ตัวหารร่วมมาก (GCD): คำจำกัดความ ตัวอย่าง และคุณสมบัติ “ตัวเลขธรรมชาติ

ตัวหารร่วมตัวเลขหลายตัวคือตัวเลขที่ใช้หารตัวเลขที่กำหนดแต่ละตัว เช่น ให้เลขสองตัว คือ 6 และ 9 โดยเลข 6 มีตัวหาร 1, 2, 3, 6 ส่วนเลข 9 มีตัวหาร 1, 3, 9 เราจะเห็นว่าตัวเลข 6 และ 9 มีตัวหารร่วม 1 และ 3

ตัวหารร่วมมาก(ตัวย่อ GCD) ของจำนวนหลายจำนวนเรียกว่าตัวหารร่วมที่ใหญ่ที่สุด โดยแต่ละจำนวนจะถูกหารโดยไม่มีเศษ

ดังนั้น ในบรรดาตัวประกอบร่วมทั้งหมดของเลข 6 และ 9 ตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดคือเลข 3

โดยปกติแล้วตัวหารร่วมมากจะเขียนดังนี้: GCD ( ก, ข, ...) = x.

จากข้อมูลนี้ เราเขียนตัวหารร่วมมากของตัวเลข 6 และ 9:

GCD (6, 9) = 3.

เรียกตัวเลขที่ gcd เท่ากับหนึ่ง หมายเลขโคไพรม์- ตัวอย่างเช่น ตัวเลข 14 และ 15 ค่อนข้างเป็นจำนวนเฉพาะ: GCD (14, 15) = 1

เครื่องคิดเลข GCD

เครื่องคิดเลขนี้จะช่วยคุณหาตัวหารร่วมมากที่สุดของตัวเลข เพียงป้อนตัวเลขโดยคั่นด้วยช่องว่างหรือลูกน้ำแล้วคลิกปุ่มคำนวณ GCD

จดจำ!

ถ้าจำนวนธรรมชาติหารด้วย 1 และตัวมันเองเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

จำนวนธรรมชาติใดๆ ก็ตามจะหารด้วย 1 และตัวมันเองเสมอ

เลข 2 เป็นจำนวนเฉพาะที่น้อยที่สุด นี่เป็นจำนวนเฉพาะคู่เท่านั้น ส่วนจำนวนเฉพาะอื่นๆ ทั้งหมดเป็นเลขคี่

มีจำนวนเฉพาะหลายตัว และตัวแรกคือเลข 2 อย่างไรก็ตาม ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวสุดท้าย ในส่วน “เพื่อการศึกษา” คุณสามารถดาวน์โหลดตารางจำนวนเฉพาะได้ถึง 997

แต่จำนวนธรรมชาติจำนวนมากก็หารด้วยจำนวนธรรมชาติอื่นๆ ด้วยเช่นกัน

ตัวอย่างเช่น:

• จำนวน 12 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12 ลงตัว;
• เลข 36 หารด้วย 1, 2, 3, 4, 6, 12, 18, 36 ลงตัว

ตัวเลขที่ตัวเลขหารด้วยจำนวนเต็มลงตัว (สำหรับ 12 ได้แก่ 1, 2, 3, 4, 6 และ 12) เรียกว่า ตัวหารของตัวเลข

จดจำ!

ตัวหารของจำนวนธรรมชาติ a คือจำนวนธรรมชาติที่หารจำนวน “a” ที่กำหนดโดยไม่มีเศษเหลือ

จำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารมากกว่าสองตัวเรียกว่าจำนวนประกอบ

โปรดทราบว่าตัวเลข 12 และ 36 มีตัวประกอบร่วมกัน

ตัวเลขเหล่านี้คือ: 1, 2, 3, 4, 6, 12

จดจำ!

ตัวหารที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของจำนวนเหล่านี้คือ 12ตัวหารร่วมของตัวเลขที่กำหนดสองตัวคือ "a" และ "b" คือตัวเลขที่ทั้งสองตัวเลขที่กำหนด "a" และ "b" หารกันโดยไม่มีเศษ จำนวนที่มากขึ้นโดยที่ทั้งตัวเลข “a” และ “b” ถูกหารโดยไม่มีเศษ

โดยสรุป ตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุดของตัวเลข “a” และ “b” เขียนได้ดังนี้::

GCD (ก; ข) .

