เป็นไปได้ไหมที่จะเพิ่มรากที่แตกต่างกัน? รากที่สองคืออะไร และรวมกันได้อย่างไร? กฎของการบวกและการลบมีอะไรบ้าง?
รากที่สองของตัวเลข เอ็กซ์หมายเลขที่เรียก กซึ่งอยู่ในกระบวนการคูณด้วยตัวมันเอง ( เอ*เอ) สามารถให้ตัวเลขได้ เอ็กซ์.
เหล่านั้น. ก * ก = ก 2 = X, และ √X = ก.
เหนือรากที่สอง ( √x) เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ เช่น การลบและการบวก หากต้องการลบและเพิ่มราก จะต้องเชื่อมต่อโดยใช้เครื่องหมายที่สอดคล้องกับการกระทำเหล่านี้ (เช่น √x - √y
).
จากนั้นนำรากมาสู่รูปแบบที่ง่ายที่สุด - หากมีรากที่คล้ายกันระหว่างนั้นก็จำเป็นต้องลดขนาดลง ประกอบด้วยการนำค่าสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่คล้ายกันซึ่งมีเครื่องหมายของพจน์ที่สอดคล้องกัน จากนั้นใส่ไว้ในวงเล็บและอนุมานรากร่วมที่อยู่นอกวงเล็บของตัวประกอบ ค่าสัมประสิทธิ์ที่เราได้รับนั้นถูกทำให้ง่ายขึ้นตามกฎปกติ
ขั้นตอนที่ 1: แยกรากที่สอง
ประการแรกสำหรับการเพิ่มเติม รากที่สองก่อนอื่นคุณต้องแยกรากเหล่านี้ออก สามารถทำได้ถ้าตัวเลขใต้เครื่องหมายรูทเป็นกำลังสองสมบูรณ์ ตัวอย่างเช่น ใช้นิพจน์ที่กำหนด √4 + √9
- หมายเลขแรก 4
คือกำลังสองของจำนวน 2
- หมายเลขที่สอง 9
คือกำลังสองของจำนวน 3
- ดังนั้นเราจึงสามารถได้รับความเท่าเทียมกันดังต่อไปนี้: √4 + √9 = 2 + 3 = 5
.
เพียงเท่านี้ตัวอย่างก็ได้รับการแก้ไขแล้ว แต่มันไม่ได้เกิดขึ้นง่ายๆ เสมอไป
ขั้นตอนที่ 2. นำตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้ราก
หากไม่มีกำลังสองสมบูรณ์อยู่ใต้เครื่องหมายราก คุณสามารถลองลบตัวคูณของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายรากได้ ตัวอย่างเช่น ลองใช้นิพจน์นี้กัน √24 + √54 .
แยกตัวประกอบตัวเลข:
24 = 2 * 2 * 2 * 3
,
54 = 2 * 3 * 3 * 3
.
ท่ามกลาง 24 เรามีตัวคูณ 4 ก็สามารถดึงออกจากใต้เครื่องหมายรากที่สองได้ ท่ามกลาง 54 เรามีตัวคูณ 9 .
เราได้รับความเท่าเทียมกัน:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6
.
เมื่อพิจารณาจากตัวอย่างนี้ เราจะได้การลบตัวคูณออกจากใต้เครื่องหมายรูท ซึ่งจะทำให้นิพจน์ที่กำหนดง่ายขึ้น
ขั้นตอนที่ 3: การลดตัวส่วน
พิจารณาสถานการณ์ต่อไปนี้: ผลรวมของรากที่สองสองตัวคือตัวส่วนของเศษส่วน เช่น ก/(√a + √b).
ตอนนี้เรากำลังเผชิญกับภารกิจ "กำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน"
ลองใช้วิธีต่อไปนี้: คูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยนิพจน์ √ก - √ข.
ตอนนี้เราได้สูตรการคูณแบบย่อในตัวส่วน:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.
ในทำนองเดียวกัน หากตัวส่วนมีผลต่างราก: √ก - √ขตัวเศษและส่วนของเศษส่วนจะถูกคูณด้วยนิพจน์ √ก + √ข.
ลองใช้เศษส่วนเป็นตัวอย่าง:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3)
.
ตัวอย่างการลดตัวส่วนเชิงซ้อน
ตอนนี้เราจะพิจารณาตัวอย่างที่ค่อนข้างซับซ้อนในการกำจัดความไร้เหตุผลในตัวส่วน
ตัวอย่างเช่น ลองหาเศษส่วน: 12 / (√2 + √3 + √5)
.
