสนเทศ อ.: รัฐวิสาหกิจ TsNIIS, 2546.] หัวข้อต่างๆเทคโนโลยีสารสนเทศ ในสมการกำลังสี่ EN โดยทั่วไป …

คู่มือนักแปลด้านเทคนิค

กราฟของพหุนามดีกรีที่ 4 ที่มีราก 4 อันและจุดวิกฤต 3 จุด สมการระดับที่สี่ในคณิตศาสตร์คือสมการพีชคณิตของรูปแบบ: ระดับที่สี่สำหรับสมการพีชคณิตนั้นสูงที่สุดที่ ... ... Wikipedia

สมการของรูปแบบ: anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 เรียกว่า ส่วนกลับ ถ้าสัมประสิทธิ์ในตำแหน่งสมมาตรเท่ากัน นั่นคือ ถ้า − k = ak สำหรับ k = 0 1, ..., น. สารบัญ 1 สมการระดับที่สี่ ... Wikipedia คำต่างประเทศซึ่งมีการใช้ในภาษารัสเซีย Popov M. , 1907. สมการ BIQUADRATE จาก lat. ทวิ, สองครั้ง, และกำลังสอง, สี่เหลี่ยมจัตุรัส สมการที่มีดีกรีสูงสุด...... พจนานุกรมคำต่างประเทศในภาษารัสเซีย

เมื่อรวมกับเลขคณิตแล้ว ยังเป็นศาสตร์แห่งตัวเลขและปริมาณโดยทั่วไปอีกด้วย โดยไม่ต้องศึกษาคุณสมบัติของปริมาณที่เป็นรูปธรรมที่แน่นอน ทั้งสองศาสตร์นี้จะศึกษาคุณสมบัติของปริมาณนามธรรม โดยไม่คำนึงถึง... ... พจนานุกรมสารานุกรมเอฟ บร็อคเฮาส์ และ ไอ.เอ. เอฟรอน

ชุดความรู้ประยุกต์ที่ช่วยให้วิศวกรการบินสามารถศึกษาด้านอากาศพลศาสตร์ ปัญหาด้านความแข็งแกร่ง การสร้างเครื่องยนต์ และพลศาสตร์การบินของเครื่องบิน (เช่น ทฤษฎี) เพื่อสร้างองค์ความรู้ใหม่ อากาศยานหรือปรับปรุง...... สารานุกรมถ่านหิน

ที่เก่าแก่ที่สุด กิจกรรมทางคณิตศาสตร์มีบิลอยู่ จำเป็นต้องมีบัญชีเพื่อติดตามปศุสัตว์และทำการค้าขาย ชนเผ่าดึกดำบรรพ์บางเผ่านับจำนวนสิ่งของโดยจับคู่กับส่วนต่างๆ ของร่างกาย โดยหลักๆ... ... สารานุกรมถ่านหิน

ประวัติศาสตร์เทคโนโลยี ตามยุคสมัยและภูมิภาค: การปฏิวัติยุคหินใหม่เทคโนโลยีโบราณของอียิปต์ วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยีของอินเดียโบราณ วิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี จีนโบราณเทคโนโลยี กรีกโบราณเทคโนโลยี โรมโบราณเทคโนโลยีของโลกอิสลาม... ... Wikipedia

สมการคือความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่แสดงออกถึงความเท่าเทียมกันของนิพจน์พีชคณิตสองนิพจน์ หากความเท่าเทียมกันเป็นจริงสำหรับค่าที่ยอมรับได้ของสิ่งที่ไม่รู้จักที่รวมอยู่ในนั้น จะเรียกว่าตัวตน เช่น อัตราส่วนของแบบฟอร์ม... ... สารานุกรมถ่านหิน

ทฤษฎีบทของอาเบล รัฟฟินีกล่าวไว้ว่า สมการทั่วไปกำลังที่ไม่สามารถแก้ไขได้ในรูปอนุมูล สารบัญ 1 รายละเอียด... Wikipedia

เป้าหมาย:

1. จัดระบบและสรุปความรู้และทักษะในหัวข้อ: การแก้สมการระดับที่สามและสี่
2. เพิ่มพูนความรู้ของคุณโดยทำงานให้เสร็จสิ้น ซึ่งบางงานอาจไม่คุ้นเคยทั้งในรูปแบบหรือวิธีการแก้ปัญหา
3. สร้างความสนใจในคณิตศาสตร์ผ่านการศึกษาบทใหม่ๆ ของคณิตศาสตร์ บ่มเพาะวัฒนธรรมกราฟิกผ่านการสร้างกราฟของสมการ

ประเภทบทเรียน: รวมกัน

อุปกรณ์:โปรเจ็กเตอร์กราฟิก

ทัศนวิสัย:ตาราง "ทฤษฎีบทของ Viete"

ความคืบหน้าของบทเรียน

1. การนับช่องปาก

a) ค่าเศษของการหารพหุนาม p n (x) = a n x n + a n-1 x n-1 + ... + a 1 x 1 + a 0 ด้วยทวินาม x-a คืออะไร?

b) สมการกำลังสามสามารถมีรากได้กี่ราก?

c) เราจะแก้สมการขององศาที่สามและสี่ได้อย่างไร?