ตัวอย่าง: gcd (12; 36) = 12

ตัวหารของตัวเลขในบันทึกการแก้ปัญหาจะแสดงด้วยอักษรตัวใหญ่ "D"

ง (7) = (1, 7)

ง (9) = (1, 9)

GCD (7; 9) = 1

ตัวเลข 7 และ 9 มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวคือหมายเลข 1 หมายเลขโคไพรม์.

จดจำ!

ตัวเลขดังกล่าวเรียกว่าตัวเลขโคไพรม์

- เป็นจำนวนธรรมชาติที่มีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียว นั่นคือ 1 gcd ของพวกเขาคือ 1

วิธีหาตัวหารร่วมมาก

1. หากต้องการค้นหา gcd ของจำนวนธรรมชาติสองตัวขึ้นไป คุณต้องมี:

แยกตัวหารของตัวเลขให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ

สะดวกในการเขียนการคำนวณโดยใช้แถบแนวตั้ง เราเขียนเงินปันผลทางด้านซ้ายของเส้นก่อน ทางด้านขวา - ตัวหาร ต่อไปในคอลัมน์ด้านซ้ายเราเขียนค่าผลหาร

1. มาอธิบายทันทีพร้อมตัวอย่าง ลองแยกตัวเลข 28 และ 64 ให้เป็นตัวประกอบเฉพาะ.
   28 = เราเน้นตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันในทั้งสองจำนวน

   2 2 7

2. 64 = 2 2 2 2 2 2
   ค้นหาผลคูณของตัวประกอบเฉพาะที่เหมือนกันแล้วจดคำตอบ

   GCD (28; 64) = 2 2 = 4

คำตอบ: GCD (28; 64) = 4

คุณสามารถจัดวางตำแหน่งของ GCD อย่างเป็นทางการได้สองวิธี: ในคอลัมน์ (ดังที่ทำข้างต้น) หรือ "ในแถว" เพื่อค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (NOK) และตัวหารร่วมมาก

(GCD) ของตัวเลขสองตัว ใช้เครื่องคิดเลขออนไลน์ของเรา: ใส่ตัวเลข:
และ
หมายเลข NOC:

จีซีดี:

กำหนด

เพียงป้อนตัวเลขและรับผลลัพธ์

วิธีค้นหา LCM ของตัวเลขสองตัวตัวคูณร่วมน้อย (LCM)

ตัวเลขตั้งแต่สองตัวขึ้นไป - นี่คือจำนวนที่น้อยที่สุดที่สามารถหารด้วยตัวเลขเหล่านี้แต่ละตัวโดยไม่มีเศษเหลือ

1. ในการค้นหาตัวคูณร่วมน้อย (LCM) ของตัวเลขสองตัว คุณสามารถใช้อัลกอริทึมต่อไปนี้ (เกรด 5):
2. ทั้งสองตัวเลข (จำนวนมากที่สุดก่อน)
3. ลองเปรียบเทียบตัวประกอบของจำนวนที่มากกว่ากับตัวประกอบของจำนวนที่น้อยกว่ากัน ลองเลือกตัวประกอบทั้งหมดของจำนวนที่น้อยกว่าซึ่งจำนวนที่มากกว่าไม่มี
4. ลองบวกตัวประกอบที่เน้นของจำนวนที่น้อยกว่าเข้ากับตัวประกอบของจำนวนที่มากกว่ากัน

ลองหา LCM โดยการคูณชุดของปัจจัยที่ได้รับในขั้นตอนที่ 3

ตัวอย่าง 8 ใส่ตัวเลข: 22 .

1) ตัวอย่างเช่น เรามากำหนด LCM ของตัวเลขกัน

2) มาแยกย่อยเป็นปัจจัยง่ายๆ:

8 = 2⋅2 ⋅2

3) ลองเลือกตัวประกอบทั้งหมดด้วย 8 ซึ่ง 22 ไม่มี:

ลองบวกตัวประกอบที่เลือกของ 8 เข้ากับตัวประกอบของ 22: 2 · 2

4) ลท. (8; 22) = 2 11

เราคำนวณ LCM:เอ็นโอซี (8; 22) 88

= 2 11 2 2 =

วิธีค้นหา gcd ของตัวเลขสองตัวตัวหารร่วมมาก (GCD)

หากต้องการหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของตัวเลขสองตัว คุณต้องแยกตัวประกอบให้เป็นตัวประกอบเฉพาะก่อน จากนั้นคุณจะต้องเน้นปัจจัยทั่วไปที่มีทั้งตัวเลขแรกและตัวที่สอง เราคูณพวกมัน - นี่คือ gcd เพื่อให้เข้าใจอัลกอริทึมได้ดีขึ้น ลองพิจารณาตัวอย่าง:

ลองหา LCM โดยการคูณชุดของปัจจัยที่ได้รับในขั้นตอนที่ 3

ตัวอย่างเช่น ลองกำหนด gcd ของตัวเลข 20 ใส่ตัวเลข: 30 .