คุณต้องนำทั้งเศษและส่วนมาคูณด้วยนิพจน์ √2 + √3 - √5
.
เราได้รับ:
12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.
ขั้นตอนที่ 4 คำนวณค่าโดยประมาณบนเครื่องคิดเลข
หากคุณต้องการเพียงค่าโดยประมาณ ก็สามารถทำได้ด้วยเครื่องคิดเลขโดยการคำนวณค่ารากที่สอง ค่าจะถูกคำนวณแยกกันสำหรับแต่ละตัวเลขและเขียนลงด้วยความแม่นยำที่ต้องการซึ่งกำหนดโดยจำนวนตำแหน่งทศนิยม ถัดไป ดำเนินการที่จำเป็นทั้งหมดเช่นเดียวกับตัวเลขธรรมดา
ตัวอย่างการคำนวณค่าโดยประมาณ
จำเป็นต้องคำนวณค่าโดยประมาณ ได้รับการแสดงออก √7 + √5 .
เป็นผลให้เราได้รับ:
√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .
โปรดทราบ: ไม่ว่าในกรณีใดก็ตาม คุณไม่ควรเพิ่มรากที่สองเป็นจำนวนเฉพาะ ซึ่งเป็นที่ยอมรับไม่ได้โดยสิ้นเชิง นั่นคือ ถ้าเราบวกรากที่สองของห้ากับรากที่สองของสาม เราจะไม่สามารถหารากที่สองของแปดได้
คำแนะนำที่เป็นประโยชน์: หากคุณตัดสินใจแยกตัวประกอบตัวเลข เพื่อให้ได้กำลังสองจากใต้เครื่องหมายรูท คุณต้องตรวจสอบย้อนกลับ นั่นคือคูณปัจจัยทั้งหมดที่เกิดจากการคำนวณและผลลัพธ์สุดท้ายของสิ่งนี้ การคำนวณทางคณิตศาสตร์ควรเป็นตัวเลขที่เราให้ไว้แต่แรก
หัวข้อเกี่ยวกับ รากที่สองมีผลบังคับใช้ใน หลักสูตรของโรงเรียนหลักสูตรคณิตศาสตร์ คุณไม่สามารถทำได้หากไม่มีพวกมันเมื่อแก้สมการกำลังสอง และต่อมามีความจำเป็นไม่เพียง แต่จะแยกรากเท่านั้น แต่ยังต้องดำเนินการอื่นด้วย ในจำนวนนั้นค่อนข้างซับซ้อน: การยกกำลัง การคูณ และการหาร แต่ก็มีสิ่งที่ค่อนข้างง่ายเช่นกัน: การลบและการบวกราก อย่างไรก็ตาม พวกเขาดูเหมือนเป็นเช่นนั้นเมื่อมองแวบแรกเท่านั้น การแสดงโดยไม่มีข้อผิดพลาดไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไปสำหรับคนที่เพิ่งเริ่มทำความคุ้นเคยกับพวกเขา
รากทางคณิตศาสตร์คืออะไร?
การกระทำนี้เกิดขึ้นในการต่อต้านการยกกำลัง คณิตศาสตร์แนะนำการดำเนินการที่ขัดแย้งกันสองครั้ง มีการลบสำหรับการบวก การคูณตรงข้ามกับการหาร การกระทำย้อนกลับของดีกรีคือการแยกรูทที่สอดคล้องกัน
ถ้าดีกรีเป็น 2 รากจะเป็นกำลังสอง เป็นเรื่องธรรมดาที่สุดในคณิตศาสตร์ของโรงเรียน มันไม่ได้มีข้อบ่งชี้ว่าเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัส กล่าวคือ ไม่ได้กำหนดหมายเลข 2 ไว้ข้างๆ สัญกรณ์ทางคณิตศาสตร์ของตัวดำเนินการนี้ (ราก) แสดงอยู่ในรูป
คำจำกัดความไหลลื่นจากการกระทำที่อธิบายไว้ หากต้องการแยกรากที่สองของตัวเลข คุณต้องค้นหาว่านิพจน์รากจะให้ค่าเท่าใดเมื่อคูณด้วยตัวมันเอง จำนวนนี้จะเป็นรากที่สอง หากเราเขียนสิ่งนี้ตามหลักคณิตศาสตร์ เราจะได้ดังนี้: x*x=x 2 =y ซึ่งหมายถึง √y=x
คุณสามารถดำเนินการอะไรกับพวกเขาได้บ้าง?
