ประวัติการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ วัสดุระเบียบวิธี

สไลด์ 2

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์ที่อุทิศให้กับการศึกษาฟังก์ชันและลักษณะทั่วไปของฟังก์ชันโดยวิธีแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล

สไลด์ 3

วิธีหมดแรง

วิธีโบราณในการศึกษาพื้นที่หรือปริมาตรของรูปทรงโค้ง

สไลด์ 4

วิธีการดังต่อไปนี้: ในการค้นหาพื้นที่ (หรือปริมาตร) ของร่างใดร่างหนึ่ง ลำดับโมโนโทนิกของร่างอื่น ๆ จะพอดีกับร่างนี้ และได้รับการพิสูจน์แล้วว่าพื้นที่ (ปริมาตร) ของพวกมันเข้าใกล้พื้นที่ (ปริมาตร) ของที่ต้องการอย่างไม่มีกำหนด รูป.

สไลด์ 5

ในปี ค.ศ. 1696 โลปิตัลได้เขียนหนังสือเรียนเล่มแรก โดยกำหนดวิธีการใหม่ที่ใช้กับทฤษฎีเส้นโค้งระนาบ เขาเรียกมันว่าการวิเคราะห์ค่าจิ๋ว จึงเป็นที่มาของชื่อสาขาคณิตศาสตร์สาขาใหม่ ในบทนำ L'Hopital สรุปประวัติความเป็นมาของการวิเคราะห์ใหม่ๆ โดยกล่าวถึงผลงานของ Descartes, Huygens, Leibniz และยังแสดงความขอบคุณต่อคนรุ่นหลังและพี่น้อง Bernoulli

สไลด์ 6

คำว่า "ฟังก์ชัน" ปรากฏครั้งแรกเฉพาะในปี 1692 ในเมืองไลบ์นิซ แต่เป็นออยเลอร์ที่นำคำนี้มาไว้ข้างหน้า การตีความแนวคิดของฟังก์ชันดั้งเดิมคือฟังก์ชันคือนิพจน์สำหรับการนับหรือนิพจน์เชิงวิเคราะห์

สไลด์ 7

“ทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์” (“Th.orie des fonctions analytiques”, 1797) ในทฤษฎีฟังก์ชันการวิเคราะห์ ลากรองจ์ได้กำหนดสูตรการแก้ไขที่มีชื่อเสียงของเขา ซึ่งเป็นแรงบันดาลใจให้ Cauchy พัฒนารากฐานที่เข้มงวดสำหรับการวิเคราะห์

สไลด์ 8

บทแทรกที่สำคัญของแฟร์มาต์มีอยู่ในตำราแคลคูลัส เขายังกำหนดกฎทั่วไปของการแยกกำลังเศษส่วนด้วย

ปิแอร์ เดอ แฟร์มาต์ (17 สิงหาคม ค.ศ. 1601 - 12 มกราคม ค.ศ. 1665) เป็นนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส หนึ่งในผู้สร้างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ทฤษฎีความน่าจะเป็น และทฤษฎีจำนวน แฟร์มาต์ใช้กฎสมัยใหม่เกือบทั้งหมด พบเส้นสัมผัสของเส้นโค้งพีชคณิต

สไลด์ 9

เรอเน เดการ์ต (31 มีนาคม ค.ศ. 1596 - 11 กุมภาพันธ์ ค.ศ. 1650) เป็นนักคณิตศาสตร์ นักปรัชญา นักฟิสิกส์ และนักสรีรวิทยาชาวฝรั่งเศส ผู้สร้างเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์และสัญลักษณ์พีชคณิตสมัยใหม่

ในปี 1637 งานทางคณิตศาสตร์หลักของ Descartes เรื่อง Discourse on Method ได้รับการตีพิมพ์ หนังสือเล่มนี้นำเสนอเรขาคณิตเชิงวิเคราะห์ และในภาคผนวกก็มีผลลัพธ์มากมายในด้านพีชคณิต เรขาคณิต ทัศนศาสตร์ และอื่นๆ อีกมากมาย

สิ่งที่น่าสังเกตเป็นพิเศษคือสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์ของ Vieta ที่เขาปรับปรุงใหม่ โดยเขาได้แนะนำสัญลักษณ์ที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไปสำหรับตัวแปรและปริมาณที่ต้องการ (x, y, z, ...) และสำหรับค่าสัมประสิทธิ์ตัวอักษร (ก ข ค ...)

สไลด์ 10

François Viête (1540-1603) - นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส ผู้ก่อตั้งพีชคณิตสัญลักษณ์ ตามการศึกษาและอาชีพหลัก - ทนายความ ในปี ค.ศ. 1591 เขาได้แนะนำสัญลักษณ์ตัวอักษรไม่เพียงแต่สำหรับปริมาณที่ไม่ทราบเท่านั้น แต่ยังรวมถึงค่าสัมประสิทธิ์ของสมการด้วย เขามีหน้าที่รับผิดชอบในการสร้างวิธีการแก้สมการระดับที่ 2, 3 และ 4 ที่สม่ำเสมอ ในบรรดาการค้นพบต่างๆ Viète เองก็ให้ความสำคัญกับการสร้างความสัมพันธ์ระหว่างรากและสัมประสิทธิ์ของสมการเป็นอย่างมาก

สไลด์ 11

กาลิเลโอกาลิเลอี (15 กุมภาพันธ์ 2107 ปิซา - 8 มกราคม 2185) - นักฟิสิกส์ ช่างเครื่อง นักดาราศาสตร์ นักปรัชญา และนักคณิตศาสตร์ชาวอิตาลี ผู้มีอิทธิพลสำคัญต่อวิทยาศาสตร์ในยุคของเขา กำหนด "ความขัดแย้งของกาลิเลโอ": มีตัวเลขธรรมชาติมากมาย เนื่องจากมีสี่เหลี่ยมจัตุรัส แม้ว่าตัวเลขส่วนใหญ่จะไม่ใช่สี่เหลี่ยมก็ตาม สิ่งนี้กระตุ้นให้มีการวิจัยเพิ่มเติมเกี่ยวกับธรรมชาติของเซตอนันต์และการจำแนกประเภทของเซตนั้น กระบวนการจบลงด้วยการสร้างทฤษฎีเซต

สไลด์ 12

"มิติใหม่ของถังไวน์"

เมื่อเคปเลอร์ซื้อไวน์ เขาประหลาดใจมากที่พ่อค้าระบุความจุของถังไวน์ได้อย่างไร ผู้ขายนำแท่งไม้ออกเป็นแผนก ๆ และด้วยความช่วยเหลือในการกำหนดระยะห่างจากรูเติมไปยังจุดที่ไกลที่สุดของถัง เมื่อทำสิ่งนี้แล้ว เขาก็พูดทันทีว่าในถังหนึ่งมีไวน์กี่ลิตร ดังนั้นนักวิทยาศาสตร์จึงเป็นคนแรกที่ดึงความสนใจไปที่ปัญหาประเภทหนึ่งซึ่งการศึกษาดังกล่าวนำไปสู่การสร้างแคลคูลัสอินทิกรัล

สไลด์ 13

วิธีการแบ่งแยกไม่ได้

เหตุผลทางทฤษฎีสำหรับวิธีการใหม่ในการค้นหาพื้นที่และปริมาตรถูกเสนอในปี 1635 โดย Cavalieri เขาหยิบยกวิทยานิพนธ์ต่อไปนี้: ตัวเลขมีความสัมพันธ์กันเหมือนเส้นทั้งหมด ซึ่งถ่ายตามเส้นปกติใดๆ และวัตถุต่างๆ - เหมือนระนาบทั้งหมดซึ่งถ่ายตามกฎปกติใดๆ

สไลด์ 15

เช่น ลองคำนวณพื้นที่ของวงกลมดู สูตรเส้นรอบวง ถือว่ารู้แล้ว มาแบ่งวงกลม (ทางด้านซ้ายในรูปที่ 1) ออกเป็นวงแหวนที่เล็กที่สุด ให้เราพิจารณาสามเหลี่ยมด้วย (ทางด้านขวาในรูปที่ 1) ที่มีความยาวฐาน L และความสูง R ซึ่งแบ่งออกเป็นส่วนที่ขนานกับฐานด้วย วงแหวนแต่ละวงที่มีรัศมี R และความยาวสามารถเชื่อมโยงกับส่วนใดส่วนหนึ่งของรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวเท่ากันได้ จากนั้นตามหลักการของ Cavalieri พื้นที่ของพวกมันจะเท่ากัน และพื้นที่ของสามเหลี่ยมหาได้ง่าย: .

