ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ในรูปแบบ เวกเตอร์

เรขาคณิตวิเคราะห์

		สัปดาห์ของการจัดงาน	คะแนนโมดูลเป็นคะแนน
		การควบคุมโมดูล
			สูงสุด		ขั้นต่ำ
ภาคเรียนที่ 1
DZ หมายเลข 1 ตอนที่ 1
DZ หมายเลข 1 ตอนที่ 2
ควบคุมโดยโมดูลหมายเลข 1
คะแนนรางวัล
ควบคุมโดยโมดูลหมายเลข 2
คะแนนรางวัล

มาตรการควบคุมและระยะเวลาในการดำเนินการ โมดูลที่ 1

1. DZ No. 1 ตอนที่ 1 “พีชคณิตเวกเตอร์” กำหนดเวลาออก 2 สัปดาห์ วันครบกำหนด - 7 สัปดาห์

2. DZ No. 1 ตอนที่ 2 “เส้นตรงและระนาบ”

ระยะเวลาการออกคือ 1 สัปดาห์ วันครบกำหนดคือ 9 สัปดาห์

3. ทดสอบโมดูลหมายเลข 1 (RC หมายเลข 1) “พีชคณิตเวกเตอร์ เส้นและระนาบ” ระยะเวลา: 10 สัปดาห์

1. DZ No. 2 “ส่วนโค้งและพื้นผิวลำดับที่ 2" เวลาออก 6 สัปดาห์ วันครบกำหนด - 13 สัปดาห์

5. ทดสอบ "ส่วนโค้งและพื้นผิว"ลำดับที่ 2” ระยะเวลา: 14 สัปดาห์

6. การควบคุมโมดูลหมายเลข 2 (RC หมายเลข 2) “เมทริกซ์และระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น”

ระยะเวลา: 16 สัปดาห์

งานทั่วไปที่ใช้ในการสร้างตัวเลือกการควบคุมปัจจุบัน

1. การบ้านหมายเลข 1. “พีชคณิตเวกเตอร์และเรขาคณิตวิเคราะห์”

ให้ไว้: คะแนน A (0;3;2) , B (1;4;2) , D (0;1;2) ,			เอ(1;2;0); หมายเลข 30,				ข 1 ; มุม
1. ค้นหาความยาวของเวกเตอร์ |		n | , ถ้า			พี อค ,	ไม่มี bp ถาม	และ p, q เป็นหน่วยหนึ่ง

เวกเตอร์ที่มีมุมเท่ากัน

2. ค้นหาพิกัดของจุด M ที่หารเวกเตอร์ AB ในอัตราส่วน a:1

3. ตรวจสอบว่าเป็นไปได้กับเวกเตอร์ AB และ AD สร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนาน ถ้าใช่ ให้หาความยาวของด้านของสี่เหลี่ยมด้านขนาน

4. ค้นหามุมระหว่างเส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

5. หาพื้นที่สี่เหลี่ยมด้านขนาน ABCD

6. ตรวจสอบให้แน่ใจว่าบนเวกเตอร์ AB, AD, AA 1 คุณสามารถสร้างเส้นขนานได้ จงหาปริมาตรของเส้นขนานนี้และความยาวของส่วนสูง

7. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์ AH กำกับตามความสูงของ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ที่ขนานกันซึ่งลากจากจุด A ไปยังระนาบฐาน A 1 B 1 C 1 D 1

พิกัดของจุด H และพิกัดของเวกเตอร์หน่วยที่ตรงกันในทิศทางกับเวกเตอร์ AH

8. ค้นหาการสลายตัวของเวกเตอร์ AH โดยเวกเตอร์ AB, AD, AA 1

9. ค้นหาเส้นโครงของเวกเตอร์ AH ถึงเวกเตอร์ AA 1

10. เขียนสมการของระนาบ: a) P ผ่านจุด A, B, D;

b) P1 ผ่านจุด A และเส้น A1 B1;

c) P2 ที่ผ่านจุด A1 ขนานกับระนาบ P; d) P3 มีเส้นตรง AD และ AA1;

e) P4 ผ่านจุด A และ C1 ตั้งฉากกับระนาบ P

11. ค้นหาระยะห่างระหว่างเส้นตรงที่ขอบ AB และ CC อยู่ 1 ; เขียนสมการบัญญัติและพาราเมตริกของสมการตั้งฉากทั่วไป

12. หาจุด A 2 สมมาตรกับจุด A1 สัมพันธ์กับระนาบของฐาน

13. ค้นหามุมระหว่างเส้นตรงที่เส้นทแยงมุม A อยู่ 1 C และระนาบฐาน ABCD

14. หามุมแหลมระหว่างระนาบ ABC 1 D (ระนาบ P) และ ABB1 A1 (ระนาบ P1)

2. การบ้าน #2. “ส่วนโค้งและพื้นผิวลำดับที่สอง”

ในปัญหาที่ 1–2 ให้นำสมการที่กำหนดของเส้นลำดับที่สองมาเป็นรูปแบบมาตรฐานและสร้างเส้นโค้งในระบบพิกัด OXY

ใน ปัญหาที่ 3 โดยใช้ข้อมูลที่ให้มา ค้นหาสมการของเส้นโค้งในระบบพิกัด OXY สำหรับงานต่างๆ 1–3 ระบุ:

1) รูปแบบมาตรฐานของสมการเส้นตรง

2) การแปลงการแปลแบบขนานที่นำไปสู่รูปแบบที่เป็นที่ยอมรับ

3) ในกรณีของวงรี: ครึ่งแกน ความเยื้องศูนย์กลาง จุดศูนย์กลาง จุดโฟกัส ระยะห่างจากจุด C ถึงจุดโฟกัส ในกรณีของไฮเพอร์โบลา: ครึ่งแกน ความเยื้องศูนย์ จุดศูนย์กลาง จุดยอด จุดโฟกัส ระยะทางจากจุด C ถึงจุดโฟกัส สมการของเส้นกำกับ ในกรณีของพาราโบลา ได้แก่ พารามิเตอร์ จุดยอด โฟกัส สมการไดเร็กทริกซ์ ระยะทางจากจุด C ถึงโฟกัส และไดเร็กทริกซ์

4) สำหรับจุด C ให้ตรวจสอบคุณสมบัติที่กำหนดลักษณะของเส้นโค้งประเภทนี้ให้เป็นจุดตำแหน่งของจุด

ใน ปัญหาที่ 4 ระบุถึงการแปลงการแปลแบบขนานที่นำสมการพื้นผิวที่กำหนดมาเป็นรูปแบบมาตรฐาน รูปแบบมาตรฐานของสมการพื้นผิว และประเภทของพื้นผิว สร้างพื้นผิวในระบบพิกัดมาตรฐาน OXYZ

	5x 2 ปี 2 20x 2y 4 , C (0;1				2) 5x 2 4ปี 2 20x 8ปี 64 , C (12;14) .
		5) ;
	พาราโบลามีความสมมาตรเทียบกับเส้นตรง y 1 0 และมีจุดโฟกัส							; 1 ,
	ตัดแกน OX ที่จุด C				- 0 และกิ่งก้านของมันอยู่ในระนาบครึ่งระนาบ	x 0 .
	4y 2 z 2 8y 4z 1 0 .

ทดสอบโมดูลหมายเลข 1 “พีชคณิตเวกเตอร์ เรขาคณิตวิเคราะห์”

1. เวกเตอร์สามเท่าทางขวาและซ้าย คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ กำหนดคุณสมบัติของผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์ หาสูตรสำหรับคำนวณผลคูณเวกเตอร์ของเวกเตอร์สองตัวที่ระบุโดยพิกัดของเวกเตอร์ในลักษณะออร์โธนอร์มอล

เวกเตอร์

ฉัน

นาที

1, ม., น

อาจจะ,

การสลายตัวของเวกเตอร์

ค 3 ฉัน

12 จ 6k

เวกเตอร์

3 เจ 2 เค และ ข 2 ฉัน 3 เจ 4 เค

เขียนสมการของระนาบ

ผ่านจุด M 1 5, 1, 4,

ม. 2 2, 3,1 และ

ตั้งฉากกับเครื่องบิน

6x 5y 4z 1 0. เขียนสมการมาตรฐาน

เส้นตรงที่ผ่านจุด M 0 0, 2,1 และตั้งฉากกับระนาบที่พบ

ทดสอบ "ส่วนโค้งและพื้นผิวของลำดับที่สอง"

1. คำจำกัดความของวงรีในฐานะตำแหน่งของจุดทางเรขาคณิต ที่มาของสมการบัญญัติของวงรีในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม พารามิเตอร์พื้นฐานของเส้นโค้ง

2. สมการพื้นผิว x 2 4y 2 z 2 8x 4y 6z 17 0 นำไปสู่รูปแบบบัญญัติ

จิตใจ. วาดภาพในระบบพิกัดมาตรฐาน ระบุชื่อของพื้นผิวนี้

3. เขียนสมการสำหรับไฮเปอร์โบลาที่มีจุดเท่ากัน หากทราบจุดศูนย์กลางของมัน O 1 1, 1 และหนึ่งในจุดโฟกัส F 1 3, 1 ของมัน วาดรูป.