ที่แกนกลางของราก รากคือกำลังเศษส่วนโดยมี 1 อยู่ในตัวเศษ และตัวส่วนสามารถเป็นอะไรก็ได้. ตัวอย่างเช่น รากที่สองมีสอง ดังนั้นการกระทำทั้งหมดที่สามารถทำได้ด้วยพลังก็จะมีผลกับรากเช่นกัน
และข้อกำหนดสำหรับการดำเนินการเหล่านี้ก็เหมือนกัน หากการคูณ การหาร และการยกกำลังไม่มีปัญหาสำหรับนักเรียน การบวกราก เช่น การลบ บางครั้งก็ทำให้เกิดความสับสน และทั้งหมดเป็นเพราะฉันต้องการดำเนินการเหล่านี้โดยไม่คำนึงถึงสัญลักษณ์ของรูท และนี่คือจุดที่ความผิดพลาดเริ่มต้นขึ้น
กฎของการบวกและการลบมีอะไรบ้าง?
ก่อนอื่นคุณต้องจำ "สิ่งที่ไม่ควรทำ" สองหมวดหมู่:
- เป็นไปไม่ได้ที่จะดำเนินการบวกและลบรากเช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะนั่นคือมันเป็นไปไม่ได้ที่จะเขียนนิพจน์ที่รุนแรงของผลรวมภายใต้เครื่องหมายเดียวและดำเนินการทางคณิตศาสตร์กับพวกมัน
- คุณไม่สามารถบวกและลบรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันได้ เช่น สี่เหลี่ยมจัตุรัสและลูกบาศก์
ตัวอย่างที่ชัดเจนของข้อห้ามแรก: √6 + √10 ≠ √16 แต่ √(6 + 10) = √16.
ในกรณีที่สอง เป็นการดีกว่าที่จะจำกัดตัวเองให้ทำให้รากง่ายขึ้น และฝากจำนวนเงินไว้ในคำตอบ
ตอนนี้ถึงกฎ
- ค้นหาและจัดกลุ่มรากที่คล้ายกัน นั่นคือผู้ที่ไม่เพียงแต่มีตัวเลขเดียวกันภายใต้รากเท่านั้น แต่ยังมีตัวบ่งชี้ที่เหมือนกันอีกด้วย
- ดำเนินการเพิ่มรากที่รวมกันเป็นกลุ่มเดียวในการดำเนินการแรก ใช้งานง่ายเพราะคุณเพียงแค่ต้องเพิ่มค่าที่ปรากฏหน้าอนุมูลเท่านั้น
- แยกรากของพจน์ที่มีรากกริยาออกมาเป็นกำลังสองทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่ง อย่าทิ้งสิ่งใดไว้ภายใต้สัญลักษณ์ของคนหัวรุนแรง
- ลดความซับซ้อนของนิพจน์ที่รุนแรง ในการทำเช่นนี้ คุณต้องแยกพวกมันออกเป็นตัวประกอบเฉพาะ และดูว่าพวกมันให้กำลังสองของจำนวนใดๆ หรือไม่ ชัดเจนว่าสิ่งนี้เป็นจริงเมื่อเราพูดถึงรากที่สอง เมื่อเลขชี้กำลังเป็นสามหรือสี่ ตัวประกอบเฉพาะจะต้องให้กำลังสามหรือกำลังสี่ของตัวเลข
- ลบปัจจัยที่ให้พลังทั้งหมดออกจากใต้เครื่องหมายหัวรุนแรง
- ดูว่าคำที่คล้ายกันปรากฏขึ้นอีกครั้งหรือไม่ ถ้าใช่ ให้ทำขั้นตอนที่สองอีกครั้ง
ในสถานการณ์ที่งานไม่ต้องการค่ารูทที่แน่นอน สามารถคำนวณได้โดยใช้เครื่องคิดเลข ไม่มีที่สิ้นสุด ทศนิยมซึ่งจะปรากฏในหน้าต่างโดยปัดขึ้น ส่วนใหญ่มักจะทำสิ่งนี้ถึงร้อย แล้วดำเนินการทั้งหมดสำหรับเศษส่วนทศนิยม
นี่คือข้อมูลทั้งหมดเกี่ยวกับวิธีการเพิ่มรูท ตัวอย่างด้านล่างนี้จะแสดงให้เห็นข้างต้น
งานแรก
คำนวณค่าของนิพจน์:
ก) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;
ข) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;
ค) √275 - 10√11 + 2√99 + √396
ก) หากคุณปฏิบัติตามอัลกอริธึมข้างต้น คุณจะเห็นว่าไม่มีอะไรสำหรับสองการกระทำแรกในตัวอย่างนี้ แต่คุณสามารถจัดรูปพจน์รากศัพท์ให้ง่ายขึ้นได้
ตัวอย่างเช่น แยก 32 ออกเป็นสองตัวประกอบ 2 และ 16 18 จะเท่ากับผลคูณของ 9 และ 2; 128 คือ 2 ส่วน 64 เมื่อพิจารณาเช่นนี้ นิพจน์จะเขียนได้ดังนี้:
√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9)
ตอนนี้คุณต้องลบปัจจัยเหล่านั้นที่ให้กำลังสองของตัวเลขออกจากใต้เครื่องหมายราก นี่คือ 16=4 2, 9=3 2, 64=8 2. การแสดงออกจะอยู่ในรูปแบบ:
√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.