ง) ถ้า ข เลขคู่ในสมการกำลังสอง จะเท่ากับ D และ x 1;

2. ทำงานอิสระ(เป็นกลุ่ม)

เขียนสมการถ้าทราบราก (คำตอบของงานจะถูกเข้ารหัส) ใช้ "ทฤษฎีบทของ Vieta"

1 กลุ่ม

ราก: x 1 = 1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = 6

สร้างสมการ:

ข=1 -2-3+6=2; ข=-2

ค=-2-3+6+6-12-18= -23; ค= -23

ง=6-12+36-18=12; ง= -12

อี=1(-2)(-3)6=36

x 4 -2 x 3 - 23x 2 - 12 x + 36 = 0(สมการนี้ได้รับการแก้ไขโดยกลุ่ม 2 บนกระดาน)

สารละลาย - เรามองหารากทั้งหมดในกลุ่มตัวหารของเลข 36

р = ±1;±2;±3;±4;±6…

p 4 (1)=1-2-23-12+36=0 จำนวน 1 เป็นไปตามสมการ ดังนั้น =1 จึงเป็นรากของสมการ ตามแผนของฮอร์เนอร์

หน้า 3 (x) = x 3 - x 2 -24x -36

พี 3 (-2) = -8 -4 +48 -36 = 0, x 2 = -2

พี 2 (x) = x 2 -3x -18=0

x 3 =-3, x 4 =6

คำตอบ: 1;-2;-3;6 ผลรวมของราก 2 (P)

กลุ่มที่ 2

ราก: x 1 = -1; x 2 = x 3 =2; x 4 = 5

สร้างสมการ:

ข=-1+2+2+5-8; ข= -8

ค=2(-1)+4+10-2-5+10=15; ค=15

ส=-4-10+20-10= -4; ง=4

อี=2(-1)2*5=-20;อี=-20

8+15+4x-20=0 (กลุ่ม 3 แก้สมการนี้บนกระดาน)

р = ±1;±2;±4;±5;±10;±20

หน้า 4 (1)=1-8+15+4-20=-8

ร 4 (-1)=1+8+15-4-20=0

พี 3 (x) = x 3 -9x 2 +24x -20

พี 3 (2) = 8 -36+48 -20=0

หน้า 2 (x) = x 2 -7x +10 = 0 x 1 =2; x 2 = 5

คำตอบ: -1;2;2;5 ผลรวมของราก 8(P)

3 กลุ่ม

ราก: x 1 = -1; x 2 =1; x 3 = -2; x 4 = 3

สร้างสมการ:

В=-1+1-2+3=1;В=-1

с=-1+2-3-2+3-6=-7;с=-7

ส=2+6-3-6=-1; ง=1

อี=-1*1*(-2)*3=6

x 4 - x 3- 7x 2 + x + 6 = 0(กลุ่ม 4 แก้สมการนี้บนกระดานในภายหลัง)

สารละลาย. เรามองหารากทั้งหมดในกลุ่มตัวหารของเลข 6

ร = ±1;±2;±3;±6

หน้า 4 (1)=1-1-7+1+6=0

หน้า 3 (x) = x 3 - 7x -6

ร 3 (-1) = -1+7-6=0

หน้า 2 (x) = x 2 - x -6 = 0; x 1 = -2; x 2 = 3

คำตอบ: -1;1;-2;3 ผลรวมของราก 1(O)

4 กลุ่ม

ราก: x 1 = -2; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -3

สร้างสมการ:

ข=-2-2-3+3=-4; ข=4

ค=4+6-6+6-6-9=-5; ค=-5

ส=-12+12+18+18=36; ง=-36

อี=-2*(-2)*(-3)*3=-36;อี=-36

x4+4x 3 – 5x 2 – 36x -36 = 0(สมการนี้ได้รับการแก้ไขโดยกลุ่ม 5 บนกระดาน)

สารละลาย. เรามองหารากทั้งหมดระหว่างตัวหารของตัวเลข -36

ร = ±1;±2;±3…

พี(1)= 1 + 4-5-36-36 = -72

หน้า 4 (-2) = 16 -32 -20 + 72 -36 = 0

พี 3 (x) = x 3 +2x 2 -9x-18 = 0

หน้า 3 (-2) = -8 + 8 + 18-18 = 0

หน้า 2 (x) = x 2 -9 = 0; x=±3

คำตอบ: -2; -2; -3; 3 ผลรวมของราก-4 (F)

5 กลุ่ม

ราก: x 1 = -1; x 2 = -2; x 3 = -3; x 4 = -4

เขียนสมการ

x4+ 10x 3 + 35x 2 + 50x + 24 = 0(สมการนี้ได้รับการแก้ไขโดยกลุ่ม 6 บนกระดาน)

สารละลาย - เรามองหารากทั้งหมดในกลุ่มตัวหารของเลข 24

ร = ±1;±2;±3

หน้า 4 (-1) = 1 -10 + 35 -50 + 24 = 0

พี 3 (x) = x- 3 + 9x 2 + 26x+ 24 = 0

หน้า 3 (-2) = -8 + 36-52 + 24 = O

พี 2 (x) = x 2 + 7x+ 12 = 0

คำตอบ: -1;-2;-3;-4 ผลรวม-10 (I)