ทดสอบโมดูลหมายเลข 2 “ส่วนโค้งและพื้นผิวของลำดับที่สอง เมทริกซ์และระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น"

1. ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) รูปแบบของการบันทึก SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน การพิสูจน์เกณฑ์สำหรับการมีอยู่ของสารละลายที่ไม่ใช่ศูนย์ของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน

2. แก้สมการเมทริกซ์ AX B,

ทำการตรวจสอบ

3. ก) แก้ SLAE b) ค้นหาระบบพื้นฐานปกติของการแก้ปัญหาของระบบเนื้อเดียวกันที่สอดคล้องกันซึ่งเป็นวิธีแก้ปัญหาเฉพาะของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน เขียนวิธีแก้ปัญหาทั่วไปของระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันนี้ผ่านพวกเขา:

x 1 2 x 2 3 x 3 4 x 4 4 x 2 x 3 x 4 3

x 1 3 x 2 3 x 4 1

7 x 2 3 x 3 x 4 3

คำถามเพื่อเตรียมสอบโมดูล การทดสอบ การทดสอบ และการสอบ

1. เวกเตอร์เรขาคณิต เวกเตอร์ฟรี. คำจำกัดความของเวกเตอร์คอลลิเนียร์และโคพลานาร์ การดำเนินการเชิงเส้นของเวกเตอร์และคุณสมบัติของเวกเตอร์

2. การหาค่าการพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของเวกเตอร์ การพิสูจน์เงื่อนไขการพึ่งพาเชิงเส้นเวกเตอร์ 2 และ 3

3. นิยามของพื้นฐานในปริภูมิเวกเตอร์วี 1, วี 2, วี 3 การพิสูจน์ทฤษฎีบทเกี่ยวกับการมีอยู่และเอกลักษณ์ของการขยายตัวของเวกเตอร์เทียบกับพื้นฐาน การดำเนินการเชิงเส้นบนเวกเตอร์ที่ระบุโดยพิกัดในพื้นฐาน

4. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ของเวกเตอร์ การเชื่อมต่อกับเส้นโครงมุมฉากของเวกเตอร์บนแกน คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์สเกลาร์ การพิสูจน์ ที่มาของสูตรในการคำนวณผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ในลักษณะออร์โธนอร์มอล

5. คำจำกัดความของพื้นฐานออร์โธนอร์มอล ความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดของเวกเตอร์ในลักษณะออร์โธนอร์มอลและการฉายภาพมุมฉากบนเวกเตอร์ของพื้นฐานนี้ การหาสูตรสำหรับคำนวณความยาวของเวกเตอร์ โคไซน์ทิศทาง และมุมระหว่างเวกเตอร์สองตัวในลักษณะออร์โธนอร์มอล

6. เวกเตอร์สามเท่าทางขวาและซ้าย คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ของเวกเตอร์ ความหมายทางกลและเรขาคณิต คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์เวกเตอร์ (ไม่มีเอกสาร). ที่มาของสูตรในการคำนวณผลคูณเวกเตอร์ในลักษณะออร์โธนอร์มอล

7. คำจำกัดความของผลิตภัณฑ์ผสมของเวกเตอร์ ปริมาตรของทรงขนานและปริมาตรของปิรามิด สร้างขึ้นจากเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ระนาบเดียวกัน เงื่อนไขสำหรับ coplanarity ของเวกเตอร์สามตัว คุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ผสม ที่มาของสูตรสำหรับการคำนวณผลิตภัณฑ์ผสมในลักษณะออร์โธนอร์มอล

8. คำจำกัดความของระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยม การแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์

9. สมการประเภทต่างๆ ของเส้นตรงบนระนาบ: เวกเตอร์ พาราเมตริก และบัญญัติ เวกเตอร์ทิศทางเป็นเส้นตรง

10. ได้มาซึ่งสมการของเส้นตรงที่ผ่านจุดที่กำหนดสองจุด

11. ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมบนระนาบ สมการระดับแรกจะกำหนดเส้นตรง การหาเวกเตอร์ตั้งฉากของเส้นตรง

12. สมการที่มีค่าสัมประสิทธิ์เชิงมุม สมการของเส้นตรงในส่วนต่างๆ ความหมายทางเรขาคณิตของพารามิเตอร์ที่รวมอยู่ในสมการ มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้น เงื่อนไขความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น กำหนดโดยสมการทั่วไปหรือสมการบัญญัติ

13. ที่มาของสูตรสำหรับระยะทางจากจุดถึงเส้นบนระนาบ

14. ข้อพิสูจน์ทฤษฎีบทว่าในระบบพิกัดคาร์ทีเซียนสี่เหลี่ยมในอวกาศ สมการระดับแรกจะกำหนดระนาบ สมการทั่วไปของระนาบ การหาเวกเตอร์ตั้งฉากของเครื่องบิน ได้มาซึ่งสมการของระนาบที่ผ่านจุดที่กำหนดสามจุด สมการของระนาบ "ในส่วน"

15. มุมระหว่างระนาบ เงื่อนไขความขนานและการตั้งฉากของระนาบทั้งสอง

16. ที่มาของสูตรระยะทางจากจุดหนึ่งถึงระนาบ

17. สมการทั่วไปของเส้นตรงในปริภูมิ ที่มาของสมการเวกเตอร์ สมการบัญญัติ และพาราเมตริกของเส้นตรงในปริภูมิ

18. มุมระหว่างเส้นตรงสองเส้นในอวกาศ สภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงสองเส้น เงื่อนไขให้เส้นตรงสองเส้นอยู่ในระนาบเดียวกัน

19. มุมระหว่างเส้นตรงกับระนาบ สภาวะความขนานและความตั้งฉากของเส้นตรงกับระนาบ เงื่อนไขของเส้นตรงให้อยู่ในระนาบที่กำหนด

20. ปัญหาการหาระยะห่างระหว่างเส้นตัดขวางหรือเส้นขนาน

21. คำจำกัดความของวงรีในฐานะตำแหน่งของจุดทางเรขาคณิต ที่มาของสมการบัญญัติของวงรี

22. นิยามของไฮเปอร์โบลาในฐานะตำแหน่งของจุด ที่มาของสมการไฮเปอร์โบลาแบบบัญญัติ

23. นิยามของพาราโบลาในฐานะตำแหน่งของจุด ที่มาของสมการพาราโบลามาตรฐาน

24. ความหมายของพื้นผิวทรงกระบอก สมการ Canonical ของพื้นผิวทรงกระบอกลำดับที่ 2.

25. แนวคิดพื้นผิวแห่งการปฏิวัติ สมการ Canonical ของพื้นผิวที่เกิดจากการหมุนของวงรี ไฮเปอร์โบลา และพาราโบลา

26. สมการ Canonical ของทรงรีและกรวย ศึกษารูปทรงของพื้นผิวเหล่านี้โดยวิธีส่วนต่างๆ

27. สมการ Canonical ของไฮเปอร์โบลอยด์ ศึกษารูปร่างของไฮเปอร์โบลอยด์โดยวิธีส่วนต่างๆ

28. สมการ Canonical ของพาราโบลอยด์ ศึกษารูปร่างของพาราโบลาลอยด์โดยวิธีส่วนต่างๆ

29. แนวคิดของเมทริกซ์ ประเภทของเมทริกซ์ ความเท่าเทียมกันของเมทริกซ์ การดำเนินการเชิงเส้นของเมทริกซ์และคุณสมบัติของเมทริกซ์ การย้ายเมทริกซ์

30. การคูณเมทริกซ์ คุณสมบัติของการดำเนินการคูณเมทริกซ์

31. ความหมายของเมทริกซ์ผกผัน พิสูจน์เอกลักษณ์ของเมทริกซ์ผกผัน การพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องเมทริกซ์ผกผันของผลคูณของเมทริกซ์กลับด้านสองตัว

32. เกณฑ์สำหรับการมีอยู่ของเมทริกซ์ผกผัน แนวคิดของเมทริกซ์ประชิด การเชื่อมต่อกับเมทริกซ์ผกผัน

33. ที่มาของสูตรแครมเมอร์สำหรับการแก้ระบบสมการเชิงเส้นที่มีเมทริกซ์จตุรัสที่ไม่เป็นเอกพจน์

34. การพึ่งพาเชิงเส้นและความเป็นอิสระเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์) ของเมทริกซ์ การพิสูจน์เกณฑ์สำหรับการพึ่งพาเชิงเส้นของแถว (คอลัมน์)

35. คำจำกัดความของเมทริกซ์ไมเนอร์ พื้นฐานรอง. ทฤษฎีบทบนพื้นฐานรอง (ไม่มี doqua) ข้อพิสูจน์ของข้อพิสูจน์สำหรับเมทริกซ์จตุรัส

36. วิธีการกำหนดขอบเขตผู้เยาว์ในการค้นหาอันดับของเมทริกซ์

37. การแปลงเบื้องต้นของแถวเมทริกซ์ (คอลัมน์) การค้นหาเมทริกซ์ผกผันโดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

38. ทฤษฎีบทเกี่ยวกับค่าคงที่ของอันดับของเมทริกซ์ภายใต้การแปลงเบื้องต้น การค้นหาอันดับของเมทริกซ์โดยใช้วิธีการแปลงเบื้องต้น

39. ระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) SLAE การบันทึกรูปแบบต่างๆ SLAE ร่วมกันและเข้ากันไม่ได้ การพิสูจน์เกณฑ์ Kronecker-Kapell สำหรับความเข้ากันได้ของ SLAE

