วิธีปริมาตรจำกัดบนตารางที่ไม่ปกติ วิธีปริมาตรจำกัด

การแก้ปัญหาเชิงตัวเลขของฟิสิกส์คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งในวิธีการหลักในการศึกษาปรากฏการณ์จริง การใช้การทดลองทางคอมพิวเตอร์และฟิสิกส์ร่วมกันในการวิเคราะห์ปรากฏการณ์ใด ๆ ช่วยลดจำนวนการวัดการทดลองที่มีราคาแพง และในทางกลับกันสามารถตรวจสอบและปรับปรุงแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ได้

เมื่อความเร็วของระบบคอมพิวเตอร์เพิ่มขึ้น ความต้องการใหม่ก็เกิดขึ้นกับวิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาฟิสิกส์คณิตศาสตร์ การพัฒนาและปรับปรุงวิธีการสมัยใหม่ในการแบ่งแยกกฎหมายการอนุรักษ์ซึ่งให้ความสามารถในการจำลองปัญหาประเภทใหม่ ๆ และได้รับผลลัพธ์ที่ดีขึ้นอย่างมากเมื่อแก้ไขปัญหาที่ทราบเป็นพื้นที่สำคัญของการวิจัย

อัลกอริธึมการคำนวณสมัยใหม่ควรให้คำอธิบายที่แม่นยำที่สุดเกี่ยวกับพื้นที่ที่มีรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อน ซึ่งสามารถทำได้โดยใช้ตาข่ายที่ไม่ตั้งฉากและไม่มีโครงสร้าง เมื่อเปรียบเทียบกับตาข่ายที่ไม่ตั้งฉากตามอำเภอใจ สำหรับตาข่ายที่เรียบง่ายที่ไม่มีโครงสร้าง (สามเหลี่ยมในกรณีสองมิติและการแบ่งเป็นจัตุรมุขในกรณีสามมิติ) การควบแน่นเฉพาะที่จะดำเนินการได้ง่ายกว่า (เช่น หลังขั้นตอนด้านหลัง ในโซน ของการแคบลงอย่างกะทันหันในบริเวณใกล้เคียงกับจุดแนบ) และหากจำเป็น การปรับตารางการคำนวณขึ้นอยู่กับพฤติกรรมของโซลูชัน ดังนั้น แม้ว่ากฎหมายการอนุรักษ์จะแยกความแตกต่างในโดเมนที่เรียบง่ายทางเรขาคณิต ซึ่งสามารถแสดงได้อย่างแม่นยำด้วยชุดขององค์ประกอบสี่เหลี่ยม แต่ตาข่ายแบบเรียบง่ายที่ไม่มีโครงสร้างก็มีข้อดีหลายประการ แม้จะมีข้อได้เปรียบที่ชัดเจนของกริดที่ไม่มีโครงสร้างสำหรับการประมาณขอบเขตตามอำเภอใจและความเป็นไปได้ในการสร้างพาร์ติชันแบบง่าย ๆ โดยอัตโนมัติ แต่ก็ไม่ได้ถูกนำมาใช้จริงในพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณ และในช่วง 15 ปีที่ผ่านมาเท่านั้นที่ได้รับความนิยมมากขึ้น ตามคำให้การของ B. Stoufflett และคณะ เหตุผลก็คือเวลาในการคำนวณที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วเมื่อเปลี่ยนไปใช้แนวทางที่ไม่มีโครงสร้าง ความจริงก็คือตำแหน่งขององค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ในเมทริกซ์ของอะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องนั้นขึ้นอยู่กับความต่อเนื่องของโหนดกริดและโดยพลการเมทริกซ์จะถูกจัดเก็บโดยใช้รูปแบบสากลและโครงสร้างข้อมูล การดำเนินการคูณเมทริกซ์กระจัดกระจายด้วยเวกเตอร์และการแยกตัวประกอบที่ไม่สมบูรณ์กลายเป็น "ราคาแพง" มากขึ้น ในเวลาเดียวกัน ระบบสมการพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณเป็นระบบสมการที่ไม่เชิงเส้นที่เชื่อมโยงถึงกัน รูปแบบการแก้ปัญหาโดยนัยซึ่งมีลักษณะการวนซ้ำหลายระดับ ดังนั้นในการวนซ้ำ "ทั่วโลก" แต่ละครั้งจึงจำเป็นต้องแก้ระบบต่างๆ ของ สมการพีชคณิตเชิงเส้น ด้วยการถือกำเนิดของระบบคอมพิวเตอร์ที่ทรงพลัง เช่นเดียวกับการพัฒนาวิธีการแบบปรับตัวและแบบหลายกริด ซึ่งทำให้สามารถใช้กริดที่ไม่มีโครงสร้างและแผนการแยกส่วนเชิงพื้นที่ที่สอดคล้องกันสำหรับการสร้างแบบจำลองกระบวนการไฮโดรแก๊สไดนามิก

วิธีการแยกส่วนที่พบมากที่สุดในกรณีที่ไม่มีโครงสร้างคือวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (FEM) ให้เราสังเกตข้อดีของวิธีการดังกล่าว เช่น การรักษาลักษณะสมมาตรของส่วนที่อยู่ติดกันเองของตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลในอะนาล็อกที่แยกจากกัน (ซึ่งทำได้โดยการเลือกพื้นที่พิเศษของฟังก์ชันทดสอบที่ตรงกับพื้นที่ของฟังก์ชันทดลอง) ความเป็นไปได้ในการเพิ่มความแม่นยำของการประมาณโดยการเพิ่มระดับของพหุนามการประมาณค่าของการแทนค่าโซลูชันเฉพาะที่ (ที่เรียกว่า FEM เวอร์ชัน p และ hp) การพิจารณาโดยธรรมชาติของเงื่อนไขขอบเขตของชนิดที่สองและสาม วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์มีพื้นฐานทางเทคโนโลยีที่กำหนดไว้โดยเฉพาะ

วิธีการประมาณผลิตภัณฑ์ภายในภายใต้สมมติฐานของการแทนค่าพหุนามทีละชิ้นของการแก้ปัญหาและพารามิเตอร์ของปัญหาค่าขอบเขต กล่าวคือ การใช้การสลายตัวพื้นฐานของพื้นที่ไฟไนต์เอลิเมนต์ที่สอดคล้องกัน คลาสของสูตรอินทิกรัลที่ทำให้สามารถบูรณาการตามอำเภอใจได้อย่างแม่นยำ ผลคูณของฟังก์ชันพื้นฐานเหนือองค์ประกอบพาร์ติชันและขอบ (ใบหน้า) ขององค์ประกอบ

เครื่องมือแก้ไขมาตรฐาน

เทคโนโลยีของวิธีการช่วยให้สามารถสร้างอะนาล็อกที่ไม่ต่อเนื่องของปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นได้อย่างง่ายดายและสม่ำเสมอ โดยมีเงื่อนไขขอบเขตประเภทต่างๆ ภายใต้สมมติฐานของระดับความเรียบของการแก้ปัญหาและพฤติกรรมพหุนามแบบชิ้นเดียวของสัมประสิทธิ์ของสมการและ เงื่อนไขขอบเขต , .

ในการใช้งานหลายอย่าง เช่น การสร้างแบบจำลองการไหลของก๊าซความเร็วเหนือเสียงและทรานโซนิก และการคำนวณโดยใช้แบบจำลองน้ำตื้น การอนุรักษ์ท้องถิ่นของแผนงานที่ใช้ในการแยกแยะกฎหมายการอนุรักษ์เป็นสิ่งสำคัญมาก วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ไม่อนุญาตให้ใครติดตามคุณลักษณะของโซลูชันที่ไม่ต่อเนื่องที่เกิดขึ้นใหม่ได้อย่างแม่นยำ และวิธีการดั้งเดิมในการแก้ปัญหาดังกล่าวคือวิธีไฟไนต์วอลุ่ม เมื่อแยกระบบกฎการอนุรักษ์ด้วยวิธีปริมาตรจำกัด โดเมนการคำนวณจะถูกประมาณด้วยชุดของปริมาตรจำกัดแบบเปิด จากนั้นผู้วิจัยจะ "ถอยหลัง" โดยย้ายไปยังรูปแบบอินทิกรัลของระบบสมการดั้งเดิม เมื่อใช้สูตร Ostrogradsky-Gauss เราย้ายจากการรวมปริมาตรไปเป็นอินทิกรัลขอบเขต ดังนั้นวิธีการประมาณการไหลผ่านหน้าของปริมาตรจำกัดจะกำหนดรูปแบบการคำนวณได้อย่างสมบูรณ์ ตามเอกสารของ S. Patankar "สำหรับนักวิจัยส่วนใหญ่ที่ทำงานในด้านอุทกพลศาสตร์และการถ่ายเทความร้อน วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ยังคงดูลึกลับอยู่ สูตรแปรผันและแม้แต่วิธี Galerkin ก็ไม่ให้ความสำคัญกับการตีความทางกายภาพง่ายๆ" ในเวลาเดียวกัน แผนปริมาณจำกัดมีความหมายทางกายภาพที่แน่นอนของความสมดุลของฟลักซ์และเงื่อนไขของแหล่งที่มาในแต่ละปริมาตรจำกัดที่ประมาณโดเมนการคำนวณ ซึ่งทำให้วิธีปริมาณจำกัดน่าสนใจยิ่งขึ้น "ความเรียบง่าย" ของ MKO เป็นหนึ่งในสาเหตุของการขาดพื้นฐานทางเทคโนโลยีทั่วไปสำหรับวิธีการนี้