เราจำเป็นต้องทำให้การบันทึกง่ายขึ้นเล็กน้อย เมื่อต้องการทำเช่นนี้ ให้คูณค่าสัมประสิทธิ์ก่อนสัญญาณรูท:
√2 + 12√2 + 4 √2 - 12√2.
ในสำนวนนี้คำศัพท์ทั้งหมดมีความคล้ายคลึงกัน ดังนั้นคุณเพียงแค่ต้องพับมัน คำตอบจะเป็น: 5√2
b) เช่นเดียวกับตัวอย่างก่อนหน้านี้ การเพิ่มรากเริ่มต้นด้วยการทำให้รากง่ายขึ้น นิพจน์ราก 75, 147, 48 และ 300 จะแสดงเป็นคู่ต่อไปนี้: 5 และ 25, 3 และ 49, 3 และ 16, 3 และ 100 แต่ละรายการมีตัวเลขที่สามารถนำออกมาจากใต้เครื่องหมายรูทได้ : :
5√5 - 7√3 + 4√3 - 1/5 * 10√3.
หลังจากลดความซับซ้อนแล้ว คำตอบคือ: 5√5 - 5√3 สามารถปล่อยไว้ในรูปแบบนี้ได้ แต่ควรนำตัวประกอบร่วม 5 ออกจากวงเล็บจะดีกว่า: 5 (√5 - √3)
c) และการแยกตัวประกอบอีกครั้ง: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36 หลังจากลบปัจจัยออกจากใต้เครื่องหมายรากแล้ว เราก็จะได้:
5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11 หลังจากนำพจน์ที่คล้ายกันมา เราจะได้ผลลัพธ์: 7√11
ตัวอย่างนิพจน์เศษส่วน
√(45/4) - √20 - 5√(1/18) - 1/6 √245 + √(49/2).
คุณจะต้องแยกตัวประกอบตัวเลขต่อไปนี้: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49 เช่นเดียวกับที่กล่าวไว้แล้ว คุณต้องลบตัวประกอบออกจากใต้เครื่องหมายรูท และลดความซับซ้อนของนิพจน์:
3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½)
สำนวนนี้ต้องกำจัดความไม่ลงตัวในตัวส่วนออกไป เมื่อต้องการทำเช่นนี้ คุณต้องคูณเทอมที่สองด้วย √2/√2:
5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2
เพื่อให้การดำเนินการเสร็จสมบูรณ์ คุณต้องเลือกปัจจัยทั้งหมดที่อยู่หน้าราก อันแรกคือ 1 อันที่สองคือ 2
ในยุคของเราที่มีคอมพิวเตอร์อิเล็กทรอนิกส์สมัยใหม่ การคำนวณรากของตัวเลขดูเหมือนจะไม่ใช่เรื่องยาก ตัวอย่างเช่น √2704=52 เครื่องคิดเลขใดๆ ก็ตามจะคำนวณสิ่งนี้ให้คุณ โชคดีที่เครื่องคิดเลขมีให้ใช้งานไม่เพียง แต่ใน Windows เท่านั้น แต่ยังอยู่ในโทรศัพท์ธรรมดาแม้กระทั่งโทรศัพท์ที่ง่ายที่สุดด้วย จริงอยู่หากจู่ๆ (ด้วยความน่าจะเป็นในระดับต่ำซึ่งการคำนวณนั้นรวมถึงการบวกราก) คุณพบว่าตัวเองไม่มีเงินทุนอนิจจาคุณจะต้องพึ่งพาสมองของคุณเท่านั้น