6 กลุ่ม

ราก: x 1 = 1; x 2 = 1; x 3 = -3; x 4 = 8

เขียนสมการ

บี=1+1-3+8=7;ข=-7

ค=1 -3+8-3+8-24= -13

ส=-3-24+8-24= -43; ง=43

x 4 - 7x 3- 13x 2 + 43x - 24 = 0 (สมการนี้ได้รับการแก้ไขโดยกลุ่ม 1 บนกระดาน)

สารละลาย - เรามองหารากทั้งหมดระหว่างตัวหารของตัวเลข -24

หน้า 4 (1)=1-7-13+43-24=0

หน้า 3 (1)=1-6-19+24=0

พี 2 (x)= x 2 -5x - 24 = 0

x 3 =-3, x 4 =8

คำตอบ: 1;1;-3;8 รวม 7 (L)

3. การแก้สมการด้วยพารามิเตอร์

1. แก้สมการ x 3 + 3x 2 + mx - 15 = 0; ถ้ารากใดรากหนึ่งมีค่าเท่ากับ (-1)

เขียนคำตอบตามลำดับจากน้อยไปหามาก

R=P 3 (-1)=-1+3-m-15=0

x 3 + 3x 2 -13x - 15 = 0; -1+3+13-15=0

ตามเงื่อนไข x 1 = - 1; ส=1+15=16

ป 2 (x) = x 2 +2x-15 = 0

x 2 = -1-4 = -5;

x 3 = -1 + 4 = 3;

คำตอบ: - 1; -5; 3

เรียงลำดับจากน้อยไปหามาก: -5;-1;3 (บี เอ็น ส)

2. ค้นหารากทั้งหมดของพหุนาม x 3 - 3x 2 + ax - 2a + 6 ถ้าเศษที่เหลือจากการหารเป็นทวินาม x-1 และ x +2 เท่ากัน

วิธีแก้: R=P 3 (1) = P 3 (-2)

P 3 (1) = 1-3 + ก- 2a + 6 = 4-a

พ 3 (-2) = -8-12-2a-2a + 6 = -14-4a

x 3 -Zx 2 -6x + 12 + 6 = x 3 -Zx 2 -6x + 18

x 2 (x-3)-6(x-3) = 0

(x-3)(x 2 -6) = 0

3) ก=0, x 2 -0*x 2 +0 = 0; x 2 =0; x 4 = 0

ก=0; x=0; x=1

ก>0; x=1; x=a ± √a

2. เขียนสมการ

1 กลุ่ม- ราก: -4; -2; 1; 7;

กลุ่มที่ 2- ราก: -3; -2; 1; 2;

3 กลุ่ม- ราก: -1; 2; 6; 10;

4 กลุ่ม- ราก: -3; 2; 2; 5;

5 กลุ่ม- ราก: -5; -2; 2; 4;

6 กลุ่ม- ราก: -8; -2; 6; 7.

2. สมการ หากความเท่าเทียมกันมีตัวอักษรรวมอยู่ด้วย ความเท่าเทียมกันจะเรียกว่าสมการ
สมการอาจเป็นจริงสำหรับค่าบางค่าของตัวอักษรนี้
และไม่ถูกต้องสำหรับความหมายอื่น

เช่น สมการ x + 6 = 7
จริงสำหรับ x = 1
และเท็จสำหรับ x = 2

3. สมการที่เท่ากัน สมการเชิงเส้นคือ ax + โดย + c = 0
ตัวอย่างเช่น: 5x – 4y + 6 = 0
มาแสดงออกกัน:
⇒ 4y = 5x + 6 ⇒ y =

5x+6

4

⇒ y = 1.25x + 1.5
สมการผลลัพธ์ที่เทียบเท่ากับสมการแรกจะมีรูปแบบ
y = kx + ม.
โดยที่: x - ตัวแปรอิสระ (อาร์กิวเมนต์);
y - ตัวแปรตาม (ฟังก์ชัน);
k และ m เป็นค่าสัมประสิทธิ์ (พารามิเตอร์)

4 สมการที่เท่ากัน

ทั้งสองสมการเรียกว่า เทียบเท่า (เทียบเท่า) ถ้าชุดของคำตอบทั้งหมดตรงกันหรือทั้งสองชุดไม่มีคำตอบและแสดงว่า

5/สมการของดีกรีแรก

สมการระดับแรกสามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

ขวาน+ข = 0,

ที่ไหน x- ตัวแปร, กและ ข– ตัวเลขบางตัว และ ก ≠ 0.

จากตรงนี้ ง่ายต่อการหาค่า x:

ข
x = – -
ก

นี่คือความหมาย xคือรากของสมการ

สมการของดีกรีแรกมีหนึ่งรูท

สมการของดีกรีที่สอง

สมการระดับที่สองสามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

ขวาน 2 + bx + c = 0,

ที่ไหน x- ตัวแปร, ก ข ค– ตัวเลขบางตัว และ ก ≠ 0.

จำนวนรากของสมการดีกรีที่สองขึ้นอยู่กับตัวแยกแยะ:

ถ้า D > 0 สมการจะมีสองราก

ถ้า D = 0 สมการจะมีหนึ่งราก

ถ้า D< 0, то уравнение корней не имеет.