ดังนั้น ข้อดีของ MKO เวอร์ชันคลาสสิก (วิธีปริมาณจำกัด/ผลต่างอันจำกัด, FVDM) รวมถึงการอนุรักษ์แผนงานที่ไม่ต่อเนื่องในท้องถิ่น ความเรียบง่ายและความชัดเจนที่มากขึ้น และความเป็นไปได้ในการคำนึงถึงเงื่อนไขขอบเขตของประเภทที่สองโดยธรรมชาติ นอกจากนี้ ในกรณีของการแก้ปัญหาที่มีความเด่นของการพาความร้อน การดำเนินการตามแผนการไหลทวนจะง่ายขึ้น เนื่องจากการไหลผ่านหน้าของปริมาตรจำกัดนั้นถูกวิเคราะห์และปริมาณโดยประมาณ

ความพยายามที่จะจัดระบบการประมาณปริมาณจำกัดทำให้เกิดการผสมผสานบางส่วนของเทคโนโลยี FEM และหลักการของการบูรณาการในปริมาณจำกัด วิธีแรกสุดกลับไปที่งานของ B. R. Baliga, K. Prakash และ S. Patankar และเป็นที่รู้จักในชื่อวิธี CVFEM (วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แบบควบคุมปริมาตร-เบส) ซึ่งต่อไปนี้จะเรียกว่าวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์/ไฟไนต์เอลิเมนต์ (FVM/ เอฟอี) ผู้เขียนวิธีการติดตามเป้าหมายในการสร้างรูปแบบอนุรักษ์นิยมของวิธีไฟไนต์วอลุ่ม โดยใช้ข้อดีหลักประการหนึ่งของ FEM นั่นคือความสามารถในการประมาณรูปทรงเรขาคณิตที่ซับซ้อนโดยใช้ตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง ฟังก์ชันโปรไฟล์ในคลาสของวิธีการนี้เป็น "ลักษณะเสริม" โดยไม่ได้เน้นถึงความเป็นของการแก้ปัญหาของช่องว่างขององค์ประกอบอันจำกัด ชุด Barycentric ถูกใช้เป็นพาร์ติชันคู่

เป็นครั้งแรกที่มีการพูดคุยถึงปัญหาการขาดหลักการทางเทคโนโลยีสากลของวิธีปริมาตรจำกัด/ผลต่างอันจำกัด (MKO/KR, FVDM) ในงานของ Z. Kaya เรื่อง “วิธีปริมาณจำกัด/องค์ประกอบ” ผู้เขียนดึงความสนใจของผู้อ่านไปที่ "ธรรมชาติที่ไม่เป็นระบบของปริมาตรจำกัด/วิธีผลต่างอันจำกัด"; เมื่อประมาณระบบกฎการอนุรักษ์ด้วยวิธีปริมาตรจำกัด/ผลต่างอันจำกัด การประมาณประเภทต่างๆ สามารถใช้ในงานเดียวกันได้ ซึ่งทำให้การวิเคราะห์การลู่เข้าของรูปแบบดังกล่าวมีความซับซ้อนมากขึ้น มีการเสนอวิธีแก้ไขปัญหานี้ - การใช้แนวคิดวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ร่วมกัน (การค้นหาวิธีแก้ไขในพื้นที่ไฟไนต์เอลิเมนต์บางส่วน และใช้พฤติกรรมพหุนามแบบแยกส่วนของสารละลายเพื่อคำนวณการไหล) และรูปแบบอินทิกรัลของกฎหมายการอนุรักษ์ ดังนั้น วิธีไฟไนต์วอลุ่ม/องค์ประกอบ (FME/E, "วิธีการแบบกล่อง", FVE) จึงเกิดขึ้นจากความพยายามที่จะสร้าง "เทคโนโลยีไฟไนต์วอลุ่มที่เป็นระบบมากขึ้น" การไม่มีหลักการทางเทคโนโลยีทั่วไปของวิธีปริมาตรจำกัด/ผลต่างอันจำกัดก็ถูกบันทึกไว้ในงานของ JI เช่นกัน Guryeva และ V.P. Ilyin

วิธีไฟไนต์วอลุ่ม/ไฟไนต์เอลิเมนต์ (FVE) และวิธีไฟไนต์วอลุ่ม/ไฟไนต์เอลิเมนต์ (CVFEM) ใช้ช่องว่างไฟไนต์เอลิเมนต์ที่สอดคล้องกันของฟังก์ชันเชิงเส้นบนซิมเพล็กซ์ และอยู่ในคลาสของโครงร่างปริมาตรไฟไนต์ของเซลล์-จุดสุดยอด รูปที่. 1, ก.

รูปแบบพลศาสตร์ของไหลเชิงคำนวณจำนวนหนึ่ง (การสร้างแบบจำลองของการไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้แบบหนืด) ใช้ช่องว่างขององค์ประกอบจำกัดที่ไม่สอดคล้องกัน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พื้นที่ Crousey-Raviard เชิงเส้นบนองค์ประกอบที่ต่อเนื่องกันที่ศูนย์กลางของขอบของฟังก์ชันการทดสอบ S. Choi และ D. Kwak เสนอวิธีไฟไนต์วอลุ่มโดยใช้ช่องว่างของไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ไม่สอดคล้องกัน โดยศึกษาในผลงานหลายชิ้นโดยนักเขียนคนอื่นๆ (เรียกว่าวิธี subvolume, วิธี covolume) และเป็นโครงร่างที่มีการคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบที่ศูนย์กลาง ของขอบ (

รูปแบบที่พบบ่อยที่สุดในการแก้ปัญหาพลศาสตร์ของก๊าซและการสร้างแบบจำลองภัยพิบัติจากมนุษย์โดยใช้สมการน้ำตื้นคือ รูปแบบปริมาตรจำกัดที่มีเซลล์เป็นศูนย์กลาง รูปที่ 1 1, f. ความนิยมของพวกเขาเกิดจากการที่ในกรณีของการคำนวณสิ่งที่ไม่รู้จักในเซนทรอยด์ โครงร่างไดนามิกของก๊าซส่วนใหญ่ (โครงร่าง S.K. Godunov, โครงร่าง TVD) สามารถถ่ายโอนไปยังกริดที่ไม่มีโครงสร้างโดยไม่มีการเปลี่ยนแปลงทางเทคโนโลยีขั้นพื้นฐาน หรือเข้า

รูปที่ 1. ตำแหน่งของจุดคำนวณที่สัมพันธ์กับโหนดกริด FE

งานนี้พิจารณาคลาสของวิธีไฟไนต์วอลุ่มเป็นหลักด้วยการคำนวณไม่ทราบค่าที่โหนดสามเหลี่ยม (MKO/E, MKO/FE) และจุดกึ่งกลางขอบ (วิธีวอลลุ่มย่อย) ในอนาคต เราจะพูดถึง "วิธีไฟไนต์วอลุ่มโดยใช้ช่องว่างของไฟไนต์เอลิเมนต์" ” ตามการศึกษาจำนวนหนึ่ง (, ) ประเภทของวิธีการเหล่านี้ สำหรับปัญหาการพาความร้อน-การแพร่กระจาย ให้การประมาณการแก้ปัญหาได้ดีกว่าวิธีการที่มีการคำนวณค่าไม่ทราบที่จุดศูนย์กลางของเซลล์ สาเหตุหลักประการหนึ่งคือสำหรับวิธีการที่ระบุไว้ข้างต้น ความต่อเนื่องของอนุพันธ์แรกของฟังก์ชันการทดสอบบนองค์ประกอบของตาข่ายคู่จะยังคงอยู่

แนวทางที่มีประสิทธิภาพในการแก้ปัญหาด้วยความเด่นของการพาความร้อนคือการใช้วิธีการ Galerkin พร้อมฟังก์ชันการทดสอบแบบสมมาตรสำหรับส่วนที่อยู่ติดกันเองของตัวดำเนินการดิฟเฟอเรนเชียลและโครงร่าง MCO อัปสตรีมสำหรับชิ้นส่วนที่ไม่สมมาตรซึ่งเรียกว่า องค์ประกอบไฟไนต์ผสม/วิธีปริมาตร (FEM/O, MEV, องค์ประกอบผสม/วิธีปริมาตร)