40. ระบบเอกพันธ์ของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) คุณสมบัติของโซลูชั่นของพวกเขา

41. การกำหนดระบบพื้นฐานของการแก้ปัญหา (FSS) ของระบบสมการพีชคณิตเชิงเส้นที่เป็นเนื้อเดียวกัน (SLAE) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของ SLAE ที่เป็นเนื้อเดียวกัน การก่อสร้าง FSR

42. ระบบที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันของสมการพีชคณิตเชิงเส้น (SLAE) การพิสูจน์ทฤษฎีบทเรื่องโครงสร้างของคำตอบทั่วไปของ SLAE ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกัน

เหตุการณ์การควบคุม	จำนวนงาน	คะแนนสำหรับงาน
DZ หมายเลข 1 ตอนที่ 1
คะแนนที่ได้รับ
เหตุการณ์การควบคุม	จำนวนงาน	คะแนนสำหรับงาน
DZ หมายเลข 1 ตอนที่ 2
คะแนนที่ได้รับ

เหตุการณ์การควบคุม				จำนวนงาน			คะแนนสำหรับงาน
ควบคุมโดยโมดูลหมายเลข 1				1 ทฤษฎีและ 3 ปัญหา			ทฤษฎี – 0; 3; 6
							งาน - 0; 1; 2
			คะแนนที่ได้รับ
เหตุการณ์การควบคุม				จำนวนงาน			คะแนนสำหรับงาน
	คะแนนที่ได้รับ
เหตุการณ์การควบคุม				จำนวนงาน			คะแนนสำหรับงาน
				1 ทฤษฎีและ 3 ปัญหา			ทฤษฎี – 0; 3; 6
							งาน - 0; 1; 2
			คะแนนที่ได้รับ
						01 ทฤษฎีและ 3 ปัญหา			ทฤษฎี – 0; 3; 6
		งาน - 0; 1; 2
			คะแนนที่ได้รับ

กฎเกณฑ์การให้คะแนนในนิตยสาร

1. จุดสำหรับการควบคุมระยะไกล คะแนนสำหรับการมอบหมายงานจะออกในสัปดาห์ถัดไปหลังจากวันครบกำหนดตามตารางที่เกี่ยวข้อง นักเรียนมีสิทธิส่งงานแต่ละชิ้นเพื่อตรวจสอบก่อนกำหนดและแก้ไขข้อผิดพลาดที่ครูระบุไว้ พร้อมทั้งรับคำแนะนำที่จำเป็น หากภายในกำหนดเวลาสุดท้ายในการส่งงานนักเรียนนำวิธีแก้ไขปัญหาไปเป็นเวอร์ชันที่ถูกต้องเขาจะได้รับคะแนนสูงสุดสำหรับงานนี้ หลังจากกำหนดเวลาส่งงานแล้ว นักเรียนที่คะแนนไม่ถึงขั้นต่ำของงานก็สามารถทำงานที่ได้รับมอบหมายต่อไปได้ ในกรณีนี้ ในกรณีที่ทำงานสำเร็จ นักเรียนจะได้รับคะแนนขั้นต่ำสำหรับงานที่ได้รับมอบหมาย

2. คะแนนสำหรับซีดี หากนักเรียนไม่บรรลุคะแนนขั้นต่ำสำหรับซีดีตรงเวลาในระหว่างภาคการศึกษาเขาสามารถเขียนงานนี้ใหม่ได้สองครั้ง หากผลลัพธ์เป็นบวก (คะแนนไม่น้อยกว่าขั้นต่ำที่กำหนด) นักเรียนจะได้รับคะแนนขั้นต่ำสำหรับ CR

3. คะแนนสำหรับ "การควบคุมแบบโมดูลาร์"ในฐานะ "การควบคุมโมดูล" มีการเสนองานเขียนซึ่งประกอบด้วยส่วนทางทฤษฎีและภาคปฏิบัติ แต่ละส่วนของการควบคุมโมดูลได้รับการประเมินแยกกัน นักเรียนที่ได้เกรดไม่ต่ำกว่าขั้นต่ำในการทดสอบส่วนใดส่วนหนึ่งถือว่าผ่านส่วนนี้และได้รับการยกเว้นไม่ต้องสำเร็จในอนาคต ขึ้นอยู่กับดุลยพินิจของครู การสัมภาษณ์อาจดำเนินการในส่วนทางทฤษฎีของงานที่มอบหมาย หากนักเรียนไม่บรรลุผลสำเร็จขั้นต่ำที่กำหนดไว้สำหรับแต่ละส่วนของงาน ในระหว่างภาคเรียน เขาจะพยายามสองครั้งในแต่ละส่วนเพื่อแก้ไขสถานการณ์ ด้วยการคิดบวก

เป็นผลให้ (ชุดคะแนนไม่น้อยกว่าขั้นต่ำที่กำหนด) นักเรียนจะได้รับคะแนนขั้นต่ำสำหรับ "การควบคุมโมดูล"

4. เกรดโมดูลหากนักเรียนได้ทำกิจกรรมการควบคุมปัจจุบันทั้งหมดของโมดูลแล้ว (ได้คะแนนอย่างน้อยคะแนนขั้นต่ำที่กำหนด)

ดังนั้นเกรดของโมดูลคือผลรวมของคะแนนสำหรับกิจกรรมการควบคุมทั้งหมดของโมดูล (ในกรณีนี้ นักเรียนจะให้คะแนนอย่างน้อยตามเกณฑ์ขั้นต่ำโดยอัตโนมัติ) คะแนนสุดท้ายของโมดูลจะถูกบันทึกไว้ในสมุดบันทึกหลังจากกิจกรรมการควบคุมทั้งหมดเสร็จสิ้นแล้ว

5. คะแนนรวม ผลรวมคะแนนสำหรับสองโมดูล

6. การประเมินผล การรับรองขั้นสุดท้าย (การสอบ, การทดสอบแยกความแตกต่าง, การทดสอบ) จะดำเนินการตามผลงานในภาคการศึกษาหลังจากที่นักเรียนทำงานด้านการศึกษาตามจำนวนที่วางแผนไว้และได้รับเกรดสำหรับแต่ละโมดูลที่ไม่ต่ำกว่าขั้นต่ำที่กำหนด ผลรวมคะแนนสูงสุดสำหรับทุกโมดูล รวมถึงคะแนนสำหรับความขยันคือ 100 คะแนน ขั้นต่ำคือ 60 คะแนนรวมของคะแนนสำหรับทุกโมดูลจะสร้างคะแนนการให้คะแนนสำหรับวินัยสำหรับภาคการศึกษา นักเรียนที่ผ่านกิจกรรมการควบคุมทั้งหมดจะได้รับเกรดสุดท้ายในสาขาวิชาของภาคการศึกษาตามระดับ:

		คะแนนสอบ	การประเมินการทดสอบ
		อันดับที่แตกต่าง
		อย่างน่าพอใจ
		ไม่น่าพอใจ

คุณสามารถเพิ่มคะแนนของคุณและดังนั้นเกรดการสอบของคุณในการสอบปลายภาค (งานเขียนเกี่ยวกับเนื้อหาของวินัยโดยรวมที่ดำเนินการในระหว่างช่วงการสอบ) คะแนนสูงสุดคือ 30 ขั้นต่ำคือ 16 คะแนนเหล่านี้จะถูกรวมเข้ากับคะแนนที่ได้รับจากทุกโมดูลในสาขาวิชา ขณะเดียวกันหากต้องการเพิ่มเกรดเป็น "ดี" ในการสอบ นักเรียนจะต้องได้คะแนนอย่างน้อย 21 คะแนน จนถึง "ดีเยี่ยม" ─ อย่างน้อย 26 คะแนน สำหรับสาขาวิชาเฉพาะที่ให้เครดิตในสาขาวิชานั้น คะแนนจะไม่เพิ่มขึ้น นักเรียนที่มีคะแนนในช่วง 0-59 ในช่วงเริ่มต้นของภาคการสอบจะได้รับคะแนนขั้นต่ำที่กำหนดเพื่อรับเกรดบวกในสาขาวิชาโดยการนำมาตรการควบคุมที่ไม่เคยผ่านมาก่อนในแต่ละโมดูลกลับมาใช้ใหม่ ขณะเดียวกันนักเรียนที่ไม่มีเหตุผลที่ดีอาจได้รับเกรดไม่สูงกว่า "น่าพอใจ" ในที่สุด (เมื่อสิ้นสุดภาคสอบ)

เรียกว่าแกนแอบซิสซาและแกนพิกัด พิกัด เวกเตอร์. พิกัดเวกเตอร์มักจะระบุอยู่ในแบบฟอร์ม (x, ย)และเวกเตอร์เองเป็น: =(x, y)

สูตรหาพิกัดเวกเตอร์สำหรับปัญหาสองมิติ

ในกรณีของปัญหาสองมิติ เวกเตอร์ที่ทราบ พิกัดของจุด ก(x 1; ปี 1)และ บี(x 2 ; ย 2 ) สามารถคำนวณได้:

= (x 2 - x 1; และ 2 - ปี 1)

สูตรหาพิกัดเวกเตอร์สำหรับปัญหาเชิงพื้นที่

ในกรณีที่เกิดปัญหาเชิงพื้นที่เวกเตอร์ที่ทราบ พิกัดของจุดก (x 1; และ 1;z 1 ) และบี (x 2 ; ย 2 ; z 2 ) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร:

= (x 2 - x 1 ; ย 2 - ย 1 ; z 2 - z 1 ).