สไลด์ 16

ทำงานในการนำเสนอ:

Zharkov Alexander Kiseleva Marina Ryasov มิคาอิล เชเรดนิเชนโก อลีนา

ดูสไลด์ทั้งหมด

ในประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ เราสามารถแยกแยะช่วงเวลาหลักๆ ได้เป็น 2 ช่วง คือ คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาและสมัยใหม่ เหตุการณ์สำคัญซึ่งเป็นธรรมเนียมในการนับยุคของคณิตศาสตร์ใหม่ (บางครั้งเรียกว่าสูงกว่า) คือศตวรรษที่ 17 - ศตวรรษแห่งการปรากฏตัวของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 I. Newton, G. Leibniz และบรรพบุรุษของพวกเขาได้สร้างเครื่องมือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และแคลคูลัสอินทิกรัลแบบใหม่ซึ่งเป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และแม้กระทั่งอาจเป็นพื้นฐานทางคณิตศาสตร์ของวิทยาศาสตร์ธรรมชาติสมัยใหม่ทั้งหมด

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์เป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์ในวงกว้างที่มีลักษณะเฉพาะของการศึกษา (ปริมาณตัวแปร) วิธีการวิจัยที่เป็นเอกลักษณ์ (การวิเคราะห์โดยใช้วิธีเล็กๆ น้อยๆ หรือโดยวิธีการผ่านไปสู่ขีดจำกัด) ระบบบางอย่างของแนวคิดพื้นฐาน (ฟังก์ชัน ขีดจำกัด อนุพันธ์ , ดิฟเฟอเรนเชียล, อินทิกรัล, อนุกรม) และปรับปรุงอย่างต่อเนื่องและพัฒนาเครื่องมือซึ่งพื้นฐานคือแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล

ลองนึกภาพว่าการปฏิวัติทางคณิตศาสตร์ประเภทใดเกิดขึ้นในศตวรรษที่ 17 อะไรคือลักษณะของการเปลี่ยนแปลงที่เกี่ยวข้องกับการเกิดการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จากคณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาไปจนถึงสิ่งที่ปัจจุบันเป็นหัวข้อของการวิจัยในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และสิ่งที่อธิบาย บทบาทพื้นฐานในระบบสมัยใหม่ทั้งความรู้ทางทฤษฎีและประยุกต์

ลองนึกภาพว่าตรงหน้าคุณเป็นภาพถ่ายสีที่จัดทำขึ้นอย่างสวยงามของคลื่นทะเลที่มีพายุซัดเข้าหาชายฝั่ง ด้านหลังที่ทรงพลัง อกที่สูงชันแต่จมเล็กน้อย ศีรษะเอียงไปข้างหน้าแล้วพร้อมที่จะร่วงหล่นพร้อมกับแผงคอสีเทาที่ถูกทรมานโดย ลม. คุณหยุดชั่วขณะ คุณสามารถจับคลื่นได้ และตอนนี้คุณสามารถศึกษามันอย่างละเอียดในทุกรายละเอียดโดยไม่ต้องเร่งรีบ คลื่นสามารถวัดได้ และการใช้เครื่องมือของคณิตศาสตร์เบื้องต้น ช่วยให้คุณสามารถสรุปข้อสรุปที่สำคัญหลายประการเกี่ยวกับคลื่นนี้ รวมถึงพี่น้องในมหาสมุทรทั้งหมดด้วย แต่การหยุดคลื่นทำให้คุณสูญเสียการเคลื่อนไหวและชีวิต ต้นกำเนิดการพัฒนาการวิ่งแรงที่กระทบฝั่ง - ทั้งหมดนี้อยู่นอกขอบเขตการมองเห็นของคุณเพราะคุณยังไม่มีภาษาหรือเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ที่เหมาะสำหรับการอธิบายและการศึกษาไม่คงที่ แต่ การพัฒนา กระบวนการแบบไดนามิก ตัวแปร และความสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านั้น

“การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีความครอบคลุมไม่น้อยไปกว่าธรรมชาติ โดยวิเคราะห์ความสัมพันธ์ที่จับต้องได้ทั้งหมด วัดเวลา อวกาศ แรง อุณหภูมิ” เจ. ฟูริเยร์

การเคลื่อนไหว ตัวแปร และความสัมพันธ์ของมันล้อมรอบเราทุกที่ การเคลื่อนไหวประเภทต่างๆ และรูปแบบเป็นเป้าหมายหลักของการศึกษาวิทยาศาสตร์เฉพาะ: ฟิสิกส์ ธรณีวิทยา ชีววิทยา สังคมวิทยา ฯลฯ ดังนั้นภาษาที่แน่นอนและวิธีการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องในการอธิบายและศึกษาปริมาณตัวแปรจึงมีความจำเป็นในทุกด้าน ความรู้ในระดับใกล้เคียงกับตัวเลขและเลขคณิตมีความจำเป็นในการอธิบายความสัมพันธ์เชิงปริมาณ ดังนั้นการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์จึงเป็นพื้นฐานของภาษาและวิธีการทางคณิตศาสตร์ในการอธิบายตัวแปรและความสัมพันธ์ของตัวแปรเหล่านั้น ทุกวันนี้หากไม่มีการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มันเป็นไปไม่ได้ไม่เพียง แต่จะคำนวณวิถีอวกาศการทำงานของเครื่องปฏิกรณ์นิวเคลียร์การเคลื่อนที่ของคลื่นมหาสมุทรและรูปแบบของการพัฒนาพายุไซโคลน แต่ยังรวมถึงการจัดการการผลิตในเชิงเศรษฐกิจการกระจายทรัพยากรการจัดระเบียบกระบวนการทางเทคโนโลยีทำนายหลักสูตร ของปฏิกิริยาเคมีหรือการเปลี่ยนแปลงของจำนวนชนิดต่าง ๆ ที่เชื่อมโยงกันในธรรมชาติของสัตว์และพืช เพราะสิ่งเหล่านี้ล้วนเป็นกระบวนการแบบไดนามิก

คณิตศาสตร์ระดับประถมศึกษาส่วนใหญ่เป็นคณิตศาสตร์ที่มีปริมาณคงที่ โดยศึกษาความสัมพันธ์ระหว่างองค์ประกอบของรูปทรงเรขาคณิต คุณสมบัติทางคณิตศาสตร์ของตัวเลข และสมการพีชคณิตเป็นหลัก ทัศนคติต่อความเป็นจริงของมันสามารถเทียบเคียงได้ในระดับหนึ่งกับการศึกษาอย่างเอาใจใส่ แม้กระทั่งการศึกษาอย่างละเอียดถี่ถ้วนเกี่ยวกับเฟรมตายตัวแต่ละเฟรมของภาพยนตร์ที่จับภาพโลกสิ่งมีชีวิตที่กำลังเปลี่ยนแปลงและกำลังพัฒนาในการเคลื่อนไหวของภาพยนตร์ ซึ่งไม่สามารถมองเห็นได้ในเฟรมที่แยกจากกันและ ซึ่งสังเกตได้จากการดูเทปโดยรวมเท่านั้น แต่เช่นเดียวกับที่ภาพยนตร์คิดไม่ถึงหากไม่มีการถ่ายภาพ คณิตศาสตร์สมัยใหม่ก็เป็นไปไม่ได้เลยหากไม่มีส่วนหนึ่งของสิ่งที่เราเรียกว่าระดับประถมศึกษาตามอัตภาพ ปราศจากความคิดและความสำเร็จของนักวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่นหลายคน ซึ่งบางครั้งก็แยกจากกันหลายสิบศตวรรษ

คณิตศาสตร์เป็นหนึ่งเดียวและส่วนที่ "สูงกว่า" เชื่อมโยงกับส่วน "ประถมศึกษา" ในลักษณะเดียวกับชั้นถัดไปของบ้านที่กำลังก่อสร้างเชื่อมต่อกับส่วนก่อนหน้าและความกว้างของขอบเขตอันไกลโพ้นที่คณิตศาสตร์เปิดขึ้น สำหรับเราในโลกรอบตัวเรานั้นขึ้นอยู่กับชั้นของอาคารนี้ที่เราขึ้นไปถึงได้ เกิดในศตวรรษที่ 17 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ได้เปิดโอกาสให้มีการอธิบายทางวิทยาศาสตร์ การศึกษาตัวแปรและการเคลื่อนที่ในเชิงปริมาณและเชิงคุณภาพในความหมายกว้างๆ

ข้อกำหนดเบื้องต้นสำหรับการเกิดขึ้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์มีอะไรบ้าง?

ในช่วงปลายศตวรรษที่ 17 เกิดสถานการณ์ดังต่อไปนี้ ประการแรกภายในกรอบของคณิตศาสตร์ในช่วงหลายปีที่ผ่านมามีปัญหาประเภทเดียวกันที่สำคัญบางประเภทได้สะสม (เช่นปัญหาของพื้นที่การวัดและปริมาตรของตัวเลขที่ไม่ได้มาตรฐานปัญหาในการวาดแทนเจนต์เป็นเส้นโค้ง) และวิธีการแก้ไข ปรากฏเป็นกรณีพิเศษต่างๆ มากมาย ประการที่สอง ปรากฎว่าปัญหาเหล่านี้เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับปัญหาในการอธิบายการเคลื่อนที่ทางกลตามอำเภอใจ (ไม่จำเป็นต้องสม่ำเสมอ) และโดยเฉพาะอย่างยิ่งกับการคำนวณคุณลักษณะที่เกิดขึ้นทันที (ความเร็ว ความเร่ง ณ เวลาใดก็ได้) เช่นเดียวกับการค้นหา ระยะทางที่เดินทางเพื่อการเคลื่อนที่ที่เกิดขึ้นด้วยความเร็วแปรผันที่กำหนด การแก้ปัญหาเหล่านี้จำเป็นต่อการพัฒนาฟิสิกส์ ดาราศาสตร์ และเทคโนโลยี

ในที่สุด ประการที่สาม ภายในกลางศตวรรษที่ 17 ผลงานของ R. Descartes และ P. Fermat วางรากฐานของวิธีการวิเคราะห์ของพิกัด (ที่เรียกว่าเรขาคณิตวิเคราะห์) ซึ่งทำให้สามารถกำหนดปัญหาทางเรขาคณิตและกายภาพของต้นกำเนิดที่แตกต่างกันในภาษาตัวเลขทั่วไป (วิเคราะห์) และการขึ้นต่อกันเชิงตัวเลข หรืออย่างที่เราพูดกันตอนนี้ ฟังก์ชันตัวเลข