งานวิทยานิพนธ์มุ่งเป้าไปที่การปรับปรุงเทคโนโลยีของวิธีไฟไนต์วอลุ่มสำหรับคลาสของวิธีการที่ระบุ (MKO/E, MKO/CE, FEM/O, วิธีปริมาตรย่อย) ในขณะนี้ วิธีการเหล่านี้ยังไม่มีเทคโนโลยีที่คำนึงถึงพฤติกรรมพหุนามแบบแยกชิ้นของสารละลาย เงื่อนไขของแหล่งที่มา และค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอน เราสามารถแสดงเหตุผลต่อไปนี้สำหรับความไม่สมบูรณ์ของอุปกรณ์สำหรับการรวมพหุนามที่แน่นอนในวิธีปริมาตรจำกัดโดยใช้ช่องว่างขององค์ประกอบจำกัด:

1. ต่างจากวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ตรงที่วิธีไฟไนต์วอลุ่มไม่มี p-version เนื่องจากด้วยการแนะนำโหนดเพิ่มเติมและตาข่ายคู่หลายประเภท การอนุรักษ์ท้องถิ่นของตัวแปรจำนวนหนึ่งของกฎหมายการอนุรักษ์ที่เกี่ยวข้อง ละเมิดปริมาณอันจำกัดของ “เอเลี่ยน” ดังนั้น การประมาณจึงจำกัดอยู่ที่ช่องว่างขององค์ประกอบจำกัดลำดับที่ต่ำกว่า

2. เมื่อเปรียบเทียบกับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แล้ว วิธีไฟไนต์วอลุ่มนั้นมีอิสระมากกว่าในการเลือกช่องว่างของฟังก์ชันทดสอบ ซึ่งในกรณีนี้กลับกลายเป็นว่าเกี่ยวข้องกับตำแหน่งของจุดคำนวณของสิ่งที่ไม่ทราบซึ่งสัมพันธ์กับการแยกส่วน โหนด (แบบแผนที่มีตำแหน่งของสิ่งแปลกปลอมที่โหนด จุดกึ่งกลางของขอบ เซนทรอยด์ซิมเพล็กซ์) และวิธีการสร้างกริดคู่ (โดยใช้เซตแบรีเซนตริก ออร์โธเซนตริก และเส้นรอบวง) เมื่อรวมกับความสามารถในการใช้กริดแบบจัดวางหรือแบบเซ ทำให้แผน MCM ที่มีอยู่มีความหลากหลายเต็มรูปแบบในแต่ละแอปพลิเคชัน

สำหรับวิธี MCM สำหรับการแยกกฎการอนุรักษ์ที่ใช้ช่องว่างขององค์ประกอบจำกัด การเลือกช่องว่างเหล่านี้อย่างระมัดระวังสำหรับการแก้ปัญหา สัมประสิทธิ์ของสมการ และเงื่อนไขแหล่งที่มา บางส่วนจะสูญเสียความหมาย ถ้าวิธีการดังกล่าวไม่ได้พัฒนาวิธีการโดยคำนึงถึงการแทนค่าพหุนามทีละชิ้น โดยเฉพาะอย่างยิ่ง อุปกรณ์สำหรับการบูรณาการพหุนามบนองค์ประกอบของตาข่ายคู่ โดเมนย่อยขององค์ประกอบ และส่วนของขอบเส้นขอบ ด้วยเหตุนี้ควรพิจารณาผลลัพธ์ของการคำนวณโดยใช้โครงร่างที่สร้างขึ้นจากมุมมองของผลกระทบของการรวมตัวเลขโดยคำนึงถึงวิธีการต่าง ๆ ในการดำเนินการ การเปรียบเทียบผลการวิจัยกับผลงานของผู้เขียนคนอื่นจะยากขึ้นอย่างมาก ฯลฯ

ดังนั้น งานนี้จึงมุ่งเน้นไปที่การแก้ไขเทคโนโลยี MCM/FEM ที่มีอยู่สำหรับการสร้างอะนาลอกแบบแยกกันของปัญหาประเภทการพาความร้อน-การแพร่กระจาย

เทคโนโลยีสำหรับการพิจารณาการแทนค่าพหุนามทีละชิ้นของสารละลาย ค่าสัมประสิทธิ์ของสมการและค่าที่รวมอยู่ในเงื่อนไขขอบเขต ตลอดจนเงื่อนไขของแหล่งที่มาในวิธีปริมาณจำกัดโดยใช้ช่องว่างขององค์ประกอบจำกัดต้องเป็นไปตามข้อกำหนดต่อไปนี้

1) อนุญาตให้มีการรวมกันโดยพลการของการแทนพหุนามของสัมประสิทธิ์และการแก้ปัญหาในองค์ประกอบของพาร์ติชั่นตลอดจนการเพิ่มระดับของพหุนามการประมาณค่าของการเป็นตัวแทนโซลูชันท้องถิ่น

2) ใช้หลักการประมาณแบบรวมเมื่อคำนวณการมีส่วนร่วมขององค์ประกอบที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่าง ๆ ของสมการ (การแพร่ การพาความร้อน เงื่อนไขปฏิกิริยา เงื่อนไขแหล่งกำเนิด) รวมถึงการมีส่วนร่วมจากขอบที่ประมาณส่วนของขอบเขตด้วยเงื่อนไขขอบเขตประเภทต่าง ๆ ที่ระบุ กับพวกเขา;

3) อนุญาตให้มีการสรุปทั่วไปที่เป็นเนื้อเดียวกันกับกรณีสามมิติ

4) คำนึงถึงประสบการณ์ของเทคโนโลยีไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ได้รับการพัฒนาอย่างดี โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การใช้การขยายพื้นฐานของพื้นที่ไฟไนต์เอลิเมนต์ และข้อดีของการบูรณาการการแทนค่าพหุนามแบบทีละชิ้นอย่างแม่นยำของสารละลายและค่าสัมประสิทธิ์การถ่ายโอน

5) จัดให้มีพื้นฐานทางเทคโนโลยีที่เป็นหนึ่งเดียวสำหรับการประมาณ FEM/O แบบผสมที่ใช้ฟังก์ชันทดสอบสองชุด - ปริมาตรจำกัดและองค์ประกอบจำกัด - เพื่อประมาณหนึ่งสมการ

6) หลักการของเทคโนโลยีควรยังคงไม่เปลี่ยนแปลงในระหว่างการเปลี่ยนจากการใช้ปริภูมิไฟไนต์เอลิเมนต์ที่สอดคล้องกัน (วิธีปริมาตรไฟไนต์/ไฟไนต์เอลิเมนต์พร้อมการคำนวณค่าไม่ทราบที่โหนด) ไปสู่การใช้ไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ไม่สอดคล้องกัน (วิธีการคำนวณค่าไม่ทราบที่จุดศูนย์กลาง ของขอบรูปสามเหลี่ยม);

7) เทคโนโลยีนี้สามารถใช้ในการประมาณปัญหาทางกายภาพประเภทต่างๆ

จากเทคโนโลยีที่มีอยู่ของวิธีไฟไนต์วอลุ่มโดยใช้ช่องว่างของไฟไนต์เอลิเมนต์ (วิธีไฟไนต์วอลุ่ม/องค์ประกอบ (FVE), วิธีไฟไนต์วอลุ่ม/ไฟไนต์เอลิเมนต์ (CVFEM), วิธีวอลุ่มย่อย, วิธีวอลุ่มผสม/องค์ประกอบ (MEV)) ไม่มีผู้ใดไม่เป็นไปตามนั้น ข้อกำหนดข้างต้น ดังนั้น การสร้างเทคโนโลยีใหม่สำหรับวิธีการเหล่านี้โดยใช้พาร์ติชันแบบง่ายและชุดแบรีเซนตริกเป็นชุดคู่ดูเหมือนจะเป็นหัวข้อการวิจัยที่เกี่ยวข้อง

ในกรณีที่มีความโดดเด่นของการพาความร้อนอย่างมีนัยสำคัญ การเปรียบเทียบรูปแบบการแยกส่วน MCO ต่างๆ รวมถึงการเปรียบเทียบการคำนวณโดยใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และวิธีการไฟไนต์วอลุ่ม จริงๆ แล้วมาจากการเปรียบเทียบรูปแบบลมเหนือที่สอดคล้องกัน

วิธีที่มีการศึกษาและมักใช้ในกรณีที่ไม่มีโครงสร้างคือโครงร่างทางเหนือลมของคลาสวิธีปริมาตรจำกัดพร้อมการคำนวณตัวแปรที่ศูนย์กลางของเซลล์ แม้ว่าขอบขององค์ประกอบพาร์ติชั่นจะไม่ขนานกับแกนพิกัด แต่โครงร่างเหล่านี้ในกรณีส่วนใหญ่มีลักษณะเป็นมิติเดียวเนื่องจากพวกมันลงมาเพื่อแก้ไขปัญหาการสลายตัวของความไม่ต่อเนื่องในเส้นที่เชื่อมต่อ เซนทรอยด์ของซิมเพล็กซ์ การคำนวณโดยใช้โครงร่างดังกล่าวไม่ได้สร้างโครงสร้างหลายมิติของโฟลว์และมีการแพร่กระจายเชิงตัวเลขมากเกินไป ในการสร้างแผนการประมาณลำดับที่สองอัปสตรีม จำเป็นต้องมีการขยายเทมเพลตอย่างมีนัยสำคัญ ซึ่งในกรณีที่ไม่มีโครงสร้างจะนำไปสู่ความซับซ้อนที่สำคัญของโครงสร้างข้อมูลที่เกี่ยวข้อง