พิกัดให้คำอธิบายที่ครอบคลุมของเวกเตอร์ เนื่องจากเป็นไปได้ที่จะสร้างเวกเตอร์เองโดยใช้พิกัด เมื่อทราบพิกัดแล้วจึงง่ายต่อการคำนวณและ ความยาวเวกเตอร์- (ทรัพย์สิน 3 ด้านล่าง)

คุณสมบัติของพิกัดเวกเตอร์

1. อะไรก็ได้ เวกเตอร์ที่เท่ากันในระบบพิกัดเดียวได้ พิกัดที่เท่ากัน.

2. พิกัด เวกเตอร์คอลลิเนียร์สัดส่วน โดยมีเงื่อนไขว่าไม่มีเวกเตอร์ตัวใดเป็นศูนย์

3. กำลังสองของความยาวของเวกเตอร์ใดๆ เท่ากับผลรวมของกำลังสองของเวกเตอร์นั้น พิกัด.

4.ระหว่างการผ่าตัด การคูณเวกเตอร์บน จำนวนจริงแต่ละพิกัดของมันจะถูกคูณด้วยจำนวนนี้

5. เมื่อบวกเวกเตอร์ เราจะคำนวณผลรวมของค่าที่เกี่ยวข้อง พิกัดเวกเตอร์.

6. สินค้าดอทเวกเตอร์สองตัวเท่ากับผลรวมของผลคูณของพิกัดที่สอดคล้องกัน

ในที่สุดฉันก็ได้หัวข้อที่กว้างใหญ่และรอคอยมานาน เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์- ก่อนอื่น เล็กน้อยเกี่ยวกับคณิตศาสตร์ชั้นสูงในส่วนนี้... ตอนนี้คุณจำหลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนที่มีทฤษฎีบทมากมาย การพิสูจน์ ภาพวาด ฯลฯ ได้อย่างแน่นอน สิ่งที่ต้องซ่อน วิชาที่ไม่มีใครรักและมักจะคลุมเครือสำหรับนักเรียนในสัดส่วนที่มีนัยสำคัญ เรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ที่น่าแปลกก็คืออาจดูน่าสนใจและเข้าถึงได้ง่ายกว่า คำว่า “วิเคราะห์” มีความหมายว่าอย่างไร? วลีทางคณิตศาสตร์ที่ซ้ำซากจำเจสองวลีเข้ามาในใจทันที: "วิธีการแก้ปัญหาแบบกราฟิก" และ "วิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์" วิธีการแบบกราฟิกแน่นอนว่าเกี่ยวข้องกับการสร้างกราฟและภาพวาด เชิงวิเคราะห์เดียวกัน วิธีเกี่ยวข้องกับการแก้ปัญหา ส่วนใหญ่ผ่านการดำเนินการเกี่ยวกับพีชคณิต ในเรื่องนี้อัลกอริทึมสำหรับการแก้ปัญหาเกือบทั้งหมดของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นง่ายและโปร่งใส บ่อยครั้งที่การใช้สูตรที่จำเป็นอย่างระมัดระวังก็เพียงพอแล้ว - และคำตอบก็พร้อมแล้ว! ไม่ แน่นอน เราจะไม่สามารถทำได้หากไม่มีภาพวาดเลย และนอกจากนี้ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นในเนื้อหา ฉันจะพยายามอ้างอิงสิ่งเหล่านี้โดยไม่จำเป็น

บทเรียนที่เพิ่งเปิดใหม่เกี่ยวกับเรขาคณิตไม่ได้อ้างว่าเสร็จสมบูรณ์ทางทฤษฎี แต่มุ่งเน้นไปที่การแก้ปัญหาเชิงปฏิบัติ ฉันจะรวมเฉพาะสิ่งที่สำคัญในทางปฏิบัติเท่านั้นในการบรรยายของฉัน หากคุณต้องการความช่วยเหลือที่สมบูรณ์เพิ่มเติมในส่วนย่อยใด ๆ ฉันขอแนะนำวรรณกรรมที่เข้าถึงได้ง่ายต่อไปนี้:

1) เรื่องที่คนหลายชั่วอายุคนคุ้นเคยกันดี: หนังสือเรียนเรื่องเรขาคณิตของโรงเรียน, ผู้เขียน – แอล.เอส. Atanasyan และบริษัท- ไม้แขวนเสื้อห้องล็อกเกอร์ของโรงเรียนนี้พิมพ์ซ้ำไปแล้ว 20 (!) ครั้ง ซึ่งแน่นอนว่าไม่ใช่ขีดจำกัด

2) เรขาคณิตใน 2 เล่ม- ผู้เขียน แอล.เอส. อตานาเซียน, บาซีเลฟ วี.ที.- นี่คือวรรณกรรมสำหรับโรงเรียนมัธยมปลาย คุณจะต้องมี เล่มแรก- งานที่ไม่ค่อยพบบ่อยอาจหลุดลอยไปจากสายตาของฉัน และบทช่วยสอนจะเป็นประโยชน์อันล้ำค่า

สามารถดาวน์โหลดหนังสือทั้งสองเล่มได้ฟรีทางออนไลน์ นอกจากนี้ คุณสามารถใช้ไฟล์เก็บถาวรของฉันกับโซลูชันสำเร็จรูปซึ่งสามารถพบได้ในหน้านี้ ดาวน์โหลดตัวอย่างในวิชาคณิตศาสตร์ชั้นสูง.

ในบรรดาเครื่องมือต่างๆ ฉันขอเสนอการพัฒนาของตัวเองอีกครั้ง - แพคเกจซอฟต์แวร์ในเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ ซึ่งจะทำให้ชีวิตง่ายขึ้นอย่างมาก และประหยัดเวลาได้มาก

สันนิษฐานว่าผู้อ่านคุ้นเคยกับแนวคิดและตัวเลขทางเรขาคณิตขั้นพื้นฐาน: จุด เส้น ระนาบ สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมด้านขนาน สี่เหลี่ยมด้านขนาน ลูกบาศก์ ฯลฯ ขอแนะนำให้จำทฤษฎีบทบางทฤษฎีอย่างน้อยก็ทฤษฎีบทพีทาโกรัสสวัสดีผู้ทำซ้ำ)

และตอนนี้เราจะพิจารณาตามลำดับ: แนวคิดของเวกเตอร์, การกระทำกับเวกเตอร์, พิกัดเวกเตอร์ ฉันแนะนำให้อ่านเพิ่มเติม บทความที่สำคัญที่สุด ผลคูณดอทของเวกเตอร์และยัง เวกเตอร์และผลคูณของเวกเตอร์- งานในท้องถิ่น - การแบ่งส่วนในส่วนนี้ - จะไม่ฟุ่มเฟือยเช่นกัน จากข้อมูลข้างต้น คุณสามารถเชี่ยวชาญได้ สมการของเส้นตรงในระนาบกับ ตัวอย่างวิธีแก้ปัญหาที่ง่ายที่สุดซึ่งจะช่วยให้ เรียนรู้การแก้ปัญหาเรขาคณิต- บทความต่อไปนี้มีประโยชน์เช่นกัน: สมการของเครื่องบินในอวกาศ, สมการของเส้นตรงในอวกาศ,ปัญหาเบื้องต้นเกี่ยวกับเส้นตรงและระนาบ, ส่วนอื่นๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์ โดยปกติแล้ว งานมาตรฐานจะได้รับการพิจารณาไปพร้อมกัน

แนวคิดเรื่องเวกเตอร์ เวกเตอร์ฟรี

ก่อนอื่น เรามาทวนคำจำกัดความของเวกเตอร์แบบโรงเรียนกันก่อน เวกเตอร์เรียกว่า กำกับส่วนที่ระบุจุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุด:

ในกรณีนี้ จุดเริ่มต้นของส่วนคือจุด จุดสิ้นสุดของส่วนคือจุด เวกเตอร์นั้นเขียนแทนด้วย ทิศทางเป็นสิ่งสำคัญ ถ้าคุณเลื่อนลูกศรไปที่ปลายอีกด้านของเซ็กเมนต์ คุณจะได้เวกเตอร์ และมันก็เป็นเช่นนั้นแล้ว เวกเตอร์ที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง- สะดวกในการระบุแนวคิดของเวกเตอร์ด้วยการเคลื่อนไหวของร่างกาย: คุณต้องยอมรับว่าการเข้าประตูสถาบันหรือการออกจากประตูสถาบันเป็นสิ่งที่แตกต่างอย่างสิ้นเชิง

สะดวกในการพิจารณาแต่ละจุดของเครื่องบินหรือพื้นที่ตามที่เรียกว่า เวกเตอร์เป็นศูนย์- สำหรับเวกเตอร์ดังกล่าว จุดสิ้นสุดและจุดเริ่มต้นตรงกัน

- บันทึก: ที่นี่และต่อไป คุณสามารถสรุปได้ว่าเวกเตอร์อยู่ในระนาบเดียวกันหรือคุณสามารถสันนิษฐานได้ว่าเวกเตอร์นั้นอยู่ในอวกาศ - สาระสำคัญของวัสดุที่นำเสนอนั้นใช้ได้กับทั้งระนาบและอวกาศ