สมการระดับที่สองสามารถมีรากได้ไม่เกินสองราก

(เกี่ยวกับความหมายของการแบ่งแยกและวิธีหารากของสมการ โปรดดูหัวข้อ “สูตรสำหรับรากของสมการกำลังสอง การแยกแยะ” และ “วิธีแก้สมการกำลังสองวิธีอื่น”)

สมการของดีกรีที่สาม

สมการระดับที่สามสามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

ขวาน 3 + บีเอ็กซ์ 2 + ซีเอ็กซ์ + ง = 0,

ที่ไหน x- ตัวแปร, ก, ข, ค, ง– ตัวเลขบางตัว และ ก ≠ 0.

สมการระดับที่สามสามารถมีรากได้ไม่เกินสามราก

สมการของดีกรีที่สี่

สมการระดับที่สี่สามารถลดลงได้ในรูปแบบ:

ขวาน 4 + บีเอ็กซ์ 3 + ซีเอ็กซ์ 2 + ดีเอ็กซ์ + อี = 0,

ที่ไหน x- ตัวแปร, ก, ข, ค, ง, อี– ตัวเลขบางตัว และ ก ≠ 0.

สมการระดับที่สามสามารถมีรากได้ไม่เกินสี่ราก

สรุป:

1) สมการที่ห้า, หก, ฯลฯ องศาสามารถหามาได้โดยง่ายโดยทำตามแผนภาพด้านบน

2) สมการ n- ปริญญาไม่มีอีกแล้ว nราก

6/สมการที่มีตัวแปรเดียวคือความเท่าเทียมกันที่มีตัวแปรเพียงตัวเดียว ราก (หรือคำตอบ) ของสมการคือค่าของตัวแปรที่ทำให้สมการกลายเป็นความเท่าเทียมกันเชิงตัวเลขที่แท้จริง

1. 8/-11/ระบบ สมการเชิงเส้น: แนวคิดพื้นฐานระบบสมการเชิงเส้น

ระบบสมการเชิงเส้นที่ไม่สอดคล้องกันและไม่แน่นอน เซตของสมการเชิงเส้น เซตของสมการเชิงเส้นที่สม่ำเสมอและไม่สอดคล้องกัน

ระบบสมการเชิงเส้นเป็นสหภาพของ nสมการเชิงเส้นซึ่งแต่ละสมการประกอบด้วย เคตัวแปร มันเขียนแบบนี้:

เมื่อต้องเผชิญพีชคณิตระดับสูงเป็นครั้งแรก หลายคนเชื่อผิดว่าจำนวนสมการจะต้องตรงกับจำนวนตัวแปรเสมอไป ในพีชคณิตของโรงเรียนสิ่งนี้มักจะเกิดขึ้น แต่สำหรับพีชคณิตที่สูงกว่านี้ พูดโดยทั่วไปแล้วไม่เป็นความจริง

การแก้ระบบสมการเป็นลำดับของตัวเลข ( เค 1 , เค 2 , ..., เคเอ็น) ซึ่งเป็นคำตอบของแต่ละสมการของระบบ กล่าวคือ เมื่อแทนลงในสมการนี้แทนตัวแปร x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์เอ็นให้ความเท่าเทียมกันของตัวเลขที่ถูกต้อง

ดังนั้น การแก้ระบบสมการหมายถึงการค้นหาเซตของคำตอบทั้งหมด หรือการพิสูจน์ว่าเซตนี้ว่างเปล่า เนื่องจากจำนวนสมการและจำนวนไม่ทราบค่าอาจไม่ตรงกัน จึงมีสามกรณีที่เป็นไปได้:

1. ระบบไม่สอดคล้องกัน เช่น ชุดโซลูชันทั้งหมดว่างเปล่า เพียงพอ กรณีที่หายากซึ่งค้นพบได้ง่ายไม่ว่าจะใช้วิธีใดในการแก้ปัญหาระบบก็ตาม

2. ระบบมีความสอดคล้องและกำหนดไว้ เช่น มีทางออกเดียวเท่านั้น รุ่นคลาสสิคที่รู้จักกันมาตั้งแต่สมัยเรียน

3. ระบบมีความสม่ำเสมอและไม่ได้กำหนดไว้ เช่น มีวิธีแก้ปัญหามากมายนับไม่ถ้วน นี่คือตัวเลือกที่ยากที่สุด ยังไม่เพียงพอที่จะบ่งชี้ว่า “ระบบมี ชุดอนันต์โซลูชัน” - จำเป็นต้องอธิบายว่าชุดนี้มีโครงสร้างอย่างไร

ตัวแปร x ฉันเรียกว่า ได้รับอนุญาตถ้ามันรวมอยู่ในสมการเดียวของระบบและมีค่าสัมประสิทธิ์ 1 กล่าวอีกนัยหนึ่งในสมการที่เหลือค่าสัมประสิทธิ์ของตัวแปร x ฉันจะต้องเท่ากับศูนย์