รูปแบบอัปสตรีมสำหรับโครงร่างที่มีการคำนวณไม่ทราบที่โหนดรูปสามเหลี่ยมและจุดกึ่งกลางของขอบปัจจุบันมีจำนวนน้อย (ดู) ในบางกรณี หลักการประมาณต้นน้ำคือการใช้ค่าหนึ่งของสเกลาร์ - ที่โหนดซิมเพล็กซ์ที่อยู่ต้นน้ำ หรือค่าถ่วงน้ำหนักสองค่า - ที่ปลายของขอบซิมเพล็กซ์ที่อยู่ต้นน้ำ FLO (Flow Oriented Upwind Scheme) มีเพียงรูปแบบเดียวที่เป็นที่รู้จัก ซึ่งพัฒนาโดย K. Prakash และ S. Patankar ใช้ประโยชน์จากการคำนวณสิ่งที่ไม่ทราบที่โหนด - ความสามารถในการสร้างฟังก์ชันโปรไฟล์ที่ไม่สมมาตร แต่การคำนวณโดยใช้โครงร่างนี้ถือว่าไม่น่าพอใจเนื่องจากโครงร่างนี้ไม่มีคุณสมบัติเชิงบวกและกระบวนการวนซ้ำมักจะแตกต่างกัน

การประมาณค่าการแพร่กระจายเชิงตัวเลขที่เกิดจากการใช้โครงร่างลมบนกริดแบบง่าย ๆ เป็นปัญหาในตัวมันเอง งานที่มีอยู่ในทิศทางนี้ซึ่งให้การประมาณค่าทางทฤษฎีของลักษณะการลู่เข้านั้นถูก จำกัด อยู่ที่รูปแบบต่างๆสำหรับการคำนวณตัวแปรในศูนย์กลางของเซลล์ ดังนั้น การประมาณอัตราการบรรจบกันของแผน MCO/FE เหนือลมโดยใช้ชุดการทดลองเชิงตัวเลขจึงมีความสำคัญเป็นพิเศษ

ดังนั้นการก่อสร้างและการวิเคราะห์เปรียบเทียบแผน MCO/FE เหนือลมบนกริดที่ไม่มีโครงสร้างจึงเป็นหัวข้อการวิจัยในปัจจุบัน

เป้าหมายของงานคือการพัฒนาเทคโนโลยีการคำนวณสำหรับวิธีปริมาณจำกัดโดยใช้ช่องว่างขององค์ประกอบไฟไนต์เพื่อประมาณปัญหาประเภทการพาความร้อน-การแพร่กระจาย เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ จึงได้มีการกำหนดวัตถุประสงค์การวิจัยต่อไปนี้:

1) การปรับปรุงเทคโนโลยีสำหรับระบบการแยกส่วนของกฎหมายการอนุรักษ์โดยใช้วิธีปริมาณจำกัด/องค์ประกอบไฟไนต์บนกริดแบบง่าย โดยใช้พาร์ติชันแบรีเซนตริกเป็นพาร์ติชันคู่

2) การพัฒนาเทคโนโลยีสำหรับการประมาณปัญหาประเภทการพาความร้อนและการแพร่กระจายด้วยอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มีนัยสำคัญ การก่อสร้าง การใช้งาน และการวิเคราะห์เปรียบเทียบโครงร่างต้นน้ำบนโครงข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง โดยเฉพาะการดำเนินการทดลองทางคอมพิวเตอร์เพื่อประเมินลำดับการประมาณของโครงร่างที่ทราบที่เสนอและแม่นยำที่สุด ตลอดจนการเปรียบเทียบลักษณะของโครงร่างต้นน้ำตาม MCE/FE และ FEM ;

3) การสร้างบนพื้นฐานของเทคโนโลยีที่พัฒนาแล้วของชุดซอฟต์แวร์ที่ทำให้สามารถจำลองการไหลของของเหลวและก๊าซที่มีความหนืดที่ไม่สามารถบีบอัดได้อย่างเพียงพอในพื้นที่ที่ซับซ้อนทางเรขาคณิตทั้งในกรณีที่อยู่กับที่และไม่อยู่กับที่

วิธีการวิจัย วิธีการคำนวณทางคณิตศาสตร์ การวิเคราะห์เปรียบเทียบของเทคโนโลยีสำหรับการอินทิเกรตพหุนามในวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ ปริมาตร/องค์ประกอบจำกัด การกระจายส่วนที่เหลือ การประเมินเชิงทดลองของอัตราการลู่เข้าของแผนการไหลทวนลมสำหรับปัญหาด้วยวิธีการแก้ปัญหาเชิงวิเคราะห์ การคำนวณชุดของพาร์ติชันไฟไนต์เอลิเมนต์แบบควบแน่น ตามด้วยการวิเคราะห์การลู่เข้ากับข้อมูลการทดลอง

ความแปลกใหม่ทางวิทยาศาสตร์ของงานมีดังนี้:

1. มีการเสนอเทคโนโลยีใหม่โดยคำนึงถึงการแสดงพหุนามทีละชิ้นของสารละลาย สัมประสิทธิ์การถ่ายโอน และเงื่อนไขของแหล่งที่มา เมื่อแยกปัญหามูลค่าขอบเขตเริ่มต้นโดยใช้วิธีการของปริมาตร/องค์ประกอบจำกัด ปริมาตรจำกัด/องค์ประกอบจำกัด และปริมาตรย่อย เทคโนโลยีนี้มีพื้นฐานมาจากการใช้การขยายพื้นฐานของปริภูมิไฟไนต์เอลิเมนต์ในแง่ของพิกัดซิมพลิเชียลแบรีเซนทริก พร้อมด้วยการรวม monomials ที่แน่นอนเพิ่มเติม สำหรับแผน MKO/FE, MKO/E ที่มีการคำนวณตัวแปรที่โหนดรูปสามเหลี่ยม มีการเสนอสูตรสามคลาสสำหรับการบูรณาการที่แน่นอนของโมโนเมียลของพิกัดแบรีเซนทริก: เหนือเซกเมนต์ของ dual mesh ในองค์ประกอบ, เหนือภูมิภาคย่อยและเซ็กเมนต์แบรีเซนทริก ของขอบขอบเขต สำหรับวิธี subvolume ที่ใช้ปริภูมิไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ไม่สอดคล้องกัน ขอเสนอให้ใช้หลักการของการอินทิเกรตฟังก์ชันพื้นฐานที่แน่นอนและได้สูตรอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน

2. มีการเสนอวิธีการสำหรับการสร้างแผน MCO/FE เหนือลมบนกริดแบบง่าย โดยอิงจากการประมาณค่าฟลักซ์มวลและค่าสเกลาร์ที่แยกจากกันบนเซ็กเมนต์ของกริดคู่ มีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์เฉพาะที่ของค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักของแผนทวนกระแส ภายในองค์ประกอบของแผน และผลบวกเฉพาะที่ของแผน มีการเสนอรูปแบบการไหลทวนของคลาสเลขชี้กำลัง และอะนาล็อกของคลาสนั้นได้ถูกสร้างขึ้นสำหรับ MKO ด้วยการคำนวณซิมเพล็กซ์ที่ไม่รู้จักในแบรีเซ็นเตอร์

3. ได้รับค่าประมาณการทดลองอัตราการลู่เข้าของโครงการการไหลทวนพร้อมการชั่งน้ำหนักการไหลของมวลและโครงร่างคลาสเอ็กซ์โปเนนเชียลที่เสนอ การใช้โซลูชันประเภทเลเยอร์ขอบเขต ความเสถียรของโครงร่างที่สร้างขึ้นได้รับการวิเคราะห์และเปรียบเทียบกับโครงร่าง FEM ต้นน้ำ

4. ด้วยการใช้เทคโนโลยีการประมาณที่นำเสนอสำหรับปัญหาประเภทการพาความร้อน-การแพร่กระจาย ชุดของโปรแกรมถูกสร้างขึ้นสำหรับการจำลองการไหลที่ไม่สามารถอัดได้ที่มีความหนืดในตัวแปรความเร็ว-ความดันธรรมชาติ และการทดลองทางคอมพิวเตอร์จำนวนหนึ่งได้ดำเนินการเพื่อยืนยันประสิทธิผลของรูปแบบที่สร้างขึ้น

โครงสร้างและขอบเขตของวิทยานิพนธ์ วิทยานิพนธ์ประกอบด้วย คำนำ สี่บท บทสรุป รายการอ้างอิง ภาคผนวก มี 173 หน้า รวม 10 ตาราง และ 51 รูป บรรณานุกรมมี 117 ชื่อเรื่อง