การกำหนด:หลายคนสังเกตเห็นแท่งไม้นั้นทันทีโดยไม่มีลูกศรอยู่ในชื่อ และบอกว่ามีลูกศรอยู่ด้านบนด้วย! จริงอยู่คุณสามารถเขียนด้วยลูกศร: แต่ก็เป็นไปได้เช่นกัน รายการที่ฉันจะใช้ในอนาคต- ทำไม เห็นได้ชัดว่านิสัยนี้พัฒนาขึ้นด้วยเหตุผลในทางปฏิบัติ เพราะนักกีฬาของฉันที่โรงเรียนและมหาวิทยาลัยกลายเป็นคนที่มีขนาดแตกต่างกันเกินไปและมีขนดก ในวรรณกรรมเพื่อการศึกษา บางครั้งพวกเขาไม่สนใจการเขียนอักษรรูปลิ่มเลย แต่เน้นตัวอักษรด้วยตัวหนา: ซึ่งหมายความว่านี่คือเวกเตอร์

นั่นคือโวหาร และตอนนี้เกี่ยวกับวิธีการเขียนเวกเตอร์:

1) เวกเตอร์สามารถเขียนด้วยอักษรละตินตัวพิมพ์ใหญ่สองตัว:
และอื่น ๆ ในกรณีนี้คืออักษรตัวแรก จำเป็นหมายถึงจุดเริ่มต้นของเวกเตอร์ และตัวอักษรตัวที่สองหมายถึงจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์

2) เวกเตอร์เขียนด้วยตัวอักษรละตินตัวเล็ก:
โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เวกเตอร์ของเราสามารถกำหนดใหม่ให้สั้นลงได้ด้วยอักษรละตินตัวเล็ก

ความยาวหรือ โมดูลเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์เรียกว่าความยาวของเซ็กเมนต์ ความยาวของเวกเตอร์ศูนย์คือศูนย์ ตรรกะ

ความยาวของเวกเตอร์แสดงด้วยเครื่องหมายโมดูลัส: ,

เราจะเรียนรู้วิธีค้นหาความยาวของเวกเตอร์ (หรือเราจะทำซ้ำ ขึ้นอยู่กับว่าใคร) ในภายหลัง

นี่เป็นข้อมูลพื้นฐานเกี่ยวกับเวกเตอร์ที่เด็กนักเรียนทุกคนคุ้นเคย ในเรขาคณิตวิเคราะห์ที่เรียกว่า เวกเตอร์ฟรี.

พูดง่ายๆ ก็คือ - เวกเตอร์สามารถพล็อตได้จากจุดใดก็ได้:

เราคุ้นเคยกับการเรียกเวกเตอร์ดังกล่าวว่าเท่ากัน (คำจำกัดความของเวกเตอร์ที่เท่ากันจะได้รับด้านล่าง) แต่จากมุมมองทางคณิตศาสตร์ล้วนๆ พวกมันคือ SAME VECTOR หรือ เวกเตอร์ฟรี- ทำไมฟรี? เพราะในการแก้ปัญหา คุณสามารถ "แนบ" เวกเตอร์ "โรงเรียน" นี้หรือนั้นกับจุดใดก็ได้ของระนาบหรือพื้นที่ที่คุณต้องการ นี่เป็นคุณสมบัติที่ยอดเยี่ยมมาก! ลองนึกภาพส่วนที่กำกับซึ่งมีความยาวและทิศทางตามอำเภอใจ - มันสามารถ "โคลน" ได้ไม่จำกัดจำนวนครั้ง และจริงๆ แล้ว ณ จุดใดก็ได้ในอวกาศ มีอยู่ทุกที่ มีนักเรียนคนหนึ่งพูดว่า: อาจารย์ทุกคนต่างให้ความสำคัญกับเวกเตอร์ ท้ายที่สุดมันไม่ได้เป็นเพียงสัมผัสที่มีไหวพริบ แต่ทุกอย่างถูกต้อง - คุณสามารถเพิ่มส่วนที่กำกับไว้ที่นั่นได้เช่นกัน แต่อย่าเพิ่งรีบดีใจไป เพราะนิสิตเองต่างหากที่ต้องทนทุกข์ =)

ดังนั้น, เวกเตอร์ฟรี- นี้ มากมาย ส่วนกำกับที่เหมือนกัน คำจำกัดความของเวกเตอร์ของโรงเรียน ซึ่งให้ไว้ที่ตอนต้นของย่อหน้า: “ส่วนที่กำกับเรียกว่าเวกเตอร์…” โดยนัย เฉพาะเจาะจงส่วนตรงที่นำมาจากชุดที่กำหนด ซึ่งเชื่อมโยงกับจุดเฉพาะในระนาบหรือพื้นที่

ควรสังเกตว่าจากมุมมองของฟิสิกส์ แนวคิดของเวกเตอร์อิสระโดยทั่วไปนั้นไม่ถูกต้อง และประเด็นของการประยุกต์ใช้ก็มีความสำคัญ อันที่จริงการตีโดยตรงด้วยแรงเดียวกันที่จมูกหรือหน้าผากซึ่งเพียงพอที่จะพัฒนาตัวอย่างโง่ ๆ ของฉันนั้นนำมาซึ่งผลที่ตามมาที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม, ไม่ว่างเวกเตอร์ยังพบได้ในหลักสูตร vyshmat (อย่าไปที่นั่น :))

การดำเนินการกับเวกเตอร์ เส้นตรงของเวกเตอร์

หลักสูตรเรขาคณิตของโรงเรียนครอบคลุมการกระทำและกฎเกณฑ์หลายประการด้วยเวกเตอร์: การบวกตามกฎสามเหลี่ยม การบวกตามกฎสี่เหลี่ยมด้านขนาน กฎผลต่างเวกเตอร์ การคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข ผลคูณสเกลาร์ของเวกเตอร์ ฯลฯเพื่อเป็นจุดเริ่มต้น ให้เราทำซ้ำกฎสองข้อที่เกี่ยวข้องโดยเฉพาะในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์

กฎสำหรับการบวกเวกเตอร์โดยใช้กฎสามเหลี่ยม

พิจารณาเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์สองตัวโดยพลการและ:

คุณต้องหาผลบวกของเวกเตอร์พวกนี้ เนื่องจากเวกเตอร์ทั้งหมดถือว่าฟรี เราจึงแยกเวกเตอร์นั้นออกไป จบเวกเตอร์:

ผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ เพื่อความเข้าใจที่ดีขึ้นเกี่ยวกับกฎ ขอแนะนำให้ใส่ความหมายทางกายภาพลงไป: ปล่อยให้ร่างกายบางส่วนเดินทางไปตามเวกเตอร์ แล้วไปตามเวกเตอร์ จากนั้นผลรวมของเวกเตอร์คือเวกเตอร์ของเส้นทางผลลัพธ์ที่มีจุดเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นและจุดสิ้นสุดที่จุดที่มาถึง กฎที่คล้ายกันถูกกำหนดขึ้นสำหรับผลรวมของเวกเตอร์จำนวนเท่าใดก็ได้ อย่างที่พวกเขาพูดกันว่าร่างกายสามารถโน้มตัวไปตามซิกแซกหรืออาจจะเป็นแบบอัตโนมัติ - ไปตามเวกเตอร์ผลลัพธ์ของผลรวม

ยังไงก็ตามหากเวกเตอร์ถูกเลื่อนออกไป เริ่มเวกเตอร์ แล้วเราจะได้ค่าที่เท่ากัน กฎสี่เหลี่ยมด้านขนานการบวกเวกเตอร์

ประการแรก เกี่ยวกับความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ เรียกเวกเตอร์สองตัวนี้ว่า คอลลิเนียร์ถ้าพวกมันอยู่บนเส้นเดียวกันหรือเส้นคู่ขนาน พูดคร่าวๆ, เรากำลังพูดถึงเวกเตอร์คู่ขนาน แต่สำหรับคำเหล่านั้น คำคุณศัพท์ "collinear" มักจะถูกใช้เสมอ

ลองนึกภาพเวกเตอร์เชิงเส้นสองตัว หากลูกศรของเวกเตอร์เหล่านี้หันไปในทิศทางเดียวกัน ก็จะเรียกเวกเตอร์ดังกล่าว ร่วมกำกับ- หากลูกศรชี้ไปในทิศทางที่ต่างกัน เวกเตอร์ก็จะเป็นเช่นนี้ ทิศทางตรงกันข้าม.