หากเราเลือกตัวแปรที่อนุญาตหนึ่งตัวในแต่ละสมการ เราจะได้ชุดของตัวแปรที่อนุญาตสำหรับทั้งระบบสมการ ระบบที่เขียนในรูปแบบนี้เองก็จะถูกเรียกว่าได้รับการแก้ไขแล้ว โดยทั่วไปแล้ว ระบบดั้งเดิมหนึ่งระบบเดียวกันสามารถลดลงเป็นระบบที่ได้รับอนุญาตต่างกันได้ แต่ตอนนี้เราไม่ได้กังวลเกี่ยวกับเรื่องนี้ นี่คือตัวอย่างของระบบที่ได้รับอนุญาต:

ทั้งสองระบบได้รับการแก้ไขด้วยตัวแปร x 1 , x 3 และ x 4. อย่างไรก็ตาม ด้วยความสำเร็จเดียวกัน จึงสามารถโต้แย้งได้ว่าระบบที่สองได้รับอนุญาตค่อนข้างมาก x 1 , x 3 และ x 5. ก็เพียงพอแล้วที่จะเขียนสมการสุดท้ายในรูปแบบใหม่ x 5 = x 4 .

ทีนี้ลองพิจารณากรณีทั่วไปมากกว่านี้ ขอให้เรามีทุกสิ่ง เคตัวแปรต่างๆ ซึ่ง รได้รับอนุญาต เป็นไปได้สองกรณี:

1. จำนวนตัวแปรที่อนุญาต รเท่ากับจำนวนตัวแปรทั้งหมด เค: ร = เค- เราได้รับระบบจาก เคสมการซึ่ง ร = เคตัวแปรที่อนุญาต ระบบดังกล่าวมีความเชื่อมโยงและแน่นอนเพราะว่า x 1 = ข 1 , x 2 = ข 2 , ..., เอ็กซ์เค = ข;

2. จำนวนตัวแปรที่อนุญาต รน้อยกว่าจำนวนตัวแปรทั้งหมด เค: ร < เค- ส่วนที่เหลือ ( เค − ร) ตัวแปรเรียกว่าอิสระ - สามารถรับค่าใดก็ได้ ซึ่งสามารถคำนวณตัวแปรที่อนุญาตได้อย่างง่ายดาย

ดังนั้นในระบบข้างต้นจะมีตัวแปรต่างๆ x 2 , x 5 , x 6 (สำหรับระบบแรก) และ x 2 , x 5 (สำหรับวินาที) ฟรี กรณีที่มีตัวแปรอิสระจะถูกกำหนดเป็นทฤษฎีบทได้ดีกว่า:

โปรดทราบ: นี่เป็นเรื่องมาก จุดสำคัญ- ขึ้นอยู่กับวิธีที่คุณเขียนระบบผลลัพธ์ ตัวแปรเดียวกันสามารถอนุญาตหรือว่างก็ได้ อาจารย์ผู้สอนส่วนใหญ่ คณิตศาสตร์ที่สูงขึ้นขอแนะนำให้เขียนตัวแปรตามลำดับพจนานุกรม เช่น ดัชนีจากน้อยไปมาก อย่างไรก็ตาม คุณไม่จำเป็นต้องปฏิบัติตามคำแนะนำนี้

ทฤษฎีบท. หากระบบมาจาก nตัวแปรสมการ x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์อาร์- ได้รับอนุญาต และ เอ็กซ์อาร์ + 1 , เอ็กซ์อาร์ + 2 , ..., เอ็กซ์เค- ฟรี จากนั้น:

1. หากคุณตั้งค่าตัวแปรอิสระ ( เอ็กซ์อาร์ + 1 = ทีอาร์ + 1 , เอ็กซ์อาร์ + 2 = ทีอาร์ + 2 , ..., เอ็กซ์เค = ตกลง) แล้วหาค่าต่างๆ x 1 , x 2 , ..., เอ็กซ์อาร์, เราได้คำตอบมาข้อหนึ่ง

2. หากในสองวิธีแก้ปัญหาค่าของตัวแปรอิสระตรงกันค่าของตัวแปรที่อนุญาตก็ตรงกันเช่นกันเช่น โซลูชั่นมีความเท่าเทียมกัน

ความหมายของทฤษฎีบทนี้คืออะไร? เพื่อให้ได้คำตอบทั้งหมดสำหรับระบบสมการที่แก้แล้ว การแยกตัวแปรอิสระก็เพียงพอแล้ว จากนั้นจึงกำหนดให้กับตัวแปรอิสระ ความหมายที่แตกต่างกันเราก็จะได้รับโซลูชั่นสำเร็จรูป นั่นคือทั้งหมด - ด้วยวิธีนี้คุณจะได้รับโซลูชันทั้งหมดของระบบ ไม่มีวิธีแก้ปัญหาอื่น ๆ

สรุป: ระบบสมการที่แก้แล้วมีความสอดคล้องกันเสมอ หากจำนวนสมการในระบบที่ได้รับการแก้ไขเท่ากับจำนวนตัวแปร ระบบจะมีค่าแน่นอน หากน้อยกว่าก็จะไม่มีกำหนด