บทสรุป

งานนี้เน้นไปที่การพัฒนาเทคโนโลยีการคำนวณสำหรับวิธีไฟไนต์วอลุ่มบนกริดแบบซิมพลิเชียล โดยใช้สเปซไฟไนต์เอลิเมนต์และพาร์ติชั่นแบรีเซนทริกเป็นแบบคู่สำหรับการประมาณปัญหาประเภทการพาความร้อนและการแพร่ งานได้รับผลลัพธ์หลักด้านการป้องกันดังต่อไปนี้:

1. มีการเสนอเทคโนโลยีใหม่โดยคำนึงถึงการแสดงพหุนามทีละชิ้นของสารละลาย สัมประสิทธิ์การถ่ายโอน และเงื่อนไขของแหล่งที่มา เมื่อแยกปัญหามูลค่าขอบเขตเริ่มต้นโดยใช้วิธีการของปริมาตร/องค์ประกอบจำกัด ปริมาตรจำกัด/องค์ประกอบจำกัด และปริมาตรย่อย เทคโนโลยีนี้มีพื้นฐานมาจากการใช้การขยายพื้นฐานของปริภูมิไฟไนต์เอลิเมนต์ในแง่ของพิกัดซิมพลิเชียลแบรีเซนทริก พร้อมด้วยการรวม monomials ที่แน่นอนเพิ่มเติม สำหรับแผน MKO/FE, MKO/E ที่มีการคำนวณตัวแปรที่โหนดรูปสามเหลี่ยม มีการเสนอสูตรสามคลาสสำหรับการบูรณาการที่แน่นอนของโมโนเมียลของพิกัดแบรีเซนทริก: เหนือเซกเมนต์ของ dual mesh ในองค์ประกอบ, เหนือภูมิภาคย่อยและเซ็กเมนต์แบรีเซนทริก ของขอบขอบเขต สำหรับวิธี subvolume ที่ใช้ปริภูมิไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ไม่สอดคล้องกัน ขอเสนอให้ใช้หลักการของการอินทิเกรตฟังก์ชันพื้นฐานที่แน่นอนและได้สูตรอินทิกรัลที่สอดคล้องกัน

2. มีการเสนอวิธีการสำหรับการสร้างแผน MCO/FE เหนือลมบนกริดแบบง่าย โดยอิงจากการประมาณค่าฟลักซ์มวลและค่าสเกลาร์ที่แยกจากกันบนเซ็กเมนต์ของกริดคู่ มีการแนะนำแนวคิดเกี่ยวกับเมทริกซ์ท้องถิ่นของค่าสัมประสิทธิ์น้ำหนักของโครงร่างต้นน้ำ องค์ประกอบภายในของโครงร่าง และผลบวกในท้องถิ่นของโครงร่าง มีการเสนอรูปแบบการไหลทวนของคลาสเลขชี้กำลัง และอะนาล็อกของคลาสนั้นได้ถูกสร้างขึ้นสำหรับ MKO ด้วยการคำนวณซิมเพล็กซ์ที่ไม่รู้จักในแบรีเซ็นเตอร์

3. ได้รับค่าประมาณการทดลองอัตราการบรรจบกันของโครงการต้นลมกับการชั่งน้ำหนักการไหลของมวลและโครงการระดับเอ็กซ์โปเนนเชียลที่เสนอ การใช้โซลูชันประเภทเลเยอร์ขอบเขต ความเสถียรของโครงร่างที่สร้างขึ้นได้รับการวิเคราะห์และเปรียบเทียบกับโครงร่าง FEM ต้นน้ำ แสดงให้เห็นว่าโครงร่าง MCO/FE ที่เสร็จสมบูรณ์ทำให้สามารถติดตามคุณลักษณะของโซลูชันเลเยอร์ขอบเขตได้แม่นยำกว่าโครงร่างของวิธี Petrov-Galerkin ด้วยฟังก์ชันพื้นฐานแบบอสมมาตร (พหุนาม Legendre) โครงร่างไฟไนต์เอลิเมนต์ของ Rice และ Schnipke เช่นเดียวกับรูปแบบไฟไนต์เอลิเมนต์ที่รวมกันซึ่งมีลำดับการประมาณที่สูงขึ้นซึ่งพัฒนาโดย T. Sheu, S. Wang และ S. Tsai

4. การใช้แผนการประมาณที่นำเสนอสำหรับปัญหาประเภทการพาความร้อน-การแพร่กระจาย ชุดของโปรแกรมถูกสร้างขึ้นสำหรับการสร้างแบบจำลองการไหลอัดไม่ได้ที่มีความหนืดในตัวแปรความเร็ว-ความดันธรรมชาติ บนกริดรวม โดยใช้พหุนามการประมาณค่าของความดันและความเร็วในลำดับเดียวกัน มีการทดลองทางคอมพิวเตอร์จำนวนหนึ่งเพื่อยืนยันประสิทธิภาพของวงจรที่สร้างขึ้น

5. สำหรับโฟลว์อ้างอิงในช่องด้านหลังสเต็ปย้อนกลับ การโต้ตอบของเอฟเฟกต์อินพุตและเอฟเฟกต์ของการใช้การประมาณอัปสตรีมจะแสดงเป็นครั้งแรก

ดังนั้น เทคโนโลยีที่นำเสนอในการทำงานเพื่อแยกแยะปัญหาค่าขอบเขตเริ่มต้นโดยใช้วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์/ปริมาตรจำกัดบนกริดแบบซิมพลิเชียลเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการประมาณระบบกฎหมายอนุรักษ์ แผนการลมเหนือที่พัฒนาแล้วมีลักษณะการบรรจบกันที่ดี และการใช้ วิธีการแยกส่วนสำหรับระบบสมการเนเวียร์-สโตกส์ที่มีการประมาณค่าลำดับเดียวกันสำหรับส่วนประกอบของเวกเตอร์ความดันความเร็วช่วยให้ได้ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกับข้อมูลการทดลองที่ดี คลาสของวิธีปริมาณจำกัด/วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์บนเมชแบบง่าย ซึ่งเป็นพื้นฐานทางเทคโนโลยีซึ่งเป็นการบูรณาการที่แน่นอนของโมโนเมียลของพิกัดแบรีเซนทริก เป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพสำหรับการสร้างแบบจำลองการไหลที่ไม่สามารถอัดตัวได้ที่มีความหนืดในพื้นที่ที่มีเรขาคณิตขอบเขตที่ซับซ้อน

1. Belotserkovsky O.M. การสร้างแบบจำลองเชิงตัวเลขในกลศาสตร์ต่อเนื่อง อ.: วิทยาศาสตร์. ศีรษะ. เอ็ด ฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ วรรณคดี พ.ศ. 2527

2. A. S. Boldarev, V. A. Gasilov O. G. Olkhovskaya สู่การแก้สมการไฮเปอร์โบลิกบนกริดที่ไม่มีโครงสร้าง // การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ พ.ศ. 2539 ต. 8 ลำดับที่ 3 หน้า 51-78.

3. P. A. Voinovich, D. M. Sharov, การสร้างแบบจำลองการไหลของก๊าซที่ไม่ต่อเนื่องบนกริดที่ไม่มีโครงสร้าง // การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ 2536 ต. 5. ลำดับที่ 7, หน้า 86-114.

4. ฉัน J1. Guryeva เทคโนโลยีการคำนวณของวิธีไฟไนต์วอลุ่ม // Dis. สำหรับผู้สมัครระดับปริญญาวิทยาศาสตร์ ฉ.-ม. วิทยาศาสตร์ โนโวซีบีสค์ 2540 - 115 น.

5. Zhukov M.F. , Solonenko O.P. , เจ็ตส์ฝุ่นอุณหภูมิสูงในการแปรรูปวัสดุผง โนโวซีบีสค์ ไอที เอสบี ราส 1990.

6. V. P. Ilyin รูปแบบความแตกต่างที่สมดุลของความแม่นยำที่เพิ่มขึ้นบนกริดสี่เหลี่ยมที่ไม่สม่ำเสมอ โนโวซีบีสค์ 2537 - 31 น. (Preprint/CC SB RAS No. 1031)

7. Ilyin V.P. , Turakulov A.A. เกี่ยวกับการประมาณสมดุลจำนวนเต็มของปัญหาค่าขอบเขตสามมิติ โนโวซีบีสค์ 2536 - 24 น. - (พิมพ์ล่วงหน้า/CC SB RAS: หมายเลข 986)

8. V. M. Kovenya, N. N. Yanenko, วิธีการแยกปัญหาพลศาสตร์ของก๊าซ โนโวซีบีสค์, วิทยาศาสตร์. 1989.

9. A. Ladyzhenskaya ปัญหาทางคณิตศาสตร์ในพลศาสตร์ของของเหลวอัดตัวหนืดที่มีความหนืด ม.: ตค. สำนักพิมพ์เอฟ.เอ็ม. สว่าง.- 1961.