นิโคเลย์ นิโคลาวิช ลูซิน (1883-1950) N. N. Luzin - นักคณิตศาสตร์ชาวโซเวียตผู้ก่อตั้งโรงเรียนทฤษฎีฟังก์ชันของสหภาพโซเวียตนักวิชาการ (2472) Luzin เกิดที่เมือง Tomsk และเรียนที่โรงยิม Tomsk ความเป็นทางการของหลักสูตรคณิตศาสตร์ในโรงยิมทำให้ชายหนุ่มผู้มีความสามารถแปลกแยกและมีเพียงครูสอนพิเศษที่มีความสามารถเท่านั้นที่สามารถเปิดเผยความงามและความยิ่งใหญ่ของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ให้เขาเห็นได้ ในปี 1901 Luzin เข้าสู่ภาควิชาคณิตศาสตร์ของคณะฟิสิกส์และคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัยมอสโก จากปีแรกของการศึกษา ปัญหาที่เกี่ยวข้องกับอนันต์ตกอยู่ในแวดวงความสนใจของเขา ในช่วงปลายศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์ชาวเยอรมัน G. Cantor ได้สร้างทฤษฎีทั่วไปของเซตอนันต์ ซึ่งได้รับการประยุกต์ใช้มากมายในการศึกษาฟังก์ชันไม่ต่อเนื่อง ลูซินเริ่มศึกษาทฤษฎีนี้ แต่การศึกษาของเขาถูกขัดจังหวะในปี พ.ศ. 2448 นักเรียนที่เข้าร่วมกิจกรรมการปฏิวัติต้องเดินทางไปฝรั่งเศสสักพักหนึ่ง ที่นั่นเขาได้ฟังการบรรยายของนักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศสที่มีชื่อเสียงที่สุดในยุคนั้น เมื่อกลับมาที่รัสเซีย ลูซินสำเร็จการศึกษาจากมหาวิทยาลัยและถูกทิ้งให้เตรียมตัวรับตำแหน่งศาสตราจารย์ ในไม่ช้าเขาก็ออกเดินทางไปปารีสอีกครั้งจากนั้นก็ไปที่Göttingenซึ่งเขาได้ใกล้ชิดกับนักวิทยาศาสตร์หลายคนและเขียนผลงานทางวิทยาศาสตร์ชิ้นแรกของเขา ปัญหาหลักที่นักวิทยาศาสตร์สนใจคือคำถามว่าจะมีเซตที่มีองค์ประกอบมากกว่าเซตของจำนวนธรรมชาติได้หรือไม่ แต่น้อยกว่าเซตของจุดบนเซกเมนต์ (ปัญหาความต่อเนื่อง) ในปี 1917 Luzin กลายเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยมอสโก ในฐานะครูที่มีพรสวรรค์ เขาดึงดูดนักเรียนและนักคณิตศาสตร์รุ่นเยาว์ที่มีความสามารถมากที่สุด โรงเรียนของ Luzin มาถึงจุดสูงสุดในช่วงปีหลังการปฏิวัติครั้งแรก นักเรียนของ Luzin ได้ก่อตั้งทีมสร้างสรรค์ขึ้น ซึ่งพวกเขาเรียกติดตลกว่า "Lusitania" หลายคนได้รับผลทางวิทยาศาสตร์ชั้นหนึ่งในขณะที่ยังเป็นนักเรียนอยู่ ตัวอย่างเช่น P. S. Aleksandrov และ M. Ya. Suslin (1894-1919) ค้นพบวิธีการใหม่ในการสร้างฉากซึ่งทำหน้าที่เป็นจุดเริ่มต้นของการพัฒนาทิศทางใหม่ - ทฤษฎีเซตเชิงพรรณนา การวิจัยในพื้นที่นี้ดำเนินการโดยลูซินและนักเรียนของเขาแสดงให้เห็นว่าวิธีการทั่วไปของทฤษฎีเซตไม่เพียงพอที่จะแก้ปัญหาต่างๆ ที่เกิดขึ้นในนั้น คำทำนายทางวิทยาศาสตร์ของ Luzin ได้รับการยืนยันอย่างสมบูรณ์ในช่วงทศวรรษที่ 60 ศตวรรษที่ XX ต่อมานักเรียนของ N. N. Luzin หลายคนกลายเป็นนักวิชาการและเป็นสมาชิกที่เกี่ยวข้องของ USSR Academy of Sciences ในหมู่พวกเขาคือ P. S. Alexandrov อ. เอ็น. โคลโมโกรอฟ M. A. Lavrentyev, L. A. Lyusternik, D. E. Menshov, P. S. Novikov L. G. Shnirelman และคนอื่นๆ

นักคณิตศาสตร์โซเวียตและชาวต่างประเทศสมัยใหม่ในงานของพวกเขาพัฒนาแนวคิดของ N. N. Luzin

การบรรจบกันของสถานการณ์เหล่านี้นำไปสู่ความจริงที่ว่าเมื่อปลายศตวรรษที่ 17 นักวิทยาศาสตร์สองคน - I. Newton และ G. Leibniz - เป็นอิสระจากกันสามารถสร้างเครื่องมือทางคณิตศาสตร์สำหรับการแก้ปัญหาเหล่านี้โดยสรุปและสรุปผลลัพธ์แต่ละรายการของรุ่นก่อนรวมถึงนักวิทยาศาสตร์โบราณ Archimedes และผู้ร่วมสมัยของ Newton และ Leibniz - B. คาวาเลียรี, บี. ปาสคาล, ดี. เกรกอรี, ไอ. แบร์โรว์. เครื่องมือนี้เป็นพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ซึ่งเป็นสาขาใหม่ของคณิตศาสตร์ที่ศึกษากระบวนการพัฒนาต่างๆ เช่น ความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร ซึ่งในทางคณิตศาสตร์เรียกว่าการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันหรืออีกนัยหนึ่งคือฟังก์ชัน อย่างไรก็ตาม คำว่า "ฟังก์ชัน" เป็นสิ่งจำเป็นและเกิดขึ้นตามธรรมชาติอย่างแม่นยำในศตวรรษที่ 17 และถึงตอนนี้ ไม่เพียงแต่ได้รับความสำคัญทางคณิตศาสตร์ทั่วไปเท่านั้น แต่ยังได้รับความสำคัญทางวิทยาศาสตร์ทั่วไปด้วย

ข้อมูลเบื้องต้นเกี่ยวกับแนวคิดพื้นฐานและเครื่องมือทางคณิตศาสตร์ในการวิเคราะห์มีอยู่ในบทความ "แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์" และ "แคลคูลัสอินทิกรัล"

ลองดูตัวอย่างและการเปรียบเทียบที่เป็นตัวอย่างบางส่วน

บางครั้งเราไม่ได้ตระหนักอีกต่อไปว่า ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์ที่เขียนขึ้นซึ่งไม่ได้เขียนสำหรับแอปเปิล เก้าอี้ หรือช้าง แต่อยู่ในรูปแบบนามธรรมที่แยกออกมาจากวัตถุใดวัตถุหนึ่ง ถือเป็นความสำเร็จทางวิทยาศาสตร์ที่โดดเด่น นี่เป็นกฎทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ได้กับวัตถุเฉพาะต่างๆ ตามที่ประสบการณ์แสดงให้เห็น ซึ่งหมายความว่าโดยการศึกษาคุณสมบัติทั่วไปของจำนวนนามธรรมและนามธรรมทางคณิตศาสตร์ เราจะศึกษาความสัมพันธ์เชิงปริมาณของโลกแห่งความเป็นจริง

ตัวอย่างเช่นจากหลักสูตรคณิตศาสตร์ของโรงเรียนเป็นที่ทราบกันดีว่าในสถานการณ์เฉพาะคุณสามารถพูดว่า:“ ถ้าพวกเขาไม่ได้ให้รถบรรทุกขนาดหกตันสองคันให้ฉันเพื่อขนส่งดิน 12 ตันฉันก็ขอได้ รถบรรทุกขนาดสี่ตันสามคันและงานก็จะเสร็จสิ้น และหากพวกเขาให้รถบรรทุกขนาดสี่ตันมาให้ฉันเพียงคันเดียว เธอก็จะต้องบินสามเที่ยว” ดังนั้นตัวเลขนามธรรมและรูปแบบตัวเลขที่เราคุ้นเคยจึงสัมพันธ์กับการสำแดงและการประยุกต์เฉพาะของพวกเขา

กฎแห่งการเปลี่ยนแปลงในตัวแปรเฉพาะและกระบวนการพัฒนาของธรรมชาติมีความสัมพันธ์กันในลักษณะเดียวกับฟังก์ชันรูปแบบนามธรรมและนามธรรมที่ปรากฏและได้รับการศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ตัวอย่างเช่น อัตราส่วนนามธรรมอาจสะท้อนถึงการพึ่งพาบ็อกซ์ออฟฟิศของโรงภาพยนตร์กับจำนวนตั๋วที่ขายได้ หาก 20 คือ 20 โกเปค - ราคาของตั๋วหนึ่งใบ แต่ถ้าเราขี่จักรยานบนทางหลวงเดินทาง 20 กม. ต่อชั่วโมง อัตราส่วนเดียวกันนี้ก็สามารถตีความได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ระหว่างเวลา (ชั่วโมง) ของการปั่นจักรยานของเรากับระยะทางที่ครอบคลุมในช่วงเวลานี้ (กิโลเมตร) อ้างเสมอว่า เช่น การเปลี่ยนแปลงหลายครั้งนำไปสู่การเปลี่ยนแปลงค่าของสัดส่วน (เช่น จำนวนครั้งเท่ากัน) และถ้า แล้วข้อสรุปที่ตรงกันข้ามก็เป็นจริงเช่นกัน ซึ่งหมายความว่า โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การเพิ่มบ็อกซ์ออฟฟิศของโรงภาพยนตร์เป็นสองเท่า คุณจะต้องดึงดูดผู้ชมได้มากเป็นสองเท่า และเพื่อที่จะเดินทางด้วยจักรยานได้ไกลเป็นสองเท่าด้วยความเร็วเท่ากัน คุณจะต้องขี่ให้นานขึ้นสองเท่า .