การฝึกจิตใจไม่เคยล้มเหลว โดยเฉพาะสำหรับผู้ที่ไม่ได้ทำงานกับตัวเลขที่มักจะไม่ค่อยมีรากมากนัก การเพิ่มและการลบรากเป็นการออกกำลังกายที่ดีสำหรับจิตใจที่เบื่อหน่าย ฉันจะแสดงวิธีเพิ่มรูตทีละขั้นตอนด้วย ตัวอย่างของสำนวนอาจเป็นดังนี้
สมการเพื่อลดความซับซ้อน:
√2+3√48-4×√27+√128
นี่เป็นการแสดงออกที่ไม่ลงตัว เพื่อให้ง่ายขึ้น คุณต้องลดนิพจน์รากทั้งหมดลง ลักษณะทั่วไป- เราทำทีละขั้นตอน:
ตัวเลขแรกไม่สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้อีกต่อไป มาดูเทอมที่สองกันดีกว่า
3√48 เราแยกตัวประกอบ 48: 48=2×24 หรือ 48=3×16 ของ 24 ไม่ใช่จำนวนเต็ม เช่น มีเศษเหลืออยู่ เนื่องจากเราต้องการค่าที่แน่นอน ค่ารากโดยประมาณจึงไม่เหมาะกับเรา รากที่สองของ 16 คือ 4 เอาออกจากใต้ เราได้: 3×4×√3=12×√3
นิพจน์ถัดไปของเราเป็นลบ เช่น เขียนด้วยเครื่องหมายลบ -4×√(27.) เราแยกตัวประกอบ 27 เราได้ 27=3×9 เราไม่ใช้ตัวประกอบที่เป็นเศษส่วนเพราะการคำนวณรากที่สองของเศษส่วนทำได้ยากกว่า เรานำ 9 ออกจากใต้ป้ายนั่นคือ คำนวณรากที่สอง เราได้นิพจน์ต่อไปนี้: -4×3×√3 = -12×√3
เทอมถัดไป √128 จะคำนวณส่วนที่สามารถนำออกจากใต้รากได้ 128=64×2 โดยที่ √64=8 ถ้ามันช่วยให้คุณง่ายขึ้น คุณสามารถจินตนาการสำนวนนี้ได้: √128=√(8^2×2)
เราเขียนนิพจน์ใหม่ด้วยเงื่อนไขที่ง่ายขึ้น:
√2+12×√3-12×√3+8×√2
ตอนนี้เราบวกตัวเลขโดยใช้นิพจน์รากเดียวกัน คุณไม่สามารถเพิ่มหรือลบนิพจน์ที่มีนิพจน์ที่รุนแรงต่างกันได้ การเพิ่มรูทต้องปฏิบัติตามกฎนี้
เราได้รับคำตอบดังต่อไปนี้:
√2+12√3-12√3+8√2=9√2
√2=1×√2 - ฉันหวังว่าความจริงที่ว่าในพีชคณิตเป็นเรื่องปกติที่จะละเว้นองค์ประกอบดังกล่าวจะไม่เป็นข่าวสำหรับคุณ
นิพจน์สามารถแสดงได้ไม่เพียงแต่ด้วยรากที่สองเท่านั้น แต่ยังแสดงด้วยลูกบาศก์หรือรากอีกด้วย ระดับที่ n.
การบวกและการลบรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกัน แต่มีนิพจน์รากที่เท่ากัน จะเกิดขึ้นดังนี้:
หากเรามีนิพจน์อยู่ในรูปแบบ √a+∛b+∜b เราก็สามารถจัดรูปนิพจน์นี้ให้ง่ายขึ้นได้ดังนี้:
∛b+∜b=12×√b4 +12×√b3
12√b4 +12×√b3=12×√b4 + b3
เรานำสมาชิกที่คล้ายกันสองคนมาด้วย ตัวบ่งชี้โดยรวมราก ในที่นี้มีการใช้คุณสมบัติของรากซึ่งระบุว่า: หากจำนวนระดับของนิพจน์รากและจำนวนเลขชี้กำลังของรากคูณด้วยจำนวนเดียวกัน การคำนวณจะยังคงไม่เปลี่ยนแปลง
หมายเหตุ: เลขชี้กำลังจะบวกเมื่อคูณเท่านั้น
ลองพิจารณาตัวอย่างเมื่อนิพจน์มีเศษส่วน
5√8-4×√(1/4)+√72-4×√2
เราจะตัดสินใจเป็นขั้นตอน:
5√8=5*2√2 - เรานำส่วนที่แยกออกมาออกจากใต้รูต
4√(1/4)=-4 √1/(√4)= - 4 *1/2= - 2
หากตัวรากแทนด้วยเศษส่วน เศษส่วนนี้มักจะไม่เปลี่ยนแปลงหากคุณหารากที่สองของเงินปันผลและตัวหาร เป็นผลให้เราได้รับความเท่าเทียมกันตามที่อธิบายไว้ข้างต้น
√72-4√2=√(36×2)- 4√2=2√2
10√2+2√2-2=12√2-2
นี่คือคำตอบ
สิ่งสำคัญที่ต้องจำก็คือ ไม่สามารถแยกรากที่มีเลขชี้กำลังคู่ออกจากจำนวนลบได้ หากนิพจน์รากของระดับคู่เป็นลบ แสดงว่านิพจน์นั้นแก้ไม่ได้
การบวกรากเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อนิพจน์รากตรงกันเนื่องจากเป็นคำที่คล้ายกัน เช่นเดียวกับความแตกต่าง
การบวกรากที่มีเลขชี้กำลังต่างกันจะดำเนินการโดยการลดพจน์ทั้งสองให้เหลือระดับรากร่วม กฎข้อนี้ใช้วิธีเดียวกันกับการลดตัวส่วนร่วมเมื่อทำการบวกหรือลบเศษส่วน
ถ้านิพจน์รากมีตัวเลขยกกำลัง นิพจน์นี้สามารถทำให้ง่ายขึ้นได้ โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีตัวส่วนร่วมระหว่างเลขชี้กำลังของรากและกำลัง
ในทางคณิตศาสตร์ รากสามารถเป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ลูกบาศก์ หรือมีเลขชี้กำลังอื่นๆ (กำลัง) ซึ่งเขียนไว้ทางด้านซ้ายเหนือเครื่องหมายราก นิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากเรียกว่านิพจน์ราก การบวกรากจะคล้ายกับการเพิ่มเงื่อนไขของนิพจน์พีชคณิต กล่าวคือ ต้องระบุรากที่คล้ายกัน
ขั้นตอน
ส่วนที่ 1 จาก 2: การระบุรากการกำหนดรากนิพจน์ที่อยู่ใต้เครื่องหมายรูท () หมายความว่าจำเป็นต้องแยกรูทในระดับหนึ่งออกจากนิพจน์นี้
- รากจะถูกระบุด้วยเครื่องหมาย
- เลขชี้กำลัง (ดีกรี) ของรากเขียนไว้ทางซ้ายเหนือเครื่องหมายราก ตัวอย่างเช่น รากที่สามของ 27 เขียนเป็น: (27)
- หากดัชนี (ดีกรี) ของรูตหายไป เลขชี้กำลังจะถือว่าเท่ากับ 2 นั่นคือมันคือรากที่สอง (หรือรูตของดีกรีที่สอง)
- ตัวเลขที่เขียนก่อนเครื่องหมายรากเรียกว่าตัวคูณ (นั่นคือ ตัวเลขนี้คูณด้วยราก) เช่น 5 (2)
- หากไม่มีตัวประกอบอยู่หน้าราก ก็จะเท่ากับ 1 (จำไว้ว่าจำนวนใดๆ คูณด้วย 1 จะเท่ากับตัวมันเอง)
- หากนี่เป็นครั้งแรกที่คุณทำงานกับราก ให้จดบันทึกตัวคูณและเลขชี้กำลังรากอย่างเหมาะสมเพื่อหลีกเลี่ยงความสับสนและเข้าใจจุดประสงค์ของมันได้ดีขึ้น
จำไว้ว่ารากไหนพับได้และรากไหนทำไม่ได้เช่นเดียวกับที่คุณไม่สามารถเพิ่มเงื่อนไขที่แตกต่างกันของนิพจน์ได้ เช่น 2a + 2b 4ab คุณไม่สามารถเพิ่มรากที่ต่างกันได้