10. ดี. โอเดน องค์ประกอบจำกัดในกลศาสตร์ต่อเนื่องไม่เชิงเส้น อ.: มีร์ 2519

11. Patankar S. วิธีการเชิงตัวเลขในการแก้ปัญหาการถ่ายเทความร้อนและพลศาสตร์ของไหล -ม.:. Energoatomizdat, 1984.

12. N. Pissanetski S. เทคโนโลยีของเมทริกซ์แบบเบาบาง ม.: มีร์. 1988.

13. Preparata F. Sheimos M. เรขาคณิตเชิงคำนวณ; การแนะนำ. ม. มีร์ 2527

14. A. A. Samarsky ทฤษฎีโครงร่างความแตกต่างเบื้องต้น อ.: เนากา, 2514.

15. แอล เซเกอร์ลินด์ การประยุกต์วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ M.: มีร์ 1979

16. N. K. Sukanek, R. P. Rhodes, การกำหนดเงื่อนไขบนแกนสมมาตรในการคำนวณเชิงตัวเลขของการไหลแบบสมมาตร // Rocketry and Cosmonautics, 1978. เล่มที่ 16. ลำดับที่ 10) หน้า 96-98.

17. R. Temam, สมการของ Navier-Stokes, ทฤษฎีและการวิเคราะห์เชิงตัวเลข // M.: Mir. 1981.

18. K. Fletcher วิธีการเชิงตัวเลขตามวิธี Galerkin II M.: Mir, 1991

19. D. Shi วิธีการเชิงตัวเลขในปัญหาการถ่ายเทความร้อน ม.; โลก, 1988.

20. G. Schlichting ทฤษฎีขอบเขตชั้น อ.: สำนักพิมพ์ต่างประเทศ. สว่าง 1956.

21. E. P. Shurina, T. V. Voitovich, การวิเคราะห์อัลกอริธึมสำหรับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และปริมาตรไฟไนต์บนเมชที่ไม่มีโครงสร้างเมื่อแก้สมการเนเวียร์-สโตกส์ // เทคโนโลยีการคำนวณ พ.ศ. 2540 ต. 2. ลำดับ 4. หน้า 84104.

22. E. P. Shurina, O. P. Solonenko, T. V. Voitovich, เทคโนโลยีใหม่ของวิธีไฟไนต์วอลุ่มบนกริดแบบง่ายสำหรับปัญหาประเภทการพาความร้อน - การแพร่กระจาย โนโวซีบีสค์ 1999. -51 e.- (พิมพ์ล่วงหน้า/ ITAM SB RAS; No. 8-99)

23. I. Yu. Chumakov การใช้เงื่อนไขต่าง ๆ สำหรับแรงดันที่ขอบเขตทางออกเมื่อคำนวณการไหลภายในที่ซับซ้อนของของไหลที่ไม่สามารถบีบอัดได้บนกริดรวม // Vestn พวกเขาพูด นักวิทยาศาสตร์. เซอร์ คณิตศาสตร์และกลศาสตร์ประยุกต์ 2540 ต 1. หน้า 55-62.

24. N. N. Yanenko วิธีการขั้นตอนเศษส่วนสำหรับการแก้ปัญหาหลายมิติของฟิสิกส์คณิตศาสตร์ โนโวซีบีสค์: Nauka, 1967.

25. ไพรเมอร์ไฟไนต์เอลิเมนต์ หน่วยงานแห่งชาติสำหรับวิธีการและมาตรฐานไฟไนต์เอลิเมนต์ // NEL กลาสโกว์ 2529

26. เค. อัจมานี W-F Ng. ม.-ส. Lion, วิธีการไล่ระดับคอนจูเกตแบบปรับสภาพล่วงหน้าสำหรับสมการเนเวียร์-สโตกส์//J คอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ 2537. ฉบับ. 1 10. หน้า 68-81.

27. F. Angrand, A Dervieux, โครงร่างไฟไนต์เอลิเมนต์สามเหลี่ยมที่ชัดเจนสำหรับสมการออยเลอร์//Int J.forNumer. วิธีการในของไหล 2527. ฉบับ. 4. หน้า 749-764.

28. P. Arminjon, A. Dervieux, การสร้างความหนืดประดิษฐ์ของ TVD-Hke บนกริด FEM ตามอำเภอใจสองมิติ // J. Comput. รศ. 2536. ฉบับที่. 106. หน้า 176-198.

29. B. Armaly, F. Durst, J. C. F. Pereira, B. Schoenung, การตรวจสอบเชิงทดลองและเชิงทฤษฎีของการไหลของขั้นตอนแบบหันหน้าไปทางด้านหลัง // J. เครื่องจักรของไหล 2526. ฉบับ. 127.473496.

30. F. Babuska ขอบเขตข้อผิดพลาดสำหรับวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์//ตัวเลข คณิตศาสตร์. 2514 เล่มที่ 16. ป.322-333.

31. Babuska, B. A. Szabo, I. N. Katz, รุ่น p ของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ // SIAM J. Numer ก้น 2524. ฉบับ. 18. หน้า 516-544.

32. P. Balland, E. Suli, การวิเคราะห์วิธีปริมาตรจำกัดของเซลล์-จุดยอดสำหรับปัญหาไฮเปอร์โบลิกที่มีค่าสัมประสิทธิ์ตัวแปร // SIAM J. Numer ก้น 2540. ฉบับ. 34. หน้า 1127-1151.

33. R. E. Bank, B. D. Welfert, การประมาณข้อผิดพลาดด้านหลังสำหรับปัญหา Stokes // SIAM J. Numer ก้น 2534. ฉบับ. 28. หน้า 591-623.

34. T. J. Barth, D. C. Jespersen, การออกแบบและการประยุกต์ใช้โครงร่างลมบนตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง // กระดาษ AIAA 89-0336

35. อี. บาร์ตัน การศึกษาเชิงตัวเลขเกี่ยวกับการไหลในขั้นตอนที่หันหน้าไปทางด้านหลังที่จำกัด // Int. J.ForNumer. วิธีการในของไหล 2538. ฉบับ. 21. หน้า 653-665.

36. อี. บาร์ตัน เอฟเฟกต์ทางเข้าของการไหลแบบราบเรียบเหนือเรขาคณิตขั้นที่หันหน้าไปทางด้านหลัง // Int. J.forNumer. วิธีการในของไหล 2538. ฉบับ. 25. หน้า 633-644.

37. S. Benharbit, A. Chalabi, J. P Vila, ความหนืดเชิงตัวเลขและการลู่เข้าของวิธีปริมาตรจำกัดสำหรับกฎการอนุรักษ์ที่มีเงื่อนไขขอบเขต // SIAM J. Nu-mer ก้น 2538. ฉบับ. 32. ป 775-796.

38. Z. Cai, วิธีการองค์ประกอบปริมาณจำกัด //Numer คณิตศาสตร์. ฉบับที่ 2534 58 หน้า 713735.

39. Z. Cai, S. McCormick, เรื่องความแม่นยำของวิธีไฟไนต์วอลุ่มเอลิเมนต์สำหรับสมการการแพร่บนกริดคอมโพสิต // SIAM J. Numer ก้น 2533. ฉบับ. 27. หน้า 636-655.

40. Z. Cai, J. Mandel, S. McCormick, วิธีองค์ประกอบปริมาตรอันจำกัดสำหรับสมการการแพร่บนสมการสามเหลี่ยมทั่วไป // SIAM J. Numer ก้น 2534 เล่มที่ 28 หน้า 392402.

41. M. C. Ciccoli อัลกอริธึมการสลายตัวของโดเมนแบบอะแดปทีฟและปริมาตรจำกัด/การประมาณองค์ประกอบจำกัดสำหรับสมการ Advection-Diffusion // วารสารคอมพิวเตอร์วิทยาศาสตร์ พ.ศ. 2539 เล่มที่ 11 หน้า 299-341.

42. P. Chatzipantelidis วิธีไฟไนต์วอลุ่มที่ใช้องค์ประกอบ Crouzeix-Raviart สำหรับ PDE ทรงรีในสองมิติ //Numer คณิตศาสตร์ 1999 เล่ม 82 หน้า 409-432

43. K. H. Chen, R H. Pletcher ตัวแปรดั้งเดิม- ขั้นตอนการคำนวณโดยนัยอย่างยิ่งสำหรับการไหลที่มีความหนืดทุกความเร็ว // AIAA J. 1991. ฉบับที่ 29.P1241-1249.

44. S. Chou, D. Kwak, P. S. Vassilevski, วิธีโคโวลูมแบบผสมสำหรับปัญหาวงรีบนกริดสามเหลี่ยม // SIAM J. Numer ก้น 2541. ฉบับ. 35. หน้า 1850-1861.

45. Christie, D. F. Griffiths, A. R. Mitchell และ O. C. Zienkiewicz วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์สำหรับสมการเชิงอนุพันธ์อันดับสองที่มีอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่มีนัยสำคัญ // Int เจ. นัมเบอร์. วิธีการ ภาษาอังกฤษ 2519. ฉบับ. 10. 1389-1396.