มีหลายสมการเกิดขึ้น เซตของสมการ

2. 12,13/ อสมการเชิงเส้น./ อสมการที่เข้มงวดและไม่เข้มงวดคืออะไร ความไม่เท่าเทียมกัน?ใช้สมการใดๆ เครื่องหมาย "=" ("เท่ากับ") จะถูกแทนที่ด้วยเครื่องหมายอื่น ( > ;≥ ; < ; ≤ ; ≠ ) และได้รับความไม่เท่าเทียมกัน) สมการสามารถเป็นอะไรก็ได้: เชิงเส้น, กำลังสอง, เศษส่วน, เลขชี้กำลัง, ตรีโกณมิติ, ลอการิทึม ฯลฯ ฯลฯ ดังนั้น อสมการของเราจะเป็นเชิงเส้น สมการกำลังสอง ฯลฯ

สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับไอคอนความไม่เท่าเทียมกัน? ความไม่เท่าเทียมกันกับไอคอน มากกว่า (> ), หรือ น้อย (< ) ถูกเรียก เข้มงวด.ด้วยไอคอน มากกว่าหรือเท่ากับ (≥ ), น้อยกว่าหรือเท่ากับ (≤ ) ถูกเรียก ไม่เข้มงวดไอคอน ไม่เท่ากัน (≠ ) โดดเด่น แต่คุณยังต้องแก้ตัวอย่างด้วยไอคอนนี้ตลอดเวลา แล้วเราจะตัดสินใจ)

ตัวไอคอนเองไม่ได้มีอิทธิพลต่อกระบวนการแก้ไขปัญหามากนัก แต่เมื่อสิ้นสุดการตัดสินใจเมื่อเลือกคำตอบสุดท้ายความหมายของไอคอนก็ปรากฏขึ้น เต็มกำลัง- นี่คือสิ่งที่เราจะเห็นด้านล่างในตัวอย่าง มีเรื่องตลกอยู่บ้าง...

ความไม่เท่าเทียมกันเช่นเดียวกับความเท่าเทียมกันมีอยู่ ซื่อสัตย์และไม่ซื่อสัตย์ทุกอย่างเรียบง่ายที่นี่ไม่มีลูกเล่น สมมุติว่า 5 > 2 คืออสมการที่แท้จริง 5 < 2 - ไม่ถูกต้อง

ความไม่เท่าเทียมกันเชิงเส้น กำลังสอง เศษส่วน เลขชี้กำลัง ตรีโกณมิติ และอสมการอื่น ๆ ได้รับการแก้ไขด้วยวิธีที่ต่างกัน แต่ละประเภทมีวิธีการของตัวเอง เทคนิคพิเศษของตัวเอง แต่! สามารถใช้เทคนิคพิเศษทั้งหมดนี้ได้ เฉพาะความไม่เท่าเทียมกันมาตรฐานบางประเภทเท่านั้นเหล่านั้น. ความไม่เท่าเทียมกันใดๆ จะต้องมาก่อน เตรียมตัวเพื่อใช้วิธีการของคุณ

3. 14,16/คุณสมบัติพื้นฐานของอสมการ/- การกระทำที่มีความไม่เท่ากันสองประการ

1) ถ้า

2) คุณสมบัติของการขนส่ง ถ้า

3) หากคุณบวกจำนวนเดียวกันทั้งสองด้านของอสมการจริง คุณจะได้อสมการจริง กล่าวคือ ถ้า

4) ถ้าเราถ่ายโอนคำศัพท์ใดๆ จากส่วนหนึ่งของความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริงไปยังอีกส่วนหนึ่ง โดยเปลี่ยนเครื่องหมายไปในทางตรงกันข้าม เราก็จะได้รับความไม่เท่าเทียมกันที่แท้จริง เช่น ถ้า

5) ถ้าทั้งสองด้านของอสมการจริงคูณด้วยค่าเดียวกัน จำนวนบวกแล้วอสมการจะเป็นจริง ตัวอย่างเช่น ถ้า

6) ถ้าทั้งสองด้านของอสมการจริงคูณด้วยจำนวนลบเท่ากัน และ เปลี่ยนสัญญาณความไม่เท่าเทียมกันในทางตรงกันข้าม ผลลัพธ์ที่ได้คือความไม่เท่าเทียมกันอย่างแท้จริง ตัวอย่างเช่น ถ้า

7) เช่นเดียวกับกฎข้อ 5) และ 6) ให้ใช้กฎสำหรับการหารด้วยตัวเลขเดียวกัน ถ้า

สำหรับสมการระดับที่ 4 ทั้งหมดนี้ใช้ได้ แผนการทั่วไปการแก้สมการระดับที่สูงกว่าซึ่งเราตรวจสอบในเนื้อหาก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตาม มีความแตกต่างหลายประการในการแก้สมการทวินาม ไบควอดราติก และสมการซึ่งกันและกัน ซึ่งเราต้องการจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติม

นอกจากนี้ในบทความเราจะวิเคราะห์วิธีการประดิษฐ์ในการแยกตัวประกอบพหุนาม การแก้อนุมูล และวิธีการเฟอร์รารี ซึ่งใช้ในการลดการแก้สมการระดับที่สี่ให้เป็นสมการกำลังสาม