ระบุและจัดกลุ่มรากที่คล้ายกันรากที่คล้ายกันคือรากที่มีตัวชี้วัดเหมือนกันและมีการแสดงออกถึงรากที่เหมือนกัน ตัวอย่างเช่น พิจารณานิพจน์:
2 (3) + (81) + 2 (50) + (32) + 6 (3)
- ขั้นแรก เขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากอยู่ ตัวบ่งชี้เดียวกันตั้งอยู่ตามลำดับ
2 (3) + 2 (50) + (32) + 6 (3) + (81) - จากนั้นเขียนนิพจน์ใหม่เพื่อให้รากที่มีเลขชี้กำลังเท่ากันและมีนิพจน์รากเดียวกันอยู่ตามลำดับ
2 (50) + (32) + 2 (3) + 6 (3) + (81)
ลดความซับซ้อนของรากในการทำเช่นนี้ ให้แยกย่อย (หากเป็นไปได้) การแสดงออกถึงรากถึงรากออกเป็นสองปัจจัย โดยหนึ่งในนั้นจะถูกดึงออกมาจากใต้ราก ในกรณีนี้ จำนวนที่ลบออกและตัวประกอบรากจะถูกคูณกัน
บวกตัวประกอบของรากที่คล้ายกัน.ในตัวอย่างของเรา มีรากที่สองที่คล้ายกันของ 2 (สามารถเพิ่มได้) และรากที่สองที่คล้ายกันของ 3 (ก็สามารถบวกได้เช่นกัน) รากที่สามของ 3 ไม่มีรากดังกล่าว
- ไม่มีกฎที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับลำดับการเขียนรากในนิพจน์ ดังนั้นคุณสามารถเขียนรากตามลำดับจากน้อยไปหามากของตัวบ่งชี้และเรียงลำดับจากน้อยไปมากของนิพจน์ที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง
โปรดทราบ วันนี้เท่านั้น!
ทุกสิ่งที่น่าสนใจ
ตัวเลขที่อยู่ใต้เครื่องหมายรากมักจะรบกวนการแก้สมการและทำให้ไม่สะดวกในการทำงาน แม้ว่าจะถูกยกกำลัง เศษส่วน หรือไม่สามารถแทนจำนวนเต็มเป็นกำลังที่แน่นอนได้ คุณก็ลองหาค่าได้จาก...
รากของตัวเลข x คือตัวเลขที่เมื่อยกกำลังราก จะเท่ากับ x ตัวคูณคือจำนวนที่กำลังคูณ นั่นคือ ในนิพจน์ในรูปแบบ x*ª-&radic-y คุณต้องป้อน x ใต้ราก คำแนะนำ 1 กำหนดระดับ...
หากนิพจน์ที่รุนแรงประกอบด้วยชุดของการดำเนินการทางคณิตศาสตร์พร้อมตัวแปรบางครั้งอันเป็นผลมาจากการทำให้ง่ายขึ้นจึงเป็นไปได้ที่จะได้รับค่าที่ค่อนข้างง่ายซึ่งส่วนหนึ่งสามารถนำออกมาจากใต้รูทได้ การลดความซับซ้อนนี้จะมีประโยชน์...
การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่มีรากขององศาต่างๆ สามารถทำให้การคำนวณทางฟิสิกส์และเทคโนโลยีง่ายขึ้นอย่างมาก และทำให้การคำนวณมีความแม่นยำมากขึ้น เมื่อคูณหารจะสะดวกกว่าที่จะไม่แยกรากของแต่ละตัวประกอบหรือเงินปันผลและตัวหาร แต่ก่อนอื่น...
รากที่สองของตัวเลข x คือตัวเลข a ซึ่งเมื่อคูณด้วยตัวมันเองจะได้ตัวเลข x: a * a = a^2 = x, x = a เช่นเดียวกับตัวเลขอื่นๆ คุณสามารถดำเนินการทางคณิตศาสตร์ของการบวกและการลบด้วยรากที่สองได้ คำแนะนำ...
รากในคณิตศาสตร์สามารถมีได้สองความหมาย: เป็นการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และการแก้สมการแต่ละอย่างของสมการ พีชคณิต พาราเมตริก อนุพันธ์ หรืออื่นๆ คำแนะนำ 1 รากที่ n ของ a เป็นตัวเลขที่...
เมื่อดำเนินการทางคณิตศาสตร์ต่างๆ ด้วยราก มักจำเป็นต้องมีความสามารถในการแปลงนิพจน์ราก เพื่อให้การคำนวณง่ายขึ้น คุณอาจต้องย้ายตัวคูณออกไปนอกเครื่องหมายกรณฑ์หรือบวกไว้ข้างใต้ การดำเนินการนี้สามารถ...