46. ​​​​เจ.-พี. Croisille, แบบแผนกล่องปริมาณจำกัด // Proc. ของนักศึกษาฝึกงานคนที่สอง อาการ เรื่อง Finite Volumes for Complex Applications, 19-22 กรกฎาคม 1999, ดูสบูร์ก, เยอรมนี สิ่งพิมพ์วิทยาศาสตร์ HERMES, ปารีส, 1999

47. วี. ค็อกเบิร์น, เอฟ. โคเกล P. G. Lefloch การบรรจบกันของวิธีปริมาตรจำกัดสำหรับกฎหมายการอนุรักษ์หลายมิติ // SIAM J. Numer ก้น 2538. ฉบับ. 32.687-705.

48. L. Davidson วิธีการแก้ไขแรงดันสำหรับตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้างพร้อมปริมาณการควบคุมโดยพลการ // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2541. ฉบับ. 22. หน้า 265-281.

49. C. Debiez, A. Dervieux, K. Meg, B. Nkonga, การคำนวณการไหลที่ไม่คงที่ด้วยปริมาตรจำกัดแบบผสม/วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์เหนือลม // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2541. ฉบับ. 27. หน้า 193-206.

50. M. Delanaye, J. A. Essers, การสร้างกำลังสองใหม่ รูปแบบปริมาณจำกัดสำหรับการไหลแบบบีบอัดได้บนกริดแบบปรับตัวที่ไม่มีโครงสร้าง // วารสาร AIAA 2540. ฉบับ. 35. หน้า 631-639.

51. Dervieux A. การจำลองออยเลอร์คงที่โดยใช้ตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง // ชุดการบรรยายของ VKI พ.ศ. 2528 ฉบับที่ 1884-04.

52. Eisenberg M. A., Malvern L. E., เกี่ยวกับการรวมองค์ประกอบอันจำกัดในพิกัดธรรมชาติ // Int. เจ. นัมเบอร์. วิธีการ ภาษาอังกฤษ 2516. ฉบับ. 7. 574-575.

53. A. Fezoui คลาสของแผนผังเหนือลมโดยนัยสำหรับการจำลองออยเลอร์ด้วยเมชที่ไม่มีโครงสร้าง//J. สตร. ฟิสิกส์ 2532. ฉบับ. 84. หน้า 174-206.

54. C. Gallo, G. Manzini, วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ผสม/ปริมาตรไฟไนต์แบบผสมสำหรับการแก้ปัญหาการขนส่งการย่อยสลายทางชีวภาพในน้ำใต้ดิน // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการทางของเหลว พ.ศ. 2541 ฉบับที่ 26. หน้า 533-556.

55. T. Gallouet, J. P. Vila, แผนปริมาณจำกัดสำหรับกฎหมายอนุรักษ์ประเภทผสม // SIAM J. Numer. ก้น 2534. ฉบับ. 28. หน้า 1548-1573.

56. P. M. Gresho, S. T. Chan, R. L. Lee, G. D. Upson, วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ที่ได้รับการดัดแปลงสำหรับการแก้ปัญหาขึ้นอยู่กับเวลา สมการเนเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้ ส่วนที่ 2: แอปพลิเคชัน // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล, 2527. เล่ม. 4. หน้า 619640.

57. A. Grundmann, H. M. Moller, สูตรการรวมที่ไม่แปรเปลี่ยนสำหรับ i-simplex โดยวิธีการรวมกัน // SIAM J. Numer ก้น 1978 ฉบับที่ 15, หน้า 282-290.

58. W. Hackbusch ตามโครงร่างกล่องลำดับที่หนึ่งและสอง // คอมพิวเตอร์ 2532. ฉบับ. 41. หน้า 277-296.

59. แอล. พี. แฮ็คแมน, จี. ดี. เรธบี, เอ. บี. สตรอง การทำนายเชิงตัวเลขของกระแสที่หันหน้าไปทางด้านหลัง // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2527. ฉบับ. 4. หน้า 71 1-724.

60. L. Hallo, C. Ribault, M. Buffat, วิธีผสมปริมาณจำกัด-องค์ประกอบจำกัดโดยปริยายสำหรับการแก้ปัญหา Int ที่บีบอัดแบบปั่นป่วน 3 มิติ J. สำหรับวิธีการเชิงตัวเลขในของไหล, 1997. เล่ม. 25. หน้า 1241-1261.

61. F. H. Harlow, J. E. Welch, การคำนวณเชิงตัวเลขของความหนืดขึ้นอยู่กับเวลาการไหลของของไหลที่ไม่อัดตัวด้วยพื้นผิวอิสระ // Phys ของเหลว พ.ศ. 2508. ฉบับ. 8. หน้า 21822189.

62. F. Ilinca, D. Pelletier, A. Garon, วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แบบปรับได้สำหรับแบบจำลองความปั่นป่วนสองสมการในกระแสที่มีขอบเขตจำกัด เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2540. ฉบับ. 124. ป 101-120.

63. E. Issman, G. Degrez, H. Deconinck, ออยเลอร์การกระจายที่เหลือโดยนัยของลมและ Navier-Stokes Solver บนตาข่ายที่ไม่มีโครงสร้าง // วารสาร AIAA, 1996. ฉบับที่ 34. หน้า 2021-2028.

64. J. P. Jessee, W. A. ​​​​Fiveland, “อัลกอริธึมเซลล์-จุดสุดยอดสำหรับสมการเนเวียร์-สโตกส์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้บนกริดที่ไม่ใช่มุมฉาก,” Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2539. ฉบับ. 23. หน้า 271-293.

65. Jianguo H., Shitong X., เกี่ยวกับวิธีการองค์ประกอบปริมาณจำกัดสำหรับปัญหารูปไข่ทั่วไปที่ควบคุมตัวเองด้วยตนเอง // SIAM .J Numer. ก้น 2541. ฉบับ. 35. หน้า 1762-1774.

66. M. Lallemand, H. Steve, A. Dervieux, Multigridding ที่ไม่มีโครงสร้างโดยการรวมตัวของปริมาตร: สถานะปัจจุบัน // Computers Fluids, 1992 Vol. 21. หน้า 397-433.

67. Y. Liu, M. Vinokur, การบูรณาการที่แน่นอนของพหุนามและสูตรการสร้างพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสแบบสมมาตรบนกริดหลายเหลี่ยมโดยพลการ // J. Comput ฟิสิกส์ 2541. ฉบับ. 140. หน้า 122-147.

68. D. Marcum แบบจำลองความปั่นป่วนสำหรับการคำนวณองค์ประกอบไฟไนต์ที่ไม่มีโครงสร้าง // Int. J.ForNumer. วิธีการในของไหล 2538 ฉบับที่. 20. หน้า 803-817.

69. C. Masson, H. I. Saabas, B. R. Baliga, วิธีองค์ประกอบไฟไนต์เอลิเมนต์ควบคุมปริมาณลำดับเท่ากันที่อยู่ร่วมสำหรับการไหลของของไหลที่ไม่สามารถบีบอัดแบบแกนสมมาตรสองมิติ // Int J. สำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2537. ฉบับ. 18. ป.1-26.

70. S. Mattiussi การวิเคราะห์ฉบับจำกัด วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์และผลต่างอันจำกัดโดยใช้แนวคิดบางอย่างจากโทโพโลยีพีชคณิต // J. Comput ฟิสิกส์ 2540. ฉบับ. 133. หน้า 289-309.

71. D. Mavriplis, คำตอบ Multigrid ของสมการออยเลอร์สองมิติบนตาข่ายสามเหลี่ยมที่ไม่มีโครงสร้าง // วารสาร AIAA, 1988. เล่มที่ 26. หน้า 824-831

72. P. R. McHugh, D. A. Knoll, “โซลูชันปริมาตรจำกัดที่จับคู่กันอย่างสมบูรณ์ของเนเวียร์-สเต็ปกส์ที่ไม่สามารถบีบอัดได้และสมการพลังงานโดยใช้วิธีนิวตันที่ไม่แน่นอน” Int. J. สำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2537. ฉบับ. 19. หน้า 439-455.

73. Y. Murthy, S. Mathur, การไหลเป็นระยะและการถ่ายเทความร้อนโดยใช้ตาข่ายที่มีโครงสร้าง // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2540. ฉบับ. 25. หน้า 659-677.

74. S. Muzaferija, D. Gosman, ขั้นตอน CFD แบบจำกัดปริมาณและกลยุทธ์การควบคุมข้อผิดพลาดแบบปรับเปลี่ยนได้ของกริดของโทโพโลยีตามอำเภอใจ // J. Comput สร., 2540, ฉบับที่. 138. หน้า 766-787

75. P. Nithiarasu, O. C. Zienkiewlcz, V. V. K. Satya Sai, K. Morgan, R. Codina, M. Vazquez, การจับความหนืดของแรงกระแทกสำหรับอัลกอริธึมกลศาสตร์ของไหลทั่วไป // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2541. ฉบับ. 28. หน้า 1325-1353.