การกำหนด:ความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ความเท่าเทียมตามปกติ: ในขณะที่รายละเอียดเป็นไปได้: (เวกเตอร์มีทิศทางร่วม) หรือ (เวกเตอร์มีทิศทางตรงกันข้าม)

การทำงานเวกเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์บนตัวเลขคือเวกเตอร์ที่มีความยาวเท่ากับ และเวกเตอร์ซึ่งมีทิศทางร่วมและทิศทางตรงกันข้ามที่

กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลขนั้นง่ายต่อการเข้าใจโดยใช้รูปภาพ:

มาดูรายละเอียดเพิ่มเติม:

1) ทิศทาง หากตัวคูณเป็นลบ แสดงว่าเวกเตอร์ เปลี่ยนทิศทางในทางตรงกันข้าม

2) ความยาว หากตัวคูณอยู่ภายใน หรือ ความยาวของเวกเตอร์ ลดลง- ดังนั้น ความยาวของเวกเตอร์คือครึ่งหนึ่งของความยาวของเวกเตอร์ ถ้าโมดูลัสของตัวคูณมากกว่า 1 แสดงว่าความยาวของเวกเตอร์ เพิ่มขึ้นในบางครั้ง

3) โปรดทราบว่า เวกเตอร์ทั้งหมดอยู่ในแนวเดียวกันในขณะที่เวกเตอร์ตัวหนึ่งแสดงผ่านอีกตัวหนึ่ง ตัวอย่างเช่น สิ่งที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน: หากเวกเตอร์ตัวหนึ่งสามารถแสดงผ่านอีกเวกเตอร์หนึ่งได้ เวกเตอร์นั้นจำเป็นต้องอยู่ในแนวเดียวกัน ดังนั้น: ถ้าเราคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เราจะได้เส้นตรง(สัมพันธ์กับต้นฉบับ) เวกเตอร์.

4) เวกเตอร์มีทิศทางร่วม เวกเตอร์และยังมีกำกับร่วมด้วย เวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มแรกจะมีทิศตรงข้ามกับเวกเตอร์ใดๆ ของกลุ่มที่สอง

เวกเตอร์ใดเท่ากัน?

เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันหากอยู่ในทิศทางเดียวกันและมีความยาวเท่ากัน- โปรดทราบว่าความเป็นทิศทางร่วมหมายถึงความเป็นเส้นตรงของเวกเตอร์ คำจำกัดความจะไม่ถูกต้อง (ซ้ำซ้อน) ถ้าเราพูดว่า: “เวกเตอร์สองตัวจะเท่ากันถ้าพวกมันอยู่ในแนวเดียวกัน มีทิศทางร่วม และมีความยาวเท่ากัน”

จากมุมมองของแนวคิดของเวกเตอร์อิสระ เวกเตอร์ที่เท่ากันนั้นเป็นเวกเตอร์เดียวกันดังที่กล่าวไว้ในย่อหน้าก่อนหน้า

พิกัดเวกเตอร์บนเครื่องบินและในอวกาศ

ประเด็นแรกคือการพิจารณาเวกเตอร์บนเครื่องบิน ขอให้เราพรรณนาระบบพิกัดสี่เหลี่ยมคาร์ทีเซียนและพล็อตมันจากจุดกำเนิดของพิกัด เดี่ยวเวกเตอร์ และ :

เวกเตอร์และ ตั้งฉาก- มุมฉาก = ตั้งฉาก ฉันขอแนะนำให้คุณค่อยๆ ทำความคุ้นเคยกับคำศัพท์: แทนที่จะมีความเท่าเทียมและตั้งฉาก เราใช้คำตามลำดับ ความสอดคล้องกันและ ตั้งฉาก.

การกำหนด:มุมตั้งฉากของเวกเตอร์เขียนด้วยสัญลักษณ์ตั้งฉากตามปกติ เช่น:

เวกเตอร์ที่อยู่ระหว่างการพิจารณาเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์หรือ ออร์ต- เวกเตอร์เหล่านี้ก่อตัวขึ้น พื้นฐานบนเครื่องบิน ฉันคิดว่าพื้นฐานคืออะไรมีความชัดเจนสำหรับหลาย ๆ คน ข้อมูลโดยละเอียดเพิ่มเติมสามารถพบได้ในบทความ การพึ่งพาเชิงเส้น (ไม่) ของเวกเตอร์ พื้นฐานของเวกเตอร์กล่าวง่ายๆ ก็คือพื้นฐานและที่มาของพิกัดจะกำหนดทั้งระบบ - นี่คือรากฐานชนิดหนึ่งที่ชีวิตทางเรขาคณิตที่สมบูรณ์และสมบูรณ์เดือดพล่าน

บางครั้งเรียกว่าพื้นฐานที่สร้างขึ้น ออร์โธนอร์มอลพื้นฐานของระนาบ: "ortho" - เนื่องจากเวกเตอร์พิกัดตั้งฉาก คำคุณศัพท์ "ทำให้เป็นมาตรฐาน" หมายถึงหน่วย เช่น ความยาวของเวกเตอร์ฐานเท่ากับหนึ่ง

การกำหนด:พื้นฐานมักจะเขียนอยู่ในวงเล็บซึ่งข้างใน ตามลำดับอย่างเคร่งครัดเวกเตอร์พื้นฐานจะถูกแสดงรายการไว้ เช่น: เวกเตอร์พิกัด มันเป็นสิ่งต้องห้ามจัดเรียงใหม่

ใดๆเวกเตอร์เครื่องบิน วิธีเดียวเท่านั้นแสดงเป็น:
, ที่ไหน - ตัวเลขซึ่งเรียกว่า พิกัดเวกเตอร์ในพื้นฐานนี้ และการแสดงออกนั้นเอง เรียกว่า การสลายตัวของเวกเตอร์ตามพื้นฐาน .

เสิร์ฟอาหารค่ำ:

เริ่มจากตัวอักษรตัวแรกของตัวอักษร: . ภาพวาดแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนว่าเมื่อแยกย่อยเวกเตอร์เป็นพื้นฐาน จะใช้สิ่งที่เพิ่งกล่าวถึง:
1) กฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: และ ;
2) การบวกเวกเตอร์ตามกฎสามเหลี่ยม: .

ทีนี้ ให้พลอตเวกเตอร์จากจุดอื่นใดบนระนาบทางจิตใจ เห็นได้ชัดว่าความเสื่อมสลายของเขาจะ "ติดตามเขาอย่างไม่ลดละ" นี่คืออิสรภาพของเวกเตอร์ - เวกเตอร์ "นำทุกสิ่งมาด้วยตัวมันเอง" แน่นอนว่าคุณสมบัตินี้เป็นจริงสำหรับเวกเตอร์ใดๆ เป็นเรื่องตลกที่ไม่จำเป็นต้องลงจุดเวกเตอร์พื้นฐาน (ฟรี) จากจุดเริ่มต้น คุณสามารถวาดเวกเตอร์ตัวหนึ่งที่ด้านล่างซ้ายและอีกตัวที่มุมขวาบนและจะไม่มีอะไรเปลี่ยนแปลง! จริงอยู่ คุณไม่จำเป็นต้องทำเช่นนี้ เนื่องจากครูจะแสดงความคิดริเริ่มและดึง "เครดิต" ให้คุณในสถานที่ที่ไม่คาดคิด

เวกเตอร์แสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงกฎสำหรับการคูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข เวกเตอร์นั้นมีทิศทางร่วมกับเวกเตอร์ฐาน เวกเตอร์นั้นอยู่ตรงข้ามกับเวกเตอร์ฐาน สำหรับเวกเตอร์เหล่านี้ พิกัดตัวใดตัวหนึ่งจะเท่ากับศูนย์ คุณสามารถเขียนมันอย่างพิถีพิถันได้ดังนี้:


และเวกเตอร์พื้นฐานก็เป็นดังนี้: (อันที่จริงพวกมันแสดงออกมาผ่านตัวมันเอง)

และสุดท้าย: , . ว่าแต่ การลบเวกเตอร์คืออะไร แล้วทำไมฉันไม่พูดถึงกฎการลบล่ะ ฉันจำไม่ได้ว่าที่ไหนในพีชคณิตเชิงเส้น ฉันสังเกตว่าการลบเป็นกรณีพิเศษของการบวก ดังนั้น การขยายตัวของเวกเตอร์ “de” และ “e” จึงเขียนเป็นผลรวมได้อย่างง่ายดาย: , - ทำตามรูปวาดเพื่อดูว่าการบวกเวกเตอร์แบบเก่าที่ดีตามกฎสามเหลี่ยมใช้ได้ผลในสถานการณ์เหล่านี้อย่างชัดเจนเพียงใด

การพิจารณาสลายตัวของแบบฟอร์ม บางครั้งเรียกว่าการสลายตัวของเวกเตอร์ ในระบบออร์ต(เช่น ในระบบเวกเตอร์หน่วย) แต่นี่ไม่ใช่วิธีเดียวในการเขียนเวกเตอร์ ตัวเลือกต่อไปนี้เป็นเรื่องปกติ:

หรือมีเครื่องหมายเท่ากับ:

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้: และ

นั่นคือพิกัดของเวกเตอร์จะแสดงอยู่ในวงเล็บ ในปัญหาเชิงปฏิบัติ จะใช้ตัวเลือกสัญลักษณ์ทั้งสามแบบ

ฉันสงสัยว่าจะพูดหรือไม่ แต่ฉันจะพูดต่อไป: พิกัดเวกเตอร์ไม่สามารถจัดเรียงใหม่ได้. อย่างเคร่งครัดเป็นอันดับแรกเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย เคร่งครัดเป็นอันดับสองเราเขียนพิกัดที่สอดคล้องกับเวกเตอร์หน่วย แท้จริงแล้ว และ เป็นเวกเตอร์สองตัวที่ต่างกัน

เราหาพิกัดบนเครื่องบินได้ ทีนี้ลองดูเวกเตอร์ในปริภูมิสามมิติ เกือบทุกอย่างจะเหมือนกันตรงนี้! มันจะเพิ่มอีกหนึ่งพิกัด การสร้างภาพวาดสามมิติเป็นเรื่องยาก ดังนั้นฉันจะจำกัดตัวเองให้อยู่ที่เวกเตอร์เพียงตัวเดียว ซึ่งเพื่อความง่ายฉันจะแยกออกจากจุดกำเนิด:

ใดๆเวกเตอร์อวกาศ 3 มิติ วิธีเดียวเท่านั้นขยายออกไปตามหลักออร์โธนอร์มอล:
โดยที่พิกัดของเวกเตอร์ (ตัวเลข) อยู่ที่ไหนบนพื้นฐานนี้

ตัวอย่างจากภาพ: - มาดูกันว่ากฎเวกเตอร์ทำงานอย่างไรที่นี่ ขั้นแรก ให้คูณเวกเตอร์ด้วยตัวเลข: (ลูกศรสีแดง) (ลูกศรสีเขียว) และ (ลูกศรราสเบอร์รี่) ประการที่สอง นี่คือตัวอย่างของการเพิ่มเวกเตอร์หลายตัว ในกรณีนี้ สามตัว: เวกเตอร์ผลรวมเริ่มต้นที่จุดเริ่มต้นเริ่มต้น (จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์) และสิ้นสุดที่จุดสุดท้ายที่มาถึง (จุดสิ้นสุดของเวกเตอร์)

เวกเตอร์ทั้งหมดของพื้นที่สามมิตินั้นเป็นอิสระเช่นกัน พยายามแยกเวกเตอร์ออกจากจุดอื่นในใจแล้วคุณจะเข้าใจว่าการสลายตัวของมัน "จะยังคงอยู่กับมัน"

คล้ายกับเคสแบนนอกเหนือจากการเขียน รุ่นที่มีวงเล็บปีกกาใช้กันอย่างแพร่หลาย: ทั้ง .

หากไม่มีเวกเตอร์พิกัดหนึ่ง (หรือสอง) ตัวในส่วนขยาย ก็จะใส่ศูนย์เข้าไปแทนที่ ตัวอย่าง:
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกันเถอะ ;
เวกเตอร์ (อย่างพิถีพิถัน ) – มาเขียนกัน

เวกเตอร์พื้นฐานเขียนดังนี้:

นี่อาจเป็นความรู้ทางทฤษฎีขั้นต่ำทั้งหมดที่จำเป็นในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ อาจมีคำศัพท์และคำจำกัดความมากมาย ดังนั้น แนะนำให้กาน้ำชาอ่านและทำความเข้าใจข้อมูลนี้อีกครั้ง และจะเป็นประโยชน์สำหรับผู้อ่านที่จะอ้างอิงถึงบทเรียนพื้นฐานเป็นครั้งคราวเพื่อดูดซึมเนื้อหาได้ดีขึ้น ความเป็นเส้นตรง, ความตั้งฉาก, พื้นฐาน orthonormal, การสลายตัวของเวกเตอร์ - แนวคิดเหล่านี้และแนวคิดอื่น ๆ มักจะถูกนำมาใช้ในอนาคต ฉันทราบว่าเนื้อหาบนไซต์ไม่เพียงพอที่จะผ่านการทดสอบทางทฤษฎีหรือการประชุมเชิงปฏิบัติการเกี่ยวกับเรขาคณิตเนื่องจากฉันเข้ารหัสทฤษฎีบททั้งหมดอย่างระมัดระวัง (และไม่มีการพิสูจน์) - เพื่อสร้างความเสียหายให้กับรูปแบบการนำเสนอทางวิทยาศาสตร์ แต่เป็นข้อดีต่อความเข้าใจของคุณ เรื่อง หากต้องการรับข้อมูลเชิงทฤษฎีโดยละเอียด โปรดโค้งคำนับศาสตราจารย์อตานาสยาน

และเราไปยังส่วนที่ใช้งานได้จริง:

ปัญหาที่ง่ายที่สุดของเรขาคณิตวิเคราะห์
การดำเนินการกับเวกเตอร์ในพิกัด

ขอแนะนำอย่างยิ่งให้เรียนรู้วิธีการแก้ปัญหางานที่จะได้รับการพิจารณาโดยอัตโนมัติและสูตร จดจำคุณไม่จำเป็นต้องจำมันโดยตั้งใจ แต่พวกเขาจะจำมันเอง =) สิ่งนี้สำคัญมากเนื่องจากปัญหาอื่น ๆ ของเรขาคณิตวิเคราะห์นั้นขึ้นอยู่กับตัวอย่างเบื้องต้นที่ง่ายที่สุดและจะน่ารำคาญที่จะใช้เวลาเพิ่มเติมในการกินเบี้ย . ไม่จำเป็นต้องติดกระดุมบนเสื้อเพราะมีหลายสิ่งที่คุ้นเคยจากโรงเรียน

การนำเสนอเนื้อหาจะดำเนินไปในทิศทางคู่ขนาน - ทั้งสำหรับเครื่องบินและอวกาศ ด้วยเหตุผลที่ว่าทุกสูตร...คุณจะเห็นเอง

จะหาเวกเตอร์จากจุดสองจุดได้อย่างไร?

หากให้จุดสองจุดของระนาบแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

หากให้จุดสองจุดในอวกาศแล้วเวกเตอร์จะมีพิกัดต่อไปนี้:

นั่นคือ จากพิกัดจุดสิ้นสุดของเวกเตอร์คุณต้องลบพิกัดที่เกี่ยวข้อง จุดเริ่มต้นของเวกเตอร์.

ออกกำลังกาย:สำหรับจุดเดียวกัน ให้เขียนสูตรในการหาพิกัดของเวกเตอร์ สูตรในตอนท้ายของบทเรียน

ตัวอย่างที่ 1

ให้จุดสองจุดของระนาบและ. ค้นหาพิกัดเวกเตอร์

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

หรืออาจใช้รายการต่อไปนี้:

สุนทรียศาสตร์จะตัดสินสิ่งนี้:

โดยส่วนตัวแล้วฉันคุ้นเคยกับการบันทึกเวอร์ชันแรกแล้ว

คำตอบ:

ตามเงื่อนไขนั้น ไม่จำเป็นต้องสร้างภาพวาด (ซึ่งเป็นเรื่องปกติสำหรับปัญหาของเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์) แต่เพื่อที่จะชี้แจงบางจุดสำหรับหุ่นจำลอง ฉันจะไม่ขี้เกียจ:

คุณต้องเข้าใจอย่างแน่นอน ความแตกต่างระหว่างพิกัดจุดและพิกัดเวกเตอร์:

พิกัดจุด– เป็นพิกัดสามัญในระบบพิกัดสี่เหลี่ยม ฉันคิดว่าทุกคนรู้วิธีพล็อตจุดบนระนาบพิกัดตั้งแต่ชั้นประถมศึกษาปีที่ 5-6 แต่ละจุดมีสถานที่ที่เข้มงวดบนเครื่องบินและไม่สามารถเคลื่อนย้ายไปที่ใดก็ได้

พิกัดของเวกเตอร์– นี่คือการขยายตามพื้นฐาน ในกรณีนี้ เวกเตอร์ใดๆ ก็ตามนั้นฟรี ดังนั้นหากต้องการหรือจำเป็น เราก็สามารถย้ายมันออกจากจุดอื่นบนเครื่องบินได้อย่างง่ายดาย สิ่งที่น่าสนใจคือสำหรับเวกเตอร์ คุณไม่จำเป็นต้องสร้างแกนหรือระบบพิกัดสี่เหลี่ยมเลย คุณเพียงต้องการพื้นฐานเท่านั้น ในกรณีนี้คือพื้นฐานออร์โธนอร์มอลของระนาบ

บันทึกพิกัดของจุดและพิกัดของเวกเตอร์ดูเหมือนจะคล้ายกัน: , และ ความหมายของพิกัดอย่างแน่นอน แตกต่างและคุณควรตระหนักดีถึงความแตกต่างนี้ แน่นอนว่าความแตกต่างนี้ใช้ได้กับพื้นที่ด้วย

ท่านสุภาพสตรีและสุภาพบุรุษ เรามาเติมมือกันเถอะ:

ตัวอย่างที่ 2

ก) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
b) ให้คะแนน และ . ค้นหาเวกเตอร์และ .
c) คะแนนและได้รับ ค้นหาเวกเตอร์และ .
d) ให้คะแนน ค้นหาเวกเตอร์ .

บางทีนั่นอาจจะเพียงพอแล้ว นี่เป็นตัวอย่างให้คุณตัดสินใจด้วยตัวเอง พยายามอย่าละเลยสิ่งเหล่านั้น มันจะได้ผลตอบแทน ;-) ไม่จำเป็นต้องวาดรูป แนวทางแก้ไขและคำตอบในตอนท้ายของบทเรียน

สิ่งสำคัญในการแก้ปัญหาเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์คืออะไร?สิ่งสำคัญคือต้องระมัดระวังเป็นอย่างยิ่งเพื่อหลีกเลี่ยงการทำผิดพลาดแบบ "สองบวกสองเท่ากับศูนย์" อย่างเชี่ยวชาญ ฉันขอโทษทันทีหากฉันทำผิดพลาดที่ไหนสักแห่ง =)

จะหาความยาวของส่วนได้อย่างไร?