20 = 2 ⋅2⋅5

30 = 2 ⋅3⋅5

จีซีดี(20,30) = 2⋅5 = 10

อัลกอริธึมของยุคลิดเป็นอัลกอริทึมสำหรับค้นหาตัวหารร่วมมาก (GCD) ของจำนวนเต็มคู่

วิธีค้นหา gcd ของตัวเลขสองตัวคือตัวเลขที่หารตัวเลขสองตัวโดยไม่มีเศษและสามารถหารตัวเองได้โดยไม่มีเศษเหลือด้วยตัวหารอื่นๆ ของตัวเลขสองตัวที่กำหนด พูดง่ายๆ คือ นี่คือจำนวนที่มากที่สุดซึ่งสามารถหารตัวเลขสองตัวที่ต้องการหา gcd ได้โดยไม่มีเศษ

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา GCD ตามการแบ่ง

1. หารจำนวนที่มากกว่าด้วยจำนวนที่น้อยกว่า.
2. หากหารโดยไม่มีเศษ จำนวนที่น้อยกว่าคือ GCD (คุณควรออกจากวงจร)
3. หากมีเศษเหลือ ให้แทนที่จำนวนที่มากกว่าด้วยเศษที่เหลือของการหาร
4. เรามาต่อกันที่จุดที่ 1 กันเลย

ตัวอย่าง:
ค้นหา gcd สำหรับ 30 และ 18
30/18 = 1 (เหลือ 12)
18/12 = 1 (เหลือ 6)
12/6 = 2 (เหลือ 0)
สิ้นสุด: GCD เป็นตัวหารของ 6
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 ในขณะที่ a != 0 และ b != 0 : if a > b: a = a % b else : b = b % a print (a + b)

ในลูป ส่วนที่เหลือของการหารจะถูกเขียนไปยังตัวแปร a หรือ b การวนซ้ำจะสิ้นสุดลงเมื่อมีตัวแปรอย่างน้อยหนึ่งตัวเป็นศูนย์ ซึ่งหมายความว่าอีกอันหนึ่งมี gcd อย่างไรก็ตามเราไม่รู้ว่าอันไหนกันแน่ ดังนั้น สำหรับ GCD เราจะหาผลรวมของตัวแปรเหล่านี้ เนื่องจากตัวแปรตัวใดตัวหนึ่งเป็นศูนย์ จึงไม่มีผลกระทบต่อผลลัพธ์

อัลกอริทึมสำหรับการค้นหา GCD ด้วยการลบ

1. ลบจำนวนที่น้อยกว่าจากจำนวนที่มากกว่า
2. หากผลลัพธ์เป็น 0 แสดงว่าตัวเลขเท่ากันและเป็น GCD (คุณควรออกจากลูป)
3. หากผลลัพธ์ของการลบไม่เท่ากับ 0 ให้แทนที่จำนวนที่มากกว่าด้วยผลลัพธ์ของการลบ
4. เรามาต่อกันที่จุดที่ 1 กันเลย

ตัวอย่าง:
ค้นหา gcd สำหรับ 30 และ 18
30 - 18 = 12
18 - 12 = 6
12 - 6 = 6
6 - 6 = 0
สิ้นสุด: GCD เป็นส่วนย่อยหรือส่วนย่อย
GCD(30, 18) = 6

a = 50 b = 130 ในขณะที่ a != b: if a > b: a = a - b else : b = b - a print (a)

หากต้องการเรียนรู้วิธีหาตัวหารร่วมมากของจำนวนตั้งแต่สองตัวขึ้นไป คุณต้องเข้าใจว่าจำนวนธรรมชาติ จำนวนเฉพาะ และจำนวนเชิงซ้อนคืออะไร

จำนวนธรรมชาติคือจำนวนใดๆ ที่ใช้ในการนับวัตถุทั้งหมด

ถ้าจำนวนธรรมชาติสามารถหารได้เพียงตัวมันเองและหนึ่งเท่านั้น จะเรียกว่าจำนวนเฉพาะ

จำนวนธรรมชาติทั้งหมดสามารถหารด้วยตัวมันเองและหนึ่งได้ แต่จำนวนเฉพาะคู่เพียงตัวเดียวคือ 2 ส่วนจำนวนอื่นๆ ทั้งหมดสามารถหารด้วยสองได้ เพราะฉะนั้นเท่านั้น ตัวเลขคี่.