76. K. Ohmori, T. Ushijima เทคนิคประเภทต้นน้ำที่ใช้กับการประมาณองค์ประกอบไฟไนต์เชิงเส้นที่ไม่เป็นไปตามข้อกำหนดของสมการการแพร่กระจายของการพาความร้อน // R.A.I.R.O. ก้น ตัวเลข

77. D. Pan, J. C. Cheng, การคำนวณ Navier-Stokes ปริมาณจำกัดเหนือลมบนตาข่ายสามเหลี่ยมที่มีโครงสร้าง Uns // วารสาร AIAA, 1993. ฉบับที่ 31. หน้า 1618-1625.

78. S. V. Potapov อัลกอริธึม FE FV แบบผสมในไดนามิกของแข็งแบบไม่เชิงเส้น // Proc. ของการฝึกงานครั้งที่สอง อาการ บนวอลุ่มที่มีจำกัดสำหรับการใช้งานที่ซับซ้อน 19-22 กรกฎาคม 2542 ดูสบูร์ก ประเทศเยอรมนี - สิ่งพิมพ์วิทยาศาสตร์ของ HERMES ปารีส. พ.ศ. 2542 หน้า 271278

79. C. Prakash, S. V. Patankar, วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ตามปริมาตรควบคุมสำหรับการแก้สมการเนเวียร์-สโตกส์โดยใช้การประมาณค่าความเร็ว-ความดันเท่ากัน //ตัวเลข การถ่ายเทความร้อน 2528. ฉบับ. 8. หน้า 259-280.

80. S. Ramadhyani, S. V. Patankar, การแก้สมการปัวซอง: การเปรียบเทียบวิธี Galerkin และวิธีควบคุมปริมาตร // Int. เจ. นัมเบอร์. วิธีการ ภาษาอังกฤษ พ.ศ. 2523. ฉบับ. 15.1395-1418.

81. Rida S., McKenty F., Meng F. L., Reggio M., รูปแบบการควบคุมระดับเสียงที่เซสำหรับกริดสามเหลี่ยมที่ไม่มีโครงสร้าง // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2538. ฉบับ. 25. หน้า 697-717.

82. P. L. Roe, ตัวแก้ Riemann โดยประมาณ, เวกเตอร์พารามิเตอร์และรูปแบบความแตกต่าง //! สตร. ฟิสิกส์ 2524. ฉบับ. 43. หน้า 357-372.

83. C. Rohde รูปแบบปริมาณจำกัดสำหรับระบบไฮเปอร์โบลิกคู่ที่อ่อนแอของกฎหมายอนุรักษ์ในรูปแบบ 2D // ตัวเลข คณิตศาสตร์. 2541. ฉบับ. 81. หน้า 85-123.

84. Tony W. H. Sheu, S. K. Wang, S. F. Tsai, การพัฒนารูปแบบความละเอียดสูงสำหรับสมการ advection-diffusion หลายมิติ // J. Sotr. ฟิสิกส์ 2541. ฉบับ. 144. ป.1-16.

85. Saad Y. วิธีการวนซ้ำสำหรับระบบเชิงเส้นกระจัดกระจาย บริษัท สำนักพิมพ์ PSW, บอสตัน, แมสซาชูเซตส์, 1995

86. V. V. K. S. Sai, O. C. Zienkiewicz, M. T. Manzari, P. R. M. Lyra, K. Morgan, วัตถุประสงค์ทั่วไปเทียบกับอัลกอริธึมพิเศษสำหรับการไหลความเร็วสูงพร้อมแรงกระแทก // Int. เจ. นัมเบอร์. ยาบ้า ของเหลว 2541. ฉบับ. 27. หน้า 57-80.

87. J. L. Sohn การประเมิน FIDAP บนเกณฑ์มาตรฐานแบบลามิเนตและแบบปั่นป่วนแบบคลาสสิก // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2531. ฉบับ. 8. หน้า 1469-1490.

88. ใน Stoufflet การตรวจสอบการแยกเวกเตอร์ฟลักซ์ทั่วไปสำหรับการไหลแบบอัดได้บนตาข่ายสามเหลี่ยม // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2538. ฉบับ. 20. หน้า 1047-1059.

89. บี. สตูฟเล็ตต์. J. Periaux, F. Fezoui, A. Dervieux, การจำลองเชิงตัวเลขของออยเลอร์ความเร็วเหนือเสียง 3 มิติที่ไหลไปรอบ ๆ ยานอวกาศโดยใช้องค์ประกอบไฟไนต์ที่ดัดแปลง // AIAA Paper 87-0560

90. C. Taylor, P. Hood, คำตอบเชิงตัวเลขของสมการเนเวียร์-สโตกส์โดยใช้เทคนิคไฟไนต์เอลิเมนต์ // คอมพิวเตอร์และของไหล 2516. ฉบับ. 1. หน้า 73-100.

91. Thomadakis M, Leschziner M., วิธีการแก้ไขความดันสำหรับการแก้ปัญหาการไหลแบบหนืดที่ไม่สามารถบีบอัดได้บนกริดที่ไม่มีโครงสร้าง // Int.J. สำหรับวิธีการเชิงตัวเลขในของไหล -1996. ฉบับที่ 22 ป 581-601.

92. A. K. Verma, V. Eswaran, วิธีการควบคุมระดับเสียงที่ทับซ้อนกันสำหรับปัญหาการแพร่กระจายของการพาความร้อน // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2539. ฉบับ. 23. หน้า 865-882.

93. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, บนองค์ประกอบจำกัดแบบผสมลำดับขนาดกะทัดรัดสำหรับการแก้สมการเนเวียร์-สโตกส์สามมิติที่ไม่สามารถบีบอัดได้ // Int. เจสำหรับตัวเลข วิธีการในของไหล 2540. ฉบับ. 25. หน้า 513-522.

94. M. M. T. Wang, T. W. H. Sheu, การใช้เงื่อนไขขอบเขตอิสระกับสมการเนเวียร์-สโตกส์ // Int. เจ. นัมเบอร์. วิธีการไหลของความร้อนและของไหล พ.ศ. 2540 เล่มที่ 7 ป.95-111.

95. D. Winterscheidt, K. S. Surana, p-Version สูตรองค์ประกอบไฟไนต์กำลังสองน้อยที่สุดสำหรับการไหลของของไหลแบบสองมิติที่ไม่สามารถบีบอัดได้ // Int. เจ. นัมเบอร์. ยาบ้า ของไหล พ.ศ.2537. 18. ป.43-69.

96. A. M. Winslow, ผลเฉลยเชิงตัวเลขของสมการปัวซองเสมือนในตาข่ายสามเหลี่ยมไม่สม่ำเสมอ, J. Comput ฟิสิกส์ พ.ศ. 2510. ฉบับ. 2.149-172.

97. อ. ยูเนส, อาร์. โมส พี. แอคเคเรอร์. G. Chavent สูตรใหม่ของวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์แบบผสมสำหรับการแก้ PDE ทรงรีและพาราโบลาด้วยองค์ประกอบสามเหลี่ยม // J. Comput รศ. 2542. ฉบับที่. 149. หน้า 148-167.

98. พี.เจ. Zwart, G. D. Raithby, M. J. Raw, วิธีปริมาตรจำกัดอวกาศ-เวลาแบบรวมและการประยุกต์เพื่อย้ายปัญหาขอบเขต // J. Comput. ฟิสิกส์ 2542. ฉบับ. 154. หน้า 497-519.

99. O. C. Zienkiewicz วิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ในวิทยาศาสตร์วิศวกรรม // McGraw-Hill London 1971.

100. ส.ค. Zienkiewicz, R. Codina อัลกอริธึมทั่วไปสำหรับการไหลแบบอัดได้และแบบอัดไม่ได้ ส่วนที่ 1: การแบ่งรูปแบบตามลักษณะ // Int. เจ. นัมเบอร์. ยาบ้า ของเหลว 2538. ฉบับ. 20. หน้า 869-885.

101. S. M. Rhie และ W. L. Chow การศึกษาเชิงตัวเลขของการไหลเชี่ยวผ่านแอโรฟอยล์ที่แยกได้โดยมีการแยกขอบตามท้าย // AIAA Paper No. 82-0998. 1982.

102. R. I. Issa, การแก้สมการการไหลของของไหลที่แยกส่วนโดยปริยายโดยตัวดำเนินการแยก//J. คอมพิวเตอร์ ฟิสิกส์ ฉบับที่ 62. หน้า 40-65.1985.

103. J. Kim, S. J. Kline, J. P. Johnston, การสอบสวนชั้นเฉือนแบบปั่นป่วนที่ติดกลับเข้าไปใหม่: การไหลผ่านขั้นตอนการหันหน้าไปทางด้านหลัง, วารสารของเหลวอังกฤษ, ฉบับที่ 102, หน้า 302-308.117. http//www.ict.nsc.ru/linpar