ความยาวตามที่ระบุไว้แล้วจะถูกระบุด้วยเครื่องหมายโมดูลัส

หากให้จุดสองจุดของระนาบ และ ความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

หากมีการกำหนดสองจุดในอวกาศความยาวของส่วนสามารถคำนวณได้โดยใช้สูตร

บันทึก: สูตรจะยังคงถูกต้องหากมีการสลับพิกัดที่เกี่ยวข้อง: และ แต่ตัวเลือกแรกจะเป็นมาตรฐานมากกว่า

ตัวอย่างที่ 3

สารละลาย:ตามสูตรที่เหมาะสม:

คำตอบ:

เพื่อความชัดเจนฉันจะวาดรูป

ส่วน – นี่ไม่ใช่เวกเตอร์และแน่นอนว่าคุณไม่สามารถเคลื่อนย้ายมันไปไหนได้ นอกจากนี้ หากคุณวาดเป็นขนาด: 1 หน่วย = 1 ซม. (เซลล์สมุดบันทึกสองเซลล์) ดังนั้นคำตอบที่ได้จึงสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ไม้บรรทัดธรรมดาโดยการวัดความยาวของส่วนนั้นโดยตรง

ใช่ วิธีแก้ปัญหานั้นสั้น แต่มีประเด็นสำคัญอีกสองสามประเด็นที่ฉันต้องการชี้แจง:

ประการแรก เราใส่มิติข้อมูลลงในคำตอบ: "หน่วย" สภาพไม่ได้บอกว่ามันคืออะไร มิลลิเมตร เซนติเมตร เมตร หรือกิโลเมตร ดังนั้น วิธีแก้ไขที่ถูกต้องทางคณิตศาสตร์คือสูตรทั่วไป: "หน่วย" - เรียกโดยย่อว่า "หน่วย"

ประการที่สอง ให้เราทำซ้ำเนื้อหาของโรงเรียนซึ่งมีประโยชน์ไม่เพียง แต่สำหรับงานที่พิจารณาเท่านั้น:

โปรดทราบ เทคนิคที่สำคัญ – ลบตัวคูณออกจากใต้รูต- จากการคำนวณ เราได้ผลลัพธ์ และรูปแบบทางคณิตศาสตร์ที่ดีคือการลบปัจจัยออกจากใต้ราก (ถ้าเป็นไปได้) รายละเอียดเพิ่มเติมกระบวนการมีลักษณะดังนี้: - แน่นอนว่าการทิ้งคำตอบไว้อย่างที่เป็นอยู่นั้นไม่ใช่ความผิดพลาด แต่แน่นอนว่ามันจะเป็นข้อบกพร่องและเป็นข้อโต้แย้งที่หนักหน่วงสำหรับการพูดเล่นของครู

ต่อไปนี้เป็นกรณีทั่วไปอื่นๆ:

บ่อยครั้งที่รากสร้างจำนวนที่ค่อนข้างมาก เช่น จะทำอย่างไรในกรณีเช่นนี้? ใช้เครื่องคิดเลขตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย 4 ลงตัวหรือไม่: ใช่แล้ว มันถูกแบ่งแยกโดยสิ้นเชิง ดังนี้: - หรือบางทีตัวเลขสามารถหารด้วย 4 อีกครั้งได้? - ดังนั้น: - หลักสุดท้ายของตัวเลขเป็นเลขคี่ ดังนั้นการหารด้วย 4 เป็นครั้งที่สามจะไม่ได้ผลอย่างเห็นได้ชัด ลองหารด้วยเก้า: . เป็นผลให้:
พร้อม.

บทสรุป:หากเราได้รับตัวเลขที่ไม่สามารถแยกออกมาทั้งหมดได้ภายใต้รูทเราจะพยายามลบตัวประกอบออกจากใต้รูท - ใช้เครื่องคิดเลขเพื่อตรวจสอบว่าตัวเลขหารด้วย: 4, 9, 16, 25, 36 หรือไม่ 49 เป็นต้น

เมื่อแก้ไขปัญหาต่าง ๆ มักพบรากเหง้า พยายามดึงปัจจัยจากใต้รากเสมอเพื่อหลีกเลี่ยงปัญหาเกรดต่ำกว่าและไม่จำเป็นในการสรุปวิธีแก้ปัญหาตามความคิดเห็นของครู

เรามาทำซ้ำการยกกำลังสองและค่ากำลังอื่นๆ กัน:

กฎการดำเนินการด้วยพลังในรูปแบบทั่วไปมีอยู่ในตำราพีชคณิตของโรงเรียน แต่ฉันคิดว่าจากตัวอย่างที่ให้มา ทุกอย่างหรือเกือบทุกอย่างก็ชัดเจนอยู่แล้ว

การมอบหมายโซลูชันอิสระพร้อมส่วนในพื้นที่:

ตัวอย่างที่ 4

คะแนนและได้รับ ค้นหาความยาวของส่วน.

คำตอบและคำตอบอยู่ท้ายบทเรียน

จะหาความยาวของเวกเตอร์ได้อย่างไร?

หากให้เวกเตอร์ระนาบมา สูตรจะคำนวณความยาวของเวกเตอร์

หากกำหนดเวกเตอร์อวกาศ ความยาวจะถูกคำนวณโดยสูตร .

การค้นหาพิกัดของเวกเตอร์เป็นเงื่อนไขทั่วไปสำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์หลายอย่าง ความสามารถในการค้นหาพิกัดเวกเตอร์จะช่วยคุณแก้ปัญหาอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่าในหัวข้อที่คล้ายกัน ในบทความนี้เราจะดูสูตรในการหาพิกัดเวกเตอร์และปัญหาต่างๆ

การหาพิกัดของเวกเตอร์ในระนาบ

เครื่องบินคืออะไร? ระนาบถือเป็นปริภูมิสองมิติ ซึ่งเป็นปริภูมิที่มีสองมิติ (มิติ x และมิติ y) เช่น กระดาษแบน พื้นผิวโต๊ะเรียบ รูปทรงที่ไม่ใช่ปริมาตร (สี่เหลี่ยมจัตุรัส สามเหลี่ยม สี่เหลี่ยมคางหมู) ก็เป็นระนาบเช่นกัน ดังนั้น หากในประโยคปัญหาคุณจำเป็นต้องค้นหาพิกัดของเวกเตอร์ที่อยู่บนระนาบ เราจะจำค่า x และ y ได้ทันที คุณสามารถหาพิกัดของเวกเตอร์ได้ดังนี้: พิกัด AB ของเวกเตอร์ = (xB – xA; yB – xA) สูตรแสดงว่าคุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดของจุดสิ้นสุด

ตัวอย่าง:

• Vector CD มีพิกัดเริ่มต้น (5; 6) และสุดท้าย (7; 8)
• ค้นหาพิกัดของเวกเตอร์นั้นเอง
• เมื่อใช้สูตรข้างต้นเราจะได้นิพจน์ต่อไปนี้: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2)
• ดังนั้น พิกัดของเวกเตอร์ซีดี = (2; 2)
• ดังนั้น พิกัด x เท่ากับ 2 พิกัด y ก็คือ 2 เช่นกัน

การหาพิกัดของเวกเตอร์ในอวกาศ

พื้นที่คืออะไร? อวกาศเป็นมิติสามมิติอยู่แล้ว โดยให้พิกัด 3 พิกัด: x, y, z หากคุณต้องการค้นหาเวกเตอร์ที่อยู่ในอวกาศ สูตรจะไม่เปลี่ยนแปลงในทางปฏิบัติ เพิ่มพิกัดเดียวเท่านั้น ในการค้นหาเวกเตอร์ คุณต้องลบพิกัดของจุดเริ่มต้นออกจากพิกัดสิ้นสุด AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

ตัวอย่าง:

• เวกเตอร์ DF มีค่าเริ่มต้น (2; 3; 1) และสุดท้าย (1; 5; 2)
• เมื่อใช้สูตรข้างต้น เราจะได้: พิกัดเวกเตอร์ DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1)
• โปรดจำไว้ว่าค่าพิกัดอาจเป็นลบได้ ไม่มีปัญหา

จะหาพิกัดเวกเตอร์ออนไลน์ได้อย่างไร?

หากคุณไม่ต้องการค้นหาพิกัดด้วยตัวเองด้วยเหตุผลบางประการ คุณสามารถใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ได้ ในการเริ่มต้น ให้เลือกมิติเวกเตอร์ มิติของเวกเตอร์มีหน้าที่รับผิดชอบมิติของมัน มิติที่ 3 หมายความว่าเวกเตอร์อยู่ในอวกาศ มิติที่ 2 หมายความว่าเวกเตอร์อยู่บนระนาบ จากนั้น ใส่พิกัดของจุดลงในช่องที่เหมาะสม จากนั้นโปรแกรมจะกำหนดพิกัดของเวกเตอร์ให้คุณเอง มันง่ายมาก

เมื่อคลิกที่ปุ่ม หน้าจะเลื่อนลงโดยอัตโนมัติและให้คำตอบที่ถูกต้องพร้อมกับขั้นตอนการแก้ปัญหา

ขอแนะนำให้ศึกษาหัวข้อนี้ให้ดีเพราะแนวคิดของเวกเตอร์นั้นไม่เพียงพบในคณิตศาสตร์เท่านั้น แต่ยังพบในฟิสิกส์ด้วย นักศึกษาคณะเทคโนโลยีสารสนเทศก็ศึกษาหัวข้อเวกเตอร์เช่นกัน แต่ในระดับที่ซับซ้อนกว่า