การแก้สมการทวินามของระดับที่ 4

นี่คือสมการระดับที่สี่ประเภทที่ง่ายที่สุด สมการเขียนเป็น A x 4 + B = 0

คำจำกัดความ 1

ในการแก้สมการประเภทนี้ จะใช้สูตรการคูณแบบย่อ:

A x 4 + B = 0 x 4 + B A = 0 x 4 + 2 B A x 2 + B A - 2 B A x 2 = 0 x 2 + B A 2 - 2 B A x 2 = 0 x 2 - 2 B A 4 x + B A x 2 + 2 B A 4 x + B A = 0

สิ่งที่เหลืออยู่คือการหารากของตรีโกณมิติกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 1

แก้สมการระดับที่สี่ 4 x 4 + 1 = 0

สารละลาย

ก่อนอื่น ลองแยกตัวประกอบพหุนาม 4 x 4 + 1:

4 x 4 + 1 = 4 x 4 + 4 x 2 + 1 = (2 x 2 + 1) 2 - 4 x 2 = 2 x 2 - 2 x + 1 (2 x 2 + 2 x + 1)

ทีนี้ลองหารากของตรีโกณมิติกำลังสองกัน

2 x 2 - 2 x + 1 = 0 D = (- 2) 2 - 4 2 1 = - 4 x 1 = 2 + D 2 2 = 1 2 + i x 2 = 2 - D 2 2 = 1 2 - i

2 x 2 + 2 x + 1 = 0 D = 2 2 - 4 2 1 = - 4 x 3 = - 2 + D 2 2 = - 1 2 + i x 4 = - 2 - D 2 2 = - 1 2 - i

เราได้รากที่ซับซ้อนสี่อัน

คำตอบ: x = 1 2 ± ฉัน และ x = - 1 2 ± ฉัน .

คำตอบของสมการที่เกิดซ้ำของระดับที่สี่

คำจำกัดความ 2

สมการซึ่งกันและกันลำดับที่สี่คือ A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0

x = 0ไม่ใช่รากของสมการนี้: A · 0 4 + B · 0 3 + C · 0 2 + B · 0 + A = A ≠ 0 ดังนั้นเราจึงสามารถหารทั้งสองข้างของสมการนี้ได้อย่างปลอดภัยด้วย x 2:

A x 4 + B x 3 + C x 2 + B x + A = 0 A x 2 + B x + C + B x + A x 2 = 0 A x 2 + A x 2 + B x + B x + C = 0 ก x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0

ลองเปลี่ยนตัวแปร x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2:

A x 2 + 1 x 2 + B x + 1 x + C = 0 A (y 2 - 2) + B y + C = 0 A Y 2 + B Y + C - 2 A = 0

ดังนั้นเราจึงลดสมการส่วนกลับของระดับที่สี่ให้เป็นสมการกำลังสอง

ตัวอย่างที่ 2

ค้นหารากที่ซับซ้อนทั้งหมดของสมการ 2 x 4 + 2 3 + 2 x 3 + 4 + 6 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 = 0

สารละลาย

ความสมมาตรของสัมประสิทธิ์บอกเราว่าเรากำลังเผชิญกับสมการซึ่งกันและกันของระดับที่สี่ ลองหารทั้งสองข้างด้วย x 2:

2 x 2 + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + 2 3 + 2 x + 2 x 2 = 0

มาจัดกลุ่มกัน:

2 x 2 + 2 x 2 + 2 3 + 2 x + 2 3 + 2 x + 4 + 6 + = 0 2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0

ลองแทนที่ตัวแปร x + 1 x = y ⇒ x + 1 x 2 = y 2 ⇒ x 2 + 1 x 2 = y 2 - 2

2 x 2 + 1 x 2 + 2 3 + 2 x + 1 x + 4 + 6 = 0 2 ปี 2 - 2 + 2 3 + 2 ปี + 4 + 6 = 0 2 ปี 2 + 2 3 + 2 ปี + 6 = 0

ลองแก้สมการกำลังสองที่ได้:

ง = 2 3 + 2 2 - 4 2 6 = 12 + 4 6 + 2 - 8 6 = = 12 - 4 6 + 2 = 2 3 - 2 2 ปี 1 = - 2 3 - 2 + D 2 2 = - 2 3 - 2 + 2 3 - 2 4 = - 2 2 ปี 2 = - 2 3 - 2 - ง 2 2 = - 2 3 - 2 - 2 3 + 2 4 = - 3

กลับไปที่การแทนที่: x + 1 x = - 2 2 , x + 1 x = - 3 .

มาแก้สมการแรกกัน:

x + 1 x = - 2 2 ⇒ 2 x 2 + 2 x + 2 = 0 D = 2 2 - 4 2 2 = - 14 x 1 = - 2 - D 2 2 = - 2 4 + i 14 4 x 2 = - 2 - ง 2 2 = - 2 4 - ผม 14 4

มาแก้สมการที่สองกัน:

x + 1 x = - 3 ⇒ x 2 + 3 x + 1 = 0 D = 3 2 - 4 1 1 = - 1 x 3 = - 3 + D 2 = - 3 2 + i 1 2 x 4 = - 3 - ง 2 = - 3 2 - ผม 1 2

คำตอบ: x = - 2 4 ± ผม · 14 4 และ x = - 3 2 ± ผม · 1 2 .