คณิตศาสตร์ศึกษาทั้งการพึ่งพาที่ง่ายที่สุดและการพึ่งพาอื่นๆ ที่ซับซ้อนกว่ามากในรูปแบบทั่วไปที่เป็นนามธรรม ซึ่งสรุปมาจากการตีความเฉพาะ คุณสมบัติของฟังก์ชันหรือวิธีในการศึกษาคุณสมบัติเหล่านี้ที่ระบุในการศึกษาดังกล่าวจะเป็นลักษณะของเทคนิคทางคณิตศาสตร์ทั่วไป ข้อสรุป กฎเกณฑ์ และข้อสรุปที่ใช้กับปรากฏการณ์เฉพาะแต่ละอย่างซึ่งฟังก์ชันที่ศึกษาในรูปแบบนามธรรมเกิดขึ้นไม่ว่าจะด้านใด ความรู้ปรากฏการณ์นี้เป็นของ

ดังนั้น การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในฐานะสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์จึงถือกำเนิดขึ้นในปลายศตวรรษที่ 17 หัวข้อการศึกษาในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ (ตามที่ปรากฏจากตำแหน่งสมัยใหม่) คือฟังก์ชัน หรืออีกนัยหนึ่งคือการขึ้นต่อกันระหว่างปริมาณที่แปรผัน

ด้วยการถือกำเนิดของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ คณิตศาสตร์จึงสามารถเข้าถึงการศึกษาและการสะท้อนกระบวนการพัฒนาในโลกแห่งความเป็นจริง คณิตศาสตร์ประกอบด้วยตัวแปรและการเคลื่อนที่

5.3 การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

ผู้ก่อตั้งวิทยาศาสตร์สมัยใหม่ - โคเปอร์นิคัส, เคปเลอร์, กาลิเลโอ และนิวตัน - เข้าหาการศึกษาธรรมชาติในฐานะคณิตศาสตร์ จากการศึกษาการเคลื่อนไหว นักคณิตศาสตร์ได้พัฒนาแนวคิดพื้นฐานดังกล่าวเป็นฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ระหว่างตัวแปร เช่น d = kt2 โดยที่ d คือระยะทางที่วัตถุที่ตกลงมาอย่างอิสระเดินทางได้ และ t คือจำนวนวินาทีที่วัตถุอยู่ในสภาวะอิสระ ตก. แนวคิดเรื่องฟังก์ชันกลายเป็นศูนย์กลางในการกำหนดความเร็วในเวลาที่กำหนดและความเร่งของวัตถุที่กำลังเคลื่อนที่ทันที ความยากทางคณิตศาสตร์ของปัญหานี้ก็คือ ในช่วงเวลาใดก็ตามที่ร่างกายเดินทางเป็นระยะทางเป็นศูนย์ในเวลาเป็นศูนย์ ดังนั้น เมื่อกำหนดค่าของความเร็วในขณะนั้นโดยการหารเส้นทางตามเวลา เราจึงได้นิพจน์ที่ไม่มีความหมายทางคณิตศาสตร์คือ 0/0

ปัญหาในการกำหนดและคำนวณอัตราการเปลี่ยนแปลงทันทีของปริมาณต่างๆ ดึงดูดความสนใจของนักคณิตศาสตร์เกือบทั้งหมดในศตวรรษที่ 17 รวมถึง Barrow, Fermat, Descartes และ Wallis แนวคิดและวิธีการที่แตกต่างกันที่พวกเขาเสนอถูกรวมเข้าเป็นวิธีการอย่างเป็นทางการที่เป็นระบบและนำไปใช้ได้ในระดับสากลโดยนิวตันและจี. ไลบ์นิซ (1646 - 1716) ผู้สร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ มีการถกเถียงกันอย่างดุเดือดระหว่างพวกเขาในประเด็นลำดับความสำคัญในการพัฒนาแคลคูลัสนี้ โดยนิวตันกล่าวหาว่าไลบนิซเป็นผู้ลอกเลียนแบบ อย่างไรก็ตาม จากการวิจัยของนักประวัติศาสตร์ด้านวิทยาศาสตร์ ไลบ์นิซได้สร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยไม่ขึ้นกับนิวตัน ผลจากความขัดแย้ง การแลกเปลี่ยนความคิดเห็นระหว่างนักคณิตศาสตร์ในทวีปยุโรปและอังกฤษต้องหยุดชะงักลงเป็นเวลาหลายปี ซึ่งส่งผลเสียต่อฝ่ายอังกฤษ นักคณิตศาสตร์ชาวอังกฤษยังคงพัฒนาแนวความคิดในการวิเคราะห์ในทิศทางเรขาคณิต ในขณะที่นักคณิตศาสตร์ในทวีปยุโรป รวมทั้ง I. Bernoulli (1667 - 1748) ออยเลอร์และลากรองจ์ประสบความสำเร็จมากขึ้นอย่างไม่มีใครเทียบได้หลังจากใช้แนวทางพีชคณิตหรือเชิงวิเคราะห์

พื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดคือแนวคิดเรื่องขีดจำกัด ความเร็วในขณะนั้นถูกกำหนดให้เป็นขีดจำกัดที่ความเร็วเฉลี่ยมีแนวโน้มเมื่อค่า t เข้าใกล้ศูนย์ แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์เป็นวิธีการทั่วไปที่สะดวกในการคำนวณในการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันสำหรับค่า x ใดๆ ความเร็วนี้เรียกว่าอนุพันธ์ จากลักษณะทั่วไปของสัญกรณ์ เห็นได้ชัดว่าแนวคิดของอนุพันธ์สามารถใช้ได้ไม่เพียงแต่ในปัญหาที่เกี่ยวข้องกับความจำเป็นในการค้นหาความเร็วหรือความเร่งเท่านั้น แต่ยังเกี่ยวข้องกับการพึ่งพาเชิงฟังก์ชันด้วย เช่น ความสัมพันธ์บางอย่างจากทฤษฎีเศรษฐศาสตร์ การประยุกต์ใช้แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์หลักประการหนึ่งคือสิ่งที่เรียกว่า งานสูงสุดและต่ำสุด ปัญหาที่สำคัญอีกประการหนึ่งคือการหาเส้นสัมผัสของเส้นโค้งที่กำหนด

ปรากฎว่าด้วยความช่วยเหลือของอนุพันธ์ที่ประดิษฐ์ขึ้นเป็นพิเศษสำหรับการทำงานกับปัญหาการเคลื่อนไหว ทำให้สามารถค้นหาพื้นที่และปริมาตรที่ถูกจำกัดด้วยเส้นโค้งและพื้นผิวตามลำดับได้ วิธีเรขาคณิตแบบยุคลิดไม่มีความทั่วถึงที่จำเป็นและไม่อนุญาตให้ได้รับผลลัพธ์เชิงปริมาณที่ต้องการ ด้วยความพยายามของนักคณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 มีการสร้างวิธีการส่วนตัวจำนวนมากที่ทำให้สามารถค้นหาพื้นที่ของตัวเลขที่ล้อมรอบด้วยเส้นโค้งประเภทใดประเภทหนึ่งได้ และในบางกรณีก็มีการสังเกตความเชื่อมโยงระหว่างปัญหาเหล่านี้กับปัญหาในการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน แต่ในกรณีของแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ นิวตันและไลบนิซเองที่ตระหนักถึงลักษณะทั่วไปของวิธีการดังกล่าว และด้วยเหตุนี้จึงวางรากฐานของแคลคูลัสอินทิกรัล

วิธีนิวตัน-ไลบ์นิซเริ่มต้นด้วยการแทนที่เส้นโค้งที่ล้อมรอบพื้นที่ที่จะกำหนดโดยลำดับของเส้นขาดที่ใกล้เคียงกัน คล้ายกับวิธีหมดแรงที่คิดค้นโดยชาวกรีก พื้นที่ที่แน่นอนเท่ากับขีดจำกัดของผลรวมของพื้นที่สี่เหลี่ยม n รูป เมื่อ n ไปถึงอนันต์ นิวตันแสดงให้เห็นว่าขีดจำกัดนี้สามารถหาได้โดยการกลับกระบวนการค้นหาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชัน การดำเนินการผกผันของการสร้างความแตกต่างเรียกว่าการอินทิเกรต ข้อความที่ว่าการบวกสามารถทำได้โดยการกลับค่าอนุพันธ์เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส เช่นเดียวกับที่การแยกความแตกต่างใช้ได้กับปัญหาประเภทต่างๆ ที่กว้างกว่าการค้นหาความเร็วและความเร่ง การอินทิเกรตใช้ได้กับปัญหาใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับผลรวม เช่น ปัญหาฟิสิกส์ที่เกี่ยวข้องกับการบวกกองกำลัง

อัลกอริธึมของ Dijkstra

ทฤษฎีกราฟเป็นสาขาหนึ่งของคณิตศาสตร์แยกส่วน ซึ่งเป็นแนวทางทางเรขาคณิตในการศึกษาวัตถุ วัตถุหลักของทฤษฎีกราฟคือกราฟและลักษณะทั่วไปของมัน...

คนดีเด่นด้านสถิติ พี.แอล. เชบีเชฟ

ผลงานของ Chebyshev จำนวนมากที่สุดอุทิศให้กับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ ในวิทยานิพนธ์เรื่องสิทธิในการบรรยายในปี พ.ศ. 2390 เชบีเชฟได้ตรวจสอบความสามารถในการบูรณาการของนิพจน์ที่ไม่ลงตัวบางประการในฟังก์ชันพีชคณิตและลอการิทึม...

มาวิเคราะห์ตำราเรียนเกี่ยวกับพีชคณิตและจุดเริ่มต้นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยผู้เขียนเช่น A.N. และมอร์ดโควิช เอ.จี. ในหนังสือเรียนเกรด 10-11 ปี 2551 สถาบันการศึกษาทั่วไป เรียบเรียงโดย A.N. Kolmogorov ผู้แต่ง: A.N...

ศึกษาคุณสมบัติของตัวแปรสุ่ม การวางแผนการทดลอง และการวิเคราะห์ข้อมูล

ขอให้เราได้รับการพึ่งพาความแม่นยำของวิธีการวัดความแข็งแรงตามปัจจัยต่างๆ: A, C, E ลองคำนวณ z0j = (zmaxj + zminj)/2 (41) ?zj = (zmaxj - zminj)/2 (42) ) xj = (zj - z0j)/ ? zj (43) มาสร้างเมทริกซ์การวางแผนกันดีกว่า...