มีจำนวนเฉพาะจำนวนมาก รายการทั้งหมดพวกเขาไม่มีอยู่จริง หากต้องการค้นหา GCD จะสะดวกในการใช้ตารางพิเศษที่มีตัวเลขดังกล่าว

จำนวนธรรมชาติส่วนใหญ่สามารถหารได้ไม่เพียงแต่ด้วยตัวมันเองเท่านั้น แต่ยังหารด้วยจำนวนอื่นๆ ได้ด้วย ตัวอย่างเช่น จำนวน 15 สามารถหารด้วย 3 และ 5 ได้ ซึ่งทั้งหมดเรียกว่าตัวหารของจำนวน 15

ดังนั้น ตัวหารของ A ใดๆ คือจำนวนที่สามารถหารได้โดยไม่มีเศษ หากตัวเลขมีตัวประกอบทางธรรมชาติมากกว่า 2 ตัว จะเรียกว่าจำนวนประกอบ

ตัวเลข 30 สามารถมีตัวหารได้ เช่น 1, 3, 5, 6, 15, 30

คุณจะสังเกตเห็นว่า 15 และ 30 มีตัวหารเท่ากันคือ 1, 3, 5, 15 ตัวหารร่วมมากของตัวเลขสองตัวนี้คือ 15

ดังนั้น ตัวหารร่วมของตัวเลข A และ B จึงเป็นตัวเลขที่สามารถหารได้ทั้งหมด จำนวนที่ใหญ่ที่สุดถือได้ว่าเป็นจำนวนรวมสูงสุดที่สามารถแบ่งได้

เพื่อแก้ไขปัญหาจะใช้คำจารึกแบบย่อต่อไปนี้:

จีซีดี (A; B)

เช่น gcd (15; 30) = 30

หากต้องการเขียนตัวหารทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติ ให้ใช้สัญลักษณ์:

ง (15) = (1, 3, 5, 15)

GCD (9; 15) = 1

ในตัวอย่างนี้ จำนวนธรรมชาติมีตัวหารร่วมเพียงตัวเดียวเท่านั้น พวกมันถูกเรียกว่าเป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้นความสามัคคีจึงเป็นตัวหารร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด

วิธีค้นหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข

หากต้องการค้นหา gcd ของตัวเลขหลายตัว คุณต้องมี:

ค้นหาตัวหารทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติแต่ละตัวแยกจากกัน นั่นคือ แยกตัวประกอบออกเป็นตัวประกอบ (จำนวนเฉพาะ)

เลือกตัวประกอบที่เหมือนกันทั้งหมดของตัวเลขที่กำหนด

คูณเข้าด้วยกัน

ตัวอย่างเช่น ในการคำนวณตัวหารร่วมมากของตัวเลข 30 และ 56 คุณจะต้องเขียนดังนี้:

เพื่อหลีกเลี่ยงความสับสน สะดวกในการเขียนปัจจัยโดยใช้คอลัมน์แนวตั้ง คุณต้องวางเงินปันผลทางด้านซ้ายของเส้น และทางด้านขวาคือตัวหาร ภายใต้เงินปันผล คุณควรระบุผลหารผลลัพธ์

ดังนั้นในคอลัมน์ทางขวาจะมีปัจจัยทั้งหมดที่จำเป็นสำหรับการแก้ปัญหา

ตัวหารที่เหมือนกัน (ตัวประกอบที่พบ) สามารถขีดเส้นใต้ได้เพื่อความสะดวก ควรเขียนใหม่แล้วคูณ โดยเขียนตัวหารร่วมมากไว้.

GCD (30; 56) = 2 * 5 = 10

นี่เป็นเรื่องง่ายจริงๆ ที่จะหาตัวหารร่วมมากของตัวเลข หากคุณฝึกฝนเพียงเล็กน้อย คุณก็สามารถทำได้เกือบจะโดยอัตโนมัติ