การแก้สมการกำลังสอง

สมการกำลังสองของระดับที่สี่มีรูปแบบ A x 4 + B x 2 + C = 0 เราสามารถลดสมการดังกล่าวให้เป็นสมการกำลังสอง A y 2 + B y + C = 0 ได้โดยการแทนที่ y = x 2 นี่เป็นเทคนิคมาตรฐาน

ตัวอย่างที่ 3

แก้สมการกำลังสอง 2 x 4 + 5 x 2 - 3 = 0

สารละลาย

ลองแทนที่ตัวแปร y = x 2 ซึ่งจะทำให้เราสามารถลดสมการดั้งเดิมให้เป็นสมการกำลังสองได้:

2 ปี 2 + 5 ปี - 3 = 0 D = 5 2 - 4 2 (- 3) = 49 ปี 1 = - 5 + D 2 2 = - 5 + 7 4 = 1 2 ปี 2 = - 5 - D 2 2 = - 5 - 7 4 = - 3

ดังนั้น x 2 = 1 2 หรือ x 2 = - 3

ความเท่าเทียมกันแรกช่วยให้เราได้รูท x = ± 1 2 . ความเท่าเทียมกันประการที่สองไม่มีรากที่แท้จริง แต่มีรากคอนจูเกตที่ซับซ้อน x = ± i · 3

คำตอบ: x = ± 1 2 และ x = ± i · 3 .

ตัวอย่างที่ 4

ค้นหารากที่ซับซ้อนทั้งหมดของสมการกำลังสอง 16 x 4 + 145 x 2 + 9 = 0

สารละลาย

เราใช้วิธีแทนที่ y = x 2 เพื่อลดสมการกำลังสองดั้งเดิมให้เหลือกำลังสอง:

16 ปี 2 + 145 ปี + 9 = 0 D = 145 2 - 4 16 9 = 20449 ปี 1 = - 145 + D 2 16 = - 145 + 143 32 = - 1 16 ปี 2 = - 145 - D 2 · 16 = - 145 - 143 32 = - 9

ดังนั้น เนื่องจากการเปลี่ยนแปลงของตัวแปร x 2 = - 1 16 หรือ x 2 = - 9

คำตอบ: x 1, 2 = ± 1 4 · ฉัน, x 3, 4 = ± 3 · ฉัน

การแก้สมการขั้นที่ 4 ด้วยรากตรรกยะ

อัลกอริธึมสำหรับการค้นหารากตรรกยะของสมการระดับที่สี่มีอยู่ในเนื้อหา "การแก้สมการระดับที่สูงกว่า"

การแก้สมการระดับที่ 4 โดยใช้วิธีเฟอร์รารี

สมการควอเทอร์นารีในรูปแบบ x 4 + A x 3 + B x 2 + C x + D = 0 โดยทั่วไปสามารถแก้ไขได้โดยใช้วิธีเฟอร์รารี เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องหา y 0 นี่คือรากใดๆ ของสมการลูกบาศก์ y 3 - B y 2 + A C - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 หลังจากนี้มีความจำเป็นต้องแก้สมการกำลังสอง x 2 + A 2 x + y 0 2 + A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 y 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0, ซึ่งมีการแสดงออกที่รุนแรงคือกำลังสองสมบูรณ์

รากที่ได้รับระหว่างการคำนวณจะเป็นรากของสมการระดับที่สี่ดั้งเดิม

ตัวอย่างที่ 5

ค้นหารากของสมการ x 4 + 3 x 3 + 3 x 2 - x - 6 = 0

สารละลาย

เรามี A = 3, B = 3, C = - 1, D = - 6 ให้เราใช้วิธีเฟอร์รารีเพื่อแก้สมการนี้

มาเขียนและแก้สมการลูกบาศก์กันดีกว่า:
y 3 - B y 2 + AC - 4 D y - A 2 D + 4 B D - C 2 = 0 y 3 - 3 y 2 + 21 y - 19 = 0

รากหนึ่งของสมการลูกบาศก์จะเป็น y 0 = 1 เนื่องจาก 1 3 - 3 · 1 2 + 21 · 1 - 19 = 0

ลองเขียนสมการกำลังสองสองสมการ:
x 2 + A 2 x + y 0 2 ± A 2 4 - B + y 0 x 2 + A 2 ปี 0 - C x + y 0 2 4 - D = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 4 x 2 + 5 2 x + 25 4 = 0 x 2 + 3 2 x + 1 2 ± 1 2 x + 5 2 2 = 0

x 2 + 3 2 x + 1 2 + 1 2 x + 5 2 = 0 หรือ x 2 + 3 2 x + 1 2 - 1 2 x - 5 2 = 0

x 2 + 2 x + 3 = 0 หรือ x 2 + x - 2 = 0

รากของสมการแรกจะเป็น x = - 1 ± i · 2 รากของสมการที่สองคือ x = 1 และ x = - 2

คำตอบ: x 1, 2 = - 1 ± i 2, x 3 = 1, x 4 = - 2

หากคุณสังเกตเห็นข้อผิดพลาดในข้อความ โปรดไฮไลต์แล้วกด Ctrl+Enter