ศึกษาวิธีการแก้ปัญหาต่อด้วยพารามิเตอร์สำหรับระบบควบคุมอัตโนมัติแบบไม่เชิงเส้น

จากการวิเคราะห์กราฟิกและวัสดุทดสอบข้างต้นที่อธิบายการแก้ระบบสมการพีชคณิตไม่เชิงเส้นโดยวิธีการแก้ปัญหาต่อไปด้วยความเคารพต่อพารามิเตอร์ เราสามารถสรุปได้ดังต่อไปนี้: 1...

การถดถอยคือการขึ้นอยู่กับค่าเฉลี่ยของค่า Y กับอีกค่า X แนวคิดของการถดถอยในแง่หนึ่งทำให้แนวคิดเรื่องการพึ่งพาฟังก์ชัน y = f(x)...

การศึกษาการพึ่งพาทางสถิติของความดันในก๊าซ Fermi-Dirac ในอุดมคติกับอุณหภูมิของมัน

การถดถอยเชิงเส้น ในการค้นหาสัมประสิทธิ์ a และ b โดยใช้วิธีกำลังสองน้อยที่สุด พารามิเตอร์ที่จำเป็นต่อไปนี้ได้รับการคำนวณ: = 3276.8479; = 495.4880; = 2580.2386; = 544.33; ในกรณีของเรา ค่าสัมประสิทธิ์ a และ b เท่ากันตามลำดับ: เพราะฉะนั้น...

วิธีพีชคณิตซ้ำสำหรับการสร้างภาพใหม่

จากการตรวจสอบข้อมูลการคำนวณสำหรับปัญหาเหล่านี้ เราสามารถพูดได้ว่าสำหรับวิธีนี้ จำนวนสมการและจำนวนสิ่งที่ไม่ทราบมีบทบาทสำคัญ...

คณิตศาสตร์กับโลกสมัยใหม่

คำอธิบายที่ชัดเจนของปรากฏการณ์นี้หรือปรากฏการณ์นั้นถือเป็นคณิตศาสตร์ และในทางกลับกัน ทุกอย่างที่แม่นยำก็คือคณิตศาสตร์ คำอธิบายที่แน่นอนใดๆ คือคำอธิบายในภาษาคณิตศาสตร์ที่เหมาะสม...

การสร้างแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ในปัญหาการคำนวณและการออกแบบระบบควบคุมอัตโนมัติ

ให้เราวิเคราะห์ระบบที่ไม่ถูกแก้ไขโดยใช้เกณฑ์ของ Mikhailov และ Hurwitz ลองหาฟังก์ชันถ่ายโอนของทั้งระบบ มาเขียนเมทริกซ์ Hurwitz a0=1 กัน a1=7.4; ก2=19; ก3=10; ตามเกณฑ์ของ Hurwitz สำหรับสิ่งนี้...

วิธีกำลังสองน้อยที่สุด

เริ่มจากแนวคิดของการวิเคราะห์การถดถอยของความแปรปรวนกันก่อน ให้เราตรวจสอบแนวคิดนี้โดยใช้ตัวอย่างการพึ่งพาเชิงเส้น ตามวิธีกำลังสองน้อยที่สุด เราสามารถจินตนาการได้ว่า: , โดยที่ โดยความสัมพันธ์ที่สองคือสมการถดถอยที่พบ โดยมีตัวแปรสุ่มที่มีค่าเฉลี่ย...

การเพิ่มประสิทธิภาพขั้นต่ำและหลายเกณฑ์

ก่อนที่เราจะเริ่มพิจารณาปัญหาการหาค่าเหมาะที่สุด เราจะตกลงกันว่าเราจะใช้เครื่องมือทางคณิตศาสตร์อะไร ในการแก้ปัญหาด้วยเกณฑ์เดียว ก็เพียงพอแล้วที่จะสามารถทำงานกับฟังก์ชันของตัวแปรตัวเดียวได้...

ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

การวิเคราะห์การถดถอยเป็นวิธีการสร้างแบบจำลองข้อมูลที่วัดได้และศึกษาคุณสมบัติของข้อมูลเหล่านั้น ข้อมูลประกอบด้วยคู่ของค่าของตัวแปรตาม (ตัวแปรตอบสนอง) และตัวแปรอิสระ (ตัวแปรอธิบาย)...

คุณสมบัติของภาษาคณิตศาสตร์

เพื่ออธิบายเวลา ซึ่งเข้าใจว่าเป็นเวลาของโลกแห่งชีวิต ช่วงเวลาของการดำรงอยู่ของมนุษย์ ภาษาของปรากฏการณ์วิทยาสะดวกที่สุด แต่คำอธิบายเชิงปรากฏการณ์วิทยาเกี่ยวกับเวลาและนิรันดรอาจใช้ภาษาทางคณิตศาสตร์ได้ดี...

วิธีการเชิงตัวเลขสำหรับการแก้สมการและระบบอนุพันธ์สามัญ

จากการนำเสนอแบบกราฟิกของการแก้โจทย์ไปจนถึงระบบสมการเชิงอนุพันธ์อันดับหนึ่งที่อธิบายพลวัตของประชากรของสองสายพันธุ์ที่มีปฏิสัมพันธ์ซึ่งกันและกันตามประเภท "นักล่า-เหยื่อ" และคำนึงถึงปฏิสัมพันธ์ภายในความจำเพาะ เป็นที่ชัดเจนว่า...

เป้าหมายทั่วไปของหลักสูตรนี้คือการเปิดเผยให้นักเรียนที่สำเร็จการศึกษาด้านคณิตศาสตร์ทั่วไปทราบถึงแง่มุมทางประวัติศาสตร์ของคณิตศาสตร์ และเพื่อแสดงธรรมชาติของความคิดสร้างสรรค์ทางคณิตศาสตร์ในระดับหนึ่ง ภาพพาโนรามาทั่วไปของการพัฒนาแนวคิดและทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ตั้งแต่สมัยบาบิโลนและอียิปต์จนถึงต้นศตวรรษที่ 20 ได้รับการตรวจสอบในรูปแบบที่กระชับ หลักสูตรนี้ประกอบด้วยหัวข้อ "คณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์" ซึ่งให้ภาพรวมของเหตุการณ์สำคัญในประวัติศาสตร์ของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์ ชิ้นส่วนของประวัติศาสตร์การพัฒนาคอมพิวเตอร์ในรัสเซีย และชิ้นส่วนของประวัติศาสตร์ของวิทยาการคอมพิวเตอร์ รายการข้อมูลอ้างอิงที่ค่อนข้างใหญ่และเอกสารอ้างอิงบางส่วนสำหรับงานอิสระและสำหรับการเตรียมบทคัดย่อจะถูกนำเสนอเป็นสื่อการสอน

• ช่วงเวลาแห่งการสะสมความรู้ทางคณิตศาสตร์
  การก่อตัวของแนวคิดเบื้องต้น: ตัวเลขและรูปทรงเรขาคณิต คณิตศาสตร์ในประเทศที่มีอารยธรรมโบราณ - ในอียิปต์โบราณ บาบิโลน จีน อินเดีย ประเภทพื้นฐานของระบบจำนวน ความสำเร็จครั้งแรกของคณิตศาสตร์ เรขาคณิต พีชคณิต
• คณิตศาสตร์ของปริมาณคงที่
  การก่อตัวของวิทยาศาสตร์คณิตศาสตร์ (ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช – ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช) การสร้างคณิตศาสตร์ในฐานะวิทยาศาสตร์นิรนัยเชิงนามธรรมในสมัยกรีกโบราณ
  เงื่อนไขในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในสมัยกรีกโบราณ
• โรงเรียนพีทาโกรัส การค้นพบความไม่สมดุลและการสร้างพีชคณิตเรขาคณิต ปัญหาที่มีชื่อเสียงของสมัยโบราณ วิธีหมดแรง วิธีการน้อยที่สุดของ Eudoxus และ Archimedes
  โครงสร้างเชิงสัจพจน์ของคณิตศาสตร์ในองค์ประกอบของยุคลิด "ส่วนรูปกรวย" โดย Apollonius วิทยาศาสตร์แห่งศตวรรษแรกของยุคของเรา: "กลศาสตร์" ของนกกระสา, "Almagest" ของปโตเลมี, "ภูมิศาสตร์" ของเขา, การเกิดขึ้นของพีชคณิตตัวอักษรใหม่ในผลงานของ Diophantus และจุดเริ่มต้นของการศึกษาสมการไม่แน่นอน ความเสื่อมถอยของวิทยาศาสตร์โบราณ
• คณิตศาสตร์ของประชาชนในเอเชียกลางและอาหรับตะวันออกในศตวรรษที่ 7-16 การแยกพีชคณิตออกเป็นสาขาวิชาคณิตศาสตร์อิสระ การก่อตัวของตรีโกณมิติในการประยุกต์คณิตศาสตร์กับดาราศาสตร์ สถานะของความรู้ทางคณิตศาสตร์ในยุโรปตะวันตกและรัสเซียในยุคกลาง "หนังสือลูกคิด" โดยเลโอนาร์โดแห่งปิซา
  การเปิดมหาวิทยาลัยแห่งแรก ความก้าวหน้าทางคณิตศาสตร์ของยุคฟื้นฟูศิลปวิทยา
• พาโนรามาของการพัฒนาคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ XVII-XIX
  การก่อตัวของคณิตศาสตร์ของปริมาณแปรผันในศตวรรษที่ 17 ที่เกี่ยวข้องกับดาราศาสตร์: กฎของเคปเลอร์และผลงานของกาลิเลโอ การพัฒนาแนวคิดของโคเปอร์นิคัส
• การประดิษฐ์ลอการิทึม รูปแบบที่แตกต่างและวิธีการบูรณาการในงานของ Kepler, Cavalieri, Fermat, Descartes, Pascal, Wallis, N. Mercator การสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์โดยนิวตันและไลบ์นิซ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ในศตวรรษที่ 18 และความเชื่อมโยงกับวิทยาศาสตร์ธรรมชาติ
  งานของออยเลอร์. หลักคำสอนของฟังก์ชัน การสร้างและพัฒนาแคลคูลัสของการแปรผัน ทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ และทฤษฎีสมการอินทิกรัล อนุกรมกำลังและอนุกรมตรีโกณมิติ ทฤษฎีทั่วไปของฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน โดย Riemann และ Weierstrass
• การก่อตัวของการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน ปัญหาการพิสูจน์การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การก่อสร้างขึ้นอยู่กับหลักคำสอนเรื่องขีดจำกัด ผลงานโดย Cauchy, Bolzano และ Weierstrass ทฤษฎีจำนวนจริง (จาก Eudoxus ถึง Dedekind) การสร้างทฤษฎีเซตอนันต์โดย Cantor และ Dedekind
  ความขัดแย้งและปัญหาประการแรกของรากฐานของคณิตศาสตร์
  คณิตศาสตร์ในรัสเซีย (ทบทวน)
  ชิ้นส่วนของประวัติศาสตร์การพัฒนาคอมพิวเตอร์ในรัสเซีย