รูตเป็นไอคอนที่แสดงถึงการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ในการค้นหาตัวเลข การยกกำลังที่ระบุที่ด้านหน้าเครื่องหมายรูตควรให้ตัวเลขที่ระบุใต้เครื่องหมายนี้ บ่อยครั้งในการแก้ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับ...
ในสาขาวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ เครื่องหมายรากเป็นสัญลักษณ์ของราก ตัวเลขใต้เครื่องหมายรากเรียกว่านิพจน์ราก หากไม่มีเลขชี้กำลัง รากจะเป็นรากที่สอง มิฉะนั้น ตัวเลขจะบ่งชี้ว่า...
เลขคณิต รากที่ nกำลังของจำนวนจริง a เป็นจำนวนไม่เป็นลบ x ระดับที่ nซึ่งเท่ากับเลข a เหล่านั้น. (n) ก = x, x^n = ก มี วิธีต่างๆการบวกรากเลขคณิตและจำนวนตรรกยะ...
รากที่ n ของจำนวนจริง a คือตัวเลข b ซึ่งความเท่าเทียมกัน b^n = a ยังคงอยู่ มีรากที่แปลกสำหรับค่าลบและ ตัวเลขบวกและรากขององศาคู่มีไว้สำหรับค่าบวกเท่านั้น...
ทฤษฎี
การบวกและการลบรากมีการศึกษาในหลักสูตรคณิตศาสตร์เบื้องต้น เราถือว่าผู้อ่านรู้แนวคิดเรื่องปริญญา
คำจำกัดความ 1
รากของ $n$ ของจำนวนจริง $a$ คือ จำนวนจริง$b$ โดยที่ $n$th กำลังเท่ากับ $a$: $b=\sqrt[n]a, b^n=a.$ โดยที่ $a$ คือนิพจน์ราก ส่วน $n$ คือ เลขชี้กำลังของรูต $b $ - ค่ารูต เครื่องหมายรากเรียกว่ากรณฑ์
ค่าผกผันของการแยกรากคือการยกกำลัง
การดำเนินการพื้นฐานที่มีรากทางคณิตศาสตร์:
รูปที่ 1 การดำเนินการพื้นฐานที่มีรากทางคณิตศาสตร์ Author24 - แลกเปลี่ยนผลงานนักศึกษาออนไลน์
ดังที่เราเห็นในการดำเนินการที่ระบุไว้ไม่มีสูตรสำหรับการบวกและการลบ การกระทำที่มีรูตเหล่านี้ดำเนินการในรูปแบบของการเปลี่ยนแปลง สำหรับการแปลงเหล่านี้ คุณควรใช้สูตรคูณแบบย่อ:
$(\sqrt a - \sqrt b)(\sqrt a + \sqrt b)=a-b;$
$(\sqrta-\sqrtb)(\sqrt(a^2)+\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a-b;$
$(\sqrta+\sqrtb)(\sqrt(a^2)-\sqrt(ab)+\sqrt(b^2))=a+b;$
$a\sqrt a+b\sqrt b=(\sqrt a)^3+(\sqrt b)^3=(\sqrt a+\sqrt b)(a-\sqrt(ab)+b);$
$a\sqrt a-b\sqrt b=(\sqrt a)^3-(\sqrt b)^3=(\sqrt a-\sqrt b)(a+\sqrt(ab)+b).$
เป็นที่น่าสังเกตว่าการกระทำของการบวกและการลบเกิดขึ้นในตัวอย่างของนิพจน์ที่ไม่ลงตัว: $ab\sqrt(m-n); 1+\sqrt3.$
ตัวอย่าง
ลองดูตัวอย่างกรณีที่มีการใช้ "การทำลาย" ของการไร้เหตุผลในตัวส่วน อันเป็นผลมาจากการเปลี่ยนแปลงเมื่อนิพจน์ที่ไม่ลงตัวปรากฏขึ้นทั้งในตัวเศษและตัวส่วนก็จำเป็นต้อง "ทำลาย" ความไม่ลงตัวในตัวส่วน
ตัวอย่างที่ 1
$\frac(1)(\sqrt7-\sqrt6)=\frac(\sqrt7+\sqrt6)((\sqrt7-\sqrt6)(\sqrt7+\sqrt6))=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(7-6 )=\frac(\sqrt7+\sqrt6)(1)=\sqrt7+\sqrt6.$
ในตัวอย่างนี้ เราคูณตัวเศษและส่วนของเศษส่วนด้วยสังยุคของตัวส่วน ดังนั้น ตัวส่วนจึงถูกแปลงโดยใช้ผลต่างของสูตรกำลังสอง