การพัฒนาโดย S.A. Lebedev และนักเรียนของเขา การประยุกต์ใช้งาน (การคำนวณวงโคจรของดาวเคราะห์น้อย การวาดแผนที่จากการสำรวจเชิงภูมิศาสตร์ การสร้างพจนานุกรมและโปรแกรมการแปล ฯลฯ) การสร้างเครื่องจักรในประเทศ (A.A. Lyapunov, A.P. Ershov, B.I. Rameev, M.R. Shura-Bura, G.P. Lopato, M.A. Kartsev และอื่น ๆ อีกมากมาย) การเกิดขึ้นของคอมพิวเตอร์ส่วนบุคคล

1. การใช้เครื่องจักรหลายแง่มุม: การควบคุมการบินอวกาศ การสังเกตอวกาศ ในงานทางวิทยาศาสตร์ เพื่อควบคุมกระบวนการทางเทคโนโลยี การประมวลผลข้อมูลการทดลอง พจนานุกรมและนักแปลอิเล็กทรอนิกส์ งานทางเศรษฐกิจ เครื่องจักรสำหรับครูและนักเรียน คอมพิวเตอร์ในครัวเรือน ฯลฯ)
2. วิชาบทคัดย่อ
3. ซีรีส์ชีวประวัติ
4. ประวัติความเป็นมาของการก่อตัวและการพัฒนาสาขาคณิตศาสตร์เฉพาะในช่วงเวลาหนึ่ง ประวัติความเป็นมาของการก่อตัวและการพัฒนาคณิตศาสตร์ในยุคประวัติศาสตร์เฉพาะในสภาวะเฉพาะ
5. ประวัติความเป็นมาของการเกิดขึ้นของศูนย์วิทยาศาสตร์และบทบาทในการพัฒนาสาขาวิชาคณิตศาสตร์เฉพาะ
6. ประวัติความเป็นมาของการก่อตัวและการพัฒนาวิทยาการคอมพิวเตอร์ในช่วงเวลาหนึ่ง
7. ผู้ก่อตั้งสาขาวิทยาการคอมพิวเตอร์บางสาขา

1. เฉพาะนักวิทยาศาสตร์และวัฒนธรรมโลกที่โดดเด่นในยุคต่างๆ
2. จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์รัสเซีย (ยุคประวัติศาสตร์เฉพาะและบุคคลเฉพาะ)
3. กลศาสตร์โบราณ ("อุปกรณ์ทางทหารในสมัยโบราณ")
4. คณิตศาสตร์ในสมัยอาหรับคอลีฟะห์
5. รากฐานของเรขาคณิต: จาก Euclid ถึง Hilbert
6. นีลส์ เฮนริก อาเบล นักคณิตศาสตร์ผู้น่าทึ่ง
7. เจโรลาโม คาร์ดาโน นักสารานุกรมแห่งศตวรรษที่ 15
8. ครอบครัวเบอร์นูลลีผู้ยิ่งใหญ่
9. บุคคลสำคัญในการพัฒนาทฤษฎีความน่าจะเป็น (ตั้งแต่ Laplace ถึง Kolmogorov)
10. ช่วงเวลาแห่งบรรพบุรุษของการสร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล
11. นิวตันและไลบ์นิซเป็นผู้สร้างแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัล
12. Alexey Andreevich Lyapunov เป็นผู้สร้างคอมพิวเตอร์เครื่องแรกในรัสเซีย
13. "ความหลงใหลในวิทยาศาสตร์" (S.V. Kovalevskaya)
14. เบลส ปาสคาล.
15. จากลูกคิดสู่คอมพิวเตอร์
16. “การสามารถกำหนดทิศทางได้คือสัญญาณของอัจฉริยะ” เซอร์เกย์ อเล็กเซวิช เลเบเดฟ
17. ผู้พัฒนาและออกแบบคอมพิวเตอร์เครื่องแรกในสหภาพโซเวียต
18. ความภาคภูมิใจของวิทยาศาสตร์รัสเซียคือ Pafnutiy Lvovich Chebyshev
19. François Viète เป็นบิดาแห่งพีชคณิตสมัยใหม่และเป็นนักเข้ารหัสที่เก่งกาจ
20. Andrei Nikolaevich Kolmogorov และ Pavel Sergeevich Alexandrov เป็นปรากฏการณ์ที่เป็นเอกลักษณ์ของวัฒนธรรมรัสเซียซึ่งเป็นสมบัติของชาติ
21. ไซเบอร์เนติกส์: เซลล์ประสาท - ออโตมาตา - เพอร์เซปตรอน
22. คอมพิวเตอร์ส่วนบุคคลถูกประดิษฐ์ขึ้นอย่างไร
23. จากประวัติศาสตร์การเข้ารหัส
24. ลักษณะทั่วไปของแนวคิดเรื่องปริภูมิเรขาคณิต ประวัติความเป็นมาของการสร้างและพัฒนาโทโพโลยี
25. อัตราส่วนทองคำในดนตรี ดาราศาสตร์ เชิงผสม และจิตรกรรม
26. อัตราส่วนทองคำในระบบสุริยะ
27. ภาษาโปรแกรม การจำแนกประเภทและการพัฒนา
28. ทฤษฎีความน่าจะเป็น แง่มุมของประวัติศาสตร์
29. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาเรขาคณิตที่ไม่ใช่ยุคลิด (Lobachevsky, Gauss, Bolyai, Riemann)
30. ราชาแห่งทฤษฎีจำนวนคือ คาร์ล ฟรีดริช เกาส์
31. ปัญหาที่มีชื่อเสียงสามประการของสมัยโบราณเป็นตัวกระตุ้นให้เกิดและพัฒนาสาขาวิชาคณิตศาสตร์ต่างๆ
32. อารยภตะ “โคเปอร์นิคัสแห่งตะวันออก”
33. เดวิด กิลเบิร์ต. 23 ปัญหาของฮิลเบิร์ต
34. การพัฒนาแนวคิดเรื่องตัวเลขจาก Eudoxus ถึง Dedekind
35. วิธีการเชิงบูรณาการใน Eudoxus และ Archimedes
36. คำถามเกี่ยวกับระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์ สมมติฐาน กฎหมาย และข้อเท็จจริง
37. คำถามเกี่ยวกับระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์ วิธีการทางคณิตศาสตร์
38. คำถามเกี่ยวกับระเบียบวิธีทางคณิตศาสตร์ โครงสร้าง แรงผลักดัน หลักการและรูปแบบ
39. พีทาโกรัสเป็นนักปรัชญาและนักคณิตศาสตร์
40. กาลิเลโอ กาลิเลอี. การก่อตัวของกลศาสตร์คลาสสิก
41. เส้นทางชีวิตและกิจกรรมทางวิทยาศาสตร์ของ M.V. Ostrogradsky
42. ผลงานของนักวิทยาศาสตร์ชาวรัสเซียต่อทฤษฎีความน่าจะเป็น
43. พัฒนาการทางคณิตศาสตร์ในรัสเซียในศตวรรษที่ 18 และ 19
44. ประวัติความเป็นมาของการค้นพบลอการิทึมและการเชื่อมต่อกับพื้นที่
45. จากประวัติความเป็นมาของการพัฒนาเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์
46. คอมพิวเตอร์ก่อนยุคอิเล็กทรอนิกส์
47. คอมพิวเตอร์เครื่องแรก
48. เหตุการณ์สำคัญในประวัติศาสตร์ของเทคโนโลยีคอมพิวเตอร์รัสเซียและคณิตศาสตร์คอมพิวเตอร์
49. ประวัติความเป็นมาของการพัฒนาระบบปฏิบัติการ
50. ลำดับเหตุการณ์ของการปรากฏตัวของ WINDOWS 98
51. บี. ปาสคาล, ก. ไลบ์นิซ, พี. เชบีเชฟ
52. Norbert Wiener, Claude Shannon และทฤษฎีวิทยาการคอมพิวเตอร์
53. จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์ในรัสเซีย
54. ชีวิตและผลงานของเกาส์
55. การก่อตัวและการพัฒนาโทโพโลยี
56. Évariste Galois - นักคณิตศาสตร์และนักปฏิวัติ
57. อัตราส่วนทองคำจาก Leonardo Fibonacci และ Leonardo da Vinci ถึงศตวรรษที่ 21
58. คณิตศาสตร์ในรัสเซียในศตวรรษที่ 18-19
59. วิทยาการคอมพิวเตอร์ ประเด็นประวัติศาสตร์
60. จากประวัติศาสตร์คณิตศาสตร์รัสเซีย: N.I. Lobachevsky, M.V. Ostrogradsky, S.V.
61. ไซเบอร์เนติกส์: เซลล์ประสาท - ออโตมาตา - เพอร์เซปตรอน
62. คณิตศาสตร์โบราณ ศตวรรษที่ VI-IV พ.ศ
63. ภาษาโปรแกรม: ประเด็นทางประวัติศาสตร์
64. ลีโอนาร์ด ออยเลอร์.
65. ประวัติความเป็นมาของการสร้างแคลคูลัสอินทิกรัลและอนุพันธ์โดย I. Newton และ G. Leibniz
66. คณิตศาสตร์แห่งศตวรรษที่ 17 ในฐานะผู้บุกเบิกการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์

การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ตามนิวตันและไลบ์นิซ: การวิจารณ์และการให้เหตุผล

เรารู้อยู่แล้วว่าหนึ่งในทิศทางหลักในการพัฒนาคณิตศาสตร์ในช่วงที่สี่คือการเสริมสร้างความเข้มงวดของการพิสูจน์ในคณิตศาสตร์ทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่งการปรับโครงสร้างของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์บนพื้นฐานเชิงตรรกะ ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 18 มีความพยายามหลายครั้งในการสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ขึ้นมาใหม่: การแนะนำคำจำกัดความของขีดจำกัด (D'Alembert และคณะ), คำจำกัดความของอนุพันธ์ในฐานะขีดจำกัดของอัตราส่วน (ออยเลอร์ และคณะ), ผลลัพธ์ของลากรองจ์และการ์โนต์ ฯลฯ แต่งานเหล่านี้ขาดระบบและบางครั้งก็ไม่ประสบผลสำเร็จ อย่างไรก็ตาม พวกเขาได้เตรียมพื้นที่สำหรับเปเรสทรอยกาในศตวรรษที่ 19 สามารถนำไปปฏิบัติได้ ในศตวรรษที่ 19 ทิศทางการพัฒนาการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นี้กลายเป็นทิศทางสำคัญ มันถูกครอบครองโดย O. Cauchy, B. Bolzano, K. Weierstrass และคนอื่นๆ

1. Augustin Louis Cauchy (1789−1857) สำเร็จการศึกษาจาก Ecole Polytechnique และ Institute of Communications ในปารีส ตั้งแต่ปี 1816 เป็นสมาชิกของ Paris Academy และศาสตราจารย์ที่ Ecole Polytechnique ในปี ค.ศ. 1830-1838 ในช่วงหลายปีของสาธารณรัฐ เขาถูกเนรเทศเพราะความเชื่อในระบอบกษัตริย์ ตั้งแต่ปี พ.ศ. 2391 Cauchy ได้เป็นศาสตราจารย์ที่ Sorbonne - University of Paris เขาตีพิมพ์บทความมากกว่า 800 เรื่องเกี่ยวกับการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ สมการเชิงอนุพันธ์ ทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน พีชคณิต ทฤษฎีจำนวน เรขาคณิต กลศาสตร์ ทัศนศาสตร์ ฯลฯ ประเด็นหลักที่เขาสนใจทางวิทยาศาสตร์คือการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์และทฤษฎีฟังก์ชันของ ตัวแปรที่ซับซ้อน

Cauchy ตีพิมพ์การบรรยายของเขาเกี่ยวกับการวิเคราะห์ ซึ่งจัดขึ้นที่โรงเรียนโพลีเทคนิค โดยมีผลงานสามชิ้น: “A Course in Analysis” (1821), “Summary of Lectures on Infinitesimal Calculus” (1823), “Lecture on Applications of Analysis to Geometry”, 2 เล่ม (1826, 1828) ในหนังสือเหล่านี้ เป็นครั้งแรกที่การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ถูกสร้างขึ้นบนพื้นฐานของทฤษฎีขีดจำกัด พวกเขาเป็นจุดเริ่มต้นของการปรับโครงสร้างการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์อย่างรุนแรง

Cauchy ให้คำจำกัดความของขีด จำกัด ของตัวแปรดังต่อไปนี้: “ หากค่าที่กำหนดให้กับตัวแปรเดียวกันสำเร็จเข้าใกล้ค่าคงที่อย่างไม่มีกำหนดเพื่อที่ว่าในท้ายที่สุดค่าเหล่านั้นจะแตกต่างจากค่านั้นน้อยที่สุดเท่าที่จะทำได้ค่าหลังจะเรียกว่า ขีดจำกัดของสิ่งอื่นๆ ทั้งหมด” สาระสำคัญของเรื่องแสดงออกมาได้ดีที่นี่ แต่คำว่า "น้อยที่สุดเท่าที่ต้องการ" นั้นจำเป็นต้องมีคำจำกัดความและนอกจากนี้คำจำกัดความของขีดจำกัดของตัวแปรไม่ใช่ขีดจำกัดของฟังก์ชันก็ถูกกำหนดไว้ที่นี่ ต่อไป ผู้เขียนได้พิสูจน์คุณสมบัติของขีดจำกัดต่างๆ

จากนั้น Cauchy ให้คำจำกัดความต่อไปนี้ของความต่อเนื่องของฟังก์ชัน: ฟังก์ชันจะถูกเรียกว่าต่อเนื่อง ( ณ จุดหนึ่ง) หากการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของอาร์กิวเมนต์ทำให้เกิดการเพิ่มขึ้นเล็กน้อยของฟังก์ชัน กล่าวคือ ในภาษาสมัยใหม่

จากนั้นเขาก็มีคุณสมบัติต่าง ๆ ของฟังก์ชันต่อเนื่อง

หนังสือเล่มแรกยังกล่าวถึงทฤษฎีของอนุกรมด้วย โดยให้คำจำกัดความของผลรวมของอนุกรมจำนวนว่าเป็นขีดจำกัดของผลรวมบางส่วน แนะนำเกณฑ์จำนวนหนึ่งที่เพียงพอสำหรับการบรรจบกันของอนุกรมจำนวน ตลอดจนอนุกรมกำลังและขอบเขต ของการบรรจบกัน - ทั้งหมดนี้ทั้งในโดเมนจริงและโดเมนที่ซับซ้อน

เขานำเสนอแคลคูลัสเชิงอนุพันธ์และอินทิกรัลในหนังสือเล่มที่สองของเขา

Cauchy กำหนดอนุพันธ์ของฟังก์ชันว่าเป็นขีดจำกัดของอัตราส่วนของการเพิ่มขึ้นของฟังก์ชันต่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์ เมื่อการเพิ่มขึ้นของอาร์กิวเมนต์มีแนวโน้มเป็นศูนย์ และส่วนต่างเป็นขีดจำกัดของอัตราส่วน สืบต่อจากนี้ไปว่า.

สูตรอนุพันธ์ตามปกติจะกล่าวถึงต่อไป ในกรณีนี้ ผู้เขียนมักใช้ทฤษฎีบทค่าเฉลี่ยของลากรองจ์

ในแคลคูลัสเชิงปริพันธ์ Cauchy นำเสนออินทิกรัลจำกัดเขตเป็นแนวคิดพื้นฐานก่อน เขายังแนะนำสิ่งนี้เป็นครั้งแรกว่าเป็นขีดจำกัดของผลรวมอินทิกรัล ที่นี่เราพิสูจน์ทฤษฎีบทที่สำคัญเกี่ยวกับความสามารถในการอินทิเกรตของฟังก์ชันต่อเนื่องได้ อินทิกรัลไม่ จำกัด ของเขาถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของอาร์กิวเมนต์นั้น นอกจากนี้ ยังมีการพิจารณาการขยายฟังก์ชันในชุดข้อมูล Taylor และ Maclaurin

ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษที่ 19 นักวิทยาศาสตร์จำนวนหนึ่ง: B. Riemann, G. Darboux และคนอื่นๆ ค้นพบเงื่อนไขใหม่สำหรับความสามารถในการบูรณาการของฟังก์ชัน และยังได้เปลี่ยนคำจำกัดความของอินทิกรัลจำกัดเขตเพื่อให้สามารถนำไปใช้กับการรวมฟังก์ชันที่ไม่ต่อเนื่องบางอย่างได้

ในทฤษฎีสมการเชิงอนุพันธ์ คอชีให้ความสำคัญกับการพิสูจน์ทฤษฎีบทการดำรงอยู่ที่สำคัญขั้นพื้นฐาน ซึ่งได้แก่ การมีอยู่ของคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์สามัญ ลำดับที่หนึ่งก่อนแล้วจึงเรียงลำดับที่ th การมีอยู่ของคำตอบสำหรับระบบเชิงเส้นของสมการเชิงอนุพันธ์ย่อย

กลับไปที่แนวคิดพื้นฐานของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์กัน ในช่วงครึ่งหลังของศตวรรษ เป็นที่แน่ชัดว่านักวิทยาศาสตร์ชาวเช็ก เบอร์นาร์ด โบลซาโน (พ.ศ. 2324 - 2391) ได้ทำอะไรมากมายในด้านการวิเคราะห์เชิงประจักษ์ก่อน Cauchy และ Weierschtrass ก่อน Cauchy เขาให้คำจำกัดความของขีดจำกัด ความต่อเนื่องของฟังก์ชันและการลู่เข้าของอนุกรมตัวเลข พิสูจน์เกณฑ์สำหรับการลู่เข้าของลำดับตัวเลข และนานก่อนที่จะปรากฏในไวเออร์ชตราสส์ ทฤษฎีบท: ถ้าชุดตัวเลข มีขอบเขตด้านบน (ด้านล่าง) จากนั้นจะมีขอบด้านบนที่แน่นอน ( ขอบด้านล่างที่แน่นอน เขาพิจารณาคุณสมบัติหลายประการของฟังก์ชันต่อเนื่อง ให้เราจำไว้ว่าในหลักสูตรการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ของมหาวิทยาลัย มีทฤษฎีบทโบลซาโน–คอชีและโบลซาโน–ไวเออร์สตราสเกี่ยวกับฟังก์ชันที่ต่อเนื่องในช่วงเวลาหนึ่ง โบลซาโนยังตรวจสอบบางประเด็นของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ด้วย ตัวอย่างเช่น เขาสร้างตัวอย่างแรกของฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซกเมนต์ แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่จุดใดๆ บนเซกเมนต์ ในช่วงชีวิตของเขา โบลซาโนสามารถตีพิมพ์ผลงานเล็กๆ น้อยๆ ได้เพียงห้าชิ้นเท่านั้น ดังนั้นผลงานของเขาจึงกลายเป็นที่รู้จักช้าเกินไป

2. ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ การขาดคำจำกัดความที่ชัดเจนของฟังก์ชันนั้นชัดเจนมากขึ้นเรื่อยๆ การสนับสนุนที่สำคัญในการแก้ไขข้อพิพาทเกี่ยวกับความหมายของหน้าที่นั้นทำโดยนักวิทยาศาสตร์ชาวฝรั่งเศส Jean Fourier เขาศึกษาทฤษฎีทางคณิตศาสตร์ของการนำความร้อนในของแข็งและใช้อนุกรมตรีโกณมิติ (อนุกรมฟูเรียร์) ในการเชื่อมต่อกับสิ่งนี้

ต่อมาชุดข้อมูลเหล่านี้เริ่มใช้กันอย่างแพร่หลายในฟิสิกส์คณิตศาสตร์ ซึ่งเป็นวิทยาศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับวิธีการทางคณิตศาสตร์สำหรับการศึกษาสมการเชิงอนุพันธ์ย่อยที่พบในฟิสิกส์ ฟูริเยร์พิสูจน์ให้เห็นว่าเส้นโค้งต่อเนื่องใดๆ ก็ตาม โดยไม่คำนึงถึงส่วนที่แตกต่างกันของเส้นโค้งนั้น สามารถกำหนดได้ด้วยนิพจน์เชิงวิเคราะห์ชุดเดียว นั่นคืออนุกรมตรีโกณมิติ และสามารถทำได้กับเส้นโค้งบางเส้นที่มีความไม่ต่อเนื่องกันด้วย การศึกษาอนุกรมดังกล่าวของฟูริเยร์ทำให้เกิดคำถามอีกครั้งว่าฟังก์ชันหมายถึงอะไร เส้นโค้งดังกล่าวสามารถนำมาพิจารณากำหนดฟังก์ชันได้หรือไม่? (นี่คือการต่ออายุการอภิปรายเก่าสมัยศตวรรษที่ 18 เกี่ยวกับความสัมพันธ์ระหว่างฟังก์ชันและสูตรในระดับใหม่)

ในปี พ.ศ. 2380 นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน P. Direchle ได้ให้คำจำกัดความสมัยใหม่ของฟังก์ชันเป็นครั้งแรก: “เป็นฟังก์ชันของตัวแปร (ในช่วงเวลาหนึ่งหากแต่ละค่า (ในช่วงเวลานี้) สอดคล้องกับค่าเฉพาะเจาะจงโดยสมบูรณ์ และไม่สำคัญว่าอย่างไร การติดต่อนี้เกิดขึ้น - โดยสูตรการวิเคราะห์ กราฟ ตาราง หรือแม้แต่คำพูด” นอกจากนี้สิ่งสำคัญคือ: "ไม่สำคัญว่าคำจำกัดความของการติดต่อนี้จะได้รับการยอมรับโดยทั่วไปอย่างรวดเร็วเพียงใด"

3. มาตรฐานความเข้มงวดสมัยใหม่ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ปรากฏครั้งแรกในงานของ Weierstrass (1815-1897) เขาทำงานเป็นครูสอนคณิตศาสตร์ในโรงยิมมาเป็นเวลานาน และในปี 1856 ก็กลายเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัยเบอร์ลิน ผู้ฟังการบรรยายของเขาค่อยๆ ตีพิมพ์ในรูปแบบหนังสือแยกกัน ซึ่งทำให้เนื้อหาการบรรยายของ Weierstrass เป็นที่รู้จักในยุโรป ไวเออร์ชตราสเป็นผู้เริ่มใช้ภาษาอย่างเป็นระบบในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ เขาให้คำจำกัดความของขีดจำกัดของลำดับ ซึ่งเป็นคำจำกัดความของขีดจำกัดของฟังก์ชันในภาษา (ซึ่งมักเรียกอย่างไม่ถูกต้องว่าคำจำกัดความของ Cauchy) ทฤษฎีบทเกี่ยวกับขีดจำกัดที่ได้รับการพิสูจน์อย่างเข้มงวด และสิ่งที่เรียกว่าทฤษฎีบทไวเออร์ชตราสเกี่ยวกับขีดจำกัดของลำดับเสียงเดียว: ลำดับที่เพิ่มขึ้น (ลดลง) ซึ่งจำกัดขอบเขตจากด้านบน (จากด้านล่าง) มีขีดจำกัดจำกัด เขาเริ่มใช้แนวคิดของขอบเขตบนและล่างที่แน่นอนของชุดตัวเลข แนวคิดของจุดจำกัดของชุด พิสูจน์ทฤษฎีบท (ซึ่งมีผู้เขียนอีกคน - โบลซาโน): ชุดตัวเลขที่มีขอบเขตมีจุดจำกัด และพิจารณาคุณสมบัติบางประการของฟังก์ชันต่อเนื่อง ไวเออร์ชตราสอุทิศผลงานหลายชิ้นให้กับทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรเชิงซ้อน ซึ่งพิสูจน์ได้ด้วยความช่วยเหลือของอนุกรมกำลัง นอกจากนี้เขายังศึกษาแคลคูลัสของการแปรผัน เรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ และพีชคณิตเชิงเส้น

4. ให้เราอาศัยอยู่ในทฤษฎีเซตอนันต์ ผู้สร้างคือ Cantor นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน Georg Kantor (1845-1918) ทำงานเป็นศาสตราจารย์ที่มหาวิทยาลัย Halle เป็นเวลาหลายปี เขาตีพิมพ์ผลงานเกี่ยวกับทฤษฎีเซตโดยเริ่มตั้งแต่ปี พ.ศ. 2413 เขาพิสูจน์การนับไม่ได้ของเซตของจำนวนจริง ด้วยเหตุนี้ จึงทำให้เกิดการมีอยู่ของเซตอนันต์ที่ไม่มีค่าเท่ากัน แนะนำแนวคิดทั่วไปเกี่ยวกับกำลังของเซต และอธิบายหลักการเปรียบเทียบยกกำลัง คันทอร์ได้สร้างทฤษฎีของจำนวนอนันต์ที่ "ไม่เหมาะสม" โดยถือว่าจำนวนอนันต์ที่ต่ำสุดและเล็กที่สุดยกกำลังของเซตนับได้ (โดยเฉพาะเซตของจำนวนธรรมชาติ) เข้ากับยกกำลังของเซตของจำนวนจริง - ค่าที่สูงกว่า จำนวนอนันต์ที่มากขึ้น ฯลฯ ; สิ่งนี้ทำให้เขามีโอกาสสร้างเลขคณิตของจำนวนอนันต์ คล้ายกับเลขคณิตธรรมดาของจำนวนธรรมชาติ คันทอร์ใช้อนันต์จริงตามความเป็นจริงอย่างเป็นระบบ เช่น ความเป็นไปได้ที่จะทำให้อนุกรมตัวเลขตามธรรมชาติ "หมดแรง" โดยสิ้นเชิง ในขณะที่คณิตศาสตร์ของศตวรรษที่ 19 อยู่ตรงหน้าเขา มีการใช้ศักยภาพอนันต์เท่านั้น

ทฤษฎีเซตของคันทอร์กระตุ้นการคัดค้านจากนักคณิตศาสตร์หลายคนเมื่อทฤษฎีนี้ปรากฏขึ้น แต่การจดจำก็ค่อยๆ เกิดขึ้นเมื่อทฤษฎีเซตของคันทอร์มีความสำคัญอย่างมากต่อการให้เหตุผลของโทโพโลยีและทฤษฎีฟังก์ชันของตัวแปรจริงก็ชัดเจนขึ้น แต่ช่องว่างทางตรรกะยังคงอยู่ในตัวทฤษฎีเอง โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ความขัดแย้งของทฤษฎีเซตถูกค้นพบ นี่คือหนึ่งในความขัดแย้งที่มีชื่อเสียงที่สุด ให้เราแสดงชุดดังกล่าวทั้งหมดที่ไม่ใช่องค์ประกอบของตัวมันเองด้วยชุด การรวมยังถืออยู่และไม่ใช่องค์ประกอบเนื่องจากตามเงื่อนไขเฉพาะชุดดังกล่าวเท่านั้นที่จะรวมเป็นองค์ประกอบที่ไม่ใช่องค์ประกอบของตัวเอง ถ้าเงื่อนไขคงอยู่ การรวมไว้จะขัดแย้งกันในทั้งสองกรณี

ความขัดแย้งเหล่านี้เกี่ยวข้องกับความไม่สอดคล้องกันภายในของบางชุด เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่แค่เซตใดๆ เท่านั้นที่สามารถนำไปใช้ในวิชาคณิตศาสตร์ได้ การดำรงอยู่ของความขัดแย้งถูกเอาชนะโดยการสร้างสรรค์เมื่อต้นศตวรรษที่ 20 ทฤษฎีเซตสัจพจน์ (E. Zermelo, A. Frenkel, D. Neumann ฯลฯ ) ซึ่งตอบคำถามโดยเฉพาะ: เซตใดที่สามารถใช้ในคณิตศาสตร์ได้ ปรากฎว่าคุณสามารถใช้เซตว่าง การรวมกันของเซตที่กำหนด เซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่กำหนด เป็นต้น